当前位置：文档之家 › 求函数值域(最值)的方法

求函数值域(最值)的方法

  • 格式：doc
  • 大小：665.18 KB
  • 文档页数：19

求函数值域（最值）方法汇总一．单调性法例1．求函数x 53x y ---=的值域 例2．求函数11--+=x x y 的值域例3．求函数x x y -+-=53的值域解一：例4．已知函数.2]2,0[34)(2的值，求实数上有最大值在区间a x ax x f -+= 解：（1）当0=a 时，max ()(2)4232,f x f ==⨯-≠舍去； （2）当↑⇒〈-=〉上在时，对称轴方程为]2,0[)(020x f ax a 舍去,043254)2(〈-=⇒=+=⇒a a f ；（3）当时，0〈a 02〉-=ax 对称轴方程为， ①]1,(]0,1[1]2,0[2--∞∈⇒-∈⇒∈-a a a 1542384)2(-〉-=⇒=--=-⇒a a a a f ，舍去②122-〉⇒〉-a a ↑⇒上在]2,0[)(x f 43-=⇒a纵上，43-=a例5.已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。

解：0)0()0()0()00(=⇒+=+f f f f为奇函数则令)()()()()()(,x f x f x f x f x f x x f x y ⇒-=-⇒-+=--= )()()()()(0)(0,121112121221x f x f x f x f x x f x x f x x x x 〉⇒〉+-⇒〉-⇒〉-〈则令422)1()1()11()2(-=--=-+-=--=-f f f f ,2)1()1(=--=f f()[-2,1][-4,2]f x ⇒在上的值域为：二．判别式（∆）法：用于自然定义域下的二次分式形式的函数，变形为关于x 的方程，讨论2x 的系数，当系数为0时，判断方程左边是否等于0；当系数不为0时，得0≥∆。

综上，求出y 的范围。

如：,,222211221121c x b x a b x a y b x a c x b x a y +++=+++=22221121c x b x a c x b x a y ++++=等。

例6．求函数32x 2x 1x x y 22+-+-=的值域例7．228()1mx x nf x x ++=+已知函数的值域为[1,9]，求m 、n 的值三．分离常数法：一次分式函数d cx b ax x f ++=)(b d a a c d c x c-=++、二次分式函数22()ax bx cg x dx ex f ++=++可通过配凑分子，分离常数化简后再用换元法做。

例8．求函数233-+=x x y 的值域 例9．)1,0(),2(log 2∈=x x y x 求函数解一：四．换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为我们熟悉的函数形式，从而求出值域。

1.代数换元例10．求135-+-=x x y 的值域 2.三角换元例11．求242x x y -+-=的值域例12．25=y x x =+-当函数取得最大值______时，x _____ 解二：例13.2222maxmin11545.x xy y S x y S S -+==++实数、y 满足4x ，设，求的值 解一：（三角换元法）22cos [0,24545sin x S x xy y y S ααπα⎧=⎪∈-+=⎨=⎪⎩设，），代入 1045sin cos 585sin 2S S S ααα⇒-=⇒=-101010s i n 2[1,1]8-5s i n [3,13][,]85s i n 133ααα∈-⇒∈⇒∈-由 m a xm i n 11313810105S S ⇒+=+=3.二次分式函数用配凑分离换元法：一次幂换元，化成耐克函数或伪耐克函数)0()(〉±=a xax x f 的形式。

