高效求解三维装箱问题的剩余空间最优化算法

摘 要三维装箱问题是一个典型的NP问题，它在物流行业中有广泛的应用。

随着问题规模的不断增大, 传统的优化算法会产生时间维数灾难问题，不能够理想地对大规模装箱问题进行优化装载。

为了在合理的时间内找到近似最优解，部分学者开始研究各种启发式方法结合遗传算法的方法，并且取得了较好的结果。

论文先介绍了装箱问题的研究背景、意义和历史现状，以及启发式算法和遗传算法的基本思想和实现原理，在介绍了前人研究工作之后，针对三维装箱问题，提出一种改进的基于三空间分割的启发式装箱算法和自适应的遗传算法相结合的混合遗传算法,本文算法中的遗传算法主要用来优化装箱序列和方向约束序列，而启发式算法是在已知装箱序列和方向约束序列的基础上，合理安排每个箱子的装箱位置。

在本文介绍的启发式算法中，装箱序列是箱子类型编码的一种排列组合；每次只选择一种类型的箱子用于形成简单块，搜索不到合适的简单块，再选另外一种箱子；每次选择的简单块要求不仅能够装进当前的剩余空间中，而且使其能够最适合该剩余空间。

为验证算法的有效性，采用由Loh和Nee于提出的15个算例(LN算例)对该算法进行测试，实验结果表明：在空间利用率这一方面，该算法是解决三维装箱问题的一种有效方法。

关键字：三维装箱; 启发式算法; 自适应; 遗传算法ABSTRACTThree-dimensional bin packing problem (3DBPP) is a typical NP problem and plays an important role in the logistics industry. With the increasing of the sale of the problems, it would generate the time dimension disaster and could not be ideal to optimize the loading of the large scale packing problem if we applied the traditional optimization algorithm to solve this kind of problems. In order to find an approximate optimal solution within a reasonable time, some scholars began to study a variety of methods that is a combination of heuristic algorithms and genetic algorithms, and achieved good results.Firstly, the historical background and the significance of the packing problem is describ- ed, and then the heuristic algorithms and genetic algorithms is also described in detail in this paper. Secondly, on the basis of previous studies, a new hybrid genetic algorithm combined heuristic algorithm with genetic algorithm is proposed to solve the problem. The self-adaptive genetic algorithm is used to optimize the packing sequence and direction of the constraint seq- uence, and the heuristic algorithm is mainly used to reasonably arrange the packing location of the box on the basis of known boxing sequence and direction constraint sequence. In the heuristic algorithm, the packing sequence is a permutation of the types of boxes; select only one type of box used to form a simple block, if no suitable simple block could be put into the current layout space, the simple block selected each time must not only to be packed into the current residual space, but also to be the most appropriate one. Last, A large number of experi- ments over the LN computational example have been done in order to verify the effectiveness of the algorithm, the experimental results show that the algorithm is an effective method to solve the three-dimensional packing problem in terms of the space utilization.Key words:3D Bin Packing Problem; Heuristic Algorithm; Self-adaptive; Genetic Algorithm目录摘 要 (I)ABSTRACT (II)第一章 绪论 (1)1.1研究背景及意义 (1)1.2 国内外研究现状 (1)1.2.1装箱问题的分类 (1)1.2.2装箱问题的研究方法 (3)1.3 本文的主要内容安排 (5)第二章 装箱算法的理论知识 (7)2.1启发式算法 (7)2.1.1启发式算法定义 (7)2.1.2启发式算法分类 (7)2.1.3启发式算法特点 (8)2.1.4三空间分割法 (8)2.2 遗传算法 (9)2.2.1遗传算法概念 (9)2.2.2遗传算法的特点 (14)2.2.3遗传算法的实现 (15)2.2.4遗传算法的应用 (16)2.3 本章小结 (16)第三章 三维装箱问题的混合算法研究 (18)3.1 问题描述及约束条件 (18)3.1.1目标函数及约束条件 (18)3.2 基于简单块的启发式算法 (19)3.2.1基本概念及各种数据结构 (19)3.2.2 基于简单块的启发式算法 (23)3.3 用自适应遗传算法求解 (28)3.3.1 编码方式 (28)3.3.2 适应度函数 (28)3.3.3 遗传算子的设计 (29)3.3.4 交叉、变异的自适应性 (29)3.3.5 用混合遗传算法解三维装箱问题的步骤 (31)3.4 本章小结 (33)第四章 仿真实验结果与分析 (34)4.1实验平台及参数 (34)4.2实验结果 (34)4.3 LN算例详细分析 (37)4.4 本章小结 (40)结 论 (41)参考文献 (42)攻读硕士学位期间取得的研究成果 (46)致 谢 (47)第一章绪论第一章绪论1.1研究背景及意义装箱问题涉及到工业领域的方方面面，比如建筑行业的棒管的切割问题、航空业中导弹仓的布局问题、作业管理的人力资源的分配问题、加工行业的板材切割问题、电路板的布局问题、印刷行业的排样问题、服装厂中的布料剪裁问题、生产流水线的平衡问题、百货商场中的仓库布局问题、运输行业的集装箱货物装载问题、现实生活中的包装、工厂的设施规划及货架货物的摆放等问题；在计算机信息科学中，存储的分配、资源的分配、内存的管理和多处理器的任务调度等这些低层次的操作都是集装箱问题的实际应用，甚至在一些数学智力游戏中也会频繁出现。

