数学思想方法在分段函数教学中的应用

分段函数的应用及思想分段函数是数学中的一种特殊形式，其定义域被划分成不同的区间，在每个区间内，函数具有不同的表达式或定义方式。

分段函数是解决实际问题和描述现象的一种有效工具，可以应用于多个领域，如物理学、经济学、工程学等。

在这些领域中，分段函数的应用和思想是十分重要的。

一个常见的例子是温度转换函数。

在某些国家，温度的单位是摄氏度，而在其他国家则是华氏度。

要在这两种温度之间进行转换，可以使用一个分段函数。

在摄氏度区间内，温度转换函数为T(摄氏度) = 9/5 * T(华氏度) + 32；在华氏度区间内，温度转换函数为T(华氏度) = (T(摄氏度) - 32) * 5/9。

通过这个分段函数，可以方便地将摄氏度转换为华氏度，或将华氏度转换为摄氏度。

分段函数的思想是将定义域分割成不同的区间，并在每个区间内定义不同的表达式。

这样做的好处是使函数具有更大的灵活性，可以准确地描述和解决复杂的问题。

分段函数的表达式可以是多项式、指数函数、对数函数、三角函数等各种数学函数的组合，根据实际问题的特点选择合适的表达式。

通过分段函数，可以将不连续的现象以连续的方式来描述，更好地理解和解决问题。

在物理学中，分段函数常常用于描述运动过程。

例如，一个运动物体在不同的时间段内可能以不同的速度运动。

可以使用分段函数来描述这个运动过程。

假设在时间t=0 到t=t1 之间，物体以速度v1 运动，而在时间t=t1 到t=t2 之间，物体以速度v2 运动。

那么在整个时间段内，物体的位置可以用分段函数表示，即x(t) = v1 * t，当t< t1；x(t) = v2 * (t - t1) + x(t1)，当t1≤t< t2。

这样可以准确地描述物体在运动过程中位置的变化。

在经济学中，分段函数常常用于描述收入的计算方式。

例如，税收计算根据不同收入区间采用不同的税率。

假设一个国家的税收函数为T(收入) = 0.1 * 收入，当收入小于10000；T(收入) = 0.2 * 收入，当收入在10000到50000之间；T(收入) = 0.3 * 收入，当收入大于50000。

分段函数在实际生活中的应用新课标的不断深化，使得各地的教师了解到应不断强化学生对数学思维方式的检查，特别是将学生生活当作背景，在生活中应用分段函数，和分类探讨实现相结合的一类中考数学问题，极为引人注目。

这一类型的试题可以较好地测试学生对一局部根底功能与知识的掌握情况，也测试学生灵活使用知识处理具体问题的技能。

与此同时，还可以检验学生是够使用动和静、变化和不变、特殊和一般的辩证思维。

处理这一类型问题的重点在于必须将问题归纳成设定条件〔分段函数〕，结合自变量的各种取值范围，开展分类求解，从而实现不重不漏，并进行分层讨论求解。

一、分段函数数学模型概念分段函数的数学模型通常利用函数的方式来表达。

然而，也有一些情况，必须利用几个式子来表达。

如果自变量的值位于不同的域中，函数的表达式就会不同。

这样的函数称为分段函数。

如果自变量的值处在不同的域中，函数的表达式就会不同，这样的函数称为分段函数。

在具体使用时，分段函数当中包含了分类讨论的数学思想。

正是由于我们的日常生活中有许多问题需要各种方式来处理，所以分类讨论思想就变得十分重要。

分段函数是解决数学实际问题的一种很有效的工具。

利用分段函数数学模型，可以处理日常生活中遇到的许多问题。

〔一〕生活中的用水用电问题例如：为促进节能减排的开展，某市制定了以下用电收费标准：当每户月用电量低于120度，电价为a元/度;在超过120度以后，不超过局部依旧是a元/度，其他超过的局部那么是b元/度，据了解，某用户5月份用电115度，电费69元;6月份用电140度，电费94元。

〔1〕求出a、b的值;〔2〕用户每月用电量为小时〔度〕，应付电费为y〔元〕。

首先，分别求出0≤某≤120和某>120时，y和某间的函数关系;其次，如果用户方案在7月份的时候使用电费不超出83元，那么其在7月最多可使用多少度？解：〔1〕结合题目含义〔2〕①在0≤某≤120和某>120时，y=0.6某。