例14．求函数22+2,(1,+)2+1x x y x x +=∈∞的值域例15.函数291()(0,)122f x x x x =+∈-，的最小值为________ 解三：例16．求函数)1,1(,11222-∈++++=x x x x x y 的值域4.均值换元法例13.2222maxmin11545.x xy y S x y S S -+==++实数、y 满足4x ，设，求的值 解二：（均值换元法）2222,,[,]2222S S S SS x y x t y t t =+=+=-∈-由，设 222222245539160100100[,0]444S S S x y tS t SSt ⇒=±-⇒±-=⇒-+=-∈- 222m a x m i n3916010001010113138[,]13310105391601001004S S S S S S S S ⎧-+≤⎪⇒∈⇒+=+=⎨-+≥-⋅⎪⎩5.和差换元法：例13.解三：224545x a b y a b x xy y =+=--+=设，，代入222222225102010103135[0]()()2()[]31313133a b a S a b a b a b a ⇒+=⇒∈⇒=-++=+=+∈，， m a xm i n 11313810105S S ⇒+=+=6.其它特殊换元法例17.20()2(sin cos )sin cos 2a f x a x x x x a >=+--设，求的最大值和最小值例18．110m a b c m a b b c c a>>++≥---设时，不等式恒成立，求的最大值 解一：例19.设对于所有实数x ，不等式2222224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a++++>+恒成立，求a 的取值范围.五．基本不等式法：1、时等号成立；，当且仅当，有b a b a b a ab ba Rb a =+≤+≤≤+∈∀+22112,22 时等号成立；，当且仅当，c b a cb ac b a abc cb a Rc b a ==++≤++≤≤++∈∀+331113,,2223 2、时等号成立。

，当且仅当，有b a b a b a ab R b a =+≤+≤∈∀2)2(,222 例20．求函数)0(22〉+=x xx y 的值域 例21．求函数,2632x x y -=)30(<<x 的值域例3（变）．求函数x x y -+-=53的最大值例22.函数291()(0,)122f x x x x =+∈-，的最小值为________ 解一：【方法点悟】利用基本不等式求函数的最值要注意“一正二定三等号”。

例23．若。

的取值范围是则_________,,,22b a b a b ab a R b a ++=+-∈ 解一：2222)(43)2(33)()(3)(b a b a ab b a b a b a ab b a +=+≤=+-+⇒+=-+ ]4,0[0)(4)(2∈+⇒≤+-+⇒b a b a b a 六．复合函数外函数法：对复合函数为y = f(g(x))，令函数)(),(x g u u f y ==，先求出内函数)(x g u =的值域，把它作为外函数)(u f y =的定义域，从而求出外函数值域的方法。

例24．求函数()3x 5x 2y 221++-=log 的值域七．反函数法：当函数有反函数时，可求反函数的定义域，从而得到原函数的值域例8．求函数233-+=x x y 的值域解二：【点评】函数0,ax b d y c x cx d c +⎛⎫=≠≠- ⎪+⎝⎭的值域为：⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,,c a c a八．有界性法例25．求函数2cos 31cos 2-+=x x y 的值域 例26．求函数11+-=x x e e y 的值域例27．求函数221x y x =+的值域 例28．求函数θθcos 2sin -=y 的值域解一： 解一：九.三角恒等变换法例29.cos cos αβαβ+2已知sin +sin =，求的取值范围。

2十．绝对值不等式的性质：||||||||||||b a b a b a +≤+≤-（前者取等取等，后者00≥≤ab ab ） 例30．求函数2)2(|1|-++=x x y 的值域 例31．|4||3|---=x x y 的值域解一： 解一：十一.参数法例32．若._________10,,22的取值范围是，则且y x y x R y x +=+∈ 解二：十二．图像法或数形结合法：画出函数的图象，根据图像直观地得出函数的值域或挖掘代数形式的几何意义，构造出对应的恰当的几何模型，使代数问题几何化。

例33.求|2||1|y x x =-+-的值域 例34.求|3||1||2|y x x x =-+-+-的值域【点评】求函数)(||||||2121n n x x x x x x x x x y 〈〈〈-++-+-= 的最值时，①n 为奇数时，取得最小值；时，当y x x n 21+=②取得最小值。

时，为偶数时，当y x x x n n n ],[122+∈ 例35.求函数的值域|2|6|1|3|3|---+-=x x x y例36.求函数的值域|1|2|3|6|2|3|4|-+---+-=x x x x y【点评】求函数的最值时)(||||||)(212211n n n x x x x x a x x a x x a x f 〈〈〈-++-+-= ， ，无最大值；时，当)}(,),(),(min{)(0)1(21min 1n i ni x f x f x f x f a =〉∑= ；，时，当)}(,),(),(max{)}(,),(),(min{)(0)2(21max 21min 1n n i ni x f x f x f y x f x f x f x f a ===∑= ，无最小值。

