高中数学选修2-1北师大版 双曲线的简单几何性质教案

§双曲线的简单性质教材版本：北师大版（选修2-1）教材分析：双曲线是圆锥曲线之一，圆锥曲线是选修内容，但是高考必考内容，同时又是高考的热点问题。

双曲线的简单性质是北师大版选修2-1第三章第三节第二课时。

本节课是学生在已掌握椭圆及椭圆的简单性质和双曲线的定义及标准方程之后，类比椭圆的研究方法，再利用双曲线的标准方程和图形研究其简单性质。

双曲线的简单性质是教学大纲要求学生必须掌握的知识点；又是深入研究双曲线，并能灵活运用它解题的基础。

通过本节课的学习进一步使学生理解、掌握解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素养。

双曲线特有的性质--渐近线，课本上是小体字并带有星号部分。

本节课就没有证明，只是通过“动画”，让学生直观感受，需要学习渐近线的必要性。

学情分析：必修2中学生已经学习了《解析几何初步》，已有些研究解析几何的经验了。

本章学生首先系统地学习了椭圆的概念及标准方程和性质，学生以这些知识为基础，类比椭圆的研究方法，再利用双曲线的标准方程研究其简单性质，相对来说比较轻松。

在课堂中，可以充分以学生为主体，通过与椭圆的类比，启发学生自己找出双曲线的简单性质。

三维目标：1、知识与技能（1）结合图形利用双曲线标准方程了解双曲线的简单性质。

（2）能由双曲线标准方程求出双曲线的顶点坐标、实、虚轴长，渐近线方程和离心率。

（3）能由双曲线的简单性质得出相应的双曲线方程。

（4）理解离心率对双曲线开口大小的影响，能正确说出其中的规律。

2、过程与方法利用研究椭圆的简单性质方法类比获得双曲线的简单性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力和分析、归纳、研究问题能力，以及类比的学习方法。

3、情感、态度与价值观培养学生主动探求知识、合作交流的意识，增强学生数学交流能力，提高学生的合作精神。

教学重点：双曲线的简单性质的探究及其应用。

教学难点：双曲线的简单性质的灵活应用。

教学方法：启发诱导，自主探究，类比分析法．即结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，学生类比椭圆自主地去探求出双曲线的简单性质，适当借助多媒体等教学辅助手段。

选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》 2.3.2双曲线的简单几何性质第一课时：范围、对称性、顶点、渐近线、离心率 教学重点：理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题.教学难点：双曲线的渐近线、离心率 教学过程： （一）复习回顾 椭圆的几何性质 （二）新课讲解1、范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；2、对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；3、顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，双曲线方程为22(0)x y m m -=≠.4、渐近线：直线by x a =±叫做双曲线22221x y a b -=的渐近线；思考：渐近线方程为by x a=±的双曲线方程一定是22221x y a b -=吗？渐近线方程为by x a=±⇔双曲线方程为()22220x y a b λλ-=≠.5、离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比ace =叫做双曲线的离心率（1e >）． 注：①已知双曲线22221x y a b-=，则其离心率e 与渐近线斜率b a ±的直接关系：2221b e a =+（双曲线的焦点在x 轴上），则e 越大，双曲线的张口越大.总结：例1.求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程． 分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是ay x b=±． 例2.若双曲线的渐近线方程为43y x =±，则双曲线的离心率为 .若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线的夹角为 .例3求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()3A -点的双曲线的标准方及离心率． 解法剖析：双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =±．①焦点在x 轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k -=，∵()3A -点在双曲线上，∴214k =-，无解；②焦点在y轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k -+=，∵()3A -点在双曲线上，∴214k =，因此，所求双曲线的标准方程为221944y x -=，离心率53e =．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为()22,0169x y m m R m -=∈≠． 例4. 求与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点2)的双曲线方程. 解:方法一：设双曲线方程为22221x y a b -=(a >0,b >0)，则22222021a b b⎧+==解之得22128a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴双曲线方程为221128x y -= 方法二：设双曲线的方程为216x λ-－24y λ+=1（416λ-<<），代入点（32，2），可得：4λ=，故所求双曲线方程为221128x y -=.。

