高中数学选修22人教A版 .2反证法PPT

2.2.2反证法教学建议1.教材分析本节主要内容是反证法的概念及应用反证法进行证明的一般步骤,通过学习本节内容,对培养学生的逆向思维是非常有利的,反证法是间接证明的一种基本方法.重点:了解反证法的含义及思维过程和特点,并能简单应用.难点:应用反证法解决问题.2.主要问题及教学建议(1)方法的选择.建议教师要求学生总结何时采用反证法证明更好.当问题涉及否定性,唯一性,至多,至少等字眼或问题很显然从正面无法下手时可以考虑反证法.(2)证明过程中的问题.建议教师注意展示学生的证明过程,有针对性地改正以下错误现象:不会反设或反设不全面,反设后不会应用反设(若不用反设就不是反证法了),对推出矛盾没有预见性或推不出矛盾,引导学生学会制造矛盾.备选习题1.如图,设SA,SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆的圆心,C是SB上一点.求证:AC与平面SOB不垂直.证明:如图,连接AB,OB,假设AC⊥平面SOB.∵直线SO在平面SOB内,∴AC⊥SO.∵SO⊥底面圆O,∴SO⊥AB.又AB∩AC=A,∴SO⊥平面ABC,∴平面ABC∥底面圆O.这显然与AB⊂底面圆O矛盾,∴假设不成立.故AC与平面SOB不垂直.2.设{a n}是公比为q的等比数列,S n是它的前n项和.(1)求证:数列{S n}不是等比数列;(2)数列{S n}是等差数列吗?为什么?(1)证明:反证法:假设{S n}是等比数列,则=S1S3,即(1+q)2=a1·a1(1+q+q2).∵a1≠0,∴(1+q)2=1+q+q2,即q=0,与q≠0矛盾,∴{S n}不是等比数列.(2)解:当q=1时,{S n}是等差数列.当q≠1时,{S n}不是等差数列.假设q≠1时,{S n}是等差数列,则S1,S2,S3成等差数列,即2S2=S1+S3.∴2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2).由于a1≠0,∴2(1+q)=2+q+q2,q=q2.∵q≠1,∴q=0,与q≠0矛盾.∴当q≠1时,{S n}不是等差数列.。

§2.2.2 反证法教学目标：1．结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2．通过本节内容的学习了解间接证明反证法的思考过程、特点；3．增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。

教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程；教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】 三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）。

(二)、探究新知，揭示概念反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。

（三）、分析归纳，抽象概括一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.（四）、知识应用，深化理解例1 已知直线a ，b 和平面αβ， ,如果,a b αα⊄⊂ ,且//a b ,求证: //a α。

例2 已知三个正数 ,,a b c .证明：假设=即4a c b ++=，而2b ac =，即b =20∴==从而a b c ==，与,,a b c .点评：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题的反面比较具体，适用反证法.（2）反证法属于“间接解题的方法”书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”例3. （ 提示：有理数可表示为/m n ）/m n （m ,n 为互质正整数），从而：2(/)2m n =，222m n =，可见m 是2的倍数.设m =2p （p 是正整数），则 22224n m p ==，可见n 也是2的倍数.这样，m , n 就不是互质的正整数（矛盾）./m n =不可能，.课堂练习：1、课本P91页 练习1、2（五）、归纳小结、布置作业反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）布置作业：.课本P91页 A 组4中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

[教学设计•高中数学]《反证法》教学设计《反证法》教学设计第一部分：教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修2-2》（人教A版）第一章《推理与证明》的第3节《反证法》.“逻辑推理能力”是高中数学核心素养中非常重要的一个环节，也是人们学习和生活中，经常使用的思维方式。

推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。

这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用第二部分：学生学情诊断学生在初中已经接触过反证法，但是不够系统和详细。

也已经在选修2-1《逻辑与推理》环节接触过命题的真假、逆否命题。

但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。

究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的，所以本节课要引导学生联系已学过的教学实例学习新内容进行教学。