《分段函数》教学反思【摘要】分段函数是人教 A 版必修 1 第一章第 2 节“函数及其表示”中的一个内容，其特点是在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，需要按自变量的不同取值区间将函数进行分段表示。

分段函数在生活中的众多收费问题中普遍存在，在数学中也随处可见，因而分段函数是普遍存在又比较重要的一类函数。

一堂新课结束，观察、分析学生接受新知识的情况，反思教学过程，为以后教学提供参考。

【关键词】分段函数学生反思思想方法本节课的重点内容是分段函数的概念以及以分段函数为载体进行函数的简单研究．在概念的学习中，可能有学生会认为分段函数的“段”是等长的，引入新课时特别安排了一个非等长例子以澄清认识; 还可能有学生认为分段函数是几个函数，教学时在概念呈现之后立即向学生阐明分段函数是一个函数。

这样尽可能消除这些事实性知识在学生认知中的潜在难点。

运用研究函数的一般方法来研究分段函数是教学的难点，原因有二: 一是函数的研究经验并不多，学生还没有巩固研究函数的方法，就要开始独立去研究一类新的函数，对学生应用知识和方法的能力有较高的要求；二是分段函数本身就蕴含着分类讨论，尤其在分段函数的解析式中加入参数讨论，这就更增加了思维要求和教学难度．当分段函数中含有可变参数时,称之为含参分段函数问题。

为了突破后一个难点，在研究分段函数中的含参问题时借助几何画板作图，观察参数变化引起函数图象的变化规律，帮助学生获得分析分段函数的直观印象与感性认识；以问题的内在逻辑有层次地组织学生的思维活动，引导学生积极思考问题，深入交流讨论，独立研究，分组汇报，让学生在碰撞中收获思维火花，提升思维能力．本节课的教学对象是实验班学生，整体基础较差，思维能力不足。

针对教学设计、教学过程、教学效果、教学方法等进行反思。

教学过程中注意因时利导，步步为营，课堂比较活跃，推进比较顺利。

回首本节课的设计与教学，我还是觉得有一些地方值得改进:1.关注初中与高中函数教学内容、教学方式衔接。

分段函数在数学教学中的特殊作用作者：杨星光来源：《双语学习》2014年第07期【摘要】分段函数是一类特殊的函数，它在数学教学中有着特殊而重要的作用，但由于教材中没有对分段函数作专门的论述，仅以少量例题的形式出现，以致造成教学中没能充分发挥它应起的作用。

本文仅从三个方面论述分段函数在教学中的一些特殊作用，旨在抛砖引玉，与同仁共同探讨，提高教学质量。

【关键词】分段函数数学教学特殊作用中学和数学分析中研究的函数主要是初等函数，分段函数是对于其定义域内自变量不同的值，一般不能用一个统一的解析式表示，而需要两个或者两个以上（甚至无穷多个，如高斯取整函数）式子来表示的一类特殊函数，它一般不是初等函数，因此在数学教学中具有其一些特殊的作用，在中学数学和数学分析乃至整个高等数学中有着广泛的应用。

无论是中考高考还是专升本和研究生入学的数学考题中，有关分段函数的考题都占一定比例，而且成为近几年考试的热点和难点题。

但由于教材中没有对分段函数作专门的论述，在中学数学教材中仅以少量实例的形式出现，以致造成教学中没能充分发挥它应起的作用，不少学生对它认识肤浅模糊，解决有关分段函数问题时常常出错，所以对分段函数的特殊性质和在教学中的特殊作用应引起一线数学教师的足够重视，并对其作较深入的剖析和研究，下面笔者结合教学实践谈点陋见。

1 充分利用分段函数典型实例，培养学生学习数学的积极性著名数学家华罗庚说：“人们对数学早就产生了枯燥无味、神秘难懂的印象，成因之一就是脱离实际”。

目前一些学生尤其是高职高专的一些学生，学习数学的积极性不高，甚至产生厌学情绪，考试成绩不理想，除了数学本身抽象难学的特点和学习目的不明确外，主要一个原因就是数学教学脱离实际造成的。

因此，教学中如何紧密联系实际，让学生感受到数学就在我们身边，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，直接关系到数学教学的成败。