时，当)}(,),(),(max{)(0)3(21max 1n i ni x f x f x f x f a =〈∑= 例37．若函数.)()5,2()0,3()1(的定义域，求函数的定义域为x f xx f ⋃-+例38．求函数]1,[,22)(2+∈+-=t t x x x x f 的最大值和最小值例40.设1||)(2+-+=a x x x f a 为实数，函数.求的函数解析式的最小值)()(a m x f .【举一反三】设)()2(,1)0()1.(||)(2)(2x f a f a x a x x x f a 求的取值范围；求若为实数，函数≥--+=的最小值.例28．求函数θθcos 2sin -=y 的值域解二： yx-1 O11ADCB例39.函数，上的值域是在区间]3,1[],[22--=b a x x y 则点),(b a 的轨迹是图中的( )A.线段AB 和线段ADB.线段AB 和线段CDC.线段AD 和线段BCD.线段AC 和线段BD3例32．若._________10,,22的取值范围是，则且y x y x R y x +=+∈ 解三：例41．22,51260x y x y x y +=+已知满足，求的最小值及此时y x ,的值十三.几何法：在解决解析几何问题的过程中，抓住坐标系内平面图形的几何特征，利用平面几何的性质参与解决解析几何问题的方法。

合集下载

函数值域的十种求法

函数值域的十种求法

函数值域的十种求法
1、通过定义域的极限来求函数值域：由于函数表示法中的变量x的取值范围是定义域，而函数值f(x)的取值范围则可以通过定义域极限的方法来求得。

2、通过函数定义关系来求函数值域：由于函数在定义域内有一定的定义关系，所以可以根据函数定义关系来求函数值域。

3、由于函数在定义域内有一定的性质，所以可以根据函数性质来求函数值域。

4、由于函数在定义域内有一定的对称性，所以可以根据函数的对称性来求函数值域。

5、由于函数在定义域内有一定的单调性，所以可以根据函数的单调性来求函数值域。

6、根据函数的奇偶性来求函数值域：如果函数在定义域内具有奇偶性，则可以根据函数的奇偶性来求函数值域。

7、由于函数在定义域内有一定的常数性，所以可以根据函数的常数性来求函数值域。

8、根据函数增减性来求函数值域：如果函数在定义域内具有增减性，则可以根据函数的增减性来求函数值域。

9、由于函数在定义域内有一定的循环性，所以可以根据函数的循环性来求函数值域。

10、根据函数的图像形状来求函数值域：如果函数在定义域内具有特定的图像形状，则可以根据函数的图像形状来求函数值域。

函数值域的13种求法

函数值域的13种求法

函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

函数值域的求法8大题型

函数值域的求法8大题型

函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。

在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。

一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有（1）y =或y ax b=+的结构，可用“t =”换元；（2）y ax b =+±（,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用t =”换元；（3）y bx =±型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ad y d cx d c c x c +-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x=+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b +（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+-<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。

求函数值域(最值)的方法大全

求函数值域(最值)的方法大全

一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,ac b ⎡⎫-+∞⎢，当0a <时的值1. 例1、 例2、 故函数的值域是：[ -∞，2 ] 2 、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

解：将函数配方得：y=（x-1）2+4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知：当x = 1时，y m in = 4 当x = - 1，时m ax y = 8 故函数的值域是：[ 4 ，8 ] 例 A 例解：21x x ++222x x x x -=++当2y -=当20y -≠时，x R ∈时，方程根.()()221420y y ∴=+-⨯-≥15y ∴≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[]1,5.例6、求函数y=x+)2(x x -的值域。

解：两边平方整理得：22x -2（y+1）x+y 2=0 （1）x ∈R ，∴△=4（y+1）2-8y≥0解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x （2-x ）≥0，得：0≤x≤2。

由△≥0，仅保证关于x 的方程：22x -2（y+1）x+y 2=0在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[1，3]。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

4例y 5 、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。