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四维空间知识四维空间是一个时空的概念。
简单来说，任何具有四维的空间都可以被称为"四维空间"。
不过，日常生活所提及的"四维空间"，大多数都是指爱因斯坦在他的《广义相对论》和《狭义相对论》中提及的"四维时空"概念。
根据爱因斯坦的概念，我们的宇宙是由时间和空间构成。
时空的关系，是在空间的架构上比普通三维空间的长、宽、高三条轴外又多了一条时间轴，而这条时间的轴是一条虚数值的轴。
目录[[url=javascript : void(O)]隐藏[/url]]"维"的定义四维空间的轴对称性四维空间概念解析四维空间从零维空间到四维空间摘要关键词正文参考文献1.《四维画法几何学》2.《分形的哲学漫步》3.《解析几何》4.《数学哲学》时空为何是四维的物理世界的四维空间相关事件事件一：事件二：事件三：事件四：多维空间具体维数0维一维二维三维四维其余的维数还有："维"的定义四维空间的轴对称性四维空间概念解析四维空间从零维空间到四维空间摘要关键词正文参考文献1.《四维画法几何学》2.《分形的哲学漫步》3.《解析几何》4.《数学哲学》时空为何是四维的物理世界的四维空间相关事件事件一：事件二：事件三：事件四：多维空间具体维数0维一维二维三维四维其余的维数还有:［编辑本段］"维"的定义一维是线，二维是面，三维是静态空间，四维是动态空间（因为有了时间），当然这只是一种说法，并不是说第四维就是时间。
我们在物理学中描述某一变化着的事件时所必须的变化的参数。
这个参数就叫做维。
几个参数就是几个维。
比如描述"门"的位置就只需要角度所以是一维的而不是二维简单地说：0维是点，没有长、宽、高。
一维是由无数的点组成的一条线，只有长度，没有宽、高。
二维是由无数的线组成的面，有长、宽没有高。
三维是由无数的面组成的体，有长宽高。
导读本<四维几何基础知识>系列文章一共有五章,分别为:第一章名词术语和简单的夬第二章位置关系第三章投影第四章面轴第五章曲体这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣,请在百度文库中查找,或光临本人的微博: “四维几何基础知识”,里面有打包下载的更新链接.在本系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,例如:五胞体→五体夬,正八胞体→正方夬,超球体→圆夬.其原因已在<前言>中说明,在此不再重复.感谢您的关注,希望<四维几何基础知识>系列文章能够为您的学业有所帮助.作者四维几何基础知识(201802第一次更新)第五章: 曲体定义: 曲体是曲面在四维空间的类比, 在三维几何里,曲面是母线在空间中运动的轨迹.同样的推理,曲体可以看成平面或曲面在四维空间中运动的轨迹.特性: 正如曲面不能存在于二维空间一样,曲体只能存在于四维及以上的空间中,它可以与三维空间相交于点,线,面,体.用途: 因为人类尚未开发四维空间,目前曲体没有明显的用途,但曲体极有可能与宇宙中的未知现象有关,例如黑洞,虫洞.如果未来真的证实了四维空间的存在,那么曲体是进入高维空间和其它三维空间的最佳通道.曲体产生方法: 一是平面或曲面绕面轴旋转一周所得.二是曲面在第四维方向上的直线运动,也可以看作是无数相同的曲面在第四维方向上叠加.***/此段内容是特别说明,因为目前学界对四维几何的研究是包含在”三维以上几何研究”之中的,很少有针对性的研究,在本文之前,甚至没有”曲体”的概念.本人也无从查找曲体的正式名称,所以下列曲体之命名,是根据中国几何数学传统的命名方法,从三维物体的名称中传承而来./******下面是几例比较简单的曲体.一>圆柱面柱体(图一)图一的四维坐标系中是一个长方体,它的三条棱长分别是a,b,r.