江西省赣州市九年级上数学期中考试卷含答案

2023_2024学年江西省赣州市章贡区九年级上册期中数学模拟测试卷说明：1.本试题卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟。

2请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效。

一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分）1.用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（）2680x x -+=A. B. C. D.()2628x +=()2628x -=()231x +=()231x -=2.我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有深远影响.下列图形“杨辉三角”，“赵爽弦图”，“中国七巧板”，“刘微割圆术”中，是中心对称图形的是（）AB C D3.若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（）1x =20x x m ++=A.0， B.0，0C.，D.2，22-2-2-4.在正方形网格中有，绕O 点按逆时针旋转90°后的图案应该是（）ABC △ABC △A B C D5.如图，是的内接三角形，且AB 是的直径，点P 为上的动点，且ABC △O O O ，的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是（）60BPC ∠=︒OA.6B.12C. D.6+6.二次函数（a ，b ，c 为常数，且）中的x 与y 的部分对应值如下表：2y ax bx c =++0a ≠x 1-013y1-353下列结论：①；②当时，y 的值随x 值的增大而减小；③3是方程0ac <1x >的一个根；④当时，.其中正确结论()210ax b x c +-+=13x -<<()210ax b x c +-+>的个数是（）A.4B.3C.2D.1二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）7.关于x 的一元二次方程有实数根，则k 的取值范围是______.240x x k -+=8.抛物线与x 轴只有一个公共点，则c 的值为______.22y x x c =++9.如图，在中，弦AB ，CD 相交于点P .若，，则的度数是O 48A ∠=︒80APD ∠=︒B ∠______.10.已知m 、n 是一元二次方程的两个根，则的值为______.2250x x +-=22m mn m ++11.如图，平面直角坐标系中有两个二次函数的图象，其顶点P ，Q 皆在x 轴上，且有一水平线与两图象相交于A 、B 、C 、D 四点，各点位置如图所示，若，10AB =，，则PQ 的长度为______.5BC =6CD =12.已知抛物线，M 是抛物线上一动点，以点M 为圆心，1个单位长度为半20.25y x x =--径作.当与x 轴相切时，点M 的坐标为______.M M 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（本题满分6分，每小题3分）（1）解方程：220x x -=（2）如图，在中，AB ，AC 为互相垂直且相等的两条弦，，，垂O OD AB ⊥OE AC ⊥足分别为D ，E .求证：四边形ADOE 为正方形，14.如图，和都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线.ABC △ECD △（1）可以看作是由△______绕着点______，逆时针旋转______°得到；BCE △（2）试证明这两个三角形全等.15.某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置O 竖直安装一根顶部A 带有喷水头的水管，如图，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心的水平距离也为3m ，那么水管OA 的高度应为多少？16.如图，点A ，B 在上，点O 是的圆心，请你仅用无刻度的直尺，在图1和图2中O O 分别画出以点B 为顶点，与互余的圆周角（保留作图痕迹）A ∠图1图2（1）图1中，点C在上；（2）图2中，点C在内.OO17.随着我国经济的强劲复苏，外出旅游的人越来越多.某景区游容人数逐月增加、2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人.（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.已知关于x的一元二次方程.()222130x m x m m---+=（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根：（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值.1x2x122152x xx x+=-19.如图1，已知是的内接三角形，AB为直径，，D为上一点.ABC△O38A∠=︒ AB图1图2（1）当点D为的中点时，连接DB，DC，求和的大小；AB ABC∠ABD∠（2）如图2，过点D作的切线，与AB的延长线交于点P，且，连接ODP ACDC ，OC ，求的大小.OCD ∠20.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点.21:F y x bx c =++()3,0A -()1,0B图1图2图3（1）求抛物线的表达式；1F （2）如图2，抛物线与抛物线关于原点O 成中心对称，请直接写出抛物线的表达式2F 1F 2F 为______；（3）如图3，将（2）中抛物线向上平移m 个单位，得到抛物线，当抛物线经过点2F 3F 3F A 时，求m 的值.五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.为加强劳动教育，落实五育并举.某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜.经调查发现：甲种蔬菜种植成本21000m y （单位：元）与其种植面积x （单位：）的函数关系如图所示，其中；2/m 2m 200700x ≤≤乙种蔬菜的种植成本为50元.2/m（1）当______时，元；x =2m 35y =2/m （2）设2023年甲乙两种蔬菜种植总成本为W 元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W 最小？（3）学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预21000m计种植成本逐年下降.若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a 为何值时，2025年的种植总成本为28920元？%a 22.如图1，已知AB 是的直径，且，BM 切于点B ，点P 是上的一个O 20AB =O O 动点（不经过A ，B 两点），连接PA ，过点O 作交BM 于点Q ，过点P 作OQ AP 于点C ，交QO 的延长线于点E ，连接AE ，PQ .PE AB ⊥图1（备用图）（1）求证：；PEBM （2）试判断PQ 与的位置关系，并给予证明；O （3）随着点P 的移动，四边形PAEO 能否为菱形，若能，请说明点E 与的位置关系，O 并求出PE 的长；若不能，请说明理由.六、解答题（本大题共12分）23.已知二次函数()2:230L y mx mx m =+-≠（1）以下有关二次函数L 的性质结论序号正确的有______.（填序号）①二次函数的开口向上；②二次函数的对称轴是直线；1x =-③二次函数的图象经过定点和；()0,3-()2,3--④函数值y 随着x 的增大而减小.（2）若二次函数的图象关于点中心对称得到二次函数G 的图2:23L y mx mx =+-(),0m 象，则称这两个二次函数关于点成对称抛物线.(),0m①求抛物线G 的表达式（用含m 的式子表示）：②若抛物线G 的顶点纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系式H ，求出这个函数关系式；若二次函数L 与函数H 的图象有交点，请结合图象求出m 的取值范围.九年级数学试题答案一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分）1.D2.B3.C4.A5.C6.B6.［解析］把，，分别代入，得解得()1,1--()0,3()1,52y ax bx c =++1,3,5,a b c c a b c -+=-=++=⎧⎪⎨⎪⎩1,3,3.a b c ⎧=-==⎪⎨⎪⎩∴，其图象的对称轴为直线.233y x x =-++()31.521x =-=⨯-由，可知①正确.1330ac =-⨯=-<抛物线的开口向下，当时，y 的值随x 的增大而减小，故②错误.233y x x =-++ 1.5x >由表可知在抛物线上，则.()3,32y ax bx c =++933a b c ++=当时，，3x =()21933330ax b x c a b c +-+=+-+=-=所以3是方程的一个根，故③正确.()210ax b x c +-+=不等式可变形为，即.从表格中给出的数据可以()210ax b x c +-+>2ax bx c x ++>y x >看出，当或3时，；由图象知，当时，，故④正确.故选B.1x =-y x =13x -<<y x >二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）7.8.19.32°10.011.84k ≤12.或或()2,1-()21---()21-+-三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）解：……………………1分()20x x -=或……………………2分0x =20x -=∴，……………………3分10x =22x =（2）证明：∵，，AB AC ⊥OD AB ⊥OE AC ⊥∴，，90DAE ODA OEA ∠=∠=∠=︒12AD AB =12AE AC =∴四边形ADOE 为矩形……………………4分∵AB AC =∴……………………5分AD AE=∴四边形ADOE 为正方形……………………6分14.解：（1）ACD ，C ，60.…………………………3分（2）证明：∵和都是等边三角形ABC △ECD △∴，，AC BC =CD CE =60ACB ECD ∠=∠=︒∴ACB ACE ECD ACE ∠+∠=∠+∠即ACD BCE ∠=∠∴……………………6分DAC EBC≌△△15.解：抛物线的解析式为……………………1分()213y a x =-+把代入，得：()3,0……………………2分()23130a -+=解得：……………………3分34a =-∴抛物线的解析式为……………………4分()23134y x =--+当时，……………………5分0x =94y =答：水管的设计高度应为米.……………………6分9416.解:图1图2如图1，为所求.……3分如图2，为所求DBC ∠FBE ∠.……6分17.解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x ，根据题意，得：……1分()21.612.5x +=……2分解得：，（不合题意，舍去）10.25x =2 2.25x =-……3分答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%.……4分（2）设5月份后10天日均接待游客人数是a 万人，根据题意，得：，()2.12510 2.510.25a +≤+解得：，0.1a ≤……5分答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人.……6分四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.（1）证明：∵()()22222143168141(0m m m m m m ∆=----+=-+=⎡⎣-⎤⎦≥）∴无论m 为何值，方程总有实数根.……3分（2）利用根与系数的关系可得：，……5分1221x x m +=-2123x x m m=-+∵()21212211212122212252x x x x x x x x x x x x x x +-+=+=-∴……6分()()2222123532m m m m m---+=--+解得：，……8分11m =225m =19.解：（1）如图1，连接OD ，∵AB 是的直径，O ∴.90ACB ∠=︒∵，38BAC ∠=︒∴.9052ABC BAC ∠=︒-∠=︒∵D 为的中点， AB ∴.AD AD =∴.1180902AOD BOD ∠=∠=⨯︒=︒∴.…………………………4分1452ABD AOD ∠=∠=︒图1（2）如图2，连接OD ，∵，，OA OC =OC OD =∴，.38OAC OCA ∠=∠=︒OCD ODC ∠=∠设.OCD ODC x ∠=∠=︒∴.()38ACD OCA OCD x ∠=∠+∠=+︒∵DP 为的切线，O ∴.OD DP ⊥∴.()9090CDP ODC x ∠=︒-∠=-︒∵，DP AC ∴.CDP ACD ∠=∠即，9038x x -=+解得.26x =∴.…………………………8分26OCD ∠=︒图220.解：（1）将点和点代入，得：()3,0A -()1,0B 2y x bx c =++，93010b c b c -+=++=⎧⎨⎩解得：，23b c ==-⎧⎨⎩∴；…………………………3分223y x x =+-（2）或；……………………5分223y x x =-++()214y x =--+略解：∵，()222314y x x x =+-=+-.抛物线的顶点，()1,4--顶点关于原点的对称点为，()1,4--()1,4.抛物线的解析式为，2F ()214y x =-+∴；223y x x =-++（3）依题意，有抛物线的解析式为，3F 223y x x m =-+++因抛物线经过点，3F ()3,0A -∴9630m --++=∴…………………………8分12m =21.解：（1）500；…………………………2分略解：当时，设甲种蔬菜种植成本y （单位；元）与其种植面积x （单位：200600x ≤≤2/m ）的函数关系式为，2m y kx b =+把，代入得：，()200,20()600,402002060040k b k b +=+=⎧⎨⎩解得，12010k b ⎧==⎪⎨⎪⎩∴，11020y x =+当时，，600700x <≤40y =∴当时，，解得.35y =1351020x =+500x =（2）当时，，20600x ≤≤()()21110501000400420002020W x x x x =++-=-⎪+⎛⎫⎝⎭∵，1020>∴抛物线开口向上，∴当时，W 有最小值，最小值为42000，400x =此时，；……………………4分10001000400600x -=-=当时，，600700x ≤≤()405010001050000W x x x =+-=-+∵，100-<∴当时，W 有最小值为：，700x =107005000043000-⨯+=∵，4200043000≤∴当甲种蔬菜的种植面积为，乙种为时，W 最小；……………6分2400m 2600m （3）由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，乙种蔬菜的种植成本为（元），则甲种蔬菜的种植成本为5060030000⨯=（元），420003000012000-=由题意得：，()()2212000110%300001%28920a -+-=整理得：，()21%0.64a -=∴，（不符合题意，舍去），%0.220%a ==% 1.8a =∴，20a =答：当a 为20时，2025年的总种植成本为28920元.……………………9分22.解：（1）证明：∵BM 切于点B ，AB 是的直径，O O ∴，BM AB ⊥∵，PE AB ⊥∴；……………………2分PE BM （2）PQ 是的切线.……………………3分O 证明：∵，OQ AP ∴，.EOA OAP ∠=∠POQ APO ∠=∠∵，OA OP =∴.OAP APO ∠=∠∴.EOA POQ ∠=∠∵，EOA BOQ ∠=∠∴.POQ BOQ ∠=∠∵，，OP OB =OQ OQ =∴.……………………4分POQ BOQ ≌△△∴.90OPQ OBQ ∠=∠=︒∴PQ 是的切线.……………………5分O（3）能，点E 在上，如图3.……………………6分O 当点E 在上时，即PE 是的弦，O O ∵，PE AB ⊥∴.EC CP =∴.AE AP =∴.AOE AOP ∠=∠∵，∴.OE AP AOE OAP ∠=∠∴.AOP OAP ∠=∠∴.AP OP =∴.AE AP OP OE ===∴四边形PAEO 为菱形.……………………8分∴为等边三角形.POA △∵，PE AB ⊥∴.152OC OA ==在中，，Rt POC △PC ==∴……………………9分PE =图323.解：（1）②③；…………………………………………2分配方得：，顶点；()()213y m x m =+-+()1,3m ---①m 不确定，所以开口方向不确定；②对称轴；1x =-③根据对称性知抛物线经过定点与；④抛物线并非单调递增或递减.()0,3-()2,3--（2）①抛物线L 的顶点，对称中心，()1,3m ---(),0m∴二次函数G 的顶点为，开口方向相反，故；()21,3m m ++a m =-∴二次函数G 的解析式为.……………………4分()2213y m x m m =---++②∵二次函数G 的顶点坐标为，()21,3m m ++∴设，可得，21x m =+12x m -=∴函数H 的解析式为.……………………7分11533222x y m x -=+=+=+讨论若二次函数L 与函数H 有交点：ⅰ）当时，根据二次函数L 图象的性质，则一定有交点；0m >……………………9分ⅱ）当时，联立得0m <()25,222 3.0x y y mx mx m ⎧=+⎪⎨⎪=+-<⎩∴，则x 有解：()2241110mx m x +--=，即；()241880m m ∆=-+≥2168010m m ++≥由2680101m m ++=解得，1m=2m =∵，且，得：2168010m m ++≥0m <；……………………11分m ≤0m ≤<综上所述，m 的取值范围是：或……………………12分0m >m ≤0m ≤<。

2021-2022学年江西省赣州市某校初三（上）期中考试数学试卷一、选择题1. 下面图形中，是中心对称图形的是( )A. B.C. D.2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A.ax2+bx+c=0B.1x2+1x−2=0C.3x2+2x=x2+1D.3x2+2y+1=03. 二次函数y=3(x+2)2+4的顶点是( )A.(2,4)B.(−2,4)C.(2,−4)D.(−2,−4)4. 如图，在平面直角坐标系中，若△ABC≅△DEF关于点H成中心对称，则对称中心H 点的坐标是( )A.(1,−1)B.(2,−1)C.(2,−2)D.(1,−2)5. 如图，在⊙O中，M是弦CD的中点，EM⊥CD，若CD=8cm，EM=8cm，则⊙O的半径为( )D.4A.5B.3C.1036. 在同一直角坐标系中，一次函数y=ax−b和二次函数y=ax2−b的图象大致为( )A. B.C. D.二、填空题̂的中点，CE⊥AB于点E，如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是AD过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，交于下列结论：①∠BAD=∠ABC，②GP=GD，③点P是△ACQ的外心，④BC//GD.其中正确结论是________（只需填写序号）．三、解答题解方程(1)x2−2x−1=0；(2)已知点P(a−2,−1)与点Q(−3,1−b)关于原点对称，求a，b的值．已知关于x的一元二次方程x2−6x+(4m+1)=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若该方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2−x1x2=3，求m的值．已知一个二次函数图象的顶点是(2,−4)，且过(0,4) .(1)求这个二次函数的表达式；(2)当y的值随x值的增大而增大时，求x的取值范围？如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺(只能画线)按要求画图．(1)在图1中，画出△ABC的三条高的交点P；(2)在图2中，画出△ABC中AB边上的高CD．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90∘，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE= CF．(1)求证：Rt△ABE≅Rt△CBF；(2)若∠CAE=30∘，求∠ACF的度数.如图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠CDB=∠CAD，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E.(1)判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；(2)若CB=4，CD=8，①求圆的半径②求ED的长.某商品的每件利润为10元时，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元．(1)求y与x之间的函数解析式．(2)当每件商品的售价涨多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？已知一元二次方程x2−4x+k=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2−4x+k=0与x2+mx−1=0有一个相同的根，求此时m的值．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O 点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD−DC−CB，使C、D点在抛物线上，A，B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？在Rt△ABC中∠ACB=90∘，∠A=30∘，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．(1)如图1，DE与BC的数量关系是________；(2)如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B，C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60∘，得到线段DF，连接BF，请猜想DE，BF，BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若点P是线段CB延长线上一动点，按照(2)中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE，BF，BP三者之间的数量关系．在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2−2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．(1)请直接写出点A，C，D的坐标；(2)如图(1)，在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；(3)如图(2)，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2021-2022学年江西省赣州市某校初三（上）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】中心对称图形【解析】根据中心对称图形的定义来解答即可，即在平面内，把一个图形绕某个点旋转180∘，如果能与原来的图形重合，则这个图形叫中心对称图形.【解答】解：把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.A，不是中心对称图形，故A错误；B，是中心对称图形，故B正确；C，不是中心对称图形，故C错误；D，不是中心对称图形，故D错误.故选B．2.【答案】C【考点】一元二次方程的定义【解析】根据一元二次方程的定义分析即可解答.【解答】解：A，因为当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故A错误；B，因为1x2+1x−2=0不是整式方程，所以不是一元二次方程，故B错误；C，因为3x2+2x=x2+1符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故C正确；D，因为3x2+2y+1=0含有两个未知数，所以不是一元二次方程，故D错误.故选C.3.【答案】B【考点】二次函数的三种形式【解析】根据二次函数的解析式来解答即可.【解答】解：∵二次函数的解析式为y=3(x+2)2+4，由顶点式的意义得，它的的顶点是：(−2,4).故选B.4.【答案】B【考点】中心对称中的坐标变化【解析】根据中心对称的性质，连结两组对应点，它们的交点即为H点，然后写出H点坐标即可．【解答】解：∵△ABC≅△DEF关于点H成中心对称，∴点H在线段AD和CF上，连接AD和CF，它们相交于点H，则H点坐标为(2,−1).故选B．5.【答案】A【考点】勾股定理垂径定理【解析】根据垂径定理和勾股定理来解答即可.【解答】解：如图，连接OC，由题意可知，O在EM上，EM⊥CD，∴CM=MD，∵CD=8cm，EM=8cm，CD=4cm，∴OM=EM−OE=8−OE，CM=12∴在Rt△OCM中，OC2=CM2+OM2,∵OM=8−OE，OC=OE，∴OC2=42+(8−OC)2,解得OC=5.故选A.6.【答案】D【考点】二次函数图象与系数的关系一次函数图象与系数的关系【解析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的(0,−b)∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a>0时，二次函数开口向上，一次函数经过一，三象限，故C选项错误；当a<0时，二次函数开口向下，一次函数经过二，四象限，故A选项错误.故选D．二、填空题【答案】②③【考点】三角形的外接圆与外心圆心角、弧、弦的关系平行线的判定【解析】利用圆心角、弧、弦的关系来判断①；连接BD，利用切线性质来求得三角形相似，根据三角形相似的性质来判断②；延长CE与⊙O交于点F，利用垂径定理，三角形外接圆的外心来判断③；根据圆心角、弧、弦的关系和平行线的判定来求解④.【解答】解：如图，̂的中点，∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是AD̂=CD̂≠BD̂，∴∠BAD≠∠ABC，故①错误；∴AC连接OD，则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，∵∠ODA+∠GDP=90∘，∠EPA+∠EAP=∠EAP+∠GPD=90∘，∴∠GPD=∠GDP，故②正确；̂中点，即AF̂=AĈ，∵弦CF⊥AB于点E，∴A为CF̂中点，又∵C为AD̂=CD̂，∴AF̂=CD̂，∴AC∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACQ=90∘，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；̂≠BD̂，∠ADG=∠ABD，∵AĈ≠BĈ，∴AD∴∠ABD≠∠BAC，∴∠ADG≠∠BAC，又∵∠BAC=∠BCE=∠PQC，∴∠ADG≠∠PQC，∴CB与GD不平行，故④错误.故答案为：②③.三、解答题【答案】解：(1)x2−2x−1=0，x2−2x=1，x2−2x+1=1+1，(x−1)2=2，x−1=±√2，x1=1+√2，x2=1−√2.(2)∵ 点P(a−2，−1)与点Q(−3，1−b)关于原点对称，∴ a−2=3，1−b=1．解得a=5，b=0.【考点】解一元二次方程-配方法关于原点对称的点的坐标【解析】运用配方法解答，先把常数项移到右边，然后两边同时加上1，左边配成完全平方形式，然后用直接开平方法解答即可.根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【解答】解：(1)x2−2x−1=0，x2−2x=1，x2−2x+1=1+1，(x−1)2=2，x−1=±√2，x1=1+√2，x2=1−√2.(2)∵ 点P(a−2，−1)与点Q(−3，1−b)关于原点对称，∴ a−2=3，1−b=1．解得a=5，b=0.【答案】解：(1)由题意：Δ=b2−4ac≥0，62−4(4m+1)≥0，解得：m≤2.=6，(2)由x1+x2=−ba=4m+1，x1x2=cax1+x2−x1x2=6−(4m+1)=3，解得m=1．2【考点】根的判别式根与系数的关系【解析】【解答】解：(1)由题意：Δ=b2−4ac≥0，62−4(4m+1)≥0，解得：m≤2.=6，(2)由x1+x2=−bax1x2=c=4m+1，ax1+x2−x1x2=6−(4m+1)=3，．解得m=12【答案】解：(1)因为顶点为(2,−4)，所以设二次函数解析式为y=a(x−2)2−4，把点(0,4)代入解得a=2，所以二次函数解析式为y=2(x−2)2−4．(2)因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，所以当x>2时，y的值随x值的增大而增大．【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数y=ax^2 、y=a（x-h）^2+k (a≠0)的图象和性质【解析】无无【解答】解：(1)因为顶点为(2,−4)，所以设二次函数解析式为y=a(x−2)2−4，把点(0,4)代入解得a=2，所以二次函数解析式为y=2(x−2)2−4．(2)因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，所以当x>2时，y的值随x值的增大而增大．【答案】解：(1)如图所示：点P就是三条高的交点；(2)如图所示：CD就是AB上的高．【考点】作图—复杂作图圆周角定理【解析】（1）根据圆周角定理：直径所对的圆周角是90∘画图即可；（2）与（1）类似，利用圆周角定理画图．【解答】解：(1)如图所示：点P就是三条高的交点；(2)如图所示：CD就是AB上的高．【答案】(1)证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵{AE=CFAB=CB，∴Rt△ABE≅Rt△CBF(HL)．(2)解：∵AB=CB，∠ABC=90∘，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=∠ACB=45∘，又∵∠CAE=30∘，∴∠EAB=∠CAB−∠CAE=45∘−30∘=15∘，且由(1)得，Rt△ABE≅Rt△CBF,∴∠BCF=∠EAB=15∘，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45∘+15∘=60∘.【考点】等腰三角形的性质与判定直角三角形全等的判定全等三角形的性质【解析】在Rt△ABE和Rt△CBF中，由于AB=CB，AE=CF，利用HL可证Rt△ABE≅Rt△CBF．【解答】(1)证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵{AE=CFAB=CB，∴Rt△ABE≅Rt△CBF(HL)．(2)解：∵AB=CB，∠ABC=90∘，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB=∠ACB=45∘，又∵∠CAE=30∘，∴∠EAB=∠CAB−∠CAE=45∘−30∘=15∘，且由(1)得，Rt△ABE≅Rt△CBF,∴∠BCF=∠EAB=15∘，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45∘+15∘=60∘.【答案】解：(1)直线CD与圆相切，连接OD,∵ OA=OD=OB,∴ ∠DBA=∠BDO,∠CAD=∠ADO，∵ AB是圆的直径，∴ ∠ADB=90∘，∴ ∠DAB+∠DBA=90∘，∵ ∠CDB=∠CAD，∴ ∠CDB+∠BDO=90∘，∴ OD⊥CE，∵OD为⊙O半径，∴ CD与⊙O相切.(2)设半径为r，在Rt△COD中，r2+82=(r+4)2，解得r=6，∵AE与⊙O相切，∴∠CAE=90∘，AE=DE，由勾股定理AE2+AC2=CE2，代入数据解得AE=12，即ED=12.【考点】切线的判定切线的性质勾股定理【解析】(1)直线CD与圆相切，连接OD,求得∠DAB+∠DBA=90∘，∠CDB+∠BDO=90∘，即可求得结论；【解答】解：(1)直线CD与圆相切，连接OD,∵ OA=OD=OB,∴ ∠DBA=∠BDO,∠CAD=∠ADO，∵ AB是圆的直径，∴ ∠ADB=90∘，∴ ∠DAB+∠DBA=90∘，∵ ∠CDB=∠CAD，∴ ∠CDB+∠BDO=90∘，∴ OD⊥CE，∵OD为⊙O半径，∴ CD与⊙O相切.(2)设半径为r，在Rt△COD中，r2+82=(r+4)2，解得r=6，∵AE与⊙O相切，∴∠CAE=90∘，AE=DE，由勾股定理AE2+AC2=CE2，代入数据解得AE=12，即ED=12.【答案】解：(1)由题意得：y=(10+x)(180−10x)=−10x2+80x+1800.(2)y=−10(x−4)2+1960，所以当x=4时，y有最大值1960，答：当涨4元时，月利润最大为1960．【考点】二次函数的应用【解析】【解答】解：(1)由题意得：y=(10+x)(180−10x)=−10x2+80x+1800.(2)y=−10(x−4)2+1960，所以当x=4时，y有最大值1960，答：当涨4元时，月利润最大为1960．【答案】解：(1)由一元二次方程x2−4x+k=0有两个不相等的实数根，得Δ=b2−4ac=(−4)2−4k>0，解得k<4，所以k的取值范围是k<4.(2)由k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2−4x+k=0，得x2−4x+3=0，解得x1=1，x2=3，一元二次方程x2−4x+k=0与x2+mx−1=0有一个相同的根，当x=1时，把x=1代入x2+mx−1=0，得1+m−1=0，解得m=0，，当x=3时，把x=3代入x2+mx−1=0，得9+3m−1=0，解得m=−83综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2−4x+k=0与x2+mx−1=0有一个相同的根，m=0或−83．【考点】根的判别式一元二次方程的解【解析】(1)根据方程有两个不等实数根，可得判别式大于零，根据解不等式，可得答案；(2)根据解方程，可得x2−4x+k=0的解，根据解相同，把方程的解代入，可得关于m的一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．【解答】解：(1)由一元二次方程x2−4x+k=0有两个不相等的实数根，得Δ=b2−4ac=(−4)2−4k>0，解得k<4，所以k的取值范围是k<4.(2)由k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2−4x+k=0，得x2−4x+3=0，解得x1=1，x2=3，一元二次方程x2−4x+k=0与x2+mx−1=0有一个相同的根，当x=1时，把x=1代入x2+mx−1=0，得1+m−1=0，解得m=0，当x=3时，把x=3代入x2+mx−1=0，得9+3m−1=0，解得m=−83，综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2−4x+k=0与x2+mx−1=0有一个相同的根，m=0或−83．【答案】解：(1)由图象和题意可得：M(12, 0)，P(6, 6)．(2)设抛物线解析式为：y=a(x−6)2+6∵抛物线y=a(x−6)2+6经过点(0, 0)，∴0=a(0−6)2+6，即a=−16.∴抛物线解析式为：y=−16(x−6)2+6，即y=−16x2+2x．(3)设A(m, 0)，则B(12−m, 0)，C(12−m, −16m2+2m)D(m, −16m2+2m)．∴ “支撑架”总长AD+DC+CB=(−16m2+2m)+(12−2m)+(−16m2+2m)=−13m2+2m+12=−13(m−3)2+15．∵此二次函数的图象开口向下．∴当m=3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．【考点】二次函数的应用待定系数法求二次函数解析式二次函数的最值【解析】（1）根据所建坐标系易求M、P的坐标；（2）可设解析式为顶点式，把O点（或M点）坐标代入求待定系数求出解析式；（3）总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设A点坐标为(m, 0)，用含m的式子表示三段的长，再求其和的表达式，运用函数性质求解．【解答】解：(1)由图象和题意可得：M(12, 0)，P(6, 6)．(2)设抛物线解析式为：y=a(x−6)2+6∵抛物线y=a(x−6)2+6经过点(0, 0)，∴0=a(0−6)2+6，即a=−16.∴抛物线解析式为：y=−16(x−6)2+6，即y=−16x2+2x．(3)设A(m, 0)，则B(12−m, 0)，C(12−m, −16m2+2m)D(m, −16m2+2m)．∴ “支撑架”总长AD+DC+CB=(−16m2+2m)+(12−2m)+(−16m2+2m)=−13m2+2m+12=−13(m−3)2+15．∵此二次函数的图象开口向下．∴当m=3米时，AD+DC+CB有最大值为15米．【答案】DE=√32BC(2)DE=√32(BP+BF).在Rt△ABC中∵∠A=30∘，D为AB中点，∴CD=CB=DB，即∠CDB=60∘，又∵∠PCF=60∘，∴∠CDP=∠DPF，在△CDP与△BDF中{CD=BD，∠CDP=∠BDF，DP=DF，∴△CDP≅△BDF，∴CP=BF，BP+BF=CP+PB=CB，由(1)得DE=√32BC，即DE=√32(BP+BF).(3)补全图象如图所示，DE=√32(BF−BP)，同理可证△CDP≅△BDF，∴CP=BF，BF−BP=CP−PB=CB，∴DE=√32(BF−BP).【考点】直角三角形斜边上的中线勾股定理旋转的性质全等三角形的判定全等三角形的性质与判定作图—基本作图【解析】(1)因为D是1B的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CD=BD，因为∠A=30∘，故∠B=60∘，故△BCD是等边三角形，故BC=BD；因为DE⊥BC，故在Rt△BDE中，D E=BDsin60∘=BD×√32=√32BD=32BC.(2)根据旋转角等于60∘，可得∠CDP=∠BDF，根据已知条件，可证△CDP≅△BDF(SAS)，根据全等三角形的性质，可得CP=BF，根据CP+BP=BC和（1）中结论，可得三者关系．(3)与(2)思路一样，可得结果.【解答】解：(1)∵因为D是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CD=BD，∵∠A=30∘，故∠B=60∘，∴△BCD是等边三角形，∴BC=BD，∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠A=30∘，∴在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE=√3BE，∴DE=√32BC.故答案为：DE=√32BC.(2)DE=√32(BP+BF).在Rt△ABC中∵∠A=30∘，D为AB中点，∴CD=CB=DB，即∠CDB=60∘，又∵∠PCF=60∘，∴∠CDP=∠DPF，在△CDP与△BDF中{CD=BD，∠CDP=∠BDF，DP=DF，∴△CDP≅△BDF，∴CP=BF，BP+BF=CP+PB=CB，由(1)得DE=√32BC，即DE=√32(BP+BF).(3)补全图象如图所示，DE=√32(BF−BP)，同理可证△CDP≅△BDF，∴CP=BF，BF−BP=CP−PB=CB，∴DE=√32(BF−BP).【答案】解：(1)当y=−x2−2x+3中y=0时，有−x2−2x+3=0，解得：x1=−3，x2=1，∵A在B的左侧，∴ A(−3, 0)，B(1, 0)．当y =−x 2−2x +3中x =0时，则y =3，∴ C(0, 3)．∵ y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴ 顶点D(−1, 4)．(2)作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，如图1所示．∵ C(0, 3)，∴ C′(0, −3)．设直线C′D 的解析式为y =kx +b ，则有{b =−3，−k +b =4，解得：{k =−7，b =−3，∴ 直线C′D 的解析式为y =−7x −3，当y =−7x −3中y =0时，x =−37，∴ 当△CDE 的周长最小，点E 的坐标为(−37, 0)． (3)设直线AC 的解析式为y =ax +c ，则有{c =3，−3a +c =0，解得：{a =1，c =3，∴ 直线AC 的解析式为y =x +3．假设存在，设点F(m, m +3)，△AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：①当∠PAF=90∘时，P(m, −m−3)，∵点P在抛物线y=−x2−2x+3上，∴−m−3=−m2−2m+3，解得：m1=−3（舍去），m2=2，此时点P的坐标为(2, −5)；②当∠AFP=90∘时，P(2m+3, 0)，∵点P在抛物线y=−x2−2x+3上，∴0=−(2m+3)2−2×(2m+3)+3，解得：m3=−3（舍去），m4=−1，此时点P的坐标为(1, 0)；③当∠APF=90∘时，P(m, 0)，∵点P在抛物线y=−x2−2x+3上，∴0=−m2−2m+3，解得：m5=−3（舍去），m6=1，此时点P的坐标为(1, 0)．综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为(2, −5)或(1, 0)．【考点】待定系数法求一次函数解析式二次函数综合题二次函数图象上点的坐标特征【解析】（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标；（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，由点C的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出点E的坐标；（3）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，假设存在，设点F(m, m+3)，分∠PAF=90∘、∠AFP=90∘和∠APF=90∘三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A 、F 点的坐标找出点P 的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m 的一元二次方程，解方程求出m 值，再代入点P 坐标中即可得出结论．【解答】解：(1)当y =−x 2−2x +3中y =0时，有−x 2−2x +3=0，解得：x 1=−3，x 2=1，∵ A 在B 的左侧，∴ A(−3, 0)，B(1, 0)．当y =−x 2−2x +3中x =0时，则y =3，∴ C(0, 3)．∵ y =−x 2−2x +3=−(x +1)2+4，∴ 顶点D(−1, 4)．(2)作点C 关于x 轴对称的点C′，连接C′D 交x 轴于点E ，此时△CDE 的周长最小，如图1所示．∵ C(0, 3)，∴ C′(0, −3)．设直线C′D 的解析式为y =kx +b ，则有{b =−3，−k +b =4，解得：{k =−7，b =−3，∴ 直线C′D 的解析式为y =−7x −3，当y =−7x −3中y =0时，x =−37， ∴ 当△CDE 的周长最小，点E 的坐标为(−37, 0)．(3)设直线AC 的解析式为y =ax +c ，则有{c =3，−3a +c =0，解得：{a =1，c =3，∴ 直线AC 的解析式为y =x +3．假设存在，设点F(m, m +3)，△AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：①当∠PAF=90∘时，P(m, −m−3)，∵点P在抛物线y=−x2−2x+3上，∴−m−3=−m2−2m+3，解得：m1=−3（舍去），m2=2，此时点P的坐标为(2, −5)；②当∠AFP=90∘时，P(2m+3, 0)，∵点P在抛物线y=−x2−2x+3上，∴0=−(2m+3)2−2×(2m+3)+3，解得：m3=−3（舍去），m4=−1，此时点P的坐标为(1, 0)；③当∠APF=90∘时，P(m, 0)，∵点P在抛物线y=−x2−2x+3上，∴0=−m2−2m+3，解得：m5=−3（舍去），m6=1，此时点P的坐标为(1, 0)．综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为(2, −5)或(1, 0)．。

