矩阵的初等变换与线性方程

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。

为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具———矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。

§1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。

一、引例求解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+=+--979634226442224321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x(1)(1) )(1B )(2B)(3B ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+-=+-+00304244324321x x x x x x x x )(4B 问题10共采取了几种变换将(1)变为)(4B 的？（三种：(ⅰ) 交换方程的次序；(ⅱ) 用数)0(≠k 乘某方程； (ⅲ) 将某方程的k 倍加到另一方程上。

且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的）20在这三种变换下，(1)与)(4B 是否同解？即这三种变换是否都可逆？ （都可逆，即同解变换） 30采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？ （阶梯形。

其寓意：方程④表明方程组有一个多余的方程； 将③代入②得32x x =，表明3x (或2x )可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于一个未知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量）40 由于(1)与其增广矩阵)(b A B =构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果是什么？⎝⎛=B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------97963211322111241211 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------34330635500222041211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----310620000111041211 5000310000111041211B =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---. 对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中的正式定义：②-③ ③-2① ④-3① ①②③④①↔ ② ③ ÷③↔④ ④-2③ ③↔④ ④-2③ ①②③④②-③ ③-2①④-3① ②÷ 2③+5② ④-3②二、初等变换1、定义1 以下三种变换称为矩阵的初等行变换：(ⅰ) 对调两行（对调i 、j 两行记作：j i r r ↔）；(ⅱ) 以数k ≠0乘某行中的所有元素（第i 行乘k 记作：k r i ⨯）；(ⅲ) 将某行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（将第j 行的k 倍加到第i 行记作：j i r k r +）。

矩阵的初等变换与线性方程组12页1. 初等变换的定义初等变换是指对一个矩阵进行以下三种操作：交换矩阵的两行；将某一行乘以一个非零数；将某一行加上另一行的若干倍。

2. 线性方程组与矩阵对于一个线性方程组，可以将其表示为矩阵乘向量的形式，即A*x=b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。

3. 初等变换与线性方程组通过初等变换可以将一个线性方程组转化为与之等价的线性方程组，这一性质可以通过矩阵的等价变换得到。

4. 高斯消元法高斯消元法是一种使用初等变换求解线性方程组的经典方法。

通过对系数矩阵进行初等变换，将其转化为一个上三角矩阵，即可逐步求解未知向量。

5. 求解线性方程组的基本思路求解线性方程组的基本思路是，对系数矩阵进行初等变换，将其转化为一个上三角矩阵，然后通过回带求解未知向量。

如果系数矩阵不可逆，那么方程组可能无解或者有无穷多解。

6. 矩阵求逆的基本方法矩阵求逆也可以通过对系数矩阵进行初等变换得到。

具体方法是利用矩阵的增广形式构造一个方阵，然后对该方阵进行初等变换，将其转化为一个单位矩阵。

最终得到的矩阵就是原矩阵的逆矩阵。

7. 线性方程组的解的存在唯一性定理线性方程组的解的存在唯一性定理指出，对于一个线性方程组，只有当系数矩阵满秩时，才存在唯一解。

如果系数矩阵不满秩，那么方程组可能无解或者有无穷多解。

8. 向量空间与子空间向量空间是指满足一定运算法则的向量集合。

子空间是指一个向量空间的子集，且满足加法和数乘运算的封闭性。

9. 基和维数基是指一个向量空间中的一组线性无关的向量集合。

维数是指一个向量空间中的基向量个数。

10. 极大线性无关组和极大线性无关组成基极大线性无关组是指在一个向量集合中，能够选出一组线性无关的向量，并且在该向量集合中没有其他向量能够加入这组向量。

这组向量就是该向量集合的极大线性无关组。

极大线性无关组可以通过初等变换得到线性无关的基向量。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组3.1 目的要求1．掌握矩阵的初等变换及用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法。