现在以它的面ABCD作旋转面,以面ABCD的平行面S作面轴,以面OABE作定位面,将面ABCD 向W轴方向旋转一周,得到一个圆柱面柱体,红色和蓝色的柱面是此圆柱面柱体底部和顶部的两个面,夹在其中的是面ABCD的旋转轨迹,也就是柱体.它的体积计算公式: V=2πr*a*b.圆柱面柱体亦可用另一方法求得:在三维坐标系中有一圆柱面,圆半径为r, 柱面高为h,此圆柱面的面积S=2πr*h.将圆柱面向第四维方向垂直移动距离为d,所形成的轨迹即圆柱面柱体, 体积计算公式: V=2πr*h*d.二>圆锥面柱体(图二)将图一稍作变化,在长方体中,对角面OECD作为旋转面,面轴为S ,定位面为面OABE, 将面OECD向W轴方向旋转一周,得到一个圆锥面柱体,红色和蓝色的锥面是此柱体的底面和顶面,它的体积计算公式:V=πr*(√(r∧2+a∧2))*b.在图二中,可以先把线段OD绕Z轴旋转得到圆锥面,它的底部圆周长为L=2πr,母线长为√(r∧2+a∧2), 将圆锥面向第四维方向垂直移动距离为b,所形成的轨迹即圆锥面柱体, 体积计算公式: V=πr*(√(r∧2+a∧2))*b.三>圆面环体(图三)在四维坐标系中有一个长方体,在长方体的侧面ABCD中包含有一个半径为R的圆面,将此圆面作为旋转面,以面ABCD的平行面S作面轴,以面OABE作定位面,此圆面向W轴方向旋转一周,得到一个圆面环体. 它的体积计算公式:V=2(π∧2)*r*(R∧2)圆面环体较难想象,我们可以让它”穿过”一个三维空间,通过观察它形成的一个连续变化的图形,推测它的形状.将圆面环体调整位置,使其与底空间相交于一个圆圈线.我们可以想象一个救生圈浮在水面的样子,当然这只是一个类比,实际状况不是如此.把此圆面环体以垂直于底空间的方向穿过底空间,在底空间的观测者看到的是一个圆圈变成一个圆柱面, 圆柱面的高慢慢增长,到达最大值后慢慢减短,直至变成一个圆圈,此时圆面环体穿过了底空间.我们把圆圈变成圆柱面时变化的高,连续不断的画成无数条线段,按时间顺序排列起来,就是一个圆面,其实就是上例中的旋转圆面.四>用面轴旋转的原理证明圆夬表体的体积公式.在之前的章节中曾经提到,用半个圆球作旋转体,以半圆球的大圆面作面轴,旋转一周可以得到圆夬,其中圆夬的表体部分,是由半圆球的球面旋转得来的.这样我们可以把半球面分解成无数个平行于面轴的圆圈A系列,每个圆圈上的点绕面轴旋转形成另一种圆圈B系列,把圆圈A系列乘以圆圈B系列,再把所得之积累加起来,就能得到圆夬表体的体积.设半圆球的半径为R,在图四中,O是半圆球的球心,C是圆圈A系列上的一个点,CO与面轴的夹角为θ,这样可以得到A系列圆周长为2πR*cosθ, B系列圆周长为2πR*sinθ.现在列出求体积的积分式,积分自变量选取的是弧长CD,这一点非常重要.设: 弧长CD=x,则θ=x/R,自变量x的取值区间为0至πR/2. 所求的积分式为:五>用”牵引法”原理求底体为大圆球的圆夬台的侧表体体积公式.图五是一个所在圆夬半径为R的圆夬台,它的底体是以点O为球心的大圆球,顶体是球心与点O距离为H的小圆球,它的侧体是由无数个介于底体圆球和顶体圆球之间的,半径由底至顶逐渐变小的圆球表面累加而成,也就是说,把这些圆球表面累加起来,就是此圆夬台的侧表体体积公式.过点C作圆面S1垂直于CO,过点O作圆面垂直于OC,过线段CO作大圆面,与圆面S1的圆周相交于点A, 与圆面S2的圆周相交于点B,以弧线AB为自变量, 设: 弧长AB=x,则θ=x/R,自变量x的取值区间为0至Rθ. 所求的积分式为:把θ=arcsin(H/R)代入上式,得到:V=2π(R∧3)(arcsin(H/R)+H(√(R∧2- H∧2))/ (R ∧2))六>球面环体如图六所示,在底空间内有一个圆球表面,将此球面以平面S为面轴,向第四维W 轴方向旋转一周,所形成的轨迹就是球面环体.