高考数学三轮增分练 高考小题分项练7 数列 文

高考小题分项练7 数 列
1．在等比数列{a n }中，若a 1＝19
，a 4＝3，则该数列前五项的积为________． 答案 1
解析 因为a 4＝a 1q 3,3＝19
×q 3，q ＝3， 所以a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝(a 1q 2)5＝(19
×9)5＝1. 2．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2＝________. 答案 3
解析 a 1＝a 2－2，a 5＝a 2＋6，
∴a 22＝a 1a 5＝(a 2－2)(a 2＋6)，解得a 2＝3.
3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n a n ＝n ＋12，则a 2a 3
＝________. 答案 23
解析 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3a 3＝3a 2a 3＝3＋12
， ∴a 2a 3＝23
. 4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos
2n π2)a n ＋sin 2n π2，则该数列的前12项和为________．
答案 147
解析 ∵a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos 2n π2)a n ＋sin 2n π2
， ∴a 3＝a 1＋1＝2，a 4＝2a 2＝4，…，a 2k －1＝a 2k －3＋1，a 2k ＝2a 2k －2 (k∈N *，k ≥2)．
∴数列{a 2k －1}成等差数列，数列{a 2k }成等比数列．
∴该数列的前12项和为(a 1＋a 3＋…＋a 11)＋(a 2＋a 4＋…＋a 12)＝(1＋2＋…＋6)＋(2＋22＋…＋26)＝＋2＋6－
2－1＝21＋27
－2＝147. 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝________. 答案 104
解析 由a 2＋a 7＋a 12＝24，得a 7＝8，
所以，S 13＝a 1＋a 132＝13a 7＝104.
6．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13
x 3－4x 2＋6x －3的极值点，则log 6a 2 016＝________.
答案 1
解析 ∵f ′(x )＝x 2
－8x ＋6，∴a 1·a 4 031＝6，
∴a 22 016＝6，∵a 2 016>0，
∴a 2 016＝6，log 6a 2 016＝1.
7．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32
(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝________. 答案 3n
解析 由S n ＝32
(a n －1)， 则n ≥2时，S n －1＝32
(a n －1－1)， 则a n ＝S n －S n －1＝32
(a n －a n －1)， ∴a n ＝3a n －1，∴a n ＝3n ，
∴a 1＝3符合公式，∴a n ＝3n .
8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案 6766 解析 设竹子自上而下各节的容积分别为：a 1，a 2，…，a 9，且为等差数列，根据题意得：a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，
a 7＋a 8＋a 9＝4，即4a 1＋6d ＝3，①3a 1＋21d ＝4，②
②×4－①×3得：66d ＝7，解得d ＝766
， 代入①得：a 1＝1322，则a 5＝1322＋(5－1)×766＝6766
. 9．等差数列{a n }的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为________． 答案 210
解析 因为{a n }是等差数列，所以S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，即2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，
所以S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.
10．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n >0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为________． 答案 20
解析 S 9－S 6S 6－S 3＝S 6－S 3S 3
， (S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，
S 9－S 6＝S 6－S 32S 3＝＋S 32S 3 ＝S 3＋25S 3＋10≥10＋10＝20，
当且仅当S 3＝5时取“＝”，则S 9－S 6的最小值为20.
11．已知{a n }是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{a n }的第n 项到第n ＋5项的和为T n ，则|T n |取得最小值时的n 的值为______．
答案 5或6
解析 由题意得d ＝a 10－a 5
10－5＝－5，因此a n ＝a 5＋(n －5)d ＝－5n ＋40，a 8＝0，而数列{a n }的第
n 项到第n ＋5项的和为连续6项的和，因此|T n |取得最小值时的n 的值为第8项前3项或前2项，即n 的值为5或6.
12．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x
＋y )，若a 1＝12
，a n ＝f (n ) (n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是____________． 答案 [12
，1) 解析 ∵a 1＝f (1)＝12，∴a n ＋1＝f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12a n ，∴数列{a n }为首项a 1＝12
，公比q ＝12的等比数列，∴S n ＝12[1－12n ]1－12
＝1－(12
)n . ∵n ≥1，∴12
≤S n <1. 13．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，则该数列的前 2 018项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 018＝________.
答案 －6
解析 由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4
＝2＝a 1，∴数列{a n }是以4为周期的数列，而2 018＝4×504＋2，∴前2 018项乘积为a 1a 2＝－6.
14．设S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且a n 和S n 满足4S n ＝(a n ＋1)2
(n ＝1,2,3，…)，则S n ＝________.
答案 n 2
解析 由题意知：S n ＝(a n 2＋12)2
，
当n ＝1时，易得a 1＝1. a n ＝S n －S n －1＝(a n 2＋12)2－(a n －12＋12)2 ＝(a n 2＋a n －12＋1)·(a n 2－a n －12) ＝(a 2n －a 2
n －14)＋(a n 2－a n －12)， 整理得：a n ＋a n －12＝a 2
n －a 2n －14⇒a n －a n －1＝2，
所以a n ＝2n －1，所以S n ＝n 2
.。