理论力学经典课件-碰撞

锤不回跳，此时可近似认为k =0，于是汽锤效率
m2 0.949% 4
m1m2
2021
25
§19-5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 撞击中心
设刚体绕固定轴z 转动，转动惯量为IZ，受到外碰撞冲量
S (e) i
(i1,2, ,n)
的作用。
碰撞开始时 Lz1 I z1
碰撞结束时 Lz2 I z 2
的积分形式为：
m um vS
(1-19)
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8
对于有n个质点组成的质点系，将作用于第 i 个质点上的
碰撞冲量分为外碰撞冲量
S
( i
e
)
和内碰撞冲量
S
( i
i
)
，则有：
m iu i m iv i S i(e ) S i(i) ( i 1 ,2 , ,n )
将这n个方程相加, 且Si(i) 0(内碰撞冲量总是成对出现的),故
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1
在前面讨论的问题中，物体在力的作用下，运动速度都 是连续地、逐渐地改变的。本章研究另一种力学现象——碰 撞，物体发生碰撞时，会在非常短促的时间内，运动速度突 然发生有限的改变。本章研究的主要内容有碰撞现象的特征， 用于碰撞过程的基本定理，碰撞过程中的动能损失，撞击中 心。
2021
2
第十九章 碰撞 §19–1 碰撞现象及其基本特征 碰撞力
§19-2 用于碰撞过程的基本定理
§19–3 质点对固定面的碰撞 恢复系数
§19–4 两物体的对心正碰撞 动能损失
§19–5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用
撞击中心
小结
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3
§19-1 碰撞现象及其基本特征 碰撞力
碰撞：运动着的物体在突然受到冲击（包括突然受到约 束或解除约束）时，其运动速度发生急剧的变化，这种现象 称为碰撞。

1987年12月20日,“多纳帕斯号”(设计载人:608人,经改装 后可载人:1518人,实际载人:3000人),在往马尼拉方向行驶 时因与油轮相撞而起火,造成船上3000人几乎丧身.
2019/10/8
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2. 研究碰撞的基本假设：
(1) 在碰撞过程中，重力、弹性力等非碰撞力与碰撞力相比 小得多，其作用可以忽略不计。但必须注意，在碰撞前和 碰撞后，非碰撞力对物体运动状态的改变作用不可忽略。 (2) 由于碰撞时间极短，而速度又是有限量，所以物体在 碰撞过程的位移很小，可以忽略不计，即认为物体在碰撞 开始时和碰撞结束时的位置相同。
v1
v2
u1
u2
取整体，由冲量守恒，有 m 1 v 1 m 2 v 2 m 1 u 1 m 2 u 2 以及：e u2 u1 v1 v2
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u1v1(1e)m 1m 2m 2(v1v2)v1
u2v2(1e)m 1m 1m 2(v1v2)v2
2. 用于碰撞过程的冲量矩定理
L O 2 L O 1 M 0 e M 0 ( I i e )
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用于定轴转动刚体碰撞时的微分方程积分形式
J O z2 J O z1 M O e z =m O z ( I i e )
用于平面运动刚体碰撞时的微分方程积分形式
T＝ m1m2
2m1 m2
v12＝1T1m1
m2
说明系统损失的动能与两物体的质量比有关。
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工程应用：
T＝
T1
1 m1
m2
（1） 打桩时，希望桩获得尽可能多的动能，去克服土
壤给桩的阻力，这就要求损失的动能越少越好。这时

′
碰撞后的速度与第一个小球 的运动方向相同。
（2）碰撞前系统的动能为
1
1
1
2
1 = 1 1 + 2 22
2
2
1
1
2
= × 0.5 × 4 J + × 0.25 × (−3)2 J = 5.13J
2
2
碰撞后系统的动能为
2
1
= （1 + 2 ） ′2
2
2
1
= 0.5 + 0.25 × 1.67 2 J = 1.05J
2
2
2
2
例1.一个物体质量为 ，初速度为 ，在光滑的
水平面上与一个质量为 的静止的物体发生弹性
碰撞。求碰后两物体的速度。
解： 由动量守恒和机械能守恒得
1 1 = 1 1′ + 2 2′
1
1
1
2
′2
1 1 = 1 1 + 2 2′2
2
2
2
解得
1 − 2
=
1
1 + 2
以相同ห้องสมุดไป่ตู้速度
反弹回去
例2.在热核反应过程中，当铀
核裂变时会放出若干个
中子，中子的速度很高，降低中子的速度可以提高裂变概
率。因此，常常用慢化剂（重水、石墨等）来降低中子的
速度。假设中子的速率为 ∙ − ，与重水里的氘核发
生弹性碰撞，氘核开始处于静止状态，氘核的质量是中子
2
∆ = 2 − 1 = 4.08J
大部分能量在碰撞过程中转化为内能了。
• 非对心碰撞
= ′
= ′
Y
′
1
(a)碰撞前

