二次函数的应用(经典)

专题训练(三) 与函数有关的最值问题

类型之一 由不等关系确定的最值问题

1．某工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工，两种加工方式如下表：

现将这50吨原料全部加工完．(粗加工与精加工不能同时进行)

(1)设其中粗加工x吨，共获利y元，求y与x的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围)

(2)如果必须在20天内加工完，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？

类型之二 由一次函数确定的最值问题

2．某工厂计划为地震灾区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅(一桌两椅)需木料0.5 m3，一套B型桌椅(一桌三椅)需木料0.7 m3，工厂现有库存木料302 m3.

(1)有多少种生产方案？

(2)现要把生产的全部桌椅运往地震灾区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费为2元；每套B型桌椅的生产成本为 每吨加工费 每吨加工时间 成品每吨售价

粗加工 500元 13天 4000元

精加工 900元 12天 4500元

120元，运费为4元，求总费用y(元)与生产A型桌椅x(套)之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．(总费用＝生产成本＋运费)

类型之三 由二次函数确定的最值问题

3．一个边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图Z－3－1)，其中AF＝2，BF＝1.试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

图Z－3－1

4.[2015·青岛] 如图Z－3－2，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－16x2＋bx＋c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3 m时，到地面OA的距离为172 m.

(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，

如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？

二次函数实际应用经典习题

1.（本小题10分）某宾馆有30间房间要出租，经过一段时间的经营发展，当每间房的租金为每日200元时，恰好全部租出．在此基础上，当每间房的租金每日提高10元时，就少租出一间，已知该宾馆每日平均每间房需支出各种费用150元，设每间房每日租金为x元，该宾馆出租房间的日收益为y元．

（1）用含x的代数式表示每日未租出的房间数；

（2）求y与x之间的函数关系式；

（3）当x为何值时，该宾馆日收益最大，最大的日收益是多少？

2. （本小题10分）某商店经营一种小商品，进价为2.5元.据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件。

（1）假设每件商品降价x元，商电每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x的之间的函数关系式，并注明x的取值范围；

（2）每件小商品销售价是多少时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入—购进成本）

3．（12分）（2011•黄冈）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润216041100Px（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润299294101001601005Qxx（万元）

⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？

⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？

4．（2012•黄冈）某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．

第五讲二次函数的实际应用

【知识速览】

1．实际问题中函数解析式的求法

设x为自变量，y为x的函数，在求解析式时，一般与解应用题列方程一样，先列出关于变量x，y的二元方程，再用含x的代数式表示y，最后还要写出自变量x的取值范围.

2．利用函数知识解应用题的一般步骤

（1）设定实际问题中的变量；

（2）建立变量与变量之间的函数关系式，如一次函数、二次函数或其他复合而成的函数式；

（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；

（4）解答函数问题，如最值等；

（5）写出答案

2.与二次函数有关的实际问题大概有以下几种类型：

图形问题、销售利润问题、抛物线形建筑物问题等

【典型例题】

例1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（考查应用二次函数解决销售利润问题）

例2. 恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的

香菇损坏不能出售．

（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．

（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额-收购成本-各种费用）

（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？（考查应用二次函数解决销售利润问题）

例3.现有60米长的篱笆，准备围成一个如图所示的养鸡场，为了节省篱笆，养鸡场一面可以用墙来替代，另一面的篱笆与墙平行，中间再用篱笆分开.设与墙平行的一边长为x米，养鸡场的总面积为y平方米.

二次函数的应用

例1．农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如下表:

(1)请你根据表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式.

(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格,才能使日销售利润最大?

(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a>0)的相关费用,当40≤x≤45时,农经公司的日获利的最大值为2 430元,求a的值.(日获利=日销售利润-日支出费用)

例2．某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.

(1)求w与x之间的函数关系式.

(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?

(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?

例3．随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽.小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米.

(1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式.

(2)求出水柱的最大高度是多少.

1. 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．

(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；