多目标优化算法综述

多目标优化方法多目标优化方法指在实际问题中存在多个优化目标时，如何找到一组最优解的问题。

传统的单目标优化方法无法直接应用于多目标问题，因为多目标问题的最优解不止一个，而是一个解集合，称为Pareto最优解集合，其中每个解都是在某种意义上最优的，但在其他目标方面可能并不是最好的。

目前，已经有许多多目标优化方法被提出，并在实际问题中取得了很好的应用效果。

其中，最常用且效果较好的方法主要包括：Pareto排序法、随机权重法、进化算法和支配关系法等。

Pareto排序法是将多目标问题转化为单目标优化问题的一种方法。

首先，对候选解集合进行排序，按照某种准则将解集合划分为不同的非支配层，其中非支配层最高的层即为Pareto最优解集合。

其优点是直观易理解，但不适用于解集合较大的问题。

随机权重法是通过随机生成一系列的权重向量来转化多目标问题为一系列的单目标优化问题，通过求解这些单目标问题，得到多个最优解，从而构成Pareto最优解集合。

该方法的优点是收敛速度快，但需要事先决定权重向量的个数。

进化算法是一种常用的多目标优化方法，常见的有遗传算法、粒子群算法和蚁群算法等。

这些算法通过在解空间中进行搜索和优化，逐渐逼近Pareto最优解集合，并在解集合中寻找最优解。

支配关系法是根据解之间的支配关系来进行优化的一种方法。

对于多目标问题，若解A在所有目标上至少与解B相等且在某个目标上更好，则称解A支配解B。

通过判断解之间的支配关系，可以排除掉不在Pareto最优解集合中的解，从而减少搜索空间。

综上所述，多目标优化方法是在解决实际问题中存在多个优化目标时的一种有效手段。

通过合理选取合适的方法和策略，可以找到问题的多个最优解，并帮助决策者在多个目标之间做出合理的权衡和选择。

多目标优化算法与求解策略2多目标优化综述2.1多目标优化的基本概念多目标优化问题(Multi-objective Optimization Problem，MOP)起源于许多实际复杂系统的设计、建模和规划问题，这些系统所在的领域包括工业制造、城市运输、资本预算、森林管理、水库管理、新城市的布局和美化、能量分配等等。

几乎每个重要的现实生活中的决策问题都要在考虑不同的约束的同时处理若干相互冲突的目标，这些问题都涉及多个目标的优化，这些目标并不是独立存在的，它们往往是祸合在一起的互相竞争的目标，每个目标具有不同的物理意义和量纲。

它们的竞争性和复杂性使得对其优化变得困难。

多目标最优化是近20多年来迅速发展起来的应用数学的一门新兴学科。

它研究向量目标函数满足一定约束条件时在某种意义下的最优化问题。

由于现实世界的大量问题，都可归结为含有多个目标的最优化问题，自70年代以来，对于多目标最优化的研究，在国内和国际上都引起了人们极大的关注和重视。

特别是近10多年来，理论探索不断深入，应用范围日益广泛，研究队伍迅速壮大，显示出勃勃生机。

同时，随着对社会经济和工程设计中大型复杂系统研究的深入，多目标最优化的理论和方法也不断地受到严峻挑战并得到快速发展。

近几年来，将遗传算法(Genetic Algorithm，GA)应用于多目标优化问题成为研究热点，这种算法通常称作多目标优化进化算法或多目标优化遗传算法。

由于遗传算法的基本特点是多方向和全局搜索，这使得带有潜在解的种群能够一代一代地维持下来。

从种群到种群的方法对于搜索Pareto解来说是十分有益的。

一般说来，科学研究与工程实践中许多优化问题大都是多目标优化问题。

多目标优化问题中各目标之间通过决策变量相互制约，对其中一个目标优化必须以其它目标作为代价，而且各目标的单位又往往不一致，因此很难客观地评价多目标问题解的优劣性。

与单目标优化问题的本质区别在于，多目标优化问题的解不是唯一的，而是存在一个最优解集合，集合中元素称为Pareto最优或非劣最优。

多目标优化算法在工业过程中的应用一、引言工业过程需要优化来提高效率和降低成本，多目标优化算法作为一种有效的优化方法，在工业过程中得到了广泛的应用。

本文旨在探讨多目标优化算法在工业过程中的应用。

二、多目标优化算法概述多目标优化算法旨在同时优化多个目标函数，与单目标优化相比，其考虑了更多的因素和约束条件，从而可以更全面地优化问题。

常见的多目标优化算法包括遗传算法、粒子群优化算法、模拟退火算法等。

三、工业过程中的多目标优化算法应用案例1. 多汽缸发动机优化多汽缸发动机的设计涉及到多个目标函数（如功率、扭矩、燃油效率等），传统的优化方法容易陷入局部最优解，而使用多目标优化算法则可以同时考虑多个目标，得到更优的设计方案。