本例中圆球面是中心对称图形,所求的是360度轨迹,因此不需要定位面.现在我们计算球面环体的体积公式.将圆球表面分解成无数个平行于面轴的圆圈A系列,在每个圆圈上取点,绕面轴旋转形成另一种圆圈B系列, 把圆圈A系列乘以圆圈B系列,再把所得之积累加起来,就能得到球面环体的体积公式.图七是一个以点P为球心,R为半径的圆球表面,点O是点P在面轴S上的投影,PO 垂直于面轴S,PO=r. 过点P作平行于面轴S的平面,与圆球表面相交于圆圈1,在平行圆圈A系列中任意选择一圆圈作为圆圈2,过线段PO作一垂直于面轴的平面,与圆圈1, 圆圈2分别相交于点D,点C,不难证得点C,点D在圆球表面的大圆圈上.现在以圆圈1为分界线,把圆球表面分成两部分求球面环体的体积公式,先求圆圈1与面轴之间那半个球表面旋转所得的球面环体的体积..设: 弧长CD=x,则θ=x/R,自变量x的取值区间为0至πR/2. 所求的积分式为:同样的原理,我们可以得到另半个球表面旋转所得的球面环体的体积.球面环体的体积公式:V=V1+V2=8r(π∧2) (R∧2)七>球面柱体在前面的例子中,用半球面绕面轴旋转的方法求得圆夬的外表体.同样的原理,半个圆柱面以它过中心的竖截面为面轴,底部半圆为定位面旋转,可以得到一个球面柱体.图八左边的蓝色部分是半个圆柱面,绿色的是面轴,红色的是顶部半圆弧的旋转轨迹,能看出是一个圆球外表的模样. 半个圆柱面旋转一周后,得到图右所示的球面柱体.从图右可以观察到, 球面柱体相当于三维空间中的圆球面,向第四维方向垂直移动一段距离的轨迹.体积公式:V=4π(r∧2)*h八>球面锥体球面锥体的原理与球面柱体相类似,旋转面为半个锥面,面轴是过顶点垂直于底圆面的竖截面,定位面是锥面的底圆面. 体积公式:V=(4/3)π(r∧2)*h。
四维空间梯度计算概述及解释说明1. 引言1.1 概述四维空间梯度计算作为一种新颖的数学工具，在各个学科领域逐渐展现出了其重要性和广泛的应用前景。
随着社会和科技的不断发展，我们正面临着日益复杂的问题和挑战，而传统的三维梯度计算方法已经无法完全满足我们对于多维数据分析与处理的需求。
因此，深入研究四维空间梯度计算是引人关注并值得探索的课题。
1.2 文章结构本文将从概述四维空间梯度计算的基本概念开始，介绍四维空间的定义与特点以及梯度的定义与作用。
随后，我们将详细讨论四维空间梯度计算方法与技巧，包括基础概念解释与理论支持、常用算法介绍以及实际案例分析与应用场景说明。
接下来，我们将进行相关实验研究，并对实验设计、数据采集方法、数据处理过程以及结果展示进行说明。
最后，本文将总结已取得的研究成果并提出未来研究方向建议。
1.3 目的本文的目的在于全面概述和解释四维空间梯度计算的重要性、基本概念、方法与技巧，并通过实验研究来验证其有效性和可行性。
通过深入研究，我们希望能够为学术界和工业界提供有关四维空间梯度计算的参考，推动该领域的进一步发展，并探索其在现实世界中的广泛应用。
同时，我们也希望能够引起更多人对于四维空间梯度计算领域的兴趣，促进学术研究与实际应用之间的深度融合。
2. 四维空间梯度计算的基本概念：2.1 四维空间的定义与特点：四维空间是一种具有四个独立坐标轴的数学模型，用于描述物体或事件在时间和三维空间中的位置和变化。
与我们熟知的三维空间不同，四维空间包含了时间这一额外维度，因此可以更准确地描述物体在时间上的演化过程。
在四维空间中，一个点可以由四个坐标值(x, y, z, t)来表示。
其中，前三个坐标(x, y, z)对应了物体在三维空间中的位置，而第四个坐标t则表示了该物体所处的时间点。
2.2 梯度的定义与作用：梯度是一个向量，在物理学和数学中常被用来表示函数变化率最大方向和变化速率。