3. 当甲车的速度为零时，乙车速度为___1__米/秒， 方向___向__右____。
V1
S
N
甲
V2
N
S
乙
碰撞问题的解应同时遵守三个原则：
1. 系统动量守恒的原则
mv1 mv2 mv1 mv2
2. 不违背能量守恒的原则
1 2
mv12
1 2
mv22
1 2
mv12
1 2
mv22
3. 物理情景可行性原则
碰撞
一．不同类型的碰撞：
1. 完全弹性碰撞——动量守恒，动能守恒
2. 完全非弹性碰撞——动量守恒，动能损失 最大（以共同速度运动），动能转化为其它能量，
如内能、重力势能、弹性势能、磁场能、电场能等。
3. 非弹性碰撞——动量守恒，动能有损失
碰撞的特征和基本假定 1. 碰撞的特征：物体的运动速度或动量在极短的时间内发生极巨的改变。碰撞 时间之短往往以千分之一秒甚至万分之一秒来度量。因此加速度非常大，作用力 的数值也非常大。
例2 在竖直向上的匀强磁场中有两根光滑水平 平行导轨,其上放置两根平行导体棒a、b，质量分别 为m1 ` m2， b棒开始静止，a棒以初速度V0向右运动， 求最后两棒的速度各是多少？
解：两棒只受相互作用的磁场力，且始终大小相等，
方向相反，因此动量守恒。
B
由 m1V0= (m1+m2) V
b
a
得 V=m1V0 / (m1+m2)
2m1 m1 m2
V0
1. 若 m1 = m2
2. 若 m1 << m2
V2 V0 V1 0
质量相等的两物体
V1 V0 V2 0
弹性碰撞后交换速度

v1' = (m1 - m2)v1 / (m1 + m2), v2' = (m2 - m1)v2 / (m1 + m2)
弹性碰撞的实例
两个小球在光滑水平面上发生弹性碰撞
01
在这种情况下，两个小球在碰撞前后的速度满足动量守恒和动
能守恒，且没有能量损失。
两个分子在气体中的弹性碰撞
02
气体分子之间的碰撞大多数是弹性碰撞，因为它们之间的相互
作用力较小，能量损失也很小。
原子核之间的弹性碰撞
03
原子核之间的相互作用力很强，但它们之间的碰撞仍然可以近
似为弹性碰撞，因为它们的动量很大，能量损失很小。
03
非弹性碰撞
非弹性碰撞的定义
非弹性碰撞是指两个物体在碰撞过程中动能损失不能被完全吸收和转化的碰撞过程 。
在非弹性碰撞中，两个物体的速度在碰撞后会发生变化，但它们的总动能会减少。
碰撞的特点
总结词
碰撞具有时间短暂、动量守恒、能量守恒等特点。
详细描述
碰撞过程非常短暂，通常只有几个毫秒甚至更短的时间。在这么短的时间内，系统的动 量和能量是守恒的，即系统的总动量和总能量在碰撞前后保持不变。这是因为在经典物 理学中，系统的总动量和总能量是守恒的，只有在相对论中才会出现动量和能量的不守
该公式表示碰撞前后，系统内 各物体的动量总和保持不变。
动量守恒定律的实例
子弹打木块
一颗子弹以一定速度打入静止的 木块，在子弹打入的过程中，子 弹和木块组成的系统动量守恒。
弹性碰撞
两个小球在光滑的水平面上发生碰 撞，如果碰撞为弹性碰撞，则碰撞 前后两小球的速度总和保持不变。
天体运动
在行星绕恒星运动的过程中，如果 忽略其他星体的影响，行星和恒星 组成的系统动量守恒。

