二次函数的应用

二次函数的应用

【教学建议】

二次函数是中考数学中最重要的内容之一，属于中考数学的必考内容，也是难点内容，我们可以利用二次函数的模型解决很多实际问题（比如：长度、面积和周长等的最值问题、商品利润问题等等）。实际生活中的很多问题都可以借助建立二次函数的模型来解决，这属于中考必考题。

解决此类问题一般是根据几何图形的性质，先找变量，

再确定变量与该图形周长或面积之间的关系，

用变量

表示出其他边的长，从而确定二次函数的表达式，再根据题意及二次函数的性质解题即可．

1. 如何求关于利润的二次函数表达式

(1)若题目给出销售量与单价之间的函数表达式，以及销售单价与进价之间的关系时，则可直接根据：销

售利润 ＝销售总额－成本 ＝销售量×销售价－销售量×进价 ＝销售量×(销售价－进价)来解决；

(2)若题目中未给出销售量与单价之间的函数表达式，则要先求出销售量与单价之间的函数表达式，表达

式一般是一次函数关系，再根据销售利润 ＝销售量×(销售价－进价)来解决．

2. 如何求二次函数的最值

(1)可直接利用公式法求顶点的纵坐标，即y＝ax2＋bx＋c的最大值为244acba−

(a＜0)或最小值为244acba−(a＞0)；

(2)若顶点在已知给定的自变量取值范围内，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若顶点不在已知给定

的自变量取值范围内，则根据二次函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小，从

而确定最值．

3.解决最值应用题要注意两点

（1）设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要 讲义

一、导入

二、知识讲解

知识点1 利用二次函数求图形的最大面积

知识点2 销售中的最大利润 设为函数； （2）求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.

常见设问形式和解题策略：

(

1)抛球运动判断球是否过网：即判断此点的坐标是否在抛物线上方； (2)投篮判断是否能投中：即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线图象上； (3)判断货车是否能通过隧道：即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方； (4)判断船是否能通过拱桥：即判断船的高度是否比桥的最高点到水面的距离小； (5)判断人是否会被喷泉淋湿：即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高大． 解题步骤： 1.据题意，结合函数图象求出函数解析式； 2.确定自变量的取值范围； 3.根据图象，结合所求解析式解决问题. 注意事项：若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数表达式和之后的计算求解.

复习回顾：

1. 二次函数如何配成顶点式？

2.如何根据实际问题情境确定自变量的取值范围？

【题干】1.如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各

有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）．设矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S平

方米，且x＜y． 知识点3 抛物线形问题

知识点4 二次函数中的实际应用综合

三、例题精析

例题1

（1）若所用铁栅栏的长为40米，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为192平方米？

【答案】（1）y=-2x+44，3445＜x（2）2244Sxx=−+，AD=6米，AB=32米．

【解析】（1）由34米的墙，及2米宽的小门，得到平行与墙的边，以及垂直于墙的两条边之和，由AD=x，

AB=y，所用铁栅栏的长为40米，根据求出的之和表示出y与x的关系式；

（2）由（1）表示出的y与x的关系式，列出S与x的函数关系式，根据矩形场地的面积为192平方米，求

出AD与AB的长即可．

试题解析：解：（1）∵y+2x-2×2=40,

∴y=-2x+44,

∴5≤x＜443；

（2）∵y=-2x+44,

∴S=xy=x（-2x+44）=-2x2+44x；

∵矩形场地的面积为192平方米，

∴-2x2+44x=192，

∴x=6或x=16（不合题意），

∴AB=y=-2x+44=-2×6+44=32．

答：AD=6米，AB=32米才能使矩形场地的面积为192平方米．

【题干】2.有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB=AE=6，BC=5，∠A=∠B=90°，∠C=135°，∠E＞90°.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AE上，并使所截矩形的面积尽可能大. （1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积； （2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请说明理由. 【答案】见解析

【解析】解：(1)截法一：如答图①，S四边形ABCF＝AB·BC＝6×5＝30.