大量分段函数都来源于生产生活实际，如，存款利息的计算、工资稿费等个人所得税的缴纳、学生听课注意力与时间的关系、水电邮寄出租车等各种收费、行程中的路程与时间的关系、工作安排、药物剂量与年龄的关系、药物疗效与时间的关系、生产生活中的最优化（如商品和营销利润最大）等等问题，都可以建立相应分段函数模型，利用相关数学知识加以解决。

分段函数应用举例作者：***来源：《中学数学杂志(高中版)》2021年第05期【摘要】近年来，分段函数的应用在各级各类考试中越来越成为热点，特别是利用分段函数求参数的取值范围（包括求参数的值），求最值，以及与其它知识点联系进行综合考查.分段函数的应用比较广泛，考查的类型、题型较多，但万变不离其宗，主要还是应用函数的性质、结合函数图象解决问题.在解决问题的过程中体现了数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法的应用.【关键词】分段函数;应用;取值范围分段函数是一种比较特殊的函数，指的是在定义域的不同子集上对应关系不同的函数.分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集.近年来，笔者发现分段函数的应用在各级各类考试中越来越成为热点，特别是利用分段函数求参数的取值范围（包括求参数的值），求最值，以及与其它知识点联系进行综合考查.下面笔者就经常出现的几种类型进行研究，以求掌握此类试题的求解策略，从而更好备考.类型1 求参数取值范围结束语由上述可知，分段函数的应用比较广泛，考查的类型、题型较多，但万变不离其宗，主要还是应用函数的性质、结合函数图象解决问题.在解决问题的过程中体现了数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法的应用.在数学解题方面，以经历一般化加工的高考试题为例，其解题基本思路以及知识点都是学生已掌握的，但是在问题情境上因题目是从数值过渡到字母的表示，在思维观念上从正向思维变为逆向思维，因此常常让考生感到无从下手、无所适从[1].笔者认为数学解题的最高境界必然是“无招”.无招的背后，必然是寻求以不变应万变的本质.数学解题中的“无招”，其实质应该是解题的“通性通法”.什么是数学解题中的“通性通法”呢？笔者认为，通性通法就是解决一类问题的最合理的想法、最基本的思路、最常用的方式、最普遍的操作程序.通性通法教学不仅有利于学生快速抓住数学知识的本质，形成有效解决问题的策略，而且有利于消除学生对数学学科的畏惧心理，增强学生学好数学的自信心.因此，通性通法教学应引起我们广大师生的足够重视，以无招胜有招，才能笑傲考场.参考文献[1] 卓斌.数学解题教学应让通解通法落地生根[J].数学通报，2018（02）：45-49.作者简介陈晓明（1971—），男，安徽广德人，硕士学位，中学高级教师.近年来发表论文80余篇（其中國家级30多篇）.。

