2019年高三数学联考试卷

数学 第 1 页（共 11 页）21 21 2 3 31．【答案】{0，1}【解析】因为 A = {x | 2x + 1 > 0} = {x | x > - 1}， B ={x ∈ Z | -2 ≤ x ≤ 1} ={-2, -1,0,1} ，所以 A B = {0，1}．2 2．【答案】12 + 5i【解析】因为 z = (5 - 4i) ⋅1 + i= (5 - 4i)i = 4+5i ，所以 z = 4 - 5i ，所以2z + z = 2(4 + 5i) + (4 - 5i) =12 + 5i ．1 - i4. 【答案】3 3 4π【解析】依题意，圆的面积为 S = πr 2，由对称性知黑色部分的面积为 S= 3S 正△OAB= 3 3 r 2 ，故此点取4自黑色部分的概率是 P = S 1 = 3 3．5. 【答案】–4 或 9S 4π【解析】依题意，当 x ≤ 3 时，由 x 2 - 6 = 10 ，解得 x = -4 或 x = 4（舍去）；当 x > 3 时，由log x + 8 = 10 ，解得 x = 9 ．综上可得 x = -4 或 9． 6．【答案】4【解析】由茎叶图知，学生甲五次化学测试考出的分数分别为 77，79，80，81，83，则其平均分x =77 + 79 + 80 + 81 + 83= 80 ，故方差 s 2 = 1⨯ (32 + 12 + 02 + 12 + 32 ) = 4 ．557．【答案】 72【解析】依题意，知双曲线的渐近线方程为bx ± ay = 0 ．由对称性得左焦点 F 到一条渐近线bx - ay = 0 的距离为= bc = b = 3 ，又a +b = 3 + 2 c，所以 a = 2 ，则c == ，故双曲线的离心率e = c = = 7．a 23 3 1数学 第 2 页（共 11 页）8．【答案】[-1,8]【解析】要使函数 y =有意义，需满足 2 + x - x 2 ≥ 0 ，解得-1 ≤ x ≤ 2 ，即 A = [-1, 2]．函数y = 4x - 2x +1 = 22x - 2 ⋅ 2x = (2x -1)2 -1，且 x ∈[2],-1 ，则 1≤ 2x ≤ 4 ，易知当2x =1 时，得 y= -1，当2x = 42时，得 y max = 8 ，从而得-1 ≤ y ≤ 8 ．故所求函数的值域是[-1,8] ．学！科网min10. 【答案】3 32【 解析】 由 m ⊥ n ，得 m ⋅ n =a ( a + c ) a 2 + c 2 - b 21 +( c + b ) ( c - b ) 2π ，即 a2 + c 2 - b 2 = -a ． 由余弦定理得 cos B == - ，因为 B ∈(0, π) ，所以 B = ．又b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B = a 2 + c 2 + ac = 18 ≥2ac 23 2ac + ac = 3ac ， 当且仅当 a = c 时等号成立， 所以 ac ≤ 6 ，则 S = 1 ac sin B = 3 ac ≤ 3 3 ，即(S △ABC )m a x=3 3 ．2△ABC2 4 2 11. 【答案】1【解析】依题意知 f (x ) 的图象关于 y 轴对称，且有 f (3) = f (-3) = 0 ．因为偶函数 f (x ) 在[0, +∞) 上是单调递增的，所以由 f (| 2a - 5 |) = f (2a - 5) ≤ 0 = f (3) ，得| 2a - 5 |≤ 3 ，即-3 ≤ 2a - 5 ≤ 3 ，解得1 ≤ a ≤ 4 ， 所以a 的最小值为 1．数学 第 3 页（共 11 页）=- = - 1 113．【答案】{k |1 < k < 2 或 2 < k < 3} （填(1, 2) (2,3) 也给满分）【 解析】 由题意， x ≠ 0 ， 令 f (x ) = 0 ，得 2k - 4 = x 3 - 3x (x ≠ ．设 g ( x )= x 3- 3 x ( x ≠ ，则g '( x )= 3 (x 2 - ，易得 g (x ) 在(-∞, -1) 和(1，+ ∞) 上单调递增，在(-1, 0) 和(0,1) 上单调递减．因为函数y = f (x ) 有3 个零点，所以函数 y = g (x ) 的图象和直线 y = 2k - 4 有3 个交点，而 g (-1) = 2 ， g (1) = -2 ， 注意 x ≠ 0 ，即 x 轴与 y = g (x ) 的图象只有 2 个交点．画出函数 y = g (x ) 的大致图象和直线 y = 2k - 4 如图，依题意得-2 < 2k - 4 < 0 或0 < 2k - 4 < 2 ，即1 < k < 2 或2 < k < 3 ．故实数k 取值的集合是{k |1 < k < 2 或 2 < k < 3} ．14．【答案】3sin(11x - π)6【解析】由题意， A = 3 ．因为 f (x ) 的周期T =2π，且 f (x ) 在区间(2π , 5π) 上单调，则由ω > 0 及 ω33 33π = T ≥ 5π - 2π = π ，可得0 < ω ≤ 11 ①；又因为点(- π , 0) 是函数 y = f (x ) 图象的对称中心，直线 x = π ω 2 33 33 11 6 3是函数 y = f (x ) 图象的对称轴，所以 π - (- π) = π = T + k ⋅ T = 2k +1 ⋅ 2π，即ω = 2k + 1（ k ∈ N ）②．由3 6 24 2 4 ω①②得ω 是小于或等于 11 的正奇数，所以ω 的最大值为 11．当ω = 11时，将 x π代入11x + ϕ = k'π ，6解得 ϕ = k'π + 11π (k' ∈ Z ) 6 ，又 | ϕ |≤ π 2 ， 取 k' = -2 可得 ϕ π6 ，故 实数 ω 取 最 大 值 时，f ( x )= 3 s i n (x - π ． 615．（本小题满分 14 分）【解析】（1）在底面四边形 ABCD 中，由∠BAD = ∠ABC = 90︒ ，可得 BC AF ；数学 第 4 页（共 11 页）又 AD = 2BC ， F 为 AD 的中点，所以 BC = AF ， 从而四边形 ABCF 为平行四边形，所以 FCAB ，而 AB ⊂ 平面 PAB ， CF ⊄ 平面 PAB ，所以CF 平面 PAB ．（5 分） 由题意，知 EF 是△ADP 的中位线，得 EFPA ，同理可证 EF 平面PAB ． 又CF 与 EF 是平面 EFC 内两相交直线，所以平面 EFC 平面 PAB ； 因为 EC ⊂ 平面 EFC ，所以 EC 平面 PAB ．（8 分） （2）由（1）知 FC AB ，因为∠BAD = 90︒ ，所以 AB ⊥ AD ，（10 分） 又 AB ⊥ PD ，且 AD , PD 是平面 PAD 内两相交直线， 所以 AB ⊥ 平面 PAD ，从而 FC ⊥ 平面 PAD ，又 FC ⊂ 平面 EFC ，故平面 EFC ⊥ 平面 PAD ．（14 分） 16．（本小题满分 14 分）（2）由（1）及正弦定理c sin C= b sin B，解得b = c sin B = sin C 13 ⨯ 513 = 5 2 ．（10 分） 22当cos A =- 7 2 时，得sin A = = 17 2 ，则 S = 1 bc sin A = 85；26 26△ABC 2 2当cos A = 17 2 时，得sin A = = 7 2 ， 则 S = 1 bc sin A = 35．26 26△ABC 2 2综上， △ABC 的面积为 85或35．（14 分）2 217．（本小题满分 14 分）数学 第 5 页（共 11 页）3 x 【解析】（1）依题意，每个长方体水箱的底面宽是 x ，则长是2x ，设其高为h ， 所以其表面积为2(2x 2 + xh + 2xh ) = 432 ，解得h = 72 - 2x ， x 3所以V (x ) = x ⋅ 2x ⋅ (72 - 2 x ) = 144x - 4x 3 ，（3 分） x 3 3⎧x > 0⎪72 2由⎨ - x > 0 ，解得0 < x < 6 ， ⎪ 3 ⎪⎩2x > 0 所以函数V (x ) 的定义域为(0, 6 3) ．