6-4 相对论理论的四维形式

阻率等。

时间是由爱因斯坦在牛顿的基础上补充的，包括：比热容，速度，功率等。

“维”的含义和推导我们在讨论维度的时候通常会建立N维空间的维度概念。

在数学上一个维度中两点间距离R通常满足以下公式1维空间：a=R2维空间（勾股定理）：a2+b2=c23维空间：a2+b2+c2=R24维空间：a2+b2+c2+d2=R2以此类推……轴对称性对于爱因斯坦的四维空间，人们普遍认为空间有轴对称性，或是中心对称。

譬如，倘若一个三维空间的人进入四维空间，那么他也许会被‘轴对称’一下。

当然，由于没有人进入四维空间，所以这只是一个假设，无法进行验证。

但是关于时间轴的观点以及时空错乱瞬间的现象与这是相符的。

从零维空间到四维空间从零维空间到四维空间—浅谈几何中的纯概念研究（马利进陇东学院数学系甘肃庆阳 745000）摘要几何不一定是真实现象的描述，几何空间和自然空间并不能完全等同看待，纯概念的研究几何的发展是数学界的一个里程碑。

从零维空间到三维空间，尤其是从三维空间到四维空间的发展更是几何学的的一次革命。

关键词零维；一维；二维；三维；四维；n维；几何元素；点；直线；平面。

正文n维空间概念，在18世纪随着分析力学的发展而有所前进。

在达朗贝尔.欧拉和拉格朗日的著作中无关紧要的出现第四维的概念，达朗贝尔在《百科全书》关于维数的条目中提议把时间想象为第四维。

在19世纪高于三维的几何学还是被拒绝的。

麦比乌斯（karl august mobius 1790-1868）在其《重心的计算》中指出，在三维空间中两个互为镜像的图形是不能重叠的，而在四维空间中却能叠合起来。