2. 制造工艺优化制造工艺涉及到多个影响产品质量和成本的因素，而这些因素往往是相互矛盾的。

使用多目标优化算法可以将这些目标函数进行权衡和优化，从而得到更优的制造工艺方案。

3. 供应链优化供应链优化的目标是在保证产品按时交付的前提下降低成本。

由于涉及到多个环节和多个因素，将其作为多目标优化问题进行求解可以得到更高效和可行的优化方案。

四、多目标优化算法的优点和挑战多目标优化算法具有以下优点：1. 考虑全面：可以同时考虑多个目标函数和约束条件，得到更全面的优化结果。

2. 更高效：相对于传统的单目标优化算法，多目标优化算法可以在相同的时间内得到更优的结果。

3. 更灵活：可以根据实际情况适当修改和调整算法，以适应不同的应用场景。

然而，多目标优化算法也面临着一些挑战：1. 选择合适的目标函数和权重并非易事。

2. 非凸多目标优化问题的求解难度较大，需要考虑更多的计算资源和时间。

3. 实际工业过程中，问题所涉及的约束条件和目标函数可能会不断变化，需要不断调整和优化算法，以适应变化的应用场景。

五、结论多目标优化算法在工业过程中得到了广泛的应用，其优点包括可以同时考虑多个目标函数和约束条件，得到更全面和有效的结果。

多目标优化算法的基本概念随着科技的不断发展，人们对于问题的解决方案也越来越多样化和复杂化。

在实际应用中，我们常常需要同时考虑多个目标，而不仅仅是单一的目标。

这就引出了多目标优化问题。

多目标优化算法是一种用于解决多目标优化问题的数学方法，它能够在给定的约束条件下，找到一组最优解，使得多个目标函数达到最优。

多目标优化算法的基本概念包括以下几个方面：1. 目标函数：多目标优化算法的核心是目标函数。

目标函数是一个数学模型，用于描述问题的目标和约束条件。

在多目标优化问题中，通常有多个目标函数，每个目标函数都代表了问题的一个方面。

这些目标函数可能是相互矛盾的，因此需要找到一个平衡点，使得各个目标函数都能够得到满意的结果。

2. Pareto最优解：在多目标优化问题中，我们通常无法找到一个解能够同时最优化所有的目标函数。

因此，我们需要引入Pareto最优解的概念。

Pareto最优解是指在给定的约束条件下，无法通过改变一个目标函数的值而改善其他目标函数的值。

换句话说，Pareto最优解是一种无法被改进的解。

3. 支配关系：在多目标优化问题中，我们需要确定解之间的支配关系。

一个解支配另一个解，意味着在所有目标函数上，前者至少与后者一样好，并且在至少一个目标函数上比后者更好。

通过确定支配关系，我们可以筛选出一组非支配解，即Pareto最优解。

4. 多目标优化算法：多目标优化算法是一种用于求解多目标优化问题的计算方法。

常见的多目标优化算法包括遗传算法、粒子群优化算法、模拟退火算法等。

这些算法通过不断迭代和优化，逐步接近Pareto 最优解。

多目标优化算法的核心思想是通过维护一组解的集合，不断更新和改进这些解，直到找到一组满足约束条件的非支配解。

5. 解集合的维护：在多目标优化算法中，解集合的维护是一个重要的步骤。

解集合是指算法在每一次迭代中得到的一组解。

为了保证解集合能够包含尽可能多的非支配解，我们需要采取一些策略，如选择合适的交叉和变异操作、引入适应度函数等。

多目标算法多目标算法是一种能够同时优化多个目标函数的算法。

在传统的优化问题中，通常只需要优化一个目标函数。

然而，在现实生活中，很多问题都涉及到多个目标，例如工程设计问题中需要考虑成本、质量和时间等多个因素。

因此，多目标算法应运而生，它能够在考虑多个目标的情况下找到一组最优解，以便在不同的情况下选择最合适的解决方案。

多目标算法有很多种，其中最常用的是多目标遗传算法（MOGA）和多目标粒子群算法（MOPSO）。

多目标遗传算法是基于生物进化过程的一种算法，它通过模拟自然选择、交叉和变异等过程来搜索最优解。

多目标粒子群算法则是基于鸟群觅食等群体行为而提出的一种算法，它通过模拟粒子在搜索空间中的移动来搜索最优解。

多目标算法的基本思路是在搜索过程中维护一组解集，这个解集被称为“非支配解集”。

非支配解集是指在多个目标函数下都不被其他解支配的解集。

通过不断地演化和优化解集，多目标算法能够找到一组最优解。

多目标算法的一个重要挑战是如何在搜索空间中维护一组非支配解集。

因为多目标算法要考虑多个目标，所以通常会有很多非支配解。

为了保证解集的多样性，多目标算法通常会引入一些多样性保持策略，例如保留最好解、保持种群多样性等。

这些策略可以帮助算法找到一组有代表性的解。

此外，多目标算法还需要设计一些评价指标来评估解集的性能。

常用的评价指标有Hypervolume、Inverted Generational Distance等。

这些指标可以量化解集的覆盖面积、距离等性能指标，以便进行算法的比较和选择。

总之，多目标算法是一种能够在多个目标下找到最优解的算法。

它通过维护一个非支配解集来找到一组有代表性的解。

多目标算法在工程设计、路径规划等领域有着广泛的应用前景，能够帮助解决复杂的优化问题。

