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运筹与优化课程设计论文一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握运筹学的基本概念，如线性规划、整数规划等，并理解其在现实生活中的应用。
2. 培养学生运用数学模型解决实际问题的能力，能够根据问题特点构建合适的运筹模型。
3. 让学生掌握优化算法的基本原理，如单纯形法、分支定界法等，并了解其适用范围。
技能目标：1. 培养学生运用运筹学方法分析、解决问题的能力，提高逻辑思维和创新能力。
2. 让学生熟练运用相关软件（如Excel、Lingo等）进行模型求解，提高数据处理和计算能力。
3. 培养学生团队协作能力，学会与他人合作共同解决问题。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对运筹学及其应用的兴趣，激发学习热情，形成积极向上的学习态度。
2. 培养学生面对复杂问题时，保持冷静、理性分析的心态，形成解决问题的自信心。
3. 让学生认识到运筹学在国家和企业发展中的重要作用，树立为国家和人民服务的价值观。
本课程针对高中年级学生，结合学科特点和教学要求，注重培养学生的实际操作能力和团队协作精神。
课程内容紧密联系现实生活，以提高学生的知识应用能力和解决实际问题的能力为核心，为学生未来的学习和工作打下坚实基础。
通过本课程的学习，期望学生能够掌握运筹学的基本知识和方法，具备解决实际问题的能力，并在情感态度上得到积极培养。
二、教学内容本课程教学内容主要包括以下几部分：1. 运筹学基本概念：介绍运筹学的起源、发展及其在现实生活中的应用，通过案例让学生理解运筹学的研究对象和基本方法。
2. 线性规划：讲解线性规划的基本理论，包括线性规划模型、图形解法、单纯形法等，并结合实际案例进行分析。
3. 整数规划：介绍整数规划的特点、分类及求解方法，如分支定界法、割平面法等，并通过实例加深理解。
4. 非线性规划：概述非线性规划的基本概念、求解方法，如梯度法、牛顿法等，并分析其在实际问题中的应用。
5. 动态规划：讲解动态规划的基本原理、方法及其在资源分配、生产计划等方面的应用。
运输问题的模型建立与优化方法摘要：随着我国市场经济的不断完善和社会经济的发展，运输业在经济生活中的地位越来越重要,同地区、不同地区、甚至跨国间的企业交易活动更加频繁。
运输成本约占10%-30%,所以,开展合理运输,节约运输成本,对于降低社会产品的总成本起着重要作用。
因此，在运输中如何降低运输费用、减少运输路线等问题，已成为交易活动的重点，而线性规划主要应用于解决最优化问题。
本文根据运输问题的基本特征，通过实例对运输问题进行了优化分析，建立了运输问题的线性规划数学模型，并借助于计算机进行求解，而Lingo软件是比较实用,对问题描述清晰,易于掌握。
从而可以得到最优化的方案，提高了实际运输工作中的经济效益。
关键词：运输问题线性规划数学模型lingo问题的提出：傲来公司有三个仓库:H1、H2、H3,A商品在这三仓库中的库存分别为100吨,95吨,110吨;另知有四家大型超市(S1、S2、S3、S4)需要该公司的A商品,他们的需求量分别是55吨,8吨,90吨,75吨。
我们面临的问题是如何利用现有库存资源满足这四家超市的需求,并使总运表1问题的分析加模型：各个领域中的大量问题都可以归结为线性规划问题。
尤其在物流管理活动中，有大量的规划问题，如网络配送中的运输规划问题，它属于线性规划问题的特例。
运输问题存在多种解法，目前计算机应用普及，用一般的解线性规划的软件来解运输问题是一条较好的途径。
根据调查表明,近几十年来,线性规划在各个行业中都得到了广泛的应用，而且运输问题的模型不单只是适用于一般意义上的物资运输问题，更重要的是它适用于一切道路网络问题。
因此，很多公司都频繁地使用线性规划,取得了提高经济效益的显著效果。
就该具体问题而言，目标已经很明了,就是如何使总运费最小化。