但后来他又说：这样的四维空间难于想象，所以叠合是不可能的。

这种情况的出现是由于人们把几何空间与自然空间完全等同看待的结果。

以至直到1860年，库摩尔（ernst eduard kummer 1810-1893）还嘲弄四维几何学。

但是，随着数学家逐渐引进一些没有或很少有直接物理意义的概念，例如虚数，数学家们才学会了摆脱“数学是真实现象的描述”的观念，逐渐走上纯观念的研究方式。

从一到无穷大中对四维空间的见解四维空间在数学和物理学领域中一直是一个令人着迷的概念。

它超越了我们日常生活中所经验到的三维空间，引入了时间这一第四维，为我们打开了通向无限可能性的大门。

在本文中，我将以从简到繁、由浅入深的方式来探讨从一到无穷大中对四维空间的见解，以便读者能更深入地理解这一概念。

1. 什么是四维空间？在我们开始讨论四维空间之前，我们先来了解一下什么是四维空间。

在几何学中，我们习惯将空间分为三维空间，即长、宽和高。

但当我们引入时间这一第四维时，我们就得到了四维空间。

这个概念源自爱因斯坦的相对论理论，它描绘了时空如何被引力所扭曲，从而产生了引力波等现象。

2. 对四维空间的直观理解对于我们这些生活在三维世界的人来说，很难直观地理解四维空间。

但我们可以借助一些类比来帮助我们理解。

我们可以想象一个二维的世界，它只有长度和宽度，而没有高度。

现在，我们引入第三维，即垂直于二维世界的方向，我们就得到了三维空间。

同样的，引入第四维，即时间，我们就得到了四维空间。

这种类比虽然并不能完全还原四维空间的复杂性，但可以帮助我们建立一定的直观认识。

3. 四维空间对我们的影响四维空间的概念不仅仅存在于数学和物理学中，它也深刻地影响着我们的生活。

在艺术和文学作品中，我们常常可以看到对四维空间的想象和表现。

对四维空间的探索也推动了科学技术的发展，比如在相对论、量子力学等领域的研究中，四维空间始终扮演着重要的角色。

4. 我对四维空间的个人观点对于我个人来说，四维空间是一个充满了未知和想象的领域。

它超越了我们日常生活中的经验，挑战着我们的想象力和理解力。

正是由于这种挑战，我对四维空间充满了好奇和兴趣。

我相信随着人类对这一领域的不断探索，我们将会揭开更多关于宇宙和时空的神秘面纱。

总结回顾通过本文的探讨，我们对从一到无穷大中对四维空间的见解有了更深入的理解。

我们从四维空间的定义开始，探讨了对其直观理解和对我们生活的影响，最后共享了个人观点。

狭义相对论的四维时空观狭义相对论是建立在四维时空观上的一个理论，因此要弄清相对论的内容，要先对相对论的时空观有个大体了解。

在数学上有各种多维空间，但目前为止，我们认识的物理世界只是四维，即三维空间加一维时间。

现代微观物理学提到的高维空间是另一层意思，只有数学意义，在此不做讨论。

四维时空是构成真实世界的最低维度，我们的世界恰好是四维，至于高维真实空间，至少现在我们还无法感知。

我在一个帖子上说过一个例子，一把尺子在三维空间里（不含时间）转动，其长度不变，但旋转它时，它的各坐标值均发生了变化，且坐标之间是有联系的。

四维时空的意义就是时间是第四维坐标，它与空间坐标是有联系的，也就是说时空是统一的，不可分割的整体，它们是一种”此消彼长”的关系。

四维时空不仅限于此，由质能关系知，质量和能量实际是一回事，质量（或能量）并不是独立的，而是与运动状态相关的，比如速度越大，质量越大。

在四维时空里，质量（或能量）实际是四维动量的第四维分量，动量是描述物质运动的量，因此质量与运动状态有关就是理所当然的了。

在四维时空里，动量和能量实现了统一，称为能量动量四矢。

另外在四维时空里还定义了四维速度，四维加速度，四维力，电磁场方程组的四维形式等。

值得一提的是，电磁场方程组的四维形式更加完美，完全统一了电和磁，电场和磁场用一个统一的电磁场张量来描述。

四维时空的物理定律比三维定律要完美的多，这说明我们的世界的确是四维的。

可以说至少它比牛顿力学要完美的多。

至少由它的完美性，我们不能对它妄加怀疑。

相对论中，时间与空间构成了一个不可分割的整体——四维时空，能量与动量也构成了一个不可分割的整体——四维动量。

这说明自然界一些看似毫不相干的量之间可能存在深刻的联系。

在今后论及广义相对论时我们还会看到，时空与能量动量四矢之间也存在着深刻的联系。

--------------------------------------------------------------------------------狭义相对论基本原理物质在相互作用中作永恒的运动，没有不运动的物质，也没有无物质的运动，由于物质是在相互联系，相互作用中运动的，因此，必须在物质的相互关系中描述运动，而不可能孤立的描述运动。

电动⼒学电动⼒学第⼀章静电场⼀、考核知识点1、真空与介质中静电场场⽅程，场的性质、物理特征。

2、电场的边值关系、在两种介质分界⾯上电场的跃变性质。

3、由场⽅程、边值关系，通过电荷分布确定场分布及极化电荷的分布。

4、静电场的势描述。

由势分布确定场分布、荷分布；通过静电势的定解问题，确定静电势的分布、场分布及介质极化性质的讨论。

⼆、考核要求（⼀）、场⽅程、场的确定1、场⽅程，场的边值关系，体、⾯极化电荷密度的确定式等规律的推导。

2、识记：（1）、真空与介质静电场⽅程。

（2）、电场的边值关系。

（3）、体、⾯极化电荷密度的确定式。

3、领会与理解：（1）、静电场的物理特征。

12（2）、P D E ,,与电荷的关系，⼒线分布的区别与联系。

（3）、在介质分界⾯上场的跃变性质。

4、应⽤：通过对称性分析，运⽤静电场的⾼斯定理确定场，讨论介质的极化，正确地由电荷分布画出场的⼒线分布。

（⼆）、静电势1、静电势⽅程、边值关系的推导。

2、识记：静电势的积分表述、势⽅程、势的边值关系、势的边界条件、唯⼀性定理。

3、领会与理解：势的边值关系与边界条件，荷、势与场的关系，解的维数的确定，电像法的指导思想与像电荷的确定。

4、应⽤：求解静电势定解问题的⽅法（分离变量法、电像法）的掌握及应⽤，求解的准确性，场的特征分析及由势对介质极化问题的讨论。

第⼆章稳恒磁场⼀、考核知识点1、电荷守恒定律。

2、稳恒磁场场⽅程，场的性质特点。

3、由场⽅程，通过流分布确定场分布与磁化流。

4、磁场的边值关系。

5、稳恒磁场的⽮势。

6、由磁标势法确定场。

3⼆、考试要求1、规律的推导：真空、介质中稳恒磁场场⽅程，电荷守恒定律的微分表述，体、⾯磁化电流密度的确定式，磁场的边值关系，⽮势⽅程及其积分解，磁标势⽅程和边值关系等。