3.2双曲线的简单性质●三维目标1．知识与技能(1)能用双曲线的标准方程分析双曲线的几何性质．(2)能用双曲线的几何性质解决简单的相关问题．2．过程与方法在双曲线的简单几何性质的研究过程中，进一步掌握解析几何的基本思想.3.情感、态度与价值观进一步感受数形结合思想在解析几何中的应用．二、教学重点与难点重点：利用标准方程研究双曲线的几何性质．难点：双曲线的性质在研究实际问题中的应用．可类比椭圆的几何性质去发现双曲线的几何性质，在这个过程中，充分发挥学生的主体作用，让学生参与知识的产生和形成过程．引导学生将实际问题抽象为双曲线模型，并通过双曲线模型的应用，培养学生的应用能力．(教师用书独具)●教学建议1．本节课主要采用引导发现法，通过师(生)不断地设(释)疑，揭示思维过程，将学生置于主体位置，发挥学生的主观能动性，将知识的形成过程转化为学生亲自探索、归纳的过程．2．鼓励学生运用发现、探究、协作、讨论的学习方法，联系所学知识，大胆、主动地分析问题和解决问题，进一步提高自己的学习能力．●教学流程以旧引新，揭示课题 构造新知识体，关于系实轴、虚轴、离心率、渐近线 深化知识，完成新知识体系的构造 学以致用，巩固练习1．你能从双曲线的标准方程说明双曲线的对称性吗？【提示】双曲线的标准方程是x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．将方程中的x换成－x，方程不变，故双曲线关于y轴对称；将方程中的y换成－y，方程不变，故双曲线关于x轴对称；将方程中的x换成－x，y换成－y，方程不变，故双曲线关于原点对称．2．椭圆的离心率e可反映椭圆“扁的程度”，双曲线的离心率e可用来表示什么？【提示】双曲线的离心率e可用来表示双曲线“开口的程度”．3．双曲线确定，渐近线确定吗？反过来呢？【提示】当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，所以具有相同的渐近线的双曲线可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0，λ∈R)，当λ＞0时，焦点在x轴上，当λ＜0时，焦点在y轴上．双曲线的性质。

《双曲线的简单几何性质》教学设计【教材分析】1教材中的地位及作用本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。

它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。

2教学目标的确定及依据平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。

教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。

根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。

（1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；②掌握双曲线标准方程中c b a ,,的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念及证明； ③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。

（2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法；②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。

（3）数学核心素养目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。

3重点、难点的确定及依据对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。

因此，在教学过程中我利用一首情歌《悲伤的双曲线》引入今天的课题，这样一来渐近线的出现学生也易接受。

因此结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。

4教学方法这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。

3.3.2双曲线的几何性质（一）一、教学目标：１、掌握双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴、离心率；２、掌握双曲线标准方程中a、b、c、e之间的关系。