江西省赣州市蓉江新区2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.下列是几个汽车的标志，其中是中心对称图形的是()A. B.C. D.2.方程2x2−6x−9=0的一次项系数为()A. 2B. 6C. 9D. −63.抛物线y=(x+1)2的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2+bx+c，则b、c的值为()A. b=6，c=7B. b=−6，c=−11C. b=6，c=11D. b=−6，c=114.已知x=0是一元二次方程(m−2)x2+m2=4的根，则m的值为()A. 2B. −2C. ±2D. ±45.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C，连接AA1，若∠AA1B1=15°，则∠B的度数是()A. 75°B. 60°C. 50°D.45°6.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和B，与y轴的正半轴交于点C.下列结论：①abc>0，②4a−2b+c>0，③2a−b>0，④3a+c>0，其中正确结论的个数为()A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.若y=(n2+n)x n2−n是二次函数，则n=______ ．8.如果α、β是一元二次方程x2+3x−1=0的两个根，那么α2+2α−β的值是_____．9.如图，把Rt△AOB绕点O逆时针旋转到△COD的位置，若旋转角是42°，则∠BOC的度数为____________．10.已知二次函数y=−12x2−7x+152，若自变量x分别取x1、x2，x3，且0<x1<x2<x3，则对应的函数值y1、y2、y3的大小关系是．11.点P是抛物线y=−x2−2x−5上一点，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别是M，N，则PM+PN的最小值是___．12.已知：如图，AB，CD为直线，DF交AB于E，EG交CD于O.若∠BEF=124°，∠D=56°，∠DEO=60°，则∠COE的度数为______ ．三、解答题（本大题共11小题，共84.0分）13.解方程：(1)x2+4x+2=0(2)x(x−3)=−x+3．14.关于x的一元二次方程x2+2(m−1)x+m2=0的两个实数根是x1和x2(1)求m的取值范围；(2)若|x1+x2|=x1x2−1，求m的值．15.如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)两点．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)若P为x轴上方抛物线上一点，且三角形PAB面积为20，求P点坐标．16.已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．(1)如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；(2)如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．17.已知函数图象如图所示，抛物线与x轴交于点(−5,0)，(−1,0)。

2016-2017学年江西省赣州市赣县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项．1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位3．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+c=0中c＜0，该方程的根的情况是（）A．方程没有实数根 B．总有两个不相等的实数根C．有两相等实数根 D．方程的根的情况与c有关4．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB=25°，则∠OCD的度数是（）A．45°B．60°C．65°D．70°5．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，如图线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆，△ABC的最小覆盖圆是其外接圆，那么长为8cm、宽为6cm的矩形的最小覆盖圆半径是（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm6．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．一元二次方程4（x﹣1）2﹣9=0的解是．8．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于度．9．如图，⊙O的直径CD⊥弦EF，垂足为点G，∠EOD=58°，则∠DCF=．10．在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）11．如图，△ABC的顶点都在⊙O上，已知直径AD=6，∠ABC=∠DAC，则AC的长为．12．等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．按要求做题：（1）解方程：3x2+x=3x+1（2）计算：﹣22+8÷（﹣2）3﹣2×（）14．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．15．校运会期间，小捷同学积极参与各项活动．在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑（图示是其主视图），经测量，其中坑宽AB为8cm，小坑的最大深度为2cm，请帮助小捷同学计算铅球的半径OA的长为多少？16．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB'C'D'，求图中阴影部分面积．17．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．（1）如图1，AC=BC；（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）18．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30°．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．19．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为多少米？20．如图△ABC是⊙O内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C与A、B不重合）设∠OAB=α，∠C=β．（1）当α=35°时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．21．如图，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴切于点C，且OA，OB的长是方程x2﹣4x+3=0的解．（1）求M点的坐标．（2）若P是⊙M上一个动点（不包括A、B两点），求∠APB的度数．五、（本题10分）22．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在AB边上时．①线段DE与AC的位置关系是．（不需证明）②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是，证明你的结论；（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．六、（本题12分）23．如图，点A、点E的坐标分别为（0，3）与（1，2），以点A为顶点的抛物线记为C1：y1=﹣x2+n；以E为顶点的抛物线记为C2：y2=ax2+bx+c，且抛物线C2与y轴交于点P（0，）．（1）分别求出抛物线C1和C2的解析式，并判断抛物线C1会经过点E吗？（2）若抛物线C1和C2中的y都随x的增大而减小，请直接写出此时x的取值范围；（3）在（2）的x的取值范围内，设新的函数y3=y1﹣y2，求出函数y3与x的函数关系式；问当x为何值时，函数y3有最大值，求出这个最大值．2016-2017学年江西省赣州市赣县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项．1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】利用轴对称图形与中心对称图形的定义判断即可．【解答】解：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是，故选B2．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2﹣3．故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选：B．3．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+c=0中c＜0，该方程的根的情况是（）A．方程没有实数根 B．总有两个不相等的实数根C．有两相等实数根 D．方程的根的情况与c有关【考点】根的判别式．【分析】先求出△，判断△的正负，即可得出选项．【解答】解：x2﹣3x+c=0，△=（﹣3）2﹣4×1×c=9﹣4c，∵c＜0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选B．4．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB=25°，则∠OCD的度数是（）A．45°B．60°C．65°D．70°【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】根据圆周角定理求出∠DOB，根据等腰三角形性质求出∠OCD=∠ODC，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：连接OD，∵∠DAB=20°，∴∠BOD=2∠DAB=40°，∴∠COD=90°﹣40°=50°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC==65°，故选C．5．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，如图线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆，△ABC的最小覆盖圆是其外接圆，那么长为8cm、宽为6cm的矩形的最小覆盖圆半径是（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm【考点】三角形的外接圆与外心；矩形的性质．【分析】根据矩形的性质和圆周角定理得到BD是矩形的最小覆盖圆的直径，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴BD是矩形的最小覆盖圆的直径，∵AB=6，AD=8，∴BD==10，∴矩形的最小覆盖圆半径是5cm，故选：D．6．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线的对称轴为x=2，知道A的坐标为（0，3），由函数的对称性知B点坐标．【解答】解：由题意可知抛物线的y=x2+bx+c的对称轴为x=2，∵点A的坐标为（0，3），且AB与x轴平行，可知A、B两点为对称点，∴B点坐标为（4，3）故选D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．一元二次方程4（x﹣1）2﹣9=0的解是．【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】先把方程变形得到（x﹣1）2=，然后两边开方得到x﹣1=±，再解两个一次方程即可．【解答】解：∵（x﹣1）2=，∴x﹣1=±，∴x1=﹣，x2=．故答案为x1=﹣，x2=．8．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于35度．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的意义，找到旋转角∠BOD；再根据角相互间的和差关系即可求出∠AOD的度数．【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，∴∠BOD=80°，∵∠AOB=45°，则∠AOD=80°﹣45°=35°．故填35．9．如图，⊙O的直径CD⊥弦EF，垂足为点G，∠EOD=58°，则∠DCF=29°．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】先根据垂径定理得出=，可得出∠DCF=∠EOD，进而可得出结论．【解答】解：∵⊙O的直径CD⊥弦EF，∴=，∴∠DCF=∠EOD=×58°=29°．故答案为：29°．10．在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 ＞y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：由y=x2可知，∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，∴2＜﹣x1＜4，∴y1＞y2．11．如图，△ABC的顶点都在⊙O上，已知直径AD=6，∠ABC=∠DAC，则AC的长为．【考点】圆周角定理；等腰直角三角形．【分析】连接CD，则△ACD是等腰直角三角形，据此即可求得AC的长．【解答】解：连接CD，则∠D=∠ABC，∵∠ABC=∠DAC，∴∠D=∠DAC，∵AD是圆的直径，∴∠ACD=90°，∴△ACD是等腰直角三角形．∴AC=AB=6×=3．故答案是：3．12．等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为9或10．【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】讨论：当a=2或b=2时，把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0可求出对应的n的值；当a=b时，根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4×（n﹣1）=0，解得n=10．【解答】解：当a=2或b=2时，把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得4﹣12+n﹣1=0，解得n=9；当a=b时，△=（﹣6）2﹣4×（n﹣1）=0，解得n=10，所以n的值为9或10．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．按要求做题：（1）解方程：3x2+x=3x+1（2）计算：﹣22+8÷（﹣2）3﹣2×（）【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；有理数的混合运算．【分析】（1）先变形为x（3x+1）﹣（3x+1）=0，然后利用因式分解法解方程；（2）先进行乘方运算，再计算括号内的减法运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算．【解答】解：（1）x（3x+1）﹣（3x+1）=0，（3x+1）（x﹣1）=0，所以x1=﹣，x2=1；（2）原式=﹣4+8÷（﹣8）﹣2×（﹣）=﹣4﹣1+=﹣．14．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．【考点】根的判别式；解一元二次方程﹣公式法．【分析】（1）因为方程有两个不相等的实数根，△＞0，由此可求k的取值范围；（2）在k的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴（﹣3）2﹣4（﹣k）＞0，即4k＞﹣9，解得；（2）若k是负整数，k只能为﹣1或﹣2；如果k=﹣1，原方程为x2﹣3x+1=0，解得，，．（如果k=﹣2，原方程为x2﹣3x+2=0，解得，x1=1，x2=2）15．校运会期间，小捷同学积极参与各项活动．在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑（图示是其主视图），经测量，其中坑宽AB为8cm，小坑的最大深度为2cm，请帮助小捷同学计算铅球的半径OA的长为多少？【考点】垂径定理的应用．【分析】先根据垂径定理求出AD的长，设OA=rcm，则OD=（r﹣2）cm，再根据勾股定理求出r的值即可．【解答】解：作OD⊥AB于D，如图所示：∵AB=8cm，OD⊥AB，小坑的最大深度为2cm，∴AD=AB=4cm．设OA=rcm，则OD=（r﹣2）cm在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5cm；即铅球的半径OA的长为5cm．16．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB'C'D'，求图中阴影部分面积．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，∵，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE=∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′=60°，∴∠DAE=×60°=30°，∴DE=1×=，∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（×1×）=1﹣．17．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．（1）如图1，AC=BC；（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心；切线的性质．【分析】（1）过点C作直径CD，由于AC=BC，=，根据垂径定理的推理得CD垂直平分AB，所以CD将△ABC分成面积相等的两部分；（2）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD，由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．【解答】解：（1）如图1，直径CD为所求；（2）如图2，弦AD为所求．四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）18．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30°．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OC，根据三角形内角和定理可得∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°，再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG，进而得到CG是⊙O的切线；（2）设EO=x，则CO=2x，再利用勾股定理计算出EO的长，进而得到CO的长，然后再计算出FG的长即可．【解答】（1）证明：连接OC．∵OC=OD，∠D=30°，∴∠OCD=∠D=30°．∵∠G=30°，∴∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°．∴∠GCO=∠DCG﹣∠OCD=90°．∴OC⊥CG．又∵OC是⊙O的半径．∴CG是⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=3．∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°，∴EO=CO，CO2=EO2+CE2．设EO=x，则CO=2x．∴（2x）2=x2+32．解得x=（舍负值）．∴CO=2．∴FO=2．在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，∴GO=2CO=4．∴GF=GO﹣FO=2．19．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为多少米？【考点】二次函数的应用．【分析】根据题意建立直角坐标系，点（0，2.5）、（2，2.5）、（0.5，1）都在抛物线上，设抛物线解析式，列方程组，求解析式，根据解析式很容易就可求出抛物线的顶点坐标，纵坐标的绝对值即为绳子的最低点距地面的距离．【解答】解：以A为原点，AC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设抛物线的函数关系式为：y=ax2+bx+c．将（0，2.5）、（2，2.5）、（0.5，1）代入y=ax2+bx+c得：，解得：．∴抛物线的表达式为：y=2x2﹣4x+2.5；∵y=2x2﹣4x+2.5=2（x﹣1）2+0.5∴抛物线的顶点坐标为（1，0.5），∴绳子的最低点距地面的距离为0.5m．20．如图△ABC是⊙O内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C与A、B不重合）设∠OAB=α，∠C=β．（1）当α=35°时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OBA=35°，根据三角形内角和定理求出∠AOB，根据圆周角定理计算即可；（2）根据三角形内角和定理和圆周角定理计算．【解答】解：（1）连接OB，∵∠OAB=α=35°，∴∠OBA=35°，∴∠AOB=110°，∴β=∠AOB=55°；（2）α+β=90°．∠AOB=180°﹣2α，β=∠AOB=90°﹣α，∴α+β=90°．21．如图，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴切于点C，且OA，OB的长是方程x2﹣4x+3=0的解．（1）求M点的坐标．（2）若P是⊙M上一个动点（不包括A、B两点），求∠APB的度数．【考点】切线的性质；坐标与图形性质；圆周角定理．【分析】（1）过点M作ME⊥x轴于点E，连接MC，解出方程后可知OA=1，OB=3，然后即可求出OE 的长度，由于C是切点，所以MC是半径，又因为MC=OE，从而可知⊙M的半径，利用垂径定理即可求出M的坐标．（2）由于点P的位置不确定，需要分两种情况进行讨论，可根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质求解．【解答】解：（1）过点M作ME⊥x轴于点E，连接MC，∵OA，OB的长是方程x2﹣4x+3=0的解，∴解得x=1或x=3，∴OA=1，OB=3，∴A（1，0），B（3，0）由垂径定理可知：AE=BE，∴E（2，0），∴OE=2，AE=1，∵⊙M与y轴切于点C，∴MC是⊙M的半径，∴MC=OE=2，∴由勾股定理可知：ME=，∴M的坐标为（2，）；（2）连接MB、AM当点P在x轴上方时，由（1）可知：AM=2，AE=1，∴∠AME=30°，∴由垂径定理可知：∠AMB=60°，∴由圆周角定理可知：∠APB=∠AMB=30°，当点P在x轴下方时，∴由圆内接四边形的性质可知：此时∠APB=180°﹣30°=150°五、（本题10分）22．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在AB边上时．①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC．（不需证明）②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2，证明你的结论；（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．【考点】三角形综合题；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行进行解答；②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明．【解答】解：（1）①DE∥AC，理由如下：如图2，∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质可得，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2，故答案为：①DE∥AC；②S1=S2；（2）如图3，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2．六、（本题12分）23．如图，点A、点E的坐标分别为（0，3）与（1，2），以点A为顶点的抛物线记为C1：y1=﹣x2+n；以E为顶点的抛物线记为C2：y2=ax2+bx+c，且抛物线C2与y轴交于点P（0，）．（1）分别求出抛物线C1和C2的解析式，并判断抛物线C1会经过点E吗？（2）若抛物线C1和C2中的y都随x的增大而减小，请直接写出此时x的取值范围；（3）在（2）的x的取值范围内，设新的函数y3=y1﹣y2，求出函数y3与x的函数关系式；问当x为何值时，函数y3有最大值，求出这个最大值．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值．【分析】（1）待定系数法分别求解可得，再求出x=1时，y1的值即可判断抛物线C1是否经过点E；（2）分别求出两函数y随x的增大而减小时x的范围可得答案；（3）将y1、y2代入y3=y1﹣y2整理成一般式，再配方成顶点式可得答案．【解答】解：（1）根据题意将点A（0，3）代入y1=﹣x2+n，得：n=3，∴y1=﹣x2+3；∵抛物线C2的顶点坐标为（1，2），∴设抛物线C2的解析式为y=a（x﹣1）2+2，将点P（0，）代入，得：a+2=，解得：a=，∴抛物线C2的解析式为y2=（x﹣1）2+2=x2﹣x+，当x=1时，y1=﹣12+3=2，∴抛物线C1经过点E；（2）在y1=﹣x2+3，当x＞0时，y随x的增大而减小，在y2=（x﹣1）2+2中，当x＜1时，y随x的增大而减小，∴当0＜x＜1时，抛物线C1和C2中的y都随x的增大而减小；（3）y3=y1﹣y2=﹣x2+3﹣（x2﹣x+）=﹣x2+x+=﹣（x﹣）2+，∵0＜x＜1，∴当x=时，函数y3有最大值，最大值为．2017年3月2日。