（7 分）18．（本小题满分 16 分）【解析】（1）因为a + 3a + 5a + + (2n - 3)a + (2n -1)a = (n -1)3n +1 + 2 ①，123n -1n所以a + 3a + 5a + + (2n - 3)a = (n - 2)3n + 2 (n ≥ 2) ②，123n -1①②两式相减，得(2n -1)a n =[(3n - 3) - (n - 2)]3n = (2n -1)3n (n ≥ 2) ，（5 分）所以a n = 3 (n ≥ 2) ③．（6 分） n由①式，当 n = 1 时，得a 1 = 2 ， 检验③式，对 n = 1不成立． ⎧2(n = 1) 故数列{a n } 的通项公式为a n = ⎨ n．（8 分）⎩3 (n ≥ 2)（2）由（1）知， S 1 = 2 ，所以 S 1 > 2019 不成立，（9 分） 当 n ≥ 2 时，2 3n3⨯ (1- 3n ) 3n +1 - 5S n = a 1 + a 2 + a 3 + = -1+ 3 + 3 + 3 ++ 3 = -1+= ，+ a n数学 第 6 页（共 11 页）由 S n > 2019 ，即 3n +1 - 52> 2019 ，可得3n +1 > 4043．（12 分）令 f (n ) = 3n +1 ，易知 f (n ) 是关于 n 的递增函数， 又因为2187 = 37 = f (6) < 4043 < f (7) = 38 = 6561 ．（14 分） 因此要使3n +1 > 4043成立，只需n ≥ 7 ，故使 S n > 2019 成立的正整数n 的最小值为 7．（16 分） 19．（本小题满分 16 分）（2）由（1）知 F 1 (-3, 0) ，则k AC = k EF = 1 ，所以直线 AC 的方程为 y = x + 3 ，代入椭圆 M 的方程，整理得 x 2 + 4x = 0 ，解得 x = 0 或 x = -4 ，可得 A （0，3），C （–4，–1），则| AC |= 4又因为 BD ⊥ AC ，则k BD = -1，．（10 分）设直线 BD 方程为 y = -x + m ，代入椭圆 M 的方程， 整理得3x 2 - 4mx + 2m 2 -18 = 0 ．2 1数学 第 7 页（共 11 页）66∆ =16m 2 -12⨯(2m 2 -18) = 8⨯(-m 2 + 27) ，4m 2m 2-18设 B (x 3 , y 3 ), D (x 4 , y 4 ) ，则 x 3 + x 4 = 3 ， x 3 ⋅ x 4 = 3．（13 分）将 A (0,3),C (-4, -1) 的坐标分别代入 y = -x + m 中，对应得m = 3, -5，由弦 BD 与弦 AC 相交，知-5 < m < 3 ，此时∆ = 8⨯(27 - m 2 ) > 0 恒成立．由弦长公式得| BD |= 则四边形 ABCD 的面积 S = 1 | BD | ⋅ | AC | 8 （当且仅当 m = 0 时取等号）．2所以四边形 ABCD 的面积的最大值为8 ，此时直线 BD 方程为 y = -x ．（16 分）20．（本小题满分 16 分）（2） 先考虑 x > 1时的情况，' 4(x -1)2 + 2a4当 a < 0 时，则 f (x ) ==x -1 x -1 (x -x -1 -；（6 分）易知当1 < x < 1 时， f '(x ) < 0 ；当 x > 1 + f '(x ) > 0 ；所以函数 f (x ) 在(1,1 上单调递减，在[1 ++∞) 上单调递增．（8 分） 又因为函数 f (x ) 的图象关于直线 x = 1 对称，所以 f (x ) 在(-∞,1 -和(1,1 +上单调递减，在[1 和[1 ++∞) 上单调递增．所以函数 f (x ) 无极大值点，有 2 个极小值点，分别为1 - 1 +9 分）（3） 仍然先考虑 x > 1时的情况，①当a ≥ 0 时，由（1）知函数 f (x ) 在(1, +∞) 上单调递增，数学 第 8 页（共 11 页）0 2 ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ 又 f (2) = 0 ，所以函数 f (x ) 在(1, +∞) 上有一个零点，是 x = 2 ；（10 分）②当a < 0 时，由（2）知函数 f (x ) 在(1,1 上单调递减，在[1 ++∞) 上单调递增． 所以函数 f (x ) 在(1, +∞) 上的最小值 f (x )min = f (1 += -a - 2 + 2a令 g (a ) = -a - 2 + 2a lna < 0) ， 则 g '(a ) = -1 + 2 ln21 -a - 1( ) 2 (-1) = 2 ln 12 分） 2 2 2 由 g '(a ) > 0 ，解得a < -2 ；由 g '(a ) < 0 ，解得-2 < a < 0 ， 所以 g (a ) 在(-∞, -2] 上递增，在[-2, 0) 上递减， 所以 g (a )max = g (-2) = 0 ，数学Ⅱ（附加题）·全解全析21．A ．[选修 4—2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）⎡1 1 ⎤【解析】（1）设矩阵 A = ⎡1 -1⎤ ，易得 A 可逆，且 A -1= ⎢2 ⎥ ，（3 分） ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦⎢0 ⎣ ⎥ 1 ⎥ 2 ⎥⎦ ⎡1 故 B = ⎡ 0 2⎤ A -1 = ⎡ 0 2⎤ ⎢1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤2 ⎥ = ⎢ ⎥ ．（5 分）⎢-1 0⎥ ⎢-1 0⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢-1 - 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢0 ⎥ ⎣ 2 ⎦（2）设 D (x 0 , y 0 ) 为直线l 1 上任意一点，它在矩阵 B 对应的变换作用下变为 P (x , y ) ， 即点 P 在直线l 2 上，且2x 0 - y 0 + 1 = 0 ①．2 ⎦数学 第 9 页（共 11 页）2 53⎨ ⎡ 0 1 ⎤⎡ x ⎤⎡ x ⎤⎧ y 0 = x 又⎢ ⎥ 0 = ，则⎪ ，（8 分） ⎢-1- 1 ⎥ ⎢ y ⎥⎢ y ⎥⎨-x - 1y = y ⎣ 2 ⎦⎣ 0 ⎦⎣ ⎦ ⎩⎪ 0 2 0 ⎧x = - 1 x - y 所以⎪ 02 ，代入①，整理得2x + 2y -1 = 0 ．⎪ y = x ⎩ 0故直线l 2 的方程为2x + 2y -1 = 0 ．（10 分）C ．[选修 4—5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）【解析】由柯西不等式，得(x 2 + 4 y 2 + z 2 )[22 + (- 12 + 32 ] ≥ [2x + 2 y ⋅ (- 1) + 3z ]2 = (2x - y + 3z )2 ，（3 分）2 2因为 x 2 + 4y 2 + z 2 =16 ，所以16 ⨯ (4 + 1+ 9) ≥ (2x - y + 3z )2 ，4整理得(2x - y + 3z )2 ≤ 212 ，当且仅当 x = 2 y = z，即 x = -8y ， z = -12 y ， y =± 时取等号，（7 分）2 - 13 2于是-2 ≤ 2x - y + 3z ≤ 2 53 （当 y = 2 , - 2时左、右不等式分别取等号）．53 53故得2x - y + 3z 的取值范围是[-2 53, 2 53] ．（10 分）22．（本小题满分 10 分）【解析】（1）如图，分别以 AB 、AD 、AA 1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 A - xyz ．依题意知， O (1,1, 4) ， B (2, 0, 0) ， C (2, 2, 0) ，53数学 第 10 页（共 11 页）10 设 AE = t (0 ≤ t ≤ 4) ，则 E (0, 0,t ) ，于是CO = (-1, -1, 4) ， BE = (-2,0,t ) ．