第4课时分段函数【知识与技能】1.能根据不同情况，了解分段函数的含义.2.了解简单的分段函数，并能运用分段函数解决函数值的问题.3.能作出分段函数的图象，利用它解决生活中的简单应用问题.【过程与方法】1.通过对例题的探究，培养学生勤于动脑、乐于探究、主动参与学习的意识，体会数形结合思想在数学学习中的重要性.2.经过训练题和课堂学习，加深对分段函数的概念、图象的认识、应用，提高分析、解决问题的能力.【情感态度】学习过程中进一步体会发现规律、应用规律的乐趣，从而提高学习数学的兴趣，提高学生的求知欲，感悟数学的美.【教学重点】1.理解分段函数的含义及会作分段函数的图象.2.利用分段函数解决日常生活中的实际问题.【教学难点】1.分段函数与一般函数的区别与联系.2.如何作分段函数的图象.3.分段函数的实际应用.一、情境导入，初步认识1.作出函数y=2x+1(x＞0)的图象，命名为图1.2.在同一直角坐标系中，作出函数y=2x+1(x＞1)的图象，命名为图2.【教学说明】作出的两个图象是什么样的函数图象？和以前学的函数图象有何差别？图1和图2是否可以作为某个函数的图象？图1与图2有怎样的区别与联系？让学生发现虽然有两个解析式，但是仍是同一个函数，引出分段函数的定义.在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数.二、思考探究，获取新知例 小芳以200米/分的速度起跑后，先加速跑5分钟，每分钟提高速度20米，又匀速跑10分钟.试写出这段时间里她的跑步速度y （单位：米/分）随跑步时间x 的（单位：分）变化的关系式，并画出函数图象.【分析】本题y 随x 变化的规律分成两段：前5分钟与后10分钟.写y 随x 变化函数关系式时要分成两段来写，且要注意各自变量的取值范围.解：(1)跑步速度y 与跑步时间x 的函数关系式为：()20200053005()15y x x x =+≤≤⎩≤⎧⎨＜ （2）函数图象如图所示.【教学说明】把简单的实际问题转化为数学问题（函数模型）；利用数学方法来解决有关实际问题.三、运用新知，深化理解为了加强公民的节水意识，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6m 3时，水费按0.6元/立方米收费，超过6m 3时，超过部分每立方米按1元收费，每户每月用水量为xm 3,应缴水费y 元.（1）写出每月用水量不超过6m 3和超过6m 3时，y 与x 之间的函数关系式.（2）已知某户5月份用水量为8m 3，求该用户5月份的水费.【教学说明】上面的习题对本节知识进行了拓展，教师应引导、鼓励学生自主解答，再互相交流，并由教师对完成的结果进行点评.【答案】（1）()0.6062.46()y x x y x x =≤≤=-⎧⎪⎨⎪⎩＞ （2）当x=8时，y=5.6,故该用户5月份的水费为5.6元.四、师生互动，课堂小结今天你学到了什么？有哪些收获？1.布置作业：从教材“习题19.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时学习的分段函数，可利用数形结合的思想，引导学生找到解题的思路，提高解决实际问题的能力.。

专题7分类讨论思想在分段函数中的应用【高考地位】分段函数是高中数学中一类重要的函数类型，不仅能考查函数的概念、表示及性质，而且能有效考查学生分类讨论的数学思想方法，培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力，因此掌握分 段函数的几类常见问题是必要的，下面针刈•分段函数的特征归纳三类问题：求值问题、单调性问题和最值 问题。

【方法点评】类型一求值问题使用情景：分段函数的求值问题类型二单调性问题使用情景：分段函数的单调性问题解题模板：第一步通过观察分析，袂圧如何对白变量进行分类;第二步通过运算、变形，利用对数运用.指数运算等，将问题转化为对数型方程、指数型方程等类型加以求解;第三步得出结论.例1已知函数f(x) =2x+a,x< I1呃21'若/叫则2()A. 16B. 15C. 2【变式演练1】在函数y =x + 2, x<-1x 2, -l<x<2 中,2X 9 X >2若f(x) = 1,则兀的值是(A. 1C- ±1D. V3【变式演练2】函数f(x) =log 2 X, x 2 +4x + l,x>0x<0若实数a 满足/(/«))=1，则实数a 的所有取值的和为A. 1B.・J1615C16D. -2解题模板：第一步通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步根据常见函数的单调性，分别计算每段函数的单调性；第三步满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）；第四步得出结论.[X2,XG [0,+8）例2已知函数= j ?+ / 3 +2 0在区问（—T+x）上是增函数,则常数d的取值范围是（）A.(L2)B. (一。

o,l]U[2,+oo)C. [1,2]D. (一。

o」)U(2,+oo)_ Y - 1 A y y V- 八一，若函数J = /(x)在区间(Q, d+1)上单调递增，则实数log2x y x> 4G的取值范围是()A.(_oo , 1 ]B. [1, 4]C. [ 4, +oo )D. (-8, 1 ] U [4, +8 )（3Q-1）X +4Q,X v 1【变式演练4】已知函数f（x） = \在/?是单调函数，则实数Q的取值范围是[log“x, x>l类型三最值问题使用情景：分段函数的最值问题解题模板：第一步通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步根据常见函数的最值，分别计算每段函数的最值；第三步满足函数在整个区间上的最值，即比较每段函数的最值大小，谁最大谁是最大值，谁最小谁是最小值；第四步得出结论.例3 设函数g(x) = x2 - 2(XG /?), /(x) 则/(兀)的值域是( ) \g(x)-x y x>g(x)A. [0, +oo)B.[-p+oo)49QC. [--,0]U(l,+oo)D. [--,0]U(2,+oo)44(兀一 兀 SO,例4 /(x) =1 若/(0)是/⑴的最小值，则。