第 22卷第 5期2023年 5月Vol.22 No.5May 2023软件导刊Software Guide连续昂贵多目标优化问题综述张峰，陈新中（中国电子科技集团公司第二十八研究所，江苏南京 210007）摘要：许多实际工程优化问题通常需要同时优化多个相互冲突的目标，并且目标函数的计算主要依赖十分耗时的仿真实验，此类问题一般可称为昂贵多目标优化问题。

代理辅助进化算法通过使用机器学习方法建立代理模型，并辅助算法进行评估，因而使代理辅助进化算法成为解决此类问题的热门方法。

根据问题规模大小将相关算法划分成两类，描述每类问题特点，分类梳理相关算法，并说明每个算法的优缺点，以便人们能直观地了解连续昂贵多目标优化问题研究进展，更好地开展后续研究工作。

关键词：多目标优化；昂贵多目标优化；代理辅助进化算法；代理模型；机器学习DOI：10.11907/rjdk.221626开放科学（资源服务）标识码（OSID）：中图分类号：TP18 文献标识码：A文章编号：1672-7800（2023）005-0248-05Survey of Continuous Expensive Multiobjective Optimization ProblemsZHANG Feng， CHEN Xin-zhong（The 28th Research Institute of China Electronics Technology Group Corporation， Nanjing 210007， China）Abstract：Many practical engineering optimization problems usually involve optimizing multiple conflicting objectives at the same time， and the calculation of the objective function mainly relies on time-consuming simulation experiments， such problems can generally be called ex‐pensive multiobjective optimization problems. Surrogate-assisted evolutionary algorithms use machine learning methods to build surrogate mod‐els and assist algorithms for evaluation， which makes surrogate-assisted evolutionary algorithms a popular method to solve such problems. Ac‐cording to the scale of the problem， the relevant algorithms are divided into two categories， the characteristics of each type of problem are de‐scribed， the related algorithms are classified and sorted out， and the advantages and disadvantages of each algorithm are explained， so that people can intuitively understand the research progress of continuous expensive multiobjective optimization problems and better carry out fol‐low-up research work.Key Words：multiobjective optimization； expensive multiobjective optimization； surrogate-assisted evolutionary algorithm； surrogate mod‐el； machine learning0 引言许多实际工程优化问题，通常涉及同时优化多个相互冲突的目标，此类问题可称为多目标优化问题（Multiobjec‐tive Optimization Problem，MOP）［1-4］。

Matlab中的多目标优化算法详解多目标优化是指在优化问题中同时考虑多个目标函数的最优解。

与单目标优化问题不同，多目标优化问题的解称为“帕累托最优解”。

Matlab提供了一些强大的多目标优化算法，本文将详细介绍这些算法的原理和应用。

一、多目标优化的基本概念多目标优化问题的目标函数通常是一组相互矛盾的指标，求解该问题即要在这些指标之间找到一个平衡点。

传统的单目标优化算法无法直接应用于多目标优化问题，因为它们只能找到单个最优解。

因此，需要借助多目标优化算法来解决这类问题。

多目标优化的基本概念可以用“帕累托最优解”来描述。

帕累托最优解是指在多个目标函数下，无法通过对一个目标函数的改进而不损害其他目标函数的值。

多目标优化问题的解集是所有帕累托最优解的集合，称为“帕累托前沿”。

二、多目标优化算法的分类在Matlab中，多目标优化算法可以分为以下几类：1. 基于加权的方法：将多个目标函数加权求和，然后将多目标优化问题转化为单目标优化问题。