2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每題3分，共18分）1.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；D）不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选C）【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.把抛物线212y x =-先向左平移1个单位,再向下平移2个单位长度后,所得的函数表达式为( ) A. 21(1)22y x =-++ B. 21(1)22y x =-+- C. 21(1)22y x =--+ D. 21(1)22y x =--- 【答案】B【解析】由“左加右减）上加下减”的原则可知,将抛物线y =212x -先向左平移1个单位）再向下平移2个单位长度）所得函数解析式为：y =()21122x -+-. 故选B.3.用配方法解一元二次方程x 2）6x+8=0时，则方程变形正确的是（ ）A. ）x）3）2=17B. ）x+3）2=17C. ）x）3）2=1D. ）x+3）2=1 【答案】C【解析】【分析】首先把常数项移到等号右边，然后方程两边加上一次项系数的一半，配方即可．【详解】解：移项，得x2-6x=-8，配方，x2-6x+9=1，则（x-3）2=1．故选C．.【点睛】本题考查了配方法解方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．4.中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年年收入200美元，预计2017年年收入将达到1000美元，设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（）A. 200（1+2x）＝1000B. 200+2x＝1000C200（1+x2）＝1000 D. 200（1+x）2＝1000【答案】D【解析】【分析】根据增长率的概念列方程即可.【详解】解：由题意可得，200（1+x）2＝1000，故选D．【点睛】本题主要考查二次函数在增长率中的应用,关键在于增长的年数.5.已知二次函数y=ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（）A. （﹣3，0）B. （3，0）C. （1，0）D. （﹣2，0）【答案】A【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据轴对称性求出与x 轴的另一个交点坐标．【详解】解：二次函数y=ax 2+4ax+c 的对称轴为：x=-42a a=-2） ∵二次函数y=ax 2+4ax+c 的图象与x 轴的一个交点为（-1）0））∴它与x 轴的另一个交点坐标是（-3）0））故选A）【点睛】本题主要考查抛物线与x 轴的交点，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称性．6.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴为x =1，经过点（-1，0），有下列结论：①abc ＜0；②a +c ＞b ；③3a +c =0；④a +b ＞m （am +b ）（其中m ≠1）其中正确的结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】先根据图象的开口确定a, c 的符号，利用对称轴知b 的符号（a<0）c>0）b>0 ），根据图象看出x=1）x=-1）x=m 时y 的值，从而得出答案．【详解】∵抛物线开口向下，∴a）0） ∵抛物线的对称轴为直线1,2b x a=-= ∴b=）2a）0）∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c）0）∴abc）0，所以①正确；∵x=）1时，y=0）∴a）b+c=0）即a+c=b，所以②错误；把b=）2a代入a）b+c=0中得3a+c=0，所以③正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1且m≠1，∴x=1时，函数的最大值为a+b+c）∴a+b+c）am2+mb+c）即a+b）m）am+b），所以④正确．故选C）【点睛】考查二次函数与系数的关系.二次项系数a决定抛物线的开口方向，,a b共同决定了对称轴的位置，常数项c决定了抛物线与y轴的交点位置.二、填空题（每题3分，共18分）7.二次函数y=﹣x2﹣2x+3的顶点坐标为_____．【答案】（﹣1，4）【解析】【详解】解：二次函数y=-x2-2x+3=-（x2+2x+1）+4=-(x+1)2+4∴二次函数y=-x2-2x+3图像的顶点坐标为（-1，4)故答案为：（-1，4）．8.在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点O（0，0）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为_____．【答案】（2，3）．【解析】【分析】根据旋转中心为点O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，作出点P的对称图形P′，可得所求点的坐标．【详解】如图所示，由图中可以看出点P′的坐标为（2，3）．故答案为：（2，3）．【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-旋转，熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键．9.若A（﹣4，y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y3）为二次函数y＝（x+2）2+1的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系用“＞”连接起来是_____．【答案】y3＞y1＞y2．【解析】【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=-2，图象开口向上，根据二次函数图象的对称性可得C（1，y3）与（﹣5，y3）关于对称轴对称，利用在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，即可求解．【详解】∵二次函数y＝（x+2）2+1，∴开口向上，对称轴为x＝﹣2，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，根据二次函数图象的对称性可知，C（1，y3）与（﹣5，y3）关于对称轴对称，因为﹣5＜﹣4＜﹣3，故y2＜y1，于是y3＞y1＞y2．故答案为：y3＞y1＞y2．【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．10.如图，一块矩形铁皮长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为______cm．【答案】11．【解析】试题分析：设这块铁片的宽为xcm，则铁片的长为2xcm，由题意，得3（2x﹣6）（x﹣6）=240，解得x1=11，x2=﹣2（不合题意，舍去），答：这块铁片的宽为11cm．故答案为11．考点：一元二次方程的应用．11.如图，△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转40°后得到的图形，点C恰好在边AB上．若∠AOD=100°，则∠D的度数是_______°）【答案】50．【解析】【详解】解：根据旋转性质得△COD≌△AOB，∴CO=AO，由旋转角为40°，可得∠AOC=∠BOD=40°，∴∠OAC=（180°-∠AOC）÷2=70°，∠BOC=∠AOD-∠AOC-∠BOD=20°，∠AOB=∠AOC+∠BOC=60°，在△AOB中，由内角和定理得∠B=180°-∠OAC-∠AOB=180°-70°-60°=50°故答案是：50．12.如图，边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，有直角∠MPN ，使直角顶点P 与点O 重合，直角边PM 、PN 分别与OA 、OB 重合，然后逆时针旋转∠MPN ，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM 、PN 分别交AB 、BC 于E 、F 两点，连接EF 交OB 于点G ，则下列结论中正确的是________．（1）OE ；（2）S 四边形OEBF ：S 正方形ABCD =1：4；（3）BE+BF=OA ；（4）在旋转过程中，当∠BEF 与∠COF 的面积之和最大时，AE=34．【答案】（1）（2）（3）【解析】试题解析：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴OB=OC）∠OBE=∠OCF=45°）∠BOC=90°）∴∠BOF+∠COF=90°）∵∠EOF=90°）∴∠BOF+∠COE=90°）∴∠BOE=∠COF）在△BOE 和△COF 中，BOE COF OB OCOBE OCF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝） ∴△BOE ≌△COF）ASA））∴OE=OF）BE=CF）∴EF=OE ；故正确；）2）∵S 四边形OEBF =S △BOE +S △BOE =S △BOE +S △COF =S △BOC =14S 正方形ABCD ） ∴S 四边形OEBF ）S 正方形ABCD =1）4；故正确；）3）∴OA ；故正确；）4）过点O作OH⊥BC）∵BC=1）∴OH=12BC=12）设AE=x，则BE=CF=1-x）BF=x）∴S△BEF+S△COF=12BE•BF+12CF•OH=12x）1-x）+12）1-x）×12=-12）x-14）2+932）∵a=-12）0）∴当x=14时，S△BEF+S△COF最大；即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=14；故错误；故答案为（1））2））3））三．解答题（共84分）13.解下列方程（1）x2﹣6x＝0（2）2x2﹣5x+2＝0【答案】（1）x1＝0，x2＝6；（2）x1＝12，x2＝2．【解析】【分析】（1）利用因式分解法把方程化为x=0或x-6=0，然后解两个一次方程即可；（2）利用因式分解法把方程化为2x-1=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．【详解】（1）x（x﹣6）＝0，x＝0或x﹣6＝0，∴x1＝0，x2＝6；（2）（2x﹣1）（x﹣2）＝0，2x﹣1＝0或x﹣2＝0，∴x 1＝12，x 2＝2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．14.在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +3的图象经过点A （3，0）和点B （4，3）． （1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象顶点坐标和对称轴．（3）直接画出函数的图象（不列表）．【答案】（1）y ＝x 2﹣4x +3；（2）抛物线顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为x ＝2；（3）见解析．【解析】【分析】（1）把A 点和B 点坐标代入y=ax 2+bx+3得关于a 、b 的方程组，然后解方程组即可；（2）先把一般式配成顶点式，即可求解；（3）利用描点法画函数图象．【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3经过点A （3，0）和点B （4，3）．∴933016433a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩， ∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y ＝x 2﹣4x +3；（2）∵y ═x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为x ＝2．（3）如图，【点睛】本题考查了确定二次函数的表达式、二次函数的顶点、对称轴及作函数的图象，能对函数表达式的正确的进行配方是关键．15.如图，已知在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝90°，将△ABC绕点B顺时针旋转150°，得到△DBE．请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，在图中标出字母，并在图下方表示出所画图形）．（1）在图①中，画一个等边三角形；（2）在图②中，画一个等腰直角三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）如图①中，延长EB交AC的延长线于F，可得∠A=∠ABF=60°，故△ABF为等边三角形．（2）如图②中，连接AD交EB于H，由题意可知AB=BD，）ABC=30°，故∠ADB=∠BAD=15°，可求得∠EDH=45°，即可得△EDH为等腰直角三角形．【详解】（1）如图①中，延长EB交AC的延长线于F．△ABF即为所求．（2）如图②中，连接AD交EB于H，△EDH即为所求．【点睛】本题考查作图-旋转变换，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.如图1，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AB，以BD为对称轴将△ABD翻折，点A的对应点为A′，连接A′C，得到图2．推理证明（1）求证：四边形A′BDC是矩形；实践操作（2）图1中将△ABD或△BDC进行平移、旋转或轴对称变换，重新构造一个特殊四边形．要求：①画出图形，标明字母；②写出构图过程及构造的特殊四边形的名称．（不要求证明）【答案】（1）证明见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与DC，AD与BC的关系，根据轴对称的性质，可得BD⊥AB，A′B=AB，根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平移的性质，平行四边形的判定，可得答案．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD＝BC．又∵△ABD与△A′BD关于BD对称，BD⊥AB，∴A′B＝AB＝DC，A′B∥DC，∴四边形A′BDC是平行四边形，∵A ′D ＝AD ，∴A ′D ＝BC ，∴四边形A ′BDC 是矩形；（2）答案不唯一，如：如图，将△BCD 沿DA 方向平移，得到△D ′B ′C ′，由平移可得，DD ′∥BB ′且DD ′＝BB ′，∴四边形DD ′B ′B 是平行四边形．【点睛】本题考查了几何变换类型，解题的关键是利用轴对称的性质的出BD ⊥AB ，A′B=AB ，利用平移的性质得出DD′∥BB′且DD′=BB′．17.关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】）1）12k ≤））2）3k = 【解析】试题分析：）1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围；）2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3. 18.在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的位置如图所示．（1）分别写出△ABC各个顶点的坐标；（2）分别写出顶点A关于x轴对称的点A′的坐标、顶点B关于y轴对称的点B′的坐标及顶点C关于原点对称的点C′的坐标；（3）求线段BC的长．【答案】（1）A（-4，3），C（-2，5），B（3，0）；（2）点A′的坐标为：（-4，-3），B′的坐标为：（-3，0），点C′的坐标为：（2，-5）；（3）．.【解析】【分析】（1）直接利用坐标系得出各点坐标即可；（2）利用关于坐标轴对称点的性质分别得出答案；（3）直接利用勾股定理得出答案．【详解】（1）A（-4，3），C（-2，5），B（3，0）；（2）如图所示：点A′的坐标为：（-4，-3），B′的坐标为：（-3，0），点C′的坐标为：（2，-5）；（3）线段BC．【点睛】此题主要考查关于坐标轴对称点的性质,勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键．19.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；(2)当x为何值时，y＞0？当x为何值时，y＜0?(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．【答案】(1)x1＝1，x2＝3；(2)当1＜x＜3时，y＞0；当x＜1或x＞3时，y＜0；(3)当x＞2时，y随x的增大而减小．【解析】【分析】（1）根据图象与x轴交点的坐标即可得到方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）根据图象与x轴交点的坐标即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集；（3）由于抛物线是轴对称的图形，根据图象与x轴交点的坐标即可得到对称轴方程，由此再确定y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．【详解】解：（1）图中可以看出抛物线与x轴交于（1，0）和（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根为x=1或x=3；（2）不等式ax2+bx+c＞0时，通过图中可以看出：当1＜x＜3时，y的值＞0，当x＜1或x＞3时，y＜0．（3）图中可以看出对称轴为x=2，∴当x＞2时，y随x的增大而减小；20.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点出发沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BC向C点以2cm/s的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，在两个点运动过程中，请回答：（1）经过多少时间，△PBQ的面积是5cm2？（2）请你利用配方法，求出经过多少时间，四边形APQC 面积最小？并求出这个最小值．【答案】（1）经过1秒，能使△PBQ 的面积等于5cm 2；（2）经过3秒时，四边形APQC 面积最小，最小值为15 cm 2．【解析】【分析】（1）设运动时间为t 秒，根据题意表示出BP 、BQ 的长，再根据三角形的面积公式列方程即可；（2）根据四边形APQC 面积=△ABC 的面积-△PBQ 的面积，求出表示四边形APQC 面积的式子，再配方，然后根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）设运动时间为t 秒，8÷2=4，则0≤t≤4，根据题意得：12PB •BQ ＝5， 即12（6﹣t ）•2t ＝5， t 2﹣6t +5＝0，解得t 1＝1，t 2＝5（不符合题意，舍去），所以t ＝1．故经过1秒，能使△PBQ 的面积等于5cm 2；（2）设运动时间为t 秒，根据题意得：∵S 四边形APQC ()211=68-6-t 2t=t -6t+2422⨯⨯⋅＝()2315t -+， ∴当t ＝3秒时，S 四边形APQC 的最小值为15 cm 2．【点睛】考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，能够正确找到点所经过的路程，熟练运用直角三角形的面积公式列方程求解及能正确的对二次函数进行配方是关键．21.如图，已知∠ABC 中，AB ＝AC ，把∠ABC 绕A 点顺时针方向旋转得到∠ADE ，连接BD ，CE 交于点F ． （1）求证：∠AEC∠∠ADB ；（2）若AB ，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】）1）由把△ABC绕A点顺时针方向旋转得到△ADE，可得AD）AE）AB）AC）∠DAE）∠BAC，则∠DAB）∠EAC，可证△AEC≌△ADB））2）由AC∥DB，可得∠ABD）∠BAC）45°可得△ADB为等腰直角三角形，可求DB的长度，且DF）AC）AB），所以BF的长可求．详解】）1）∵把△ABC绕A点顺时针方向旋转得到△ADE）∴AD）AE）AB）AC）∠DAE）∠BAC）∴∠DAB）∠EAC，且AD）AB）AE）AC）∴△AEC≌△ADB））2）∵ADFC是菱形，∴）AD∥CF）DF∥AC）∴∠DBA）∠BAC）45°）∵AD）AB）∴∠DBA）∠BDA）45°）∴∠DAB）90°）∴BD2）AD2+AB2）∴BD）2）∴.【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定，菱形的性质，本题关键是证△DAB为直角三角形．22.某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；求x为何值时y的值为1920；（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少．【答案】（1）x=2；（2）每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元．【解析】【分析】（1）销售利润=每件商品的利润×（180-10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；（2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可．【详解】解：（1）y=（30﹣20+x）（180﹣10x）=﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；令y=1920得：1920=﹣10x2+80x+1800x2﹣8x+12=0，（x﹣2）（x﹣6）=0，解得x=2或x=6，∵0≤x≤5，∴x=2，（2）由（1）知，y=﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．∵﹣10＜0，∴当x=802(10)-⨯-=4时，y最大=1960元；∴每件商品的售价为34元答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元．【点睛】本题考查考查二次函数的应用；得到月销售量是解决本题的突破点；注意结合自变量的取值求得相应的售价．23.如图，抛物线经过点A(4，0)、B(﹣2，0)、C(0，﹣4)(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线AC段上是否存在点M，使△ACM的面积为3，求出在此时M的坐标，若不存在，说明理由.【答案】(1)y ＝2142x x --；(2)存在，M 1(1，﹣92)，M 2(3，﹣52). 【解析】【分析】 (1)设交点式为y ＝a(x ﹣4)(x+2)，然后把(0，﹣4)代入求出a 即可；(2)设M(a ，2142a a --)，连接OM ，则S △ACM ＝S △OCM +S △OAM ﹣S △OAC ＝3，可得出关于a 的方程，解方程即可求出点M 的坐标.【详解】解：(1)设抛物线解析式为：y ＝a(x ﹣4)(x+2)，把(0，﹣4)代入得a×(﹣4)×2＝﹣4，解得a ＝12， ∴抛物线解析式为：y ＝2142x x --； (2)设M(a ，2142a a --)，连接OM ，∵S △ACM ＝S △OCM +S △OAM ﹣S △OAC ＝3， ∴2111OC a OA a a 4222⎛⎫⋅+⋅-++ ⎪⎝⎭﹣12OC OA ⋅＝3， ∴a 2﹣4a+3＝0，解得：a 1＝3，a 2＝1.∴M1(1，﹣92)，M2(3，﹣52).【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及三角形的面积，利用点的坐标表示线段的长度是解题的关键．。

2019-2020学年江西省赣州市章贡区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）1．抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（3，﹣1）2．下列汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（）A．150°B．120°C．60°D．30°5．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝55°，若P为上一点，∠AOP＝73°，OP∥CB，则∠OBC的度数为（）A．30°B．35°C．37°D．55°6．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为（）①若点P（﹣3，m），Q（3，n）在抛物线上，则m＜n；②c＝a+3；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）7．关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k＝0的一个根为1，则k的值是．8．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B 关于原点O对称，则ab＝．9．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是．10．若抛物线y＝x2与直线y＝x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），则方程x2﹣x﹣2＝0的解为．11．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为．12．如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为．三、解答题（共6小题，共30分）13．解方程：3（x﹣2）＝5x（x﹣2）14．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接BB'，若∠A'B'B ＝20°，求∠A的度数．15．如图，已知点E在直角三角形ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．（1）请仅用无刻度的直尺在图1中作出∠BAC的平分线；（2）请仅用无刻度的直尺在图2中的线段BC上取一个点P，使CP＝EF．16．在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+1．（1）求抛物线的对称轴；（2）若抛物线过点A（﹣1，6），求二次函数的表达式；（3）若抛物线与坐标轴只有两个交点，求a的值．17．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．18．将两块全等的含30°角的直角三角板按如图1所示的方式放置，已知∠BAC＝∠B1A1C ＝30°．固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转（旋转角小于90°）至如图2所示的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．（1）当旋转角等于20°时，∠BCB1＝°；（2）当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝24，求k的值．20．赣县田村素称“灯彩之乡”，田村花灯源于唐代，盛于宋朝，迄今已有1300多年历史了，某公司生产了一种田村花灯，每件田村花灯制造成本为20元．设销售单价x（元），每日销售量y（件）、每日的利润w（元）．在试销过程中，每日销售量y（件）、每日的利润w（元）与销售单价x（元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：销售单价x（元）30313240销售量y（件）40383620（1）根据表中数据的规律、分別写出每日销售量y（件）、每日利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式（利润＝（销售单价﹣成本单价）×销售件数）．（2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？21．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，过点C作∠BCP＝∠BAC，交AB的延长线于点P，弦CD平分∠ACB，交AB于点E，连接OC、AD、BD．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）若OC＝5，OE＝1，求PC的长．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．今年以来，因生猪受到猪瘟的影响，导致多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至9月20日，猪肉价格不断上涨，9月20日比年初价格上涨了60%、某市民于某超市今年9月20日购买3千克猪肉花120元钱．（1）问：那么今年年初猪肉的价格为每千克多少元？（2）现在某超市以每千克30元的猪肉进货，按9月20日价格出售，平均一天能销售出100千克，经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售猪肉每天有1120元的销售利润，为了尽可能让顾客优惠应该每千克定价为多少元？23．如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠ACB＝45°（1）计算：求BC的长；（2）操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．如图2，当点C1在线段CA的延长线上时．①求∠CC1A1的度数；②求四边形A1BCC1的面积；（3）探究：如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B 按逆时针方向旋转所得到的△A1BC1中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．六、（本大题共12分）24．已知：抛物线C1：y＝﹣（x+m）2+m2（m＞0），抛物线C2：y＝（x﹣n）2+n2（n＞0），称抛物线C1，C2互为派对抛物线，例如抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+1与抛物线C2：y＝（x﹣）2+2是派对抛物线，已知派对抛物线C1，C2的顶点分别为A，B，抛物线C1的对称轴交抛物线C2于C，抛物线C2的对称轴交抛物线C1与D．（1）已知抛物线①y＝﹣x2﹣2x，②y＝（x﹣3）2+3，③y＝（x﹣）2+2，④y＝x2﹣x+，则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是（请在横线上填写抛物线的数字序号）；（2）如图1，当m＝1，n＝2时，证明AC＝BD；（3）如图2，连接AB，CD交于点F，延长BA交x轴的负半轴于点E，记BD交x轴于G，CD交x轴于点H，∠BEO＝∠BDC．①求证：四边形ACBD是菱形；②若已知抛物线C2：y＝（x﹣2）2+4，请求出m的值．2019-2020学年江西省赣州市章贡区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）1．抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（3，﹣1）【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）．故选：A．2．下列汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、是中心对称图形；故选：D．3．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【解答】解：原方程可化为：x2﹣2x﹣4＝0，∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，∴方程由两个不相等的实数根．故选：A．4．如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【解答】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，∴BC与B'C是对应边，∴旋转角∠BCB'＝180°﹣30°＝150°．故选：A．5．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝55°，若P为上一点，∠AOP＝73°，OP∥CB，则∠OBC的度数为（）A．30°B．35°C．37°D．55°【解答】解：∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝2∠ACB＝110°，∵∠AOP＝73°，∴∠POB＝∠AOB﹣∠AOP＝110°﹣73°＝37°，∵OP∥CB，∴∠OBC＝∠POB＝37°，故选：C．6．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为（）①若点P（﹣3，m），Q（3，n）在抛物线上，则m＜n；②c＝a+3；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣1，3），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，而点P（﹣3，m）比Q（3，n）到直线x＝﹣1的距离小，∴m＞n；所以①错误；∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝﹣1时，y＝3，∴a﹣b+c＝3，∴a﹣2a+c＝3，即c＝a+3，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，所以③正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣1，3），∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以④正确．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）7．关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k＝0的一个根为1，则k的值是1．【解答】解：把x＝1代入2x2﹣x﹣k＝0得2﹣1﹣k＝0，解得k＝1．故答案为1．8．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B 关于原点O对称，则ab＝12．【解答】解：∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，∴a＝﹣4，b＝﹣3，则ab＝12．故答案为：12．9．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是相离．【解答】解：在直角坐标系内，以P（4，8）为圆心，5为半径画圆，则点P到x轴的距离为d＝8，∵r＝5，∴d＞r，∴⊙P与x轴的相离．故答案为：相离．10．若抛物线y＝x2与直线y＝x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），则方程x2﹣x﹣2＝0的解为﹣1或2．【解答】解：∵y＝x2与直线y＝x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），∴消去y得到x2﹣x﹣2＝0的解为x＝﹣1或2，故答案为﹣1或2．11．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为1．【解答】解：∵OD⊥AC，AC＝2，∴AD＝CD＝1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO＝∠OFE＝90°，∵OE∥AC，∴∠DOE＝∠ADO＝90°，∴∠DAO+∠DOA＝90°，∠DOA+∠EOF＝90°，∴∠DAO＝∠EOF，在△ADO和△OFE中，，∴△ADO≌△OFE（AAS），∴OF＝AD＝1，故答案为：1．12．如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）．【解答】解：当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，解得：x＝2±，∴P（2+，1）或（2﹣，1），当y＝﹣1时，x2﹣4x+3＝﹣1，解得：x1＝x2＝2，∴P（2，﹣1），则点P的坐标为：（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）．故答案为：（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）．三、解答题（共6小题，共30分）13．解方程：3（x﹣2）＝5x（x﹣2）【解答】解：5x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0（x﹣2）（5x﹣3）＝0∴x﹣2＝0或5x﹣3＝0，∴x1＝2，x2＝．14．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接BB'，若∠A'B'B ＝20°，求∠A的度数．【解答】解：由旋转的性质可知：BC＝CB′，∵∠BCB′＝90°，∴∠CB′B＝45°，∴∠CB′A′＝∠CB′B﹣∠BB′A′＝45°﹣20°＝25°，∴∠CA′B′＝90°﹣25°＝65°，由旋转的性质可知∠A＝∠CA′B′＝65°．15．如图，已知点E在直角三角形ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．（1）请仅用无刻度的直尺在图1中作出∠BAC的平分线；（2）请仅用无刻度的直尺在图2中的线段BC上取一个点P，使CP＝EF．【解答】解：（1）如图1中，线段AD即为所求．理由：连接CD．∵BC是⊙O的切线，∵OD⊥BC，∴∠BDO＝∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠DAC，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC，∴AD平分∠BAC．（2）如图2中，连接EC，OD，EC交OD于G，作直线FG交线段BC于点P，点P即为所求．16．在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+1．（1）求抛物线的对称轴；（2）若抛物线过点A（﹣1，6），求二次函数的表达式；（3）若抛物线与坐标轴只有两个交点，求a的值．【解答】解：（1）对称轴x＝﹣＝﹣＝2，∴抛物线的对称轴为x＝2；（2）把点A（﹣1，6），代入y＝ax2﹣4ax+1得，a＝1，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+1；（3）∵抛物线与坐标轴只有两个交点，抛物线有交点（0，1），∴抛物线与x轴只有一个交点，即△＝0，∴（﹣4a）2﹣4•a×1＝0，解得a＝或a＝0（舍去），∴a＝．17．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．【解答】解：如图所示，连接OC．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE＝CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得：x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸．18．将两块全等的含30°角的直角三角板按如图1所示的方式放置，已知∠BAC＝∠B1A1C ＝30°．固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转（旋转角小于90°）至如图2所示的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．（1）当旋转角等于20°时，∠BCB1＝160°；（2）当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．【解答】解：（1）当旋转角等于20°时，则∠A1CA＝20°，∴∠BCB1＝90°+90°﹣20°＝160°．故答案为160；（2）当旋转角等于30度时，AB与A1B1垂直，理由如下：当AB与A1B1垂直时，∠A1ED＝90°∴∠A1DE＝90°﹣∠A1＝90°﹣30°＝60°．∵∠A1DE＝∠A+∠DCA，∴∠DCA＝60°﹣30°＝30°．即当旋转角等于30度时，AB与A1B1垂直．故答案为160．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝24，求k的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣k﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣k﹣2）＞0，解得：k＜3；（2）∵x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2﹣k﹣2，又∵x12+x22﹣x1x2＝24，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝24，∴[2（k﹣1）]2﹣3（k2﹣k﹣2）＝24，解得：k1＝﹣2，k2＝7，∵k＜3，∴k＝﹣2．20．赣县田村素称“灯彩之乡”，田村花灯源于唐代，盛于宋朝，迄今已有1300多年历史了，某公司生产了一种田村花灯，每件田村花灯制造成本为20元．设销售单价x（元），每日销售量y（件）、每日的利润w（元）．在试销过程中，每日销售量y（件）、每日的利润w（元）与销售单价x（元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：销售单价x（元）30313240销售量y（件）40383620（1）根据表中数据的规律、分別写出每日销售量y（件）、每日利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式（利润＝（销售单价﹣成本单价）×销售件数）．（2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）观察表中数据，发现y与x之间存在一次函数关系，设y＝kx+b则解得：∴每日销售量y（件关于销售单价x（元）之间的函数表达式为y＝﹣2x+100；∴w＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000∴每日利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式为w＝﹣2x2+140x﹣2000；（2）∵w＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450∴当销售单价为35元时，每日能获得最大利润450元．21．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，过点C作∠BCP＝∠BAC，交AB的延长线于点P，弦CD平分∠ACB，交AB于点E，连接OC、AD、BD．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）若OC＝5，OE＝1，求PC的长．【解答】（1）证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°∴∠BAC+∠OBC＝90°，∵∠BCP＝∠BAC，∴∠OCB+∠BCP＝90°，即∠OCP＝90°，∴OC⊥PC，∴PC为⊙O的切线；（2）解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD∴＝，∴∠ABD＝∠DCB，∵∠BCP＝∠BAC，∠BAC＝∠BDC，∠BAD＝∠BCD，∴∠PCB＝∠BDC，∠ABD＝∠BCD，∴∠BDC+∠ABD＝∠BCD+∠PCB，即∠PEC＝∠PCE，∴PC＝PE，设PC＝PE＝x，则OP＝x+1，在Rt△OPC中，OP2＝OC2+PC2，∴（x+1）2＝52+x2，解得x＝12，∴PC＝12．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．今年以来，因生猪受到猪瘟的影响，导致多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至9月20日，猪肉价格不断上涨，9月20日比年初价格上涨了60%、某市民于某超市今年9月20日购买3千克猪肉花120元钱．（1）问：那么今年年初猪肉的价格为每千克多少元？（2）现在某超市以每千克30元的猪肉进货，按9月20日价格出售，平均一天能销售出100千克，经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售猪肉每天有1120元的销售利润，为了尽可能让顾客优惠应该每千克定价为多少元？【解答】解：（1）今年9月20日猪肉的价格＝100÷2.5＝40（元/千克）．设今年年初猪肉的价格为每千克x元，依题意，得：（1+60%）x＝40，解得：x＝25．答：今年年初猪肉的价格为每千克25元．（2）设每千克降价y元，则日销售（100+20y）千克，依题意，得：（40﹣30﹣y）（100+20y）＝1120，整理，得：y1＝2，y2＝3，∵尽可能让顾客优惠，∴y＝3，∴40﹣y＝37．答：应该每千克定价为37元．23．如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠ACB＝45°（1）计算：求BC的长；（2）操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．如图2，当点C1在线段CA的延长线上时．①求∠CC1A1的度数；②求四边形A1BCC1的面积；（3）探究：如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B 按逆时针方向旋转所得到的△A1BC1中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．【解答】解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．∵∠C＝45°，AC＝4，∠AHC＝90°，∴AH＝CH＝4，∵AB＝5，AH＝4，∴BH＝＝＝3，∴BC＝BH+CH＝3+4＝7．（2）①如图2中，∵BC＝BC1，∴∠BC1C＝∠C＝45°，∵∠A1C1B＝∠C＝45°，∴∠CC1A＝45°+45°＝90°．②＝+＝×7×4+×7×7＝．（3）①如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝，当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝﹣；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1＝BC+BE＝+7＝．六、（本大题共12分）24．已知：抛物线C1：y＝﹣（x+m）2+m2（m＞0），抛物线C2：y＝（x﹣n）2+n2（n＞0），称抛物线C1，C2互为派对抛物线，例如抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+1与抛物线C2：y＝（x﹣）2+2是派对抛物线，已知派对抛物线C1，C2的顶点分别为A，B，抛物线C1的对称轴交抛物线C2于C，抛物线C2的对称轴交抛物线C1与D．（1）已知抛物线①y＝﹣x2﹣2x，②y＝（x﹣3）2+3，③y＝（x﹣）2+2，④y＝x2﹣x+，则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是①与③；①与④（请在横线上填写抛物线的数字序号）；（2）如图1，当m＝1，n＝2时，证明AC＝BD；（3）如图2，连接AB，CD交于点F，延长BA交x轴的负半轴于点E，记BD交x轴于G，CD交x轴于点H，∠BEO＝∠BDC．①求证：四边形ACBD是菱形；②若已知抛物线C2：y＝（x﹣2）2+4，请求出m的值．【解答】（1）解：①y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+12，②y＝（x﹣3）2+3＝（x﹣3）2+（）2，③y＝（x﹣）2+（）2，④y＝x2﹣x+＝（x﹣）2+（）2，所以①与③互为派对抛物线；①与④互为派对抛物线；故答案为①与③；①与④；（2）证明：当m＝1，n＝2时，抛物线C1：y＝﹣（x+1）2+1，抛物线C2：y＝（x﹣2）2+4，∴A（﹣1，1），B（2，4），∵AC∥BD∥y轴，∴点C的横坐标为﹣1，点D的横坐标为2，当x＝﹣1时，y＝（x﹣2）2+4＝13，则C（﹣1，13）；当x＝2时，y＝﹣（x+1）2+1＝﹣8，则D（2，﹣8），∴AC＝13﹣1＝12，BD＝4﹣（﹣8）＝12，∴AC＝BD；（3）①抛物线C1：y＝﹣（x+m）2+m2（m＞0），则A（﹣m，m2）；抛物线C2：y＝（x﹣n）2+n2（n＞0），则B（n，n2）；当x＝﹣m时，y＝（x﹣n）2+n2＝m2+2mn+2n2，则C（﹣m，m2+2mn+2n2）；当x＝n时，y＝﹣（x+m）2+m2＝﹣2mn﹣n2，则D（n，﹣2mn﹣n2）；∴AC＝m2+2mn+2n2﹣m2＝2mn+2n2，BD＝n2﹣（﹣2mn﹣n2）＝2mn+2n2，∴AC＝BD；∴四边形ACBD为平行四边形，∵∠BEO＝∠BDC，而∠EHF＝∠DHG，∴∠EFH＝∠DGH＝90°，∴AB⊥CD，∴四边形ACBD是菱形；②∵抛物线C2：y＝（x﹣2）2+4，则B（2，4），∴n＝2，∴AC＝BD＝2mn+2n2＝4m+8，而A（﹣m，m2），∴C（﹣m，m2+4m+8），∴BC2＝（﹣m﹣2）2+（m2+4m+8﹣4）2＝（m+2）2+（m+2）4，∵四边形ACBD是菱形，∴BC＝BD，∴（m+2）2+（m+2）4＝（4m+8）2，即（m+2）4＝15（m+2）2，∵m＞0，∴（m+2）2＝15，∴m+2＝，∴m＝﹣2．。