对于多元函数而言，在某一点上计算梯度可以得到一个向量，该向量指示了函数在该点上变化最快且方向为正增长最快的方向。
四维几何基础知识概述几何学是一门研究空间和形状的学科。
在传统的三维几何学中，我们研究的是三维空间中的物体。
然而，在某些应用领域，比如相对论和指纹识别等，我们需要更高维度上的几何概念和工具。
本文将介绍四维几何的基本概念和一些常见的应用。
什么是四维空间？在数学中，我们可以通过引入额外的维度来扩展我们对空间的认识。
在三维空间中，我们用三个坐标轴（x，y，z）来描述位置。
类似地，在四维空间中，我们需要四个坐标轴（x，y，z，w）来描述位置。
这就是四维空间的基本概念。
在四维空间中，物体可以在更多的方向上移动和变形。
这给了我们在建模和分析问题时更多的自由度。
例如，我们可以在四维空间中描述更复杂的形状和运动。
四维几何中的对象在四维几何中，我们可以研究各种不同类型的对象。
以下是一些常见的对象：点：一个点在四维空间中由四个坐标值（x，y，z，w）表示。
它表示了四维空间中的一个位置。
线：一条线可以由两个点在四维空间中的连线表示。
类似于三维空间中的情况，我们可以计算四维空间中的线的长度和方向。
平面：一个平面由三个点或者一个点和一条线确定。
我们可以使用法向量来描述一个平面在四维空间中的位置和方向。
体：一个体可以由四个点或者更多的点确定。
我们可以计算四维空间中体的体积、表面积和其他几何特征。
四维空间中的运算在四维几何中，我们可以进行各种运算来研究对象之间的关系。
以下是一些常见的运算：平移：平移表示在空间中沿着一个向量移动一个对象。
在四维空间中，我们可以根据四个坐标值进行平移运算。
旋转：旋转是围绕一个轴将一个对象转动一定角度。
在四维空间中，我们可以根据四个坐标值进行旋转运算。
缩放：缩放是将一个对象的大小按比例变化。
在四维空间中，我们可以根据四个坐标值进行缩放运算。
四维空间中的应用四维几何在许多领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：相对论：相对论是研究时间和空间之间关系的物理学理论。
由于相对论需要考虑时间的第四个维度，四维几何在相对论中有重要的应用。
第10章 自然系统的四维空间中国 广西 北海 广西274地质队勘查院 黄国有 cnperson@1 自然系统的四维空间多维时空理论是现代物理学最活跃的领域之一，从最初的广义相对论到最新的超弦理论和膜理论都属于多维时空理论范围。
然而，选择坐标系只是描述物理规律的需要，我认为多维时空数学模型不能代表真实的宇宙模型。
目前的多维时空理论背离真实的物理规律越来越远了，宇观系统论的目的之一就是探求物理学回归直观的三维空间的方法。
在这里，我并不是想要发展多维时空理论，而是想证明用广义相对论的张量分析方法得出的结果与牛顿动力学方法得出的结论是一致的，四维时空理论在物理学理论体系中并不是必不可少的。
以此希望物理学家们重新回到建立统一的、使广大科技人员都能理解的、简洁的经典物理体系中来，不要再在多维时空引力量子化理论上浪费精力和时间。
要准确地描述物质之间的相互作用关系和能量关系，除了要确定物质所处空间位置的三维坐标（X 、Y 、Z ）之处，还必须同时确定坐标点上物质的衰变辐射速度C 。
也就是说，在自然系统中，物理事件要用X ，Y ，Z ，C 这四组数来描述。
我们把这四组数想象成四维空间中的四组坐标。
为了使这四组数的量纲相同，我们把C 与系统时t 组合成Ct 作为一组数。
这样，物理事件就可以通过四维空间中的四组坐标(X ，Y ，Z ，iCt)或(Ct,X,Y,Z)来描述。
我们把由点(X ，Y ，Z ，iCt)或(Ct,X,Y,Z)构成的空间称为自然系统四维空间（或称宇观系统空间）并分别表示为X μ或X μ宇观系统四维空间和宇观系统场方程与广义相对论所用的四维空间和爱因斯坦场方程形式相似，但意义不同，区别体现在光速的大小上。
