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2024九年级数学上册“第二十五章概率初步”必背知识点一、随机事件与概率1. 随机事件定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
对比：与随机事件相对的是确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件。
必然事件是事先能肯定它一定会发生的事件；不可能事件是事先能肯定它一定不会发生的事件。
2. 概率的定义一般定义：在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m/n稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P(A)=p。
取值范围：概率的取值范围是0≤p≤1。
特别地，P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0。
二、概率的计算方法1. 理论概率在一次试验中，如果包含n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=m/n。
2. 列举法求概率列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，常用列表法列出所有可能的结果，再求出概率。
树状图法：当试验涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法。
三、用频率估计概率原理：在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n 稳定于某一个常数p，那么可以认为事件A发生的概率为p。
即，频率可以作为概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率。
四、概率的应用与理解1. 概率的意义概率是对事件发生可能性大小的量的表现，它反映了随机事件的稳定性和规律性。
2. 游戏公平性判断游戏公平性需要计算每个事件的概率，并比较它们是否相等。
如果概率相等，则游戏公平；否则，游戏不公平。
五、综合应用概率知识在解决实际问题中的应用：如抽奖、天气预测、投资决策等领域的概率计算和分析。
示例题目1. 理论概率计算例题：从一副扑克牌中随机抽取一张，求抽到红桃的概率。
解析：一副扑克牌共有54张 （包括大王和小王），其中红桃有13张。
因此，抽到红桃的概率为P=13/54。
2. 列举法求概率例题：一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同。
人教版九年级数学上册第二十五章学情评估一、选择题(共10题，每题2分，共20分)1．下列事件中，属于随机事件的是()A．|－63|>|－8|B．抛一枚质地均匀的硬币一次，正面朝上C．地球自转的同时也在绕太阳公转D．袋中只有五个黄球，摸出一个球是白球2．某校九年级选出三名同学参加学校组织的“法治和安全知识竞赛”．比赛规定：以抽签的方式决定每个人的出场顺序，主持人将表示出场顺序的数字1，2，3分别写在3张完全一样的纸条上，并将这些纸条放入一个不透明的盒子中，搅匀后从中任意抽出一张，小星第一个抽，下列说法中正确的是()A．小星抽到数字1的可能性最小B．小星抽到数字2的可能性最大C．小星抽到数字3的可能性最大D．小星抽到每个数字的可能性相同3．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子10次，有5次是“6点朝上”．当抛掷第11次时，“6点朝上”的概率为()A.12 B.15 C.16 D.1114．若在“正三角形”“平行四边形”“菱形”“正五边形”“正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是()A.15 B.25 C.35 D.455．如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每块小正方形是等可能的(击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次)，任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB(阴影部分)的概率是()(第5题)A.π12 B.π24 C.10π60 D.5π606．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2附近，那么可以估算出m的值为()A．8 B．12 C．16 D．207．如图，湖边建有A，B，C，D共4座凉亭，某同学计划将这4座凉亭全部参观一遍，从入口处进，先经过凉亭A，接下来参观凉亭B或凉亭C(已经参观过的凉亭，再次经过时不作停留)，则最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率为()A.14 B.13 C.12 D.23 (第7题)(第9题)8．小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规则：抛出两个正面——小明赢1分；抛出其他结果——小刚赢1分；谁先到10分，谁就获胜．这是个不公平的游戏规则，要把它修改公平，下列做法中错误的是()A．把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”B．把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”C．把“小明赢1分”改为“小明赢3分”D．把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”9．在一个不透明的口袋里装有红球、白球共5个，这些球除颜色外其余均相同，小明每次摸出1个球记录下颜色后再放回，重复多次后统计了红球出现的频率，如图，现从中无放回地摸出2个球，摸到1个红球1个白球的概率是()A.320 B.425 C.310 D.3510．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，抛第一次将朝上一面的点数记为x，抛第二次将朝上一面的点数记为y，则点(x ，y )落在直线y ＝－x ＋5上的概率为( ) A.118B.112C.19D.14二、填空题(共6题，每题3分，共18分)11．一只不透明的袋子中共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是____________．(填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”)12．八年级(1)班有男生15人，女生20人，从班中选出一名学生当学习委员，任何人都有同样的机会，则选中一名女生当学习委员的概率是________． 13．从－12，－1，1，3，5这五个数中任取一个数作为a 的值，使抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数)的开口向下的概率为________．14．如图，随机闭合开关S 1，S 2，S 3中的两个，能让灯泡发光的概率是________．(第14题) (第16题)15．经过某十字路口的汽车，可直行，也可左转或右转，如果这三种情况可能性大小相同，那么两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是________． 