基于动作空间的三维装箱问题的确定性高效率求解算法
何琨;黄文奇
【期刊名称】《计算机学报》
【年(卷),期】2014(037)008
【摘要】三维装箱问题要求将有限个三维矩形物体尽可能多地装入到一个三维矩形箱子中,使得箱子的填充率即体积利用率最大.在求解三维装箱问题的穴度算法的基础之上,进一步做了以下改进:(1)将当前剩余空间中可能放入的每个体积最大的三维矩形虚拟物体所对应的空间定义为动作空间,在动作空间内放入物体并使穴度的定义体现放入物体与动作空间的吻合程度;(2)在物体放入位置的选择上直接体现“金角银边草肚皮”的思想,每一步只选择最靠近箱子边缘的一个动作空间来装载物体;(3)结合捆绑策略,将形状大小相同的物体捆绑为一个较大的矩形块进行放入,对捆绑块形状大小的选择为在不超出动作空间的前提下尽量用物体填满该空间的两至三个维度.实验结果表明,改进后的穴度算法在付出很少的开销代价的情况下显著地提高了箱子的填充率.
【总页数】8页(P1786-1793)
【作者】何琨;黄文奇
【作者单位】华中科技大学计算机科学与技术学院武汉430074;华中科技大学计算机科学与技术学院武汉430074
【正文语种】中文
【中图分类】TP301
【相关文献】
1.基于动作空间的求解三维矩形装箱问题的穴度算法 [J], 何琨;黄文奇;胡骞
2.基于欧氏距离的矩形Packing问题的确定性启发式求解算法 [J], 黄文奇;刘景发
3.基于空间性质的三维装箱问题的算法及分析 [J], 黄江燕;鄢化彪;张朝全
4.面向纸板三维装箱问题的剩余空间最优算法 [J], 王程;陈正鸣;吕嘉
5.单一尺寸长方体三维装箱问题的一种求解算法 [J], 王岩;潘卫平;张俊晖
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

单一尺寸长方体三维装箱问题的一种求解算法单一尺寸长方体三维装箱问题是一种经典的组合优化问题，常常出现在物流、包装、生产等领域中。

该问题的目的是将一系列商品（通常为长方体）尽可能地装箱，使得所需要的箱子最少，同时避免商品之间的重叠或者空隙。

为了解决这个问题，我们可以采取下面的求解算法：1. 构建三维坐标系。

为了方便表示商品的位置和箱子的大小，我们需要构建一个三维坐标系。

假设我们的货物都是长方体，那么我们需要知道每个长方体的长、宽、高以及重量，以便于计算重心和位置。

同时，我们还需要确定我们的箱子大小，可以根据需要调整大小，从而适应货物的大小。

在确定每个长方体的位置之前，首先要确定它们之间的相对位置，这样可以决定它们之间是否存在空隙或者重叠。

2. 选择一种合适的装箱算法。

目前常用的装箱算法有贪心算法、回溯算法、遗传算法等，其中贪心算法的效率较高，但是不能保证得到最优解；回溯算法可以得到最优解，但是效率较低；遗传算法则是一种高效的启发式算法，可以保证得到比较优的解。

在实际应用中可以根据需要选择不同的算法。

3. 将长方体逐个装入箱子。

为了尽量减少使用的箱子数量，我们需要将每个长方体按照一定规则装入箱子中。

一种常用的方式是通过二叉树来表示盒子。

假设我们需要装入n个长方体，我们从第一个长方体开始往箱子中放。

此时我们将先选取一个长方体，作为根节点，并将其放入一个空盒子中。

接下来，我们将每一个长方体都放入箱子中，直到所有的长方体都被装入箱子中，或者已经没有可以放入的长方体。

在放置长方体的过程中，我们需要遵循一定的规则，例如优先放置最大/最小的长方体或者根据某些贪心策略来选择放置位置和方向。

4. 调整长方体位置。

在将长方体放入箱子中之后，我们需要检查是否存在重叠或者空隙。

如果存在，则需要对长方体进行一定的调整，例如旋转或移动。

在调整长方体位置的过程中，需要根据长宽高等因素，以及已经放置的长方体的位置和方向等因素，来确定合适的位置和方向，以尽量减少空隙和重叠。

matlab三维装箱问题的算法三维装箱问题（3D Bin Packing Problem）是一个组合优化问题，其目标是将一组不同大小和形状的物体（通常是长方体）放置到一组三维容器中，使得容器的数量最小。

这个问题在物流和仓储领域中经常遇到。

解决三维装箱问题的方法有很多，其中一些包括贪心算法、启发式算法和精确算法。

以下是一个简单的启发式算法的概述：算法概述：1. 初始化：将所有的物体按照体积从大到小进行排序。

2. 循环：依次考虑每个物体，尝试将其放入已有的容器中或放入新的容器中。

3. 容器选择：对于当前物体，选择一个合适的容器。

可以使用一些规则，例如选择第一个能够容纳当前物体的容器，或者通过某种启发式规则选择一个容器。

4. 位置选择：在选定的容器中选择一个合适的位置放置当前物体。

这可能涉及到在容器内部搜索已有物体的摆放情况，以便尽量减少浪费空间。

5. 更新状态：更新容器的状态，标记已被使用的空间。

6. 继续：继续处理下一个物体，直到所有物体都被处理。

示例代码（简化版）：以下是一个简化的MATLAB 示例代码，使用贪心启发式算法解决三维装箱问题：```matlabfunction packedContainers = threeD_BinPacking(boxes, containerSize)% boxes: 每个物体的体积信息% containerSize: 容器的大小% 按照体积从大到小排序物体boxes = sortrows(boxes, -1);% 初始化容器列表packedContainers = [];% 处理每个物体for i = 1:size(boxes, 1)box = boxes(i, :);% 尝试将物体放入已有容器placed = false;for j = 1:length(packedContainers)container = packedContainers{j};if fitsInContainer(box, containerSize, container)container = placeBox(box, containerSize, container);packedContainers{j} = container;placed = true;break;endend% 如果无法放入已有容器，创建新容器if ~placednewContainer = createContainer(containerSize, box);packedContainers = [packedContainers, newContainer];endendendfunction container = createContainer(containerSize, box)container.size = containerSize;container.remainingSpace = containerSize - box;endfunction fits = fitsInContainer(box, containerSize, container)fits = all(box <= container.remainingSpace);endfunction container = placeBox(box, containerSize, container)% 在容器中放置物体，更新容器状态container.remainingSpace = container.remainingSpace - box;end```请注意，这只是一个简化版本的启发式算法，实际情况中可能需要根据具体要求进行更复杂的算法设计。