（3 分） 因为sin θ = 1，且θ ∈(0, π] ，所以cos θ =2 2， 3所以| cos < 23=2 2 ，3解得t =15∈[0, 4] ，即 AE = 15．（5 分） 4 423．（本小题满分 10 分）【解析】（1）依题意，10 头成年牛中恰有3 头感染 H 型疾病的概率是f ( p ) = C 3 p 3 (1- p )7，且0 < p < 1 ．CO , BE >|= | 2 + 4t |3 2 ⋅则有 f '( p) = C3 [3p2 (1-p)7 - 7 p3 (1-p)6 ] = C3 p2 (1-p)6 (3 -10 p) ，10 10令 f '( p) = 0 ，结合0 <p < 1 ，解得p = 0.3 ．（3 分）则当p ∈(0, 0.3) 时，f '( p) > 0 ；当p ∈(0.3,1) 时，f '( p) <0 ．即函数f ( p) 在(0, 0.3) 上单调递增，在(0.3,1) 上单调递减，故当概率p = 0.3 时，f ( p) 有最大值．（5 分）数学第11 页（共11 页）。

2019届海南省高三年级第二次联合考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|}A x y x ==-，{|lg }B y y x ==，则AB =（ ）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．RD ．(,0]-∞2.已知复数(3)(1)z m m i =-+-在复平面内对应的点在第二象限，则整数m 的取值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33.设向量(,4)a x =-，(1,)b x =-，若向量a 与b 同向，则x =（ ） A ．2 B ．-2 C ．2± D ．04.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且936S S =，则{}n a 的公差d =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45.某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为（ ）A ．42083π+B ．42163π+C ．322083π+D ．322163π+ 6.设x ，y 满足约束条件36060360x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．0B ．-1C ．-2D ．-37.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了242盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯（ ）A ．81盏B ．112盏C ．114盏D ．162盏 8.执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．17B ．33C ．65D ．129 9.将曲线sin(2)()2y x πϕϕ=+<向右平移6π个单位长度后得到曲线()y f x =，若函数()f x 的图象关于y 轴对称，则ϕ=（ ） A ．3π B ．6πC ．3π-D ．6π-10.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b -=>>的一条渐近线与圆22(2)(1)1x y -+-=相切，则C 的离心率为（ ）A ．43 B ．54 C ．169 D ．251611.在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（ ） A ．甲、乙 B ．乙、丙 C ．甲、丁 D ．丙、丁12.在四面体ABCD 中，AD ⊥底面ABC ，10AB AC ==，2BC =，点G 为ABC ∆的重心，若四面体ABCD 的外接球的表面积为2449π，则tan AGD ∠=（ ） A ．12B ．2C ．22D ．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.13.若1x =是函数3()af x x x=+的一个极值点，则实数a = ． 14.如图，小林从位于街道A 处的家里出发，先到B 处的二表哥家拜年，再和二表哥一起到位于C 处的大表哥家拜年，则小林到大表哥家可以选择的最短路径的条数为 ．15.某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X （单位：kg ）服从正态分布(25,0.04)N ，任意选取一袋这种大米，质量在24.825.4kg 的概率为 ．（附：若2(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσ-<=，(2)0.9544P Z μσ-<=，(3)0.9974P Z μσ-<=）16.已知F 是抛物线C ：212x y =的焦点，P 是C 上一点，直线FP 交直线3y =-于点Q .若2PQ FQ =，则PQ = ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2sin sin cos B C B +2cos()0B C ++=，且sin 1B ≠. （1）求角C ；（2）若5sin 3sin B A =，且ABC ∆的面积为1534，求ABC ∆的周长. 18.从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，将用电量的数据绘制成频率分布直方图如下图所示.（1）求频率分布直方图中x 的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间[50,150)内的用户记为A 类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250,350)内的用户记为B 类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，并将打分数据绘制成茎叶图如下图所示：①从B 类用户中任意抽取3户，求恰好有2户打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”？满意 不满意 合计 A 类用户B 类用户合计附表及公式：20()P K k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AB AD =，3BD AD =，且PD ⊥底面ABCD .（1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）若Q 为PC 的中点，且1AP BQ ⋅=，求二面角Q BD C --的大小.20.在平面直角坐标系xOy 中，设动点M 到坐标原点的距离与到x 轴的距离分别为1d ，2d ，且221234d d +=，记动点M 的轨迹为Ω.（1）求Ω的方程；（2）设过点(0,2)-的直线l 与Ω相交于A ，B 两点，当AOB ∆的面积最大时，求AB . 21.已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--. （1）证明：直线2y x =与曲线()y f x =相切；（2）若3()(3)f x k x x >-对(0,1)x ∈恒成立，求k 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：2260x y x +-=，直线1l ：0x -=，直线2l 0y -=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）写出曲线C 的参数方程以及直线1l ，2l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 分别交于O ，A 两点，直线2l 与曲线C 分别交于O ，B 两点，求AOB ∆的面积.23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()2f x x a a =++.