2022-2023学年江西省赣州市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6题，每小题3分，共18分）1．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）3．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝4x2上的点，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y14．（3分）一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（）A．（x﹣4）2＝18B．（x﹣4）2＝14C．（x﹣8）2＝64D．（x﹣4）2＝15．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为（）A．30°B．35°C．40°D．45°6．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m ＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2，其中，正确的个数有（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共6题，每小题3分，共18分）7．（3分）点P（﹣1，3）关于原点对称的点的坐标是．8．（3分）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为．9．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+9＝0的两个根，则x1+x2的值为．10．（3分）如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝40°，则∠AOC的度数为．11．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若它与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，当函数值y＜0时，x取值范围是．12．（3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）解方程：（1）x2﹣4x＝0；（2）x2+4x+3＝0．14．（6分）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求方程的另一个根．15．（6分）有一块方角形的钢板如图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两个部分（不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出两种方法）．16．（6分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝8m，EM＝8m，求⊙O的半径．17．（6分）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为2万件，2021年12月的销量为2.42万件．（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，求2022年1月“冰墩墩”的销量．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的关系式；（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集（直接写出答案）．19．（8分）如图，在平面直角坐标中，A（1，1），△ABC的顶点均在格点上．（1）点C绕O点逆时针方向旋转90°后所对应C'的坐标；（2）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1．（3）求△A1B1C1的面积．20．（8分）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．（Ⅰ）求∠ODC的度数；（Ⅱ）若OB＝2，OC＝3，求AO的长．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少时，该商品每天的利润为2090元？（3）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？22．（9分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y 轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥l2轴交直线BC于点N，求MN的最大值．六、（本大题共12分）23．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式：；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（4）若点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以B，C，E，F为顶点且以BC为一边的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共6题，每小题3分，共18分）1．D；2．A；3．C；4．A；5．B；6．B；二、填空题（共6题，每小题3分，共18分）7．（1，﹣3）；8．y＝2（x﹣2）2+3；9．7；10．100°；11．﹣1＜x＜3；12．（﹣2，0）或（2，10）；三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（1）x1＝0，x2＝4；（2）x1＝﹣1，x2＝﹣3．；14．（1）a＜3；（2）﹣3．；15．见解答．；16．⊙O的半径为5m．；17．（1）10%；（2）2.662万件．；四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．；19．（﹣1，5）；20．；五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（1）w＝﹣10x2+200x+1250；（2）39或31元；（3）35元．；22．（1）直线BC的解析式为y＝﹣x+5；抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；（2）MN有最大值．；六、（本大题共12分）23．y＝﹣x2+2x+3；（1，2）。

江西省赣州市某校初三（上）期中考试数学试卷一、选择题1. 已知⊙O的直径为10，OP=6，则点P与⊙O的位置关系是( )A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定2. 如图，该图形绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( )A.72∘B.108∘C.144∘D.216∘3. 如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG=50∘，P点可能是圆心的是( )A. B.C. D.4. 如图所示，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C为⊙O上一点，连接AC，BC，若∠P=70∘，则∠ACB的度数为( )A.50∘B.55∘C.60∘D.65∘5. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为( )A.5000(1+2x)=7500B.5000(1+x)=7500C.5000(1+x)2=7500D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=75006. 如图，现要在抛物线y=x(4−x)上找点P(a, b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b=5，则点P的个数为0；乙：若b=4，则点P的个数为1；丙：若b=3，则点P的个数为1.下列判断正确的是()A.乙错，丙对B.甲和乙都错C.乙对，丙错D.甲错，丙对二、填空题二次函数y=−x2−2x+3的图象的顶点坐标为________．已知直线l与⊙O相切，若圆心O到直线l的距离是5，则⊙O的半径是________．如图，△ABC中，∠C=30∘．将△ABC绕点A顺时针旋转60∘得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB=________∘．已知一元二次方程x2−kx+4=0有两个相等的实数根，则k的值为________.如图，已知点A(2, 0)，B(0, 4)，C(2, 4)，D(6, 6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α(0∘<α<180∘)，使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为________．三、解答题如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE=1，将△ADE绕着点A 顺时针旋转到与△ABF重合．(1)求AE的长；(2)求EF的长．如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160∘，求∠BCD的度数．已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m−2=0．(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2=1，求m的值．如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB =3m ，弓形的高EF =1m ，现计划安装玻璃，请帮工程师求出AB ⌢所在圆O 的半径r ．如图1，2点A ，B 是⊙O 上的两点，请只用无刻度的直尺按下列要求画图：(1)在图1中，过点B 画AB 的垂线；(2)在图2中，AB 是⊙O ′ 的直径，现要求在⊙O 上的点B 左侧确定点C ，使得AB̂=BC ̂.（保留作图痕迹，不写作法）如图，将等腰△ABC 绕顶点B 逆时针方向旋转a 度到△A 1BC 1的位置，AB 与A 1C 1相交于点D ，AC 与A 1C 1，BC 1分别交于点E ，F ．(1)求证：△BCF ≅△BA 1D ；(2)当∠C =a 度时，判定四边形A 1BCE 的形状并说明理由．图1是抛物线彩虹桥，图2是示意图，在图2中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x 轴表示桥面，y 轴经过中间抛物线的最高点E ，左右两条抛物线关于y 轴对称，经过测(x−30)2+5．算，右边抛物线的表达式为y=−120(1)直接写出左边抛物线的解析式；(2)已知三条钢梁的顶点M，E，N与原点O连成的四边形OMEN是菱形，求钢梁最高点离桥面的高度OE的长．如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A，C，D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交⊙O于点F，求证：(1)四边形DBCF是平行四边形；(2)AF=EF.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−1,5)，B(−3,1)和D(3,−1)，请按下列要求画图并填空．(1)将线段AB绕某点顺时针旋转180∘后，点B落在点D上，画出旋转后所得的线段CD；则四边形ABCD形状是________；旋转中心的坐标为________.(2)将线段AB绕点A逆时针旋转90∘，画出旋转后所得的线段AE，并求△BDE的面积；(3)在y 轴上找出点F ，使△ABF 的周长最小，并直接写出点F 的坐标为________.某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：(1)求y （千克）与x （元/千克）之间的函数表达式；(2)为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．(1)如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A =α，请用含α的代数式表示∠E ．(2)如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ⌢=BD ⌢，四边形ABCD 的外角平分线DF 交⊙O 于点F ，连接BF 并延长交CD 的延长线于点E ．求证：∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角．(3)如图3，在(2)的条件下，连接AE ，AF ，若AC 是⊙O 的直径，求∠AED 的度数.参考答案与试题解析江西省赣州市某校初三（上）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】A【考点】点与圆的位置关系【解析】先求出⊙O的半径，再根据点与圆的位置关系即可求解．【解答】解：∵⊙O的直径为10，∴⊙O的半径为5，∵OP=6>5，∴点P在圆外．故选A．2.【答案】B【考点】旋转对称图形【解析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72∘，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A，C，D都正确，不能与其自身重合的是B．故选B．3.【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：∵∠FEG=50∘，当P点是圆心时，由圆周角定理，得∠FPG=2∠FEG=100∘．故选C．4.【答案】B【考点】切线的性质圆周角定理【解析】连接OA、OB，如图，根据切线的性质得OA⊥PA，OB⊥PB，则利用四边形内角和计算出∠AOB＝110∘，然后根据圆周角定理得到∠ACB的度数．【解答】解：连接OA，OB，如图，∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90∘，∴∠AOB+∠P=180∘，∵∠P=70∘，∴∠AOB=110∘，∠AOB=55∘．∴∠ACB=12故选B.5.【答案】C【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：根据题意，可列方程为5000(1+x)2=7500.故选C.6.【答案】C【考点】二次函数的三种形式二次函数图象上点的坐标特征【解析】求出抛物线的顶点坐标为(2, 4)，由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：y=x(4−x)=−x2+4x=−(x−2)2+4，∴抛物线的顶点坐标为(2, 4)，∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，∴甲、乙的说法正确；若b=3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确.故选C.二、填空题【答案】(−1, 4)【考点】二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质【解析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．【解答】解：∵y=−x2−2x+3=−(x2+2x+1−1)+3=−(x+1)2+4，∴顶点坐标为(−1, 4)．故答案为：(−1, 4)．【答案】5【考点】切线的性质直线与圆的位置关系【解析】根据圆切线的性质即可求出⊙O的半径．【解答】解：若直线l与⊙O相切，则圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径长，即⊙O的半径为5．故答案为：5.【答案】90【考点】旋转的性质三角形内角和定理【解析】根据旋转的性质可知∠CAF=60∘；然后在△CAF中利用三角形内角和定理可以求得∠CFA=90∘，即∠AFB=90∘．【解答】解：∵△ADE是由△ABC绕点A顺时针旋转60∘得到的，∴∠CAF=60∘.又∵∠C=30∘，∴在△AFC中，∠CFA=180∘−∠C−∠CAF=90∘，∴∠AFB=90∘．故答案为：90．【答案】±4【考点】根的判别式【解析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值．【解答】解：∵一元二次方程x2−kx+4=0有两个相等的实数根，∴Δ=(−k)2−4×1×4=0，解得：k=±4．故答案为：±4.【答案】(4, 2)【考点】坐标与图形变化-旋转【解析】画出平面直角坐标系，作出新的AC，BD的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．【解答】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，∴点P坐标为(4,2)．故答案为：(4,2).【答案】15∘或60∘或150∘【考点】角的计算旋转的性质【解析】分情况讨论：①DE⊥BC；②AD⊥BC．【解答】解：分情况讨论：①当DE⊥BC时，∠BAD=180∘−60∘−45∘=75∘，∴α=90∘−∠BAD=15∘；②当AD⊥BC时，α=90∘−∠C=90∘−30∘=60∘．③当AE⊥BC时，∠EAB=90∘−∠CBA=30∘，α=180∘−∠EAB=150∘.故答案为：15∘或60∘或150∘.三、解答题【答案】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE=90∘，∴三角形ADE为直角三角形.∴AE=√AD2+ED2=√52+12=√26.(2)由旋转变换的性质可知，△ADE≅△ABF，∴△AFE是等腰直角三角形，∴EF=√2AE=2√13．【考点】勾股定理正方形的性质旋转的性质等腰直角三角形【解析】无无【解答】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE=90∘，∴三角形ADE为直角三角形.∴AE=√AD2+ED2=√52+12=√26.(2)由旋转变换的性质可知，△ADE≅△ABF，∴△AFE是等腰直角三角形，∴EF=√2AE=2√13．【答案】解：∵∠BOD=160∘，∠BOD=80∘，∴∠BAD=12在圆内接四边形ABCD中，∠BCD+∠BAD=180∘，∴∠BCD=100∘．【考点】圆内接四边形的性质【解析】根据圆周角定理求出∠BAD，根据圆内接四边形性质得出∠BCD+∠BAD=180∘，即可求出答案．【解答】解：∵∠BOD=160∘，∠BOD=80∘，∴∠BAD=12在圆内接四边形ABCD中，∠BCD+∠BAD=180∘，∴∠BCD=100∘．【答案】(1)证明：∵ Δ=(2m +1)2−4×1×(m −2)=4m 2+4m +1−4m +8=4m 2+9>0，∴ 无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根.(2)解：由根与系数的关系得出{x 1+x 2=−(2m +1)，x 1x 2=m −2，由x 1+x 2+3x 1x 2=1得−(2m +1)+3(m −2)=1，解得m =8．【考点】根与系数的关系根的判别式【解析】（1）根据根的判别式得出△＝(2m +1)2−4×1×(m −2)＝4m 2+9>0，据此可得答案；（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2＝−(2m +1)，x 1x 2＝m −2，代入x 1+x 2+3x 1x 2＝1得出关于m 的方程，解之可得答案．【解答】(1)证明：∵ Δ=(2m +1)2−4×1×(m −2)=4m 2+4m +1−4m +8=4m 2+9>0，∴ 无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根.(2)解：由根与系数的关系得出{x 1+x 2=−(2m +1)，x 1x 2=m −2，由x 1+x 2+3x 1x 2=1得−(2m +1)+3(m −2)=1，解得m =8．【答案】解：∵ 弓形的跨度AB =3m ，EF 为弓形的高，∴ OE ⊥AB 于F ，∴ AF =12AB =32m ， ∵ AB̂所在圆O 的半径为r ，弓形的高EF =1m ， ∴ AO =r ，OF =r −1，在Rt △AOF 中，由勾股定理可知：AO 2=AF 2+OF 2，即r 2=(32)2+(r −1)2，解得r =138(m)．【考点】勾股定理垂径定理的应用【解析】根据垂径定理可得AF =12AB ，再表示出AO 、OF ，然后利用勾股定理列式进行计算即可得解．【解答】解：∵弓形的跨度AB=3m，EF为弓形的高，∴OE⊥AB于F，∴AF=12AB=32m，∵AB̂所在圆O的半径为r，弓形的高EF=1m，∴AO=r，OF=r−1，在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，即r2=(32)2+(r−1)2，解得r=138(m)．【答案】解：(1)如图即为所求.连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC，∴CB⊥AB.(2)如图即为所求.连接BO交⊙O′于D点，连接AD并延长交⊙O于C点，连接BC，则AB̂=BĈ.【考点】作图—复杂作图圆周角定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)如图即为所求.连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC，∴CB⊥AB.(2)如图即为所求.连接BO交⊙O′于D点，连接AD并延长交⊙O于C点，连接BC，则AB̂=BĈ.【答案】(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，∠A=∠C，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转a度到△A1BC1的位置，∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，在△BCF与△BA1D中，{∠A1=∠C,A1B=BC,∠A1BD=∠CBF,∴△BCF≅△BA1D(ASA).(2)解：四边形A1BCE是菱形，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转a度到△A1B1C1的位置，∴∠A1=∠A，∵∠ADE=∠A1DB，∴∠AED=∠A1BD=a，∴∠DEC=180∘−a，∵∠C=a，∴∠A1=a，∴∠ABC=360∘−∠A1−∠C−∠A1EC=180∘−a，∴∠A1=∠C，∠A1BC=∠AEC，∴四边形A1BCE是平行四边形，∴A1B=BC，∴四边形A1BCE是菱形．【考点】旋转的性质等腰三角形的判定与性质全等三角形的判定菱形的判定与性质【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≅△BA1D；（2）由旋转的性质得到∠A1=∠A，根据平角的定义得到∠DEC=180∘−α，根据四边形的内角和得到∠ABC=360∘−∠A1−∠C−∠A1EC=180∘−α，证得四边形A1BCE是平行四边形，由于A1B=BC，即可得到四边形A1BCE是菱形．【解答】(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB=BC，∠A=∠C，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转a度到△A1BC1的位置，∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，在△BCF与△BA1D中，{∠A1=∠C,A1B=BC,∠A1BD=∠CBF,∴△BCF≅△BA1D(ASA).(2)解：四边形A1BCE是菱形，∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转a度到△A1B1C1的位置，∴∠A1=∠A，∵∠ADE=∠A1DB，∴∠AED=∠A1BD=a，∴∠DEC=180∘−a，∵∠C=a，∴∠A1=a，∴∠ABC=360∘−∠A1−∠C−∠A1EC=180∘−a，∴∠A1=∠C，∠A1BC=∠AEC，∴四边形A1BCE是平行四边形，∴A1B=BC，∴四边形A1BCE是菱形．【答案】解：(1)由题意得：y=−120(x+30)2+5.(2)连接MN，∵四边形OMEN是菱形，∴MN垂直平分OE，又M(−30, 5)，∴OE=10m．【考点】二次函数y=ax^2 、y=a（x-h）^2+k (a≠0)的图象和性质菱形的性质二次函数的应用【解析】（1）根据题意可得出y与x的二次函数．连接MN，可知四边形OMEN是菱形，易求OE的长．【解答】解：(1)由题意得：y=−120(x+30)2+5.(2)连接MN，∵四边形OMEN是菱形，∴MN垂直平分OE，又M(−30, 5)，∴OE=10m．【答案】证明：(1)∵AC=BC，∴∠BAC=∠B，∵DF//BC，∴∠ADF=∠B，又∠BAC=∠CFD，∴∠ADF=∠CFD，∴BD//CF,∴四边形DBCF是平行四边形．(2)如图，连接AE，∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF，∴∠AEF=∠B，∴四边形AECF是⊙O的内接四边形，∠ECF+∠EAF=180∘，∵BD//CF，∠ECF+∠B=180∘，∠EAF=∠B，∴∠AEF=∠EAF，∴AF=EF.【考点】平行四边形的判定等腰三角形的判定圆内接四边形的性质【解析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAC=∠B，利用平行线证明∠ADF=∠B，利用圆的性质证明∠BAC=∠CFD，再证明BD/CF.即可得到结论；（2）如图，连接AE，利用平行线的性质及圆的基本性质∠AEF=∠B，再利用圆内接四边形的性质证明∠EAF=2B，从而可得结论．【解答】证明：(1)∵AC=BC，∴∠BAC=∠B，∵DF//BC，∴∠ADF=∠B，又∠BAC=∠CFD，∴∠ADF=∠CFD，∴BD//CF,∴四边形DBCF是平行四边形．(2)如图，连接AE，∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF，∠AEF=∠B，∴四边形AECF是⊙O的内接四边形，∠ECF+∠EAF=180∘，∵BD//CF，∠ECF+∠B=180∘，∠EAF=∠B，∴∠AEF=∠EAF，∴AF=EF.【答案】平行四边形,(0,0)(2)AE如图所示.E(3,3)，连接BE，在△BDE中，BD=√62+22=2√10，DE=4，BE=√62+22=2√10，∴△BDE为等腰三角形，底边DE上的高为3−(−3)=6，∴△BDE的面积为：0.5×6×4=12.(0,4)【考点】坐标与图形变化-旋转作图-旋转变换勾股定理三角形的面积关于x轴、y轴对称的点的坐标【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)作图如图.四边形ABCD 为平行四边形.旋转中心为(0,0).故答案为：平行四边形；(0,0).(2)AE 如图所示.E(3,3)，连接BE ，在△BDE 中，BD =√62+22=2√10，DE =4，BE =√62+22=2√10，∴ △BDE 为等腰三角形，底边DE 上的高为3−(−3)=6，∴ △BDE 的面积为：0.5×6×4=12.(3)作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接BA ′交y 轴于点F .由图知点F 的坐标为(0,4).故答案为：(0,4).【答案】解：(1)设y 与x 之间的函数表达式为y =kx +b(k ≠0)，将表中数据(55, 70)，(60, 60)代入得：{55k +b =70，60k +b =60，解得{k =−2，b =180，∴ y 与x 之间的函数表达式为y =−2x +180．(2)由题意得：(x −50)(−2x +180)=600，整理得：x 2−140x +4800=0，解得x 1=60，x 2=80，答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．(3)设当天的销售利润为w 元，则：w =(x −50)(−2x +180)=−2(x −70)2+800，∵ −2<0，∴ 当x =70时，w 最大值=800．答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．【考点】待定系数法求一次函数解析式二次函数的应用一元二次方程的应用——利润问题【解析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；（2）依题意可列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组即可；（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【解答】解：(1)设y 与x 之间的函数表达式为y =kx +b(k ≠0)，将表中数据(55, 70)，(60, 60)代入得：{55k +b =70，60k +b =60，解得{k =−2，b =180，∴ y 与x 之间的函数表达式为y =−2x +180．(2)由题意得：(x −50)(−2x +180)=600，整理得：x 2−140x +4800=0，解得x 1=60，x 2=80，答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．(3)设当天的销售利润为w 元，则：w =(x −50)(−2x +180)=−2(x −70)2+800，∵ −2<0，∴ 当x =70时，w 最大值=800．答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．【答案】解：(1)∵ BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ， ∴ ∠E =∠ECD −∠EBD =12(∠ACD −∠ABC) =12∠A =12α.(2)图1，延长BC 到点T ，∵ 四边形FBCD 内接于⊙O ，∴ ∠FDC +∠FBC =180∘，又∵ ∠FDE +∠FDC =180∘，∴ ∠FDE =∠FBC ，∵ DF 平分∠ADE ，∴ ∠ADF =∠FDE ，∵ ∠ADF =∠ABF ，∴ ∠ABF =∠FBC ，∴ BE 是∠ABC 的平分线，∵ AD ⌢=BD ⌢，∴ ∠ACD =∠BFD ，∵ ∠BFD +∠BCD =180∘，∠DCT +∠BCD =180∘， ∴ ∠DCT =∠BFD ，∴ ∠ACD =∠DCT ，∴ CE 是△ABC 的外角平分线，∴ ∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角．(3)如图，连接CF ，∵ ∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角， ∴ ∠BAC =2∠BEC ，∵ ∠BFC =∠BAC ，∴ ∠BFC =2∠BEC ，∵ ∠BFC =∠BEC +∠FCE ，∴ ∠BEC =∠FCE ，∵ ∠FCE =∠FAD ，又∵∠FDE=∠FDA，FD=FD，∴△FDE≅△FDA(AAS)，∴DE=DA，∴∠AED=∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90∘，∴∠AED+∠DAE=90∘，∴∠AED=∠DAE=45∘.【考点】三角形的角平分线圆与圆的综合与创新全等三角形的性质与判定【解析】（1）由角平分线的定义可得出结论；（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC＝90∘，得出∠FDE＝∠FBC，证得∠ABF＝∠FBC，证出∠ACD＝∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；（3）①连接CF，由条件得出∠BFC＝∠BAC，则∠BFC＝2∠BEC，得出∠BEC＝∠FAD，证明△FDE≅△FDA(AAS)，由全等三角形的性质得出DE＝DA，则∠AED＝∠DAE，得出∠ADC＝90∘，则可求出答案；②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出AEAC=AG CD ，求出ADAC=45，设AD＝4x，AC＝5x，则有(4x)2+52＝(5x)2，解得x=53，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．【解答】解：(1)∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E=∠ECD−∠EBD=12(∠ACD−∠ABC)=12∠A=12α.(2)图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC=180∘，又∵∠FDE+∠FDC=180∘，∴∠FDE=∠FBC，∴ ∠ADF =∠FDE ，∵ ∠ADF =∠ABF ，∴ ∠ABF =∠FBC ，∴ BE 是∠ABC 的平分线，∵ AD ⌢=BD ⌢，∴ ∠ACD =∠BFD ，∵ ∠BFD +∠BCD =180∘，∠DCT +∠BCD =180∘， ∴ ∠DCT =∠BFD ，∴ ∠ACD =∠DCT ，∴ CE 是△ABC 的外角平分线，∴ ∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角． ∠BAC 的遥望角．(3)如图，连接CF ，∵ ∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角， ∴ ∠BAC =2∠BEC ，∵ ∠BFC =∠BAC ，∴ ∠BFC =2∠BEC ，∵ ∠BFC =∠BEC +∠FCE ， ∴ ∠BEC =∠FCE ，∵ ∠FCE =∠FAD ，∴ ∠BEC =∠FAD ，又∵ ∠FDE =∠FDA ，FD =FD ， ∴ △FDE ≅△FDA(AAS)， ∴ DE =DA ，∴ ∠AED =∠DAE ，∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠ADC =90∘，∴ ∠AED +∠DAE =90∘， ∴ ∠AED =∠DAE =45∘.。

江西省赣州市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实根，则m的取值范围是（）A . m＜3B . m≤3C . m＜3且m≠2D . m≤3且m≠22. （2分）已知线段a=2，b=8，线段c是线段a、b的比例中项，则c=（）A . 2B . ±4C . 4D . 83. （2分）(2017·裕华模拟) 如图，己知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（）①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为1：2；④△ABC与△DEF的面积比为4：1．A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分） (2015八下·金平期中) 将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1 ， A2 ，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）A . cm2B . cm2C . cm2D . （）ncm25. （2分）(2017·六盘水) 矩形的两边长分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（）A . a=4，b= +2B . a=4，b= ﹣2C . a=2，b= +1D . a=2，b= ﹣16. （2分）(2017·杭州模拟) 下列关于方程x2+x﹣1=0的说法中正确的是（）A . 该方程有两个相等的实数根B . 该方程有两个不相等的实数根，且它们互为相反数C . 该方程有一根为D . 该方程有一根恰为黄金比例7. （2分） (2019九上·长春期末) 掷一枚质地均匀的硬币一次，则掷到正面朝上的概率等于（）A . 1B .C .D . 08. （2分）如果函数y=kx-2（k≠0）的图象不经过第一象限，那么函数y= 的图象一定在（）。