“分段函数”的应用案例开元职校吴为在平常数学教学中展示出来的书本世界抽象性太强，与真实的世界有着不少的差距，因此许多不爱数学的学生就常常会把数学与生活剥离开来。

事实上，数学与生活是密不可分的。

以下是我们生活中常见的几个例子。

案例一：目前杭州市出租车的运价标准为：起步价是前4公里10元，基本单价每公里2元，在运送途中因红灯或乘客原因停车时，累计5分钟以1公里计。

太原市出租车的运价标准为：日间起程价前4公里7元，基本单价每公里1元；夜间起程价前4公里7.8元，基本单价1.2元／公里；停车等待计费标准为累计5分钟以1公里计。

案例二：近年来，由于用电紧张，用电成本增加，为使居民节约用电，浙江省2004年8月1日抄见电量开始执行新的居民生活用电价格。

一户一表居民用户实施阶梯式累进电价：月用电量低于50千瓦时（含50千瓦时）部分不调整；月用电量在50千瓦时—200千瓦时部分，电价每千瓦时上调0.03元；月用电量超过200千瓦时部分，电价每千瓦时上调0.10元。

执行峰谷电价的居民用户以总电量与阶梯基数比对进行计算。

居民合表用户和学校等集体用户的电价每千瓦时上调0.02元。

双月抄表的一户一表居民用户的阶梯基数电量按标准月度基数电量乘二执行。

对于调价当月抄表计算的双月抄表居民用户，本次抄见电量的一半按原电价计算，另一半按照调整后新电价计算，阶梯基数电量执行标准月度基数电量。

案例三：《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分全月应纳税款按下述标准分段累计：不超过500元的部分税率为5%；超过500元至2000元的部分税率为10%；超过2000元至5000元的部分税率为15%；超过5000元至20000元的部分税率为20%；超过20000元至40000元的部分税率为25%；超过40000元至60000元的部分税率为30%；超过60000元至80000元的部分税率为35%；超过80000元至100000元的部分税率为40%；超过100000元的部分税率为45%。

•••••••••••••••••高教版数学说课稿分段函数的实际应用说课稿高教版数学说课稿分段函数的实际应用说课稿作为一名教职工，编写说课稿是必不可少的，说课稿可以帮助我们提高教学效果。

我们该怎么去写说课稿呢？下面是小编帮大家整理的高教版数学说课稿分段函数的实际应用说课稿，仅供参考，希望能够帮助到大家。

各位评委：下午好！今天我说课的课题高教版《数学》基础模块上册，第三章第3节的内容——分段函数的实际应用。

随着我国职业教育改革不断向纵深推进，“以服务为宗旨，以就业为导向，以能力为本位，以学生为主体”的现代职教新理念指导数学教学改革。

<新课标>强调在课堂中要营造和谐发展的教学氛围，培养学生主动学习的习惯和能力，实现学生自主发展，本节课的设计以拼客消费活动为背景，在课堂教学中力求实施开放性、活动性教学，通过开展丰富多彩的课堂活动，充分发挥学生的主体性作用，让学生体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，体验到数学的魅力。

下面我从教材分析，教法设计，学法设计、教学过程、教学反思五个方面对本节课进行说明。

一、教学分析《分段函数的实际应用》是一节应用性、实践性极强的课，既是初中“函数”知识的直接延伸，也是函数一般知识在生活中的具体运用，是解决可转化为分段函数问题的数学问题，并将问题解决方式用来处理生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。

职高学生数学基础普遍较弱且参差不齐，且不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大，这对高中数学教学带来了负面影响。

在教学实践中，我以学生的认知能力和心理特征为切入口，以“拼客”消费活动为任务背景激发学生学习兴趣，以“拼客”消费任务解决驱动自主发展教学，循序渐进地推进数学教学活动的展开。

在教学过程中结合学生的认知规律和自身特点，将分段函数的实际应用知识点分为概念性质初步应用与图像深入应用两课时。

本节课作为概念性质初步应用第一课时，确立教学目标如下：知识与技能目标：通过丰富的生活实例，体会函数的变量关系，理解分段函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，理解分段函数的概念；会建立简单实际问题的分段函数的关系式。