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本讲知识结构本讲测试1如图2—1，AB 是⊙O 的直径，C 为半圆上一点,CD⊥AB 于D ，若BC=3，AC=4,则AD∶CD∶BD 等于（ )图2-1A.4∶6∶3 B 。
6∶4∶3 C.4∶4∶3 D 。
16∶12∶9思路解析:由AB 是⊙O 的直径，可得△ABC 是直角三角形，由勾股定理知AB=5，又CD⊥AB，根据射影定理就有AC 2=AD·AB，于是AD=516。
同理，BD=59，CD=512，据此即得三条线段的比值。
答案:D2如图2-2,在半圆O 中，AB 为直径,CD⊥AB，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，则图中相似三角形一共有( )图2-2A.3对 B 。
4对 C.5对 D 。
6对思路解析:由题设，△ABC 是直角三角形,CD⊥AB ，可知△ACD∽△ABC∽△CBD，这就是3对。
又AF 平分∠CAB，所以有△CAF∽△DAE，△CAE∽△BAF，这样一共有5对三角形相似。
答案:C3如图2—3，在⊙O 中,AB 为直径,AD 为弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，且AD=DC,则sin∠ACO 等于（ ） A.1010B 。
102 C 。
55 D 。
42图2-3思路解析：连结BD 、DO,过O 作OE⊥AC 于E,由AB 为直径,有BD⊥AC,由△ABC 是直角三角形，AD=CD,得△ABC 是等腰直角三角形，然后设AE=x,用x 表示出CE ，进一步表示出OC,利用三角函数定义即可得到所求的值.答案:A4如图2—4是赛跑跑道的一部分，它由两条直道和中间半圆形弯道组成，若内外两条跑道的终点在同一直线上，则外跑道的起点必须前移才能使两跑道有相同的长度。
如果跑道每道宽为1.22米，则外跑道的起点应前移___________米（π取3.14,结果精确到0。
01米）。
图2-4思路解析:计算出内外跑道的长度差即可. 答案：3.835如图2-5，已知△ABC 中，∠ABC 的平分线交AC 于F ，交△ABC 的外接圆于E,ED 切圆于E ，交BC 的延长线于D 。
两条直线的位置关系（基础）知识讲解撰稿：孙景艳审稿：吴婷婷【学习目标】1. 初步理解同一平面内的两直线的位置关系，初步认识相交线和平行线；2.了解对顶角、补角、余角，知道对顶角相等、等角的余角相等、等角的补角相等，并能解决一些实际问题；3. 理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；4. 理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.【要点梳理】要点一、同一平面内两条直线的位置关系同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行.要点诠释：（1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b.（2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. （3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点.两条直线相交只有一个交点.要点二、对顶角、补角、余角1.余角与补角（1）定义：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．2.对顶角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．要点诠释：(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.（3）邻补角一定互为补角，但互为补角的角不一定是邻补角.（2）性质：对顶角相等．要点三、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如下图．要点诠释：(1)记法：直线a 与b 垂直，记作：a b ⊥；直线AB 和CD 垂直于点O ，记作：AB⊥CD 于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：90AOC ∠=°垐垐?噲垐?判定性质CD ⊥AB ． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、两条直线的位置关系1.如图，在正方体中：（1）与线段AB平行的线段_________；（2）与线段AB相交的线段______；（3）与线段AB既不平行也不相交的线段______．【答案】（1）CD、A1B1、C1D1；（2）BC、B B1、A1A、AD；（2）A1D1、D1D、B1C1、CC1．【解析】（1）与线段AB平行的线段的种类为：①直接与AB平行，②与平行于AB的线段平行．（2）与线段AB相交的线段的种类为：①交于B点的线段，②交于A点的线段．（3）用排除法，在正方体中除了线段AB外还有11条棱，在这11条棱中排除（1）（2）中的线段，便得到与线段AB既不平行也不相交的线段．【总结升华】考查平行线与相交线的定义．类型二、对顶角、补角、余角2．如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数．【思路点拨】观察图形可以得到一些角的和差关系．【答案与解析】解：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＝65°，∴∠2＝180°－65°＝115°．又∵∠3＝∠1＝65°，同理，∠4＝∠2＝115°．综上得，∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．【总结升华】两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角．举一反三：【变式】如图所示，两直线相交，已知∠l与∠2的度数之比为3:2，求∠1与∠2的度数．【答案】解：设∠1与∠2的度数分别为3x和2x．根据题意，得3x+2x＝180°．解这个方程得x＝36°，所以3x＝108°，2x＝72°．答：这两个角的度数分别是108°，72°．类型三、垂线3．下列语句中，正确的有()①一条直线的垂线只有一条．②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．③两直线相交，则交点叫垂足．④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).A．点P到直线l的垂线的长度.B．点P到直线l的垂线段.C．点P到直线l的垂线段的长度.D．点P到直线l的垂线.【答案】C4. (山东济宁)如图所示，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠COE＝55°．则∠BOD的度数为().A．40°B．45°C．30°D．35°【答案】D【解析】要求∠BOD，只要求出其对顶角∠AOC的度数即可．为此要寻找∠AOC与∠COE 的数量关系．