货物三维装箱问题建模及其乌鸦搜索算法优化作者：王素欣温恒卢福强刘浩伯王雷震来源：《湖南大学学报·自然科学版》2020年第08期摘要：針对货物三维装箱问题建立三维装箱模型. 在模型中，为避免货物在运输过程中转弯时由于偏心导致翻车现象的发生，加入了考虑转弯时重心约束，得到重心区域投影为等腰三角形或者等腰梯形. 货物放置规则中扩大了剩余空间区域，增加了解的多样性. 在算法中，为了提高迭代收敛速度，增强其全局寻优的能力，采用改进的乌鸦搜索算法对模型进行求解与优化. 在改进算法中，提出并引入了多概率随机游走策略和解修复策略. 解修复策略使得算法适用于模型求解，尽可能增加解的多样性. 多概率随机游走策略是种群迭代后继续以多种不同的概率进行随机游走，使得算法全局寻优能力更强. 仿真实例与基准函数测试结果表明，改进后的算法优化效果明显.关键词：三维装箱问题;集装箱装载问题;乌鸦搜索算法;转弯重心约束;集装箱包装公司;优化与决策中图分类号：TP391 文献标志码：A 文章编号：1674—2974（2020）08—0021—10Abstract：Aiming at the three-dimensional bin loading problem of cargo， a three-dimensional cargo loading model is established. In the model， in order to avoid the phenomenon of rolling over due to the eccentricity during the turn of the goods in the process of transportation， the gravity center constraint during the turn was added to obtain the projection of the gravity center area as an isoscelestriangle or isosceles trapezoid. The cargo placement rules expand the remaining space area and increase the diversity of understanding. In order to improve the speed of iterative convergence and enhance its global optimization ability， an improved crow search algorithm is adopted to solve and optimize the model. In the improved algorithm， a multi-probability random walk strategy and a reconciliation strategy are proposed and introduced. The solution repair strategy makes the algorithm suitable for model solving and increases the diversity of solutions as much as possible. The multi-probability random walk strategy is to continue to walk randomly with different probabilities after population iteration， which makes the global optimization ability of the algorithm stronger. Simulation examples and benchmark function test results show that the improved algorithm has obvious optimization effect.Key words：three-dimensional bin packing problem;container loading problem;crow search algorithm;center of gravity constraint in turning;container packaging corp;optimizaton and decision货物装箱与物流运输过程影响着企业的竞争力、成本、客户满意度、销量、以及市场占有率，直接影响着企业的盈亏情况甚至是企业未来的发展. 货物三维装箱问题的优化，可以减少物流过程所需要的成本，提高物流运输效率，使企业得到更好发展.货物三维装箱问题其本质属于装箱问题（Bin Packing Problem，BPP）. 作为一个经典的组合优化问题，“组合爆炸”现象的出现，导致这个NP-hard问题的最优解很难找到.