广义相对论中的光速是不变的，宇观系统的光速是变化的。
宇观系统光速分为两个部分，一是宇宙系统的光速项，用0C 表示，它在宇宙系统内处处相等，但它随宇宙时演化。
一是局部天体系统的超光速项，用g C 表示。
四维空间曲胞积分
四维空间曲胞积分（Four-Dimensional Space-Time Cell Integral）是在相对论物理中的一个概念。
它是对四维时空区域中的物理量进行积分的一种数学方法。
在相对论中，时空被看作是一个四维的连续结构，其中包括了三维空间和一维时间。
曲胞（cell）是指时空中的一个有限区域，可以是一个四维体积或者更一般的形状。
曲胞积分就是对这样的曲胞中的物理量进行积分运算。
曲胞积分在相对论中的应用非常广泛，例如用于计算质量、能量、动量和电荷等物理量的守恒定律。
它也用于描述引力场的性质，如引力波的传播和相互作用等。
具体的计算方法和公式会涉及到更深入的数学和物理知识，超出了我的能力范围。
如果您对具体的四维空间曲胞积分的应用和计算方法有更详细的问题，建议咨询专业的物理学家或研究相关的学术文献。
四维空间广义相对论1. 前言在日常生活当中，经常会涉及到三维空间的概念，它包括了我们所处的世界的长度、宽度和高度。
但事实上，我们所生活的世界应该是更加复杂的，它包括了另外一个维度——时间。
这就是四维空间。
四维空间是广义相对论的基础，由爱因斯坦在半个世纪前提出，它改变了传统物理学的发展方向。
本文将详细探讨四维空间的概念以及在广义相对论当中的应用。
2. 四维空间的概念四维空间是最基本的空间，它包括了三维空间和时间。
在四维空间中，任何一个事件都可以用四个坐标来描述：三个空间坐标（x、y、z）和一个时间坐标（t）。
这四个坐标点可以组成四维向量，它是四维空间中的基本概念之一。
同样地，三维向量也可以被认为是四维向量的子集，只是在其中一个时间坐标上恒定不变。
四维向量的加法和乘法也和三维向量类似，只是在其中加入了时间坐标。
在矩阵运算时，四维向量也可以看作是四行一列的矩阵。
作为物理学的基础，四维空间的概念在许多物理场景中得到了应用。
3. 四维空间在广义相对论中的应用广义相对论是爱因斯坦在1915年提出的一种物理学理论，它建立在四维空间的概念之上，主要用于对重力场的研究。
在广义相对论中，质量和能量可以引起时空的弯曲，这种弯曲可以用四维曲率张量来描述。
四维曲率张量可以由四维空间中的度量张量和克氏符构成。
度量张量可以用来衡量空间中的距离，克氏符用来表示四维空间中度量张量的变化率，它描述了四维空间的弯曲。
广义相对论的另一个重要应用是黑洞的研究。
在广义相对论中，黑洞是空间时的点状物体，在黑洞的引力场中，时间被弯曲，而光线被弯曲到一定角度以上就会被黑洞所吸收。
广义相对论不仅仅是一个庞大的理论框架，更是一个已经被实验证实的理论。
例如重力场穴坊肯定效应的实验就是对广义相对论的验证。
4. 结论四维空间是广义相对论的基础，是我们认知世界的基础之一。
广义相对论的研究，不仅为我们理解宇宙的奥秘提供了更加深入的思考，也为工程技术，如卫星导航、无损检测等提供了重要理论基础。
人类如何感受四维空间？科学家成功用实验展示四维空间效应据我们所知，我们人类只能在三个空间维度（外加一个时间维度）来感知这个世界，也就是上下，左右和前后。
而最近，在两个物理实验室里，科学家最终找到了展现第四空间维度的方法。
两项实验对基础科学研究具有重要意义，甚至能够让工程师在我们的低维世界窥探高维物理学的秘密。
不过，科学家并非创造出你可以消失其中的第四维度或者其它任何类似的东西。
两支物理学家小组设计了特殊的二维系统，一个采用超冷原子，另一个采用轻粒子。