因为EO⊥AB，所以∠AOE＝90°，所以∠AOC＝∠AOE－∠COE＝90°－55°＝35°，所以∠BOD＝AOC＝35°．【总结升华】图形的定义既可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质.【高清课堂：相交线403101经典例题3】举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______.【答案】130°．5.如图所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短?画出图来，并说明原因．【思路点拨】两点之间线段最短，而点线之间垂线段最短．【答案与解析】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．所以在点D沿CD开沟，才能使沟最短，原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短．【总结升华】“如何开沟、使沟最短”，实质上是如何过C点向AB引线段，使线段最短，这就是最熟悉的垂线的性质的应用．举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．。
2.切线的判定第三讲直线与圆的位置关系一、知识扫描（一人直线与圆的位置关系设0O的半径为厂，圆心O到直线/的距离为d,那么直线和圆的位置关系如下表:位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆瀚公共点. 直线/与①0相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点.dso直线占00相切相交直线与圆有两个公共点J直线叫做圆的割线.d "Q直线/与00相交（二：k切线的性质及判定U切线的性质（1）定理：圆的切线垂直于过切点的半径.推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.（2）注意：这个怎理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆①过圆心，过切点=＞垂直于切线.初过圆心，过切点那么AB丄/・②过圆心，垂直于切线=＞过切点.A3过圆心，A3丄/，那么AB过切点M.③过切点，垂直于切线=＞过圆心.AB丄儿AB过切点那么佔过圆心・（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线;（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意：泄理的题设是①“经过半径外端"，②“垂直于半径"，两个条件缺一不可: 怎理的结论是"直线是圆的切线"・因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂宜在圆上.ZC = 90°, D.无法确左3>切线长和切线长定理（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长.（2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的 连线平分两条切线的夹角.二、考点聚焦考点题型1、直线与圆位置关系确实定例1、在RtAABC 中，ZC = 90°, AC = 12cm> BC = 16cm ・以点C 为圆心，广为半径的圆 和有怎样的位置关系？为什么？例2、如图，G»O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，ZAOB = 45%点P 在数轴上 运动，假设过点P 且与OA 平行的直线与0O 有公共点，设OP = x,那么x 的取值范囤是A. OWxwQB ・-迥冬天冬忑C ・ ~1<X <1D ・ x>>/2例3、如下左图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC0O 的直径，那么直线CD 与0O 的位置关系为（A.相藹B.相切C.相交如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上的一点，过点D作OO的切线AD, BA丄DA,心4 44,那么直线CE与以点。
中考数学重难点专题讲座第二讲图形位置关系【前言】在中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。
在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。
综合整个2010一模来看，18套题中有17套都是很明确的采用圆与三角形问题的一证一算方式来考察。
这个信息告诉我们中考中这一类题几乎必考。
由于此类题目基本都是上档次解答题的第二道，紧随线段角计算之后，难度一般中等偏上。
所以如何将此题分数尽揽怀中就成为了每个考生与家长不得不重视的问题。
从题目本身来看,一般都是采取很标准的两问式.第一问证明切线,考察切线判定定理以及切线性质定理及推论,第二问通常会给定一线段长度和一角的三角函数值,求其他线段长，综合考察圆与三角形的知识点。
一模尚且如此,中考也不会差的太远。
至于其他图形位置关系,我们将会在后面的专题中涉及到.所以本讲笔者将从一模真题出发，总结关于圆的问题的一般思路与解法。
第一部分真题精讲【例1】(2010，丰台，一模)已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE=2，tanC=12，求⊙O的直径．OEDCBA【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。
对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。
所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。
至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。
利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。
初中数学平面图形的位置关系基础题
一、单项选择题(共6道，每道16分)
1.在同一个平面内，四条直线的交点个数不能是（）
个个
个个
答案：A
试题难度：三颗星知识点：相交线(直线相交求交点个数)
2.以下说法中，错误的选项是（）
A.通过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行
B.通过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C.在同一平面内，两条不平行的直线是相交直线
D.经过一点有无数条直线与已知直线相交
答案：B
试题难度：三颗星知识点：平行线公理及推论
3.如图，在三角形ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，那么以下结论正确的个数为（）
①AC与BC相互垂直；②CD与CB相互垂直；③点B到AC的垂线段是线段AC；④点C到AB的距离是线段CD；⑤线段AC的长度是点A到BC的距离；⑥线段AC是点A到BC的距离
