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最新精选人教版高一数学必修1第25课时幂函数的基本内容(含解析)(已审阅)

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幂函数 说课课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

幂函数 说课课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

教材的地位
与作用
• 《幂函数》是高中数学新教材必修第一册第三章的教
学内容，是基本初等函数之一，起着承前启后的作用.
在初中研究过y=x，y=x-1 y=x2三种幂函数，这节内容
是对初中有关内容的进一步概括、归纳与发展，是与
幂有关知识的高度升华.这节特别让学生去体会研究
的方法以便能将该方法迁移到对其他函数的研究，为
小结
创设教学情境，让学生自主归纳出幂函数的概念、图像和性质.
在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大
地激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题、解决问题
的能力，培养他们的创造能力，发展他们的逻辑推理、数学抽
象、数学运算、数学建模的核心素养，这正是新课程所倡导的
教学理念.
作业布置
必做：书本91页3.3的三道题
yx
1
-1
x
O1
-1
y
= 2
1
-1 O
-1
y
= 3
x
1
1
-1
O
1
x
-1
y
=
=
1
2
−1
1
-1 O
-1y
-
1
x
1
x
1
1 O
-1
值域
奇偶性
单调性
新知探究
（六）
让学生通过观察图像与表格，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律.
(1)幂函数图象不过第几象限？
(2)幂函数图象恒过哪些定点？
《幂函数》——基于数学素养的教学设计说明
第三章 函数的概念与性质
3.3
幂函数
无为一中 王雨静

新人教版高一数学必修1课件2.3幂函数

新人教版高一数学必修1课件2.3幂函数
2.3 幂函数
一、基础知识讲解
观察： y x y x2 y x3
1
y x2 y x1
思考：这些函数是不是 指数函数？
思考2：这些函数的共同 特点是什么？
一、基础知识讲解
1、幂函数的定义：
一般的，函数 y = x α 叫做幂函数，其中 x 是
自变量，α 是常数。
随练：判断下列函数哪些是幂函数？
3.14
1
1
3.142 2
2 (0.38)3与(0.39)3
解：幂函数y x3在,是增函数 0.38 0.39 -0.383 0.393
小结
三、例题分析
31.251与1.221
解：y x1在(, 0)和(0, )上减函数
1.25 1.22 1.251 1.221
4 (1)0.25 与 (1)0.27
1
1 y 0.2x; √2 y x3; 3 y 3x5;
4 y x x; 5 y ( x)2
二、例题分析
例1、已知幂函数的图像过点(2, 2)，试求出此 函数的解析式。
解：由已知，可设幂函数的解析式为 f (x) x
f (x)的图像过点 2, 2
f 2 2, 即 2 2,
解得 1
3
3
解：y
1 3
x
在
,
上是减函数，
0.25 0.27
1
0.25
3
1 3
0.27
四、课堂小结 1、定义：一般地，函数 f(x)=x 叫做幂函数，其
中 x 是自变量， 是常数。
2、注意 ①幂函数的概念及其指数函数表达式的区别 ②常见幂函数及其幂函数的性质
3、幂函数 f(x)=x的性质：
五、课堂作业 课本P82 复习参考题A组 10

3.3幂函数(课件)人教A版必修第一册

3.3幂函数(课件)人教A版必修第一册
(１)(－1.5)3，(－1.4)3
(２)
1
，
−1.5
1
−1)3<(－1.4)3;
1
(２)
−1.5
>
1
−1.4
3.3 幂函数
思维篇
知识篇
素养篇
1.已知y=(m2+2m-2)

2−2
+3n-6(m,n∈N)是幂函数，
求m，n的值.
逻
辑
推
理
解：由m2+2m-2=1 得 m=-3(舍), 或m=1 ；
这里V是b的函数；
y=x3
(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形
的边长c＝ ，这里c是S的函数；
y=
1
2
(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平
1
均速度v＝

km/s，即v＝t-1，这里v是t的函数．
观察(1)～(5)中的函数解析式，它们有什么共同特征？
y=x-1
1 幂函数
第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
高中数学/人教A版/必修一
3.3 幂函数
思维篇
素养篇
知识篇
先看几个实例．
(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，
那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；
y=x
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，
这里S是a的函数；
y=x2
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，
逻
辑
推
理
所以 f(x)= ,且定义域[0,+∞)上为增函数.
由f(2-a)>f(a) 得：2-a > a≥0，

3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)

3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)
1
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．

