证明正交4球6平面及四维垂直的四维空间算法——四维体积勾股定理的应用(公式七)

因为一个偶然的原因，我在互联网上搜索四维空间的相关资料，却发现大多数相关文章和资料都是介绍多维方程式，少数的四维几何图形介绍都集中在四维图形动画，和从外文翻译而来的多胞体系列，而我们从中学时代就熟知的直角坐标几何少之又少，这就让我产生了一个想法：自己编写一本关于四维几何基础知识的书.但写成一本书谈何容易，自开篇之后，越写下去越觉得深度之广，决非一年半载能够完成，所以我决定先将其写成系列文章，放之于网上，希望能对有需要之人有所帮助.在〈四维几何基础知识〉系列文章中，有个非常重要的问题要说明，那就是” 多胞体”这个名称用”夬(jue)"字暂代了，成为四维几何形在本文中的称呼.原因之一是，”多胞体” “超球体”，这样的称呼不严谨.我们在中学时代就学过，一维为线，二维为面，三维为体，到了第四维，应该用另一个称呼，不适合再称呼为”某某体”，这是概念上的问题原因之二是使用不便，在互联网上，我只查到”正五胞体”,”正八胞体” 之类几个简单的四维图形名称，再复杂一点的图形就查不到了，而我采用''五体夬”，”正方夬”这一系列的，中国数学几何的传统命名方式，就算不知道新图形的名称，也能按照传统命名规则推算出来.至于这个”夬(ju6)“字，是我在字典里找的，之所以选择这个字，因为它比较生僻，含义少，不会产生歧义，笔划简单适合使用频率比较高的书写•在本人的系列文章中，”夬(jue)"字只是作为四维几何形的代称，不是重新命名.目前四维几何形的正式名称仍是”多胞体”.本人放之于互联网上的〈四维几何基础知识〉系列文章，可供读者免费下载，阅读, 应用；转载或与他人共享请注明出处.本人声明保留由本人所著作的〈四维几何基础知识〉系列文章包含但不限于著作权和知识产权在内的一切权益.＜四维几何基础知识〉系列文章仍在持续的更新中，本人会继续完善现有章节，增加新的章节，编写更多的习题，每次更新之后，会上传互联网上并发布公告，谢谢大家关注.XXx2018. 1更新日志此版本v四维儿何基础知识〉系列文章为第一次更新,时间为201802, 原第二章拆分为＜位置关系＞与＜投影〉两章.增加了新概念:叠（四维高）更正了原第二章例三的错误.修改了一些名称,使其更规范.请关注本人的微博T四维儿何基础知识二以便及时的了解更新信息. 亦欢迎各位网友在微博上帘下意见和建议第一章名词术语和简单的夬 (4)第二章位置关系 (14)第三章投影 (19)第四章面轴 (28)第五章曲体 (33)四维儿何基础知识（201802第一次更新）第一章名词术语和简单的夬名词术语在本章的开始，我们先熟悉一下本系列文章中将要用到的几何名称和相关的术语•首先介绍一下四维坐标系.图中有四个坐标轴，两两垂直，其中xyz轴是我们熟知的,在本文中以这三根轴所代表的三维空间作为参照空间，简称”底空间：以W轴作为第四维的方向，代表第四维的空间，坐标轴已画出部分为轴的正方向,从原点O之后，未画出部分为轴的负方向.木系列文章中设定的"底空间啪代平肓的参照立体空间O・XY乙请大家注意，这个简称会经常用到.本系列文章中设定的”底体”是指四维夬上与底空间最接近的体，其概念与正方体中的底面，正方形中的底边为类似.在本系列文章中，我们约定L表示线段长度,S表示面积,V表示体积,J表示夬积.在三维几何中，方形体通常有三个参数:长，宽，高，分别用字母a,b,h,表示•在四维几何中增加一个新的概念:咽维高”，用唾”字代称,字母为d,寓意为无数个三维物体在第四维方向上叠加，形成四维夬.这个新概念若要精确描述则比较复杂，在这里我们简单的理解成''正方夬的长，宽，高，叠”四个参数之一就可以了.下面初步介绍儿类简单的四维夬.—*＞五体夬正式名称为"五胞体",是四面体的类比•如何得到一个五体夬,有很多种方法，本例用的是"中心牵引法”，为了解释这个方法，我们先看看从三角形得到四面体的过程,下图一是一个四维坐标中的等边三角形.这个正三角形看上去很''歪",比三维坐标中的正三角形还要''歪''，我们要在二维平面中表现四维图形，只能将图形尽量压缩.把正三角形的屮心点连接三个顶点,得到三条线段，这就是要形成的四面体的另三条棱.用一根线”系住”中心点，向上牵引,同时中间三条棱的一端也向上抬升（图二）.当牵引的距离为棱长的w6）/3吋，就得到了一个正四面体（图三）用同样的思路，我们将一个正四面体的中心，连接四个顶点,形成正五体夬的另四条棱,然后把中心点向第四维正方向牵引.