所以我们令Ｘij表示从仓库Hi到超市Sj运送的商品吨数。
从而有运输问题的数学模型:目标函数:MIN=25*X11+20*X12…+20*X33+22*X34库存约束:∑X1j<=100;∑X2j<=95;∑X3j<=110;j=1,2,3,4需求约束:∑Xi1=55;∑Xi2=80;∑Xi3=90;∑Xi4=75;i=1,2,3非负约束:Xij>=0编程——数学模型、解答：运输问题是物流系统优化中常见的问题,运输问题是一种特殊的线性规划问题,对它的求解方法本质上也是单纯形法。
博弈论基本了解——经管大类13班王建恒 11120645 分类：一．博弈的分类根据不同的基准也有不同的分类。
一般认为，博弈主要可以分为合作博弈和非合作博弈。
合作博弈和非合作博弈的区别在于相互发生作用的当事人之间有没有一个具有约束力的协议，如果有，就是合作博弈，如果没有，就是非合作博弈。
【注1：目前经济学家们现在所谈的博弈论一般是指非合作博弈，由于合作博弈论比非合作博弈论复杂，在理论上的成熟度远远不如非合作博弈论。
非合作博弈又分为：完全信息静态博弈，完全信息动态博弈，不完全信息静态博弈，不完全信息动态博弈。
与上述四种博弈相对应的均衡概念为：纳什均衡，子博弈精炼纳什均衡，贝叶斯纳什均衡，精炼贝叶斯纳什均衡。
】A. 合作博弈亦称为正和博弈，是指博弈双方的利益都有所增加，或者至少是一方的利益增加，而另一方的利益不受损害，因而整个社会的利益有所增加。
合作博弈研究人们达成合作时如何分配合作得到的收益，即收益分配问题。
合作博弈采取的是一种合作的方式，或者说是一种妥协。
妥协其所以能够增进妥协双方的利益以及整个社会的利益，就是因为合作博弈能够产生一种合作剩余。
这种剩余就是从这种关系和方式中产生出来的，且以此为限。
至于合作剩余在博弈各方之间如何分配，取决于博弈各方的力量对比和技巧运用。
因此，妥协必须经过博弈各方的讨价还价，达成共识，进行合作。
在这里，合作剩余的分配既是妥协的结果，又是达成妥协的条件。
合作博弈强调的团体理性(collective rationality)，是效率、公平、公正B.非合作博弈是指一种参与者不可能达成具有约束力的协议的博弈类型，这是一种具有互不相容味道的情形。
非合作博弈研究人们在利益相互影响的局势中如何选决策使自己的收益最大，即策略选择问题。
负和博弈和零和博弈统称为非合作博弈【注2：纳什均衡，Nash equilibrium ,又称为非合作博弈均衡，是博弈论的一个重要术语，以约翰·纳什命名。
运筹学案例建模、算法与分析作者；日期: 2012年02月29日摘要:先是对一个学期的课程学习的总结，然后是分别对“人力资源分配问题”和“最优投资策略问题”的两个案例的分析与建模，并得出其最优方案，以及对案例职场规划的方案设计。
关键词:运筹学；数学模型；目标函数；人力资源分配；职场规划；最优投资策略。
正文:记得当初怀着好奇和对数学的兴趣旋律这堂课，转眼一个学期结束了，时间见证了我当初的选择是正确的。
在这儿，她让我学到了新的数学解题方法和思维方式；使我对数学的兴趣更加浓厚；当然，她还让我学到了很多有关运筹学方面的很多知识。
在“运筹帷幄-为解决问题提供最佳决策”这堂课上，老师通过“1.资环争夺——运筹学的摇篮；2.追求完美——运筹优化无处不在；3.制胜法宝——运筹学成功应用范例；4.寓理于算——运筹学问题数学模型；5.追求极致——最优决策的特征；6.好谋善断——优化方法设计；7.步步为营——迭代算法特征；8.神机妙算——计算机实现；9.追求效率——提高计算效率；10.永无止境——改善与发展”这十个话题，给我们讲解了运筹学的起源、特点、分支、研究方法、涉及重点领域，对运筹学应用案例的数学模型建立于分析，以及解决运筹学问题的方法和对待运筹学问题的大概思维方式等有关运筹学的各方面知识。
总之，在这堂课上我收获许许多多有形或无形的财富，让我受益匪浅。
通过一个学期在老师生动详细的讲解，以及阅读一些有关运筹学的书籍等方式的学习下，我已经掌握了一些对问题进行分析、建模等处理方法。
