知识点串讲
必修五
第一章：解三角形
1．1．1正弦定理
1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin a
b
A B =sin c
C =
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
2、已知∆ABC 中，∠A 060=，a =求
sin sin sin a b c A B C
++++ 证明出sin sin a b A B =sin c C ==sin sin sin a b c A B C
++++ 解：设sin sin a b A B =(>o)sin c k k C
== 则有sin a k A =，sin b k B =，sin c k C = 从而sin sin sin a b c A B C ++++=sin sin sin sin sin sin k A k B k C A B C
++++=k
又sin a A =2k ==，所以sin sin sin a b c A B C
++++=2 评述：在∆ABC 中，等式sin sin a b A B =sin c C ==()0sin sin sin a b c k k A B C ++=>++ 恒成立。
3、已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c
（答案：1：2：3）
1.1.2余弦定理
1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+-
2222cos b a c ac B =+-
2222cos c a b ab C =+-
从余弦定理，又可得到以下推论：
222
cos 2+-=b c a A bc 222
cos 2+-=a c b B ac 222
cos 2+-=b a c C ba
2、在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A
⑴解：∵2222cos =+-b a c ac B
=222+-⋅cos 045
=2121)+-
=8
∴=b
求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc ∴060.=A
解法二：∵sin 0sin sin45,=a A B b
2.4 1.4
3.8,+=
21.8 3.6,⨯=
∴a ＜c ，即00＜A ＜090,
∴060.=A
评述：解法二应注意确定A 的取值范围。
3、在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=1200）
1．1．3解三角形的进一步讨论
1、在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B a =
可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+ 从而sin a C c A
= 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。
2．当A 为锐角时，
如果a ≥b ，那么只有一解；
如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若sin a b A >，则有两解；
（2）若sin a b A =，则只有一解；
（3）若sin a b A <，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且
sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
2、（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。
（2）在∆ABC 中，若1a =，12
c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。 （3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）2x <<
3、在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。
解：222753>+，即222a b c >+，
∴ABC 是钝角三角形∆。
4、（1）在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断∆ABC 的类型。
（2）已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。
（答案：（1）ABC 是钝角三角形∆；（2）∆ABC 是等腰或直角三角形）
5、在∆ABC 中，060A =，1b =，面积为2，求sin sin sin a b c A B C
++++的值 sin sin a
b
A B =sin c
C ==sin sin sin a b c A B C
++++
解：由1sin 2S bc A ==得2c =，
则2222cos a b c bc A =+-=3，即a = 从而sin sin sin a b c A B C ++++2sin a A
==
1.2解三角形应用举例
1、两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B 在观察站C 南偏东60︒，则A 、B 之间的距离为多少？ 解略：2a km
2、 某人在M 汽车站的北偏西20︒的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶。公
路的走向是M 站的北偏东40︒。开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M 汽车站？
解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B 处。在∆ABC 中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得
cosC=BC AC AB BC AC ⋅-+2222=31
23, 则sin 2C =1- cos 2C =231
432, sinC =31
312, 所以 sin ∠MAC = sin （120︒-C ）= sin120︒cosC - cos120︒sinC =
62335 在∆MAC 中，由正弦定理得
MC =AMC MAC AC ∠∠sin sin =2
3
31⨯62335=35 从而有MB= MC-BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M 汽车站。