二、教学重点：双曲线的几何性质；难点：双曲线的渐近线。

三、教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．四、教学过程(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2．双曲线的两种标准方程是什么？下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(范围、对称性、顶点)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格1.范围：双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内.2.对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心.3.顶点：双曲线和它的对称轴有两个交点A1(－a,0)、A2(a,0)，它们叫做双曲线的顶点. 线段A1A2叫双曲线的实轴，它的长等于2a,a 叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.4.渐近线①我们把两条直线y=±x a b 叫做双曲线的渐近线；②从图8—16可以看出，双曲线12222=-b y a x 的各支向外延伸时，与直线y=±x a b 逐渐接近.③“渐近”的证明：先取双曲线在第一象限内的部分进行证明.这一部分的方程可写为y=xa x ab (22->a).设M(x,y)是它上面的点，N(x,y)是直线y=x a b 上与M 有相同横坐标的点，则Y=xa b .∵y=Y x a b x a x a b a x a b =-=- 222)(1 ∴)(22a x x a b y Y MN --=-=222222))((a x x a x x a x x a b -+-+--⋅=22a x x ab -+= 设MQ 是点M 到直线y=x a b 的距离，则MQ <MN ，当x 逐渐增大时，MN 逐渐减小，x 无限增大，MN 接近于O ，MQ 也接近于O.就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON 的下方逐渐接近于射线ON.在其他象限内，也可证明类似的情况.（上述内容用幻灯片给出）.④等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.⑤ 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.5.离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e=a c，叫双曲线的离心率.说明：①由c>a>0可得e>1；②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.师：为使大家进一步熟悉双曲线的几何性质，我们来看下面的例题.（三）、例题探析：例题：求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解：把方程化为标准方程.1342222=-x y .由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3.5342222=+=+=b a c .焦点的坐标是（0，－5），（0，5）.离心率45==a c e .渐近线方程为y x 43±=，即x y 34±=.说明：此题要求学生认识到第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质与课本性质的相同点与不同点.可让学生比较得出（作为练习）（四）、小结：本课我们学习了双曲线的几何性质，要求：１、掌握双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴、离心率；２、掌握双曲线标准方程中a 、b 、c 、e 之间的关系。

双曲线的几何性质教学设计证明：设M〔0,0〕为第一象限双曲线上任一点，那么设M〔0,0〕到直线的距离为d假设M向远处运动，那么0 随着增大，d 就减少，于是 M 就无限接近直线〔设计意图：难点应该详细讲，详略得当，学生更容易接受〕3焦点到渐近线的距离是多少〔根据点F〔c,0〕到直线=b/a的距离是b。

图中会找到4个直角三角形，边长分别是a,b,c提示：我们已经学习了椭圆中可以找到的a,b,c线段2渐近线方程为＝±，且经过点A2，－3．解1依题意可知，双曲线的焦点在轴上，且c＝13，又＝，∴a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝12法一∵双曲线的渐近线方程为＝±，假设焦点在轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1a>0，b>0，那么＝①∵A2，－3在双曲线上，∴－＝1②由①②联立，无解．假设焦点在轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1a>0，b>0，那么＝③∵A2，－3在双曲线上，∴－＝1④由③④联立，解得a2＝8，b2＝32∴所求双曲线的标准方程为－＝1法二由双曲线的渐近线方程为＝±，可设双曲线方程为－2＝λλ≠0，∵A2，－3在双曲线上，∴－－32＝λ，即λ＝－8∴所求双曲线的标准方程为－＝1规律方法由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了防止讨论，也可设双曲线方程为m2－n2＝1 mn>0，从而直接求得．假设双曲线的渐近线方程为＝±，还可以将方程设为－＝λλ≠0，防止讨论焦点的位置．〔设计意图：渐近线较难，逆向训练来加强对这个知识点的重视和理解〕四、课堂练习求双曲线2－32＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．解将方程2－32＋12＝0化为标准方程－＝1，∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝2，∴c＝＝＝4∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4。

教案普通高中课程标准选修2-12.3.2双曲线的简单几何性质（第一课时）教材的地位与作用本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上，进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。

（可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。

）通过本节课的学习，使学生深刻理解双曲线的几何性质，体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。

二、教学目标 （一）知识与技能1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。

2、理解双曲线的渐近线。

（二）过程与方法通过联想椭圆几何性质的推导方法，用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生的观察能力、联想类比能力。

（三）情感态度与价值观让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。

三、 教学重点难点双曲线的渐近线既是重点也是难点。

四、 教学过程 (一)课题引入1、前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？（教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质，双曲线及其标准方程。

） 今天我们以标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。

【板书】：双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的性质2、双曲线有哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。