两项实验产生的结果不同，但却相辅相成，看起来就像是发生在四维空间的所谓“量子霍尔效应”。
其中一篇研究论文的作者、宾夕法尼亚州立大学教授米克尔·勒切斯曼表示：“物理上，我们没有四维空间系统，但我们可以利用低维系统窥探4D量子霍尔效应，因为高维系统的复杂性可以被编码。
也许，我们能够发现更高维度的新物理学，设计出能够利用高维物理学优势的低维装置。
”我们生存的世界有三个空间维度，或者说你可以移动的方向。
在一维空间，你只能沿着一条线前进和后退。
让这条线弯成一个直角，你便增加了第二个维度，也就是形成一个平面，可以前后和上下移动。
再让这个面弯成一个直角，也就是形成一个立方体，你就进入了三维空间，可以上下、左右和前后移动。
如果存在第四维度，你可以将立方体再弯成一个直角，形成某种超立方体。
第四空间维度可以用数学描述，但无法在物理层面实现。
但请想想看，一个三维结构会投下一个二维阴影，通过观察这个影子，我们可以获取这个三维结构的一些信息。
或许，我们可以通过观察现实世界的某些物理系统，根据低维结构投下的影子，来推断第四维度的特性。
每一项新实验的核心都是量子霍尔效应：当电子被约束在二维空间，就好像它们被粘在一张纸上（例如石墨烯中或者半导体的某些层中），而后让一个磁场垂直穿过这个二维空间，该系统的某些电性质会被限制为确定数值的倍数。
从数学角度，这个量子霍尔效应的其它结果可以在一个四维空间系统中测量，但我们没有四维空间去验证这种物理学。
四维空间球极投影与霍普夫纤维丛具体算法实现作者Wxy本文是一篇根据一部数学科普CG电影《维度：数学漫步》[1]对四维空间与霍普夫纤维丛的讲解基础上，讲解如何在支持3D软件编程下绘制出霍普夫纤维丛的算法，实现绘制《维度：数学漫步》影片上所展示的图形。
球极投影(Stereographic Projection)首先，我们来看一下三维空间中球极投影的公式：设一个球心在原点的半径=R的球。
设投影极点为（0，0，1），投影平面：z=-1我们不难得出：给一球面上的点（x0,y0,z0），它在投影平面：z=-1上投影坐标为： x = -((2*x0)/(-2+R*R+R*z0));y = -((2*y0)/(-2+R*R+R*z0));这是一段伪代码：function stgpro(x0,y0,z0) {x = -((2*x0)/(-2+R*R+R*z0));y = -((2*y0)/(-2+R*R+R*z0));return [x, y, -1];}如果要画一个正多面体的球极投影，得先把它“膨胀”到球心在原点的球面上：function proSphere(x0,y0,z0) {l = Math.sqrt(x0*x0+y0*y0+z0*z0);return [R*x0/l, R*y0/l, R*z0/l];}而通过类比的思想，我们可以得出四维空间球极投影公式：x = -((2*x0)/(-2+R*R+R*t0));y = -((2*y0)/(-2+R*R+R*t0));z = -((2*z0)/(-2+R*R+R*t0));function stgpro4D(x0,y0,z0,t0) {x = -((2*x0)/(-2+R*R+R*t0));y = -((2*y0)/(-2+R*R+R*t0));z = -((2*z0)/(-2+R*R+R*t0));return [x, y, z, -1];}有了球极投影公式，再加上坐标旋转变换，及多胞体顶点坐标数据[2]，我们就可以把多胞体在四维空间中滚动做出来了。
此图是我用3d max的Maxscript实现的正120胞体球极投影模型。
霍普夫纤维丛中的圆(Hopf Circle)定义一个欧式复二维空间：C2，这个空间中的任意一点都能用两个有序复数对（Z1,Z2）表示，即用四个有序实数对表示的空间——实四维空间。