目前，装箱问题应用广泛，考虑平衡、稳定等因素的货物三维装箱问题逐渐增多. Galr？觔o等[1]针对集装箱装载问题，提出了一种具有静力稳定约束的集装箱装载算法，指出了静态稳定性与动态稳定性的对立关系. Martínez等[2]考虑动态稳定约束的集装箱装载问题，提出了坠落箱数及加速时可能损坏箱数两项动态稳定性指标. 装箱问题的求解方法可以粗略地分为运筹学方法和启发式方法两大类. Paquay等[3]针对三维多尺寸箱型的装箱问题，考虑了箱子的易碎性、稳定性和定位，以及箱子的特殊形状和重量等因素，提出了一个快速的建设性两阶段启发式算法. Alonso等[4]考虑了几何、重量、重心、动力稳定性等约束，采用整数线性模型解决了多集装箱装载问题.现有三维装箱研究中存在如下问题：1）一些模型的约束条件不完善，重心约束没有考虑转弯情况.2）目标函数考虑较少，部分模型未说明假设条件.3）用到的遗传算法等求解方法较旧，全局寻优的能力较弱，迭代收敛速度较慢.乌鸦搜索算法[5]（Crow Search Algorithm，CSA）自被提出以来，广泛应用到诸多领域，如图像分割[6]、数据挖掘分类问题[7]、帕金森病的诊断[8]、评估噪声对损伤检测过程的影响[9]、图像处理问题[10]等. 改进乌鸦搜索算法的方法可以分为两大类，一类是引入策略对算法进行改进. 例如，Sayed等[11]引入了10种混沌映射，提出CCSA;另一类是与其他算法相结合的混合算法. 例如，Javaid等[12]将CSA与蝙蝠算法混合，提出了BCSA. Pasandideh等[13]将CSA和正弦余弦算法的优点相结合，提出了余弦乌鸦搜索算法.针对上述问题，为了减少翻车情况的发生，建立了具有考虑转弯情况、重心约束等7个约束条件，容积利用率、载重总重量、重心坐标等5个目标函数的多约束多目标货物三维装箱模型. 为了使乌鸦搜索算法更好地适配装箱问题，同时加快迭代收敛速度，提高全局搜索能力，提出并引入了多概率随机游走策略和解修复策略对原始乌鸦搜索算法进行改进，并对模型进行了求解，装箱效果更好.为了验证改进CSA的有效性，结合实例通过遗传算法、粒子群算法、乌鸦搜索算法、灰狼优化算法[14]（Grey Wolf Optimizer，GWO）、鲸鱼优化算法[15]（Whale Optimization Algorithm，WOA）、最有价值球员算法[16]（Most Valuable Player Algorithm，MVPA），以及改进后的乌鸦搜索算法对货物三维装箱问题进行了优化仿真与测试，进一步说明了改进后的算法迭代收敛速度更快，跳出局部最优的能力更强. 为了说明改进后的算法在连续问题中的适用性，通过对3个基准函数测试以及和其他部分算法对比，验证了改进后算法的优越性.1 货物三维装箱模型的建立由于大部分装箱问题研究中给出的重心约束都没有考虑货车转弯的情况，针对这一现象，建立了考虑转弯的情况的模型，并得出了与其他研究不一样的重心约束条件.1.1 问题假设与符号说明1.1.1 问题假设由于货车的实际运输过程较为复杂，为了将问题简化，提出如下假设：1）货车车厢与货物均为标准长方体结构.2）所有货物均密度均匀，其质心为长方体结构几何中心，且不发生形变.3）用泡沫或棉花填充空隙，忽略填充物重量.4）装载时，货物的高必须与车厢的高平行.5）运输过程中，货车转弯时的行驶路线为规则的圆形道路.6）运输过程中，道路均为平坦的道路，若存在倾斜情况，倾斜角度始终不变.1.1.2 符号说明模型用到的符号及相关说明见表1.对货物按照从1到D的顺序进行编号，设可行解的结构为：式中：X的每一行表示一个解Xn;xnd∈[-D，D]，且xnd是不为0的整数，表示第d个装入的货物其序号为xnd，xnd > 0表示货物的长与车厢的长平行，xnd < 0表示货物的长与车厢的宽平行.1.2 建立货物三维装箱模型在保证货物与货物之间不存在镶嵌、包含现象，且货车转弯过程中不翻车的条件下，将货物按照一定的顺序以及摆放方式装入到车厢内. 综合考虑容积利用率以及货物合重心等因素对整个装载运输过程的影响，对货物三维装箱问题建立合理的模型.1.2.1 目标函数下面对货物三维装箱问题建立具有优先级的多目标优化模型. 考虑到运输成本的因素，应当尽量减少货物运输的次数，因此，货物装箱的第1目标是车厢容积的利用率最大，即第1目标函数的表达式如式（2）所示. 合理利用空间之后，要合理利用载重量，在满足第1个目标的情况下，货物装箱的第2目标是装载货物的总质量最大，即第2目标函数的表达式如式（3）所示. 不倒翁之所以不倒，正是因为其重心低的缘故，物体的重心越低越稳定，因此，货物装箱的第3目标是在满足前2个目标的情况下，货物合重心的高度最低，即第3目标函数的表达式如式（4）所示. 货物装箱的第4目标是在满足前3个目标的情况下，货物合重心的Y坐标最靠近车厢宽度的中心，即第4目标函数的表达式如式（5）所示. 一般情况下，上述4个具有优先级的目标函数足以区分不同的解，为了使模型的适用情况更加广泛，这里引入第5目标，假设运输过程中要求在满足前4个目标的情况下，货物合重心的X坐标要最靠近车厢长度的中心，则第5目标函数的表达式如式（6）所示. 