下面是对三个案例的简单分析及处理。
案例1： 人力资源分配问题“好又美”超市是个建在大学城边上的大型百货商场，每周对收银人员的需求，统计如下表为了保证收银人员充分休息，收银人员每周工作5天，休息2天。
问应如何安排收银人员的工作时间，使得所配收银人员的总费用最小？解：为了让员工们休息更愉快、方便，可将每位员工的休息时间安排在连续的两天；则可设ix （i=1,2,3，…，7)表示星期一至日开始休息的人数，依题意我们可建立如下数学模型：目标函数：Min Z = 1234567x x x x x x x ++++++约束条件：12345x x x x x ++++≥6 23456x x x x x ++++≥534567x x x x x ++++≥845671x x x x x ++++≥7 56712x x x x x ++++≥10 67123x x x x x ++++≥18 71234x x x x x ++++≥15(1,2,3,4,5,6,7)i x N i ∈=于以上数学模型，通过计算可得：当：1x = 9；2x = 1；3x= 0；4x = 5；5x = 0；6x = 0；7x =3；时，Z 取最小值18。
运筹与优化算法在物流管理中的应用引言物流是现代社会生产和经济活动的重要组成部分，它关系着产品从生产到消费的全过程。
随着全球化的加剧和电子商务的迅速发展，物流管理面临着越来越复杂的挑战。
如何提高物流效率、降低成本，成为了企业和政府部门亟待解决的问题。
在这样的背景下，运筹与优化算法成为了物流管理的重要工具。
运筹学是一门研究如何组织和优化复杂系统的学科，它运用数学、计算机科学和经济学等理论与方法，帮助管理者在有限资源和约束条件下做出最优决策。
本文将介绍运筹与优化算法在物流管理中的应用，并举例说明其重要性和效果。
物流网络优化物流网络是指供应链中各个环节相互联系和协同工作的网络系统。
在物流网络中，商品的流动路径和供应链的组织结构对整体效率起着决定性的作用。
运筹学在物流网络优化中发挥重要作用。
网络布局优化物流网络的布局涉及到选择仓库、配送中心和配送点的位置，合理的布局能够最大程度地缩短货物的运输距离和时间，提高物流效率。
运筹学通过建立数学模型，考虑各个仓库和配送点的容量、服务范围、需求量等因素，采用优化算法来确定最佳的布局方案。
物流网络中的运输路径是指商品从供应地到需求地的具体路径，它的选择直接影响货物的运输成本和时间。
运筹学可以应用最短路径算法、遗传算法等优化算法，帮助寻找最优的运输路径方案。
通过考虑货物的属性、运输距离、交通状况等因素，优化算法能够更好地满足客户需求，并有效降低物流成本。
库存管理优化库存管理是物流管理中的重要环节，它涉及到企业如何合理安排库存，以满足客户需求的同时尽量降低库存成本。
运筹学在库存管理优化中也发挥着重要的作用。
安全库存规划安全库存是指为应对需求不确定性和供应链中断等风险因素而保留的一定量的库存。
运筹学可以帮助企业通过建立数学模型，考虑供应链的波动因素、服务水平要求等因素，确定合理的安全库存水平。
优化算法能够最大程度地降低安全库存成本，在保证供应链正常运转的同时减少不必要的资金占用。
运筹学在项目管理中的决策与优化方法项目管理是一项复杂而庞大的任务，涉及到资源调配、进度控制、任务分配等众多方面。
为了更好地完成项目，提高效率，运筹学为项目管理提供了一些决策与优化的方法。
本文将探讨运筹学在项目管理中的应用，并介绍一些常见的决策与优化方法。
一、项目排程优化项目排程是项目管理中的关键环节，合理的排程可以有效地提高项目完成的效率。
运筹学为项目排程提供了多种优化方法，如关键路径法、资源限制条件优化等。
关键路径法是一种基于网络图的项目排程方法，它能够找出项目中最长的关键路径，即完成整个项目所需的最短时间。
通过确定关键路径，项目经理可以合理地安排任务顺序，确保项目按时完成。
资源限制条件优化是一种考虑资源稀缺性的排程方法。
