人教A版数学必修一教案：函数模型的应用实例(ⅰ)
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§3.2.2 函數模型的應用實例（Ⅰ）
一、 教學目標：
1. 知識與技能 能夠找出簡單實際問題中的函數關係式，初步體會應用一次函數、二次函數模型解決實際問題.
2．過程與方法 感受運用函數概念建立模型的過程和方法，體會一次函數、二次函數模型在數學和其他學科中的重要性.
3．情感、態度、價值觀 體會運用函數思想處理現實生活中和社會中的一些簡單問題的實用價值.
二、 教學重點與難點：
1．教學重點：運用一次函數、二次函數模型解決一些實際問題.
2. 教學難點：將實際問題轉變為數學模型.
三、 學法與教學用具
1. 學法：學生自主閱讀教材，採用嘗試、討論方式進行探究.
2. 教學用具：多媒體
四、 教學設想
（一）創設情景，揭示課題
引例：大約在一千五百年前，大數學家孫子在《孫子算經》中記載了這樣的一道題：“今有雛兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雛兔各幾何？”這四句的意思就是：有若干只有幾只雞和兔？你知道孫子是如何解答這個“雞兔同籠”問題的嗎？你有什麼更好的方法？老師介紹孫子的大膽解法：他假設砍去每只雞和兔一半的腳，則每只雞和兔就變成了“獨腳雞”和“雙腳兔”. 這樣，“獨腳雞”和“雙腳兔”腳的數量與它們頭的數量之差，就是兔子數，即：47－35＝12；雞數就是：35－12＝23.
比例激發學生學習興趣，增強其求知欲望.
可引導學生運用方程的思想解答“雞兔同籠”問題.
（二）結合實例，探求新知
例1. 某列火車眾北京西站開往石家莊，全程277km，火車出發10min開出13km後，以120km/h勻速行駛. 試寫出火車行駛的總路程S與勻速行駛的時間t之間的關係式，並求火車離開北京2h內行駛的路程.
探索：
1）本例所涉及的變數有哪些？它們的取值範圍怎樣；
2）所涉及的變數的關係如何？
3）寫出本例的解答過程.
老師提示：路程S和引數t的取值範圍（即函數的定義域），注意t的實際意義.
學生獨立思考，完成解答，並相互討論、交流、評析.
例2．某商店出售茶壺和茶杯，茶壺每只定價20元，茶杯每只定價5元，該商店制定了兩種優惠辦法：
1）本例所涉及的變數之間的關係可用何種函數模型來描述？
2）本例涉及到幾個函數模型？
3）如何理解“更省錢？”；
4）寫出具體的解答過程.
在學生自主思考，相互討論完成本例題解答之後，老師小結：通過以上兩例，數學模型是用數學語言模擬現實的一種模型，它把實際問題中某些事物的主要特徵和關係抽象出來，並用數學語言來表達，這一過程稱為建模，是解應用題的關鍵。數學模型可採用各種形式，如方程（組），函數解析式，圖形與網路等 .
課堂練習1 某農家旅遊公司有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿. 公司欲提高檔次，並提高租金，如果每間客房日增加2元，客房出租數就會減少10間. 若不考慮其他因素，旅社將房間租金提高到多少時，每天客房的租金總收入最高？
引導學生探索過程如下：
1）本例涉及到哪些數量關係？
2）應如何選取變數，其取值範圍又如何？
3）應當選取何種函數模型來描述變數的關係？
4）“總收入最高”的數學含義如何理解？
根據老師的引導啟發，學生自主，建立恰當的函數模型，進行解答，然後交流、進行評析.
[略解：]
設客房日租金每間提高2x元，則每天客房出租數為300－10x，由x＞0，且300－10x＞0得：0＜x＜30
設客房租金總上收入y元，則有：
y=（20+2x）(300－10x)
=－20(x－10)2 ＋ 8000（0＜x＜30）
由二次函數性質可知當x=10時，maxy=8000.
所以當每間客房日租金提高到20＋10×2=40元時，客戶租金總收入最高，為每天8000元.
課堂練習2 要建一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，試求應當怎樣設計，才能使水池總造價最低？並求此最低造價.
（三）歸納整理，發展思維.
引導學生共同小結，歸納一般的應用題的求解方法步驟：
1） 合理迭取變數，建立實際問題中的變數之間的函數關係，從而將實際問題轉化為
函數模型問題：
2）運用所學知識研究函數問題得到函數問題的解答；
3）將函數問題的解翻譯或解釋成實際問題的解；
4）在將實際問題向數學問題的轉化過程中，能畫圖的要畫圖，可借助於圖形的
