平行四边形定义性质以及判定定理

平行四边形的认识平行四边形是基本几何图形之一，由于其独特的性质和广泛的应用，对于平行四边形的认识具有重要意义。

本文将从定义、性质、判定条件以及相关应用等方面对平行四边形进行详细介绍。

定义平行四边形是指具有两组相对平行的边的四边形。

具体来说，平行四边形的定义如下：定义1：如果一个四边形的对边互相平行，则该四边形被称为平行四边形。

在平行四边形中，相邻的两条边和对角线都具有特殊的关系和性质。

性质平行四边形具有一些独特的性质，这些性质有助于我们更深入地理解和应用平行四边形。

1. 边与角性质•对边性质：平行四边形的对边长度相等。

•相邻边性质：平行四边形的相邻边互余角（对应两个相邻边的内角和为180度）。

•同位角性质：平行四边形的同位角相等（指同位于两组平行边的对应角）。

2. 对角线性质•对角线性质1：平行四边形的对角线互相平分。

•对角线性质2：平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个全等三角形。

3. 面积性质•面积性质：平行四边形的面积等于底边长度乘以高（即平行四边形的底边高）。

•面积计算公式：若平行四边形的底边长为b，高为h，则平行四边形的面积S = b * h。

4. 判定条件平行四边形的存在和判定有一些特殊的条件，其中常用的包括：•条件1：两组对边分别平行。

•条件2：从一组对边的任意一点向两边作垂线，垂线的长度相等。

•条件3：从一组对边的任意一点向两边作垂线，垂线的夹角相等。

•条件4：从一组对边的任意一点作平行于两边的线段，该线段与另一组对边交点的连线平分该线段。

相关应用平行四边形的特殊性质和性质的应用广泛存在于各种数学问题和实际生活中。

以下是一些常见的应用场景：1.建筑工程中：平行四边形的应用在建筑工程中非常常见，例如砖块的摆放、墙壁的装饰等。

2.几何证明中：平行四边形作为几何证明的基础形状，常常被用来证明一些定理和性质。

3.向量运算中：平行四边形的性质和向量之间有密切的联系，在向量运算中经常会用到平行四边形的概念。

平行四边形的性质和判定知识点1 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

记作“□ABCD ”。

知识点2 平行四边形的性质： 边：对边平行且相等。

角：对角相等，邻角互补。

对角线：对角线互相平分。

知识点3 平行四边形的判定：边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

、 知识点4 两条平行线的距离。

知识点5 三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线。

性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

例1、如图，E F ，是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE AF ．猜想：BE 与DF 有怎样的位置．．关系和数量．．关系？并对你的猜想加以证明。

【变式练习】已知，在□ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、CB的延长线上，且∠1=∠2，DF 交AB 于G ，BE 交CD 于H 。

求证：EH=FG 。

例2、已知如图，O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，EF 交于F 。

求证：四边形AECF 是平行四边形。

例3、▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，线DC （1）求证：CE=CF ；C ABCDE F（2）若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE ，求∠BDG ． 【变式练习】 1、如图,中，AE =CF ，M 、N 分别ED 、FB 的中点．求证：四边形ENFM 是平行四边形．2、在▱ABCD 中，∠ADC 的平分线交直线BC 于点E 、交AB 的延长线于点F ，连接AC ．（1）如图1，若∠ADC=90°，G 是EF 的中点，连接AG 、CG ． ①求证：BE=BF ．②请判断△AGC 的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F 顺时针旋转60°至FG ，连接AG 、CG ．那么△AGC 又是怎样的形状．例4、如图，点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的四边中点，求证四边形EFGH 是平行四边形。

1. 定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.性质:⑴如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（简述为“平行四边形的对边相等”）⑵如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（简述为“平行四边形的对角相等”）⑶夹在两条平行线间的平行线段相等。

⑷如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

（简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

3.判定：（1）如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”）（3）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）（4）如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”（5）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。

