傅里叶级数与傅里叶变换关系

1 / 8word. 第三章 傅里叶变换

3.1周期信号的傅里叶级数分析

（一） 三角函数形式的傅里叶级数

满足狄利赫里条件的周期函数ft可由三角函数的线性组合来表示，若ft的周期为1T，角频率112T，频率111fT，傅里叶级数展开表达式为

0111cossinnnnftaantbnt

各谐波成分的幅度值按下式计算

01001tTtaftdtT

01012costTntaftntdtT

01012sintTntbftntdtT

其中1,2,n

狄利赫里条件：

（1） 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；

（2） 在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；

（3） 在一个周期内，信号是绝对可积的，即00tTtftdt等于有限值。

（二） 指数形式的傅里叶级数

周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即

11jntnnftFne

其中

011011tTjntntFftedtT

其中n为从到的整数。

2 / 8word. （三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系

（1） 偶函数

由于ft为偶函数，所以1sinftnt为奇函数，则

010112sin0tTntbftntdtT

所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。

（2） 奇函数

由于ft为奇函数，所以1cosftnt为奇函数，则

0100110tTtaftdtT

010112cos0tTntaftntdtT

所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项

（3） 奇谐函数（12Tftft）

。您对于傅里叶变换恐怕并不十分理解

傅里叶变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的

所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度

对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示

已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。

傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。

我的语言可能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用。我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识。傅里叶变换值得你用心去理解——哪怕苦苦思索几个月也是值得的——我当初也想过：只要会算题就行。但浙大校训“求是”时时刻刻鞭策着我追求对理论的理解——最终经过很痛苦的一番思索才恍然大悟。建议你看一下我们信号与系统课程的教材：化学工业出版社的《信号与系统》，会有所帮助。

1为什么要进行傅里叶变换，其物理意义是什么？

傅 立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都 可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频 率、振幅和相位。

最近有些迷茫,不知道自己能在GIS上学做点什么.反思了一段时间,发现有几个方向值得去思考:

1,空间拓扑模型,空间拓扑关系的描述,空间拓扑关系的推理

2,时态GIS,时态空间数据模型,时态空间数据组织,时空索引,时态分析

3,空间语义,主要涉及到NLP(自然语言的处理)

小波变换与傅里叶变换

如果有人问我，如果傅里叶变换没有学好（深入理解概念），是否能学好小波。答案是否定的。如果有人还问我，如果第一代小波变换没学好，能否学好第二代小波变换。答案依然是否定的。但若你问我，没学好傅里叶变换，能否操作（编程）小波变换，或是没学好第一代小波，能否操作二代小波变换，答案是肯定的。

一、一、基的概念

我们要明确的是基的概念。两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基，是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。（时频能量守恒）。

二、二、离散化的处理

傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。

下面我们谈谈小波。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢？b取多少才合适呢？于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不集中，所以只是近似二分的）。这时的小波变换，称为离散二进小波变换。第三步，引入稳定性条件。也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系。满足稳定性条件后，也就是一个小波框架产生成了可能。他是数值稳定性的保证。一个稍弱的稳定条件，就是0

1. 试求图1所示对称周期矩形信号的傅里叶级数（三角形式与指数

形式）。

图1

提示：因为()ft

是奇函数，故其傅里叶级数不含余弦分量，即

00

naa==

，只需求

0b

和

nb

。

2. 求图2所示周期三角信号的傅里叶级数，并画出幅度谱。

图2

提示：因()ft

是偶函数，故其傅里叶级数不含正弦分量，故只需求

0a

和

na

。

3. 求图3所示周期锯齿信号的指数形式傅里叶级数，并大致画出幅

度谱。

图3

4. 求图4所示周期信号的傅里叶级数。

图4

提示：本题中

()ft是题2图中函数延迟

4T

，利用题2的结果进行计算。

5. 求图5所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。

图5

6. 利用时域与频域的对称性，求傅里叶变换

0()()Fωδωω

=−

的时间

函数。 7. 已知阶跃函数和正弦、余弦函数的傅里叶变换

1

[()]()Fut

jπδω

ω=+

000[cos()][()()]Ftωπδωωδωω

=++−

000[sin()][()()]Ftjωπδωωδωω

=+−−

求单边正弦函数和单边余弦函数的傅里叶变换。

提示：单边正弦函数为：

0sin()()tutω

，单边余弦函数为：

0cos()()tutω

。

再利用傅里叶变换的卷积定理。