江西省赣州市九年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列四种图案中，不是中心对称图形的为（）A . 中国移动B . 中国联通C . 中国网通D . 中国电信2. （2分）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果每掷一次出现正面与反面的可能性相同，那么连掷三次硬币，出现“一次正面，两次反面”的概率为（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·丹棱模拟) 在平面直角坐标系中，如果有点P（-2，1）与点Q（2，-1），那么：①点P与点Q关于轴对称；②点P与点Q关于轴对称；③点P与点Q关于原点对称；④点P与点Q都在的图象上，前面的四种描述正确的是（）A . ③④B . ①④C . ①②D . ②③4. （2分）飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（米）的函数解析式是s=60t﹣1.5t2 ，则飞机着陆后滑行到停止下列，滑行的距离为（）A . 500米B . 600米C . 700米D . 800米5. （2分） (2017八下·房山期末) 已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（）.A .B .C .D .6. （2分）二次函数的顶点坐标是（）A . （2，1）B . （-2，1）C . （2，-1）D . （-2，-1）7. （2分）将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（）A . y=（x-1）2+3B . y=（x+1）2+3C . y=（x-1）2-3D . y=（x+1）2-38. （2分）若A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A . y1＜y2＜y3B . y2＜y1＜y3C . y3＜y1＜y2D . y1＜y3＜y29. （2分）由二次函数y=2(x-3)2+1，可知（）A . 其图象的开口向下B . 其图象的对称轴为直线x=-3C . 其最小值为1D . 当x＜3时，y随x的增大而增大10. （2分）如图,AB是⊙O的弦，OC是⊙O的半径，OC⊥AB于点D，若AB=8，CD=2，则⊙O的半径等于（）A . 5B . 6C . 8D . 1011. （2分）(2017·碑林模拟) 如图，AB是半圆O的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接AC，BD交于点E，则 =（）A .B .C . 1﹣D .12. （2分）(2019·抚顺模拟) 如图，在正三角形ABC中，D,E,F分别是BC,AC,AB上的点，DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（）A . 1∶3B . 2∶3C . ∶2D . ∶3二、填空题 (共8题；共8分)13. （1分）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是________．14. （1分）某种冰箱经两次降价后从原来的每台2500元降为每台1600元，求平均每次降价的百分率为________．15. （1分）(2017·大石桥模拟) 如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC，CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为，CD=4，则弦AC的长为________．16. （1分）已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是________ ．17. （1分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B坐标为（8，4），将矩形OABC绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上的点B′处，得到矩形OA′B′C′，OA′与BC相交于点D，则经过点D的反比例函数解析式是________18. （1分） (2016九上·相城期末) 己知圆锥的底面半径为，侧面积为，则这个圆锥的高为________ ．19. （1分） (2017七上·太原期中) 观察下列一组图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有________个★．20. （1分）(2019·江岸模拟) 有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字﹣2，﹣1，1，2.把这四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为m；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为n，则y＝mx+n不经过第三象限的概率为________.三、解答题 (共6题；共72分)21. （15分） (2018九上·辽宁期末) 每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，（1）写出A、B、C的坐标．（2）以原点O为中心，将△ABC围绕原点O逆时针旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1．（3）求（2）中C到C1经过的路径以及OB扫过的面积．22. （10分）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2 ，求CD的长．23. （15分）(2016·南通) 平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c经过（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）两点，其中m为常数．（1）求b的值，并用含m的代数式表示c；（2）若抛物线y=x2+bx+c与x轴有公共点，求m的值；（3）设（a，y1）、（a+2，y2）是抛物线y=x2+bx+c上的两点，请比较y2﹣y1与0的大小，并说明理由．24. （2分） (2017八上·海淀期末) 如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：如图2，延长AC到E，使CE=CD，连接DE．由AB=AC+CD，可得AE=AB．又因为AD是∠BAC的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．（1）判定△ABD与△AED全等的依据是________；（2）∠ACB与∠ABC的数量关系为：________．25. （15分） (2018九上·吴兴期末) 元旦前夕，湖州吴兴某工艺厂设计了一款成本10元/件的工艺品投放市场试销。

江西省赣州市九年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题。

(共10题；共20分)1. （2分）(2019·名山模拟) 关于x的一元二次方程有实数根，则实数a满足（）A . a<B . a≥C . a≤ 且a≠3D . a≥ 且a≠32. （2分） (2019八下·奉化期末) 一元二次方程 2x(x－1)＝3(x－1)的解是（）A . x＝B . x＝1C . x1＝或 x2＝1D . x1＝且 x2＝13. （2分） (2017九上·南漳期末) 抛物线y=（x﹣2）2+2的顶点坐标为（）A . （﹣2，2）B . （2，﹣2）C . （2，2）D . （﹣2，﹣2）4. （2分） (2017八下·禅城期末) 在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .5. （2分）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（）A . 20B . 20或24C . 26D . 286. （2分）在Rt△ABC中，斜边AB=4，∠B=60°．将△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°，顶点C运动的路线长是（）A . πB . πC . πD . π7. （2分） (2019九上·龙华期末) 下列命题中，是真命题的是（）A . 对角线相等的平行四边形是正方形：B . 相似三角形的周长之比等于相似比的平方；C . 若方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k>-1；D . 若一个斜坡的坡度为1：，则该斜坡的坡角为30°.8. （2分）若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为（）A . 3B . 4C . 3或5D . 3或4或59. （2分） (2020九上·临颍期末) 已知三点在抛物线上，则的大小关系正确的是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016九下·苏州期中) 二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A .B .C .D .二、填空题： (共6题；共6分)11. （1分） (2016九上·赣州期中) 关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+5﹣a=ax+1的一次项系数为4，则常数项为：________．12. （1分） (2016九上·封开期中) 已知m＜0，则点P（m2 ，﹣m+3）关于原点的对称点Q在第________象限．13. （1分） (2019九上·宿州月考) 以3和4为根的一元二次方程是 ________．14. （1分） (2016九上·永嘉月考) 二次函数y=-2x2+3的开口方向是________．15. （1分）已知点（2，8）在抛物线y=ax2上，则a=________．16. （1分）(2011·玉林) 如图，等边△ABC绕点B逆时针旋转30°时，点C转到C′的位置，且BC′与AC 交于点D，则的值为________．三、解答题 (共9题；共95分)17. （15分）(2017·浙江模拟) 某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x（单位：台）102030y（单位：万元∕台）605550（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该机器的生产数量；（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售价﹣成本）18. （5分）把二次函数y=x2﹣2x+3配方成y=a（x﹣k）2+h的形式，并求出它的图象的顶点坐标、对称轴方程，y＜0时x的取值范围，并画出图象．19. （5分） (2017九上·福州期末) 解方程x2+6x+1=0．20. （10分） (2019九上·沙河口期末) 如图，抛物线y＝﹣ x2+mx+4与x轴交于A、B两点，点B在x 轴的右侧且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB＝OC；（1）求m的值；（2）点A绕点C逆时针旋转90°得到点A′，直线A′C交抛物线的另一个交点为P，求点P的坐标.21. （10分）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．22. （10分）(2017·罗平模拟) 曲靖市某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.9折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.4元，请问哪种方案更优惠？23. （10分） (2017八下·湖州期中) 某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到306600元？24. （15分）(2018·扬州模拟) 如图1，反比例函数（x＞0）的图象经过点A（，1），射线AB 与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．（1）求k的值；（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．25. （15分）(2017·岱岳模拟) 如图，平面直角坐标系中，二次函数y=﹣ x2+bx+c的图线与坐标轴分别交于点A、B、C，其中点A（0，8），OB= OA．（1）求二次函数的表达式；（2）若OD=OB，点F为该二次函数在第二象限内图象上的动点，E为DF的中点，当△CEF的面积最大时，求出点E的坐标；（3）将三角形CEF绕E旋转180°，C点落在M处，若M恰好在该抛物线上，求出此时△CEF的面积．参考答案一、选择题。

新人教版数学九年级上册期中考试试题及答案一、细心选一选。

（每小题3分，共42分） 1．观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．2.方程3x 2﹣1=0的一次项系数是（ ） A ．﹣1 B ．0C ．3D ．13.方程x （x ﹣1）=0的根是（ ） A ．x=0 B ．x=1 C ．x 1=0，x 2=1D ．x 1=0，x 2=﹣14.在平面直角坐标系中，点A （﹣3，1）与点B 关于原点对称，则点B 的坐标为（ ）A ．（﹣3，1） B ．（﹣3，﹣1）C ．（3，1）D ．（3，﹣1）5.一元二次方程x 2﹣2x ﹣7=0用配方法可变形为（ ） A ．（x+1）2=8 B ．（x+2）2=11 C ．（x ﹣1）2=8 D ．（x ﹣2）2=116.下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( )。

A ．0122=+-y xB ．1212-=+x xC ．01212=+x D ．122=+y y7．设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根，则=（ ）A ．﹣2B ．2C ．3D ．﹣38．将抛物线y=﹣2x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线为（ ）A ．y=﹣2（x ﹣3）2﹣4B ．y=﹣2（x+3）2﹣4C ．y=﹣2（x ﹣3）2+4D ．y=﹣2（x+3）2+49．若抛物线y=x 2+2x+c 与y 轴交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ） A ．抛物线口向上 B ．当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小 C ．对称轴为x=﹣1 D ．c 的值为﹣310．设A （﹣2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y=﹣（x+1）2+2上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 211．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x 2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）A ．14B ．12C ．12或14D ．以上都不对12.△ABC 是等边三角形，点P 在△ABC 内，PA=2，将△PAB 绕点A 逆时针旋转得到△P 1AC ，则P 1P 的长等于（ ）A ．2B ．C ．D ．113．在一次会议中，每两人都握了一次手，共握手21次，设有x 人参加会议，则可列方程为（ ） A ．x （x+1）=21B ．x （x ﹣1）=21C ．D ．14．已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则当y ＜6时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣3＜x ＜3B ．﹣1＜x ＜3C ．x ＜﹣1或x ＞3D ．x ＞3 二、用心填一填（每小题4分，共16分）15．把方程2x 2﹣1=5x 化为一般形式是16．关于x 的一元二次方程kx 2﹣x+1=0有实数根，则k 的取值范围是 ． 17.如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 旋转，使得点B ，A ，C ′在同一条直线上，则三角板ABC 旋转的角度是 ．18．（3分）抛物线y=+5的顶点坐标是三、耐心解一解（本大题满分62分） 19．（每小题5分，共10分）(1)03522=--x x (2)36)1(2=+x20．(9分)如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD=90°，求∠B的度数．21．(9分)如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？22．(10分)我县某村2015年的人均收入为10000元，2017年人均收入为12100元，若2015年到2017年人均收入的年平均增长率相同．（1）求人均收入的年平均增长率；（2）2016年的人均收入是多少元？23．(12分) 已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都有两个交点．（2）当m的值改变时，该函数的图象与x轴两个交点之间的距离是否改变？若不变，请求出距离；若改变，请说明理由24．(12分)如图直线4y与x轴、y轴相交于点A、B，抛物线经过A、B=x-2+两点，点C（-1，0）在抛物线上，抛物线的顶点为点D，直线l垂直于x轴．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBD是以B D为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；参考答案及评分标准一、细心选一选（每小题3分，共42分）二、用心填一填（每小题4分，共16分）15.2x 2﹣5x -1=0 16. k ≤且k ≠0． 17. 150°． 18.（1，5）． 三、解答题（62分）19.(每小题5分，共10分) (1)解：3,5,2-=-==c b a49242542=+=-ac b 2249)5(242⨯±--=-±-=a acb b x ………2分 =475± ………4分 21475,347521-=-==+=x x ………5分(2)解：61±=+x ………2分 61=+x 或61-=+x ………4分∴7,521-==x x ………5分 20.解：根据旋转性质得△COD ≌△AOB ， ∴CO=AO ， 由旋转角为40°， 可得∠AOC=∠BOD=40°， ∴∠OAC=140÷2=70°，∠BOC=∠AOD ﹣∠AOC ﹣∠BOD=10°， ∠AOB=∠AOC+∠BOC=50°， 在△AOB 中，由内角和定理得∠B=180°﹣∠OAC ﹣∠AOB=180°﹣70°﹣50°=60°． ………8分 答：∠B 的度数为60°． ………1分 21.解：（1）∵AB=x 米， ∴BC=（24﹣4x ）米，∴S=AB•BC=x（24﹣4x）=﹣4x2+24x（0＜x＜6）；………5分（2）S=﹣4x2+24x=﹣4（x﹣3）2+36，∵0＜x＜6，∴当x=3时，S有最大值为36平方米；………4分22. 解：（1）设人均收入的年平均增长率为x，依题意，得10000（1+x）2=12100，解得：x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（不合题意，舍去），………5分答：人均收入的年平均增长率为10%；………6分（2）2016年的人均收入为：10000（1+x）=10000（1+0.1）=11000（元）．答：该购物网站8月份到10月份销售额的月平均增长率为10%．………10分23. （1）证明：y=x2﹣2mx+m2﹣3，∵a=1，b=﹣2m，c=m新人教版九年级数学上册期中考试试题及答案一．选择题（满分36分，每小题3分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣y＝1 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+＝3 D．x﹣5y＝6 2．关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤6 B．m＜6 C．m≤6且m≠2 D．m＜6且m≠2 3．方程x2＝4x的根是（）A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4 4．下列解方程中，解法正确的是（）A．x2＝4x，两边都除以2x，可得x＝2B．（x﹣2）（x+5）＝2×6，∴x﹣2＝2，x+5＝6，x1＝4，x2＝1C．（x﹣2）2＝4，解得x﹣2＝2，x﹣2＝﹣2，∴x1＝4，x2＝0D．x（x﹣a+1）＝a，得x＝a5．把抛物线y＝﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+6 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6C．y＝﹣2（x+1）2+6 D．y＝﹣2（x+1）2﹣66．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）7．下列关于函数的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y 轴；④顶点（0，0），其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．由二次函数y＝2（x﹣3）2+1可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为x＝﹣3C．其最大值为1D．当x＜3时，y随x的增大而减小9．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根为1，则另一个根是（）A．5 B．4 C．3 D．210．二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．b＜0，c＞0 B．b＜0，c＜0 C．b＞0，c＜0 D．b＞0，c＞0 11．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 12．为满足消费者需要，红星厂一月份生产手提电脑200台，计划二、三月份共生产2500台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A．200（1+x）2＝2500B．200（1+x）+200（1+x）2＝2500C．200（1﹣x）2＝2500D．200+200（1+x）+2000（1+x）2＝250二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．14．方程x2﹣5x＝4的根是．15．如图，⊙O的半径为2，C1是函数的图象，C2是函数的图象，C3是函数的图象，则阴影部分的面积是平方单位（结果保留π）．16．若二次函数y＝x2﹣3x+2m的最小值是2，则m＝．17．某厂去年的产值为a元，今年比去年增长x%，则今年的产值为．18．设A（﹣1，y1），B（0，y2），A（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）解方程：x2+6x﹣2＝0．20．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点（﹣2，6），（2，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）求y随x的增大而减小时x的取值范围．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22＝11，求m的值．22．（8分）已知抛物线y＝3（x+1）2﹣12如图所示（1）求出该抛物线与y轴的交点C的坐标；（2）求出该抛物线与x轴的交点A，B的坐标；（3）如果抛物线的顶点为D，试求四边形ABCD的面积．23．（9分）我县古田镇某纪念品商店在销售中发现：“成功从这里开始”的纪念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，该商店在今年国庆黄金周期间，采取了适当的降价措施，改变营销策略后发现：如果每件降价4元，那么平均每天就可多售出8件．商店要想平均每天在销售这种纪念品上盈利1200元，那么每件纪念品应降价多少元？24．（9分）出租车给市民出行带来了极大便利，某市某县现有出租车约400辆，为了提高每辆出租车的运营效益，一般每辆车是24小时运营，司机“三班倒”轮换，经过调查，每个司机有两种运营方案．方案一：部分出租车司机愿意在火车站、汽车站、码头、宾馆等固定的出租点接客，他们认为这样比在路上跑车接客相对轻松并且效益好些，这些司机平均每天可接4趟长途客，每次120元，总共花时约4小时，长途每次往返平均60千米．在剩余的20小时，在市内固定出租点营业，平均每次等客5分钟，送客20分钟，返回15分钟，一次市内生意为12元，市内每次往返平均8千米．方案二：部分司机愿意全部在市内跑车接客，调查结果为平均每次空载跑车（或等客）5分钟，接送客15分钟，一次市内生意为10元，市内每次往返平均5千米．（1）每辆出租车按方案一在固定站接客一天的营业额是元，每辆出租车按方案二在市内接客一天的营业额是元．（2）已知出租车每千米平均耗油0.32元，出租车在固定站接客需交停车费8元/天，跑长途平均每次（含往返）过境费10元，请比较出租车一天在固定站接客和在市内短途接客的纯收入大小（市内空载跑车行程忽略不计）．25．（10分）如图，已知抛物线C：y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A与点O 重合），点M（1，2）是抛物线上的点，且满足∠AMB＝90°（1）求出抛物线C的解析式；（2）点N在抛物线C上，求满足条件S△ABM＝S△ABN的N点（异于点M）的坐标．26．（10分）某市政府大力支持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量Y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500．（1）设李明每月获得利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月获得利润最大？（2）根据物价不门规定，这种护眼台灯不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润2000元，那么销售单价应定为多少元？参考答案一．选择题1．解：A、x2﹣y＝1是二元二次方程，不合题意；B、x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意；C、x2+＝3不是整式方程，不合题意；D、x﹣5y＝6是二元一次方程，不合题意，故选：B．2．解：当m﹣2＝0，即m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有一个实数根，当m﹣2≠0时，∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4（m﹣2）•1≥0，解得：m≤6，∴m的取值范围是m≤6且m≠2，故选：A．3．解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：C．4．解：A、根据等式的性质，两边同除以一个不为0的数，等式仍然成立，在x未知的情况下，不能同除以2x，因为2x可能等于0，所以不对；B、两个式子的积是2×6＝12，这两个式子不一定是2和6，还可能是其它值，故计算方法不对；C、利用直接开平方法求解，正确；D、两个数的积是a，这两个数不一定是a，故错误．故选：C．5．解：原抛物线的顶点坐标为（1，3），向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）．可设新抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得：y＝﹣2（x+1）2+6．故选C．6．解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．7．解：①二次函数的图象是抛物线，正确；②因为a＝﹣＜0，抛物线开口向下，正确；③因为b＝0，对称轴是y轴，正确；④顶点（0，0）也正确．故选：D．8．解：∵y＝2（x﹣3）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝3，顶点坐标为（3，1），∴函数有最小值1，当x＜3时，y随x的增大而减小，故选：D．9．解：设方程的另一个根为m，则1+m＝4，∴m＝3，故选：C．10．解：如图，抛物线的开口方向向下，则a＜0．如图，抛物线的对称轴x＝﹣＜0，则a、b同号，即b＜0．如图，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．综上所述，b＜0，c＞0．故选：A．11．解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0∴k＞﹣1∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数∴k≠0则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．12．解：由题意可得，200（1+x）+200（1+x）2＝2500，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴22﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．14．解：∵x2﹣5x＝4，∴x2﹣5x﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．15．解：抛物线y＝x2与抛物线y＝﹣x2的图形关于x轴对称，直线y＝x与x轴的正半轴的夹角为60°，根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为150°，半径为2，所以：S阴影＝＝．故答案为：．16．解：由y＝x2﹣3x+2m，得y＝（x﹣）2+2m﹣，∴y最小＝2m﹣＝2，解得，m＝；故答案是：．17．解：∵今年比去年增长x%，∴今年相对于去年的增长率为1+x%，∴今年的产值为a×（1+x%）．故答案为a×（1+x%）．18．解：∵A（﹣1，y1），B（0，y2），A（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2上的三点，∴y1＝1，y2＝2，y3＝﹣2．∵﹣2＜1＜2，∴y3＜y1＜y2．故答案为：y3＜y1＜y2．三．解答题（共8小题，满分66分）19．解：∵x2+6x﹣2＝0，∴x2+6x＝2，则x2+6x+9＝2+9，即（x+3）2＝11，∴x+3＝±，∴x＝﹣3±．20．解：（1）将点（﹣2，6），（2，2）代入y＝ax2+bx+2中，得，∴a＝，b＝﹣1，∴y＝x2﹣x+2；（2）∵抛物线y＝x2﹣x+2对称轴为直线x＝﹣＝1，∵a＝＞0，则抛物线开口向上，∴y随x的增大而减小时x＜1．21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝32+4m≥0，解得：m≥﹣；（2）∵x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，∴（﹣3）2+2m＝11，解得：m＝1．22．解：（1）当x＝0时，y＝3（x+1）2﹣12＝﹣9，则C点坐标为（0，﹣9）；（2）当x＝0时，3（x+1）2﹣12＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则A（﹣3，0），B（1，0）；（3）D点坐标为（﹣1，﹣12），所以四边形ABCD的面积＝×2×12+×（9+12）×1+×1×9＝27．23．解：设每件纪念品应降价x元，则：化简得：x2﹣30x+200＝0解得：x1＝20，x2＝10∵商店要尽快减少库存，扩大销量而降价越多，销量就越大∴x＝20答：每件纪念品应降价20元．24．解：（1）方案一在固定站接客一天的营业额是：4×120+20×60÷（5+20+15）×12＝840（元），案二在市内接客一天的营业额是：24×60÷（5+15）×10＝720（元）；（2）方案一的综合费用为：0.32×[60×4+20×60÷（5+20+15）×8×2]+8+10×4＝278.4（元），其纯收入为840﹣278.4＝561.6（元）；方案二的综合费用为：0.32×[24×60÷（5+15）×5×2]＝230.4（元），其纯收入为720﹣230.4＝489.6（元）；561.6＞489.6，所以一辆出租车一天在固定站接客比在市内短途接客的纯收入大．25．解：（1）过点M作MH⊥AB于H，∵∠OMB＝90°，MH⊥OB，∴△OMH∽△MBH，∴MH2＝OH•HB，∴BH＝4，∴B（5，0）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，把M（1，2），B（5，0）代入得到，交点，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x．（2）由题意可知点N的纵坐标为±2时，当y＝2时，2＝﹣x2+，解得x＝1或4，可得N（4，2），当y＝﹣2时，﹣2＝﹣x2+，解得x＝，可得N（，﹣2）或（，﹣2）；26．解：（1）由题意，得：w＝（x﹣20）×y＝（x﹣20）•（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润为2250元；（2）由题意，得：﹣10x2+700x﹣10000＝2000，解得：x1＝30，x2＝40，又∵单价不得高于32元，∴销售单价应定为30元．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元．新人教版九年级数学上册期中考试试题及答案一．选择题（满分36分，每小题3分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣y＝1 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+＝3 D．x﹣5y＝6 2．关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤6 B．m＜6 C．m≤6且m≠2 D．m＜6且m≠2 3．方程x2＝4x的根是（）A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4 4．下列解方程中，解法正确的是（）A．x2＝4x，两边都除以2x，可得x＝2B．（x﹣2）（x+5）＝2×6，∴x﹣2＝2，x+5＝6，x1＝4，x2＝1C．（x﹣2）2＝4，解得x﹣2＝2，x﹣2＝﹣2，∴x1＝4，x2＝0D．x（x﹣a+1）＝a，得x＝a5．把抛物线y＝﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+6 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6C．y＝﹣2（x+1）2+6 D．y＝﹣2（x+1）2﹣66．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）7．下列关于函数的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y 轴；④顶点（0，0），其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．由二次函数y＝2（x﹣3）2+1可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为x＝﹣3C．其最大值为1D．当x＜3时，y随x的增大而减小9．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根为1，则另一个根是（）A．5 B．4 C．3 D．210．二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．b＜0，c＞0 B．b＜0，c＜0 C．b＞0，c＜0 D．b＞0，c＞0 11．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 12．为满足消费者需要，红星厂一月份生产手提电脑200台，计划二、三月份共生产2500台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A．200（1+x）2＝2500B．200（1+x）+200（1+x）2＝2500C．200（1﹣x）2＝2500D．200+200（1+x）+2000（1+x）2＝250二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是．14．方程x2﹣5x＝4的根是．15．如图，⊙O的半径为2，C1是函数的图象，C2是函数的图象，C3是函数的图象，则阴影部分的面积是平方单位（结果保留π）．16．若二次函数y＝x2﹣3x+2m的最小值是2，则m＝．17．某厂去年的产值为a元，今年比去年增长x%，则今年的产值为．18．设A（﹣1，y1），B（0，y2），A（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）解方程：x2+6x﹣2＝0．20．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点（﹣2，6），（2，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）求y随x的增大而减小时x的取值范围．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22＝11，求m的值．22．（8分）已知抛物线y＝3（x+1）2﹣12如图所示（1）求出该抛物线与y轴的交点C的坐标；（2）求出该抛物线与x轴的交点A，B的坐标；（3）如果抛物线的顶点为D，试求四边形ABCD的面积．23．（9分）我县古田镇某纪念品商店在销售中发现：“成功从这里开始”的纪念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，该商店在今年国庆黄金周期间，采取了适当的降价措施，改变营销策略后发现：如果每件降价4元，那么平均每天就可多售出8件．商店要想平均每天在销售这种纪念品上盈利1200元，那么每件纪念品应降价多少元？24．（9分）出租车给市民出行带来了极大便利，某市某县现有出租车约400辆，为了提高每辆出租车的运营效益，一般每辆车是24小时运营，司机“三班倒”轮换，经过调查，每个司机有两种运营方案．方案一：部分出租车司机愿意在火车站、汽车站、码头、宾馆等固定的出租点接客，他们认为这样比在路上跑车接客相对轻松并且效益好些，这些司机平均每天可接4趟长途客，每次120元，总共花时约4小时，长途每次往返平均60千米．在剩余的20小时，在市内固定出租点营业，平均每次等客5分钟，送客20分钟，返回15分钟，一次市内生意为12元，市内每次往返平均8千米．方案二：部分司机愿意全部在市内跑车接客，调查结果为平均每次空载跑车（或等客）5分钟，接送客15分钟，一次市内生意为10元，市内每次往返平均5千米．（1）每辆出租车按方案一在固定站接客一天的营业额是元，每辆出租车按方案二在市内接客一天的营业额是元．（2）已知出租车每千米平均耗油0.32元，出租车在固定站接客需交停车费8元/天，跑长途平均每次（含往返）过境费10元，请比较出租车一天在固定站接客和在市内短途接客的纯收入大小（市内空载跑车行程忽略不计）．25．（10分）如图，已知抛物线C：y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A与点O 重合），点M（1，2）是抛物线上的点，且满足∠AMB＝90°（1）求出抛物线C的解析式；（2）点N在抛物线C上，求满足条件S△ABM＝S△ABN的N点（异于点M）的坐标．26．（10分）某市政府大力支持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量Y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500．（1）设李明每月获得利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月获得利润最大？（2）根据物价不门规定，这种护眼台灯不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润2000元，那么销售单价应定为多少元？参考答案一．选择题1．解：A、x2﹣y＝1是二元二次方程，不合题意；B、x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意；C、x2+＝3不是整式方程，不合题意；D、x﹣5y＝6是二元一次方程，不合题意，故选：B．2．解：当m﹣2＝0，即m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有一个实数根，当m﹣2≠0时，∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4（m﹣2）•1≥0，解得：m≤6，∴m的取值范围是m≤6且m≠2，故选：A．3．解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：C．4．解：A、根据等式的性质，两边同除以一个不为0的数，等式仍然成立，在x未知的情况下，不能同除以2x，因为2x可能等于0，所以不对；B、两个式子的积是2×6＝12，这两个式子不一定是2和6，还可能是其它值，故计算方法不对；C、利用直接开平方法求解，正确；D、两个数的积是a，这两个数不一定是a，故错误．故选：C．5．解：原抛物线的顶点坐标为（1，3），向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）．可设新抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得：y＝﹣2（x+1）2+6．故选C．6．解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故选：A．7．解：①二次函数的图象是抛物线，正确；②因为a＝﹣＜0，抛物线开口向下，正确；③因为b＝0，对称轴是y轴，正确；④顶点（0，0）也正确．故选：D．8．解：∵y＝2（x﹣3）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝3，顶点坐标为（3，1），∴函数有最小值1，当x＜3时，y随x的增大而减小，故选：D．9．解：设方程的另一个根为m，则1+m＝4，∴m＝3，故选：C．10．解：如图，抛物线的开口方向向下，则a＜0．如图，抛物线的对称轴x＝﹣＜0，则a、b同号，即b＜0．如图，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．综上所述，b＜0，c＞0．故选：A．11．解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0∴k＞﹣1∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数∴k≠0则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．12．解：由题意可得，200（1+x）+200（1+x）2＝2500，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴22﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．14．解：∵x2﹣5x＝4，∴x2﹣5x﹣4＝0，∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣4，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．15．解：抛物线y＝x2与抛物线y＝﹣x2的图形关于x轴对称，直线y＝x与x轴的正半轴的夹角为60°，根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为150°，半径为2，所以：S阴影＝＝．故答案为：．16．解：由y＝x2﹣3x+2m，得y＝（x﹣）2+2m﹣，∴y最小＝2m﹣＝2，解得，m＝；故答案是：．17．解：∵今年比去年增长x%，∴今年相对于去年的增长率为1+x%，∴今年的产值为a×（1+x%）．故答案为a×（1+x%）．18．解：∵A（﹣1，y1），B（0，y2），A（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2上的三点，∴y1＝1，y2＝2，y3＝﹣2．∵﹣2＜1＜2，∴y3＜y1＜y2．故答案为：y3＜y1＜y2．三．解答题（共8小题，满分66分）19．解：∵x2+6x﹣2＝0，∴x2+6x＝2，则x2+6x+9＝2+9，即（x+3）2＝11，∴x+3＝±，∴x＝﹣3±．20．解：（1）将点（﹣2，6），（2，2）代入y＝ax2+bx+2中，得，∴a＝，b＝﹣1，∴y＝x2﹣x+2；（2）∵抛物线y＝x2﹣x+2对称轴为直线x＝﹣＝1，∵a＝＞0，则抛物线开口向上，∴y随x的增大而减小时x＜1．21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝32+4m≥0，解得：m≥﹣；（2）∵x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，∴（﹣3）2+2m＝11，解得：m＝1．22．解：（1）当x＝0时，y＝3（x+1）2﹣12＝﹣9，则C点坐标为（0，﹣9）；（2）当x＝0时，3（x+1）2﹣12＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则A（﹣3，0），B（1，0）；（3）D点坐标为（﹣1，﹣12），所以四边形ABCD的面积＝×2×12+×（9+12）×1+×1×9＝27．23．解：设每件纪念品应降价x元，则：化简得：x2﹣30x+200＝0解得：x1＝20，x2＝10∵商店要尽快减少库存，扩大销量而降价越多，销量就越大∴x＝20答：每件纪念品应降价20元．24．解：（1）方案一在固定站接客一天的营业额是：4×120+20×60÷（5+20+15）×12＝840（元），案二在市内接客一天的营业额是：24×60÷（5+15）×10＝720（元）；（2）方案一的综合费用为：0.32×[60×4+20×60÷（5+20+15）×8×2]+8+10×4＝278.4（元），其纯收入为840﹣278.4＝561.6（元）；方案二的综合费用为：0.32×[24×60÷（5+15）×5×2]＝230.4（元），其纯收入为720﹣230.4＝489.6（元）；561.6＞489.6，所以一辆出租车一天在固定站接客比在市内短途接客的纯收入大．25．解：（1）过点M作MH⊥AB于H，∵∠OMB＝90°，MH⊥OB，∴△OMH∽△MBH，∴MH2＝OH•HB，∴BH＝4，∴B（5，0）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx，把M（1，2），B（5，0）代入得到，交点，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x．（2）由题意可知点N的纵坐标为±2时，当y＝2时，2＝﹣x2+，解得x＝1或4，可得N（4，2），当y＝﹣2时，﹣2＝﹣x2+，解得x＝，可得N（，﹣2）或（，﹣2）；26．解：（1）由题意，得：w ＝（x ﹣20）×y＝（x ﹣20）•（﹣10x +500）＝﹣10x 2+700x ﹣10000＝﹣10（x ﹣35）2+2250．答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润为2250元；（2）由题意，得：﹣10x 2+700x ﹣10000＝2000，解得：x 1＝30，x 2＝40，又∵单价不得高于32元，∴销售单价应定为30元．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元．新九年级上册数学期中考试试题(答案)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列四个图形中是中心对称图形的为(A )2．方程2x 2＝3x 的解为(D )A ．x ＝0B ．x ＝32C ．x ＝－32D ．x 1＝0，x 2＝323．(2018·岳阳)抛物线y ＝3(x －2)2＋5的顶点坐标是(C )A ．(－2，5)B ．(－2，－5)C ．(2，5)D ．(2，－5)4．(2018·淮安)若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＋1＝0有两个相等的实数根，则k 的值是(B )A ．－1B ．0C ．1D ．25．(2018·成都)关于二次函数y ＝2x 2＋4x －1，下列说法正确的是(D )A ．图象与y 轴的交点坐标为(0，1)B ．图象的对称轴在y 轴的右侧C ．当x ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小D ．y 的最小值为－36．如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 延长线上，连接AD.下列结论一定正确的是(C )A ．∠ABD ＝∠EB ．∠CBE ＝∠C C ．AD ∥BC D ．AD ＝BC,第6题图) ,第9题图),第10题图)7．(2018·贵港)已知α，β是一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是(B )A ．3B ．1C ．－1D ．－38．(2018·赤峰)2017～2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛)，比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x 支，则可列方程为(B )A .12x(x －1)＝380B ．x(x －1)＝380C .12x(x ＋1)＝380 D ．x(x ＋1)＝380 9．如图，有一块边长为6 cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是(C )A . 3 cm 2B .32 3 cm 2C .92 3 cm 2D .2723 cm 2 10．(2018·贵阳)已知二次函数y ＝－x 2＋x ＋6及一次函数y ＝－x ＋m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数(如图所示)，当直线y ＝－x ＋m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是(D )A ．－254＜m ＜3B ．－254＜m ＜2 C ．－2＜m ＜3 D ．－6＜m ＜－2 二、填空题(每小题3分，共24分)11．已知x ＝1是关于x 的方程ax 2－2x ＋3＝0的一个根，则a ＝－1.12．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x 2－10x ＋21＝0的根，则三角形的周长为16.13．用一条长40 cm 的绳子围成一个面积为64 cm 2的矩形．设矩形的一边长为x cm ，则可列方程为x(20－x)＝64.14．(2018·孝感)如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax 2＝bx ＋c 的解是x 1＝－2，x 2＝1.,第14题图) ,第15题图) ,第17题图) ,第18题图)15．如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝7，∠B ＝60°，将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为3.16．(2018·内江)已知关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，则方程a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝0的两根之和为1.17．(2018·沈阳)如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为900 m (篱笆的厚度忽略不计)，当AB ＝150m 时，矩形土地ABCD 的面积最大．18．如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x 轴的一个交点是B(4，0)，直线y 2＝mx ＋n(m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①abc ＞0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x ＜4时，有y 2＞y 1；⑤x(ax ＋b)≤a ＋b ，其中正确的结论是②⑤.(只填写序号)三、解答题(共66分)19．(6分)用适当的方法解下列方程．(1)(2x ＋3)2－16＝0; (2)2x 2＝3(2x ＋1)．(1)x 1＝12，x 2＝－72 解：(2)x 1＝3＋152，x 2＝3－15220．(6分)已知2－5是一元二次方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根，求它的另一个根及c 的值． 设方程的另一根为t ，则2－5＋t ＝4，(2－5)t ＝c ，解得 t ＝2＋ 5. c ＝－1.∴它的另一个根是2＋5，c 的值是121．(6分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝－1时，y ＝－22；当x ＝0时，y ＝－8；当x ＝2时，y ＝8.(1)求抛物线解析式；(2)判断点(－2，－40)是否在该抛物线上？说明理由．(1)将(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)代入抛物线，得⎩⎨⎧－22＝a －b ＋c ，－8＝c ，8＝4a ＋2b ＋c ，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝12，c ＝－8，所以，抛物线解析式：y ＝－2x 2＋12x －8 (2)把x ＝－2代入抛物线解析式，则有y ＝－40，所以点(－2，－40)在抛物线上22．(8分)如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度．已知△ABC.(1)作出△ABC 以O 为旋转中心，顺时针旋转90°的△A 1B 1C 1；(只画出图形)(2)作出△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 2B 2C 2(只画出图形)，写出B 2和C 2的坐标．(1)△A 1B 1C 1如图所示 (2)△A 2B 2C 2如图所示，B 2(4，－1)，C 2(1，－2)23．(8分)关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋2m ＝0有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x ＋2m ＝0的两个根，且x 12＋x 22＝8，求m 的值．(1)∵一元二次方程x 2＋2x ＋2m ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝22－4×1×2m ＝4－8m ＞0，解得m ＜12.∴m 的取值范围为m ＜12(2)∵x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x ＋2m ＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝2m ，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝4－4m ＝8，解得m ＝－1.当m ＝－1时，Δ＝4－8m ＝12＞0.∴m 的值为－124．(10分)(2018·遵义)在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系．新九年级（上）数学期中考试试题及答案一、填空题（每小题3分，共30分）．1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．下列方程中，关于x的一元一次方程是（）A．x2+2x＝x2﹣1 B．+﹣2＝0C．ax2+bx+c＝0 D．（x+1）2＝2（x+1）3．平面直角坐标系中，与点（2，﹣3）关于原点中心对称的点是（）A．（﹣3，2）B．（3，﹣2）C．（﹣2，3）D．（2，3）4．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标是（1，2）C．对称轴是x＝﹣1 D．与x轴有两个交点5．抛物线y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表式是（）A．y＝（x﹣3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2﹣2 D．y＝（x+3）2+2 6．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为2和﹣3，则（）A．b＝1，c＝﹣6 B．b＝﹣1，c＝﹣6 C．b＝5，c＝﹣6 D．b＝﹣1，c＝6 7．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）A．20°B．26°C．30°D．36°8．若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y29．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y＝ax2﹣bx的图象可能是（）。