高中数学幂函数-新课标-人教版-必修1(A)精品PPT课件

高中数学幂函数-新课标-人教版-必修1(A)精品PPT课件

奇偶性
x∈[0,+∞]
增增 增 增
单调性 x∈[-∞,0]
减
x∈[0,+∞]
减
x∈[-∞,0]
减
(1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
定 点
(0,0) (0,0) (0,0)
(0,0)
(1,1)
图 link link link link link 象 Back
幂函数的应用
例2 证明幂函数f(x)= x1/2 在［0，+∞）上是增函数.
所以
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表
y=x
y=x2
y=x3 y=x1/2
y=x-1
定义域 R
R
R ［0,+∞） {x|x≠0}
值域 R
奇偶性 奇
［0,+∞）
偶
R ［0,+∞）
奇
非奇 非偶
{y|y≠0}
奇
增 单调性
x∈［0，+∞）时,增 x∈（-∞，0]时，减
增
增
x∈[0，+∞）时，减 x∈（-∞，0]时，减
定义域： [0,)
值 域： [0,)
奇偶性： 非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
定义域：{x x 0} 值 域：{x x 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数 单调性： 在(0,)上是减函数
在(,0]上是减函数
y x3
y x2
yx
1
y x2
y x1
幂函数的应用
证明: 任取x1 ,x2 ∈ ［0， +∞）,且x1< x2 则x1/ x2<1
练习： 已知幂函数的图象过点(2, 2 ) ,试求出此函数的

2.3幂函数课件-人教版高中数学必修一

2.3幂函数课件-人教版高中数学必修一

（5） y
1 3x
（6）y x2
（7）y 2x （8）y xx
思考：幂函数y x 与指数函数y a x
有何区分？
例2.已知函数 f x m2 m 5 xm1 是幂函
数，求m 的值
• 解：根据幂函数的定义得
m2 m 5 1
• 得m=3或m=-2
思考：幂函数 y xa与指数函数 y ax 有
幂函数的性质总结：
课本P112
α>1
yy
y=x3
y=x2
y=x (3) 如果α>0，则幂函数
0<α<1
y=x1/2
图象过(0,0)和（1，1）， 并且在区间[0,+∞)上是
增函数；
1
x
O1
（4）当α>1时，若0<x<1,则图像在y=x的下方，
若x>1,则图像在y=x的下方;
当0<α<1时，若0<x<1,则图像在y=x的上方，
y
x 叫作（α次的）幂函
数，其中x为自变量，α是常数.
说明：幂函数 y x 要满足三个特征： (1)幂x前系数为 1； (2)底数只能是自变量 x, 指数是常数； (3)项数只有一项；
典例展示
例1 判断下列函数哪些是幂函数？
（1）y x4
3
（4）y x 4
（2）y x2 1 （3）y 3x2
幂函数的性质
y=x y=x2 y=x-1
1
y x 2 y=x3
y=x-2
图像
定义域 Ｒ
1 -
1
Ｒ
1 1
{x|x≠0}
1 1
[0,+∞)1Fra bibliotek1Ｒ1

高一数学人必修一课件第二章幂函数


感谢观看
THANKS
性质
一次幂函数具有比例性质 ，即y/x=n（常数），且 增减性与n的正负有关。
二次幂函数
定义
形如y=ax^2+bx+c（a≠0 ）的函数。
图像
二次幂函数的图像是一条 抛物线，对称轴为x=b/2a，顶点坐标为(b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
性质
二次幂函数具有对称性、 有界性和单调性等性质， 其增减性取决于a的正负和 x的取值范围。
自由落体运动的位移
自由落体运动中，物体下落的位移h与时间t的关系可以表示为h=1/2gt^2（g为 重力加速度）。这个关系式是一个幂函数，其中指数为2。
经济生活中应用举例
复利计算
在金融领域，复利是一种计算利息的方法。假设本金为P，年利率为r，经过n 年后，本金和利息的总和为A=P(1+r)^n。这个公式中的(1+r)^n部分就是一 个幂函数。
06
练习题与课堂互动环节
练习题选讲
题目一
求函数$y = x^{2}$在 区间$[1,2]$上的最大值 和最小值。
题目二
判断函数$y = x^{3}$ 在$R$上的单调性，并 证明。
题目三
已知函数$y = x^{-2}$ ，求其在点$(1,1)$处的 切线方程。
学生自主函数的奇偶性？
高一数学人必修一课
件第二章幂函数
汇报人：XX
20XX-01-22
• 幂函数基本概念与性质 • 常见幂函数类型及其特点 • 幂函数在生活中的应用举例 • 幂函数与指数、对数等其他类型
函数关系探讨 • 求解幂函数相关数学问题方法技
巧总结 • 练习题与课堂互动环节
目录
01