这类方法的优点是简单有效，但是需要人工设定权重。

2. 遗传算法：通过模拟进化的过程，搜索出多目标优化问题的解集。

遗传算法具有全局搜索的能力，但是收敛速度较慢。

3. 粒子群优化算法：通过模拟鸟群觅食行为，搜索出多目标优化问题的解集。

粒子群优化算法具有较快的收敛速度和较强的全局搜索能力。

4. 差分进化算法：通过模拟物种进化的过程，搜索出多目标优化问题的解集。

差分进化算法具有较快的收敛速度和较强的全局搜索能力。

5. 支配排序算法：通过定义支配关系，将多目标优化问题的解集划分为不同的非支配解等级。

支配排序算法能够有效地寻找帕累托最优解。

三、多目标优化算法的应用多目标优化算法在实际应用中有着广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：1. 工程优化：在设计工程中，常常需要在多个目标之间进行权衡。

例如，在机械设计中，需要同时考虑产品的成本、质量和安全性等指标。

2. 金融投资：在金融投资领域，投资者通常需要考虑多个指标，如收益率、风险和流动性等。

多目标规划方法综述1 多目标规划的介绍多目标规划方法是数学规划的一个分支，也是运筹学中非常重要的一个分支，它是以线性规划为基础，为了解决多目标决策问题，出现的一种科学管理的数学方法，主要应用于研究多于一个目标函数并在给定区域上的最优化问题，即又称多目标最优化。

1896年法国经济学家V.Pareto最早研究多目标优化问题，他从政治学、经济学的角度考虑把本质上是不可能比较的多个目标化成单个目标的最优化问题，从而涉及了多目标规划的概念和多目标规划问题。

自70年代以来，有很多数学学家做了更深入的探讨与研究，多目标规划的研究越来越受到人们的广泛重视。

至今，在理论上多目标规划仍处于发展阶段。

2 多目标规划的几种求解方法2.1在优化之前，决策者的偏好信息已经确定2.1.1主要目标法主要目标法的基本思想是：在多目标规划问题中，根据实际问题的情况，确定一个目标为主要目标，而把其余的目标作为次要目标，并且根决策者的经验，选取适合的界限值。

从而就可以把次要目标作为约束来处理，这样就将原来的多目标规划问题转化为一个在新的约束条件下，求主要目标的单目标最优化问题。

1/ 4主要目标法非常简单并且绝大多数都是可行的，它可以保证在次要目标允许取值的条件下，求出主要目标尽可能好的解，因此对许多实际问题常常非常适用。

2.1.2线性加权和法2.1.3目标规划法目标规划法的基本思想：首先考虑最优先的达到函数，并且忽略其他达到函数，求最小，然后再考虑下一个优先级的达到函数，把先前优先级中的达到函数已达到的最小值作为该达到函数的上限，并且作为一个约束条件，对下一个优先级的达到函数求最小，以此类推。

2.1.4极大极小法2.3.2字典序法对目标的重要性进行排序，依次求解各单目标规划（前一个目标的最优解不唯一，其结果作为下一个目标的约束），到有唯一解时结束。

2.4 其他方法对于多目标规划问题除了以上这些方法以外，还可以适当修正单纯形法来求解，还有一种方法称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，它是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析的方法，对于目标结构复杂并且缺乏必要的数据的情况尤为适用。

多目标智能优化问题简介•生活中, 许多问题都是由相互冲突和影响的多个目标组成。

人们会经常遇到使多个目标在给定区域同时尽可能最佳的优化问题, 也就是多目标优化问题。

优化问题存在的优化目标超过一个并需要同时处理, 就成为多目标优化问题(multiobjective optimization problem, MOP)。

•1)物资调运车辆路径问题•某部门要将几个仓库里的物资调拨到其他若干个销售点去, 在制定调拨计划时一般就要考虑两个目标, 即在运输过程中所要走的公里数最少和总的运输费用最低,这是含有两个目标的优化问题。

•2)设计•如工厂在设计某种新产品的生产工艺过程时,通常都要求产量高、质量好、成本低、消耗少及利润高等, 这就是一个含有五个目标的最优化问题; 国防部门在设计导弹时, 要考虑导弹的射程要远、精度要最高、重量要最轻以及消耗燃料要最省等,这就是一个含有四个目标的最优化问题。

•3)投资•假设某决策部门有一笔资金要分配给若干个建设项目,在确定投资方案时, 决策者总希望做到投资少收益大。

•4)生产调度•在离散制造生产系统中,一个工件一般经过一系列的工序加工完成, 每道工序需要特定机器和其他资源共同完成, 各工件在各机器上的加工顺序(称为技术约束条件)通常是事先给定的。

