傅里叶级数与变换

1 第九章 傅里叶级数和傅里叶变换

在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复循返的过程）。例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动，工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周期性运动。

为了描述周期性的运动过程，数学上是借助某类函数来描述的。当然这类函数也要体现出周期性。这类函数称为周期函数。

在前面几章中，为了研究函数的性质，常常采用分析表示法，将这些函数在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数。但是，这种幂级数形式的展开式是体现不出周期性来的，那么，对于周期性函数应采取怎样的分析表示法呢？这就是本章要讨论的内容。

9.1 周期函数和傅里叶级数

9.1.1 周期函数

凡满足以下关系式：

)()(xfTxf （T为常数） （9.1.1）

的函数，都称为周期函数。

周期的定义

（1） 满足式（9.1.1）的T值中的最小正数，即为该函数的周期；

（2） 一个常数以任何正数为周期。

9.1.2 基本三角函数系

按某一规律确定的函数序列称为函数系。

如下形式的函数系：

1，xlcos，xlsin ，xl2cos，xl2sin，…，xlkcos，xlksin，… （9.1.2）

称为基本三角函数系。所有这些函数具有各自的周期，例如xlkcos和xlksin的周期为kl2，但它们的共有周期为l2（即所有周期的最小公倍数）。通常这个周期命名为函数系的周期。所以式（9.1.2）的三角函数系的周期为l2。

如果我们将基本三角函数系中的函数，任意取n个组合，则我们可以得到一个较复杂的函数。例如图9.1（a）是两个函数的组合xlxlxf2sin21sin)(；图9.1（b）是三个函数的组合xlxlxlxf3sin312sin21sin)(。

傅里叶级数和傅里叶变换

傅里叶级数和傅里叶变换是数学中常见且重要的概念，它们在信号处理、图像处理、电路分析以及物理学等领域中起着重要的作用。本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本原理、应用以及它们之间的关系。

一、傅里叶级数

傅里叶级数是将一个周期性函数表示为正弦函数和余弦函数的无限级数。在数学上，一个周期为T的函数f(t)可以表示为傅里叶级数的形式：

f(t) = a0/2 + ∑(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))

其中，a0表示直流分量，an和bn分别表示函数f(t)在一个周期内的cosine分量和sine分量，n为正整数，ω0为角频率，ω0 = 2π/T。

傅里叶级数的基本原理是，任何一个函数都可以用一系列基本的正弦和余弦函数来表示。通过计算函数f(t)在一个周期内的各种正弦和余弦分量的系数，我们可以将函数f(t)展开成傅里叶级数的形式。

傅里叶级数在信号处理中有广泛的应用，例如音频信号的分析与合成、图像压缩等。通过对信号进行傅里叶级数分解，我们可以得到信号的频率成分，从而对信号进行频域分析和处理。

二、傅里叶变换 傅里叶变换是将一个非周期性函数或一个有限区间内的函数表示为连续频谱的方法。傅里叶变换可以将一个时域上的函数转换为频域上的函数，从而能够更方便地观察信号在不同频率上的分量。

函数f(t)的傅里叶变换定义为：

F(ω) = ∫f(t) * exp(-jωt) dt

其中，F(ω)表示函数f(t)的频域表示，ω为频率。傅里叶变换将函数f(t)从时域转换到频域，提供了频域上对信号进行分析和处理的方法。

傅里叶变换在信号处理中有广泛的应用，例如频率滤波、信号去噪、图像处理等。通过对信号进行傅里叶变换，我们可以将信号表示为一系列复指数函数的线性组合，从而得到信号的频谱信息。

三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系

傅里叶级数和傅里叶变换之间存在着密切的关系。事实上，傅里叶级数可以看作是傅里叶变换的一种特殊形式，即周期为T的函数的傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在频率上的离散表示。