在项目中，资源往往是有限的，为了充分利用资源，项目经理需要找到最优的资源分配方案。
运筹学提供了一些资源平衡算法，通过建立数学模型，可以帮助项目经理在资源有限的情况下，最大化利用资源，优化项目排程。
二、风险管理决策项目管理中存在各种各样的风险，如技术风险、资源风险、市场风险等。
为了降低风险，项目经理需要进行科学的决策。
运筹学为风险管理提供了一些方法，如风险评估、风险优化等。
风险评估是一种系统的方法，用于识别、评估和处理项目中的风险。
通过建立风险评估模型，项目经理可以对不同风险进行量化评估，确定风险的概率和影响程度，从而制定相应的应对措施。
风险优化是在风险评估的基础上，通过运筹学的优化方法，进行风险的优化分配。
项目经理可以根据项目的需求和资源情况，制定最优的风险优化方案，提高项目的成功率。
三、成本控制与优化成本控制是项目管理中的重要一环。
为了控制项目成本，项目经理需要合理地分配资源和开销，并通过优化方法寻找最佳方案。
运筹学提供了一些成本优化的方法，如线性规划、整数规划等。
线性规划是一种寻找线性约束下最优解的数学方法，可以用于解决资源分配、成本优化等问题。
整数规划则是在线性规划的基础上，加入整数约束条件，可以更好地应用于项目管理中的资源整数分配问题。
垃圾运输问题的数学模型——经管大类13班王建恒 11120645●参考书目：《运筹与管理》2008年5月刊袁新生,邵大宏,郁时炼.LINGO和EXCLE在数学建模中的应用[M].北京:科学出版社,2007.姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003 ●使用软件：excel●问题描述：某城区有36个垃圾集中点，每天都要从垃圾处理厂（第 37 号节点）出发将垃圾运回。
现用一种载重 6 吨的运输车到期每个垃圾点载运垃圾,并需要用10 分钟的时间装车，运输车平均速度为 40 公里／小时（夜里运输，不考虑塞车现象）；每台车每日平均工作 4 小时。
运输车重载运费 1.8 元 / 吨公里；运输车和装垃圾用的铲车空载费用 0.4 元 / 公里；并且假定街道方向均平行于坐标轴。
要求给出满意的运输调度方案，使总运费最少。
问题：1. 运输车应如何调度（需要投入多少台运输车，每台车的调度方案，运营费用）2. 铲车应如何调度（需要多少台铲车，每台铲车的行走路线，运营费用）●垃圾集中点坐标数据表如下表1：表1:垃圾点地理坐标数据表● 建立参数：k T ：第k 个垃圾集中点的垃圾量,36,,2,1 =k ；k X ：第k 个垃圾集中点的横坐标，36,,2,1 =k ；k Y ：第k 个垃圾集中点的纵坐标，36,,2,1 =k ；L ：垃圾运输路线总条数；i C ：第i 条路线上垃圾集中点的个数，L i ,,2,1 =；N :安排运输车的总数量；ij X ：第i 条路线上的第j 个垃圾集中点的横坐标，i C j L i ,2,1,,,2,1 ==； ij T ：第i 条路线上的第j 个垃圾集中点的垃圾量，i C j L i ,2,1,,,2,1 ==； i h :第i 条路线所需要的总时间；n H ：第n 辆车的运输总时间；1W ：运输车空载的总费用；2W ：运输车重载的总费用；W ：运输车的总费用；1Q ：铲车1的空载费用；2Q ：铲车2的空载费用；3Q ：铲车3的空载费用；Q ：全部铲车空载的总费用。
运筹学与优化专业运输网络优化与物流成本降低研究在运筹学与优化专业中，运输网络优化与物流成本的降低一直是一个重要的研究方向。
本文旨在探讨如何通过运筹学和优化技术，来优化运输网络并降低物流成本。
一、引言运输网络是物流系统中非常关键的组成部分。
它涉及到多个节点和路径的选择，直接影响到物流效率和成本。
因此，运输网络的优化问题一直是物流管理中的重要课题。
本文将从以下几个方面来介绍运输网络优化与物流成本的降低方法。
二、网络设计与规划在运输网络的设计和规划中，需要考虑多个因素，如供应商位置、仓库位置、销售市场等。
通过运筹学方法，可以建立数学模型来描述这些因素之间的关系，并通过优化算法求得最优解。