了解矩阵等价的概念． 2．理解矩阵秩的概念并掌握其求法．3．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件． 4．掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法． 3.2 重要公式和结论 3.2.1 矩阵的秩1．若~A B ，则()()R R =A B .2．对于任意矩阵A ，总可以通过初等行变换将其化为行阶梯形，A 的行阶梯形中非零 行的行数就等于矩阵A 的秩.3．矩阵秩的性质：① 0()m in{,}m n R m n ⨯≤≤A ； ② ()()T R R =A A ；③ 若~A B ，则()()R R =A B ； ④ 若P 、Q 可逆，则()()R R =PAQ A ； ⑤ max{(),()}(,)()()R R R R R ≤≤+A B A B A B ； ⑥ ()()()R R R +≤+A B A B ； ⑦ ()min{(),()}R R R ≤AB A B ； ⑧ 若0m n n l ⨯⨯=A B ，则()()R R n +≤A B . 3.2.2 初等矩阵与矩阵求逆1．三种初等变换对应着三种初等矩阵(,),(()),(,())i j i k i j k E E E ，且初等矩阵具有以下性质：det (,)1i j =-E ，det (())0i k k =≠E ，det (,())1i j k =E ， 1(,)(,)i j i j -=E E ，11(())(())i k i k-=E E ，1(,())(,())i j k i j k -=-E E .2．设A 是一个n m ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵；3．方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使得12l = A P P P .4．方阵A 可逆的充分必要条件是r −−→A E .5．n m ⨯阵~A B 的充分必要条件是存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使=P A Q B ．6．对于方阵A ，若(,)(,)r −−→A E E X ，则（1）A 可逆；（2）1-=X A ．7．设有n 阶矩阵A 及n s ⨯阶矩阵B ，若(|)(|)r −−→A B E X ，则（1）A 可逆；（2）1-=X A B ． 3.2.3 线性方程组的解1．n 元线性方程组m n ⨯=A x b ，① 无解的充分必要条件是()(,)R R <A A b ； ② 有解的充分必要条件是()(,)R R =A A b ；③ 有唯一解的充分必要条件是()(,)R R n ==A A b ； ④ 有无穷多解的充分必要条件是()R =A (,)R n <A b .2．n 元齐次线性方程组0m n ⨯=A x 有非零解的充分必要条件是()R n <A . 3.3例题分析例3.1 设23822122121314-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，求()R A ． 分析 对于一个具体的矩阵求秩问题，先对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形，根据行阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.解 131406440000r⎛⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪⎝⎭A ，故()2R =A .例3.2 设11223011112323644711a a a a ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥++⎢⎥++⎣⎦A ，则A 的秩()R =A ( ) . (A) 必为2 (B) 必为3 (C) 可能为2，也可能为3 (D) 可能为3，也可能为4.分析 先将A 化成行阶梯形，再确定矩阵的秩. 解 因为112230111100301055ra a a a ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥−−→⎢⎥-+⎢⎥--⎣⎦A ，可知，当5=a 时，()3R =A ，否则()4R =A .例3.3 设4阶方阵A 的秩为2，其伴随矩阵*A 的秩为( ).(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4解 由4阶方阵A 的秩为2，其伴随矩阵*0=A ，故*A 的秩为0.例3.4 设)3(≥n n 阶矩阵111a a a a a a aa a aaaa ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，()1R n =-A ，则=a ( ). (A) 1 (B)n-11 (C) -1 (D)11-n解 因为()1R n =-A ，所以0=A .又1(1)[(1)1]n a n a -=--+A ，故1=a 或na -=11.当1=a 时，易知()1R =A ，当na -=11时，()1R n =-A .例3.5 设A 是3阶矩阵，已知301201013⎡⎤⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A E ，则2(2)R +A A = . 解 因为280+=≠A E ，所以2+A E 为可逆矩阵.又1012201011⎡⎤⎢⎥=+-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A E E 可得()2R =A .故2(2)(())()2R R R +=+==A A A A E A .例3.6 设*A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，证明(1) 1*n -=A A，(2) *,();()1,()1;0,()1n R n R R n R n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩A A A A分析 联想到矩阵的秩及*A 的定义.证明 (1) 当0≠A 时，由*=AA A E ，知*n=A AA，故1*n -=A A.当0=A 时，由*0==AA A E ，得*0=A .因为假设*0≠A ，于是*A 是可逆矩阵，由*0=AA ， 知0=A ，与 *0≠A 矛盾.因此，当0=A 时也有1*n -=A A .(2) 当()R n =A 时，则0≠A ，由*=AA A E 知，两边取行列式得*n=A A A ，即1*0n -=≠A A，所以*()R n =A ；当()1R n =-A 时，由定义知A 有1-n 阶非零子式，这时*()0Tij =≠A A ， 即*()1R ≥A ，而*0==AA A E ，由性质知*()()R R n +≤A A ，推得*()1R ≤A ， 综上可得*()1R =A ；当()2R n ≤-A 时，知所有1-n 阶子式全为零，即0)(*==Tij A A ， 由此可知0)(*=A R .例3.7 设111212122212n nn n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ A ,(n j i b a ji ,,2,1,,0 =≠)，求2(),()R R A A .解 因为[]1112112122221212n n n n n n n n a b a b a b a a b a b a b abb b a b a b a b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A ，知()1R ≤A由题0i j a b ≠知，()1R ≥A ，故()1R =A . 因为 [][]1122212121()nn n i i i n n a a a a b b b b b b a b a a =⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑A A故 1210,0()1,0ni i i ni i i a b R a b ==⎧=⎪⎪=⎨⎪≠⎪⎩∑∑A .例3.7已知123212134⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求1-A . 分析 矩阵的逆矩阵求法有两种方法，一种是利用公式，另一种是利用矩阵的初等变换，且后一种是比较常用的方法，特别是对于阶数高于3阶以上的矩阵.解 123100100211()212010010614134101513r -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A E 故1211614513--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A例3.8 设=+X A X B ，求X ，其中01011111,201153-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A B . 解 由=+X A X B 得()-=E A X B ()1101110120|1012001264102530173r r ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-−−→--−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦E A B10093010820173-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦所以193()8273--⎡⎤⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦X E A B 例3.9方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221ax x x x ax x x a x ax 的系数矩阵记为A ，若存在3阶矩阵B ，使0=A B ，则( ). (A)2-=a 且0=B (B) 2-=a 且0≠B(C)1=a 且0=B (D) 1=a 且0≠B分析 齐次方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于3. 例3.10 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=+--032030432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.解 系数矩阵经过初等变换得111111011113001211230000r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A 由()2,4R n ==A 知方程组有无穷多组解,得同解方程组⎩⎨⎧=-=--02043421x x x x x 移项后得 ⎩⎨⎧=+=434212x x x x x令2412,t x t x ==， 得 1211100201t t ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x ,R t t ∈21,例3.11 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--+-=+-+---=+-+2212421254321543215421x x x x x x x x x x x x x x .解 对增广矩阵(|)A b 进行初等行变换()110211100211|21142101042011121201421r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦A b ()(|)35R R ==<A A b ，所以方程组有无穷多解，令2514,c x c x ==，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0010110221014421242412212121212154321c c c c c c c c c c x x x x x 例3.12设有线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++λλλλ321321321)1(3)1(0)1(x x x x x x x x x问λ取何值时，此方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解.分析 因为方程组的系数矩阵A 为方阵，所以可以先讨论0=A 时λ的取值，给讨论带来方便.解 因系数矩阵A 为方阵，故方程有唯一解的充分必要条件是系数行列式0≠A .而 2111111(3)111λλλλλ+=+=++A当0=λ时， 1110111011130001111000r ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B 知()1,()2R R ==A B ，故方程组无解. 当3-=λ时，21101011121301121123000r ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦B 知()()2R R ==A B ，故方程组有无穷多个解，且通解为)(,021111321R c c x x x ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡.例3.13 求解=A x b ，其中111111111λλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，21λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦b . 分析 本题为求解非齐次线性方程组，通常先把增广矩阵通过行变换化成行最简形，然后再求通解.解 ()2221111111|11101111111011(1)r λλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦A b当1λ=时， ()11111|00000000r⎡⎤⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b 方程的通解为 12123341111100001000010x x c c c x x ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 当1λ≠时，()211110101|01111011001121(1)r rλλλλλλλλλ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−→++−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--++⎣⎦⎣⎦A b方程的通解为12324111102(1)x x c x x λλλλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换一. 初等变换1.交换矩阵的两行或两列2.以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为ri×k）3.把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素(第j行乘以k加到第i行记为ri+krj)。