2、识记：电荷守恒定律，稳恒磁场场⽅程，体、⾯磁化电流密度的确定式，⽮势引⼊的定义式，磁标势引⼊条件，磁场的边值关系，0=f α情况磁标势的边值关系。

相对论知识：四维时空——相对论理论的基础相对论是现代物理学中最重要的理论之一，它的开创者阿尔伯特·爱因斯坦因在狭义相对论和广义相对论中对时间和空间的重新定义做出了巨大贡献。

这两种相对论理论都建立在四维时空的概念之上，这种新的时空概念颠覆了牛顿力学中绝对时空和绝对时间的观点，并提出了一个新的、相对的时间和空间的概念。

四维时空是相对论中的一个重要概念，它表示四个维度的空间和时间。

在牛顿力学中，时间是不变的，但在相对论中，时间和空间之间是相互关联的。

四维时空中，一个事件由其发生的时间和空间坐标构成。

这意味着两个同时发生的事件，在不同的参考系中会有不同的时间和空间坐标。

我们通常把三维空间和时间看作是两个独立的概念，但在相对论中，它们被视为一个不可分割的整体。

因此，我们需要引入四维时空的概念，以便能够更好地描述不同的物理过程。

四维时空是一个四维的连续空间，在这个空间中，时间和空间是由同一种量度单位来衡量的，即光速。

在四维时空中，物体由一个四维向量来描述，其中时间是第四个坐标。

作为相对论理论的基础，四维时空是通过著名的洛伦兹变换来描述的。

这个变换表示了一个物体在不同参考系之间的变化。

这个变化是相对于光速而言的，因为光速是相对论中不变的量。

因此，在不同的参考系中，物体的时间和空间坐标会有所不同。

一个十分重要的应用是GPS全球定位系统，它使用了相对论中时间的相对性，实现了对地球上的任意一个位置进行精确定位。

正是由于相对论的应用，GPS才能实现卫星导航，然而，如果不考虑相对论因素，GPS的精度将会非常不稳定。

在相对论中，四维时空的概念突显了时间与空间的相互关系，给我们的认知带来了巨大的变革。

它深刻解释了运动与静止、时间与空间之间的关系，同时带来了诸如时间膨胀、光速不变等奇妙的现象。

在相对论中，时间和空间被整合成了一个不可分割的整体，描述了物理现象更为准确的过程。

因此，四维时空成为了现代物理学基础不可或缺的内容。

§6.4 相对论理论的四维形式在相对论中时间和空间不可分割:当参考系改变时，时空坐标互相变换，三维空间和一维时间构成一个统一体——四维时空四维时空理论可用简洁的四维形式表述出来：1. 三维空间的正交变换——三维空间的转动性质设坐标系Σ′相对于坐标系Σ转了一个角θ(1)二维平面上的坐标系转动设平面上一点的坐标在Σ系为(x , y ), 在Σ´系为(x ′, y ′)θθθθcos sin sin cos y x y y x x +−=′+=′不变量=′+′=+=22222y x y x OP 满足此式的二维平面上的线性变换称为正交变换坐标系转动属于正交变换设υ为平面上任意矢量，在Σ系中的分量为υx ,υy ; 在Σ′系中的分量为υ′x , υ′y矢量长度平方为| υ|2= υ2x + υ2y =υ′2x +υ′2y =不变量这些分量有变换关系：θυθυυθυθυυcos sin sin cos y x y y x x +−=′+=′任意矢量的变换与坐标变换具有相同的形式设Σ系的直角坐标为(x 1, x 2, x 3), Σ′系的直角坐标为(x ′1, x ′2, x ′3)（2）三维坐标转动三维坐标线性变换一般具有形式333232131332322212123132121111x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ++=′++=′++=′坐标系转动时距离保持不变,应有232221232221x x x x x x ++=′+′+′满足此式的线性变换称为正交变换空间转动属于正交变换, 式中的系数a ij 依赖于转动轴和转动角32, 1, ,31==′∑=i x a x j j ij i 变换式可以一般地写成：现代物理中一般约定：当公式中出现重复上、下标时，代表对该指标求和由此约定，变换式可简写为jij i x a x =′正交条件是不变量==′′i i i i x x x xl j lj jij il i il x x x a a x a ===′δi il l x a x ′=jij i x a x =′变换的逆变换式：变换式两边乘以a il 并对i 求和所以变换系数可以写成矩阵形式转置矩阵定义为jiij a a =~正交条件式可用矩阵乘法写为Ia a =~——其中I 为单位矩阵[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211 a a a a a a a a a a ij a ~变换系数矩阵形式2. 