4. 如图所示，abc 是光滑的轨道，其中 ab 是水平的，bc 为 与 ab 相切的位于竖直平面内的半圆，半径 R = 0.30 m。质 量 m = 0.20 kg 的小球 A 静止在轨道上，另一质量 M = 0.60 kg、速度 v0 = 5.5 m/s 的小球 B 与小球 A 正碰。已知相碰后 小球 A 经过半圆的最高点 c 落到轨道上距 b 点为 L 4 2R 处，重力加速度 g 取 10 m/s2，求碰撞结束时，小球 A 和 B 的速度的大小。
(1) 规律：动量守恒、机械能守恒 (2) 能量转化情况：系统动能没有损失
2. 完全非弹性碰撞：碰撞后两物体连在一起运动的现象。 (1) 规律：动量守恒，机械能减少 (2) 能量转化情况：系统动能损失最大
3. 对心碰撞和非对心碰撞
簧压缩至最短的整个过程中( B )
A. 动量守恒，机械能守恒 B. 动量不守恒，机械能不守恒 C. 动量守恒，机械能不守恒 D. 动量不守恒，机械能守恒
A
1. 动量守恒； 2. 动能不会增加； 3. 符合实际情况。如运动方向一致时，后边物体速度
一定小于前边物体速度等。
AC
A. 碰前 m2 静止，m1 向右运动 B. 碰后 m2 和 m1 都向右运动 C. m2 = 0.3 kg D. 碰撞过程中系统损失了 0.4 J 的机械能
(5) 若 m1 >> m2 ， 则 v1ʹ = v1， v2ʹ = 2v1
5. 非弹性碰撞
v1
地面光滑
v2
m1v1 m2v2 m1v1 m2v2
1 2
m1v12
1 2
m2v22
1 2
m1v12
1 2
m2v2 2
Ek
3. 完全非弹性碰撞：碰撞后两物体连在一起运动的现 象。系统机械能损失最多。

F-(m+M)g=(m+M) v
2 1
.
将v1代入即得F=(mL+M)g+(m+M)
v12 (mM)g m2v2 .
L
(mM)L
答 案:mMg m2v2
(mM)L
第第2288页页
三､从动量､能量观点解决的有关问题
例3:如下图,一轻质弹簧两端连接着物体A和B,放在光滑的水
平面上,物体A被水平速度为v0的子弹击中,子弹嵌在其中,已
16
答 案 :1v 4 0(2)v 8 0(3)1 1 6m v20
第第3322页页
巩固练习3:如下图,位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q都可 视作质点,质量相等.Q与轻质弹簧相连.设Q静止,P以某一 初速度向Q运动并与弹簧发生碰撞.在整个碰撞过程中,弹 簧具有的最大弹性势能等于( )
第第3333页页
二､对心碰撞和非对心碰撞 1.对心碰撞:碰撞前后,物体的运动方向在同一直线上,也叫正
碰,是在一维直线上发生的碰撞. 2.非对心碰撞:碰撞前后物体的运动方向不在同一直线上,也
叫斜碰,是在二维平面上发生的碰撞.
第第1100页页
3.对弹性正碰的讨论 在光滑水平面上质量为m1的小球以速度为v1与质量为m2的 静止的小球发生弹性正碰,如下图,根据动量守恒定律
巩固练习2:如下图,质量为m的子弹,以速度v水平射入用轻绳 悬挂在空中的木块,木块的质量为M,绳长为L,子弹停留在 木块中,求子弹射入木块后的瞬间绳子中的张力的大小.
第第2266页页
解析:物理过程共有两个阶段:射入阶段和圆周运动阶段.射入 阶段可认为木块还未摆动,绳子没有倾斜,子弹和木块所组 成的系统水平方向不受外力作用,动量守恒.子弹停留在木 块中后以一定的速度做变速圆周运动,绳子倾斜,水平方向 有了分力,动量不再守恒.

mA v A mB vB mA vA mB vB
这时，
vA ＝vB ＝v AB
于是，有
mA v A mB vB mA mB v AB
v AB
mA vA mB vB mA mB
18 103 0.2 i 0.03 j 0.02 k 0
18 103 6.6 103
0.146 i 0.022 j 0.015 k m/s
AB
vAB A v'A B v'B
由
mA v A mB vB mA vA mB vB
k I2 vB vA I1 vA vB
解得碰撞后两个球的速度分别为
vA
vA
1
k
mA mA mB
vA
vB
vB
vB

1
k mA
mA mB
vA
vB
vA A
B vB
AB
vAB A v'A B v'B
（3）碰撞后阶段
根据平面运动微分方程，有
maC F mgf
JC Fr mgfr
由运动学可知
v vC aCt
C t
C
aC
mg
F FN
由平面运动可知，当 v rC 时，轮开始纯滚
解得： t 1 k 3gl 0.24 s 14gf
突加约束问题
运动的刚体 突然受到其他 物体的阻碍， 发生碰撞，在 接触处发生完 全不可恢复的 变形，亦即产 生完全非弹性 碰撞－突然施 加约束，简称 突加约束。
例题6
质量为m、半径为r的均
质圆柱体，以质心速度vC
§15-1 碰撞现象·碰撞力
碰撞－物体与物体之间，在极短的时间内，发生 有限量的动量传递与能量转换，同时伴随有极大的 撞击力的动力学过程。