）3、双曲线的这些性质具体是什么？如何推导？请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。

（讨论） （二）双曲线的性质 1、范围：把双曲线方程12222=-by a x 变形为22221b y a x +=。

因为022≥b y ，因此122≥a x ，即22a x ≥，所以a x a x ≥-≤或。

又因为022≥by ，故R y ∈。

【板书】：1、范围：a x a x ≥-≤或，R y ∈。

2、对称性：下面我们来讨论双曲线的的对称性，哪位同学能根据双曲线12222=-by a x 的标准方程，判断它的对称性？在标准方程中，把x 换成x -，或把y 换成y -，或把x ，y 同时换成x -，y -时，方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴和原点都是对称的。

3.3 双曲线的简单性质1．结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2．感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点) 知识点一双曲线的简单性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形几何范围对称性顶点实虚轴离心率考点一双曲线的简单性质的应用例1(1)(广东高考)若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等(2)已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，P 为双曲线上任意一点，设点A 的坐标为(3,0)，求|PA |的最小值为________．(3)双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标为________，离心率为________，渐近线方程为________．【名师指津】1．由双曲线方程探究简单性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这是依据方程求参数，a ，b ，c 值的关键．2．写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时，需先由方程确定焦点所在的坐标轴，否则易出错，需注意双曲线方程与渐近线方程的对应关系． 考点二 利用双曲线的性质求双曲线的标准方程 例2求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)顶点在x 轴上，焦距为10，离心率是54；(2)焦点在y 轴上，一条渐近线为y ＝34x ，实轴长为12；(3)离心率e ＝2，且过点(－5,3)．【名师指津】1．求双曲线方程，关键是求a ，b 的值，在解题过程中应熟悉a ，b ，c ，e 等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程ax ±by ＝0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2＝λ.练习1．将本例(2)中“焦点在y 轴上”去掉，其他不变．考点三双曲线的离心率例3 (1)(全国卷Ⅰ)已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2B ．62 C.52D ．1 (2)(重庆高考)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A. 2 B ．15 C ．4 D ．17【名师指津】1．解决本题的关键是探寻a 与c 的关系．2．求双曲线的离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca；二是依据条件提供的信息建立关于参数a ，b ，c 的等式，进而转化为关于离心率e 的方程，再解出e 的值．练习2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( )A.53 B ．43 C.54 D ．32 例4求适合下列条件的双曲线标准方程．(1)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .(2)经过点M (－3,23)，且与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线．【名师指津】求解双曲线标准方程的难点是设双曲线方程，常用的技巧如下：①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，若λ＞0，则表示焦点在x 轴上的双曲线，若λ＜0，则表示焦点在y 轴上的双曲线． ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0， b ＞0)有相等离心率的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ＞0)． ③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(－a2＜λ＜b 2)．④已知渐近线方程y ＝±b a x ，双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，通过求λ确定双曲线方程，而无需考虑其实、虚轴的位置．练习3．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为( )A.54 B ．52 C.53或54 D ．52或153 思考问题1 何为双曲线的“虚轴”？ 问题2 如何确定双曲线的形状？问题3 如何用几何图形解释c 2＝a 2＋b 2？a ，b ，c 在双曲线中分别表示哪些线段的长？ 问题4 双曲线的渐近线具有什么特点？问题5 双曲线的渐近线与双曲线的标准方程有什么关系？ 课堂练习1．双曲线y 24－x 29＝1的顶点坐标为( )A ．(0,2)(0，－2)B ．(3,0)(－3,0)C ．(0,2)(0，－2)(3,0)(－3,0)D ．(0,2)(3,0)2．如图，双曲线C ：x 29－y 210＝1的左焦点为F 1，双曲线上的点P 1与P 2关于y 轴对称，则|P 2F 1|－|P 1F 1|的值是( ) A ．3 B ．6 C ．4 D ．83．(全国卷)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14 B ．13 C.24 D ．234．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为________。