江西赣州潭东中学九年级上期中数学考试卷（解析版）（初三）期中考试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值是（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或0【答案】A【解析】试题分析：将x=0代入关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0即可求得a=±1．注意，二次项系数a ﹣1≠0．解得a=﹣1.故选A．考点：一元二次方程的解【题文】已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8=0的根，则该三角形的周长为（）A．8 B．10 C．8或10 D．12【答案】B【解析】试题分析：用因式分解法可以求出方程的两个根分别是4和2，根据等腰三角形的三边关系，腰应该是4，底是2，然后可以求出三角形的周长是：4+4+2=10．故选：B．考点：1、解一元二次方程-因式分解法；2、三角形三边关系；3、等腰三角形的性质【题文】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c ＜0；④若，是抛物线上两点，则y1＜y2其中结论正确的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．①③④【答案】C【解析】试题分析：由抛物线开口方向得到a＜0，有对称轴方程得到b=﹣2a＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c 评卷人得分＞0，则abc＜0，所以①错误；由b=﹣2a可得2a+b=0，所以②正确；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=2时，y＞0，于是4a+2b+c＞0，所以③错误；通过比较点（﹣）与点（）到对称轴的距离，可得y1＜y2，所以④正确．故选C．考点：二次函数图象与系数的关系【题文】图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣x2 D．y=x2【答案】C【解析】试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为y=ax2，a≠0；那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．则﹣2=4a，解得a=-，那么y=﹣x2．故选：C．考点：根据实际问题列二次函数关系式【题文】下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；C、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项错误；D、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；故选：A．考点：1、中心对称图形；2、轴对称图形【题文】已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，则⊙O的直径为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解析】试题分析：连接OC，根据题意OE=OC﹣1，CE=3，结合勾股定理，可求出OC=5，即可求出直径的长度AB=10．故选C．考点：1、垂径定理；2、勾股定理【题文】关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+5﹣a=ax+1的一次项系数为4，则常数项为：．【答案】﹣1【解析】试题分析：移项得，x2+（2a﹣1）x+5﹣a﹣ax﹣1=0，x2+（a﹣1）x+4﹣a=0，∵一次项系数为4，∴a﹣1=4，解得a=5，所以，常数项为4﹣a=4﹣5=﹣1．考点：一元二次方程的一般形式【题文】已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=．【答案】6【解析】试题分析：根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m=3，所以可得2m2﹣4m=6．考点：一元二次方程的解【题文】抛物线y=2x2+3x﹣1向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是．【答案】y=2（x﹣）2+【解析】试题分析：根据配方法可得y=2x2+3x﹣1=2（x+）2﹣，其顶点坐标为（﹣，﹣）．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后的顶点坐标为（，），得到的抛物线的解析式是y=2（x﹣）2+．考点：二次函数图象与几何变换【题文】如图，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），M是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOM=30°，则点M的坐标为．【答案】（4，4）【解析】试题分析：由勾股定理求出AB的长=，由圆周角定理得出AB为直径，求出半径和圆心C的坐标（，5），过点C作CF∥OA，过点P作ME⊥OA于E交CF于F，作CN⊥OE于N，设ME=x，得出OE=x，在△CMF中，根据勾股定理得出方程，得：（ x﹣）2+（5﹣x）2=（2）2，解得：x=4或x=0（舍去），解得OE=x=4，答案为：（4，4）．考点：1、三角形的外接圆与外心；2、坐标与图形性质【题文】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE ，连接BE，则BE的长是．【答案】2+2【解析】试题分析：首先考虑到BE所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BE，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，AC=AE，∠CAE=60°，故△ACE是等边三角形，设BE与AC相交于点F，如下图所示，可证明△ABE与△CBE全等，可得到∠ABE=45°，∠AEB=30°，再证△AFB和△AFE是直角三角形，然后在△ABF中，∠BFA=180°﹣45°﹣45°=90°可得∠AFB=∠AFE=90°在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF=AF==2，又在Rt△AFE中，∠AEF=30，°∠AFE=90°，FE=AF=2，BE=BF+FE=2+2.考点：旋转的性质【题文】自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：x2﹣5x＞0．解：设x2﹣5x=0，解得：x1=0，x2=5，则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0或x＞5．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和．（只填序号）①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想（2）一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为．（3）用类似的方法写出一元二次不等式的解集：x2﹣2x﹣3＞0．．【答案】（1）①，③（2）0＜x＜5（3）x＜﹣1或x＞3【解析】试题分析：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③；故答案为：①，③；（2）由图象可知：当0＜x＜5时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2﹣5x＜0，∴一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为：0＜x＜5；故答案为：0＜x＜5．（3）设x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=3，x2=﹣1，∴抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．画出二次函数y=x2﹣2x﹣3的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜﹣1，或x＞3时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣2x﹣3＞0，∴一元二次不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为：x＜﹣1或x＞3．故答案为x＜﹣1或x＞3考点：二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点【题文】解方程：（1）x2﹣2x﹣2=0；（2）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0．【答案】（1）x1=1+，x2=1-（2）x1=2，x2=5【解析】试题分析：（1）用配方法解方程，首先移项，把常数项移到等号的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方式，右边是常数，即可求解；（2）用提公因式法解方程，方程左边可以提取公因式x﹣2，即可分解，转化为两个式子的积是0的形式，从而转化为两个一元一次方程求解．试题解析：（1）x2﹣2x+1=3（x﹣1）2=3x﹣1=±∴x1=1+，x2=1﹣．（2）（x﹣2）（x﹣2﹣3）=0x﹣2=0或x﹣5=0∴x1=2，x2=5．考点：解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法【题文】先化简，再求值：，其中，a是方程x2+3x+1=0的根．【答案】，【解析】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a代入方程求出a2+3a的值，代入计算即可求出值．试题解析：====，∵a是方程x2+3x+1=0的根，∴a2+3a=﹣1，则原式=﹣．考点：1、分式的化简求值；2、一元二次方程的解【题文】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．【答案】（1）20（2）30°【解析】试题分析：（1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形可以求得结果；试题解析：（1）∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，设OB=x，又∵BE=4，∴x2=（x﹣4）2+82，解得：x=10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D=30°．考点：1、垂径定理；2、勾股定理；3、圆周角定理【题文】已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】（1），（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．试题解析：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=；方程为x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则1•x1=﹣，x1=﹣．（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．考点：根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系【题文】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点A1．画出△ABC关于点A1的中心对称图形．【答案】作图见解析【解析】试题分析：延长AA1到A′，使A1A′=AA1，则点A′为A的对应点，同样方法作出B、C的对应点B′、C ′，从而得到△A′B′C′．试题解析：如图，△A′B′C′为所作．考点：作图-旋转变换【题文】已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．【答案】（1）m≤2；（2）【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系求出x1+x2，x1•x2的值，代入x12+x22=6x1x2求解即可．试题解析：（1）∵原方程有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，整理得：4﹣4m+4≥0，解得：m≤2；（2）∵x1+x2=2，x1•x2=m﹣1，x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=6x1•x2，即4=8（m﹣1），解得：m=．∵m=＜2，∴符合条件的m的值为．考点：1、根与系数的关系；2、根的判别式【题文】某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）请直接写出y与x的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y=﹣2x+80（2）25（3）28,192【解析】试题分析：（1）设y=kx+b，根据题意，利用待定系数法确定出y与x的函数关系式即可；（2）根据题意结合销量×每本的利润=150，进而求出答案；（3）根据题意结合销量×每本的利润=w，进而利用二次函数增减性求出答案．试题解析：（1）设y=kx+b，把（22，36）与（24，32）代入得：，解得：，则y=﹣2x+80；（2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意得：（x﹣20）y=150，则（x﹣20）（﹣2x+80）=150，整理得：x2﹣60x+875=0，（x﹣25）（x﹣35）=0，解得：x1=25，x2=35（不合题意舍去），答：每本纪念册的销售单价是25元；（3）由题意可得：w=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，此时当x=30时，w最大，又∵售价不低于20元且不高于28元，∴x＜30时，y随x的增大而增大，即当x=28时，w最大=﹣2（28﹣30）2+200=192（元），答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．考点：1、二次函数的应用，2、一元二次方程的应用，3、待定系数法求一次函数解析式【题文】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3（2）（﹣1，4）或（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2，﹣4）（3）【解析】试题分析：（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；（2）设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），根据S△AOP=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．试题解析：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得．故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）．∵S△AOP=4S△BOC，∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，解得x=﹣1或x=﹣1±2．则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2，﹣4）；（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，得，解得．即直线AC的解析式为y=x+3．设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD有最大值．考点：1、待定系数法求二次函，2、一次函数的解析式，3、二次函数的性质，4、三角形面积，5、线段长度问题【题文】把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；（3）如图②，设EF与BC交于点G，当EG=CG时，求点G的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．【答案】（1）E（4，2）（2）60°（3）（4）点H不在此抛物线上【解析】试题分析：（1）依题意得点E在射线CB上，横坐标为4，纵坐标根据勾股定理可得点E．（2）已知∠BCD=60°，∠BCF=30°，然后可得∠α=60°．（3）设CG=x，则EG=x，FG=6﹣x，根据勾股定l解得a=．∴抛物线的解析式为y=（x﹣4）2∵矩形EDCF的对称中心H即为对角线FD、CE的交点，∴H（7，2）．当x=7时，∴点H不在此抛物线上．考点：二次函数综合题【题文】（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长．【答案】（1）45°（2）MN2=ND2+DH2（3）【解析】试题分析：（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．（3）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果．试题解析：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．∴∠BAE=∠GAE．同理，∠GAF=∠DAF．∴．（2）MN2=ND2+DH2．∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．∴∠HAN=∠MAN．又∵AM=AH，AN=AN，∴△AMN≌△AHN．∴MN=HN．∵∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°．∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．∴NH2=ND2+DH2．∴MN2=ND2+DH2．（3）由（1）知，BE=EG，DF=FG．设AG=x，则CE=x﹣4，CF=x﹣6．在Rt△CEF中，∵CE2+CF2=EF2，∴（x﹣4）2+（x﹣6）2=102．解这个方程，得x1=12，x2=﹣2（舍去负根）．即AG=12．在Rt△ABD中，∴．在（2）中，MN2=ND2+DH2，BM=DH，∴MN2=ND2+BM2．设MN=a，则．即a 2=（9﹣a） 2+（3） 2，∴．即MN=5．考点：1、正方形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、勾股定理【题文】如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A 、B两点，且与x轴交于另一点C．（1）求b、c的值；（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．【答案】（1）b=﹣2，c=3（2）（﹣，）（3）①证明见解析②（﹣，）【解析】试题分析：（1）把A（﹣3，0），B（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c即可解决问题．（2）首先求出A、C、D坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M．（3）①欲证明PG=QR，只要证明△QAR≌△GAP即可．②当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM=求出AM，l∴点E坐标（﹣，1），设直线CE为y=kx+b，把E、C代入得到解得，∴直线CE为y=﹣x+，由解得，∴点M坐标（﹣，）．（3）①∵△AGQ，△APR是等边三角形，∴AP=AR，AQ=AG，∠QAC=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP，在△QAR和△GAP中，，∴△QAR≌△GAP，∴QR=PG．②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC，∴当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K．∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，∵∠QGA=60°，∴∠QGO=90°，∴点Q坐标（﹣6，3），在RT△QCN中，QN=3，CN=7，∠QNC=90°，∴QC=，∵sin∠ACM=，∴AM=，∵△APR是等边三角形，∴∠APM=60°，∵PM=PR，cos30°=，∴AP=，PM=RM=∴MC==，∴PC=CM﹣PM=，∵，∴CK=，PK=，∴OK=CK﹣CO=，∴点P坐标（﹣，）．∴PA+PC+PG的最小值为2，此时点P的坐标（﹣，）．考点：1、二次函数综合题，2、等边三角形的性质,3、全等三角形的判定和性质,4、勾股定理【题文】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=DF，点P是AF的中点，点Q是直线AC与EF的交点，连接PQ、PD．（1）求证：AC垂直平分EF；（2）试判断△PDQ的形状，并加以证明；（3）如图2，若将△CEF绕着点C旋转180°，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）△PDQ是等腰直角三角形（3）成立【解析】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，由BE=DF，得出CE=CF，△CEF是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明∠DPQ=90°，即可得出结论；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明点A、F、Q、P四点共圆，由圆周角定理得出∠DPQ=2∠DAQ=90°，即可得出结论．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，∵BE=DF，∴CE=CF，∴AC垂直平分EF；（2）解：△PDQ是等腰直角三角形；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∴∠DAP=∠ADP，∵AC垂直平分EF，∴∠AQF=90°，∴PQ=AF=PA，∴∠PAQ=∠AQP，PD=PQ，∵∠DPF=∠PAD+∠ADP，∠QPF=∠PAQ+∠AQP，∴∠DPQ=2∠PAD+∠PAQ=2（∠PAD+∠PAQ）=2×45°=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形；（3）成立；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∵BE=DF，BC=CD，∠FCQ=∠ACD=45°，∠ECQ=∠ACB=45°，∴CE=CF，∠FCQ=∠ECQ，∴CQ⊥EF，∠AQF=90°，∴PQ=AF=AP=PF，∴PD=PQ=AP=PF，∴点A、F、Q、P四点共圆，∴∠DPQ=2∠DAQ=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形．考点：1、正方形的性质，2、等腰直角三角形的判定与性质，3、直角三角形斜边上的中线的性质,4、四点共圆，5、圆周角定理【题文】如图，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．（1）求AD的长；（2）当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值；（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12（2）详见解析（3）详见解析【解析】试题分析：①根据等腰三角形性质和勾股定理解答即可；②根据直角三角形面积求出PD×DC×=15即可求出t；③根据题意列出PD、MD的表达式解方程组，由于M在D点左右两侧情况不同，所以进行分段讨论即可，注意约束条件．试题解析：（1）∵AB=AC=13，AD⊥BC，∴BD=CD=5cm，且∠ADB=90°，∴AD2=AC2﹣CD2∴AD=12cm．（2）AP=t，PD=12﹣t，又∵由△PDM面积为PD×DC=15，解得PD=6，∴t=6．（3）假设存在t，使得S△PMD=S△ABC．①若点M在线段CD上，即时，PD=12﹣t，DM=5﹣2t，由S△PMD=S△ABC，即，2t2﹣29t+50=0解得t1=12.5（舍去），t2=2．（2分）②若点M 在射线DB上，即．由S△PMD=S △ABC得，2t2﹣29t+70=0解得，．（2分）综上，存在t的值为2或或，使得S △PMD=S△ABC．考点：1、勾股定理；2、三角形的面积。