反冲运动模型
总结词
反冲运动模型是碰撞问题的一个特例，涉及到物体在碰 撞后反向运动的现象。
详细描述
反冲运动模型描述了一个物体在静止时受到一个力的作 用后发生碰撞，并沿着相反方向运动的物理过程。根据 动量守恒定律，物体碰撞后的速度v'可以由公式mv0=mv计算得出，其中m为物体的质量，v0为物体碰撞前的 速度。同时，根据能量守恒定律，碰撞过程中没有能量 损失，因此有公式1/2mv0^2=1/2mv'^2。
详细描述
子弹打木块模型描述了一个子弹以速度v0射 入静止的木块，并留在其中共同运动的过程 。根据动量守恒定律，子弹和木块在碰撞后 的共同速度v可以由公式mv0=Mv+mv1计 算得出，其中M为木块的质量，m为子弹的 质量，v1为子弹在木块内的速度。同时，根 据能量守恒定律，碰撞过程中没有能量损失
，因此有公式 1/2mv0^2=1/2(M+m)v^2+1/2mv1^2
整体法
总结词
整体法是将参与碰撞的物体视为一个整体，分析整体在碰撞前后的动量变化，从而得出碰撞结果。
详细描述
在整体法中，我们需要将参与碰撞的物体看作一个整体，分析整体在碰撞前后的动量变化。这种方法 适用于两个物体在同一直线上发生碰撞的情况，可以简化问题的复杂度，提高解题效率。
隔离法
总结词
隔离法是将参与碰撞的物体逐一隔离分析，通过分析单个物体的动量变化，得出碰撞结果。
06
CATALOGUE
碰撞的实验验证
实验目的
01
02
03
验证碰撞定律
通过实验观察和测量，验 证物体碰撞前后遵循的动 量守恒和能量守恒定律。
理解碰撞过程
通过实验观察碰撞过程中 物体的速度、动量和能量 的变化，加深对碰撞过程 的理解。

e I2 v1
I1
v1
v1 2gh1 , v1 2gh2
e h2 h1
n
A
B h1 h2 v'1 v1
C
例题8-1
两小球的质量分别为m1和m2 ，碰撞开始时两质心的速度分 别为v1和v2 ，且沿同一直线，如图所示。如恢复系数为e， 试求碰撞后两球的速度和碰撞过程中损失的动能。
v1
C1
v2
冲量矩定理
根据研究碰撞问题的基本假设，在碰撞过程中，质点系内各质点的位 移均可忽略，因此，可用同一矢 ri 表示质点 Mi 在碰撞开始和结束时的位 置。 质点对固定点的动量矩为
碰前： MO (mivi ) ri mivi
碰后： MO (mivi ) ri mivi
所以
ri mivi ri mvi ri Ii
例如，两直径25mm的黄铜球，以72mm/s的相对法向 速度碰撞，碰撞时间只有0.0002秒。
碰撞的物体间产生巨大的碰撞力。
例如，用铁锤打击钢板表面。
接示波器
力传感器
塑料
碰撞问题基本特征
碰撞的物体间产生巨大的碰撞力。
例如，用铁锤打击钢板表面。
锤重4.45N; 碰撞前锤的速度 457.2 mm/s; 碰撞的时间间隔 0.00044s; 撞击力峰值 1491 N， 静载作用的335倍。
T0
T1 T0
设锤头在和桩开始接触时具有的速度是 v1 ,则初动能
➢ 理想情况e =1时，碰撞结束后，物体能完全恢复原来的形状，这
种碰撞称为完全弹性碰撞。
➢ 在另一极端情况 e =0 时，说明碰撞没有恢复阶段，即物体的变
形不能恢复，碰撞结束于变形阶段，这种碰撞称为非弹性碰撞或塑 性碰撞。