（图四）将中心点向第四维正方向牵引距离为棱长的（J 10）/4后，得到一个正五体夬.（图这个图是五个正四面体围合成一个五体夬，但这样挤在一起是很难看清楚的，可以把它”炸开"看看・（图六）这五个体全是正四面体，只是看上去有一些变形.蓝色的''底体”在O-XYZ立体空间中，如果把这个空间看成我们牛活的宇宙空间，另四个带绿棱的正四面体就在我们"摸不着'‘的四维空间中.-＞正方夬有了以上的经验，介绍正方夬的形成就容易多了.先看一个四维坐标中的正方体.将正方体原地复制，整体向第四维轴，即W轴止方向牵引，距离为一个棱长.（图八）幷4VM把两个正方体的八个顶点,一一对应的连接起来，形成了六个正方体，这八个体围合成一个正方夬・（图九）“炸开”看看.（图十）（图十）中的八个正方体,黑色的是底体（在xyz轴的体空间中）,和它在W轴正方向上的平行体,另六个彩色的侧体分别处在x,y,z轴方向上，正负方向各一个,它们都处于W轴正方向的四维空间中,紧靠着底空间，并口各有一个面，与底空间中的底体连接.侧体可以看作是:正方体从底空间向W轴正方向牵引的过程中，六个面所形成的路径.三〉圆夬我们先看看四维坐标中的球体，它看上去是个扁的，（图十一），这是因为坐标的关系, 它在平面显示时被压缩了.现在我们把这个球体想象成无数个"球壳",从大到小，一层层的套在一起，组成了这个实心的球体.用一条线的一端连接球心，连带着这无数个球壳向W轴正方向牵引，在此过程中，球壳从大至小，逐层剥落.注意，剥落的过程不是匀速的,这个值和sin的值有关系，而且这些球壳的面积有一定量的拉伸（图十二）.当牵引的距离达到球的半径R时，所有的球壳剥落完毕,最小的”球壳二就是原来的中心点，现在它移动了R的距离.这些在W轴方向上，按大小顺序排列的无数个球壳,围合成了半个圆夬. 用同样的方法，向W 轴负方向牵引，得到另半个圆夬.（图十三）图十三这个圆夬,看上去还是一个圆球，其实，不论圆周，圆而，圆球，还是圆夬，它们都是圆的，画在纸上不会是其它形状，我们只能将它想象成无数个球体叠加，球半径由底空间的最大圆球开始，向w轴方向以cos值减小.（图十四）图十四四〉参数以上介绍了四维空间中比较简单的三个几何形，下面是它们相关的一些参数・正五体夬5体10面10棱5顶点设棱长为1：侧体高（丁6）/3叠（四维高）（丿10）/4内切圆夬半径（"10）/20外接圆夬半径（"10）/5夬积j=（i/4）*d*V=（ 75）/96其中d为叠（四维高）,V是底体的体积.正方夬8体24面32棱16顶点设棱长为1：内切圆夬半径1/2外接圆夬半径为1夬积1对角体:1*1*（ V2）对角面:P（ V3）对角线2圆夬设半径为r.表体积2（JT A2）（rA3）夬积1/2（兀A2）（rA4）夬积公式 夬积有两种计算方法 j 二d*v ； J=S1*S2具体用哪个公式，以所知道的条件来决定. 五〉例题例一:已知一等腰五体夬，它的底体为棱长为1的正四面体,它的外接圆夬半径为2, 求此五体夬的夬积.(图十五)答：设底体的屮心点为P,底体的一个顶点为O,在三维坐标屮，我们可以计算得到 棱长为1的正四面体的体积为("2)/12,计算得到OP 的长度为(J 6)/4.在等腰五体夬中,它的叠(四维高)d 是经过外接圆夬夬心的，所以圆夬心C 在叠d 上,CO 为圆夬半径,CP 丄OP,可求得CP=( 758)/4，所以此等腰五体夬的夬积：J=(l/4)d*V=(l/4) *(2+( V 58)/4)*( J 2)/12=( V 2)/24+( J 29)/96例二：用牵引法的原理，验证圆夬的夬积公式.答:我们先用牵引法计算半个圆夬的夬积.半圆夬的底部最大球的体积是(4/3) n R /\3,在牵引的过程中，球半径逐渐变小,球半径r 与牵引距离H 的关系是:rA2+HA 2=RA2,其中R 是最大球的半径，也是圆夬的半径.(图十六)将从大到小的圆球体积累加起来，就能得到半个圆夬的夬积，下面是积分公式:图十六32n4一3R O2H■2R2H■234R2n44R2n12再将J1*2=(1/2)(H A2) (RA4),得到圆夬的夬积公式.第二章位置关系一〉低维理论的升级下面是一些关于四维几何的公设，这些公设若耍证明是非常复杂，但基于我们通常的数学认知，可以认为这些公设是正确的.1＞在四维空间中，一条不与立体空间平行的直线，与此空间有且只有一个交点.2＞在四维空间中，不与立体空间平行的平面，与此空间相交于一条直线.3＞在四维空间中，两个互不平行的立休空间，相交于一个平面.4＞在四维空间中，若立体A平行于立体B,立体B平行于立体C,则立体A平行于立体C.5＞在四维空间中，若直线a垂直于立体V,直线b也垂直于立体V,则直线a 平行于直线b.