一、选择题1．“保护生态，人人有责”．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．2．如图，将一个含30角的直角三角尺AOB 放在平面直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重叠．已知30OAB ∠=︒，12AB =，点D 为斜边AB 的中点，现将三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，则点D 的对应点D 的坐标为（ ）A ．(33,3)B ．(63,6)-C ．(3,33)-D ．(33,3)- 3．如图，正方形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴上，点D(5，3)在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90º，则旋转后点D 的对应点D 的坐标是( )A ．(-2，0)B ．(-2，10)C ．(2，10)或(-2，0)D ．(10，2)或( -2，10) 4．下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、直角梯形，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．35．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB 绕点B 逆时针旋转45°得到△D′E′B ，则点A 在△D′E′B 的（ ）A．内部B．外部C．边上D．以上都有可能6．如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（）A．3 B．23C．13D．157．如图是函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象，有下列结论：（1）b2﹣4c＞0；（2）b+c+1＝0；（3）方程x2+（b﹣1）x+c＝0的解为x1＝1，x2＝3；（4）当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点（A在原点O左侧，B在原点O右侧)，与y轴交于C点，且OC=OB,令COAO=m，则下列m与b的关系式正确的是( )A ．m=2bB ．m=b+1C ．m=6bD ． m=2b +1 9．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（ ）A ．0b <B ．0c >C ．0a b c ++=D ．240b ac -< 10．对于二次函数2(2)7y x =---，下列说法正确的是（ ）A ．图象开口向上B ．对称轴是直线2x =-C ．当2x >时，y 随x 的增大而减小D ．当2x <时，y 随x 的增大而减小11．27742322x -+⨯⨯=⨯是下列哪个一元二次方程的根（ ） A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+= 12．x=－2是关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0的一个根，则a 的值为（ ） A ．1或4B ．－1或－4C ．－1或4D ．1或－4 13．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程28150x x -+=的一个根，则该等腰三角形的周长为（ ）A ．12B ．16C ．l2或16D ．15 14．已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，且(a +m )( a +n )＝2，(b +m )( b +n )＝2，则ab ﹣mn 的值为（ ）A ．4B ．1C ．﹣2D ．﹣1二、填空题15．已知二次函数y=x 2+x+m ，当x 取任意实数时，都有y ＞0，则m 的取值范围是________．16．已知抛物线243y x x =-+与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为M 平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为______．17．某种洒杯的轴截面是一条抛物线段，在酒杯中加酒，当酒水深为lcm 时，液面宽为2cm ，将酒杯装满酒后，再倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm ，这个酒杯的杯口直径为______cm ．18．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．19．当m ______时，关于x 的一元二次方程2350mx x -+=有两个不相等的实数根． 20．若t 是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根，则判别式24b ac =-△与完全平方式()22M at b =+的大小关系为___________ 三、解答题21．如图，将Rt △ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到Rt △ADE ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上．若AB =1，∠B =60°，求CD 的长．22．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （0，1），B （3，3），C （1，3）．（1）画出△ABC 关于点O 的中心对称图形△A 1B 1C 1．（2）①画出△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°的△A 2B 2C 2；②直接写出点B 2的坐标为 ．23．某水果店批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售将减少20千克．（1）现要保证每天盈利5520元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）要使每天获利不少于6000元，求涨价x 的范围．24．在“万众创业、大众创新”的新时代下，大学毕业生小张响应国家号召，开办了家饰品店，该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润且让利给顾客，现将饰品售价降价x （元/件）（且x 为整数），每月饰品销量为y （件），月利润为w （元）．（1）写出y 与x 之间的函数解析式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润等于6000元时，应如何确定销售价格．25．商店销售某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售200件；售价每增加2元，销售量将减少20件．如果这种商品全部销售完，该商店可盈利2250元，那么该商品每件售价多少元？26．如图，在ABC 中，13AB AC ==厘米，10BC =厘米，AD BC ⊥于点D ，动点P 从点A 出发以每秒1厘米的速度在线段AD 上向终点D 运动．设动点运动时间为t 秒．（1）求AD 的长；（2）当PDC △的面积为15平方厘米时，求t 的值；（3）动点M 从点C 出发以每秒2厘米的速度在射线CB 上运动．点M 与点P 同时出发，且当点P 运动到终点D 时，点M 也停止运动．是否存在t ，使得112PMD ABC SS =？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、不是中心对称图形，故本选项错误；B 、不是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是中心对称图形，故本选项错误；D 、是中心对称图形，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．D解析：D【分析】先利用直角三角形的性质、勾股定理分别求出OB 、OA 的长，再根据旋转的性质可得,OA OB ''的长，从而可得点,A B ''的坐标，然后根据中点坐标公式即可得．【详解】在Rt AOB 中，30OAB ∠=︒，12AB =，16,2OB AB OA ∴====，由旋转的性质得：6OA OA OB OB ''====，点D 为斜边A B ''的中点， 将三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，∴点A 的对应点A '落在x 轴正半轴上，点B 的对应点B '落在y 轴负半轴上，(0,6)A B ''∴-， 又点D 为斜边A B ''的中点，06)2D -'∴，即3)D '-， 故选：D ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、中点坐标公式，熟练掌握旋转的性质是解题关键．3．C解析：C【分析】根据题意，分顺时针和逆时针旋转两种情况解答即可．【详解】解：由题意，AB=BC=5，BD=5﹣3=2，∠B=90°，若把△CDB顺时针旋转90º，则点D在x轴的负半轴上，O D=BD=2，所以点D坐标为（﹣2，0）；若把△CDB逆时针旋转90º，则点D到x轴的距离是5+5=10，到y轴的距离是2，∴点D的坐标为（2，10），综上，旋转后点D的对应点D的坐标是(2，10)或(-2，0)，故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转、正方形的性质，熟练掌握旋转的性质，分顺时针和逆时针旋转两种情况是解答的关键．4．C解析：C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答即可．【详解】解：线段，既是中心对称图形，又是轴对称图形；等边三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形；平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形，既是中心对称图形，又是轴对称图形；菱形，既是中心对称图形，又是轴对称图形；正方形，既是中心对称图形，又是轴对称图形；直角梯形，既不是中心对称图形，又不是轴对称图形；所以，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有：线段，矩形，菱形，正方形共4个．故选C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．C解析：C【分析】先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′与直线AB的交点到B的距离也是，与AB的值相等，从而可以得出点A在△D′E′B的边上．【详解】∵AC=BD=10，又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，∴BE=5，AB=BC=52，由三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，设△D′E′B与直线AB交于G，可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，∴△GE′B是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，∴BG=52，∴BG=AB，∴点A在△D′E′B的边上，故选C.6．C解析：C【分析】连接BM.证明△AFE≌△AMB得FE=MB，再运用勾股定理求出BM的长即可.【详解】连接BM，如图，由旋转的性质得：AM=AF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°,∵ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，∴∠DAM=∠EAM.∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,∴△AFE≌△AMB∴FE=BM.在Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,∴2222+=+=3213BC CM∴13故选C.【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．7．B解析：B【分析】根据函数图象与x轴交点个数判断（1）；利用待定系数法求出函数解析式，代入计算判断（2）；由二次函数与一次函数的交点求出方程的解，判断（3）即可；利用函数图象比较函数值判断（4）．【详解】由图象知，二次函数过（3，3）（0，3），（1，1），∴93313a b ca b cc++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：133abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴b+c+1＝﹣3+3+1＝1，故②错误；∵a＝1，∴抛物线为y＝x2-3x+3，∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0，故①错误；由图象知，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x的交点坐标为（1，1）和（3，3），∴方程x2+（b﹣1）x+c＝0的解为x1＝1，x2＝3，故③正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确；故选：B．【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，图象法比较函数值的大小，是一道较为基础的二次函数题．8．B解析：B【分析】利用数形结合得思想，先表示出A、B的横坐标，再代入到解析式建立方程，进而分别求解即可．【详解】由题意：OC c =，则OB c =，即B 的横坐标为c ，代入解析式有：20c bc c -++=， 则可解得：1c b =+， 根据CO m AO =，可得c OA m =，即A 的横坐标为c m-，代入解析式有：20c c b c m m ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：210c b m m --+=， 将1c b =+代入可得；2110b b m m +--+=，即2210m b bm m---=， 210m b bm ∴---=，整理得：()210m bm b --+=，对其因式分解可得：()()110m b m -++=⎡⎤⎣⎦，解得：1m b =+，或1m =-（舍去），故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，能够利用数形结合的思想，准确将图中的信息转化为解方程是解决问题的关键．9．C解析：C【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.【详解】A ．因为抛物线的开口向下，则a<0；又因为抛物线的对称轴在y 轴右侧，则-2b a>0，所以b>0，故A 错误；B ．抛物线与y 轴的交点在y 轴负半轴，则c<0，故B 错误；C ．抛物线与x 轴一个交点为（1，0），则x=1时，0y a b c =++=，故C 正确；D ．抛物线与x 轴有两个交点，则240b ac ∆=->，故D 错误，故选C.【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与×轴的交点等知识点，明确二次函数的相关性质是解题的关键. 10．C解析：C【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【详解】解：∵2(2)7y x =---，∵a ＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-7），当2x >时，y 随x 的增大而减小，当2x <时，y 随x 的增大而增大，∴A 、B 、D 都不正确，C 正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．11．C解析：C【分析】根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．【详解】A 、22730x x ++=的解为x =B 、22730x x --=的解为x =C 、22730x x +-=的解为722x -±=⨯，符合题意；D 、22730x x -+=的解为x =故选：C ．【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 12．D解析：D【分析】根据一元二次方程的解的定义知，x=－2满足关于x 的一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0，可得出关于a 的方程，通过解方程即可求得a 的值．【详解】解：将x=－2代入一元二次方程2x 2+3ax －2a 2=0，得：()()222-23-2-20a a ⨯+⋅=，化简得：2+340a a -=，解得：a=1或a=-4．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的所有解都满足该一元二次方程的关系式．13．B解析：B【分析】利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案．【详解】解：∵x2-8x+15=0，∴（x-3）（x-5）=0，则x-3=0或x-5=0，解得x1=3，x2=5，①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去；②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，所以该等腰三角形的周长为5+5+6=16，故选：B．【点睛】本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14．C解析：C【分析】先把已知条件变形得到a2+(m+n) a+mn﹣2＝0，b2+( m+n) b+mn﹣2＝0，则可把a、b看作方程x2+( m+n) x+mn﹣2＝0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab＝mn﹣2，从而得到ab﹣mn的值．【详解】解：∵(a+m)( a+n)＝2，(b+m)( b+n)＝2，∴a2+( m+n)a+mn﹣2＝0，b2+( m+n)b+mn﹣2＝0，而a、b、m、n为互不相等的实数，∴可以把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两个实数根，∴ab＝mn﹣2，∴ab﹣mn＝﹣2．故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系及整式的乘法，理解代数思想，把“a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根”是解题关键．二、填空题15．＞【分析】二次函数开口向上当x取任意实数时都有y＞0则−4ac＜0据此即可列不等式求解【详解】解：−4ac ＝1−4m ＜0解得：m ＞故答案为：＞【点睛】本题考查了抛物线与x 轴交点个数个数由−4ac 的符解析：m ＞14 【分析】二次函数开口向上，当x 取任意实数时，都有y ＞0，则2b −4ac ＜0，据此即可列不等式求解．【详解】解：2b −4ac ＝1−4m ＜0，解得：m ＞14． 故答案为：m ＞14． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴交点个数，个数由2b −4ac 的符号确定，当△＝2b −4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝2b −4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝2b −4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．16．；【分析】先令y=0求得点AB 的坐标再求得顶点M 的坐标根据题意即可得出平移的方向和距离进而可求得平移后的解析式【详解】解：令y=0则有解得：x1=1x2=3∴A(10)B(30)∵=（x ﹣2）2﹣1解析：221y x x =++； 【分析】先令y=0求得点A 、B 的坐标，再求得顶点M 的坐标，根据题意即可得出平移的方向和距离，进而可求得平移后的解析式．【详解】解：令y=0，则有2043x x =-+，解得：x 1=1，x 2=3，∴A(1，0)，B(3，0)，∵243y x x =-+=（x ﹣2）2﹣1，∴顶点M 的坐标为（2，﹣1），∵平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，∴将原抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度，即可得到平移后的抛物线，∴平移后的顶点坐标为（﹣1，0），即平移后的解析式为y=（x+1）2=x 2+2x+1，故答案为：221y x x =++．【点睛】本题考查了二次函数的图像与几何变换，会求抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，熟练掌握抛物线平移的变换规律是解答的关键．17．【分析】建立如下图所示的平面直角坐标系相当于抛物线经过点(00)(11)求得解析式为y=x²设杯口直径为2d设倒满酒时酒的高度为m相当于抛物线经过(dm)再由倾斜30°时杯中酒深度为2cm时将m用d解析：319【分析】建立如下图所示的平面直角坐标系，相当于抛物线经过点(0,0)，(1,1)求得解析式为y=x²，设杯口直径为2d，设倒满酒时酒的高度为m，相当于抛物线经过(d,m)，再由倾斜30°时杯中酒深度为2cm时将m用d代数式表示，再代入解析式中求出d即可．【详解】解：如下图所示以酒杯内最低点为原点建立直角坐标系，故抛物线的顶点坐标为原点，设抛物线解析式为y=ax²，当酒水深为lcm时，液面宽为2cm，相当于抛物线且经过点(1,1)，代入解析式中，a=1，故抛物线解析式为：y=x²，设杯口直径为2d，设倒满酒时酒的高度为m，相当于抛物线经过(d,m)，由“倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm”，如下图所示：此时FH=EC=2，∠DEF=30°，DF=d ，在Rt △EDF 中，EF=2DF=2d ，，在Rt △OEC 中，OE=2EC=4，∴OD=OE+ED=43d ， ∴m=OD=43d , ∴将点(,43d d )，代入y=x²， 即：243d d ，解得：3192d (负值舍去)，【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题目意思，学会建立直角坐标系并求出对应解析式是解决本题的关键．18．且【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根解得又∵该方程为一元二次方程且故答案为：且【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义属于 解析：1k -＞且0k ≠．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，()224241440b ac k k ∴∆=-=-⨯-=+>，解得1k >-．又∵该方程为一元二次方程，0k ∴≠，1k ∴>-且0k ≠．故答案为：1k >-且0k ≠．【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键．19．m ＜且m≠0【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义得出m≠0且△=（-3）2-4m×5=9-20m ＞0解不等式组确定m 的取值范围【详解】解：∵关于x 的一元二次方程mx2-3x+5=0有两个不相解析：m ＜920且m≠0． 【分析】根据一元二次方程的定义及判别式的意义得出m≠0，且△=（-3）2-4m×5=9-20m ＞0，解不等式组，确定m 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程mx 2-3x+5=0有两个不相等的实数根，∴m≠0，且△=（-3）2-4m×5=9-20m ＞0，解得m ＜920且m≠0， 故当m ＜920且m≠0时，关于x 的一元二次方程mx 2-3x+5=0有两个不相等的实数根． 故答案是：m ＜920且m≠0． 【点睛】 本题考查了根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．20．相等【分析】由t 是一元二次方程()的根利用公式法解一元二次方程即可得出t 的值将其代入完全平方式中即可得出M 的值由此即可得出结论【详解】∵t 是一元二次方程()的根∴或当时则；当时则；∴故答案为：相等【解析：相等【分析】由t 是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根利用公式法解一元二次方程即可得出t 的值，将其代入完全平方式()22M at b =+中即可得出M 的值，由此即可得出结论．【详解】∵t 是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根，∴2b t a -+=或2b t a --=，当2b t a-+=时，则()224M b b b ac =-=-；当2b t a-=时，则()224M b b b ac =-=-； ∴24b ac M =-=．故答案为：相等．【点睛】本题考查了根的判别式、完全平方式以及利用公式法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程求出t 值是解题的关键．三、解答题21．1【分析】利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=2AB=2，再根据旋转的性质得AD=AB ，则可判断△ABD 为等边三角形，所以BD=AB=1，然后计算BC-BD 即可．【详解】∵∠BAC=90°，∠B=60°，∴BC=2AB=2，根据旋转的性质得：AD=AB ，而∠B=60°，∴△ABD 为等边三角形，∴BD=AB=1，∴CD=BC-BD=2-1=1．∴CD 的长为1．【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质．证明△ABD 是等边三角形是本题的关键．22．（1）作图见解析；（2）①作图见解析；②（-3，3）．【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可； （2）①利用网格特点和旋转的性质画出A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2即可； ②利用所画图形写出B 2点的坐标．【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；（2）①画如图，△A 2B 2C 2为所作；②点B 2的坐标为（﹣3，3）．故答案为（-3，3）．【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角．23．（1）每千克水果应涨价2元；（2）510x ≤≤【分析】（1）设每千克应涨价x 元，由题意列出方程，解方程即可求解；（2）根据题意表示出每天的利润，然后利用每天的获利等于6000元，解出两个x 的值，然后根据二次函数的性质即可得出答案．【详解】（1）设每千克应涨价x 元，由题意列方程得：（10+x ）（500﹣20x ）＝5520，解得：x ＝2或x ＝13，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价2元；答：每千克水果应涨价2元．（2）根据题意得，每天的获利为()()21050020203005000w x x x x =+-=-++ 令6000w =，即22030050006000x x -++=，解得125,10x x ==，20a =-<，∴要使每天获利不少于6000元，涨价x 的范围为510x ≤≤，答：每千克水果涨价x 的范围是510x ≤≤．【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，根据题意列出方程及二次函数是解题的关键．24．（1）y ＝300+20x ；（2）当售价为57元时，利润最大，最大利润为6120元；（3）将销售价格为55元，才能使每月利润等于6000元．【分析】（1）由售价每下降1元每月要多卖20件，可得y 与x 之间的函数解析式；（2）由月利润=单件利润×数量，可得w 与x 的函数解析式，由二次函数的性质可求解； （3）将w=6000代入解析式，解方程可求解．【详解】（1）由题意可得：30020y x =+；（2）由题意可得：()()2203002020( 2.5)6125w x x x =-+=--+， 由题意可知x 应取整数，当2x =或3元时，w 有最大值，∵让利给顾客，∴3x =，即当售价为57元时，利润最大，∴最大利润为6120元；（3）由题意，令w=6000，即25600020()61252x =--+，解得10x =（舍去），25x =，故将销售价格为55元，才能使每月利润等于6000元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的性质，找出正确的函数关系式是本题的关键．25．每件售价为45元【分析】设该商品的单价为x 元，根据题意得到方程，解方程即可求解．【详解】解：设该商品的单价为x 元．根据题意，得()()3020010402250---=⎡⎤⎣⎦x x ．解这个方程，得1245x x ==．答：每件售价为45元．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据利润得到相应的等量关系是解题的关键．26．（1）12厘米；（2）6秒；（3）存在t 的值为2或或S △PMD =112S △ABC ． 【分析】 ①根据等腰三角形性质和勾股定理解答即可；②根据直角三角形面积求出PD×DC×12=15即可求出t ； ③根据题意列出PD 、MD 的表达式解方程组，由于M 在D 点左右两侧情况不同，所以进行分段讨论即可，注意约束条件．【详解】解：（1）∵AB=AC=13，AD ⊥BC ，∴BD=CD=5cm ，且∠ADB=90°，∴AD 2=AC 2-CD 2∴AD=12cm ．（2）AP=t ，PD=12-t ，又∵由△PDM 面积为12PD×DC=15， 解得PD=6，∴t=6．（3）假设存在t ，使得S △PMD =112S △ABC ． ①若点M 在线段CD 上，即 0≤t≤52时，PD=12-t ，DM=5-2t ，由S △PMD =112S △ABC ， 即 12×(12−t)(5−2t)＝5， 2t 2-29t+50=0解得t 1=12.5（舍去），t 2=2．②若点M 在射线DB 上，即52≤t≤12． 由S △PMD =112S △ABC 得 12(12−t)(2t−5)＝5， 2t 2-29t+70=0解得 t 1，t 2综上，存在t 的值为2或294或 294-，使得S △PMD =112S △ABC ． 【点睛】 此题关键为利用三角形性质勾股定理以及分段讨论，在解方程时，注意解是否符合约束条件．。

江西省赣州市南康区2023-2024学年九年级上学期期中模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．C ．．．如图，将钝角ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100︒，得到AB △BB '，则CAB '∠的大小为（）A ．75︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒6．如图，PA 、PB 、DE 分别切O 于点A 、B 、C ，O 的半径为5，13OP =，则PDE △的周长为（）A ．18B ．20C ．24D ．30二、填空题10．如图，在ABC 中，∠点B '恰好落在BC 边上，则12．已知二次函数y ax =20(ax bx c m m +++=>20(0ax bx c n n +++=<三、解答题13．（1）计算：212+（2）解方程：24x x --14．已知关于x 的一元二次方程（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两个根均为负数，求15．如图，二次函数y =中()3,0A ，()0,3C ．(1)求二次函数的解析式；(2)若点P 在第四象限的此二次函数图象上，且16．如图，四边形ABCD 分别下列要求画图．(1)在图①中，若AB 是直径，CD 与圆相切，画出圆心O (2)在图②中，若,CB CD 均与圆相切，画出圆心O ．17．如图，ABC 中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段使得CAF BAE ∠=∠，连接,EF EF 与AC 交于点G ．(1)求证：EF BC =；(2)若65,28ABC ACB ∠=︒∠=︒，求FGC ∠的度数．18．对于代数式ax 2+bx +c ，若存在实数n ，当x ＝n 时，代数式的值也等于这个代数式的不变值．例如：对于代数式x 2，当x ＝0时，代数式等于代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A ．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A ＝0．（1）代数式x 2﹣2的不变值是，A ＝．（2）说明代数式3x 2+1没有不变值；（3）已知代数式x 2﹣bx +1，若A ＝0，求b 的值．19．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于20．如图，抛物线2y ax bx =+直线112y x =+与抛物线交于B m 交于对称轴右侧的点(,1)M t (1)求抛物线的解析式；(2)证明：圆C 与x 轴相切；(3)过点B 作BE m ⊥，垂足为E ，再过点21．如图，AB 是O 的直径，43AB =作CE OB ⊥，交O 于点C ，垂足为点E 于点P ，AF PC ⊥于点F ，连接CB ．(1)求证：CB 是ECP ∠的平分线；(2)求证：CF CE =．22．跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示）上，着陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点，落地点超过分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点t=时，S=_______．①当1②S关于t的函数解析式为_______．(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段(3)延伸探究：若存在3个时刻123,,t t t （123t t t <<）对应的正方形DPEF 的面积均相等．①12t t +=_______；②当314t t =时，求正方形DPEF 的面积．。

墨香阁绝密★启用前2016-2017学年度学九年级上学期数学期中考试卷考试范围：与期中考试相同；考试时间：100分钟；命题人：刘小明题号一二三四五总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）1．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值是（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或02．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8=0的根，则该三角形的周长为（）A．8 B．10 C．8或10 D．123．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣），（）是抛物线上两点，则y1＜y2其中结论正确的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．①③④4．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣x2 D．y=x25．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．6．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，则⊙O的直径为（）A．6 B．8 C．10 D．12第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）7．关于x的一元二次方程2(21)51x a x a ax+-+-=+的一次项系数为4，则常数项为：.8．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=______．9．抛物线y=2x2+3x﹣1向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是．10．如图，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），M是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOM=30°，则点M的坐标为______．11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是．12．自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：25x x-＞0．解：设25x x-=0，解得：1x=0，2x=5，则抛物线y=25x x-与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=25x x-的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即25x x-＞0，所以，一元二次不等式25x x-＞0的解集为：x＜0或x＞5．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和．（只填序号）①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想（2）一元二次不等式25x x-＜0的解集为．（3）用类似的方法写出一元二次不等式的解集：223x x--＞0．__________。

2022届九年级上册期中考试数学考试完整版（江西省赣州市宁都县）选择题下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可.A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C.是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C选择题如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（）.A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°【答案】C【解析】试题分析：先根据正方形的性质和旋转的性质得到∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF，再根据等腰三角形的性质即可求得∠OFA=÷2=25°．故选：C．选择题抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【答案】B【解析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可：∵y＝x2，∴平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位。