即在满足约束且货物容积利用率最大的情况下，进一步按优先级顺序对合重心的各个坐标进行建模与优化.1.2.2 约束条件在物流领域中，货物装箱后存在配送过程，转弯的时候由于货物偏心容易翻车. 为了避免翻车现象的出现，在货物装箱过程中加入考虑转弯的重心约束.1）转弯时重心约束的推导过程以（xi，yi，zi）表示第i个箱子的质心的坐标，则I个箱子的组合体质心坐标表示为（x，y，z），其公式如下：考虑到货车转弯的对称性，对货车右转弯过程进行分析. 货车转弯时，相当于受到一个离心力的作用，此时，货车更容易绕着以货车左前轮、左后轮分别与地面接触的两点所确定的直线看作为转轴逆时针翻转. 以靠近车头的车厢左下角为原点，其引出的3条棱所在直线分别为X轴、Y轴、Z轴建立空间坐标系对车厢进行分析，仅考虑YOZ平面，即将车厢投影到YOZ 平面上，对货车在即将翻轉的临界状态进行受力分析，如图1所示.现有三维装箱研究中存在如下问题：1）一些模型的约束条件不完善，重心约束没有考虑转弯情况.2）目标函数考虑较少，部分模型未说明假设条件.3）用到的遗传算法等求解方法较旧，全局寻优的能力较弱，迭代收敛速度较慢.乌鸦搜索算法[5]（Crow Search Algorithm，CSA）自被提出以来，广泛应用到诸多领域，如图像分割[6]、数据挖掘分类问题[7]、帕金森病的诊断[8]、评估噪声对损伤检测过程的影响[9]、图像处理问题[10]等. 改进乌鸦搜索算法的方法可以分为两大类，一类是引入策略对算法进行改进. 例如，Sayed等[11]引入了10种混沌映射，提出CCSA;另一类是与其他算法相结合的混合算法. 例如，Javaid等[12]将CSA与蝙蝠算法混合，提出了BCSA. Pasandideh等[13]将CSA和正弦余弦算法的优点相结合，提出了余弦乌鸦搜索算法.针对上述问题，为了减少翻车情况的发生，建立了具有考虑转弯情况、重心约束等7个约束条件，容积利用率、载重总重量、重心坐标等5个目标函数的多约束多目标货物三维装箱模型. 为了使乌鸦搜索算法更好地适配装箱问题，同时加快迭代收敛速度，提高全局搜索能力，提出并引入了多概率随机游走策略和解修复策略对原始乌鸦搜索算法进行改进，并对模型进行了求解，装箱效果更好.为了验证改进CSA的有效性，结合实例通过遗传算法、粒子群算法、乌鸦搜索算法、灰狼优化算法[14]（Grey Wolf Optimizer，GWO）、鲸鱼优化算法[15]（Whale Optimization Algorithm，WOA）、最有价值球员算法[16]（Most Valuable Player Algorithm，MVPA），以及改进后的乌鸦搜索算法对货物三维装箱问题进行了优化仿真与测试，进一步说明了改进后的算法迭代收敛速度更快，跳出局部最优的能力更强. 为了说明改进后的算法在连续问题中的适用性，通过对3个基准函数测试以及和其他部分算法对比，验证了改进后算法的优越性.1 货物三维装箱模型的建立由于大部分装箱问题研究中给出的重心约束都没有考虑货车转弯的情况，针对这一现象，建立了考虑转弯的情况的模型，并得出了与其他研究不一样的重心约束条件.1.1 问题假设与符号说明1.1.1 问题假设由于货车的实际运输过程较为复杂，为了将问题简化，提出如下假设：1）货车车厢与货物均为标准长方体结构.2）所有货物均密度均匀，其质心为长方体结构几何中心，且不发生形变.3）用泡沫或棉花填充空隙，忽略填充物重量.4）装载时，货物的高必须与车厢的高平行.5）运输过程中，货车转弯时的行驶路线为规则的圆形道路.6）运输过程中，道路均为平坦的道路，若存在倾斜情况，倾斜角度始终不变.1.1.2 符号说明模型用到的符号及相关说明见表1.对货物按照从1到D的顺序进行编号，设可行解的结构为：式中：X的每一行表示一個解Xn;xnd∈[-D，D]，且xnd是不为0的整数，表示第d个装入的货物其序号为xnd，xnd > 0表示货物的长与车厢的长平行，xnd < 0表示货物的长与车厢的宽平行.1.2 建立货物三维装箱模型在保证货物与货物之间不存在镶嵌、包含现象，且货车转弯过程中不翻车的条件下，将货物按照一定的顺序以及摆放方式装入到车厢内. 综合考虑容积利用率以及货物合重心等因素对整个装载运输过程的影响，对货物三维装箱问题建立合理的模型.1.2.1 目标函数下面对货物三维装箱问题建立具有优先级的多目标优化模型. 考虑到运输成本的因素，应当尽量减少货物运输的次数，因此，货物装箱的第1目标是车厢容积的利用率最大，即第1目标函数的表达式如式（2）所示. 合理利用空间之后，要合理利用载重量，在满足第1个目标的情况下，货物装箱的第2目标是装载货物的总质量最大，即第2目标函数的表达式如式（3）所示. 不倒翁之所以不倒，正是因为其重心低的缘故，物体的重心越低越稳定，因此，货物装箱的第3目标是在满足前2个目标的情况下，货物合重心的高度最低，即第3目标函数的表达式如式（4）所示. 货物装箱的第4目标是在满足前3个目标的情况下，货物合重心的Y坐标最靠近车厢宽度的中心，即第4目标函数的表达式如式（5）所示. 