现代信号处理一 信号分析基础傅里叶变换的不足：()()1()()2j t j tX j x t e dtx t X j e d π∞-Ω-∞∞Ω-∞Ω==ΩΩ⎰⎰1.不具有时间和频率的“定位”功能；2.傅里叶变换对于非平稳信号的局限性；3.傅里叶变换在分辨率上的局限性。
频率不随时间变化的信号，称为时不变信号（又称为平稳信号），频率随时间变化的信号称为时变信号（又称为非平稳信号），傅里叶变换反映不出信号频率随时间变化的行为，只适合于分析平稳信号。
而我们希望知道在哪一时刻或哪一段时间产生了我们所要考虑的频率，现代信号处理主要克服傅里叶变换的不足，这些方法构成了现代信号处理。
分辨率包括频率分辨率和时间分辨率，含义是指对信号能作出辨别的时域或频域的最小间隔。
分辨率的好坏一是取决于信号的特点，二是取决于信号的长度，三是取决于所用的算法。
克服傅里叶变换不足的主要方法有：方法一：STFT （Short Time Fourier Transform ）方法二：联合时频分析Cohen 分布，联合时频分析Wigner 分布 方法三：小波变换方法四：信号的子带分解，将信号的频谱均匀或非均匀地分解成若干部分，每一个部分都对应一个时间信号。
方法五：信号的多分辨率分析，与方法四类似，为了适应在不同频段对时域和频域分辨率的不同要求，可以将信号的频谱做非均匀分解。
明确概念：时间中心、时间宽度、频率中心和频带宽度 信号能量：2221()()()2E x t x t dt X j d π===ΩΩ<∞⎰⎰时间中心：21()()t t x t dt Eμ=⎰ 频率中心：21()()2x d EμπΩ=ΩΩΩ⎰ 时间宽度：22201()()t t t x t dt E ∞-∞∆=-⎰频率宽度：22221=()2X d Eπ∞Ω-∞∆ΩΩΩ-Ω⎰ 时宽和带宽：2,2t T B Ω=∆=∆品质因数=信号的带宽/信号的频率中心。
不定原理：给定信号x(t)，若()0t t →∞=,则12t Ω∆∆≥当且仅当x(t)为高斯信号，即2()t x t Ae α-=等号成立。
对给定的信号，其时宽与带宽的乘积为一常数，当信号的时宽减小时，其带宽将相应增大，当时宽减到无穷小时，带宽将变成无穷大，反之亦然。
即，信号的时宽与带宽不可能同时趋于无限小，同时也是时间分辨率和频率分辨率的制约关系。
二 短时傅里叶变换（STFT ）与Gabor 变换（一）连续信号的短时傅里叶变换2()()x t L R ∈其STFT 定义为：,,STFT (,)()()(),()x t t t x g d x g τττττ*ΩΩΩ==<>⎰式中,()()()1j t g g t e g ττττΩΩ=-=，窗函数应取对称函数。
*STFT (,)()()(),()j j x t x g t e d x g t e τττττττ-ΩΩΩ=-=<->⎰由于是()g τ函数窗，因此它在时域是有限支撑的，同理，,()()j t g g t e τττΩΩ=-在时域也是有限支撑的，由于j e τΩ在频域是线谱，所以STFT 的基函数,,()()()j t t t g g t e G ττνΩΩΩ=-→利用STFT 可实现对x(t)时-频定位的功能(),()()()j jv j v t t G g t e e d G v e ττνττΩ---ΩΩ=-=-Ω⎰又由于*,,11(),()(),()()()22jvtt t x t g X v G v X v G v e dv τππ∞ΩΩ-∞<>=<>=-Ω⎰ 所以：*1(,)()()2j tjvtx STFT t eX v G v edv π∞-Ω-∞Ω=-Ω⎰为STFT 的频域表达式。
（二）短时傅里叶反变换STFT (,)()()1STFT (,)2()()()()()j x j u x t x g t e d t e d x g t d x g t ττττπττδτμμμ-Ω∞Ω-∞Ω=-ΩΩ=--=-⎰⎰⎰左边=右边1()STFT (,)2(0)j t x x t t e d g πΩ=ΩΩ⎰ 上式为STFT 的一维反变换表示。
STFT 的二维反变换来表示为：1()STFT (,)()2j x x t h t e dtd τττπ∞∞Ω-∞-∞=Ω-Ω⎰⎰（三）离散信号的短时傅里叶变换*2**STFT (,)()()DTFTSTFT (,)()()DFT 2,.()()()j n x njnk Mx k nk m x n g n mN e m x n g n mN ek let x n g n mN x n Mωπωωπω--=-=-'=-=∑∑为为120STFT (,)(),M j nk Mx n m k x n em π--='=∑为窗函数移动的序号N 是在时间轴上窗函数移动的步长，M 是一个周期（2π）的分点数。
（四）Gabor 变换及临界抽样情况下连续信号Gabor 展开系数的计算 可用时-频平面上离散栅格上的点来表示一个连续的一维信号：2,,,()()()j mbt m n m n m nm n m n x t c h t ch t na e π∞∞∞∞=-∞=-∞=-∞=-∞==-∑∑∑∑在栅格中，a:栅格的时间长度，b:栅格的频率长度。