在《维度：数学漫步》第七八章的详细说明[3]中说，我们用Z2=k*Z1来表示一个四维空间里的二维平面。
（但注意用Z2=k*Z1并不能表示所有过原点的二维平面，比如xOz坐标面就不能写成这样的形式，能写成Z2=k*Z1的过原点平面是很特殊的，所以我们不能用此方法直接研究一般情形的平面，但我们用这些特殊的平面来截S3已足够了，因为它们所截得的圆周两两不相交）所以只要给定一个k，就给定了一个二维平面，而这个二维平面与S3相交出来的圆周就确定了。
现在我们要解决的是给一个k值，我们该如何让程序找到这个交出来的圆，并球极投影到我们的三维空间当中，把这个圆周描出来。
首先，设k=a+bi Z1=x+yi Z2=z+ti则我们得到：z=ax-byt=ay+bx将这两个式子与S3联立：x2+y2+z2+t2=1我们即可以得出这个圆周在四维空间中的方程：做一下整理，可得：x2+y2=1/(1+a2+b2)从这个式子中我们可以发现，给定一个复数k=a+bi，我们即定义了一个四维空间当中的过圆心的圆周，而且已知圆周上的一点的一个坐标分量（如x），根据方程我们就可以解出其余的坐标（y,z,t坐标值）而我们正是想让计算机来把圆周上的点描出来。
怎样来选取圆周上的点呢？可以考虑转换成参数方程:引入一个角θ（0≤θ≤2π）令x = cosθ/sqrt(1+a2+b2)，则y = sinθ/sqrt(1+a2+b2)，又因为z=ax-by，t=ay+bx，我们就可以把这个圆在四维空间中描出来了。
function drawcircles(k) {a = k[0];//get the value of Re kb = k[1];//get the value of Im kvar x, y, z, t;for(var i=0;i<=Math.PI*2;i+= Math.PI/20){r = Math.sqrt(1+a*a+b*b);x = Math.cos(i)/r;y = Math.sin(i)/r;z=a*x-b*y;t=a*y+b*x;P=stgpro4D(x,y,z,t); //得到此点在三维空间的球极投影lineTo(P);//描点连线}} Array霍普夫圆环（Hopf T orus）一个霍普夫圆环面是由无数个霍普夫圆两两嵌套但互不相交组成。
而我们把k的值绕原点取一周得到的一簇圆就会组成一个霍普夫圆环面。
而这个圆的半径r，决定了这个霍普夫圆环面的大小。
一般我们令r=tanβ，因为k所在的这个复平面可以认为是一个S2球极投影的射影平面，而k取值的这一簇簇的同心圆则是上的一圈圈纬线。
引入的角β则可理解为纬度。
（但注意，这样定义的话南极为0°，赤道45°，北极90°），当圆的半径为0时（即南极点，k=0），霍普夫圆环会缩小成一个圆。
当圆的半径无限大时（即北极点，k=0），霍普夫圆环会无限膨胀，只留下一根过四维空间S3球面极点的“直线”。
最后，我们把整个纤维丛画出来：function show(k) {for(var j=0;j<=Math.PI/2;j+= Math.PI/6){ //移动S2上的纬线圈r = Math.tan(j); //计算k所在圆的半径for(var k=0;k<=Math.PI*2;k+= Math.PI/20){//旋转一周，把k点在复平面上取遍描出来drawcircles([r*Math.cos(k), r*Math.sin(k)]);//画一个Hopf圆}}}附：3d max Max script 脚本完整代码(直接粘贴到Maxscript上全部运行)：效果：sphereR=1gl4_x=0.0gl4_y=0.0gl4_z=0.0--定义坐标旋转角度fn Ls p1 p2=sqrt((p2[2]-p1[2])*(p2[2]-p1[2])+(p2[1]-p1[1])*(p2[1]-p1[1]))fn