物理量按空间变换性质的分类物理量可以分为标量、矢量、张量等，这种分类是根据物理量在空间转动下的变换性质分类来划分的(1) 标量在空间中没有取向，当坐标系转动时保持不变，这样的物理量称为标量如质量、电荷等设在坐标系Σ中某标量用u 表示,在转动后的坐标系Σ′中用u′表示，由标量不变性有u=′u(2) 矢量在空间中有一定的取向，用三个分量表示，当空间坐标作转动变换时，三个分量按同一方式变换，这样的物理量称为矢量以υ代表矢量与坐标变换式对应, 有矢量变换关系：坐标系Σ中：分量为υi 转动后的Σ′系中：分量为υ′ijij i a υυ=′例如速度、力、电场强度和磁场强度等都是矢量(3) 二阶张量●这类物理量要用两个矢量指标表示, 有9个分量具有这种变换关系的物理量称为二阶张量kljl ik ij T a a T =′●有些物理量具有更加复杂的空间取向性质当空间转动时, 其分量T ij 按以下方式变换例如：应力张量, 电四极矩等jikl il jk kl jk il lk jl ik kl jl ik ij T T a a T a a T a a T a a T ′=====′ 则变换后的张量仍是对称的①若张量对指标具有对称性：jiij T T =反对称张量T ij = -T ji 变换后仍为反对称张量②同样：张量的一些性质：③对称张量的迹是一个标量不变量====′kk kl kl kl il ik ii T T T a a T δ(1) 迹T ii电四极矩就是一个无迹对称张量, 它只有5个独立分量二阶张量可以分为三个部分：(2) 无迹对称张量T ij = T ji , T ii =0(3) 反对称张量T ij = -T ji .(a) 两矢量υ和w 的标积υi w i 是一个标量(b) 张量T ij 可以和一个矢量υj 作出乘积此式具有矢量的变换关系，因此是一个矢量T ′ij υ′j = a ik a jl T kl a jn υn = a ik δln T kl υn = a ik T kl υl不变量====′′j j k j jk k ik j ij i i w w w a a w υυδυυ④二阶张量与矢量的标积是一个矢量T ij υj 在坐标转到变换下：●三维坐标转动是满足距离不变的线性变换, 即jij i xa x =′3. 洛伦兹变换的四维形式●洛伦兹变换是满足间隔不变的四维时空线性变换2223222122232221t c x x x t c x x x −++=′−′+′+′不变量=++=′+′+′232221232221x x x x x x 如果形式上引入第四维虚数坐标:x 4=ict则间隔不变式可写为以后在下角指标中用拉丁字母代表1-3希腊字母代表1-4 不变量=+++=′+′+′+′2423222124232221x x x x x x x x 间隔不变式可写为不变量==′′μμμμx x x x 洛伦兹变换是满足间隔不变性式的四维线性变换νμνμx a x =′洛伦兹变换形式上可以看作四维空间的“转动”●三维正交变换的关系可以形式上推广到洛伦兹变换中去●须注意的是, 这四维空间的第四个坐标是虚数, 因此它是复四维空间, 不同于实数的四维欧几里德(Euclid)空间4. 四维协变量●在四维形式中，时间与空间统一在一个四维空间内，惯性参考系的变换相当于四维空间的“转动”●把三维情形推广，我们也可以按照物理量在四维空间转动（洛伦兹变换）下的变换性质来把物理量分类标量、矢量和各阶张量，这些物理量在洛伦兹变换下有确定的变换性质，称为协变量λτντμλμνT a a T =′（3）四维张量在惯性系变换下，满足变换关系这样的物理量称为四维张量U μ的前三个分量和普通速度联系着，当υ<<c 时即为u ,因此称为四维速度参考系变换时,四维速度有变换关系νμνμU a U =′②四维波矢量设有一角频率为ω, 波矢量为k 的平面电磁波在真空中传播在另一参考系Σ′上观察, 该电磁波的频率和传播方向都会发生改变以ω′和k′表示Σ′上观察到的角频率和波矢量我们来研究波矢k和角频率ω如何变化x 0x′分析相位φ和φ′之间的关系：设参考系Σ和Σ′的原点在时刻t=t′=0 重合在零时刻,两参考系的原点上都观察到电磁波处于波峰,相位φ= φ′=0第一事件：x 0x′在Σ系n个周期(t=2πn/ ω) 后,第n个波峰通过Σ系原点,相位φ=-2πn第二事件：它在Σ上的时空坐标为(x=0, t= 2πn/ ω)在Σ′上的时空坐标(x′, t′) 可用洛伦兹变换求得,而相位同样是φ′= -2πn因为某个波峰通过某一时空点是一个物理事件，而相位只是计数问题，不随参考系而变由角度变换公式得在参考系变换下，有μμG F =μνμννμνμG G a F a F ′===′（5）物理规律的协变性如果一个方程的每一项都属于同类协变量，在参考系变换下，每一项都按相同方式变换，那么方程形式就会保持不变设某方程具有形式：———其中F μ和G μ都是四维矢量在新参考系中仍然有μμG F ′=′形式上，此方程和原参考系的方程一致在参考系变换下方程形式不变的性质称为协变性相对性原理要求一切惯性参考系都是等价的，在不同惯性系中，物理规律应该可以表为相同形式。