16．如图，有两个转盘A ，B ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字1，2，分别转动转盘A ，B ，当转盘停止转动时，若事件“指针都指向标有数字1的扇形区域内”的概率是19，则转盘B 中标有数字1的扇形的圆心角的度数是________．三、解答题(共9题，共82分)17．(6分)下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？①明天某地降水；②抛掷硬币三次，全都正面朝上；③抛两枚骰子，点数之和小于13；④1 kg 棉花比1 kg 铁块轻；⑤任意摸一把围棋子，恰好取得偶数个．18．(8分)小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘A和B做游戏，转盘A被平均分为2份，转盘B被平均分为3份，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于4，则小兰胜，否则小颖胜(指针指在分界线时重转)，这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由．(第18题)19.(8分)某地区林业局要调查一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：(1)这种树苗成活的频率稳定在________，成活的概率估计值为________；(结果均保留小数点后一位)(2)该地区已经移植这种树苗5万棵．①估计这些树苗成活________万棵；②如果该地区计划成活18万棵这种树苗，那么还需移植这种树苗约多少万棵？(第19题)20．(8分)一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球、8个黑球、7个红球．(1)求从袋中摸出1个球是黄球的概率；(2)现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出1个球是黑球的概率是1 3，求从袋中取出黑球的个数．21．(8分)对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，获得如下频数表．(1)求a，b的值；(2)估计这批衬衣的合格概率为________；(结果保留小数点后一位)(3)若出售1 200件衬衣，其中次品大约有多少件？22．(10分)问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①AB＝AC；②DB＝DC；③∠BAD＝∠CAD.若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？解决方案：探究△ABD与△ACD全等．问题解决：(1)当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗？________(填“全等”或“不全等”)，理由是__________________________________________________________________ ____________________________；(2)当任意选择两个等式作为已知条件时，请用列表或画树状图的方法求△ABD≌△ACD的概率．(第22题)23．(10分)在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的4个小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的3个小球上分别标有数字2，3，4，先从甲口袋中摸出一个小球，记下数字，为m，再从乙口袋中摸出一个小球，记下数字，为n.(1)请用画树状图或列表的方法表示出所有可能的结果；(2)若m，n都是方程x2－5x＋6＝0的解，则小明获胜；若m，n都不是方程x2－5x＋6＝0的解，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？24．(12分)为更好地开展党史知识进校园活动，了解学生对党史知识的掌握程度，某校随机抽取了部分学生进行党史知识测试，并将测试结果分为A优秀，B 良好，C合格，D不合格．将测试的结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：(1)本次调查了________名学生；(2)补全条形统计图(并标注人数)；(3)扇形统计图中“B良好”所占扇形圆心角的度数为______；(4)该校共有800名学生，则估计“良好”及以上的学生有________名；(5)在测试成绩为“优秀”的学生中有4名学生会干部，他们中有3名男生和1名女生，学校想从这4人中任选2人参加市党史知识竞赛活动，请用列表或画树状图的方法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．(第24题)25．(12分)某公司欲招聘一名部门经理，对甲、乙、丙三名候选人进行了三项素质测试．各项测试成绩如表格所示：(1)根据实际需要，公司将专业知识、语言能力和综合素质三项测试得分按4 ∶3 ∶1的比确定每个人的最终成绩，此时谁将被录用？(2)请重新设计专业知识、语言能力和综合素质三项测试得分的比来确定每个人的最终成绩，若重新设计的比为x∶y∶1，且x＋y＋1＝8，随机抽取满足要求的正整数x，y，求能够使得乙被录用的概率．答案一、1. B 2. D 3. C 4. C 5. A6. D7. C8. D9. D10. C二、11. 不可能事件12. 4 713. 2514.2315.1916. 80°三、17. 解：③是必然事件；④是不可能事件；①②⑤是随机事件．18. 解：这个游戏对双方公平．理由：画树状图如图所示．(第18题)一共有6种可能的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中和小于4的结果有3种，∴P(小兰胜)＝36＝12，∴P(小颖胜)＝1－12＝12.∴这个游戏对双方公平．19. 解：(1)0.9；0.9(2)①4.5②设还需移植约x万棵．根据题意，得(x＋5)×0.9＝18，解得x＝15，∴还需移植这种树苗约15万棵．20. 解：(1)因为袋中装有20个球，其中黄球有5个，所以从袋中摸出1个球是黄球的概率为520＝14.(2)设从袋中取出黑球的个数为x.由题意得8－x20－x＝13，解得x＝2.经检验x＝2是方程的解且符合题意，即从袋中取出黑球的个数为2.21. 解：(1)a＝100×0.88＝88，b＝900÷1 000＝0.9.(2)0.9(3)1 200×(1－0.9)＝120(件)． 所以次品大约有120件．22. 解：(1)全等；∵AB ＝AC ，DB ＝DC ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD (SSS)(2)根据全等的判定方法可知①②组合(SSS)或者①③组合(SAS)可证明△ABD ≌△ACD ， 列表如下：① ② ③ ① ①② ①③ ② ②① ②③ ③③①③②由表可知，共有6种可能的情况，且每种情况出现的可能性相同，其中能判定△ABD ≌△ACD 的情况有4种， ∴能判定△ABD ≌△ACD 的概率为46＝23， ∴所求概率为23.23. 解：(1)画树状图如图所示．(第23题)(2)若m ，n 都是方程x 2－5x ＋6＝0的解，则m ＝2，n ＝3或m ＝3，n ＝2或m ＝n ＝2或m ＝n ＝3.