质点系动量矩定理的积分形式
冲量矩定理
n
n
ri mi vi ri mi vi
i 1
i 1
n
i 1
t2 t1
ri
d
I
e i
n
LO2 LO1
M
O
(
I
e i
)
MO (I e)
i 1
在一定的时间间隔内，质点系动量矩的改变等于
同一时间间隔内，作用在质点系上所有外力冲量矩
的主矩。
§3-2 用于碰撞过程的基本定理
铁锤打击人体
锤重4.45N;
碰撞前锤的速度 457.2 mm/s;
塑料
碰撞的时间间隔 0.01s;
撞击力峰值 244.8 N，
静载作用的55倍。
2.碰撞现象的特点
撞击过程中能量的急剧转换－撞击过程中， 各种机械能之间、机械能与其他形式能量之间 以极快的速度转换。
m
势能
动能 m
弹性应变能
2.碰撞现象的特点
e＝ vAn vA cos vAn vA cos
水平方向动量守恒 mvA sin ＝mvA sin
B
e＝ tan
tan
§3-4 碰撞问题举例
例题1
锻造用的汽锤锤重与打桩机锤头重量均为 mAg; 汽锤的铁 砧与桩的重量均为 mBg。汽锤和打桩机的锤头打击前速度 均为 vA
试分析：汽锤与打桩机在打击过程中的动量传递与能量转换。
T1 m
A
mB
§3-4 碰撞问题举例
例题1
解：汽锤和打桩机锤头打击前后的动能变化
T＝ mAmB
2 mA mB
v
A
2＝ 1
T1 m
A

1 2
m2
v2
2
m1
m2
v1

m1 m1

m2 m2
v1
v2

2m1 m1 m2
v1
若m1 m2 则v1 0
若m1m2 则v1 v1
v2 v1 v2 2v1
若m1m2 则v1 v1 v2 0
8
例 1 质量为 2m 的 B 球，静止放于光
10
【设问】斜碰过程满足动量守恒吗？为什么？ 如图，能否大致画出碰后A球的速度方向？
v1
A
B
A
B
v/2
m1v1/ m2v2/
m1v1
11
碰撞的三大原则
1、系统动量守恒原则：碰撞前后系统的总动量守恒。
2、动能不增加原则：碰撞后系统的总动能小于或等 于碰撞前系统的总动能，即系统的总动能不增加。
3、物理情景可行性原则：若碰后两物体同向运动， 则碰撞后后面物体的速度一定小于或等于前面物 体的速度（否则碰撞没有结束，还要发生碰撞）。
5
理论论证
m v0 m
2m v
由动量守恒定律：
mv0 0 2mv
v v0 2
碰撞前系统总动能：
Ek0

1 2
mv0
2
碰撞后系统总动能：Ek

1 2mv2 2

1 2m(v0 ) 2 22

1 4
mv0
2
Ek Ek0 碰撞过程中有机械能损失
6
二、碰撞的分类
分类方式之一：从能量变化方面分类
的热能
Q

1 2
mv02

1 2

情况下。
非弹性碰撞的公式
碰撞前后动量守恒：m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2' 碰撞前后能量不守恒：E = E'
碰撞前后速度关系：v1' = v1 - Δv, v2' = v2 + Δv
非弹性碰撞的特点
01
形 变不能完全恢复，导致能量损
04
弹性碰撞公式的应 用
弹性碰撞公式可以用于计算两个 物体碰撞后的速度，它是解决碰 撞问题的重要工具之一。
弹性碰撞的特点
能量守恒
在弹性碰撞中，系统的总能量 在碰撞前后保持不变，即动能
守恒。
动量守恒
在弹性碰撞中，系统的总动量 在碰撞前后保持不变，即动量 守恒。
无能量损失
在弹性碰撞中，没有能量转化 为其他形式的能量，如热能或 内能等。
碰撞的分类
弹性碰撞
完全非弹性碰撞
碰撞过程中，物体间的作用力完全以 弹性反作用力形式出现，没有能量损 失。
碰撞过程中，物体间的作用力完全以 非弹性反作用力形式出现，能量损失 最大。
非弹性碰撞
碰撞过程中，物体间的作用力部分以 弹性反作用力形式出现，部分以非弹 性反作用力形式出现，存在能量损失。
02
弹性碰撞
台球碰撞
两球在桌面上发生碰撞， 运动轨迹发生变化，遵循 动量守恒定律。
汽车碰撞
汽车发生正面碰撞，车体 变形，遵循动量守恒和能 量守恒定律。
三维碰撞实例分析
三维碰撞
两个物体在三维空间中发 生相互作用，考虑三个方 向的动量变化。
卫星碰撞
卫星在太空中发生碰撞， 需要考虑地球引力、太阳 辐射压和其他因素的影响。
弹性碰撞的公式
01