四维流形数学模型全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：四维流形是数学领域中的一个重要概念，它是在三维空间的基础上引入一维度的概念所得到的一个新的数学结构。

四维流形不仅在数学中有着重要的地位，而且在物理学、计算机科学等领域也有着广泛的应用。

本文将介绍四维流形的基本概念、性质和应用，并通过一些具体例子来展示四维流形在实际问题中的应用。

一、四维流形的定义在数学上，流形是一种具有局部欧几里德空间结构的拓扑空间。

简单地说，流形就是一个可以用局部欧几里德空间来描述的空间。

而四维流形就是在三维空间的基础上引入一个额外的维度，从而得到的一个新的数学结构。

具体来说，四维流形可以用一组四维坐标来描述。

在欧几里德空间中，我们知道三维空间可以用三维坐标来描述，比如(x, y, z)。

而四维空间则可以用四维坐标来描述，比如(x, y, z, t)。

在这里，t就是新引入的一维度，它与x、y、z构成了四维空间。

四维空间是一个非常抽象的概念，但是它具有一些重要的性质。

在四维空间中，我们可以定义各种数学运算，比如加法、乘法、内积等，并且这些运算在四维空间中也是成立的。

四维空间是一个欧几里德空间，即在这个空间中可以定义距离，从而可以计算两点之间的距离。

四维空间还具有曲率、流形结构等复杂的数学概念，这些性质使得四维流形在数学和物理学中有着重要的应用。

四维流形在物理学、计算机科学等领域有着广泛的应用。

在物理学中，四维流形被用来描述时空的结构，比如广义相对论中的时空结构就是一个四维流形。

在计算机科学中，四维流形被用来构建机器学习模型、神经网络模型等，从而提高模型的表现和性能。

四维流形还被用来解决一些实际的问题。

在医学影像处理中，四维流形可以用来描述不同时间点下的影像数据，从而帮助医生更好地诊断和治疗疾病。

在金融领域中，四维流形可以用来分析和预测股票市场的走势，帮助投资者做出更好的投资决策。

四、四维流形的具体例子现在，让我们来看一些具体的例子，来展示四维流形在实际问题中的应用。

闵科夫斯基四维空间
在爱因斯坦提出了狭义相对论以后,他的老师闵可夫斯基提出了四维空间。

在四维空间中用1x 表示x ，用2x 表示y ，用3x 表示z ，用4x 表示ict 。

在光速不变原理的表达式中： 222220c dt dx dy dz ---=，将上面四项带入我们可以得到：
222212340dx dx dx dx +++=。

我们知道在二维坐标系中两点距离的平方表示为：
222dl x y =+，
在三维坐标系中两点距离的平方表示为：
2222dS x y z =++，
那么在闵可夫斯基提出的四维空间中，两点“距离”的平方表示为：
222221234dS dx dx dx dx =+++
这样可以得到：
20dS =
说明在闵可夫斯基的思维空间中由光信号连接的的两点“距离”为零，而且对所有的惯性参考系都成立，这样可以使我们更好的理解光速不变原理。