一般情况下，上述4个具有优先级的目标函数足以区分不同的解，为了使模型的适用情况更加广泛，这里引入第5目标，假设运输过程中要求在满足前4个目标的情况下，货物合重心的X坐标要最靠近车厢长度的中心，则第5目标函数的表达式如式（6）所示. 即在满足约束且货物容积利用率最大的情况下，进一步按优先级顺序对合重心的各个坐标进行建模与优化.1.2.2 约束条件在物流领域中，货物装箱后存在配送过程，转弯的时候由于货物偏心容易翻车. 为了避免翻车现象的出现，在货物装箱过程中加入考虑转弯的重心约束.1）转弯时重心约束的推导过程以（xi，yi，zi）表示第i个箱子的质心的坐标，则I个箱子的组合体质心坐标表示为（x，y，z），其公式如下：考虑到货车转弯的对称性，对货车右转弯过程进行分析. 货车转弯时，相当于受到一个离心力的作用，此时，货车更容易绕着以货车左前轮、左后轮分别与地面接触的两点所确定的直线看作为转轴逆时针翻转. 以靠近车头的车厢左下角为原点，其引出的3条棱所在直线分别为X轴、Y轴、Z轴建立空间坐标系对车厢进行分析，仅考虑YOZ平面，即将车厢投影到YOZ 平面上，对货车在即将翻转的临界状态进行受力分析，如图1所示.现有三维装箱研究中存在如下问题：1）一些模型的约束条件不完善，重心约束没有考虑转弯情况.2）目标函数考虑较少，部分模型未说明假设条件.3）用到的遗传算法等求解方法较旧，全局寻优的能力较弱，迭代收敛速度较慢.乌鸦搜索算法[5]（Crow Search Algorithm，CSA）自被提出以来，广泛应用到诸多领域，如图像分割[6]、数据挖掘分类问题[7]、帕金森病的诊断[8]、评估噪声对损伤检测过程的影响[9]、图像处理问题[10]等. 改進乌鸦搜索算法的方法可以分为两大类，一类是引入策略对算法进行改进. 例如，Sayed等[11]引入了10种混沌映射，提出CCSA;另一类是与其他算法相结合的混合算法. 例如，Javaid等[12]将CSA与蝙蝠算法混合，提出了BCSA. Pasandideh等[13]将CSA和正弦余弦算法的优点相结合，提出了余弦乌鸦搜索算法.针对上述问题，为了减少翻车情况的发生，建立了具有考虑转弯情况、重心约束等7个约束条件，容积利用率、载重总重量、重心坐标等5个目标函数的多约束多目标货物三维装箱模型. 为了使乌鸦搜索算法更好地适配装箱问题，同时加快迭代收敛速度，提高全局搜索能力，提出并引入了多概率随机游走策略和解修复策略对原始乌鸦搜索算法进行改进，并对模型进行了求解，装箱效果更好.为了验证改进CSA的有效性，结合实例通过遗传算法、粒子群算法、乌鸦搜索算法、灰狼优化算法[14]（Grey Wolf Optimizer，GWO）、鲸鱼优化算法[15]（Whale Optimization Algorithm，WOA）、最有价值球员算法[16]（Most Valuable Player Algorithm，MVPA），以及改进后的乌鸦搜索算法对货物三维装箱问题进行了优化仿真与测试，进一步说明了改进后的算法迭代收敛速度更快，跳出局部最优的能力更强. 为了说明改进后的算法在连续问题中的适用性，通过对3个基准函数测试以及和其他部分算法对比，验证了改进后算法的优越性.1 货物三维装箱模型的建立由于大部分装箱问题研究中给出的重心约束都没有考虑货车转弯的情况，针对这一现象，建立了考虑转弯的情况的模型，并得出了与其他研究不一样的重心约束条件.1.1 问题假设与符号说明1.1.1 问题假设由于货车的实际运输过程较为复杂，为了将问题简化，提出如下假设：1）货车车厢与货物均为标准长方体结构.2）所有货物均密度均匀，其质心为长方体结构几何中心，且不发生形变.3）用泡沫或棉花填充空隙，忽略填充物重量.4）装载时，货物的高必须与车厢的高平行.5）运输过程中，货车转弯时的行驶路线为规则的圆形道路.6）运输过程中，道路均为平坦的道路，若存在倾斜情况，倾斜角度始终不变.1.1.2 符号说明模型用到的符号及相关说明见表1.对货物按照从1到D的顺序进行编号，设可行解的结构为：式中：X的每一行表示一个解Xn;xnd∈[-D，D]，且xnd是不为0的整数，表示第d个装入的货物其序号为xnd，xnd > 0表示货物的长与车厢的长平行，xnd < 0表示货物的长与车厢的宽平行.1.2 建立货物三维装箱模型在保证货物与货物之间不存在镶嵌、包含现象，且货车转弯过程中不翻车的条件下，将货物按照一定的顺序以及摆放方式装入到车厢内. 综合考虑容积利用率以及货物合重心等因素对整个装载运输过程的影响，对货物三维装箱问题建立合理的模型.1.2.1 目标函数下面对货物三维装箱问题建立具有优先级的多目标优化模型. 考虑到运输成本的因素，应当尽量减少货物运输的次数，因此，货物装箱的第1目标是车厢容积的利用率最大，即第1目标函数的表达式如式（2）所示. 合理利用空间之后，要合理利用载重量，在满足第1个目标的情况下，货物装箱的第2目标是装载货物的总质量最大，即第2目标函数的表达式如式（3）所示. 