（1）若不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式2()4f x k k ≥--恒成立，求k 的取值范围.2019年高考调研测试 数学试题参考答案（理科）一、选择题1-5: BCAAA 6-10: CDCDB 11、12：DB二、填空题13. 3 14. 9 15. 0.8185 16. 8三、解答题17.解：（1）由2sin sin cos B C B +2cos()0B C ++=，得2cos cos cos B C B -=. ∵sin 1B ≠，∴cos 0B ≠， ∴1cos 2C =-，∴23C π=. （2）∵5sin 3sin B A =，∴53b a =， 又ABC ∆的面积为4，∴1sin 244ab C ab ==，∴15ab =，∴5a =，3b =.由余弦定理得2222cos 49c a b ab C =+-=，∴7c =. 故ABC ∆的周长为53715++=. 18.解：（1）1(0.0060.00360.002450x =-++20.0012)0.0044⨯+=， 按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3， 所以估计平均用电量为675912515175112256275332550⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯186=度.（2）①B 类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从B 类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为2163391528C C C =. ②因为2K 的观测值224(6963)1212915k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 1.6 3.841=<，所以没有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”. 19.（1）证明：∵222AD BD AB +=，∴AD BD ⊥， ∴//AD BC ，∴BC BD ⊥.又∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD BC ⊥. ∵PDBD D =，∴BC ⊥平面PBD .而BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD . （2）解：由（1）知，BC ⊥平面PBD ，分别以DA ，DB ，DP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，设BD =，则1AD =，令PD t =，则(1,0,0)A，B，(C -，(0,0,)P t，1(,)222t Q -， ∴(1,0,)AP t =-，1(,)22t BQ =-. ∴2112t AP BQ +⋅==，∴1t =.故11()22DQ =-，11(,)22BQ =-. 设平面QBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1102211022x y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 令1x =，得(1,0,1)n =.易知平面BDC 的一个法向量为(0,0,1)m =，则cos ,2m n <>==，∴二面角Q BD C --的大小为4π. 20.解：（1）设(,)M x y，则1d =2d y =，则222212344d d x y +=+=，故Ω的方程为2214x y +=（或2244x y +=）. （2）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将2y kx =-代入2214x y +=，得22(14)16120k x kx +-+=， 当216(43)0k ∆=->，即234k >时，1221614k x x k +=+，1221214x x k =+，从而AB =214k=+， 又点O 到直线AB的距离d =所以AOB ∆的面积12S d AB ==，t =，则0t >，244144t S t t t==≤++， 当且仅当2t =，即274k =（满足0∆>）时等号成立， 所以当AOB ∆的面积最大时，274k =，2AB ==. 21.（1）证明：11'()11f x x x =++-，∴由'()2f x =得2221x =-，解得0x =，又(0)0f =，∴直线2y x =与曲线()y f x =相切.（2）解：设3()()(3)g x f x k x x =--，则22223(1)'()1k x g x x +-=-，当(0,1)x ∈时，22(1)(0,1)x -∈，若k ≥22)0x >，则'()0g x >，∴()g x 在(0,1)上递增，从而()(0)0g x g >=.此时，(f 在(0,1)上恒成立.若23k <-，令'()0g x x =⇒(0,1)=，当x ∈时，'()0g x <；当x ∈时，'()0g x >.∴min ()g x g =(0)0g <=， 则23k <-不合题意. 故k 的取值范围为2[,)3-+∞.22.解：（1）依题意，曲线C ：22(3)9x y -+=，故曲线C 的参数方程是33cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），因为直线1l ：0x -=，直线2l 0y -=，故1l ，2l 的极坐标方程为1l ：()6R πθρ=∈，2l ：()3R πθρ=∈.（2）易知曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=，把6πθ=代入6cos ρθ=，得1ρ=)6A π，把3πθ=代入6cos ρθ=，得23ρ=，所以(3,)3B π，所以121sin 2AOB S AOB ρρ∆=∠13sin()3364ππ=⨯-=. 23.解：（1）因为21x a a ++≤，所以12x a a +≤-， 所以2112a x a a -≤+≤-，所以113a x a -≤≤-. 因为不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，所以12134a a -=-⎧⎨-=⎩，解得1a =-.（2）由（1）得()12f x x =--.不等式2()4f x k k ≥--恒成立，只需2min ()4f x k k ≥--，所以224k k -≥--，即220k k --≤，海南省2019届高三第二次联合考试数学(理)试卷(含答案).所以k的取值范围是[1,2]。

全国大联考|2019届高三第四次大联考数学试题（内附答案）！
距离每年一度的高考又进了一天，学弟学妹们是不是已经做好准备了呢！
昨天有个学弟微信我说：‘我觉得我要挂在数学上了！’他是文科的学生，其他成绩都很棒，唯独数学不是很好，很拉分。

其实，我想说的是，数学没有那么难，真的！
高中数学得学习是一种积累，是一个长期的过程，高考也并不需要灯光下的熬夜苦战，也不需要题海中的无边漫游，有一适合自己的学习方法，才是最为重要的!每年的高考其实都是换汤不换药！只要摸索到其中的方法，数学拿高分还是很容易的。

今天我帮大家整理了一套最新高考数学测试题！大家可以看一下！这都是最新的题型，相信对你们的考试会有一定的帮助的！