gl4_P p = (--四维坐标旋转函数_point4d=#()_point4d = rotates gl4_y #(p[1], p[4]) #(0,0)p[1] = _point4d[1]p[4] = _point4d[2]_point4d = rotates gl4_z #(p[2], p[4]) #(0,0)p[2] = _point4d[1]p[4] = _point4d[2]_point4d = rotates gl4_x #(p[3], p[4]) #(0,0)p[3] = _point4d[1]p[4] = _point4d[2]return proplane p)fn proplane Ponit4D =(--四维球极投影函数x0 = Ponit4D[1]y0 = Ponit4D[2]z0 = Ponit4D[3]t0 = Ponit4D[4]l = sqrt(x0*x0+y0*y0+z0*z0+t0*t0)x0 = Ponit4D[1]*sphereR/ly0 = Ponit4D[2]*sphereR/lz0 = Ponit4D[3]*sphereR/lt0 = Ponit4D[4]*sphereR/lx1 = -((2*x0)/(-2+sphereR*sphereR+sphereR*t0))y1 = -((2*y0)/(-2+sphereR*sphereR+sphereR*t0))z1 = -((2*z0)/(-2+sphereR*sphereR+sphereR*t0))return #(x1,y1,z1))fn rotates sita p1 p2 =(_an_ = (Patan2 p2 p1)+sita_r_ = Ls p1 p2_NX_ = cos(_an_)*_r_+p2[1]_NY_ = sin(_an_)*_r_+p2[2]return #(_NX_, _NY_))fn Patan2 p1 p2=atan2 (p1[2]-p2[2]) (p1[1]-p2[1])fn L3 p1 p2 = ((p2[3]-p1[3])*(p2[3]-p1[3])+(p2[2]-p1[2])*(p2[2]-p1[2])+(p2[1]-p1[1]) *(p2[1]-p1[1]))for man=0 to 90 by 15 do(s = splineShape() --create a spline shapesnum=1for ian=0 to 360 by 20 do(mm = tan man*cos ianmn = tan man*sin ianaddNewSpline s --add a spline to itfor jan=0 to 360 by 5 do(yuanx = cos(jan)/sqrt(1+mm*mm+mn*mn)yuany = sin(jan)/sqrt(1+mm*mm+mn*mn)yuanz = yuanx*mm-yuany*mnyuant = yuany*mm+yuanx*mnp0=gl4_P #(yuanx, yuany, yuanz, yuant)addKnot s snum #smooth #curve [p0[1],p0[2],p0[3]])snum=snum+1)updateShape s --update the shape)参阅：1.《维度：数学漫步》（Dimensions: A Walk Through Mathematics）官方网站:/Dim_ZH_si.htm2.顶点数据来自：四维之美/atyuwen/archive/2009/11/12/tesseract.html3. 《维度：数学漫步》详细说明第七、八章：纤维丛/Dim_CH7_ZH_si.htm。