其实我们之前学习的二维和三维的几何理论，大部分在四维空间中都是适用的•在这里先例举一些，希望能够达到举一・反三的效果.二〉平行三维儿何中平行的概念只包含直线和平面，在四维儿何中平行概念得以进一步扩充，木节讨论育•线与立体平行，平面与立体平行，立体与立体平行.1＞在四维空间中，一条与参照立体空间平行的直线，与此空间是没有交点的.这条直线上的任意一点，到参照立体空间的距离都相等.设直线a平行于立体空间O-XYZ,在直线a上任取两点，作垂直于参照空间的垂线与空间相交于两点,连接此两点形成盲线b,则盲线a平行于肓线b.在参照立体空间内，任何平行于直线b的直线都平行于直线b在空间外的平行直线a.在参照立体空间内，任何平行于直线b的平面都平行于直线b在空间外的平行直一(1) 囲一2＞在四维空间中，与参照立体空间平行的平面，与此空间没有相交线.平面上的任意一点，到参照立体空间的距离都相等.设平面S1平行于立体空间O・XY乙则平面S1内任意育线皆平行于立体空间O-XY 乙在平面S1上任取三点，作垂直于参照空间的垂线与空间相交于三个交点,过此三交点作一平面S2,则平面S2平行于平面S1.在参照立体空间内，任何平行于平面S2的直线都平行于平面S2在空间外的平行平面S1.在参照立体空间内，任何平行于平面S2的平面都平行于平面S2在空间外的平行平面Sl・.图一(2)3>在四维空间中，与参照立体空间平行的立体，与此空间没有相交面.立体上的任意一点，到参照立体空间的距离都相等.设立体VI平行于立体空间O・XY乙则立体VI内任意直线或平面皆平行于立体空间O・XY 乙空间O・XYZ内任意直线或平面也平行于立体VI.在之后的章节，以上概念和推论将直接应用，不会再作相应的叙述.三〉相交本节讨论四维空间中三种相交状况:直线与立体相交，平面与立体相交，立体与立体相交1>肓线与立体相交，有且只有一个交点.在四维空间中有一直线AP与立体空间O-XYZ相交于点P,过点A作垂线垂直于空间O・XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则ZAPB是直线AP与空间O・XYZ 的夹角.特殊情况，当ZAPB等于90度时，直线AP乖直于立体空间O・XYZ,同时也垂直于此空间内所有的肓线和平面.在立体空间O-XYZ内，过点P作平面S垂直于PB,则直线AP也垂直于平面S. 图二⑴因二7^7 —(2)2>平面与立体相交于一条肓线.在四维空间中有一平面S1与立体空间O-XYZ相交于直线L,在平面S1上任取一点A作垂线垂直于直线L且与L相交于点P,过点A作垂线垂直于空间O・XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则ZAPB是平面S1与空间O・XYZ的夹角.当ZAPB等于90度时，平面S1垂直于立体空间O・XY乙在立体空间O-XYZ内，过肓线L作平面S垂直于PB,则平面S1也垂直于平面S. 图二(2) 3>立体与立体相交于一个平面.在四维空间中有一立体VI与立体空间O-XYZ相交于平面S,在立体VI内任取一点A作垂线垂直于平面S且与S相交于点P,过点A作垂线垂肓于空间O-XYZ且与空间相交于点B,连接PB,则PB垂直于平而S,ZAPB是立体VI与空间O-XYZ的夹角. 当ZAPB等于90度时，立体VI垂直于立体空间O・XYZ.例一:求正五体夬表体之间的夹角.答:图三是一个正五体夬,设棱长L=1 .它的表体是五个正四面体，选取其中两个四面体:O・ABC和D-ABC.M T见这两个表体有公共面即三角形ABC.三角形ABC是等边三角形,选取其中心点P,连接DP和OP,则DP垂直于三角形ABC, OP也垂直于三角形ABC, ZOPD就是两表体Z间的夹角.不难求得DP=OP=(J6)/3,OD=1,代入余弦定理得：ZOPD=arccos(l/4)例二：图四是一个四维坐标系，在底空间中有肓线a,b,c,在此空间之外有四面体D-ABC,其中棱AC平行于直线a,棱AD平行于直线b,棱BC平行于直线c,这三条棱不在同一平面上.