不倒翁之所以不倒，正是因为其重心低的缘故，物体的重心越低越稳定，因此，货物装箱的第3目标是在满足前2个目标的情况下，货物合重心的高度最低，即第3目标函数的表达式如式（4）所示. 货物装箱的第4目标是在满足前3个目标的情况下，货物合重心的Y坐标最靠近车厢宽度的中心，即第4目标函数的表达式如式（5）所示. 一般情况下，上述4个具有优先级的目标函数足以区分不同的解，为了使模型的适用情况更加广泛，这里引入第5目标，假设运输过程中要求在满足前4个目标的情况下，货物合重心的X坐标要最靠近车厢长度的中心，则第5目标函数的表达式如式（6）所示. 即在满足约束且货物容积利用率最大的情况下，进一步按优先级顺序对合重心的各个坐标进行建模与优化.1.2.2 约束条件在物流领域中，货物装箱后存在配送过程，转弯的时候由于货物偏心容易翻车. 为了避免翻车现象的出现，在货物装箱过程中加入考虑转弯的重心约束.1）转弯时重心约束的推导过程以（xi，yi，zi）表示第i个箱子的质心的坐标，则I个箱子的组合体质心坐标表示为（x，y，z），其公式如下：考虑到货车转弯的对称性，对货车右转弯过程进行分析. 货车转弯时，相当于受到一个离心力的作用，此时，货车更容易绕着以货车左前轮、左后轮分别与地面接触的两点所确定的直线看作为转轴逆时针翻转. 以靠近车头的车厢左下角为原点，其引出的3条棱所在直线分别为X轴、Y轴、Z轴建立空间坐标系对车厢进行分析，仅考虑YOZ平面，即将车厢投影到YOZ 平面上，对货车在即将翻转的临界状态进行受力分析，如图1所示.现有三维装箱研究中存在如下问题：1）一些模型的约束条件不完善，重心约束没有考虑转弯情况.2）目标函数考虑较少，部分模型未说明假设条件.3）用到的遗传算法等求解方法较旧，全局寻优的能力较弱，迭代收敛速度较慢.乌鸦搜索算法[5]（Crow Search Algorithm，CSA）自被提出以来，广泛应用到诸多领域，如图像分割[6]、数据挖掘分类问题[7]、帕金森病的诊断[8]、评估噪声对损伤检测过程的影响[9]、图像处理问题[10]等. 改进乌鸦搜索算法的方法可以分为两大类，一类是引入策略对算法进行改进. 例如，Sayed等[11]引入了10种混沌映射，提出CCSA;另一类是与其他算法相结合的混合算法. 例如，Javaid等[12]将CSA与蝙蝠算法混合，提出了BCSA. Pasandideh等[13]将CSA和正弦余弦算法的优点相结合，提出了余弦乌鸦搜索算法.针对上述问题，为了减少翻车情况的发生，建立了具有考虑转弯情况、重心约束等7个约束条件，容积利用率、载重总重量、重心坐标等5个目标函数的多约束多目标货物三维装箱模型. 为了使乌鸦搜索算法更好地适配装箱问题，同时加快迭代收敛速度，提高全局搜索能力，提出并引入了多概率随机游走策略和解修复策略对原始乌鸦搜索算法进行改进，并对模型进行了求解，装箱效果更好.为了验证改进CSA的有效性，结合实例通过遗传算法、粒子群算法、乌鸦搜索算法、灰狼优化算法[14]（Grey Wolf Optimizer，GWO）、鲸鱼优化算法[15]（Whale Optimization Algorithm，WOA）、最有价值球员算法[16]（Most Valuable Player Algorithm，MVPA），以及改进后的乌鸦搜索算法对货物三维装箱问题进行了优化仿真与测试，进一步说明了改进后的算法迭代收敛速度更快，跳出局部最优的能力更强. 为了说明改进后的算法在连续问题中的适用性，通过对3个基准函数测试以及和其他部分算法对比，验证了改进后算法的优越性.1 货物三维装箱模型的建立由于大部分装箱问题研究中给出的重心约束都没有考虑货车转弯的情况，针对这一现象，建立了考虑转弯的情况的模型，并得出了与其他研究不一样的重心约束条件.1.1 问题假设与符号说明1.1.1 问题假设由于货车的实际运输过程较为复杂，为了将问题简化，提出如下假设：1）货车车厢与货物均为标准长方体结构.2）所有货物均密度均匀，其质心为长方体结构几何中心，且不发生形变.3）用泡沫或棉花填充空隙，忽略填充物重量.4）装载时，货物的高必须与车厢的高平行.5）运输过程中，货车转弯时的行驶路线为规则的圆形道路.6）运输过程中，道路均为平坦的道路，若存在倾斜情况，倾斜角度始终不变.1.1.2 符号说明模型用到的符号及相关说明见表1.对货物按照从1到D的顺序进行编号，设可行解的结构为：式中：X的每一行表示一个解Xn;xnd∈[-D，D]，且xnd是不为0的整数，表示第d个装入的货物其序号为xnd，xnd > 0表示货物的长与车厢的长平行，xnd < 0表示货物的长与车厢的宽平行.1.2 建立货物三维装箱模型在保证货物与货物之间不存在镶嵌、包含现象，且货车转弯过程中不翻车的条件下，将货物按照一定的顺序以及摆放方式装入到车厢内. 综合考虑容积利用率以及货物合重心等因素对整个装载运输过程的影响，对货物三维装箱问题建立合理的模型.1.2.1 目標函数下面对货物三维装箱问题建立具有优先级的多目标优化模型. 考虑到运输成本的因素，应当尽量减少货物运输的次数，因此，货物装箱的第1目标是车厢容积的利用率最大，即第1目。