（简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）矩形的性质和判定定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等 .注意：矩形具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形 .菱形的性质和判定定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 .注意：菱形也具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(4).有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形正方形的性质和判定定义：有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形.性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 .判定：因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以我们判定正方形有三个途径①四条边都相等的平行四边形是正方形②有一组临边相等的矩形是正方形③有一个角是直角的菱形是正方形梯形及特殊梯形的定义梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形.）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形. 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.等腰梯形的性质1、等腰梯形两腰相等、两底平行；2、等腰梯形在同一底上的两个角相等；3、等腰梯形的对角线相等；4、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴. 等腰梯形的判定1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等且平行平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角矩形性质定理2 矩形的对角线相等矩形判定定理1 有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角菱形性质定理1 菱形的四条边都相等菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形判定定理3是对称轴图形的平行四边形是菱形。

A BC DO 平行四边形的性质和判断知识点：一、平行四边形的性质基本概念1、定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2、图形语言:3、符号语言平行四边形：平行四边形性质（从边、角、对角线、对称性四个方面学习记忆） 性质:1.（边）两组对边分别平行且相等.2. (角) 两组对角分别相等.邻角互补3.（线）对角线互相平分.4.（对称性）中心对称－－对称中心为对角线交点.二、【例题讲解】小明用一根36米长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB 长8米，其他三条边各长多少？∠A=60°，求其它各角？∠B 的外角为60°，求这个四边形的各内角的度数。

【轻松试一试】1.如图，AB ∥DE,BC ∥EF,CA ∥FD.图中有几个平行四边形?将它们表示出来,并说明理由.AFD2. 已知如图4.2-8,中,EF ∥DC,试说明图中平行四边形的个数.NMH G F E D CBA图4.2-8角的计算：1、中, BC=2AB, CA ⊥AB,则∠B=______度,∠CAD=______度.DCB A2中,∠A : ∠B=3:2,则∠C=___ 度,∠D=______度.边及周长的计算1、如图，平行四边形的对角线相交于点O ，BC=7㎝，BD=10㎝，AC=6㎝。

求△AOD 的周长。

2平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4：1,则AB 的长是_______。

3.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________.4.用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的边长为________短边长为__________.平行四边形的判断平行四边形的四个(或五个)判定方法，这些判定的方法是： 从边看： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形．（从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．）【例题讲解】已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF ．分析：证明BE=DF ，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF 是平行四边形，比较方法，可以看出第二种方法简单． 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥CB ，AD=CD ． ∵ E 、F 分别是AD 、BC 的中点， ∴ DE ∥BF ，且DE=21AD ，BF=21BC ．∴ DE=BF ．∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）． ∴ BE=DF ．例2、已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AC 上两点，且BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．分析：因为BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，所以BE ∥DF ．需再证明BE=DF ，这需要证明△ABE 与△CDF 全等，由角角边即可．证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB=CD ，且AB ∥CD ． ∴ ∠BAE=∠DCF ．∵ BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴ BE ∥DF ，且∠BEA=∠DFC=90°． ∴ △ABE ≌△CDF （AAS ）． ∴ BE=DF ．∴ 四边形BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）例3、 已知：如图3，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，且AE ＝CF 。

平行四边形的判定定理平行四边形是一种特殊的四边形，具有以下特点：对边平行且对角线相等。

在数学中，判定一个四边形是否为平行四边形有多种方法。

方法一：利用对边平行的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，可以先利用对边平行的性质进行判断。

步骤：1.检查边AB和边CD是否平行。

2.检查边BC和边AD是否平行。

如果边AB和边CD以及边BC和边AD都是平行的，则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。

方法二：利用对角线相等的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，可以利用对角线相等的性质进行判断。

步骤：1.计算对角线AC的长度。

2.计算对角线BD的长度。

如果对角线AC的长度等于对角线BD的长度，则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。

方法三：利用对边比例相等的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，还可以利用对边比例相等的性质进行判断。