求证四面体D-ABC平行于底空间•(图四1)证明:首先采用反证法，假设"四面体D-ABC的棱AC不平行于底空间"・延长棱AC 使其与底空间相交于点M,在底空间内，过点M作直线MN平行于直线a,按照四维空间的平行定义，直线MN必平行于直线a的平行线AC,但事实上直线MN与棱AC的延长线相交，所以”棱AC 不平行于底空间”不成立，即棱AC平行于底空间・(图四2)同理可证棱AD,棱BC也平行于底空间.在四面体D-ABC中有三角形的两边AC,BC平行于底空间乙则三角形ABC平行于底空间.设三角形ABC与底空间的距离为d,因为棱AD平行于底空间，所以棱AD到底空间的距离也为d.将三角形ABC作为参照底面，把四面体D-ABC分解成无数个平行于三角形ABC 的三角面,每一个三角面都与棱AD相交•取其中任意一个三角形面A,B,C\点H在棱AD 上,所以点A ，到底空间的距离为d,因为三角形而平行于三角形 ABC 也平行于底空间,所以三角形面ABC 到底空间的距离也为d,这样就可以证 得四面体D-ABC 内所有的点到底空间的距离均为d,原题得证.例三：求正方夬中,对角体，对角面,对角线与底体的夹角.(图五)答：1＞从图五(左)中看到，对角体与底体相交于面OABC,对角体是一个长方体，所以 DO 丄面OABC,在底体中,EO 丄面OABC,所以ZDOE 等于对角体与底体的夹 角，它的值是兀/4・2＞图五(屮)屮对角面与底体相交于棱OA,对角面为长方形，所以FO 丄OA,因为 FP 垂直于底体交点为P,所以FP 丄OP, PO 丄OA, ZFOP 等于对角面与底体的 夹角，它的值是arccos(( V 6)/3).3＞图五(右)中对角线GO 与底体相交于点O, GH 垂直于底体交点为H,所以Z GOH 等于对角线与底体的夹角，它的值是arccos(( V 3)/2)= n /6・四〉与圆夬的位置关系1＞和切这个概念与圆的切线类似，在四维空间中有立体和圆夬相交于一点，定义为此立体 与圆夬相切•图六(1)连接圆夬心和相交点的线段，垂直于此立体(也可称Z 为切体).2＞相交立体与圆夬相交,相交部分为一个圆球.若立体是有形状和边界的，则相交部分视 实际条件来判定.图六(2)图八⑵3＞外接圆夬外接圆夬的概念类似于立体的外接圆球•因为不在同一平面的四点可以确定一个 圆球表面，在圆球外任取一点，和此圆球就可以确定一个圆夬,五体夬有五个顶点, 可以推断任意的五体夬都有一个外接圆夬.图七⑴图六⑴在一个点，到此四维夬所有顶点的距离都相等.4＞内切圆夬内切圆夬的概念类似于立体的内切圆球•已知任意的五体夬和正方夬都有内切圆夬•判断任意四维夬是否有内切圆夬的必要条件，是在此四维夬的内部必须存在一点，到此四维夬所有的表体的距离都相等.图七(2)第三章投影我们所存在的宇宙是三维的，至冃前为止，人类从未进入过高维度的空间，所以不可能对四维空间有感官上的认知•要在有限的条件下了解四维的空间,方法之一就是借助三维儿何体的形状，在逻辑上对四维的儿何形状进行推测.本章主要介绍四维夬在三维空间的投影原理,将投影形成的过程逆向推理，就可以想象其在四维空间的形态.一〉常用的投影计算公式以下是有关三维儿何投影的部分公式：1＞假设有一长度为L的直线与投影面的夹角为0，则投影的长度为L*Cos 0 2＞假设有一面枳为S的平面与投影面的夹角为0，则投影的面积为S*Cos 0把以上公式中的”投影面”改为"”投影立体空间”，便是适用于四维空间的投影公式.以下是类比得到的第三条公式：3＞假设有一体积为V的立体与投影立体空间的夹角为J则投影的体积为V^Cos 0当特殊的情况下e为90度时，以上公式屮的直线，平面，立体皆垂直于投影立体空间,它们的投影分别是点，直线，平面.例一：有一架探测器，它的体积是0.02立方米，把它送到四维空间去做实验,这架探测器进入四维空间后与我们的宇宙空间的夹角是60度，请问这架探测器在宇宙空间的投影体积是多少?(图一)答：V'=Cos 0 *V=Cos( JI /3)*0.02二0.01 立方米-＞平面角的投影平面角在四维空间中的位置状况是多样的，这里我们选取最简单的一种做例子：设某平面角Za 的角平分线垂直于Za所在的平面与投影空间的交线，Za与投影空间的夹角为0 ,Za在投影空间的投影角为ZA,则tan(A/2)=tan(a/2)/cos 0Z A=2arctan(tan(a/2)/cos。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