例如，可以使用线性规划模型来确定最佳的仓库位置，以便降低运输成本和减少库存。
三、路径优化与调度在运输网络中，货物需要通过不同的路径进行运输。
通过优化路径选择和调度策略，可以降低物流成本，提高运输效率。
运筹学中的路径优化和调度算法可以帮助确定合适的路径和调度方案，以便在最短时间内运输更多的货物。
例如，可以利用最短路径算法来确定最优路径，并使用启发式算法来进行调度。
四、运输成本控制与优化在物流管理中，降低运输成本是一个重要的目标。
通过优化运输方式和运输路径，可以有效地降低运输成本。
例如，在长途运输中，可以选择铁路或水路来替代公路运输，以便降低能源消耗和运输成本。
另外，通过运筹学方法，可以对运输量进行优化，以避免空载或半载的情况发生，从而减少运输成本。
五、库存管理与供应链优化库存管理是物流管理中的重要环节。
通过优化库存管理和供应链的协调，可以降低物流成本。
运筹学技术可以帮助确定最佳的订货量和补货时间，以避免库存过高或过低的情况。
另外，通过供应链优化，可以减少供应商和客户之间的运输次数，降低物流成本。
六、信息技术与运输网络优化信息技术在物流管理中发挥着重要作用。
通过信息技术的应用，可以提高运输网络的可视化和智能化水平，进一步优化物流成本。
运筹与优化——我的认知黄德志（上海大学文学院“运筹与优化”第三组11123850）摘要：运筹学是一门现代科学，作为一门用来解决实际问题的学科，发展至今天已经有诸多的分支。
其中，网络规划是其重要的一支分支，确立目标，制定方案，建立模型，制定解法一般是处理网络规划问题的四部曲，模型、案例、解法是迈进网络规划知识殿堂的三个重要关口。
下面，我将选取运筹学中的重要分支之一——网络规划为例来带领大家进入运筹学的丰富世界，并通过模型、案例和求解三方面展开分析网络规划包含的最短路、最小费用流和最大流等问题，并列举几种相关的求解方法加以分析。
网络规划无论是在市场销售、生产计划、库存管理还是在运输问题、设备维修更新、工程的最佳化设计等方面都有广泛的应用，其在政治、经济、社会、民生等方面发挥的作用越来越大。
关键词：网络规划、模型、案例、求解1引言在展开分析网络规划包含的最短路、最小费用流和最大流等具体问题前，我们先得理解网络规划的一些基本概念和特征。
（1）网络规划含有七个最基本概念，它们分别是：1）图：由点和边组成的集合。
常记为：G=(V,E)；其中：V={v1,v2,…,vn}表示点的集合,E={e1,e2,…,em}表示边的集合。
如下图2.1-1为无向图，图2.1-2为有向图。
图2.1—1 无向图图2.1-2 有向图2）网络:带有某种数量指标的图(即:赋权图)称为网络如下图2.1-3为无向网络，图2.1-4为有向网络。
图2.1-3 无向网络图2.1-4 有向网络3) 链:无向图G=(V,E)中与边依次交替出现的序列{vi0,ei1,vi1,ei2,vi2,…,vik-1,eik,vik}, 且eit=(vit-1,vit),t=1,…,k，则称这个点边序列为连接vi0到vik的一条链，链长为k。
4）圈:链{vi0,ei1,vi1,ei2,vi2,…,vik-1,eik,vik}中当vi0=vik时, 该链称为圈。
如下图2.1-7中{v1,e1,v2,e3,v3,e2,v1}为圈图2.1-7 链图2.1-8 路5）路:有向图中当链(圈)上的边方向相同时,称为路(回路)。
如图 2.1-8中{v1,e3,v4,e4,v2,e7,v5}为路；{v3,e5,v4,e6,v5,e8,v3}为回路。
6）连通图:图中任意两点间至少有一条链相连，称此图为连通图。
如图2.1-7、图2.1-8。
7）网络模型:对所关心的问题确定研究对象以及这些对象之间某种性质的联系，并用网络图及其图解的形式表示出来，这就是对问题建立网络模型。
（2）网络基本特征：1）三要素——点、边、权。
2）一般将研究“对象”作为“点”，“对象”之间关系作为“边”，“对象”之间关系程度作为“权”2 我的认知2.1 认知一——网络规划模型网络规划包括最短路、最小费用流和最大流等经典模型。