由树状图得，共有12种可能的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中m ，n 都是方程x 2－5x ＋6＝0的解的结果有4种，m ，n 都不是方程x 2－5x ＋6＝0的解的结果有2种，∴小明获胜的概率为412＝13，小利获胜的概率为212＝16.∵13>16，∴小明获胜的概率大． 24. 解：(1)50(2)C 合格的人数为50－15－10－5＝20，补全条形统计图如图①.(3)72°(4)400(5)画树状图如图②.(第24题)共有12种可能的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种，∴被选中的两人恰好是一男一女的概率为612＝12.25. 解：(1)甲的最终成绩为74×48＋58×38＋87×18＝69.625(分)，乙的最终成绩为87×48＋74×38＋43×18＝76.625(分)，丙的最终成绩为90×48＋70×38＋50×18＝77.5(分)，∵77.5＞76.625＞69.625，∴丙将被录用．(2)∵x ＋y ＋1＝8，x ，y 是正整数，∴x ＝1，y ＝6或x ＝2，y ＝5或x ＝3，y ＝4或x ＝4，y ＝3或x ＝5，y ＝2或x ＝6，y ＝1，共有6种情况．当x ＝1，y ＝6时，甲的最终成绩为74×18＋58×68＋87×18＝63.625(分)，乙的最终成绩为87×18＋74×68＋43×18＝71.75(分)，丙的最终成绩为90×18＋70×68＋50×18＝70(分)，此时乙被录用；当x ＝2，y ＝5时，甲的最终成绩为74×28＋58×58＋87×18＝65.625(分)，乙的最终成绩为87×28＋74×58＋43×18＝73.375(分)，丙的最终成绩为90×28＋70×58＋50×18＝72.5(分)，此时乙被录用；当x ＝3，y ＝4时，甲的最终成绩为74×38＋58×48＋87×18＝67.625(分)，乙的最终成绩为87×38＋74×48＋43×18＝75(分)，丙的最终成绩为90×38＋70×48＋50×18＝75(分)，此时乙不一定被录用；当x ＝4，y ＝3时，甲的最终成绩为74×48＋58×38＋87×18＝69.625(分)，乙的最终成绩为87×48＋74×38＋43×18＝76.625(分)，丙的最终成绩为90×48＋70×38＋50×18＝77.5(分)，此时乙不被录用；当x ＝5，y ＝2时，甲的最终成绩为74×58＋58×28＋87×18＝71.625(分)，乙的最终成绩为87×58＋74×28＋43×18＝78.25(分)，丙的最终成绩为90×58＋70×28＋50×18＝80(分)，此时乙不被录用；当x ＝6，y ＝1时，甲的最终成绩为74×68＋58×18＋87×18＝73.625(分)，乙的最终成绩为87×68＋74×18＋43×18＝79.875(分)，丙的最终成绩为90×68＋70×18＋50×18＝82.5(分)，此时乙不被录用，∴乙被录用的情况有2种，∴P (乙被录用)＝26＝13.。
中级经济师-经济基础知识-基础练习题-第二十五章抽样调查-二、几种基本概率抽样方法[单选题]1.某单位共有职工1500人，其中管理人员300人，其余为普通员工，现采取分层抽样法抽取容量为200的（江南博哥）样本调查员工薪酬，那么管理人员、普通员工抽取的人数分别为()A.50，150B.40，160C.100，100D.60，140正确答案：B参考解析：先按照某种规则把总体分为不同的层，然后在不同的层内独立、随机的抽取样本，这样所得到的样本称为分层样本。
如果每层中的抽样都是简单随机抽样，则称为分层随机抽样。
样本量占总体容量的比=200÷1500。
所以，抽取管理人员数量=（200÷1500）×300=40人，抽取普通员工数量=（200÷1500）×1200=160人[单选题]5.最基本的随机抽样方法是()。
A.分层抽样B.简单随机抽样C.系统抽样D.整群抽样正确答案：B参考解析：本题考查简单随机抽样。
简单随机抽样是最基本的随机抽样方法。
[单选题]6.某校高三年级学生共1000人参加考试，将1000份试卷编好号码后，从中随机抽取30份计算平均成绩，此种抽样方法为()。
A.简单随机抽样B.系统随机抽样C.分层随机抽样D.整群抽样正确答案：A参考解析：本题考查简单随机抽样。
简单随机抽样分为有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样。
本题所述是不放回简单随机抽样。
[单选题]7.对农作物单位面积产量进行调查，按平原、丘陵、山区分组来抽选样本单位，然后在不同的组内独立、随机地抽取样本，此种抽样方法为()。
A.整群抽样B.分层抽样C.多阶段抽样D.简单随机抽样正确答案：B参考解析：本题考查分层抽样。
分层抽样是先按照某种规则把总体分为不同的层，然后在不同的层内独立、随机地抽取样本。
[单选题]8.在大规模的抽样调查中，很有必要采用的调查方法是()。
A.分层抽样B.系统抽样C.整群抽样D.多阶段抽样正确答案：D参考解析：本题考查多阶段抽样。
《医学微生物学》第二十五章和第二十六章复习题及答案第二十五章病毒感染的检查方法与防治原则一、单项选择题1.进行病毒病原学检查的标本递送要求是：A.孵箱保存B.室温保存C.加入防腐剂D.冷藏速送E.加入含抗生素和蛋白质的运输培养基中冷藏速送2.细胞病变效应不包括：A.细胞圆缩.脱落B.细胞融合C.形成包涵体D.干扰现象E.胞裂解3.可用于制备病毒灭活疫苗的的理化因素是：A.紫外线B.甲醇C.甲醛D.乙醇E.乙醛4.IFN-γ的产生细胞主要是：A.活化的T细胞B.活化的B细胞C.白细胞D.成纤维细胞E.巨噬细胞5.防病毒感染最有效的方法是A.使用抗生素B.使用抗病毒化学疗剂C.使用中草药D.使用疫苗E.使用抗菌药物6.下列关于减毒活疫苗缺点的叙述，错误的是：A.偶尔可能恢复为毒力株而致病B.进入人体偶尔引起并发症C.对人体免疫系统刺激过强而引起免疫麻痹D.可能活化其他的潜伏病毒E.偶尔可能引起持续感染7.病毒的致病因素是：A.内毒素B.外毒素C.侵袭力D.表面结构E.以上均不对8.下述药物对治疗病毒感染无效的是：A.干扰素B.抗生素C.聚肌苷酸D.黄连.黄苓E.三氮唑核苷9.灭活疫苗的缺点不包括：A.需多次注射B.免疫维持时间短C.疫苗成本高D.诱导细胞免疫反应差E.可发生干扰现象降低免疫效果10.人工被动免疫最常用的制剂是：A.转移因子B.干扰素C.免疫核糖核酸D.免疫球蛋白E.白蛋白11.机体在抗病毒感染中起主要作用的是：A.干扰素B.中性粒细胞C.致敏T细胞D.中和抗体E.抗毒素二、多项选择题1.病毒在细胞内增殖的指标有：A.CPEB.干扰现象C.红细胞吸附D.细胞培养液浑浊E.免疫荧光法可检测到病毒抗原2.细胞病变包括：A.变圆B.坏死C.溶解D.脱落E.融合3.送检标本分离病毒应做到：A.冷藏.速送B.加入石碳酸防治污染C.60℃加热灭菌D.置50%甘油盐水保存运送E.加入青霉素.链霉素抗菌4.能抑制病毒核酸合成的药物是：A.金刚烷胺B.阿糖腺苷C.阿糖胞苷D.无环鸟苷E.三氮唑核苷5.临床上常取粪便标本作为检测材料的病毒是：A.甲型肝炎病毒B.狂犬病病毒C.脊髓灰质炎病毒D.乙型肝炎病毒E.EB病毒6.干扰素抗病毒作用的特点包括：A.有种属特异性B.间接作用C.发挥效应早D.广谱抗病毒作用E.低毒性三、名词解释1.CPE2.减毒活疫苗3.亚单位疫苗4.IFN四、简答题1.比较减毒活疫苗和灭活疫苗的异同？2.目前可用疫苗预防的病毒性疾病有哪些？3.其抗原性不同，人类IFN分为几种？各自有何特点？答案一、单项选择题1.E2.D3.C4.A5.D6.C7.E8.B9.E 10.D 11.C二、多项选择题1.ABCE2.ABCDE3.ABD4.BCDE5.AC6.ABCDE三、名词解释1. CPE（细胞病变效应）：在体外实验中，通过细胞培养和接种杀细胞性病毒经过一定时间后，可用显微镜观察到细胞变圆.坏死，从瓶壁脱落等现象，称细胞病变效应。