截法二：如答图②.过点C作CH⊥FG于点H. 则四边形BCHG为矩形，△CHF为等腰直角三角形， ∴HG＝BC＝5，BG＝CH，FH＝CH， ∴BG＝CH＝FH＝FG－HG＝AE－HG＝6－5＝1， ∴AG＝AB－BG＝6－1＝5. ∴S四边形AGFE＝AE·AG＝6×5＝30. (2)如答图③，在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AE于点N，过点C作CG⊥FM于点G. 则四边形AMFN，BCGM为矩形， △CGF为等腰直角三角形， ∴MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝CG. 设AM＝x，则BM＝6－x， ∴FM＝GM＋FG＝GM＋CG＝BC＋MB＝11－x， ∴S四边形AMFN＝AM·FM＝x(11－x)＝－(x－5.5)2＋30.25， ∴当x＝5.5时，S的最大值为30.25. ∵30.25>30， ∴能截出此(1)中面积更大的矩形材料．

图① 图② 图③

【题干】如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,线段EF=10.在EF上取一点M,分别以EM、MF为一边作矩形

EMNH、矩形MFGN,使矩形MFGN∽矩形ABCD.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大

值，最大值是多少?

【答案】252

【解析】∵矩形MFGN∽矩形ABCD，

∴MN：AD=MF：AB.

∵AB=2AD，MN=x，

∴MF=2x.(2分)

∴EM=EF−MF=10−2x(0

∴S=x(10−2x)(5分)=−2x2+10x=−2(x−52)2+252

∴当x= 52时,S有最大值为252。 【题干】2.如图，西游乐园景区内有一块矩形油菜花田地(单位：m)，现在其中修建一条观花道(阴影所示)，供游人赏花，设改造后观花道的面积为S m2. (1)求S与x的函数关系式； (2)若改造后观花道的面积为13 m2，求x的值； (3)若要求0.5≤x≤1，求改造后油菜花地所占面积的最大值．

【答案】见解析 例题2 【解析】（1）由题意可得：S＝48－2×21×(8－x)(6－x)＝－x2＋14x(0＜x＜6)；

（2）由题意可得：－x2＋14x＝13，即(x－1)(x－13)＝0，解得x1＝1，x2＝13， 经检验得：x＝13不合题意，舍去， ∴x的值为1； （3）设改造后油菜花地所占面积为S1，则S1＝48－(－x2＋14x)＝x2－14x＋48 ＝(x－7)2－1，当0.5≤x≤1时，S1随x的增大而减小， 故当x＝0.5时，S1最大，S1＝(0.5－7)2－1＝41.25(m2)． ∴改造后油菜花地所占面积的最大值为41.25 m2.

【题干】1.某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400千克．经市场调查发现，

在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．

（1）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多是多少？

（2）若商场只要求保证每天的盈利为4420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价为多少元？

【答案】见解析

【解析】（1）设涨价x元时总利润为y，

则y=（10+x）（400﹣20x）=﹣20x2+400x+4000=﹣20（x﹣5）2+4500

答：当每千克涨价5元时，每天的盈利最多，最多为4500元．

∴当x=5时，y取得最大值，最大值为4500．

（2）设每千克应涨价x元，则（10+x）（400﹣20x）=4420 解得x=3或x=7，

∵为了使顾客得到实惠，所以x=3．

答：每千克应涨价3元．

【题干】2.一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件．已知售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的售价不高于16元/件．市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求每天的销售利润W(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式．每件售价为多少元时，一天的销售利润最大？最大利润是多少？ 例题3 【答案】见解析

【解析】 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．

把(10,30)，(16,24)代入，得 10k＋b＝30，16k＋b＝24.解得 k＝－1，b＝40.

∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋40(10≤x≤16)． (2)W＝(x－10)(－x＋40) ＝－x2＋50x－400 ＝－(x－25)2＋225. ∵10≤x≤16， ∴当x＝16时，W最大，最大为144， 即当售价为16元/件时，一天的销售利润最大，最大利润是144元．

【题干】1.如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线的绳

子．

（1）求绳子最低点离地面的距离；

（2）因实际需要，在离AB为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低

点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长； 例题4