故选B。

选择题已知关于x 的一元二次方程x2﹣3x+c=0 中c＜0，该方程的根的情况是（）A. 方程没有实数根B. 总有两个不相等的实数根C. 有两相等实数根D. 方程的根的情况与c 有关【答案】B【解析】由c0，根据根与判别式的关系即可得出答案.x2﹣3x+c=0，△=（﹣3）2﹣4×1×c=9﹣4c，∵c＜0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B．选择题在直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横、纵坐标间的对应值如表：则下列结论正确的是（）A. 抛物线的开口向下B. 抛物线的顶点坐标为（2.5，﹣8.75）C. 当x＞4 时，y 随x 的增大而减小D. 抛物线必经过定点（0，﹣5）【答案】D【解析】根据二次函数的对称性可知对称轴为x=2，可知顶点坐标，根据二次函数的增减性可判断开口方向及x>4时函数的增减性，根据图像经过（4，-5）及对称轴是x=2可判断抛物线必经过定点（0，﹣5）.由表中信息可知：当x＜2 时y 随x 的增大而减小，当x＞2 时，y 随x 的增大而减小，∴抛物线的开口向上，故①错误；由x=1 时y=﹣8，x=3 时y=﹣8 知抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，n），故②错误；∵x＞2 时，y 随x 的增大而增大，∴当x＞4 时，y 随x 的增大而增大，故③错误；∵抛物线的对称轴为直线x=2，且抛物线过点（4，﹣5），∴抛物线必经过定点（0，﹣5），故④正确；故选：D．选择题在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距 6 个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y=﹣x2+4x+m，则m 的值是（）A. 1 或7B. ﹣1 或7C. 1 或﹣7D. ﹣1 或-7【答案】D【解析】根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点，根据题意得出关于m的方程，解方程即可求得．∵一条抛物线的函数表达式为y=-x2+4x+m，∴这条抛物线的顶点为（2，m+4），∴关于x轴对称的抛物线的顶点（2，-m-4），∵它们的顶点相距6个单位长度．∴|m+4-（-m-4）|=6，∴2m+8=±6，当2m+8=6时，m=-1，当2m+8=-6时，m=-7，∴m的值是-1或-7．故选D．填空题方程（x﹣5）（x+6）=x+6 的根是_____．【答案】x1=﹣6，x2=6【解析】先移项，再提取公因式（x+6），让两个因式分别为0即可得答案.（x﹣5）（x+6）=x+6，（x﹣5）（x+6）﹣（x+6）=0，（x+6）（x﹣5﹣1）=0，x+6=0，x﹣5﹣1=0，x1=﹣6，x2=6，故答案为：x1=﹣6，x2=6．填空题如图，四边形ABCD 内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC=_____°．【答案】80【解析】根据圆的内接四边形的性质可求出∠ABC的度数，在根据圆周角定理求出∠AOC的度数即可.∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADC=140°，∴∠B=40°，由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=80°，故答案为：80填空题将抛物线，绕着点旋转后，所得到的新抛物线的解析式是________．【答案】y＝(x－3)2－1【解析】∵y=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，∴抛物线C1的顶点坐标为（﹣1，1），∵点（﹣1，1）关于M（1，0）中心对称的点的坐标为（3，﹣1），∴抛物线C1绕着点M（1，0）旋转180°后，所得到的新抛物线C2的解析式为y=（x﹣3）2﹣1．故答案为：y=（x﹣3）2﹣1．解答题已知实数x、y满足x2+2x+y﹣1=0，则x+y的最大值为_____．【答案】【解析】先把x2+2x+y﹣1=0变形, 再代入x+y, 利用二次函数的性质求值.解:由x2+2x+y﹣1=0可得:,代入x+y得,令z=,可得：当x=-1时，y有最大值为，故答案为: .填空题如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于_________．【答案】【解析】分析：根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x．在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出x，即可得到结论．详解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°．又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC．在△AEF与△CDF中，∵，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4．∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x．在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得：x=，则FD=6﹣x=．故答案为：．填空题已知⊙O 的直径为4，AB 是⊙O 的弦，∠AOB=120°，点P 在⊙O 上，若点P到直线AB 的距离为1，则∠PAB 的度数为_____．【答案】15°或30°或105°【解析】作OP1⊥AB 交⊙O 于P1 交AB 于H，过点O 作直线P2P3∥AB 交⊙O 于P2，P3．由垂径定理可得∠AOH=60°，进而可得∠OAH=30°，即可求出OH=1，进而可知P1，P2，P3 是满足条件的点，根据圆周角定理求出∠P1AB、∠P3AB、∠P2AB的度数即可.如图作OP1⊥AB 交⊙O 于P1 交AB 于H，过点O 作直线P2P3∥AB 交⊙O 于P2，P3．∵∠AOB=120°，OA=OB，OH⊥AB，∴∠AOH=∠AOB=60°，∠AHO=90°，∴∠OAH=30°，∵⊙O 的直径为4，∴OH=OA= 1，∴HP1=1，∴直线AB 与直线P2P3 之间的结论距离为1，∴P1，P2，P3 是满足条件的点，∴∠P1AB=∠BOP1=30°，∠P3AB=∠BOP3=15°，∵P2P3是⊙O的直径，∴∠P2AP3=90°，∴∠P2AB=∠P2AP3+∠P3AB=90°+15°=105°，故答案为：15°或30°或105°．解答题用适当的方法解下列方程：(1)3x²+x=3x+1；(2)(2y﹣5)²=(3y+1)²【答案】(1) x1=﹣，x2=1；(2) y1= ，y2=﹣6．【解析】（1）左边提取公因式x，再移项提取公因式（3x+1），让两个因式分别为0，即可得方程的解；（2）移项，利用平方差公式进行因式分解，让两个因式分别为0，即可得答案.（1）3x2+x=3x+1（3x+1）x=3x+1，则（3x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣，x2=1；（2）（2y﹣5）2=（3y+1）2（2y﹣5+3y+1）（2y﹣5﹣3y﹣1）=0，则（5y﹣4）（﹣y﹣6）=0，解得：y1= ，y2=﹣6．解答题已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．（1）请求出抛物线的解析式；（2）当0＜x＜4时，请直接写出y的取值范围．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）y 的取值范围为﹣4≤y＜5．【解析】（1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；（2）根据抛物线的解析式可求出对称轴及顶点坐标，根据函数的增减性即可确定0＜x ＜4 时y的取值范围.（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=x²+bx+c得：，解得：∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）y=（x﹣1）2﹣4，抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣4），∴0【答案】2 米【解析】设人行通道的宽度为x 米，根据题意列方程求出x的值即可.设人行通道的宽度为x 米，则两块绿地可合成长为（21﹣3x）米、宽为（8﹣2x）米的矩形，根据题意得：（21﹣3x）（8﹣2x）=60，整理得：x2﹣11x+18=0，解得：x1=2，x2=9．∵当x=9 时，21﹣3x=﹣6，8﹣2x=﹣10，不合题意，舍去，∴x=2．答：人行通道的宽度为2 米．解答题若一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2﹣ax有最大值还是最小值，并求出其最值．【答案】二次函数有最大值，最大值为﹣a．【解析】由一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限可得-1＜a ＜0，可知二次函数有最大值，把y=ax²﹣ax变形为顶点式即可得二次函数的最大值.∵一次函数y=（a+1）x+a 的图象过第一、三、四象限，∴a+1＞0 且a＜0，∴﹣1＜a＜0，∵y=ax2﹣ax=a（x2﹣x）=a（x2﹣x+﹣）=a（x﹣）2﹣a，∵a＜0，∴二次函数有最大值，最大值为a．解答题如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，且已知∠ADC=120°；请仅用无刻度直尺作出一个30°的圆周角．要求：(1)保留作图痕迹，写出作法，写明答案；(2)证明你的作法的正确性．【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】（1）作直线OA 交⊙O 于E，连接AC，EC，∠EAC 即为所求；（2）根据圆内接四边形的性质可求出∠AEC=60°，根据直径所对的圆周角等于90°即可得∠EAC=30°.（1）作直线OA 交⊙O 于E，连接AC，EC，∠EAC 即为所求；（2）∵AE 是直径，∴∠ACE=90°，∵四边形AECD内接于圆，∴∠ADC+∠AEC=180°，∵∠ADC=120°，∴∠AEC=60°，∴∠EAC=90°﹣60°=30°．解答题（本小题满分8分）如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为()，正六边形的边长为()cm（其中)，求这两段铁丝的总长【答案】解：由已知得．正五边形周长为，正六边形周长为．因为正五边形和正六边形的周长相等．所以整理得，，配方得．解得，（舍去）故正五边形的周长为又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm.答：这两段铁丝的总长为420cm．【解析】试题根据正五边形和正六边形的周长相等，列一元二次方程求x 的值，得出正六边形的边长，再根据所求边长即可求两段铁丝的总长．试题解析：由已知得，正五边形周长为5（x2+17）cm，正六边形周长为6（x2+2x）cm，∵正五边形和正六边形的周长相等，∴5（x2+17）=6（x2+2x），整理得x2+12x-85=0，配方得（x+6）2=121，解得x1=5，x2=-17（舍去），故正五边形的周长为(cm).又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm.答：这两段铁丝的总长为420cm.考点: 一元二次方程的应用.填空题如图，⊙O的直径垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则CD的长为__．【答案】2【解析】根据圆周角定理得到∠BOC的值，再根据三角函数求出CE的长，最后由垂径定理得到CD＝2CE,求得CD的长.根据圆周角定理，∵∠A=15°，∴∠BOC＝30°，∴CE＝OC sin ∠BOC＝2×＝1，∵⊙O的直径垂直于弦CD，垂足为E，∴CD＝2CE ＝2.解答题已知关于的一元二次方程求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（1）；方程的另一个根为；【解析】（1）先把方程（x-3）（x-2）=m2，变形为x2-5x+6-m2=0，得出△=25-4（6-m2）=1+4m2>0，即可得出答案；（2）把1代入原方程，得出m，再把原方程变形为x2-6x+4=0，设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系求出方程的另一个根即可．∵关于的一元二次方程，∴，∴，∴对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；若方程的一个根是，则，，，原方程变形为，设方程的另一个根为，则，，则方程的另一个根为．解答题如图1，已知抛物线L1：y=﹣x2+2x+3 与x 轴交于A，B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C，在L1 上任取一点P，过点P 作直线l⊥x 轴，垂足为D，将L1 沿直线l 翻折得到抛物线L2，交x 轴于点M，N（点M 在点N 的左侧）．(1)当L1 与L2 重合时，求点P 的坐标；(2)当点P 与点B 重合时，求此时L2 的解析式；并直接写出L1 与L2 中，y 均随x 的增大而减小时的x 的取值范围；(3)连接PM，PB，设点P（m，n），当n=m 时，求△PMB 的面积．【答案】(1) P（1，4）;(2) y=﹣x2+10x﹣21；x≥5 ;(3) 或3.【解析】（1）当点P 为抛物线L1 的顶点时，抛物线L1 与L2 重合，把y=﹣x2+2x+3变形为顶点式即可得P点坐标；（2）令y=0，可求出P点坐标，可知L1 与L2的对称轴，进而可得L2的顶点坐标，即可求出L2的解析式；根据图像可得L1 与L2 中，y 均随x 的增大而减小时的x 的取值范围；（3）把P（m，）代入L1解析式可求出m的值，根据三角形面积公式求出S△PNB的值即可.（1）由抛物线对称性，当点P 为抛物线L1 的顶点时，抛物线L1 与L2 重合∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4∴点P（1，4）；（2）在抛物线L1 中，令y=0，即﹣x2+2x+3=0解得x1=﹣1，x2=3当点P 与点B 重合时，此时P（3，0）∴抛物线L2 与抛物线L1 关于直线x=3 对称∴抛物线L2 的顶点为（5，4）∵由抛物线对称性可知，抛物线L1 和L2 开口方向和大小相同．∴抛物线L2 和的解析式为y=﹣（x﹣5）2+4=﹣x2+10x﹣21∴结合图象可知，当x≥5 时，抛物线L1 与抛物线L2 中，y 均随x 的增大而减小（3）当n=时，﹣m2+2m+3=，解得m1=﹣，m2=2，∴点P 坐标为（﹣，﹣）或（2，3）①如图1，当点P 坐标为（﹣，﹣）时，点 D 的坐标为坐标为（﹣，0）∴DB=3﹣（﹣）=∴MB=2BD=2×=9∴S△PMB==②如图2，当点P 坐标为（2，3）时，点D 的坐标为坐标为（2，0）∴DB=3﹣2=1∴MB=2BD=2∴S△PMB==3综上所述：当点P（m，n），n=时，△PMB 的面积为或3.解答题（8分）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．【答案】（1）见解析；（2）48°；（3）∠A=90°﹣．【解析】试题（1）根据外角的性质即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．试题解析：解：（1）∠E=∠F，∵∠DCE=∠BCF，∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC；（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，∵∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC，∴∠ADC=90°，∴∠A=90°﹣42°=48°；（3）连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=90°﹣．解答题如图1，在Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点D、E 分别在边AB、AC 上，AD=AE，连接DC，点M、P、N 分别为DE、DC、BC 的中点,(1)观察猜想：如图1 中，△PMN 是三角形；(2)探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2 的位置，连接MN，BD，CE．判断△PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：将△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请求△PMN 面积的取值范围．【答案】(1)等腰直角三角形；(2)见解析；(3)≤S△PMN≤.【解析】（1）由AB=AC，AD=AE可得BD=CE，由点M、P、N 分别为DE、DC、BC的中点可得MP=PN，由MP∥AC，NP∥AB可知∠MPD=∠ACD，∠PNC=∠ABC=45°，进而可求出∠MPN=90°，即可证明△PMN是等腰直角三角形；（2）根据SAS可证明△ABD≌△ACE即可证明BD=CE，∠ABD=∠ACE，由点M、P、N 分别为DE、DC、BC的中点可得MP=PN，由MP∥AC，NP∥AB可知∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，进而可证明∠PMN=90°，即可证明△PMN是等腰直角三角形；（3）由△PMN是等腰直角三角形可得S△PMN=BD2，根据三角形的三边关系即可得出△PMN 面积的取值范围．（1）∵AB=AC，AD=AE∴BD=CE∵点M、P、N 分别为DE、DC、BC 的中点∴MP=EC，NP=BD，MP∥AC，NP∥AB∴MP=NP∴△PMN 是等腰三角形∵∠A=90°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=45°∵MP∥AC，NP∥AB∴∠MPD=∠ACD，∠PNC=∠ABC=45°∵∠DPN=∠PNC+∠DCB=45°+∠ACB﹣∠ACB=90°﹣∠ACD∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+90°﹣∠ACD=90°∴△PMN 是等腰直角三角形（2）∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAD=∠CAE∵AB=AC，AD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE，∠ABD=∠ACE∵点M、P、N 分别为DE、DC、BC 的中点∴MP=EC，NP=BD，MP∥EC，NP∥DB∴MP=NP∴△PMN 是等腰三角形∵∠A=90°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=45°∵MP∥AC，NP∥AB∴∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC∵∠DPN=∠PNC+∠DCB=∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACB﹣∠ACD=∠DBC+45°﹣∠ACD∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠DBC+45°﹣∠ACD+∠ACD+∠AC E=∠DBC+45°+∠ABD=∠ABC+45°=90°∴△PMN 是等腰直角三角形（3）∵△PMN 是等腰直角三角形∴S△PMN=PN2=×（BD）2=BD2．∵将△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，∴当点D 在AB 上时，BD 最短，此时BD=AB﹣AD=6当点D 在BA 的延长线上时，BD 最长，此时BD=AB+AD=14∴≤S△PMN≤.。

2021-2022学年江西省赣州市章贡区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是()A. B. C. D.2.在平面直角坐标系中，将抛物线y=2(x−1)2+3先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为()A. y=2(x+1)2+2B. y=2(x−3)2+2C. y=2(x+1)2+4D. y=2(x−3)2+43.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C，连接AA1，若∠AA1B1=15°，则∠B的度数是()A. 75°B. 60°C. 50°D. 45°4.若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2−9x+20=0的根，则△ABC的周长是()A. 9B. 10C. 9或10D. 7或105.若关于x的一元二次方程(m+1)x2−2x−1=0有实数根，则m的取值范围是()A. m>−2B. m≥−2C. m>−2且m≠−1D. m≥−2且m≠−16.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)，对称轴为直线x=2，系列结论：(1)4a+b=0；(2)4a+c>2b；(3)5a+3c>0；(4)方程a(x−1)2+b(x−1)+c=0的两根是x1=0，x2=6.其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.点(4,−1)关于原点对称的点的坐标是______．8.已知m是方程x2−2x−1=0的一个根，则代数式2m2−4m+2020的值为______．9.若点A(−2,y1)、B(1,y2)和C(4,y3)是二次函数y=x2−4x−3图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为______．10.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)(x−4)2+3，由此可知铅球推出的距离是______m.之间的关系为y=−11211.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点B恰好落在AB边上D处，则∠1=______°.12.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.当α为______度时，△AOD是等腰三角形？三、解答题（本大题共12小题，共92.0分）13.解方程：(x−5)2=2x−10．14.如图，P是正方形ABCD内一点，△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置．(1)旋转的角度是多少度？(2)若BP=3cm，求线段PE的长．15.已知关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+m=0(m为常数)．(1)求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数m的值．16.如图，已知在△ABC中，∠A=60°，∠C=90°，将△ABC绕点B顺时针旋转150°，得到△DBE.请仅用无刻度的直尺，按要求画图(保留画图痕迹，在图中标出字母，并在图下方表示出所画图形)．(1)在图①中，画一个等边三角形；(2)在图②中，画一个等腰直角三角形．17.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个．(1)求口罩日产量的月平均增长率；(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？18.如图，已知一次函数y1=−x+m与二次函数y2=ax2+bx−3的图象交于A(−1,0)、B(2,−3)两点．(1)求m的值和二次函数的表达式．(2)当y1>y2时，直接写出自变量x的取值范围．19.如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE=CE，连接DE．(1)求证：△BDE≌△BCE；(2)试判断四边形ABED的形状，并说明理由．20.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2−2bx+(a−c)=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．(1)如果x=1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．21.在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A(2,−4)，B(4,−2).C是第四象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．(1)填空：C点的坐标是______，△ABC的面积是______；(2)将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，连接AB1、BA1，则四边形AB1A1B的形状是何特殊四边形？______．(3)请探究：在坐标轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.某矩形工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．(1)若丝绸花边的面积为768cm2，求丝绸花边的宽度．(2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，根据销售经验，销售单价每降低2元，每天可多售出40件，设销售单价降低x元/件(x为偶数)，每天的销售量为y件．①直接写出y与x的函数关系式．②设每天的销售利润为W元，为了让利于顾客，请问应该把销售单价定为多少元，能使每天所获利润最大？最大利润是多少元？23.如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．24.如图，直线y=x−3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=−x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．(1)求3m+n的值；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．(3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y=x+b 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项正确；B、是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．此题主要考查了中心对称图形的定义，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】A【解析】解：∵抛物线y=2(x−1)2+3的顶点坐标为(1,3)，∴平移后抛物线的顶点坐标为(−1,2)，∴平移后抛物线的解析式为y=2(x+1)2+2．故选：A．找出抛物线的顶点坐标，将其按要求平移后可得出新抛物线的顶点坐标，进而即可得出抛物线的解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出平移后抛物线的解析式是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A1B1C，∴AC=A1C，∴△ACA1是等腰直角三角形，∴∠CAA1=15°，∴∠A1B1C=∠1+∠CAA1=15°+45°=60°，由旋转的性质得∠B=∠A1B1C=60°，故选：B．根据旋转的性质可得AC=A1C，然后判断出△ACA1是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA1=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A1B1C，然后根据旋转的性质可得∠B=∠A1B1C.本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：x2−9x+20=0，则(x−4)(x−5)=0，∴x−4=0或x−5=0，则x1=4，x2=5，∵2+3=5，∴第三边的长为4，∴△ABC的周长=2+3+4=9，故选：A．利用因式分解法解出方程，根据三角形的三边关系确定第三边的长，根据三角形的周长公式计算，得到答案．本题考查的是一元二次方程的解法、三角形的三边关系，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：根据题意得m+1≠0且△=(−2)2−4(m+1)×(−1)≥0，解得m≥−2且m≠−1．故选：D．利用二元一次方程的定义和判别式的意义得到m+1≠0且△=(−2)2−4(m+1)×(−1)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．6.【答案】C=2，即b=−4a，【解析】解：由对称轴为直线x=2，得到−b2a∴4a+b=0，故(1)正确；当x=−2时，y=4a−2b+c<0，即4a+c<2b，故(2)错误；当x=−1时，y=a−b+c=0，∴b=a+c，∴−4a=a+c，∴c=−5a，∴5a+3c=5a−15a=−10a，∵抛物线的开口向下∴a<0，∴−10a>0，∴5a+3c>0；故(3)正确；∵方程ax2+bx+c(a≠0)=0的两根为x1=−1，x2=5，∴方程a(x−1)2+b(x−1)+c=0的两根是x1=0，x2=6，故(4)正确．故选：C．根据对称轴可判断(1)；根据当x=−2时y<0可判断(2)；由图象过点(−1,0)知a−b+c=0，即c=−a+b=−a−4a=−5a，从而得5a+3c=5a−15a=−10a，再结合开口方向可判断(3)；方程ax2+bx+c(a≠0)=0的两根为x1=−1，x2=5，可判断(4)．本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，③常数项c决定抛物线与y轴交点，④抛物线与x轴交点个数是解题的关键．7.【答案】(−4,1)【解析】解：点(4,−1)关于原点对称的点的坐标为：(−4,1)．故答案是：(−4,1)．利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)，进而得出答案．此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．8.【答案】2022【解析】解：∵m是方程x2−2x−1=0的一个根，∴m2−2m−1=0，∴m2−2m=1，∴2m2−4m+2020=2(m2−2m)+2020=2+2020=2022．故答案为：2022．根据一元二次方程的解的定义得到m2−2m=1，再把2m2−4m表示为2(m2−2m)，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9.【答案】y1>y3>y2【解析】解：∵二次函数y=x2−4x−3=(x−2)2−7，∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x=2．∵点A(−2,y1)、B(1,y2)和C(4,y3)是二次函数y=x2−4x−3图象上的三点，而三点横坐标离对称轴x=2的距离按由远到近为：A、C、B，∴y1>y3>y2．故答案为：y1>y3>y2．二次函数抛物线向上，且对称轴为x=2.根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据函数关系式，找出对称轴．10.【答案】10(x−4)2+3中，y=0，【解析】解：令函数式y=−112(x−4)2+3，0=−112解得x1=10，x2=−2(舍去)，即铅球推出的距离是10m．故答案为：10．根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．11.【答案】100【解析】解：∵AB=AC，∠B=70°，∴∠ACB=∠B=70°，∴∠A=180°−70°−70°=140°，∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，∴∠CDE=∠B=70°，BC=CD，∴∠B=∠BDC=70°，∴∠ADE=180°−70°−70°=40°，∴∠1=180°−40°−40°=100°，故答案为：100．根据等腰三角形的性质和旋转的性质是解题的关键．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．12.【答案】110、125、140【解析】解：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠OCD=60°，OC=CD，∠ADC=α，∴△COD是等边三角形OCD，∴∠COD=60°，∠CDO=60°，∠ADO=∠ADC−∠CDO=α−60°，∵∠AOD=360°−110°−60°−α=190°−α，∴∠OAD=180°−(∠AOD+∠ADO)=180°−(190°−α+α−60°)=50°；∵△AOD为等腰三角形，当AO=OD时，∠AOD+2∠ODA=180°，即190°−α+2×(α−60°)=180°，解得α=110°，当AO=AD时，∠AOD=∠ODA，即190°−α=α−60°，解得α=125°，当OD=AD时，2×(190°−α)+α−60°=180°，解得α=140°所以当α为110°、125°、140°时，△AOD是等腰三角形；故答案为：110、125、140．根据旋转前后图形不发生变化，得出三角形COD是等边△OCD，从而表示出∠AOD与∠ADO，进而求出∠OAD，再根据等腰三角形的性质，分别假设AO=AD，OA=OD，OD=AD，从而求出α．此题主要考查了等边三角形的性质，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．13.【答案】解：移项得：(x−5)2−2(x−5)=0，分解得：(x−5)(x−5−2)=0，所以x−5=0或x−7=0，解得：x1=5，x2=7．【解析】方程移项后分解因式，根据ab=0，得到a=0或b=0，求出解即可．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．14.【答案】解：(1)∵△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置，∴∠ABC为旋转角，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，即旋转的角度是90度；(2)∵△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置，∴BP=BE=3cm，∠PBE=∠ABC=90°，∴PE=√BP2+BE2=√32+32=3√2cm．故答案为：(1)90°，(2)3√2cm．【解析】(1)找出对应边AB、BC的夹角的度数就是旋转角的度数；(2)根据旋转变换的性质可知BP=BE，∠PBE=∠ABC，再根据勾股定理列式求解即可得到PE的长度．本题主要考查了旋转变换的性质，根据对应边的夹角的度数就等于旋转角的度数求解是解题的关键．15.【答案】解(1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4，∵无论m为何值时m2≥0，∴m2+4≥4>0，即Δ>0，所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)∵关于x的方程x2−(m+2)x+m=0有两个实数根x1，x2∴x1+x2=m+2，x1x2=m．∵x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=16+x1x2，∴(m+2)2−2m=16+m，即m2+m−12=0，解得：m=−4或m=3∴实数m的值为−4或3．【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=(m+1)，x1⋅x2=m，结合x12+x22=16+ x1x2可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合(1)的结论即可确定m 的值．本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程有实数根”；(2)根据根与系数的关系结合x12+x22=16+x1x2，找出关于m的一元二次方程．16.【答案】解：(1)如图①中，延长EB交AC的延长线于F.△ABF即为所求．(2)如图②中，延长AB交ED的延长线于H，连接FH，△EFH即为所求．【解析】(1)如图①中，延长EB交AC的延长线于F.△ABF即为所求．(2)如图②中，延长AB交ED的延长线于H，连接FH，△EFH即为所求．本题考查作图−旋转变换，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：(1)设口罩日产量的月平均增长率为x，依题意得：30000(1+x)2=36300，解得：x1=−2.1(不合题意，舍去)，x2=0.1=10%．答：口罩日产量的月平均增长率为10%．(2)36300×(1+10%)=39930(个)．答：预计4月份平均日产量为39930个．【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．(1)设口罩日产量的月平均增长率为x，利用3月份的平均日产量=1月份的平均日产量×(1+月平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出口罩日产量的月平均增长率为10%；(2)利用4月份平均日产量=3月份的平均日产量×(1+月平均增长率)，即可预计出4月份平均日产量．18.【答案】解：(1)将点A(−1,0)代入y1=−x+m，则m=−1，∴y1=−x−1，将点A(−1,0)、B(2,−3)代入y2=ax2+bx−3，∴a=1，b=−2，∴y2=x2−2x−3；(2)由图象可得，y1>y2时，−1<x<2．【解析】(1)将点A(−1,0)、B(2,−3)代入y2=ax2+bx−3，将点A(−1,0)代入y1=−x+ m分别求解即可；(2)由图象可得，y1>y2时，−1<x<2．本题考查二次函数和一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数和二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．19.【答案】(1)证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠DBE=∠CBE=30°，在△BDE和△BCE中，∵{DB=CB∠DBE=∠CBE BE=BE，∴△BDE≌△BCE(SAS)；(2)四边形ABED为菱形；由(1)得△BDE≌△BCE，∵△BAD是由△BEC旋转而得，∴△BAD≌△BEC，∴BA=BE，AD=EC=ED，又∵BE=CE，∴四边形ABED为菱形．【解析】(1)根据旋转的性质可得DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，然后根据垂直可得出∠DBE=∠CBE=30°，继而可根据SAS证明△BDE≌△BCE；(2)根据(1)以及旋转的性质可得，△BDE≌△BCE≌△BDA，继而得出四条棱相等，证得四边形ABED为菱形．本题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质以及菱形的判定，涉及知识点较多，难度较大．20.【答案】解：(1)把x=1代入方程得a+c−2b+a−c=0，则a=b，所以△ABC为等腰三角形；(2)根据题意得△=(−2b)2−4(a+c)(a−c)=0，即b2+c2=a2，所以△ABC为直角三角形；(3)∵△ABC为等边三角形，∴a=b=c，∴方程化为x2−x=0，解得x1=0，x2=1．【解析】(1)把x=1代入方程得a+c−2b+a−c=0，整理得a=b，从而可判断三角形的形状；(2)根据判别式的意义得△=(−2b)2−4(a+c)(a−c)=0，即b2+c2=a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；(3)利用等边三角形的性质得a=b=c，方程化为x2−x=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．21.【答案】(1,−1)4矩形【解析】解：(1)根据题意点C坐标为(1,−1)，如图1．S△ABC=3×3−12×3×1−12×3×1−12×2×2=4．故答案为：(1,−1)，4(2)如图2，∵将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，∴A1，C，A在同一直线上，B1，C，B在同一直线上，A1C=AC，B1C=BC，∴四边形AB1A1B是平行四边形，∵AC=BC，∴A1A=B1B，∴平行四边形AB1A1B是矩形，故答案为：矩形；(3)存在．由(1)知S△ABC=4，则S四边形ABOP=8.同(1)中的方法得S△ABO=16−4−4−2=6；当P在x轴负半轴时，S△APO=2，高为4，那么底边长为1，所以P(−1,0)；当P在y轴负半轴时，S△APO=2，高为2，所以底边长为2，此时P(0,−2)；而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP；故点P的坐标为(−1,0)，(0,−2)．(1)根据题意点C在线段AB的垂直平分线上，且腰长为无理数，所以C(1,−1)，利用分割法求出△ABC的面积即可；(2)如图2，根据旋转的性质得到A1，C，A在同一直线上，B1，C，B在同一直线上，A1C=AC，B1C=BC，推出四边形AB1A1B是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；(3)由(1)知S△ABC=4，则S四边形ABOP=8.同(1)中的方法得S△ABO=16−4−4−2=6；当P在x轴负半轴时，当P在y轴负半轴时，而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP；于是得到结论．本题考查了中心对称，三角形的面积的计算，矩形的判定，正确的画出图形是解题的关键．22.【答案】解：(1)设丝绸花边的宽度为x cm，由题意得：(60−2x)(40−x)=40×60−768，即x2−70x+384=0，解得x=6或x=64(舍去)，答：丝绸花边的宽度为6cm；(2)①根据题意得，y=200+20x；②依题意得每天的销售利润为W=(200+20x)(100−40−x)=−20(x−25)2+ 24500，故当x=25时，最大销售利润为W=24500，∵x为偶数，∴当x=24或x=26时，有最大利润，为了让利于顾客，∴x=26，符合题意，此时w=24480，故销售单价定为100−26=74，答：每件商品的销售单价定为74元时，每天获得的利润最大，最大利润是24480元．【解析】(1)设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；(2)根据题意即可得到结论；②依题意得每天的销售利润，根据二次函数的性质即可得到结论．此题考查了二次函数的应用，以及一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．23.【答案】解：(1)PM=PN；PM⊥PN (2)△PMN是等腰直角三角形．由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，利用三角形的中位线得，PN=12BD，PM=12CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同(1)的方法得，PM//CE，∴∠DPM=∠DCE，同(1)的方法得，PN//BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形；(3)方法1：如图2，同(2)的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE//BC且DE在顶点A上面，∴MN最大=AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2√2，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5√2，∴MN最大=2√2+5√2=7√2，∴S△PMN最大=12PM2=12×12MN2=14×(7√2)2=492．方法2：由(2)知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=12BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S△PMN最大=12PM2=12×72=492．【解析】【分析】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解(1)的关键是判断出PM=12CE，PN=12BD，解(2)的关键是判断出△ABD≌△ACE，解(3)的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大．(1)利用三角形的中位线得出PM=12CE，PN=12BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；(2)先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同(1)的方法得出PM=12BD，PN=12BD，即可得出PM=PN，同(1)的方法即可得出结论；(3)方法1：先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN 最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD最大时，△PMN 的面积最大，而BD最大是AB+AD=14，即可得出结论．【解答】解：(1)∵点P ，N 是BC ，CD 的中点，∴PN//BD ，PN =12BD ，∵点P ，M 是CD ，DE 的中点，∴PM//CE ，PM =12CE ，∵AB =AC ，AD =AE ，∴BD =CE ，∴PM =PN ，∵PN//BD ，∴∠DPN =∠ADC ，∵PM//CE ，∴∠DPM =∠DCA ，∵∠BAC =90°，∴∠ADC +∠ACD =90°，∴∠MPN =∠DPM +∠DPN =∠DCA +∠ADC =90°，∴PM ⊥PN ，故答案为：PM =PN ，PM ⊥PN ；(2)(3)见答案 24.【答案】解：(1)直线y =x −3，令y =0，则x =3，令x =0，则y =−3， 故点B 、C 的坐标分别为(3,0)、(0,−3)，将点B 、C 的坐标分别代入抛物线表达式得：{n =−30=−9+3m −n ，解得：{m =4n =−3， 则抛物线的表达式为：y =−x 2+4x −3，则点A 坐标为(1,0)，顶点P 的坐标为(2,1)， 3m +n =12−3=9；(2)①当CP =CQ 时，C 点纵坐标为PQ 中点的纵坐标相同为−3，故此时Q 点坐标为(2,−7)；②当CP =PQ 时，同理可得：点Q 的坐标为(2,1−2√5)或(2,1+2√5)；同理可得：过该中点与CP 垂直的直线方程为：y =−12x −12，当x =2时，y =−32，即点Q 的坐标为(2,−32)；③当CQ=PQ时，)，同理可得：点Q的坐标为(2,−32)或(2,−7)；故：点Q的坐标为(2,1−2√5)或(2,1+2√5)或(2,−32(3)图象翻折后的点P对应点P′的坐标为(2,−1)，①在如图所示的位置时，直线y=x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，此时C、P′、B三点共线，b=−3；②当直线y=x+b与翻折后的图象只有一个交点时，此时，直线y=x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；即：x2−4x+3=x+b，△=52−4(3−b)=0，解得：b=−13．4．即：b=−3或−134【解析】(1)求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；(2)分CP=PQ、CP=CQ、CQ=PQ，分别求解即可；(3)分两种情况，分别求解即可．本题考查的是二次函数综合运用，难点在于(3)，关键是通过数形变换，确定变换后图形与直线的位置关系，难度不大．。