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2019年11月份高三联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】求解对数不等式可得：，求解一元二次不等式可得：，则：，，.本题选择D选项.2. 已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，结合向量平行的充要条件有：,求解关于实数的方程可得：.本题选择C选项.3. （）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：本题选择A选项.4. 已知，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由向量垂直的充要条件有：，则：，结合向量的夹角公式有：，据此可得：向量与的夹角为.本题选择B选项.5. 已知函数，给出下列两个命题：命题若，则；命题.则下列叙述错误的是（）A. 是假命题B. 的否命题是：若，则C.D. 是真命题【答案】D【解析】由函数的解析式可得函数的定义域为，且导函数：，则函数单调递增，据此可得命题是假命题，命题是真命题，是假命题.结合特称命题与全称命题的关系可得：的否命题是：若，则，：.本题选择D选项.6. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意结合诱导公式可得：，据此可得：，结合同角三角函数基本关系可得：，，利用二倍角公式可得：.本题选择B选项.点睛：三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)7. 设是定义在上的函数，它的图象关于点对称，当时，（为自然对数的底数），则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数图象关于点对称，则对于任意的实数，有：.据此可得：.本题选择D选项.8. 已知函数的零点为，设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】指数函数和一次函数都是定义在上的单调递减函数，则函数是定义在上的单调递减函数，且：，结合函数零点存在定理可得：，据此可得：，则：.本题选择C选项.点睛：实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．9. 函数的部分图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】显然函数是偶函数，故A、D错误，当时，，所以，，又，所以，故选 C.10. 已知函数（且），则“在上是单调函数”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】很明显函数和函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.函数有意义，则：恒成立，即：.结合复合函数的单调性可得当时，函数在定义域内单调递减；当时，函数在定义域内单调递增，即若在上是单调函数，则或，“在上是单调函数”是“”的必要不充分条件.本题选择B选项.点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．11. 已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：的因数有，则的因数有，则，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由的定义知，且若为奇数则则选D12. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，易得与互为反函数与关于直线对称原命题等价于在上恒成立.记，记，同理可得，综上的最大值为，故选 A. 【点睛】本题的关键步骤有：观察发现与互为反函数；将原命题等价转化为在上恒成立；利用导数工具求的最小值，从而求得；第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知各项均为正数的等比数列的公比为，则__________.【答案】【解析】很明显数列的公比为正数，由题意可得：，则：，整理可得：，结合可得：.14. 若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为__________.【答案】【解析】设向量与向量的夹角为，利用向量垂直的充要条件有：,即：，据此可得：向量在方向上的投影为.15. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则__________.【答案】【解析】函数的解析式：据此可得：，则：，结合三角函数的性质可得：，令可得：，故：，.........................16. 在中，，边的中点为，则__________.【答案】【解析】如图所示，作于点，则：，则：.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等比数列的前项和为为等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1)即，.(2).【解析】试题分析：(1)分类讨论和两种情况可得数列的通项公式为，据此计算可得；(2)结合数列的通项公式错位相减可得数列的前项和.试题解析：（1）当时，，当时，，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，即，又，所以.（2）因为，※精品试卷※所以，①，②由①-②得，所以.18. 设函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合三角函数的周期可得，结合，则，函数的解析式为.(2)由函数的定义域可得，则函数的值域为.试题解析：（1）由图象知，即.又，所以，因此.又因为点，所以，即，又，所以，即.（2）当时，，所以，从而有.19. 在中，内角的对边分别为.已知.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】(1)；(2)3.【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简条件，统一为边，再结合余弦定理可求出（2）根据及余弦定理可求出c,根据同角三角函数关系求,利用面积公式求解.试题解析：（1）因为，所以，即.所以.（2）因为，由（1）知，所以.由余弦定理可得，整理得，解得，因为，所以，所以的面积.20. 已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)由函数的解析式可得在上单调递增，则的取值范围是；(2)原问题等价于存在，使不等式成立.构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围为.试题解析：（1）由得，在上单调递增，，的取值范围是.（2）存在，使不等式成立，存在，使不等式成立.令，从而，，，在上单调递增，.实数的取值范围为.21. 在中，是边的一个三等分点（靠近点），记.（1）求的大小；（2）当取最大值时，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析; （1）由，可得，整理得.又，所以，即.（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又，由，得.因为，所以.因为，所以.所以当，即时，取得最大值，由此可得，.试题解析：（1）因为，所以，即，整理得.又，所以，即.（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又，由，得.因为，所以.因为，所以.所以当，即时，取得最大值，此时，所以，.【点睛】本题考查正弦定理、勾股定理，求角转化为求角的某个三角函数值，以及基本不等式求最值问题等，其中着重考查化简、变形能力．22. 已知函数的图象在处的切线过点.（1）若，求函数的极值点；※精品试卷※（2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）【答案】(1)或；(2)证明见解析.【解析】试题分析：由题意结合导函数与原函数切线的关系可得.(1)由题意可得，利用导函数研究函数的极值可得的极值点为或.(2)由导函数的性质可得是函数的极大值，是函数的极小值，据此构造函数，据此可知，则函数在上单调递减，据此可得.试题解析：，又，曲线在处的切线过点，，得.（1），令，得，解得或的极值点为或.（2）是方程的两个根，，，是函数的极大值，是函数的极小值，要证，只需，，※精品试卷※令，则，设，则，函数在上单调递减，，.点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0（或f′(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。