勾股定理是余弦定理的一个特例。

勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。

勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。

(3,4,5)就是勾股数。

也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。

勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。

【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。

八年级下册拓展资源——四维的勾股定理平方后等于负1的数称为虚数，用i表示。

i的3倍记为3i、7倍记为7i，它们都是虚数。

1与－1的平方都是1，平方为－1的数原本是没有的，虚数是在‘如果有的话’的前提下提出的概念。

由实数和虚数组合成的数叫做复数，复变函数是专门研究复数的数学分支。

假设在宇宙的最初（如同霍金所提倡的）时间是虚数，，由于加速度为距离除以时间的平方，所以当时间为虚数时，力的符号变为负（反方向）。

难以逾越的高墙反过来变成了深深的堑壕，在力学上势能（位置能）的符号发生了变化，封闭着能量的口袋在一瞬间消失，从而揭开了宇宙大爆炸的序幕，在此瞬间里时间由虚变实，变成了通常的膨胀。

关于大爆炸以前的虚时间难于讲解，示意图也画不出来的，普通的时间尚无法看见，更别提看见虚时间了。

我们的意识在一定程度上能够推定时间的经过，如果这时间是虚时间的话将会怎样呢？谁也说不出来。

霍金为了避开奇点用数学公式表示了时间的连续性，但是他却回避不了大爆炸前的虚时间。

虚时间的提出，消除了宇宙创生于奇点的困惑。

接下来，笔者用比较易懂的狭义相对论的公式，再对虚时间进行一些讲解。

狭义相对论认为，光速是不变的，长度及时间随测量方法的不同而不同，时间与长度具有同等的资格。

因此狭义相对论的公式是四维公式。

设x、y、z为三维空间坐标的互相垂直的三个轴，t为时间。

为了使时间成为用长度表示的维，把时间与光速c的乘积ct作为代表第四维的轴。

假定光从A点出发沿直线（按狭义相对论观点）到达B点，所需时间为t，则AB间的直线距离为ct。

一般地说，时间轴与x、y、z轴中的任何一个轴都不是互相垂直的，长度ct中含有各个轴的成份，光走过的距离ct相当于以x、y、z为三边的立方体的对角线之长，满足三维勾股定理（如图），。