个个
个个
答案：A
试题难度：三颗星知识点：垂直
4.如下图，△ABC中AD⊥BC，AE是△ABD的角平分线，那么以下线段中最短的是（）答案：C
试题难度：三颗星知识点：垂线段最短
5.下面各图中的∠1与∠2是对顶角的是（）
A. B.
C. D.
答案：C
试题难度：三颗星知识点：对顶角
6.如图，已知AB⊥CD，垂足为O，EF过O点，那么图中∠FOB与∠EOD的关系是（）
A.∠FOB+∠EOD=180°
B.∠FOB+∠EOD=90°
C.∠FOB=∠EOD
D.无法确定
答案：B
试题难度：三颗星知识点：余角和补角。
中考数学重难点专题讲座第二讲 图形位置关系【前言】 在中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。
在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。
综合整个一模来看，18套题中有17套都是很明确的采用圆与三角形问题的一证一算方式来考察。
这个信息告诉我们中考中这一类题几乎必考。
由于此类题目基本都是上档次解答题的第二道，紧随线段角计算之后，难度一般中等偏上。
所以如何将此题分数尽揽怀中就成为了每个考生与家长不得不重视的问题。
从题目本身来看,一般都是采取很标准的两问式.第一问证明切线,考察切线判定定理以及切线性质定理及推论,第二问通常会给定一线段长度和一角的三角函数值,求其他线段长，综合考察圆与三角形的知识点。
一模尚且如此,中考也不会差的太远。
至于其他图形位置关系,我们将会在后面的专题中涉及到.所以本讲笔者将从一模真题出发，总结关于圆的问题的一般思路与解法。
第一部分 真题精讲【例1】(，丰台，一模)已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊙BC 于点E ． （1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）若DE =2，tan C =12，求⊙O 的直径．【思路分析】 本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。
对于此题来说，自然连接OD ，在△ABC 中OD 就是中位线，平行于BC 。
所以利用垂直传递关系可证OD ⊥DE 。
至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。
利用垂直平分关系得出△ABC 是等腰三角形，从而将求AB 转化为求BD ，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。
【解析】A（1）证明：联结OD ． ∵ D 为AC 中点， O 为AB 中点，∴ OD 为△ABC 的中位线． ∴OD∥BC． ∵ DE⊥BC， ∴∠DEC=90°.∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE 于点D. ∴ DE 为⊙O 的切线． （2）解：联结DB ． ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°． ∴DB⊥AC． ∴∠CDB=90°. ∵ D 为AC 中点， ∴AB=AC． 在Rt△DEC 中，∵DE=2 ，tanC=12， ∴EC=4tan DE C=. （三角函数的意义要记牢） 由勾股定理得：DC=在Rt△DCB 中，BD=tan DC C ⋅= BC=5.∴AB=BC=5. ∴⊙O 的直径为5.【例2】（，海淀，一模） 已知：如图，O 为ABC ∆的外接圆，BC 为O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D .（1）求证：DA 为O 的切线； （2）若1BD =，1tan 2BAD ∠=，求O 的半径.【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。
题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA 平分∠CBF 。
看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。
用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。
本题中，连OA 之后发现∠ABD=∠ABC ，而OAB 构成一个等腰三角形从而∠ABO=∠BAO ，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。
第二问依然是要用角的传递，将已知角∠BAD 通过等量关系放AFC在△ABC 中，从而达到计算直径或半径的目的。
【解析】证明：连接AO .∵ AO BO =， ∴ 23∠=∠. ∵ BA CBF ∠平分， ∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ .∴ DB ∥AO . （得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行） ∵ AD DB ⊥,∴ 90BDA ∠=︒.∴ 90DAO ∠=︒. ∵ AO 是⊙O 半径，∴ DA 为⊙O 的切线. （2）∵ AD DB ⊥,1BD =，1tan 2BAD ∠=， ∴ 2AD =.由勾股定理，得AB ∴sin 4∠=.（通过三角函数的转换来扩大已知条件） ∵ BC 是⊙O 直径，∴ 90BAC ∠=︒.∴ 290C ∠+∠=︒. 又∵ 4190∠+∠=︒, 21∠=∠,∴ 4C ∠=∠. （这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin ∠BAD ） 在Rt △ABC 中，sin AB BC C ==sin 4AB∠=5. ∴O 的半径为52.【例3】（，昌平，一模）FC已知：如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B在⊙O 上，且.OA AB AD == （1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且8BE =，tan BFA ∠= 求⊙O 的半径长.【思路分析】 此题条件中有OA=AB=OD ，聪明的同学瞬间就能看出来BA 其实就是三角形OBD 中斜边OD 上的中线。