2019年高三阶段性检测联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，则=故选D2. 命题“，”的否定为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】根据特称命题的否定是全称命题，所以命题“，”的否定为，故选D3. 设，为正实数，则“”是“”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】=所以当时，m-n<0,所以，当时，，为正实数，也有成立，故“”是“”成立的充要条件故选C4. 命题“若，则或”的逆否命题及其真假性为（）A. “若或，则”，真命题B. “若且，则”，真命题C. “若且，则”，假命题D. “若或，则”，假命题【答案】B【解析】命题“若，则或”为真命题，故它的逆否命题为真命题排除C，D；逆否命题为：“若且，则”，排除C，故选B5. 已知命题：，；命题：，，则下列命题是真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当，当时取等号，所以命题是假命题；是真命题；，，当时不等式成立，所以命题是真命题；是假命题；对于A：为真命题，故A对；对于B：为假命题，故B错；对于C：为假命题，故C错；对于D：为假命题,故D错；故选A6. 已知函数若非零实数满足，则的值为（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】得所以的值为或故选D7. 由直线，，曲线及轴所围成的封闭图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由图可知封闭图形的面积为故选A8. 已知函数是可导函数，则原命题“是函数的极值点，则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】由极值的定义可知原命题为真，则其逆否命题也为真，其逆命题为“若可导函数满足，则是函数的极值点”，是假命题，如：满足但0显然不是的极值点，所以否命题也为假命题，故选C9. 已知函数（）在内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】假设在内不存在单调递减区间，而又不存在常函数情况，所以在内递增，即有时不等式恒成立，即时，恒成立，解得，所以函数在内存在单调递减区间，实数的取值范围是故选C10. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，所以是周期函数，周期为4，于是,所以故选D11. 八世纪中国著名数学家、天文学家张遂（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法—二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张遂晚了上千年）：函数在，，（）处的函数值分别为，，，则在区间上可以用二次函数来近似代替：，其中，，．请根据上述二次插值算法，求函数在区间上的近似二次函数，则下列最合适的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由于在上关于对称，且二次函数图像关于对称轴对称，所以可取，则，于是故选A12. 已知，，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】设因为所以在上递增，在递减，所以，同理可得又注意到所以的图像始终在图像的上方，故时，的大小关系不确定，即A，B不正确.设则易知在上单调递增，又注意到，所以的图像始终在图像的下方，故时，故C正确；故选C点睛：本题主要考查函数单调性的应用，根据A,B选项给出等式的特征构造新函数，根据C,D选项给出的式子特征构造出新函数是解决本题的关键.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 甲乙丙丁四位同学一起到某地旅游，当地有，，，，，六件手工纪念品，他们打算每人买一件，甲说：只要不是就行；乙说：，，，都行；丙说：我喜欢，但是只要不是就行；丁说：除了，之外，其他的都可以．据此判断，他们四人可以共同买的手工纪念品为__________．【答案】【解析】甲可以选择的手工纪念品的集合为：，乙可以选择的手工纪念品的集合为，丙可以选择的手工纪念品的集合为丁可以选择的手工纪念品的集合为，这四个集合的交集中只有元素F故答案为F14. 已知函数（其中为自然对数的底数），若，则的值等于__________．【答案】2【解析】因为所以，而所以=e+2,解得m=2故答案为215. 设是方程的解，且（），则__________．【答案】99..................故答案为9916. 设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】函数在区间上有三个零点，即方程在区间故答案为点睛：本题考查了函数的零点问题，利用函数与方程的思想转化为两个函数图像的交点，注意分析直线与曲线的位置关系，相切是边界.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知全集，集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）当时，，所以，从而可以求出（2）因为，所以集合可以分为或两种情况讨论．当时，，即；当时，比较端点大小列出方程组求出a范围，然后把两种情况下求得的值求并集即可．试题解析：（1）当时，，所以，所以．（2）因为，所以集合可以分为或两种情况讨论．当时，，即；当时，得即．综上，．18. 已知函数．（1）用单调性定义证明：在上是减函数；（2）求的值域．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）任取，则，即可以判号证明单调性；（2）注意到，所以是上的偶函数．由（1）知在上是增函数，所以，又易知趋于无穷大，趋于无穷大，即得的值域试题解析：（1）证明：任取，则，因为，所以，，，所以，所以，故在上是减函数．（2）解：注意到，所以是上的偶函数．由（1）知在上是增函数，所以，又易知趋于无穷大，趋于无穷大，所以函数的值域为．19. 已知命题：关于的不等式；命题：不等式组（1）当时，若“”为假，“”为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：(1)先求出若“”为假，“”为真，所以，一真一假．分真假，假真两种情况进行讨论即得解（2）是的必要不充分条件，所以解得a的范围.试题解析：由，得，．由解得即，所以．（1）当时，，因为“”为假，“”为真，所以，一真一假．当真假时，，，此时实数的取值范围是；当假真时，，，此时无解．综上，实数的取值范围是．（2）因为是的必要不充分条件，所以所以，故实数的取值范围为．20. 已知，其中．（1）若，，求在处的切线；（2）若，当时，对任意的都有，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）当，时，，所以，因为，所以，即，即可得切线方程（2）当时，，因为时，，整理得，令，对进行求导研究单调性即得最小值，即可求n的范围.试题解析：（1）当，时，，所以，因为，所以，即，故切线方程是，整理得．（2）当时，，因为时，，整理得，令，因为，当时，，即在时是减函数；当时，，即在上是增函数，所以．故．21. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．（1）求的解析式；（2）若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）设，则，于是由题意可得．又易知，所以可得的解析式，写成分段函数的形式（2）不等式对于任意恒成立，即为不等式，整理得．设，则，所以可等价转化为对于任意恒成立．设，其对称轴方程为，讨论轴与2的大小，研究在上的最小值即得a的范围。