在欧式空间中，任一两点之间的距离都是大于零的，但是在闵可夫斯基空间中由光信号连接的两点的“距离”却为零。

因为在闵可夫斯基空间中的ict 的平方是负值，所以我们可以叫闵可夫斯基空间为伪欧式空间。

这里的“距离”也有了另外的名称“间隔”。

在闵可夫斯基空间中，把时间和空间的辩证关系阐述明白了：二者是有区别的，但也是统一的。

这又进一步否定了绝对时间和绝对空间的存在。

相对论的四维时空是欧几里得空间四维空间是一个时空的概念。

简单来说，任何具有四维的空间都可以被称为“四维空间”。

不过，日常生活所提及的“四维空间”，大多数都是指爱因斯坦在他的《广义相对论》和《狭义相对论》中提及的“四维时空”概念。

根据爱因斯坦的概念，我们的宇宙是由时间和空间构成。

时空的关系，是在空间的架构上比普通三维空间的长、宽、高三条轴外又加了一条时间轴，而这条时间的轴是一条虚数值的轴。

欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。

简介约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，现称为欧几里得几何。

欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的"平面几何"，他接着分析三维物体的"立体几何"，所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。

这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间(甚至简称 n维空间)或有限维实内积空间。

这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间(不一定完备)，希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。

为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。

尽管这样做的结果导致数学非常抽象，但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，即平面性。

还另存在其他种类的空间，例如球面则非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。

有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。

其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。

其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。

欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形(也就是子集)应被认为是等价的(全等)。

《电动力学》课程教学大纲（Electrodynamics ）适用专业：物理学专业理论物理方向本科生课程学时：68学时课程学分：4学分一、课程的性质与任务本课程性质：本课程是物理学专业理论物理方向的专业基础课本课程教学目的和任务：通过本课程的学习，使学生系统地掌握电磁场的基本规律及其有关的应用，并了解狭义相对论建立的历史背景，掌握狭义相对论的基本原理、时空理论、电动力学的四维协变形式以及相对论力学的有关内容。

获得在本门课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力；为学习后续课程和独立解决实际问题打下必要的基础。

二、课程的内容与基本要求第0章矢量分析基础内容：1、绪言2、矢量分析基础要求：理解直角、圆柱、圆球坐标系中的单位矢量、长度元、面积元及体积元概念；掌握标量函数的梯度、矢量函数的散度和旋度概念及其基本运算。

第1章电磁现象的普遍规律内容：1、电荷和电场2、电流和磁场3、麦克斯韦方程组4、介质的电磁性质5、电磁场边值关系6、电磁场的能量和能流要求：掌握基本实验定律：库仑定律、毕奥－萨伐尔定律、电磁感应定律；熟练掌握麦克斯韦方程组，洛伦兹力公式；理解介质存在时电磁场和介质内部的电荷电流相互作用，掌握介质中的麦克斯韦方程组；掌握电磁场边值关系；理解场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式，掌握电磁场能量密度和能流密度表示式。

第二章静电场内容：1、静电场的标势及其微分方程2、唯一性定理3、拉普拉斯方程分离变量法4、镜象法5、电多极矩要求：熟练掌握静电场的标势及其微分方程；理解唯一性定理；掌握拉普拉斯方程，会用分离变量法求解一些典型的静电场问题；掌握镜象法；掌握电势的多极展开, 会计算电多极矩。

第三章静磁场内容：1、矢势及其微分方程2、磁标势3、磁多极矩4、阿哈罗诺夫-玻姆效应5、超导体的电磁性质要求：熟练掌握磁场的矢势法，矢势的微分方程；掌握磁标势法，会解决一些典型的静磁场问题；理解矢势的多极展开；了解阿哈罗诺夫-玻姆效应；了解超导体的电磁性质。