步骤：1.计算边AB与边CD的长度比（AB/CD）。

2.计算边BC与边AD的长度比（BC/AD）。

如果边AB与边CD的长度比等于边BC与边AD的长度比，即AB/CD = BC/AD，那么四边形ABCD是一个平行四边形。

方法四：利用四个角的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，也可以利用四个角的性质进行判断。

步骤：1.检查角A与角C是否相等。

2.检查角B与角D是否相等。

如果角A与角C相等，并且角B与角D相等，则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。

总结通过以上四种方法，我们可以判定一个四边形是否为平行四边形。

可以根据实际情况选择其中一种或多种方法来进行判定，以便快速准确地得出结论。

请注意，以上的判定定理仅适用于四边形，其他多边形无法用这些方法判定是否为平行四边形。

在实际应用中，合理选择合适的方法，结合几何定理，可以更好地解决相关问题。

希望本文能对你理解和应用平行四边形的判定定理有所帮助。

平行四边形的性质与判定
1.性质：（1）平行四边形是四条边都相等，且其四个内角相等的四
边形；（2）平行四边形的四条边和它们的对边相互平行；（3）对边中的
任意条边与对边的外角相等；（4）它的面积可以用平行四边形定理求得。

2.判定：（1）若四条边均相等，则可以判断是平行四边形；（2）求四个
内角，如果它们均相等，则可以断定是平行四边形；（3）任意两个角的
度数加和相等，所以四个角的总和为360°，则可以断定是平行四边形；（4）任意两条对边的外角度数相等，则可以判断是平行四边形。

平行四边形的性质与判定一、平行四边形定义及其性质：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形对边平行且相等。

定义的几何语言表述 ∵ AB ∥CD AD ∥BC ∴四边形ABCD 是平行四边形 。

∵四边形ABCD 是平行四边形（或在 ABCD 中） ∴ AB=CD ，AD=BC 。

例题1、如图5，AD ∥BC ，AE ∥CD ，BD 平分∠ABC ，求证AB=CE2、平行四边形除了对边平行且相等外，其对角也相等。

∵四边形ABCD 是平行四边形（或在ABCD 中） ∴ ∠A=∠C ，∠B=∠D 。

例题2、在平行四边形ABCD 中，若∠A ：∠B=2：3，求∠C 、∠D 的度数。

3、平行四边形的对角线互相平分。

例题3．已知O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，AC=24cm ，BD=38 cm ，AD= 28cm ，求三角形OBC 的周长。

5．如图，平行四边形ABCD 中，AC 交BD 于O ，AE ⊥BD 于E ，∠EAD=60°，AE=2cm,AC+BD=14cm, 求三角形BOC 的周长。

例题4：已知平行四边形ABCD ，AB=8cm ，BC=10cm,∠B=30°, 求平行四边形平行四边形ABCD 的面积。

对边分别平行 边 对边分别相等 对角线互相平分 平行四边形角 对角相等 邻角互补图（5）DCB AA B C D二、平行四边形的判定 方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形的平边形。

几何语言表达定义法：∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

∵AB=CD ，AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形 方法三：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

∵OA=OC ， OB= OD ∴四边形ABCD 是平行四边形 方法四：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB=CD ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形∵ ∠A =∠C ，∠B=∠D ，∴四边形ABCD 例1：已知：E 、F 分别为平行四边形ABCD 两边AD 、BC 的中点，连结BE 、DF 求证：2∠1∠=三、三角形中位线：三角形两边的中点连线线段（即中位线）与三角形的第三边平行，并且等于第三边的一半。