2019届高三第三次全国大联考（江苏卷）数学试题一、填空题1．若复数，其中是虚数单位，则______________.【答案】【解析】直接由复数的运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求．【详解】，则．故答案为.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2．已知集合，，那么=______________.【答案】【解析】先化简集合A,再根据交集的运算求解即可．【详解】由题意可知，，又，故．故答案为.【点睛】本题考查列举法,描述法及交集的定义，考查简单二次函数的值域，是基础题．3．在学校的春季运动会上，一个小组的5位学生的立定跳远的成绩如下：（单位：米），则这5位学生立定跳远成绩的中位数为______________米.【答案】2.1【解析】将这5位学生的立定跳远成绩按从小到大的顺序排列，由中位数的定义即可求解【详解】将这5位学生的立定跳远成绩按从小到大的顺序排列为，故这5位学生立定跳远成绩的中位数为2.1米，【点睛】本题考查中位数的定义，考查基本概念，是基础题4．运行下面的程序框图，如果输入，则输出的的值为______________.【答案】【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【详解】第1次循环，;第2次循环，;第3次循环，,输出．故答案为13.【点睛】本题考查程序框图，执行框图认真计算找到循环规律是关键，是基础题5．不等式的解集为______________.（用区间形式表示）【答案】【解析】由对数函数的单调性去掉对数符号得x的不等式求解即可【详解】原不等式等价于，解得，【点睛】本题考查对数函数的性质，解二次不等式，考查计算能力，注意定义域，是易错题6．已知正六边形的边长为1，在这6个顶点中任意取2个不同的顶点得到线段，则的概率为______________.【答案】【解析】列举在这6个顶点中任意取2个不同的顶点得到15条线段，由古典概型求解即可【详解】由已知得，，，在这6个顶点中任意取2个不同的顶点得到以下15条线段：A1A2，A1A3，A1A4，A1A5，A1A6，A2A3，A2A4，A2A5，A2A6，A3A4，A3A5，A3A6，A4A5，A4A6，A 5A6，其中满足的有以下6条线段：A1A3，A1A5，A2A4，A2A6，A 3A5，A4A6，根据古典概型的计算公式得，的概率为．故答案为.【点睛】本题考查古典概型，考查线段长度及正六边形的简单性质，是基础题7．现有橡皮泥制作成的圆柱和圆锥各一个，已知它们的底面半径都为r，高都为2，现在把它们重新捏成一个实心球体，其半径也为r（不计捏合过程中的损耗），则这个实心球体的表面积为______________.【答案】【解析】先求圆柱和圆锥的体积之和，利用球与其等体积即可求解【详解】由已知得圆柱和圆锥的体积之和为，把它们重新捏成一个半径也为r的实心球体的体积为，所以，所以，故这个实心球体的表面积为．故答案为.【点睛】本题考查柱，锥，球的表面积和体积公式，熟记体积公式准确计算是关键，是基础题8．若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________.【答案】【解析】由题得利用基本不等式求解即可【详解】由已知得，，所以，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以该矩形的周长的最大值为. 故答案为.【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查计算能力，是基础题，注意等号成立9．已知双曲线的方程为(a＞0，b＞0)，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆弧被双曲线四等分，则双曲线离心率的平方为______________.【答案】【解析】由题意可设双曲线与圆的一个交点为，由结合点在双曲线上求得a，c的关系式求解即可【详解】由题意可设双曲线与圆的一个交点为，则（其中为双曲线的半焦距），所以，由，整理得，即，解得或，又 所以双曲线的离心率的平方为，故答案为.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，圆与双曲线的交点，考查计算能力，是基础题10．已知曲线Γ上的点到(2,0)的距离比到直线5x =-的距离小3，直线1l 与曲线Γ交于),,(11y x M 22(,)N x y 两点，点3344(,),(,)P x y Q x y 在曲线Γ上，若1234,,,x x x x 均不相等，且MP NQ k k =-，则MN NP PQ QM k k k k +++=______________. 【答案】0 【解析】先求曲线Γ的方程，再求MN 及NP,NQ ，PQ,QM,MP 的斜率，由MP NQ k k =-得12340y y y y +++=，进而得QM NP k k =-，同理得MN PQ k k =-则可求 【详解】因为曲线Γ上的点到(2,0)的距离比到直线5x =-的距离小3，所以曲线Γ上的点到(2,0)的距离与到直线2x =-的距离相等，故曲线2:8y x Γ=，则21212221122181188MN y y y y k x x y y y y --===-+-，同理可得238NP k y y =+，348PQ k y y =+，418QM k y y =+，138MP k y y =+，248NQ k y y =+，由于MP NQ k k =-，则132488y y y y =-++，可得12340y y y y +++=，由此可得412388y y y y =-++，即QM NP k k =-，同理有123488y y y y =-++，即MN PQ k k =-，故0MN NP PQ QM k k k k +++=，故答案为0. 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查直线的斜率及抛物线的应用，考查计算能力，是中档题11．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则函数在上的值域为______________.【答案】【解析】化简整理得g(x)进而得f （x ）的解析式，利用三角函数图像和性质求值域即可 【详解】 依题意，，则，当时，，，则，故答案为.【点睛】本题考查二倍角公式，三角平移变换，三角函数的值域，熟记公式，准确化简是关键，是中档题12．如图，0,||2,||2OA OB OA OB ⋅===，点C 是线段AB 上的一个动点，D 为OB 的中点，则DC OC ⋅的最小值为______________.【答案】12【解析】选取,OA OB 为基向量，设(1)OC OA OB λλ=+-得1=[()][(1)]2DC OC OA OB OA OB λλλλ⋅+-⋅+-，利用数量积运算结合二次函数求最值即可选取,OA OB 为基向量，设(1)OC OA OB λλ=+-，其中10≤≤λ，因为D 为OB 的中点，所以2OBOD =，所以1()2DC DO OC OA OB λλ=+=+-，所以21=[()][(1)]6622DC OC OA OB OA OB λλλλλλ⋅+-⋅+-=-+=2116()22λ-+，因为10≤≤λ，所以当1=2λ时，DC OC ⋅取得最小值，为12，故答案为12．【点睛】本题考查平面向量基本定理，数量积运算，二次函数的值域，考查计算能力，是中档题 13．在锐角三角形中，内角，，的对边分别是，，，且满足，则的取值范围为______________.