二. 等价1.若矩阵A经过有限次的初等变换变为矩阵B，则矩阵A与矩阵B等价。

2..等价关系具有的性质：(i)反身性A~A;(ii) 对称性若A~B,则B~A;(iii) 传递性若A~B,B~C,则A~C;第二节矩阵的秩一. 数学概念定义2.1在矩阵A中，任取k行与k列(k≤m,k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在矩阵中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。

定义2.1设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0，那末D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。

1. 零矩阵的秩为0；2.；3. 可逆矩阵称为满秩矩阵；4. 不可逆矩阵称为降秩矩阵。

二. 原理公式和法则定理2.1若A~B，则R(A)= R(B)。

根据这一定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换成行阶梯形矩阵，易见该矩阵最高阶非零子式的阶数。

显然行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。

这就给出求矩阵秩的方法。

第三节线性方程组的解一.数学概念根据矩阵的乘法，可以将线性方程组写成矩阵形式。

1.n元齐次线性方程组；2.n元非齐次线性方程组；3. 称A为方程组的系数矩阵，B=(A，b)为非齐次线性方程组的增广矩阵。

二．原理、公式和法则定理3.1n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件的系数矩阵A的秩R(A)<n。

定理3.2n元非齐次线性方程组有解的充分必要条件的系数矩阵A的秩等于增广矩阵B=(A，b)的秩。

显然定理3.1是判断齐次线性方程组有什么样解的问题，而定理3.2是用来判断非齐次线性方程组有没有解的问题。