也可以写成如果将相对论的时间记述为三维空间里的一维时间的话，-（ct）2与x2、y2、z2之和总应该为零。

请注意：在数学处理上必须不带任何区别地看待时间与空间。

四维正方体体积公式嘿，咱们今天来聊聊这个有点神秘又超级有趣的“四维正方体体积公式”。

要说这四维正方体，可不像咱们平时常见的普通正方体那么直观。

咱们平常熟悉的正方体，就是那种方方正正、有六个面的家伙。

可这四维正方体，那可就复杂得多啦！想象一下，你正在一个三维的世界里，面前有一个正方体。

它的边长是 a ，那它的体积很简单，就是 a 的三次方。

这咱们都懂，对吧？但要是到了四维空间，事情就变得奇妙起来。

我给您讲讲我之前的一次经历，那次可真是让我对这个概念有了更深刻的理解。

有一天，我在纸上不停地画着正方体，试图去想象四维正方体的样子。

画着画着，我感觉自己的脑袋都快被绕晕了。

我就想啊，这三维的正方体我能看得见、摸得着，可这四维的到底是个啥呢？后来我发现，要理解四维正方体的体积公式，得先从维度的概念入手。

咱们生活的世界是三维的，长、宽、高就把空间给确定了。

但在四维空间里，多了一个维度，咱就先叫它“超维”吧。

对于四维正方体，假设它在每个维度上的边长都是 a ，那它的体积公式就变成了 a 的四次方。

您可能会想，这也太抽象了，怎么去想象呢？我再跟您分享一个小窍门。

咱们可以把三维正方体的体积计算过程类比一下。

三维正方体是一层一层的正方形堆叠起来的，那四维正方体就可以想象成是一个一个的三维正方体沿着“超维”方向排列起来。

比如说，您可以把时间当作那个“超维”。

每一个瞬间，都有一个三维正方体存在，然后随着时间的流逝，这些三维正方体就组成了一个四维的物体。

虽然咱们在现实生活中很难真正接触到四维正方体，但通过这样的思考和想象，能让咱们的思维变得更加开阔，是不是还挺有意思的？再回过头来看看这个体积公式，a 的四次方，它代表着一种更高层次的空间度量。

就好像是打开了一扇通往未知世界的门，让我们对空间和数学有了更深的好奇和探索欲望。

总之啊，这四维正方体体积公式虽然看似复杂抽象，但只要咱们用心去琢磨，发挥想象力，还是能在数学的奇妙世界里找到不少乐趣的。

漫游四维空间的数学基础数学一直是人类探索宇宙和生命本质的利器，而与宇宙和生命本质最相关的一定是空间和时间。

我们的日常生活只需要用到三维空间和一维时间，但是在科学与哲学的较量中，四维空间的必要性和可行性渐渐浮出水面，即使只是为了更完整地理解自己身处的三维空间和一维时间，我们也值得一探究竟。

四维空间最直观的表示方法是利用坐标系来描述。

在三维空间中，我们需要三个坐标轴 x、y、z 来描述一个物体的位置，同样在四维空间中，我们需要四条坐标轴，通常用 x、y、z、w 表示。

然而，我们的直观观察与理解是三维的，如何描绘和理解四维空间中的物体就成了一个难题。

首先，为了描述一个物体在四维空间的位置，需要一个四元组(x,y,z,w)。

而四维空间中的物理学特性也有所不同。

例如，在三维空间中，两重力相加只会产生一个新的重力方向，但是在四维空间中，多个重力相加会形成一个四维的重力场。

同时，四维空间中的光线、电磁波、物质的行为也有所不同，需要新的数学表示方法。

在这样的背景下，爱因斯坦推导出来了广义相对论，把时空作为一个单一的实体，描述了重力、引力、宇宙膨胀等重大问题。

除此之外，数学家们还研究了类似于“超立方体”、“无穷平面闭合体”等耳熟能详的概念，并在计算机科学、神经网络、金融分析、图形绘制等领域获得了广泛应用。

那么，如何理解和描述四维空间呢？这里提供几种思考方式：1、时间维度的认识在三维空间中，我们都有一个共识：物体在不同的位置呈现不同的形状和特性。

而在四维空间中，除了位置之外，时间也成了一个独立的维度。

时间的不同呈现出了物体的不同状态，如同某个物体的运动轨迹以及产生的影响会在其沿途的空间内体现出来。

在这种方式下，我们可以将四维空间理解为伴随着时间变化的一系列三维空间。

对于这样的想法，模拟影视制造、对物质交换进行模拟即可做出实现。

2、投影的想象作为三维空间中的生物，我们只有一个视角。

合理的透视是我们对于四维空间观察和理解最好的形式之一。

空间勾股定理及空间勾股数
关春河
【期刊名称】《高师理科学刊》
【年(卷),期】2007(027)004
【摘要】通过解析勾股定理在二维平面上空间结构的性质,把勾股定理从二维空间推广到三维空间和四维空间,推导出三维勾股定理和四维勾股定理.通过深入研究勾股数的结构特征,得到勾股数最基本的表达式,推导出三维勾股数及四维勾股数的各种结构表达式.
【总页数】4页(P35-38)
【作者】关春河
【作者单位】龙江县发达中学,黑龙江,龙江,161102
【正文语种】中文
【中图分类】O156.1
【相关文献】
1.勾股定理的几何空间推广证明研究 [J], 谭成
2.适度有效开放，拓展探究空间——利用几何画板进行“勾股定理”证明的再探究[J], 郭福玲;
3.再论n维欧氏空间的广义勾股定理 [J], 邓勇
4.证明正交4球6平面及四维垂直的四维空间算法——四维体积勾股定理的应用(公式七) [J], 蔡国伟
5.勾股定理在平面和空间中的推广 [J], 尹杰杰
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勾股定理在高维空间中的推广及其应用勾股定理在高维空间中的推广及其应用摘要：勾股定理在平面中的基本内容“在任意一个直角三角形中两直角边的平方和是与第三边平方相等”反之，“在一个三角形中如果满足两条边的平方和等于第三条边的平方那么该三角形为直角三角形”，由此可以推导出在三维空间中正方体每个面的对角线的平方和等于空间对角线的平方。