平行四边形的性质与计算一、平行四边形的定义与性质1.平行四边形是一种四边形，其对边平行且相等。

2.平行四边形的对角相等。

3.平行四边形的对边相等。

4.平行四边形的对角线互相平分。

5.平行四边形的任意一条对角线将平行四边形分成两个三角形，这两个三角形的面积相等。

6.平行四边形的对边平行且相等，所以其对边上的高也相等。

7.平行四边形的对角线互相平分，所以其对角线的中点到相邻边的距离相等。

二、平行四边形的计算1.面积计算：平行四边形的面积等于底乘以高。

2.周长计算：平行四边形的周长等于两条平行边的和乘以2。

3.对角线长度计算：平行四边形的对角线长度可以通过勾股定理计算。

4.面积计算的变种：如果平行四边形的对角线互相平分，那么平行四边形的面积可以通过对角线的长度计算。

三、平行四边形的判定1.如果一个四边形的对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。

2.如果一个四边形的对角相等，那么这个四边形是平行四边形。

3.如果一个四边形的对边相等，那么这个四边形是平行四边形。

4.如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。

四、平行四边形的应用1.平行四边形在几何图形中的应用：平行四边形是许多复杂图形的基础。

2.平行四边形在建筑设计中的应用：平行四边形的性质使得建筑设计更加灵活。

3.平行四边形在日常生活中的应用：例如，在摆放物品时，平行四边形的性质可以帮助我们更有效地利用空间。

五、注意事项1.理解平行四边形的性质与计算方法，不要死记硬背。

2.在解决实际问题时，要注意灵活运用平行四边形的性质。

3.平行四边形的性质与计算在学习过程中只是基础，要继续深入学习其他图形的性质与计算。

以上是关于平行四边形的性质与计算的知识点总结，希望对你有所帮助。

习题及方法：1.习题：判断下列图形中哪些是平行四边形。

A. 两个对边平行且相等的四边形B. 两个对角相等的四边形C. 两个对边相等的四边形D. 对角线互相平分的四边形答案：A、B、C、D都是平行四边形。

平行四边形全等的判定定理平行四边形全等的判定定理是一个在几何学中非常重要且有指导意义的定理。

它不仅可以帮助我们判断两个平行四边形是否全等，还可以在解决实际问题时提供指导。

下面将详细介绍这个定理。

首先，让我们回顾一下平行四边形的定义。

平行四边形是指具有两对平行边的四边形。

它的特点是两边两对角线相等，而且对角线相交的内角相互补。

平行四边形的全等性质意味着当两个平行四边形的对应边相等且对应角相等时，这两个平行四边形是全等的。

定理表述如下：如果两个平行四边形的对应边相等且对应角相等，则这两个平行四边形是全等的。

定理的证明可以通过使用平行四边形的定义以及其他几何性质来完成。

首先，我们可以使用平行四边形的定义来证明对应边相等。

根据定义，平行四边形的两对边是平行的，因此它们长度相等。

因此，如果两个平行四边形的对应边相等，那么它们具备了全等的第一条特征。

接下来，我们需要证明对应角相等。

根据平行四边形的定义，它的两对角线相等。

当两个平行四边形的两对角线相等时，它们对应的角也相等。

这可以通过使用角的补角性质来证明。

两个平行四边形具有相等的对角线，所以它们的内角必然相等。

因此，当两个平行四边形的对应角相等，它们符合全等的第二条特征。

综上所述，当两个平行四边形的对应边相等且对应角相等时，它们是全等的。

这个定理对我们解决几何问题非常有指导意义。

在解决问题时，我们可以根据这个定理来判断两个平行四边形是否全等，从而得出问题的答案。

例如，我们可以利用这个定理来求解实际问题。

假设我们需要寻找一个与已知平行四边形全等的平行四边形。

我们可以通过观察已知平行四边形的边长和内角来寻找合适的构造。

根据定理，我们可以在平面上绘制一个与已知平行四边形的对应边相等且对应角相等的平行四边形。

这个新绘制的平行四边形与已知平行四边形就是全等的。

总而言之，平行四边形全等的判定定理是一个非常有用的几何定理。

它帮助我们判断两个平行四边形是否全等，并在解决实际问题时提供指导。