下面，我们分别来认识这些模型。
1、最短路最短路问题，就是从给定的网络图中找出一点到各点或任意两点之间距离最短的一条路。
有些问题，如选址、管道铺设时的选线、设备更新、投资、某些整数规划和动态规划的问题，也可以归结为求最短路的问题。
因此这类问题在生产实际中得到广泛应用。
我们以下面这个问题为例来说明:某企业拟铺设一条从A地到F地的输油管道，可供选择路线及各点间的距离如下图2.3-1 ；试问：应如何选择路线使总距离最短？图2.3-1 A地到F地可供选择路线从上面的网状图中可以看出来，该问题的求解就是对最短路问题的求解，以获得A地到F地的最短总距离。
再来看下面的一个设备更新问题，这是一个由矩阵图呈现出来的最短路问题。
某公司拟对一台设备制定5年期的设备更新计划使总的支付费用最少。
相关信息如下表2.3-1 ：表2.3-1 设备更新相关信息下面这个问题也是最短路问题：①要求设计一个能够计算图1 中任意两个院校间最短路距的查询器。
要求系统应具备较好的纠错与自动计算等功能。
图1 院校距离图该问题可简化为如图2 所示的有向图。
节点①：表示知行学院；节点②：表示政法学院；节点③：表示师范大学；节点④：表示交通大学；⑤、⑹、⑦为计算需要所附加的节点；节点⑧：表示城市学院；节点⑨：表示农业大学。
图2 院校距离有向图3、最小费用流最小费用流问题应满足如下条件: 至少有一个节点是供应点；至少有一个节点是需求点；所有剩下的点都是转运点；网络中有足够的弧提供足够的容量，使得所有在供应点中产生的流都能够到达需求点;；通过每一条弧的流的成本与流量成正比。
下面就以一个资金运作管理中最小费用流问题为例：②例：美国某资金运作公司现储备日元12 亿，卢比105 亿，林吉特280 万。
由于日本的经济危机波及东亚其他国家金融市场，导致上述三种货币的贬值，公司决定将上述三种货币全部兑换成美元。
下面分别给出货币实时汇率、交易成本及交易限制的三份表格。
问：如何交易可使交易后美元数额最大？再来看下面这个问题：一物流公司有大宗的业务是向安徽淮南矿业集团的各个矿运送井下物资和原材料(主要是井下支护用的锚杆和锚固剂)。
淮南市里有三家合成材料厂(国营原隶属淮南矿业集团的一家, 另外两家比较小, 是跳槽私人单干的)生产同一种锚固剂, 日产量分别为800 t、220 t、380 ;t 有六个矿(谢一、张集、潘一、潘二、潘三、顾桥)是公司的长期客户。
他们的日需求量分别为200 t、350 t、100 t、150 t、200 t、400 t。
把这三家企业设为A1、A2、A3 , 把六个矿设为B 1、B 2、B3、B4、B5、B 6 。
每个工厂到各矿的单位运费(元/ t)如表1所示。
表1 工厂到各矿的每吨单位运费我们现在来对这个问题展开分析，这个问题的特点如下:目标明确。
作为物流企业, 经营总目标是明确的, 即寻求某个整体目标最优——运费最低;多种方案。
可以从多种供选择的运输方案中选取最佳方案;资源有限。
运输决策必须受到限制, 如锚固剂的调运既要满足各个矿的井下生产需要量, 又不能超过各合成材料厂所能提供的锚固剂的生产量。
线性关系。
约束条件及目标函数均保持线性关系。
正是因为具有以上特点, 公司的锚固剂运输问题, 可以归为线性规划问题。
从数学模型上概括起来, 可以认为, 是求一组非负的变量即运费, X 1、X 2、X 3、X 4、X 5、∀、X 18 , 在一组线性等式或线性不等式的约束条件下, 使得目标总运费最小。
解决这样一个线性规划问题的数学模型有以下共同特征:存在一组变量X 1、X 2、X 3、∀、X 18 , 成为决策变量, 表示某一运输决策。
这些变量的取值是非负的;存在两个约束条件, 3 个工厂的实际生产能力和6个矿的实际需要量。
可以用两组线性不等式来描述;存在一个线性目标函数，实际总运费最小。
③4、最大流网络最大流问题是网络问题中的一类经典问题，对于这类问题，可以根据题意建立线性规划模型，运用运筹学软件求解，也可以用网络图论法求解。