那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出∠OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。
事实上如果看不出来，那么连接OB 以后像例2那样用角度传递也是可以做的。
本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。
利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。
近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。
【解析】（1）证明：连接OB .∵,OA AB OA OB ==，∴OA AB OB ==. ∴ABO ∆是等边三角形.∴160BAO ∠=∠=︒. ∵AB AD =，∴230D ∠=∠=︒.∴1290∠+∠=︒.∴DB BO ⊥ . （不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已） 又∵点B 在⊙O 上， ∴DB 是⊙O 的切线 .（2）解：∵CA 是⊙O 的直径， ∴90ABC ∠=︒.在Rt ABF △中，tan AB BFA BF ∠==,∴设,AB =则2BF x =，∴3AF x = . ∴23BF AF = . （设元的思想很重要） ∵,34C E ∠=∠∠=∠,∴BFE ∆ ∽ AFC ∆. ∴23BE BF AC AF == .CC∵8BE =, ∴12AC = .∴6AO =.………………………………………5分【例4】（，密云，一模）如图，等腰三角形ABC 中，6AC BC ==，8AB =．以BC 为直径作O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是O 的切线； （2）求sin E ∠的值．【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。
欲证EF 是切线，则需证OD 垂直于EF ，但是本题中并未给OD 和其他线角之间的关系，所以就需要多做一条辅助线连接CD ，利用直径的圆周角是90°，并且△ABC 是以AC,CB 为腰的等腰三角形，从而得出D 是中点。
成功转化为前面的中点问题，继而求解。
第二问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT 三角形当中构造代数关系，通过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。
【解析】（1）证明：如图，连结CD ，则90BDC ∠=︒．∴CD AB ⊥． ∵ AC BC =，∴AD BD =． ∴D 是AB 的中点． ∵O 是BC 的中点， ∴DO AC ∥． ∵EF AC ⊥于F ． ∴EF DO ⊥．∴EF 是O 的切线．( 2 ) 连结BG ，∵BC 是直径, ∴90BGC CFE ∠=︒=∠．（直径的圆周角都是90°）DFGCO B E A∴BG EF ∥．∴sin FC CGE EC BC∠==． 设CG x =，则6AG x =-．在Rt BGA △中，222BG BC CG =-． 在Rt BGC △中，222BG AB AG =-．（这一步至关重要，利用两相邻RT △的临边构建等式，事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法）∴()2222686x x -=--．解得23x =．即23CG =．在Rt BGC △中．∴ 213sin 69CG E BC ∠===．【例5】2010，通州，一模如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E .（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长.【思路分析】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力。
判断出DG 与圆相切不难，难点在于如何证明。
事实上，除本题以外，门头沟，石景山和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明。
这类题目最重要是利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角形相似。
第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解。
【解析】G FEDCBA（1）结论：GD 与O 相切证明：连接AG⊙点G 、E 在圆上， ⊙AG AE =⊙四边形ABCD 是平行四边形， ⊙AD BC ∥ ⊙123B ∠=∠∠=∠， ⊙AB AG = ⊙3B ∠=∠⊙12∠=∠ （做多了就会发现，基本此类问题都是要找这一对角，所以考生要善于把握已知条件往这个上面引） 在AED ∆和AGD ∆ 12AE AG AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊙AED AGD ∆∆≌ ⊙AED AGD ∠=∠ ⊙ED 与A 相切 ⊙90AED ∠=︒ ⊙90AGD ∠=︒ ⊙AG DG ⊥⊙GD 与A 相切（2）⊙5GC CD ==，四边形ABCD 是平行四边形 ⊙AB DC =，45∠=∠，5AB AG == ⊙AD BC ∥ ⊙46∠=∠⊙1562B ∠=∠=∠⊙226∠=∠ （很多同学觉得题中没有给出特殊角度，于是无从下手，其实用倍分关系放在RT 三角形中就产生了30°和60°的特殊角） ⊙630∠=︒⊙10AD = .【总结】 经过以上五道一模真题，我们可以得出这类题型的一般解题思路。
要证相切，做654321GF EDCBA辅助线连接圆心与切点自不必说，接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离，即“连半径，证垂直”。
近年来中考基本只要求了这一种证明切线的思路，但是事实上证明切线有三种方式。