工人建筑时墙角的测量、蚂蚁绕柱爬行最短路径等都应用到勾股定理，在三维空间中还有一个比较普遍的应用就是“一个直四面体的三个侧面的面积的平方和等于这个直四面体的底面面积的平方”。

通过分析勾股定理在平面上的结构性质，推导出三维空间及n维空间的勾股定理，深入了解勾股定理的性质特征和勾股定理的应用。

关键词：勾股定理；n维空间；应用Abstract：The basic content of "in the plane of the Pythagorean theorem in any right triangle in two right angle side of the square and is equal to the square and third side" and "in a triangle if the two sides of the square and is equal to the square of third edges of the triangle triangle shape, which can be deduced in the three-dimensional space of each surface cube diagonal and the diagonal of the square space is equal to the square. The workers, the corner of the building when measuring the ants crawling around the column of the shortest path are applied to the Pythagorean theorem in three-dimensional space and a common application is the "three sides of a straight tetrahedral area of the square is equal to the straight tetrahedral area of the bottom surface of the square". Through the analysis of structural properties in the plane of the Pythagorean theorem, Pythagorean theorem derived three-dimensional space and n-dimensional space, understand the application characteristics ofthe Pythagorean theorem and Pythagorean theorem.Key words：The pythagorean theorem; n-dimensional; Spaceapplication目录摘要........................................................................................................................... . (I)Abstract .............................................................................................................. ......................... I 目录........................................................................................................................... ......... I I1 研究背景及意义 (1)2 研究方法 (1)2.1 文献索引法 (2)2.2 几何研究 (2)2.3 数型结合 (2)2.4 类比推理法 (3)2.5 反证法 (3)3 研究对象 (4)4 研究内容 (4)4.1 研究勾股定理在高维中的基本内容 (4)4.1.1 勾股定理在二维空间中的基本内容 (4)4.1.2 勾股定理在三维空间中的基本内容 (5)5 勾股定理在高维中的推广证明 (5)5.1 勾股定理在二维空间的推广证明 (5)5.2 勾股定理在三维空间上的推广证明 (7)6 勾股定理在高维空间中的应用 (9)6.1 勾股定理在二维空间上的应用 (9)6.2 勾股定理在三维空间上的应用 (10)7 研究勾股定理在高维空间推广应注意的问题 (10)8 总结 (11)参考文献 (12)致谢.................................................................................................. 错误！未定义书签。

a2+c2=b2,c=b2-a2!=42-32!=!7(cm).二、忽视定理成立的条件例2在边长都是整数的△ABC 中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的长.误解:由“勾3股4弦5”知AC=4cm,BC=3cm,AB>AC,∴AB=5cm.剖析:这种解法受“勾3股4弦5”思维定势的影响,见题中有BC=3,AC=4,就认为AB=5,而忘记了“勾3股4弦5”是在直角三角形的条件下才成立,而本题中没有指明是直角三角形,因此,只能用三角形三条边之间的关系来解。

5.S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)，①又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c ²= (2ab+c²)。

②比较以上二式，便得a²+b²=c²6.如图已知，如图四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形，设AD＝c，AE＝a，DE＝b，△AED、△BHA、△CGB、△DFC是四个全等的三角形．求证：c^2＝a^2＋b^2．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC＝CD＝c．∵AE＝a，△AED、△BHA、△CGB、△DFC是四个全等的三角形，∴AE＝BH＝CG＝DF＝a．∴EF＝b－a．又∵四边形EFGH是正方形，∴EF＝FG＝GH＝HE＝b－a．∵正方形ABCD的面积S1=c^2，正方形EFGH的面积S2=（b－a）^2，△AED的面积S3=（1/2）*a*b，S2+4*S3=S1，∴（b－a）^2+4*（1/2）*a*b=c^2，即a^2+b^2=c^2．总结一下：在证明一些定理时，可借助一些特殊的图形进行证明．我所给出的图形就是我国古代数学书中的一个重要图形，称为“弦图”，借助它可以证明勾股定理．7.让直角三角形的斜边作正方形的边长.即可c^2-4*1/2ab=(b-a)^2化简得:c^2=a^2+b^2第二种方法:以a＋b长为正方形的边长．（b＋a)^2=c^2+4*1/2ab化简得:c^2=a^2+b^2欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。