我们通过下列例子来认识最大流模型:④例题:某石油公司拥有一个管道网络，使用这个网络可以把石油从采地运送到一些销售点。
这个网络的一部分如图1 所示，由于管道的直径的变化，它的各段管道（Vi,Vj）的流量（容量）Cij 也是不一样的，这在图中已标出。
Cij 的单位为万加仑小时。
如果使用这个网络系统从采地V1 向销地V7 运送石油，问每小时能运送多少加仑石油？图1 管道网络解这类题目的根本方法是线性规划法，即根据已知条件列出目标函数与约束方程求解。
根据题意可知：设弧（Vi,Vj）上的流量为fij,网络上的总的流量为F ，则有Max F=f12+f14;约束条件：f12=f23+f25,f14=f43+f46+f47,f23+f43=f35+f36,f25+f35=f57,f36+f46=f67,f57+f67+f47=f12+f14,fij<=cij，fij>=0 (i=1,2,⋯,6；j=2,⋯7).由此可得，f12=5,f14=5,f23=25,f25=3,f43=2,f46=1,f47=2,f35=2,f36=2,f57=5,f67=3.最优值（最大流）为10。
由图可知，此系统的最大流量值为10 。
此时，V25=3，V35=2，V36=2，V46=1，V47=2，与线性规划方法所的解相同。
此例题中，各节点的级别可按方便情况划分，尽量使水流从低级流向高级。
但是不排除另外一种情况的存在，即出现级间“逆流”，例如我们把V 4 、V 3 级位颠倒，就出现水流从第三级流到第二级的情况，我们来推导更一般的方法，如图 3 。
由于我们求的是最大流问题，所以不用考虑逆流情况，可视其为0，所得结果与前面所解一致。
综上，我们可以得到这种解法的一般步骤：1 、按照流量从低级流向高级的原则将不同节点划分为不同等级，不宜划分者，可以按标号由小到大的顺序排列成由低到高。
2 、按原题意标画出各个支路及流量，逆流可忽略。
3、每两个相邻级之间画一道竖线，将与竖线交叉的支路上所有正流量相加，标记于竖线下方。
比较各竖线下方标值，则其中最小值即为该网络最大流量。
图32.2 认知二——网络规划案例1、最短路案例例1：给定一个运输网络（如图1所示），两点之间连线上的数字表示两点间的距离，求从A到E 的运输线路，使总距离最短。
图1 点与点距离图例2：电信公司准备在甲、乙两地沿路架设一条光缆线，如何架设使其光缆线路最短？（甲、乙两地间的交通图如图2所示）⑤图2 甲乙两地间交通图3、最小费用流南方陶瓷公司销售陶瓷用品。
有五个陶瓷供应地: A 1,A 2,A 3,A 4,A 5。
拟建立三个销售点: B 1,B 2,B 3。
各供应地的陶瓷日可供量及单位商品供应价(即单位进价成本) 如表1。
各销售点的陶瓷日最高需求量及销售单位商品三项费用(经营费用、管理费用、财务费用) 如表2。
有关交通道路网如图2, 其弧旁数字为(bij ,Cij ) , 即(单位商品运输途中经营费用, 路段流通能力)。
问:1、公司应如何组织采购、运输、销售, 在满足供应地可供量, 道路流通能力及销售点需求量的前提下,使公司的购运销总费用最低?2、若销售点B 2, 因市场情况变化, 引起该处单位商品销售三项费用从110 提高到115。
公司的购运销方案有否变动? 如何变动?⑥表1 和表2图2 有关交通道路网4、最大流图1为某交通管理部门所管制的路网，s为所管制的路网的起点，t为所管制的路网的终点，一般情形下，交通管理部门会按最大流原则分配流量。
然而在现实情况下，交通管理部门事前无法知道哪一条路段会由于交通事故（或其他突发事件）而突然堵塞（或中断），而一旦出现堵塞，车辆就需要绕路。
假如在某一时间段内只发生一次突然堵塞，那么该如何确定关键路段，加强管制，以使道路突然中断时最大可能减少路网效率损失？⑦图1 路网图2.3 认知三——网络规划求解1、最短路问题求解（1）穷举法：1）适用于路不多的简单问题；2）求出每条路长，比较各条路长求一路长最短的路。