西游记第二十五章读后感唐僧的诚实与正直化解纠纷在《西游记》第二十五章中，唐僧的诚实与正直化解了一场纠纷，这个情节让我深受启发。
唐僧被魔王妖怪抓住，逼迫他写下“归降文书”，企图站在妖怪一方。
但是，唐僧拒绝屈服，说实话，保持他的正直和诚实，带领他的徒弟们团结合作，顺利地度过了这个难关。
唐僧的诚实和正直值得我们学习和尊敬。
正是因为他的坚持和勇气，他才能顺利地继续前行，完成他的圣徒使命。
唐僧的榜样，提醒我们坚持自己的信仰和原则，无论遇到什么情况都要坚持诚实和正直。
这个故事也提醒我们，纠纷可以通过诚实和正直得到解决，这是一种非常重要的价值观。
有时候，我们可能会被周围的环境和其他人的影响所迷惑，但是我们必须记住，只有诚实和正直才能让我们在世界上保持清醒和稳定的心态，避免陷入麻烦和纷争。
唐僧的经历也提醒我们，要像他一样勇敢和坚定地追求自己的梦想和目标。
在他的旅途中，唐僧一路遇到了许多旅程中的艰难险阻，但是作为真正的大师，他从不害怕挑战。
相反，他总是保持平静和深谋远虑，并始终坚信自己和他的弟子们可以克服一切困难。
最后，在《西游记》第二十五章中，唐僧的诚实和正直不仅化解了一场纠纷，而且得到了其他人的认可和尊重。
这给我们上了一个很好的课：诚实和正直不仅是一种价值观，更是一种具有很大潜力的领导力量。
如果我们能像唐僧一样成为一个值得信赖和尊敬的人，那么我们就能够成为真正的人物，帮助我们的同胞走向成功和幸福。
因此，在我看来，唐僧是一位非常具有魅力和启示性的人物。
他的诚实和正直虽然是他个人的优势，但也是他团队成功和顺利地前行的关键。
我相信，如果我们能够像唐僧一样，在面对生活的各种挑战时坚守诚实和正直，那么我们也可以过上真正有意义和成功的生活。
人教版初中数学章节目录七年级上册第一章有理数1.1正数和负数1.2有理数1.3有理数的加减法1.4有理数的乘除法1.5有理数的乘方第二章整式的加减2.1整式 2.2整式的加减第三章一元一次方程3.1从算式到方程3.2解一元一次方程（一）合并同类项与移项3.3解一元一次方程（二）—去括号与去分母3.4实际问题与一元一次方程第四章图形认识初步4.1多姿多彩的图形4.2直线、射线、线段 4.3角4.4课题学习设计制作长方体形的包装盒七年级下册第五章相交线与平行线5.1相交线5.2平行线5.3平行线的性质5.4平移第六章平面直角坐标系6.1平面直角坐标系6.2坐标方法的简单应用第七章三角形7.1与三角形有关的线段7.2与三角形有关的角7.3多边形及其内角和7.4课题学习镶嵌第八章二元一次方程组8.1二元一次方程组8.2消元8.3再探实际问题与二元一次方程组第九章不等式与不等式组9.1不等式9.2实际问题与一元一次不等式9.3一元一次不等式组9.4课题学习利用不等关系分析比赛（1）第十章数据的收集整理与描述10.1几种常见的统计图表10.2用图表描述数据10.3课题学习从数据谈节水八年级上册第十一章全等三角形11.1全等三角形11.2三角形全等的条件11.3角的平分线的性质第十二章轴对称12.1轴对称12.2轴对称变换12.3等腰三角形第十三章实数13.1平方根13.2立方根13.3实数第十四章一次函数14.1变量与函数14.2一次函数14.3用函数观点看方程（组）与不等式第十五章整式的乘除与因式分解15.1整式的乘法15.2乘法公式15.3整式的除法15.4因式分解八年级下册第十六章分式16.1分式16.1分式的运算16.1分式方程第十七章反比例函数17.1反比例函数17.1实际问题与反比例函数第十八章勾股定理18.1勾股定理18.2勾股定理的逆定理第十九章四边形19.1平行四边形19.2特殊的平行四边形19.3梯形19.4课题学习：重心第二十章数据的分析20.1数据的代表20.2数据的波动20.3课题学习体质健康测试中的数据分析九年级上册第二十一章二次根式21.1二次根式21.2二次根式乘除21.3 二次根式的加减第二十二章一元二次方程22.1一元二次方程22.2降次──解一元二次方程22.3实际问题与一元二次方程第二十三章旋转23.1图形的旋转23.2中心对称23.3课题学习图案设计第二十四章圆24.1圆24.2与圆有关的位置关系24.3正多边形和圆24.4弧长和扇形面积第二十五章概率初步25.1概率25.2用列举法求概率25.3利用频率估计概率25.4课题学习键盘上字母的排列规律九年级下册第二十六章二次函数26.1二次函数26.2用函数观点看一元二次方程26.3实际问题与二次函数第二十四章相似27.1图形的相似27.2相似三角形27.3位似第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数28.2解直角三角形第二十九章投影与视图29.1投影29.2三视图29.3课题学习制作立体模型各章节详细知识点七年级上册第一章《有理数》1.正数与负数的概念2.正数与负数的实际意义3.有理数的概念4.数轴的概念5.相反数的概念6.绝对值的概念7.有理数的大小比较8.有理数的加法法则9.有理数的减法法则10.有理数的乘法法则11.有理数的运算律12.有理数的除法法则13.有理数的混合运算法则14.有理数乘方相关概念（乘方、幂、底数、指数）15.有理数的乘方法则16.科学记数法17.近似数（有效数字）第二章《整式的加减》1.单项式及其相关概念（单项式、系数、次数）2.多项式及其相关概念（多项式、项、常数项、次数）3.整式4.同类项的概念5.合并同类项的法则6.去括号法则7.整式加减的运算法则第三章《一元一次方程》1.方程的概念2.一元一次方程的概念3.方程的解4.等式的性质5.一元一次方程的解法（步骤）6.一元一次方程的应用问题（和差倍分问题、数字问题、行程问题、工程问题、劳动力调配问题、增长率问题、商品利润问题）第四章《图形的初步认识》1.几何图形的概念2.立体图形的概念3.平面图形的概念4.立体图形的三视图5.立体图形的展开图6.点、线、面、体的概念7.直线的相关概念（直线、相交线、交点）8.两点确定一条直线9.点与直线的位置关系10.线段的中点11.两点之间线段最短12.两点之间的距离13.角及其相关概念14.角平分线15.余角的概念16.补角的概念17.余角（补角）的性质七年级下册第五章《相交线与平行线》1.相交线的相关概念（邻补角、对顶角）2.对顶角的性质3.垂线的相关概念（垂直、垂线、垂足）4.过一点画垂线5.垂线段最短6.点到直线的距离7.“三线八角”的相关概念8.平行的概念9.平行公理10.平行线的判定11.平行线的性质12.命题及其相关概念（命题、真命题、假命题）13.定理的概念14.平移的概念15.平移的性质第六章《平面直角坐标系》1.有序实数对的概念2.平面直角坐标系及其相关概念（平面直角坐标系、横轴、纵轴、原点、坐标、象限）3.特殊点坐标（象限符号、坐标轴上点的特征、坐标轴角平分线上点的特征、对称点坐标特征、平行于坐标轴的点的特征）4.直角坐标系的实际应用5.平移的坐标特征第七章《三角形》1.三角形的概念2.三角形的分类3.三角形的三边关系4.三角形的“三线”（高线、中线、角平分线）5.三角形的稳定性6.三角形的内角和定理7.三角形的外角8.三角形的外角性质定理9.多边形及其相关概念（多边形、对角线、正多边形）10.多边形的内角和定理11.多边形的外角和定理第八章《二元一次方程组》1.二元一次方程的概念2.二元一次方程（组）的解3.解二元一次方程（代入消元法、加减消元法）4.二元一次方程的应用5.三元一次方程组的概念6.三元一次方程组的解法第九章《不等式与不等式组》1.不等式的概念2.不等式的解3.解集4.一元一次不等式的概念5.不等式的性质6.一元一次不等式的解法7.