人教版高中数学必修一2.3《幂函数》ppt课件


奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
R上 增函数
(, 0)减 (0, ) 增
R上 增函数
[0, ) 增
(, 0) 减 (0, ) 减
（1,1）
幂函数性质
y y x3 y x2
4
1
yx
(1)函数 y x, y x2 , y x3, y x 2
3
1
y x1在(0,+∞)上都有定义，
培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的 能力，培养学生合作交流的意识.
学习重点
从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用.
学习难点
概括幂函数的性质.
问题情境
问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，
a 那么她需要付的钱数p＝ w 元，这里p是w的函数 y x
S 问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积
S= a 2 ， 这里S是a的函数
y x2
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积
V
aa
S
V= a3 ，这里V是a的函数
y x3
问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边 1 1
长a= S 2 ，这里a是S的函数
y x2
问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车
的速度 v = t 1 km/s. 这里v是t的函数
y y x3
4
y x2
(2,4)
yx
1
y x2 , y x3
3
1
2
y x2
1
-4
-3
-2
-1
o
(1,1)
1
2
y x1

高中数学人教版必修1课件：2.3幂函数

学习目标:
1.通过实例了解幂函数的概念. 2.结合几个常见幂函数的图象发现幂函数的性质.
难点和重点:
学会数形结合的思想概括出幂函数的性质.
以下的函数解析式具有什么共同特征？
y=x y = x2
y xa
y = x3 y x 1
1
y x2
共同特征：函数解析式是幂的情势，且指数是常数， 底数是自变量。
（1，1）
幂函数的性质：(定义域、奇偶性、单调性，因函数
式中α的不同而各异) 1. 所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图 象都过点(1，1)； 2. 当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3. 当α ＞0时，幂函数在区间(0，+∞)上是增函数； 当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数.
1
y x2
y x1
[0，+∞） ，0 （0，+） [0，+∞） ，0 （0，+）
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶
奇函数
在(－∞,0)上 R上是 是减函数，
单调性 增函数在(0, +∞)上 是增函数
R上是 在(0，+∞) 增函数 上是增函数
在( －∞,0) 和(0, +∞)上 是减函数
公共点
练习1.
(1) 1.30.5 ＜ 1.50.5
(2) 5.12 ＜ 5.092
1
1
(3) 0.54 ＞ 0.44
(4)
2
0.7 3
＞
2
0.8 3
2.若m
4
1 2
3
2m
1 2
,则求m的取值范围.
解:
幂函数f

人教版高一数学必修1第25课时幂函数的基本内容(含解析)