车间调度的作用就是根据现有的资源状况合理地安排作业加工顺序, 以满足特定生产目标的要求,一般包括作业排序和资源分配两个目标。

多目标优化•多目标优化（Multiobjective Optim ization）是指要找出一个能同时满足所有的优化目标的解,而这个解通常是以一个不确定的点集形式出现.因此多目标优化的任务就是要找出这个解集的分布情况,并根据具体情况找出适合问题的解。

实际应用•在现实工程中, 很多问题都是多目标优化问题,需要同时满足两个或者更多的目标要求, 而且要同时满足的多个目标之间往往互相冲突、此消彼长. 因此, 在多目标优化问题中, 寻求单一最优解是不现实的, 而是产生一组可选的折中解集, 由决策过程在可选解集中作出最终的选择.解决方案•传统的方案•基于进化算法方案传统方案•传统的多目标优化方法往往将其转化为各目标之加权和，然后采用单目标的优化技术。

多目标优化方法
多目标优化是指在优化问题中存在多个相互冲突的目标函数时，寻找最优的解决方案，使得多个目标函数能够同时得到最优解或接近最优解的方法。

以下是常用的多目标优化方法：
1. Pareto优化：该方法基于帕累托前沿理论，目标是找到一组解，使得没有其他可行解能够改进任意一目标函数而不损害其他目标函数。

2. 加权线性和方法：将多个目标函数进行加权求和，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。

通过调整权重可以平衡各个目标函数之间的重要性。

3. 参考点方法：首先定义一个参考点，然后将多目标优化问题转化为在参考点上的单目标优化问题，通过迭代调整参考点来寻找最优解。

4. 遗传算法：通过模拟生物进化的过程，通过选择、交叉、变异等操作来不断迭代生成解的种群，通过适应度函数来评估解的适应度，最终得到一组较好的解。

5. 粒子群优化算法：通过模拟鸟群或鱼群的行为，通过更新速度和位置来搜索最优解。

每个粒子代表一个解，通过比较每个粒子的适应度函数来更新个体最优解和全局最优解。

以上是一些常见的多目标优化方法，选择合适的方法取决于具体的问题和需求。

多目标优化问题的研究概述摘要:本文在查阅相矢资料的基础上对多目标优化冋题进行了一般性描述，详细介绍了实际生活中存在的多目标优化冋题以及解决多目标优化题的几种典型算法，讨论了各个算法存在的优缺点。

费词：多目标优化；进化算法；粒子群算法；蚁群算法；模拟退火生活中，许多冋题都是由相互冲突和影响的多个目标组成。

人们会经常遇到使多个目标在给定区域同时尽可能最佳的优化冋题，也就是多目标优化冋题。

优化问题春在的优化目标超过一个并需要同时处理，就成为多目标优化冋题(mult i-object ive opt imizat ion-problem, MOP)。

多目标优化问题在工程应用等现实生活中非常普遍并且处于非常重要的地位，这些实际问题通常非常复杂、困难,是主要研究领域之一。

自20世纪60 年代早期以来多目标优化冋题吸引了越来越多不同背景研究入员的注意力。

因此，解决多目标优化问题具有非常重要的科研价值和实际意义。

实际中优化冋题大多数是多目标优化问题，一般情况下，多目标优化冋题的各个子目标之间是矛管的，一个子目标的改善有可能会引起号一个或者另几个子目标的性能降低，也就是要同时使多个子目标一起达到最优值是不可能的，而只能在它们中间逬行协调和折中处理，使各个子目标都尽可能地达到最优化。

其与单目标优化冋题的本质区别在于，它的解并非唯一，而是存在一组由众多Pareto最优解组成的最优解集合，集合中的各个元素称为Pareto最优解或非劣最优解。

1多目标优化冋题的描述多目标优化I’可题用文字描述为D个决策变量参数、N个目标函数、m+n个约束条件组成一个优化冋题，决策变量与目标函数、约束条件是函数尖系。

在非劣解集中决策者只能根据具体冋题要求选择令其满意的一个非劣解作为最终解。

多目标优化冋题的数学形式可以如下描述：min y=f (x) =[fl (x), f2(x),…，fn(x)]n=l, 2, —, NstgO < 0 i = 1,2,…,m彳(兀)=0 J = l92t... fkx= [xitX2fXdf…fXD]d = 1,2,DA d min其中：x为D维决策向量，y为目标向量,N为优化目标总数;人(％)<0为第i个不等式约束,y%) = 0为第j个等式约束，fn(x)为第n个目标函数;X是决策向量形成的决定空间,Y是目标向量形成的目标空间。