一元一次不等式的应用8.一元一次不等式组的概念9.一元一次不等式组的解法第十章《数据的收集、整理与描述》1.收集数据（问卷）2.整理数据（表格）3.描述数据（条形统计图、扇形统计图）4.抽样调查的概念5.总体、个体、样本、样本容量6.简单随机抽样的概念7.直方图及其相关概念（直方图、组距、频数）8.画直方图的步骤八年级上册第十一章《全等三角形》1.全等形的概念2.全等三角形的相关概念（全等三角形、对应顶点、对应边、对应角）3.全等三角形的性质4.全等三角形的判定5.角平分线的性质6.角平分线的判定第十二章《轴对称》1.轴对称图形的概念2.关于直线对称的相关概念3.轴对称的性质4.线段垂直平分线的性质5.线段垂直平分线的判定6.作轴对称图形7.关于坐标轴对称点的特征8.等腰三角形的概念9.等腰三角形的性质10.等腰三角形的判定11.等边三角形的概念12.等边三角形的判定13.等边三角形的性质第十三章《实数》1.算术平方根的概念2.平方根的概念3.平方根的性质4.立方根的概念5.立方根的性质6.实数的概念7.实数的分类8.实数的相反数、绝对值9.实数与数轴的关系第十四章《一次函数》1.变量与常量2.函数与自变量3.函数的图像4.正比例函数的解析式5.正比例函数的图象及其性质6.一次函数的解析式7.一次函数的图象及其性质8.一次函数与一元一次方程的关系9.一次函数与一元一次不等式关系10.一次函数与二元一次方程组的关系第十五章《整式的乘除与因式分解》1.同底数的幂的乘法公式2.幂的乘方公式3.积的乘方公式整式的乘法法则4.单项式与多项式相乘的乘法法则5.多项式相乘的乘法法则6.平方差公式7.完全平方公式8.添括号法则9.同底数幂的除法法则10.单项式除单项式的法则第3 页共5 页11.多项式除以单项式法则12.因式分解的概念13.因式分解的方法（提取公因式法、公式法）八年级下册第十六章《分式》1.分式的概念2.分式的基本性质3.约分与通分4.最简分式5.分式乘除的法则6.分式加减的法则7.整数指数幂的运算性质8.分式方程的概念9.分式方程的解法10.分式方程的应用第十七章《反比例函数》1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及其性质3.反比例函数的应用第十八章《勾股定理》1.勾股定理2.勾股定理的逆定理第十九章《四边形》1.平行四边形的概念2.平行四边形的性质3.平行四边形的判定4.两条平行直线之间的距离5.矩形的概念6.矩形的判定7.矩形的性质8.菱形的概念9.菱形的性质10.菱形的判定11.正方形的概念12.正方形的性质与判定13.梯形概念14.梯形的分类15.等腰梯形的性质16.等腰绞刑的判定第二十章《数据的分析》1.平均数与加权平均数2.中位数3.众数4.方差九年级上册第二十一章《二次根式》1.二次根式的概念2.二次根式的两个重要公式3.代数式的概念4.二次根式的乘法法则5.二次根式的除法法则6.最简二次根式7.二次根式的加减法法则第二十二章《一元二次方程》1.一元二次方程的概念2.一元二次方程的根3.一元二次方程的解法（直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法）4.根的判别式5.一元二次方程根与系数的关系6.一元二次方程的应用（面积问题、连续增长问题）第二十三章《旋转》1.旋转的相关概念（旋转、旋转中心、旋转角）2.旋转的性质3.中心对称的相关概念（中心对称、对称中心、对称点）4.中心对称的性质5.中心对称图形的概念6.关于原点对称的点的坐标的特征第二十四章《圆》1.圆的相关概念（圆的两种定义、圆心、半径、弦、直径、圆弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧）2.垂径定理及其推论3.弧、弦、圆心角、弦心距之间的关系定理4.圆周角的概念5.圆周角定理及其推论6.圆内接多边形的概念7.圆内接四边形的性质8.点与圆的位置关系9.三点确定一个圆10.三角形的外接圆及外心11.直线与圆的位置关系及其相关概念12.切线的性质及判定定理13.切线长定理14.圆与圆的位置关系及其相关概念15.正多边形与圆的相关概念（正三角形与圆、正方形与圆、正六边形与圆）16.弧长公式及扇形面积公式17.圆锥及圆柱的侧面积及表面积第二十五章《概率》1.随机事件、不可能事件、必然事件的概念2.随机事件的性质3.概率的概念4.概率的计算公式5.用列表法、树形图计算概率6.频率与概率的关系第5 页共5 页。
道德经第二十五章原文及译文【原文】有物混成，先天地生，寂兮寥兮，独立而不改，周行而不殆，可以为天地母。
吾不知其名，字之曰道，强为之名曰大。
大曰逝，逝曰远。
远曰反。
故道大，天大，地大，王亦大。
域中有四大，而王居其一焉。
人法地，地法天，天法道，道法自然。
【译文】有一种物质，混然而成，先于天地而生。
它处在寂静、清澈的状态之中。
它独立存在着，不依赖于任何其他力量而改变。
它循环往复地运动不息，可以说它就是生天生地的母亲。
本人不知晓它的名字，就给它起个字叫“道”，勉强给它起个名就叫“大”。
它极其博大，无边无际，就消逝在茫茫太空了。
它消逝的地方，极远极远。
由极其远大的地方，就又返回来了。
所以，道，天，地，王也。
国中有这四大,而王只是其中的一个。
人依存于地，地依存于天，天依存于道，道依存于自然。
【启示】宇宙中万事万物，包括人类在内，都源于大道，统一于大道。
大道是宇宙的本原、本元。
这是老子《道德经》的一个根本观点。
本章的主要内容有以下六个方面:一道是一种混沌状态的物质，在天地之前就产生了。
二，它没有名字，老子给它起的名字明“大道”。
四，大道周而复始地运三，大道独立存在。
任何其他力量也改变不了。
所以，才会生天生地生万物。
动不息。
正因为它不停地在运动之中，五，任何一个有组织的地方,都存在着四样的东西，这就是道、天、地和人中。
在这里，老子所说的王,不单是指国王，也是指得道的高人。
六，讲述了人与天地大道的关系。
人依存于地，地依存于天，天依存于大道，大道只依存于自然规律。
这里连用了四个“法"字，当效法、依赖讲。
在世界哲学中，只有老子把人与天地并提，也只有中国哲学是讲天人合一-观点的。
扩展阅读：《道德经》内容简介《道德经》，又称《道德真经》、《老子》、《五千言》、《老子五千文》，是中国古代先秦诸子分家前的一部著作，为其时诸子所共仰，传说是春秋时期的老子（李耳）所撰写，是道家哲学思想的重要来源。
道德经分上下两篇，原文上篇《德经》、下篇《道经》，不分章，后改为《道经》37章在前，第38章之后为《德经》，并分为81章。
西游记第二十五章读书第二十五章读书西游记是一部中国古典小说，被广泛认为是中国四大名著之一。
第二十五章《读书》是其中的一章，通过讲述孙悟空的读书经历，展示了作者对读书教育的重要性的看法。
本文将从三个方面来探讨《西游记》第二十五章的内容，即读书的意义、读书的方法以及读书的影响。
一、读书的意义在第二十五章中，孙悟空遇到了一位智慧老人，老人鼓励孙悟空读书，并告诉他书中记载着天下奇闻异事，历代先贤的智慧和经验。
通过读书，孙悟空得以了解到世界的多样性和广阔性，拓宽了他的视野。
这表明读书不仅可以增长知识，还能够培养人的智慧和创造力，使人变得更加独立和有思考能力。
二、读书的方法《西游记》第二十五章中，老人向孙悟空介绍了读书的三种方法：逐字读、跳读和浏览。
逐字读指的是逐个字地仔细阅读，陶醉其中；跳读则是只读重点部分或关键段落，以节省时间；浏览则是快速翻阅，获取整个故事的轮廓。
这三种方法的选择与情境和需求有关，读书者可以根据自己的实际情况选择最适合的方法。
三、读书的影响读书对人的影响是深远而广泛的。
在《西游记》第二十五章中，孙悟空通过读书获得了很多知识，并将所学的东西运用到了实际中，帮助了他的朋友和自己。