(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)判断函数f(x)的奇偶性；
(4)判断函数f(x)的单调性；
(5)画出函数f(x)的图象．
解：(1)设f(x)＝xα.
∵f(x)的图象过点P ，
∴8α＝ ，即23α＝2－1，
∴3α＝－1，即α＝－ ，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x (x≠0)．
(1)正比例函数；
(ห้องสมุดไป่ตู้)反比例函数；
(3)二次函数；
(4)幂函数．
解：(1)若f(x)为正比例函数，则
⇒m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，则
⇒m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
⇒m＝ .
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，得m＝－1± .
能力提升
12．(5分)已知幂函数y＝xn1，y＝xn2，y＝xn3，y＝xn4在第一象限内的图象分别是图中的C1、C2、C3、C4，则n1、n2、n3、n4的大小关系是()
答案：2
解析：∵幂函数y＝x (m∈N*)的图象与x轴、y轴均无交点，且关于原点对称，∴m2－2m－3<0，且m2－2m－3为奇数，即－1<m<3且m2－2m－3为奇数．又m∈N*，∴m＝2.
9．若函数 则f{f[f(0)]}＝________.
答案：1
解析：由已知可知f(0)＝－2，f(－2)＝1，f(1)＝1.
第25课时 幂函数的基本内容
课时目标
1.了解幂函数的概念．
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x 图象．了解幂函数图象的变化情况．
识记强化
1．幂函数的概念．
(1)一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
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(2)∵f(x)＝x ＝ ，x≠0，∴y≠0，
∴f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)∵f(－x)＝(－x) ＝ ＝－ ＝－f(x)，
又f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
∴f(x)是奇函数．
(4)∵－ <0，∴f(x)＝x 在(0，＋∞)上是减函数．
由(3)，知f(x)是奇函数，
2．幂函数的图象．
如图是五种简单幂函数的图象．请填写各函数图象相对应的编号．
y＝x的图象是Ⅲ；y＝x2的图象是Ⅱ；y＝x3的图象是Ⅰ；y＝x 的图象是Ⅳ；y＝x－1的图象是Ⅴ.
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．在函数①y＝ ，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x 中，是幂函数的是()
A．－1或2 B．－2或1
C．－1 D．1
答案：C
解析：因为f(x)＝(a2－a－1)x 为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.
3．幂函数y＝x 的图象是如图所示的()
答案：C
解析：y＝x 的定义域为[0，＋∞)，故排除A；当x＞1时，0＜x ＜x，故选C.
4．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点 ，则k＋α＝()
A．①②④⑤B．③④⑥
C．①②⑥D．①②④⑤⑥
答案：C
解析：幂函数是形如y＝xα(α∈R，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－ 的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．
2．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x 为幂函数，则实数a的值为()
答案：2
解析：∵幂函数y＝x (m∈N*)的图象与x轴、y轴均无交点，且关于原点对称，∴m2－2m－3<0，且m2－2m－3为奇数，即－1<m<3且m2－2m－3为奇数．又m∈N*，∴m＝2.
9．若函数 则f{f[f(0)]}＝________.
答案：1
解析：由已知可知f(0)＝－2，f(－2)＝1，f(1)＝1.
A. B．1
C. D．2
答案：A
解析：∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点 ，∴k＝1，f ＝ α＝ ，即α＝－ ，∴k＋α＝ .
5．设α∈{－2，－1，－ ， ， ，1,2,3}，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：A
A．n1＞n2＞1，n3＜n4＜0
B．n1＞n2＞1，n4＜n3＜0
C．n1＞1＞n4
答案：D
解析：直接根据幂函数的单调性得到结果，也可过(1,1)点作垂直于x轴的直线，在该直线的右侧，自上而下幂函数的指数依次减小．
13．(15分)已知幂函数f(x)的图象过点P .
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)函数f(x)＝(kx2＋4x＋k＋2) 定义域为R，求实数k的取值范围．
解：由幂函数定义知，kx2＋4x＋k＋2>0对任意x∈R恒成立．
得 解得k> －1
∴k的取值范围( －1，＋∞)．
11．(13分)已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x ，m为何值时，f(x)是
第25课时 幂函数的基本内容
课时目标
1.了解幂函数的概念．
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x 图象．了解幂函数图象的变化情况．
识记强化
1．幂函数的概念．
(1)一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)幂函数的特征是幂的底为自变量，指数为常数，而指数函数y＝ax的指数为自变量，底为常数．
∴f(x)＝x 在(－∞，0)上也是减函数．
∴f(x)＝x 在(0，＋∞)与(－∞，0)上都是减函数．
(5)函数f(x)的图象如下：
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．幂函数f(x)的图象经过点(4,2)，那么f 的值为________．
答案：
解析：设f(x)＝xn，则2＝4n，∴n＝ .∴f(x)＝x .∴f ＝ ＝ ＝ .
8．已知幂函数y＝x (m∈N*)的图象与x轴、y轴均无交点，且关于原点对称，则m＝________.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)判断函数f(x)的奇偶性；
(4)判断函数f(x)的单调性；
(5)画出函数f(x)的图象．
解：(1)设f(x)＝xα.
∵f(x)的图象过点P ，
∴8α＝ ，即23α＝2－1，
∴3α＝－1，即α＝－ ，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x (x≠0)．
(1)正比例函数；
(2)反比例函数；
(3)二次函数；
(4)幂函数．
解：(1)若f(x)为正比例函数，则
⇒m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，则
⇒m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
⇒m＝ .
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，得m＝－1± .
能力提升
12．(5分)已知幂函数y＝xn1，y＝xn2，y＝xn3，y＝xn4在第一象限内的图象分别是图中的C1、C2、C3、C4，则n1、n2、n3、n4的大小关系是()
解析：∵f(x)＝xα为奇函数，∴α＝－1， ，1,3.
又∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴α＝－1.
6．若函数f(x)＝(m2－m－1)x 是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m等于()
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：A
解析：m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2，再把m＝－1和m＝2分别代入m2－2m－3<0，经检验得m＝2.