由于所教学生基础较好，但是数学思维相对欠缺，对于反证法证明简单命题问题不大，但由于对数论基础知识不是特别专长、对生活中的逻辑学生对数的了解不多，研究不够，所以例1能顺利解决，但是例2例3，解决起来还是会出现一定困难。

第三部分：教学目标设置(1)知识与能力：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

(2)过程与方法：通过直观感知—观察—操作确认的认识方法培养学生观察、探究、发现的能力和逻辑思维能力。

让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

(3)情感、态度、价值观：通过体验数学活动，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。

在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。

核心素养：逻辑推理能力第四部分：重点难点分析重点：1、理解反证法的概念。

2．2.2 反证法1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．1．反证法假设原命题______(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这样的证明方法叫做反证法．【做一做1－1】应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③【做一做1－2】否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为() A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中或都是奇数或至少有两个偶数2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与________矛盾，或与____矛盾，或与____________矛盾等．用反证法证明命题“若p，则q”时，为什么q假q就真？【做一做2】如果两个实数之和为正数，则这两个数()A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个数是正数D．两个都是负数答案：1．不成立假设错误原命题成立【做一做1－1】C由反证法的定义知，应选C.【做一做1－2】D对“恰有一个”的否定是“一个也没有或至少有两个”，故选D.2．已知条件假设定义、公理、定理、事实思考讨论提示：在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一，所以命题结论q的反面q错误时，q就一定正确．【做一做2】C假设两个数都是负数或零，或一负数一零，则其和必为负数或零，这与已知矛盾．故选C.1．怎样理解反证法的概念？剖析：(1)反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．(2)反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．2．反证法解题的实质是什么？剖析：用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而证明原结论正确．否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面的反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法；要注意用反证法解题，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾．3．反证法证题的步骤有哪些？剖析：反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示：这个过程包括下面三个步骤：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬——由“反设”作为条件出发经过一系列正确的推理，得出矛盾；(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．简单概括反证法的证明过程就是“反设→归谬→存真”．用反证法证明数学命题，需要注意以下几点：(1)反证法中的“反设”，是应用反证法的第一步，也是关键一步．“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件．“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明．做好“反设”应明确：①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况．(2)反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的题设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．(3)反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定的“结论的反面”是错误的，从而肯定原结论是正确的．(4)在反证法证题的过程中，经常画出某些不合常理的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的是为了能清楚地说明问题．在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观，这与用直接法通过图形找到证题的途径是完全不一样的．(5)宜用反证法证明的题型有：①一些基本命题、基本定理；②易导出与已知矛盾的命题；③“否定性”命题；④“唯一性”命题；⑤“必然性”命题；⑥“至多”“至少”类命题；⑦涉及“无限”结论的命题．题型一用反证法证明否(肯)定式命题【例题1】用反证法证明：已知a，b均为有理数，且a和b都是无理数，求证：a＋b是无理数．分析：按反证法的步骤，即先否定结论，把假设和已知结合起来，推出矛盾，即假设不成立．反思：结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明常用反证法，通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，很容易推出矛盾，从而达到证题的目的．题型二 用反证法证明唯一性命题【例题2】 求证：两条相交直线有且只有一个交点．分析：根据题意，写出已知、求证，再用反证法，即否定结论，把假设和已知条件结合起来去推出矛盾．反思：(1)用反证法证明问题时要注意以下三点：①必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的．