这说明读书不仅可以为一个人提供知识，还能够培养人的品格，使人成为一个有价值的社会成员。
结论《西游记》第二十五章《读书》强调了读书的重要性。
通过读书，一个人可以获得知识，培养智慧和创造力，拓宽视野，提升个人素质。
在选择读书的方法时，应根据实际情况灵活运用不同的方法。
读书对人的影响是深远而广泛的，可以帮助人在实践中成长和发展。
因此，我们每个人都应该重视读书，不断提升自己的思想境界和能力。
总之，《西游记》第二十五章的内容体现了读书的重要性和好处，同时也给出了不同的读书方法和对读书的影响。
通过读书，一个人可以丰富自己的内在世界，并在实践中提升自己的能力。
因此，我们应该珍惜时间，多读好书，不断追求知识和智慧，以成为一个有价值的人。
《道德经—第二十五章》原文、译文及注释原文：有物混成，先天地生。
寂兮寥兮，独立而不改，周行而不殆，可以为天地母。
吾不知其名，强字之曰：道，强为之名曰：大。
大曰逝，逝曰远，远曰反。
故道大，天大，地大，人亦大。
域中有四大，而人居其一焉。
人法地，地法天，天法道，道法自然。
译文：有一个东西混然而成，在天地形成以前就已经存在。
听不到它的声音也看不见它的形体，寂静而空虚，不依靠任何外力而独立长存永不停息，循环运行而永不衰竭，可以作为万物的根本。
我不知道它的名字，所以勉强把它叫做“道”，再勉强给它起个名字叫做“大”。
它广大无边而运行不息，运行不息而伸展遥远，伸展遥远而又返回本原。
所以说道大、天大、地大、人也大。
宇宙间有四大，而人居其中之一。
人取法地，地取法天，天取法“道”，而道纯任自然。
注释：1、物：指“道”。
混成：混然而成，指浑朴的状态。
2、寂兮寥兮：没有声音，没有形体。
3、独立而不改：形容“道”的独立性和永恒性，它不靠任何外力而具有绝对性。
4、周行：循环运行。
不殆：不息之意。
5、天地母：一本作“天下母”。
母，指“道”，天地万物由“道”而产生，故称“母”。
6、强字之曰道：勉强命名它叫“道”。
7、大：形容“道”是无边无际的、力量无穷的。
8、逝：指“道”的运行周流不息，永不停止的状态。
9、反：另一本作“返”。
意为返回到原点，返回到原状。
10、人亦大：一本作“王亦大”，意为人乃万物之灵，与天地并立而为三才，即天大、地大、人亦大。
11、域中：即空间之中，宇宙之间。
12、道法自然：“道”纯任自然，本来如此。
道德经简介：《道德经》是春秋时期老子（李耳）的哲学作品，是中国历史上最伟大的名著之一，是道家哲学思想的重要来源。
道德经分上下两篇。
对传统哲学、科学、政治、宗教等产生了深刻影响。
文本以哲学意义之“道德”为纲宗，论述修身、治国、用兵、养生之道，而多以政治为旨归，乃所谓“内圣外王”之学，文意深奥，包涵广博，被誉为万经之王。
2022年注册会计师《会计》章节训练营第二十五章资产负债表日后事项日后事项的定义单项选择题下列有关资产负债表日后事项的表述中，正确的是（）。
A.资产负债表日后事项涵盖期间所发生的全部事项B.资产负债表涵盖期间所发生的有利于资产负债表日财务状况的事项C.资产负债表涵盖期间所发生的不利于资产负债表日财务状况的事项D.资产负债表日至财务报告批准报出日之间发生的需要调整或说明的有利或不利事项正确答案：D答案解析：资产负债表日后事项包括有利事项和不利事项，但是并不包括发生的全部事项。
日后事项涵盖期间发生全部事项中有些可以作为发生当期的正常事项处理，只有需要对报告年度报表进行调整或在报告年度报表附注中进行说明的事项才是资产负债表日后事项。
单项选择题下列有关资产负债表日后事项的说法中，正确的是（）。
A.资产负债表日后事项，是指资产负债表日至财务报告批准报出日之间发生的有利事项B.只要是在日后期间发生的事项都属于资产负债表日后事项C.如果日后期间发生的某些事项对报告年度没有任何影响则不属于日后事项D.财务报告批准报出日是指董事会或类似机构实际对外公布财务报告的日期正确答案：C答案解析：选项A，日后事项既包括有利事项也包括不利事项，有利或不利事项是指资产负债表日后发生的对企业财务状况和经营成果具有一定影响的事项；选项B，日后期间会发生一些对报告年度没有影响的事项，属于当年正常事项；选项D，财务报告批准报出日是指董事会或类似机构批准财务报告报出的日期，不是实际报出日。
日后事项的涵盖的期间单项选择题某公司董事会批准的2×20年的财务报告批准报出日为2×21年4月30日，所得税汇算清缴日为4月15日，该公司2×20年度的资产负债表日后期间为（）。
A.2×21年1月1日至2×21年4月15日B.2×21年1月1日至2×21年4月30日C.2×20年12月31日至2×21年4月30日D.2×20年12月31日至2×21年4月15日正确答案：B答案解析：资产负债表日后事项涵盖的期间是自资产负债表日次日起至财务报告批准报出日止的一段时间；具体是指报告期间下一期间的第一天至董事会或类似机构批准财务报告对外公布的日期。
25.3 用频率估计概率基础知识·细解读知识点利用频率估计概率1 频率与概率（1）试验中，某事件发生的次数与总次数的比值，称为频率；（2）随着试验次数的增加，这个事件发生的频率呈现出稳定性，逐渐稳定于某一数值，可以用这一事件发生的频率估计这个事件发生的概率.注意：（1）试验得出的频率只是概率的近似值；（2）大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.例】在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个.小颖做摸球试验.她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多B.从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率约为0.6C.当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m一定等于1200D.这个盒子中的白球一定有24个解析：由表格中数据可知，选项A错误；观察表格发现，随着试验次数逐渐增多，摸到白球的频率稳定在0.6周围，故概率约为0.6，选项B正确；因为用频率估计概率，得到的是估计值，而不是确定的数，所以选项C，D错误.答案：B特别提醒（1）当一次试验中，可能出现的结果有无限多个时，一般通过统计频率来估计概率；（2）对于等可能事件可以用列举法通过公式求概率，也可用频率估计概率；对于非等可能事件（如投篮命中率等），则只能用频率估计概率；（3）对一个随机事件A，用频率估计的概率()P A不可能小于0，也不可能大于1.特别提醒（1）用频率估计概率的大小时，试验一定要在相同的条件下进行，试验的次数越多，得到的频率值就越接近概率，规律就越明显，此时可以用频率的稳定值估计事件发生的概率；（2）事件A发生的概率可以用大量重复试验中事件A发生的频率的值来估计，有限的几次试验得到的频率值不太可能为概率，需用大量重复试验的频率去估计概率.应用能力·巧提升题型一 用频率估计概率的简单应用角度1 利用频率估计概率审题关键：用频率估计概率时，注意寻找频率的稳定值.解析：根据用频率去估计概率，易知在相同条件下大量重复试验中，稳定的频率值可近似代替该事件的概率.3000粒油菜籽发芽试验中发芽的频率为0.949，结果精确到0.01为0.95，即为所求的概率. 答案：0.95 解后反思利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定值附近摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率的稳定性，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.