新方法绘制四维空间坐标和对坐标点的理解——四维坐标及其点的表示和弹缩坐标的构想摘要：四维空间一直很神秘，我们处在三维空间中，很少能感知四维空间，面体结构如何形成[1]，面体结构是否真的存在，物理方法，推理出面体结构，是找到了进入多维空间的大门。

我们可以从坐标的形成方式，来推理，我们熟悉了四维坐标的形成过程，推理面体结构，对于掌握应用四维坐标构图也就不是很远了，下面我们介绍一下坐标面体结构另一种理解运用和多维空间的坐标建立，即为弹缩坐标。

关键词:四维空间坐标弹缩坐标在谈论空间维度，有人说空间是11维的，有的人说空间是12维的，空间到底是多少维的，等我做完图，就可以得到答案。

1四维坐标的建立从零维开始，我们看推理过程。

零维：点，用笔画，时间可能非常少，测量时间T0，匀速延长时间0。

一维：直线，X，用笔画，测量点时间为T1 ，匀速时间延长为T11二维：平面直角坐标系，XY，用笔画，X测量点时间为T2，匀速时间延长为T12，Y测量时间点为T3，匀速时间延长为T13，直角坐标系点T2 和点T3的匀速时间复合得到。

三维：直角坐标系（笛卡尔坐标系），XYZ，X测量时间点为T4，匀速时间延长为T14，Y测量时间点为T5，匀速时间延长为T15，Z测量时间点为T6，匀速时间延长为T16，坐标系是点T4，T5，T6复合，匀速时间复合得到。

四维：空间直角坐标系，我们先看直角坐标系（笛卡尔坐标系），坐标轴过原点，分别互相垂直，是时间与时间点的复合，那在面上找一个数轴，在匀速时间下，互相垂直下时间点的缩合，这样不就可以了吗，答案是有的。

我们看这个M数轴，假设OM过原点，是一个以O为圆心，在XOZ面上转动的直线，T8时，OM与X轴重合，这时候，OM垂直于Y轴，垂直于Z轴，T9时，OM与Z轴重合，OM垂直于Y轴，垂直于X轴，T8与T9缩合成为T10，出现与X轴重合的OM垂直X轴，与Z轴重合的OM垂直于Z轴，取出XOZ面，出现，角XOZ是90度，角XOM是90度，角MOZ是90度，把这个面放在三维空间中，这是一个长方形或正方形的三个面，这是一个面体结构，四维空间的一个面，三维空间的一个体，面体结构还原，这样看，四维坐标主结构是笛卡尔坐标T4，T5，T6，加上一个缩合时间T10复合得到。

正四维空间体积公式
答案1、设四维空间球坐标为(r,ψ,θ,φ)，类比三维球坐标可得该空间线元ds^2=dr^2+r^2[dψ^2+sin^2ψ(dθ^2+sin^2θdφ^2)]，从中读出该空间度规张量分量为1，r^2,r^2sin^2ψ,r^2sin^2ψsin^2θ,所以该空间在四维球坐标系下的体元为根号下度规分量的乘积=r^3sin^ψsinθ。

所以该坐标系下四维球（r=R）的体积为一个四重积分，体元就是r^3sin^ψsinθ。

积分上下限分别是（0，R），（0，π），（0，π），（0,2π）。

最后积分得到四维球体积公式为V=0.5R^4×π^2
答案2、首先要说的是n维空间里没有正四面体,正四面体仅仅是他们在3维空间里的投影.四维空间里所谓的“正四面体”,实际上有5个三维面,10个二维面,10条棱,5个顶点.
五维空间里则是由6个4维面,15个三维面,20个二维面,15条棱,6个顶点.
设n+1维空间里的正n+2面体的公式为Vn+1,
计算公式可以是古老的Vn+1=1/n×底面积×高,
底面积可以是同样棱长n维空间里的正n+1面体的体积Vn,设高为hn+1,那么有hn+1=根号（a^2-(hn/n+1)^2）Vn+1=1/n ×Vn hn+1。