三维空间最优点优化算法三维空间最优点优化算法是指在三维空间中寻找最优解的一种数学算法。

在许多实际问题中，需要在三维空间中找到最优点，以便优化某个目标函数的数值。

这种算法在许多领域具有广泛的应用，如机器学习、图像处理、物流优化等。

在三维空间中，最优点指的是使得目标函数取得最大或最小值的点。

这个点可能是一个局部最优点，也可能是全局最优点。

为了找到最优点，我们需要定义一个目标函数，然后通过优化算法来搜索最优点。

常见的三维空间最优点优化算法包括梯度下降法、牛顿法、遗传算法等。

这些算法都有各自的优缺点，适用于不同类型的问题。

下面将介绍其中几种常见的算法。

梯度下降法是一种迭代算法，通过计算目标函数在当前点的梯度信息，不断更新当前点的位置，直到找到最优点。

梯度下降法的优点是简单易实现，但其可能陷入局部最优点，无法找到全局最优点。

牛顿法是一种迭代算法，通过计算目标函数在当前点的一阶导数和二阶导数信息，来更新当前点的位置。

牛顿法的优点是收敛速度快，但其计算复杂度较高，且可能出现不收敛的情况。

遗传算法是一种模拟生物进化的优化算法，通过对种群中个体的遗传操作，不断迭代生成新的个体，直到找到最优点。

遗传算法的优点是能够全局搜索最优点，但其计算复杂度较高，且可能陷入局部最优点。

除了上述算法外，还有许多其他的三维空间最优点优化算法，如模拟退火算法、粒子群优化算法等。

这些算法根据问题的特点和要求，选择合适的算法进行优化。

在实际应用中，三维空间最优点优化算法可以用于解决各种问题。

例如，在机器学习中，可以使用这些算法来优化模型的参数，以提高模型的预测准确性。

在图像处理中，可以使用这些算法来寻找图像中的最优特征点，以实现图像识别和目标跟踪等功能。

在物流优化中，可以使用这些算法来优化路径规划和货物配送，以提高物流效率。

三维空间最优点优化算法是一种重要的数学算法，用于在三维空间中寻找最优解。

通过选择合适的算法和优化方法，可以有效地解决各种实际问题，提高问题的解决效率和准确性。

三维装箱问题算法一、问题概述三维装箱问题是一种经典的优化问题，涉及到在有限的空间内放置多个物体，以满足一定的约束条件并最大化空间利用率。

在这个问题中，我们考虑一个三维盒子，其中可以放置一定数量的物体，每个物体都有一定的体积，我们需要找到一种放置方式，使得盒子的剩余空间最小。

二、算法介绍为了解决三维装箱问题，我们可以使用多种算法，其中一种常用的算法是遗传算法。

遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机制来寻找问题的最优解。

具体步骤如下：1. 初始化：随机生成一组装箱方案，作为种群。

2. 评估：对每个装箱方案进行评估，计算剩余空间的大小。

3. 选择：根据每个装箱方案的剩余空间大小，选择出适应度较高的方案作为父代。

4. 交叉：对父代进行交叉操作，生成新的子代。

5. 变异：对子代进行变异操作，以增加种群的多样性。

6. 终止条件：当满足终止条件（如达到最大迭代次数或找到满足要求的解）时，停止算法，输出当前最优解。

三、算法实现下面是一个简单的遗传算法实现示例，使用Python语言编写：```pythonimport numpy as np# 定义适应度函数def fitness(solution):remaining_space = np.prod(solution) -np.prod(np.delete(solution, axis=0))return remaining_space# 初始化种群population = np.random.randint(low=1, high=10, size=(pop_size, 3)) # 迭代进化for generation in range(max_generations):# 评估种群中每个装箱方案的适应度fitness_values = np.apply_along_axis(fitness, axis=1,arr=population)# 选择适应度较高的方案作为父代parents = np.argmax(fitness_values, axis=0)# 进行交叉和变异操作offspring = crossover(population, parents)population = offspring + np.random.randint(low=-1, high=1, size=offspring.shape, dtype=np.int32)# 输出当前最优解和最优解的适应度值if generation % print_freq == 0:best_solution = np.argmin(fitness_values)best_fitness = fitness_values[best_solution]print(f"Generation {generation}: Best solution:{best_solution}, Best fitness: {best_fitness}")# 判断是否达到终止条件，如果是则输出最终结果if best_fitness <= optimal_fitness:break```以上代码实现了一个简单的遗传算法，通过交叉和变异操作生成新的种群，并在每一代选择适应度较高的方案作为父代进行繁殖，最终得到最优解。

高效求解三维装箱问题的剩余空间最优化算法尚正阳; 顾寄南; 唐仕喜; 孙晓红【期刊名称】《《计算机工程与应用》》【年(卷),期】2019(055)005【总页数】7页(P44-50)【关键词】三维装箱问题; 启发式算法; 快速求解; 调度优化【作者】尚正阳; 顾寄南; 唐仕喜; 孙晓红【作者单位】安徽工程大学机械与汽车工程学院安徽芜湖 241000; 江苏大学制造业信息化研究中心江苏镇江 212000【正文语种】中文【中图分类】TP3011 引言装箱问题是指将一组二维矩形或者三维长方体，放置到二维或者三维空间中，以使得空间的填充率最大或者容积最小。

它作为一个传统的优化组合问题，不仅得到了大量的理论研究，还被广泛地应用在了实际生产和生活的各个领域。

特别是针对三维装箱问题，由于其更加贴近真实情况，已经在工业中得到了大量使用，例如以三维空间利用率为目标的集装箱放置和木材切割问题，或是将第三维看作是时间的时空调度问题等等。

随着智能制造和精益生产的不断推进，这类以三维装箱为模型的资源配置问题日益受到重视，而相关的算法研究与实践也就有着积极的现实意义。

三维装箱问题是装箱问题的一个子问题，Dyckhoff等[1]根据装箱过程中的不同约束和目标，进行了详细分类：容器装载问题、箱柜装载问题、背包装载问题。

本文所研究的是以体积为价值的三维背包装载问题（Three-Dimensional Knapsack Loading Problems，3D-KLP），即将一组不同尺寸的小长方体放入到一个给定尺寸的大长方体中，旨在使所有被放入的小长方体的总体积最大。

在此，将小长方体称为箱子，大长方体称为容器，装载的目标是使容器的空间填充率最大。

这是一个典型的NP-hard问题，传统算法往往因其解空间的“组合爆炸”而难于求解。

所以三维装箱问题的求解通常被分为两个部分：启发式的放置方法和较优解的搜索算法。

综合国内外相关研究，George等[2]提出了基于“层”和“墙”的启发式放置方法。

同一尺寸货物三维装箱问题的一种启发式
算法
一种启发式算法解决三维装箱问题
三维装箱问题是一个重要的应用，一般用于解决在规定的空间尺
寸内有效地将货物装箱的关键难题。

近年来，有许多尝试使用启发式
方法来解决这个问题，例如高斯层级搜索法，遗传算法，粒子群算法，密度优化法等等。

这些方法可以有效地解决三维装箱问题，但是其解
决方案仍然不能完全满足实际应用场景，特别是当实际空间环境非常
复杂的情况下，各种解决方案能力不强，无法很好地利用可用的空间。

在此背景下，笔者提出了一种启发式算法来解决相同尺寸货物三
维装箱问题。

该算法的基本思想是：首先根据实际需求将所有货物按
照大小分类，然后取货物中的一个较大的货物，放在空间的中心位置，然后再取货物中的一个较小的货物，放在此货物的正上方，接着以此
类推，继续取货物，尽可能多地填充到空间中，直到覆盖整个空间。

此外，该算法还具有搜索容错性，即若发现在当前位置放置货物后没
有足够的余量，则可以开启备用的搜索策略，尝试从另一个方向开始搜索。

总之，笔者提出的一种启发式算法，可以有效解决相应货物尺寸的三维装箱问题。

这一算法可以有效充分利用可用空间，避免在空间搜索中过度耗时，更好地满足现实应用场景中的复杂要求。

同时，在发现某个位置放置货物后余量不足时，该算法也具有良好的搜索容错能力，可以有效找到另一种更优的解决方案。