角度2 由频率估计的概率求数量【例2】儿童节期间，某公园游乐场设置了一种游戏.游戏规则如下：在一个装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，随机摸出一个球，摸到一个红球就得到一个玩具.已知参加这种游戏的儿童有40000人，公园游乐场发放玩具8000个. （1）求参加此次活动得到玩具的频率； （2）请你估计袋中白球的数量接近多少.审题关键：求出频率，利用频率估计概率后估计袋中白球的数量. 破题思路：（1）根据频率的含义计算；（2）在大量重复试验中，频率可以估计概率，再利用概率公式求袋中白球的数量. 解：（1）参加此项游戏得到玩具的频率为80001400005=. （2）设袋中共有x 个球，则摸到红球的概率P （红球）8x =，所以815x =，解得x =40. 所以估计袋中白球接近40-8=32（个）.解后反思本例先利用大量重复试验中的频率估计出概率，再由概率公式建立方程，从而求得某些量的估计值，这种解题的思想，在实际生活中有广泛的应用，注意掌握该方法.题型二 用频率估计概率的综合应用【例3】元旦期间，某玩具超市设置了一个如图25.3-1所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动.顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品（若指针落在分界处，则重新转动，且不计入转盘转动次数），下表是该活动的一组统计数据：（1）计算并完成表格；（2）请估计，当n 很大时，落在“铅笔”的频率将会接近多少（精确到0.1）？ （3）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？（4）在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少（精确到1°）？审题关键：用频率估计出概率，再由概率求圆心角度数. 破题思路：利用频率的定义求（1），根据频率的稳定情况求概率，把转盘看成一个扇形图，利用概率知识求相应扇形的圆心角度数. 解：（1）由频率的定义可得，表中数据从左到右依次为0.66，0.72，0.70，0.71，0.70，0.69. （2）由（1）可知，当n 很大时，落在“铅笔”的频率将会接近0.7. （3）由频率估计概率可得，获得铅笔的概率约是0.7. （4）设标有“铅笔”区域的扇形的圆心角的度数为x ，则有0.7360x≈︒，解得252x ≈︒. 解后反思在做较为复杂的文字信息题时，先从题目中提取有用的信息，将问题转化成一个简单的数学问题，如本例先由频率估计出概率，再应用概率求解其他问题.变式训练1.为了得到一枚图钉被抛起落地后钉尖触地的机会有多大，某班同学通过试验得到了如下统计数据：（1）分别计算不同试验次数下钉尖触地的频率（结果精确到0.001）；（2）利用频率估计钉尖触地的概率（精确到0.01）.2.（贵州贵阳中考）现有50张大小、质地及背景图案均相同的《西游记》人物卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽.通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3，估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________.3.（辽宁锦州中考）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有71次摸到红球.请你估计这个口袋中红球的数量为________个.变式训练4.某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”“花开富贵”“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物10000张奖券的抽奖结果如下：（1）试估计“紫气东来”奖券出现的概率；（2）请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物券，哪种方式更合算？并说明理由.真题解密·探源头高效训练·速提能【基础达标】1.（湖北宜昌中考）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法来估算正面朝上的概率，其试验次数分别为10次、50次、100次、200次，其中试验相对科学的是（）A.甲组B.乙组C.丙组D.丁组2.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）A.16个B.20个C.25个D.30个3.某人在做掷硬币试验时，投掷m次，正面朝上有n次，即正面朝上的频率nPm，则下列说法正确的是（）A.P一定等于1 2B.P一定不等于1 2C.多投一次，P更接近1 2D.投掷次数逐渐增加，P稳定在12附近4.为了解一种玉米种子的发芽情况，某市一农科站在相同的试验条件下，做了大量这种种子发芽的试验，通过试验估计这种种子的发芽率为97%，那么100kg这种玉米种子中约有________kg能够发芽.5.（江苏镇江中考）一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球试验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回、搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是20%，则袋中约有________个红球.6.事件A发生的概率为120，大量重复做这种试验，平均每50000次试验，事件A发生的次数是________.7.在一个不透明的口袋中，装有除颜色外无其他差别的4个白球和n个黄球.某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出一个球记下它的颜色，放回摇匀，为一次摸球试验.记录摸球的次数与摸出白球的次数的列表如下：根据列表可以估计出n的值为________.【能力提升】8.甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了统计图如图25.3-2所示，则符合这一结果的试验可能是（）A.掷一枚质地均匀的正六面体的骰子，出现1点的概率B.从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任取1个球（所有球除颜色外其他都相同），取到红球的概率C.抛一枚硬币，出现正面朝上的概率D.任意写一个整数，它能被2整除的概率9.（内蒙古呼和浩特中考）我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率.随着时代发展，现在人们依据频率估计概率这一原理，常用随机模拟的方法对圆周率π进行估计.用计算机随机产生m个有序数对（x，y）（x，y是实数，且0≤x≤1，0≤y≤1），在平面直角坐标系中，它们对应的点全部在某一个正方形的边界及其内部.如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个，则据此可估计π的值为________.（用含m，n的式子表示）10.在一个不透明的袋子中，装有1个红球、1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别.（1）当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回.