②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．(2)注意本题反设中不能漏掉“无交点”这种情况．题型三 用反证法证明“至多”或“至少”类命题【例题3】 已知a ，b ，c 是互不相等的实数，求证：由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点． 分析：假设三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点→演绎推理，利用Δ≤0得出矛盾→原命题得证 反思：(1)当命题出现“至多”“至少”“唯一”等形式时，适合用反证法．p 且q p 或q 题型四 易错辨析【例题4】 已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)＜0，用反证法证明：关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实根．错解：假设方程x 2－2x ＋5－p 2＝0有实根，由已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)＜0，解得－2＜p ＜－12，而关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0的根的判别式Δ＝4(p 2－4)．∵－2＜p ＜－12，∴14＜p 2＜4，∴Δ＜0，即关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实根． 错因分析：错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法．反思：利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立，即反证法必须严格按照“反设→归谬→存真”的步骤进行．答案：【例题1】 证法一：假设a ＋b 为有理数，令a ＋b ＝t ， 则b ＝t －a ，两边平方，得b ＝t 2－2t a ＋a ， ∴a ＝t 2＋a －b 2t. ∵a ，b ，t 均为有理数，∴t 2＋a －b 2t也是有理数． 即a 为有理数，这与已知a 为无理数矛盾． ∴a ＋b 一定是无理数．证法二：假设a ＋b 为有理数，则(a ＋b )(a －b )＝a －b .由a ＞0，b ＞0，得a ＋b ＞0. ∴a －b ＝a －b a ＋b . ∵a ，b 为有理数，且a ＋b 为有理数， ∴a －b a ＋b 为有理数，即a －b 为有理数． ∴(a ＋b )＋(a －b )为有理数，即2a 为有理数． 从而a 也应为有理数，这与已知a 为无理数矛盾，∴a ＋b 一定是无理数．【例题2】 解：已知：a 与b 是两条相交直线，求证：a 与b 有且只有一个交点．证明：假设结论不正确，则有两种可能：a 与b 无交点，或不止有一个交点．若直线a ，b 无交点，则a ∥b 或a ，b 是异面直线，与已知矛盾．若直线a ，b 不止有一个交点，则至少有两个交点A 和B ，这样同时经过点A ，B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两相交直线a 与b 有且只有一个交点．【例题3】 证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点， 由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，且Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，且Δ3＝(2a )2－4bc ≤0.同向不等式求和得：4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0，∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0.∴(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0.∴a ＝b ＝c .这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．【例题4】 正解：假设方程x 2－2x ＋5－p 2＝0有实根，则该方程根的判别式Δ＝4－4(5－p 2)≥0，解得p ≥2或p ≤－2.而由已知条件实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2)＜0，解得－2＜p ＜－12，二者无公共部分，所以假设不成立，故关于x 的方程x 2－2x ＋5－p 2＝0无实根．1用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设() A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°2实数a，b，c不全为0是指()A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至少有一个为0C．a，b，c至多有一个为0 D．a，b，c至少有一个不为03实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则()A．a，b，c都是正数B．a，b，c都大于1C．a，b，c都小于2 D．a，b，c至少有一个不小于1 24命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是__________．5已知：非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列．求证：1a，1b，1c不可能成等差数列．答案：1．B因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”即“三角形三个内角都大于60°”，故选B.2．D“不全为0”并不是“全不为0”，而是“至少有一个不为0”．故选D.3．D假设a，b，c均小于12，则a＋2b＋c＜12＋1＋12＝2，与已知矛盾，故选D.4．无解或至少两个解方程ax＝b(a≠0)的解的情况有：①唯一解；②无解；③两个或两个以上的解，可得结论．5．分析：本题题设条件较少，且求证的结论中有“不可能”这个词，故考虑选用反证法证明．证明：假设1a，1b，1c成等差数列，则211b a c=+，∴2ac＝bc＋ab.①又a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.②∴把②代入①，得2ac＝b(a＋c)＝b·2b.∴b2＝ac.③由②平方，得4b2＝(a＋c)2.④把③代入④，得4ac＝(a＋c)2，∴(a－c)2＝0. ∴a＝c.代入②，得b＝a，故a＝b＝c，∴数列a，b，c的公差为0.这与已知矛盾，∴1a，1b，1c不可能成等差数列．。