如果ab>1，即栅格过稀，将缺乏足够的信息来恢复原信号；如果ab 过小，必然会出现信息的冗余，类似于对一维抽样时抽样频率过大的情况。
三 Wigner 分布（一）Wigner 分布的定义 x(t),y(t)的联合Wigner 分布：*,(,)(/2)(/2)j x y W t x t y t e d ττττ∞-Ω∞Ω=+-⎰x(t)的自Wigner 分布*(,)(/2)(/2)j x W t x t x t e d ττττ∞-Ω∞Ω=+-⎰（二）WVD 的性质 1、奇、偶、虚、实性（1）(,),xW t R t Ω∈∀∀Ω对→(,)xW t Ω始终是,t Ω的实函数；（2）(),(,)(,)xxx t R W t W t ∈Ω=-Ω→若()x t 是实信号，(,)xW t Ω是Ω的偶函数；（3）*,,(,)(,)x yy xW t W t Ω=Ω→互WVD 可能是复函数。
2、能量分布性质 （1）时间边缘性质 （2）频率边缘性质3、反变换**(,)(/2)(/2)1(/2)(/2)(,)2j j x W t x t x t e d x t x t W t e d τττττττπ∞-Ω-∞ΩΩ=+-↓+-=ΩΩ⎰⎰4、WVD 的运算性质有移位（只影响WVD 的时间），调制（只影响WVD 的频率），移位加调制，时间尺度，信号的相乘（在频率轴上卷积），信号的滤波（信号时域卷积，WVD 在时间轴上卷积），信号的相加。
5、常用信号的Wigner 分布 6、Wigner 分布的实现*(,)(/2)(/2),,22j x s s sW t x t x t e d t nT kT kT ττττττ∞-Ω-∞Ω=+-===⎰令2*(,)2()()sj k T x x s s s s s k W nT T x nT kT x nT kT e ∞-Ω=-∞Ω=+-∑归一化，令1sT =，又=sT ωΩ*2(,)2()()j k x k W m x n k x n k e ωω∞-=-∞=+-∑(,)x W n ω的周期为π，由抽样定理决定：max 4s f f ≥四 Cohen 类时-频分布 （一）Wigner 分布与模糊函数*(,)(/2)(/2)1(,)(,)2x j t x x r t x t x t A r t e dt θτττθττπ=+-↓=⎰模糊函数定义为瞬时自相关对时间t 的傅里叶反变换，也是信号时频分布的一种表示形式。
模糊函数与1953年提出，在雷达信号处理中有着广泛的应用，后来发现它在用于去除时频分布的交叉项方面也有着重要的应用。
(,)(,)j x x W t r t e d τττ-ΩΩ=⎰WVD 定义为瞬时自相关对时间延迟τ的傅里叶正变换。
1(,)(,)2(,)(,)j t xx j t x x A r t e dt r t A e d θθθττπτθτθ-⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰ 为模糊函数。
()(,)(,)(,)j x x j t x W t r t e d A e d d τθτττθτθτ-Ω-+ΩΩ==⎰⎰⎰为WVD 和模糊函数的关系，一个信号的WVD 等于其模糊函数的二维傅里叶变换。
（二）Cohen 类时-频分布 （1）时域表示*()1(,:)(/2)(/2)(,)2j t u x C t g x u x u g edud d θτθττθττθπ-+Ω-Ω=+-⎰⎰⎰如果(,)1g θτ=，即窗函数是(,)θτ平面的全通函数，则(,:)(,)xxC t g W t Ω=Ω。
（2）频域表示*()1(,)(/2)(/2)(,)2j u x C t Xu X u g e dud d τθττθθθτθτπ--ΩΩ=+-⎰⎰⎰（3）用模糊函数表示()(,)(,)(,)j t t x x C t A g e d d θθτθττθ-+ΩΩ=⎰⎰体现了在模糊域对模糊函数的加窗，Cohen 类即是在WVD 的基础上加上不同类型的窗函数，从而得到抑制交叉项的目的。
（4）用WVD 表示21(,:)(,)(,)4x xC t g W u G t u dud ξξξπΩ=-Ω-⎰⎰（5）用广义模糊函数表示()(,)(,)(,)(,)(,)x x j t t x x M A g C t M e d d θθτθτθτθττθ-+Ω=Ω=⎰⎰（6）用广义时间相关表示 定义：(,)(,)jt g t g e d θτθτθ-'=⎰时间相关域的核函数。
1(,)(,)(,)2x r t r u g t u du τττπ''=-⎰广义时间自相关。
(,)(,)j x x C t r t e d τττ-Ω'Ω=⎰广义时间相关的傅里叶变换。
（7）用广义谱自相关表示 定义：(,)(,)j G g e d τθθττ-Ω'Ω=-⎰谱相关域的核函数1(,)(,)(,)2x xR R G d θξθξθξπ''Ω=Ω-⎰广义谱自相关1(,)(,)2jt x x C t R e d θθθπ'Ω=Ω⎰ 广义谱自相关的傅里叶逆变换。