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通俗浅谈

傅里叶级数、傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换

中国航天科工集团二院706所 宋晓秋

一、 傅里叶级数

(1) 一个周期为𝟐𝛑的函数表示成不同周期的正弦函数、余弦函数之和。

𝐟

𝐭

=𝐚

𝟎

𝟐+

𝐚

𝐧𝐜𝐨𝐬𝐧𝐭+𝐛

𝐧𝐬𝐢𝐧𝐧𝐭 ∞

𝐧=𝟏

𝐚

𝐧=𝟏

𝛑 𝐟

𝐭

𝐜𝐨𝐬𝐧𝐭𝐝𝐭𝛑

−𝛑,𝐧=𝟎,𝟏,𝟐,⋯

𝐛

𝐧=𝟏

𝛑 𝐟

𝐭

𝐬𝐢𝐧𝐧𝐭𝐝𝐭𝛑

−𝛑,𝐧=𝟏,𝟐,𝟑,⋯

(2) 周期为𝐓的函数怎么办？做下变换，令 𝛚=𝟐𝛑

𝐓

𝐟

𝐭

=𝐚

𝟎

𝟐+

𝐚

𝐧𝐜𝐨𝐬𝐧𝛚𝐭+𝐛

𝐧𝐬𝐢𝐧𝐧𝛚𝐭 ∞

𝐧=𝟏

𝐚

𝐧=𝟐

𝐓 𝐟

𝐭

𝐜𝐨𝐬𝐧𝛚𝐭𝐝𝐭𝐓𝟐

−𝐓𝟐,𝐧=𝟎,𝟏,𝟐,⋯

𝐛

𝐧=𝟐

𝐓 𝐟

𝐭

𝐬𝐢𝐧𝐧𝛚𝐭𝐝𝐭𝐓𝟐

−𝐓𝟐,𝐧=𝟏,𝟐,𝟑,⋯

(3) 时域、频域的概念

𝐟

𝐭

是随时间t变化的函数，它转换成了不同频率(周期的倒数)三角函

数的和，即对应成了反映频率特征的 𝐚

𝐧、𝐛

𝐧。

直接分析 𝐟

𝐭

那是时域分析，通过 𝐚

𝐧、𝐛

𝐧分析那是频域分析。

(4) 傅里叶级数的复数表达形式

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基础知识：

复数 𝐞𝐢𝐱

=𝐜𝐨𝐬𝐱+𝐢𝐬𝐢𝐧𝐱，可知

𝐜𝐨𝐬𝐧𝛚𝐭=𝟏

𝟐 𝐞𝐢𝐧𝛚𝐭

+𝐞−𝐢𝐧𝛚𝐭

𝐬𝐢𝐧𝐧𝛚𝐭=𝟏

𝟐𝐢 𝐞𝐢𝐧𝛚𝐭

−𝐞−𝐢𝐧𝛚𝐭

将其代入下式的傅里叶级数（这里 𝛚=𝟐𝛑

𝐓）

𝐟

𝐭

=𝐚

𝟎

𝟐+

𝐚

𝐧𝐜𝐨𝐬𝐧𝛚𝐭+𝐛

𝐧𝐬𝐢𝐧𝐧𝛚𝐭 ∞

𝐧=𝟏

𝐚

𝐧=𝟐

𝐓 𝐟

𝐭

𝐜𝐨𝐬𝐧𝛚𝐭𝐝𝐭𝐓𝟐

傅里叶全部公式

傅里叶变换是一种将函数从时域（时间域）转换到频域的数学工具。它通过将时域函数表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加来实现。

傅里叶变换和逆变换的公式如下：

傅里叶变换公式： F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^−jωt dt

逆傅里叶变换公式： f(t) = (1 / 2π) ∫[−∞,+∞] F(ω) e^jωt dω

其中，f(t)是时域函数，F(ω)是频域函数，e是自然常数，j是虚数单位√(-1)，ω是频率，t是时间。

此外，傅里叶级数展开公式也是傅里叶变换的一种形式，它用来将周期函数分解成一系列振幅和相位不同的正弦和余弦函数的和。

傅里叶级数展开公式： f(t) = a0/2 + ∑[n=1,∞] (an cos(nωt) +

bn sin(nωt))

其中，a0、an、bn是常数系数，表示不同频率分量的振幅，ω是基本频率。

这些公式是傅里叶变换和级数展开的基础公式，用于将函数在时域和频域之间进行转换，并在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛应用。需要注意的是，傅里叶变换和级数展开还有一些特定的性质和变体公式，这些公式可以根据具体的应用场景进行扩展和变换。