大量重复该试验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是________.（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如图25.3-3.根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率.【拓展创新】11.（广西百色中考）某校在践行“社会主义核心价值观”演讲比赛中，对名列前20名的选手的综合分数m进行分组统计，结果如下表所示：分组m<67m<78m<89m910（2）若用扇形图（图25.3-4）来描述，求分数在8≤m <9内所对应的扇形图的圆心角大小； （3）将在第一组内的两名选手记为1A ，2A ，在第四组内的两名选手记为1B ，2B ，从第一组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈，求第一组至少有1名选手被选中的概率（用树状图或列表列出所有可能的结果）.本书参考答案25.3 用频率估计概率 应用能力·巧提升 1.解：（1）钉尖触地的频率依次是0.456，0.458，0.464，0.463，0.463.（2）随着试验次数的增加，钉尖触地的频率在0.46附近波动，因此可以估计这种图钉落地后钉尖触地的概率是0.46.2.15 解析：设绘有孙悟空这个人物的卡片张数为x ，得0.350x=，解得15x =. 所以绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为15. 3.7 解析：因为共摸了100次球，发现有71次摸到红球，所以估计摸到红球的概率为0.7，所以估计这个口袋中红球有100.77⨯=（个）.4.解：（1）由表中数据可知，“紫气东来”奖券出现的频率为5000.0510000=，所以“紫气东来”奖券出现的概率估计值为0.05.（2）抽奖更合算理由如下：若抽奖，则平均每张奖券获得的购物券金额为100500501000202000065001410000⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.因为14>10，所以选择抽奖更合算. 高效训练·速提能 1.D 解析：甲组试验了10次，乙组试验了50次，丙组试验了100次，丁组试验了200次，试验次数多的频率往往接近事件发生的概率，故选D.2.A 解析：设红球有x 个，根据题意，得40.24x =+，解得16x =. 3.D 解析：利用频率估计概率时，只有做大量重复试验，才能用频率估计概率硬币只有正、反两面，所以掷时正面朝上的概率为12，投掷次数逐渐在增加，P 稳定在12附近.4.97 解析：10097%97⨯=（kg ）.5.6 解析：因为多次重复摸球试验后，摸到红球的频率逐渐稳定在20%，说明红球的个数大约占总数的20%，所以红球的个数约为3020%6⨯=.6.2500 解析：150000250020⨯=（次） 7.16 解析：观察表格，得通过多次摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在0.199左右.所以摸出白球的概率约为0.199，所以40.1994n =+，且n 为正整数，所以n 约为16. 8.B 解析：根据题图可知，试验结果的频率在0.33附近波动，即其概率0.33P ≈，计算四个选项中事件的概率，只有选项B 符合要求故选B.9.4nm解析：根据题意，点的分布如答图25.3-1所示. 则有141nm π=，所以4n m π=.故答案为4n mπ=.10.解：（1）相同（2）2（3）由树状图可知，共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同其中两次摸出的球颜色不同（记为事件A）的结果共有10种，所以105 (A)126 P==.11.解：（1）202729a=---=.（2）设圆心角度数为x，9:20:360x=︒，所以162x=︒.（3）如答图25.3-2所示.设第一组中至少有1名选手被选中的概率为P，则105126P==，所以第一组至少有1名选手被选中的概率是5 6 .教材参考答案25.3 用频率估计概率练习（第144页）1.解：（1）投中频率依次为0.56，0.60，0.52，0.52，0.49，0.51，0.50.（2）0.52解：掷一次骰子时“点数是1”的概率为1 6 .练习（第147页）解：发芽种子频率，由上到下依次为0.940，0.935，0.940，0.845，0.870，0.883，0.891，0.898，0.904，0.901.发芽种子频率趋近于0.90，故1000kg种子中大约有10000.90900(kg)⨯=能发芽，则不能发芽的大约有100kg.习题25.3（第147页）1.解：事件发生的频率一般会稳定在某个常数附近，即在该事件发生的概率附近波动.2.略3.解：（1）表格中“射中9环以上”的频率依次为0.75，0.83，0.78，0.79，0.80，0.80（2）这些频率都稳定在0.8左右（3）P（射中9环以上）0.8≈.4.（1）略.可以动手试验，填写数值.（2）当d不变、减小时，概率p减小；当不变、d减小时，概率p增大.5.解：有道理因为捕获的n条鱼是随机的，做好记号放回鱼塘之后，它们会均匀地分布在鱼塘中依题意设鱼塘中有x条鱼，则b na x=，即anxb=，故有道理.6.解：设刚出生时共有这种动物a只，则20年后存活的还有0.8a只，又过5年还存活0.5a 只，再过5年还剩0.3a只存活.（1）现年20岁的这种动物活到25岁的概率为0.55 0.88aa=.（2）从25岁活到30岁的概率为0.33 0.55aa=.活动1上述比与A，B，C三个区域的面积比相等.2221 ()69 P Wππ⨯==⨯.活动2没有关系试验略，每个同学抽到黑桃的概率约为1 3 .复习题25（第152页）1.解：（1）P（字母为“h”）1 11 =.（2）P（字母为“a”）2 11 =.（3）P（字母为元音字母）4 11 =.（4）P （字母为辅音字母）711= 2.解：A 盘停止时指针指向红色的概率与B 盘停止时指针指向红色的概率相同理由如下：设A 盘停止时指针指向红色为A 事件，B 盘停止时指针指向红色为B 事件，则41()123P A ==，1()3P B =，所以()()P A P B =. 3.解：（1）P （随机抽取一张是王牌）215427==. （2）P （随机抽取一张是Q ）425427==. （3）P （随机抽取一张是梅花）1354=. 4.解：P （颜色搭配正确）12=， P （颜色搭配错误）12=. 5.解：（1）从左向右依次是0.68，0.74，0.68，0.69，0.68，0.70（2）获得铅笔的概率约是0.7.6解：同时掷两枚骰子，等可能的结果共有36种，其中点数的和小于5的有6种，即（1，1），（2，2），（3，1），（1，3），（2，1），（1，2），所以P （点数的和小于5）61366==. 7.解：（1）P （包中没有混入M 号衬衫）750=. （2）P （包中混入M 号衬衫数不超过7）73101554505++++=. （3）P （包中混入M 号衬衫数超过10）350=. 8.解：用树状图表示如答图25-1所示，所以两个人获胜的概率均为3193=.9.解：用树状图表示如答图25-2所示，所以P （这三张图片恰好组成一张完整风景图片）31279==.10.解：两个电子元件的状态有以下四种可能：通电，通电；通电，断开；断开，通电；断开，断开.所以P（A，B之间电流能够正常通过）14=，P（C，D之间电流能够正常通过）34=.11.解：先抓a只鸟做上记号，然后放回，过一段时间后，再抓b只鸟，如果在这b只鸟中有c只鸟是有记号的，则估计这个森林公园共有abc只鸟.。