【答案】【解析】由二倍角公式结合正弦定理得，求得，利用锐角三角形得，利用三角函数性质求范围即可【详解】 由题中条件可得，根据正弦定理可得，即，所以，因为，所以，因为，所以，在锐角三角形中，由，得，所以，所以．故答案为．本题考查正弦定理，三角函数恒等变换化简，三角函数的图像及性质应用，考查计算能力，是中档题，注意锐角三角形的应用是易错点14．若存在实数，使函数有3个不同的零点，则实数的取值范围为______________.【答案】【解析】化简，讨论a的取值，转化为函数与直线有3个不同的交点，求h（x）的最值列a的不等式求解即可【详解】令，若，显然不合题意；当时，若函数有3个不同的零点，即函数与直线有3个不同的交点，则，即存在，使成立，令，求导可得，当时，，单调递减，所以，所以；当时，若函数有3个不同的零点，即函数与直线有3个不同的交点，则，即存在，使成立，令，求导可得，当时，，单调递减，所以，所以.综上所述，，故答案为.【点睛】本题考查分段函数的图像及性质，考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题，考查转化化归能力，是中档题二、解答题15．如图，在三棱锥ABC P -中，PA AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC .求证：（1）BC ∥平面AMN ； （2）平面AMN ⊥平面PBC .【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）证得MN ∥BC ，由线面平行的判定定理证明即可；（2）证得AM ⊥平面PBC . 由面面垂直的判定定理证明即可 【详解】（1）∵,M N 分别为棱,PB PC 的中点，∴MN ∥BC 又BC Ë平面AMN ，∴BC ∥平面AMN . （2）∵PA AB =，点M 为棱PB 的中点， ∴AM PB ⊥，又平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB平面PBC PB =，∴AM ⊥平面PBC .∵AM ⊂平面AMN ，∴平面AMN ⊥平面PBC .【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的判定，考查定理，是基础题16．在中，内角的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由两角和的正切得，进而得，即可求解C; （2），展开整理得，得,由正弦定理求a，则面积可求【详解】（1）因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以.（2）由及得，即，化简得，即.因为及，所以由正弦定理得，得，所以的面积.【点睛】本题考查两角和的正切公式，正弦定理解三角形，考查面积公式，熟记公式，准确计算是关键，是中档题17．某型号汽车的刹车距离s (单位：米)与刹车时间t (单位：秒)的关系为32510(0)s t k t t t =-⋅++>，其中k 是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．（注：汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间，所经过的距离叫做刹车距离.）（1）某人在行驶途中发现前方大约10米处有一障碍物，若此时k =8，紧急刹车的时间少于1秒，试问此人是否要紧急避让？（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒，且不超过2秒，求k 的取值范围． 【答案】（1）应紧急避让；（2）61[8,]4. 【解析】（1）求汽车的瞬时速度215161v s't t ==-+，由'0s =，得115t =，计算s 即可判断；（2）汽车的瞬时速度为v s'=，得 21521v t kt =-+，汽车静止时0v =， 问题转化为215210t kt -+=在[1,2]t ∈内有解，分离k 求导求最值即可 【详解】（1）当8=k 时，325810s t t t =-++，这时汽车的瞬时速度为215161v s't t ==-+， 令'0s =，解得1t =（舍）或115t =， 当115t =时，106752210>=s ， 故有撞击障碍物的危险，应紧急避让.（2）汽车的瞬时速度为v s'=，所以21521v t kt =-+，汽车静止时0v =， 故问题转化为215210t kt -+=在[1,2]t ∈内有解，即21511215t k t t t+==+在[1,2]t ∈内有解，记1()15f t t t =+，21()15f 't t =-，[1,2]t ∈∵，∴21()150f 't t=->，∴()f t 单调递增，∴()f t 在区间]2,1[上的取值范围为61[16,]2， ∴611622k ≤≤，即6184k ≤≤， 故k 的取值范围为61[8,]4.【点睛】本题考查导数的物理意义及实际应用，考查导数与函数的最值，注意运算的准确是基础题18．已知椭圆的离心率为，上顶点为，右焦点为，点是椭圆上的一点，轴上到,两点距离之和最小的点为右焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过原点作直线交椭圆于两个不同的点,,若点是椭圆上一点,三角形是以为顶角的等腰三角形，且，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由离心率为，得，设方程为，由距离和最小转化为，，三点共线，得T 坐标，代入方程求c 即可求方程；（2）设直线的方程为，与椭圆联立得，进而得，设直线的方程为.同理得，由得k 值则直线方程可求 【详解】（1）设椭圆的焦距为，∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆C的方程为，设椭圆C的下顶点为，∵轴上到,两点距离之和最小的点为右焦点，∴，，三点共线，∴，故，又为椭圆C上的一点，∴，解得，故，所以椭圆的标准方程为．（2）设过原点且与直线垂直的直线为，∵三角形是以为顶角的等腰三角形，∴点为直线与椭圆的交点.当直线的斜率不存在时，点为椭圆的左顶点或右顶点，此时，,,，∴直线的斜率存在，设直线的方程为，当时，点为椭圆的上顶点或下顶点，此时,,，故，故可得直线的方程为.设，由消去得，，根据根与系数的关系得，∴，故，同理由得,∵,∴，解得，故直线的斜率为或．所以直线l的方程为或.【点睛】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系及弦长公式，考查转化化归能力，准确计算是关键，是中档题19．设函数，其中为自然对数的底数.（1）求的极小值；（2）当时，求证：．【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）判断其正负确定单调性得极小值；（2），构造函数，求导求其最小值大于1即可【详解】（1）易知函数的定义域为，令得所以当时，，当时，，所以在处取得极小值，又，所以的极小值为；（2），令，则，令，则，当时，，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，所以，即.【点睛】本题考查函数极值，函数的最值，构造函数，准确计算是关键，是基础题20．设数列的前项积为．若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列是“R数列”．（1）若数列的前n项积()，证明:是“R数列”；（2）设是等比数列,其首项,公比为．若是“R数列”,求的值；（3）证明：对任意的等比数列，总存在两个“R数列”和，使得（）成立．【答案】（1）详见解析；（2）或；（3）详见解析.【解析】（1）由，求，，满足即可证明；（2）由，得，进而，讨论①当时和②当，分别求得q；（3）设，令，得，再利用定义证明，为“R”数列．【详解】（1）因为数列的前n项积，所以，当时，，所以,对任意正整数，令，满足，所以是“R数列”；（2）因为是等比数列,其首项,公比为，所以，所以，因为是“R数列”，所以对任意正整数，总存在正整数，使得，即对任意正整数，总存在正整数，使得，即，①当时，得，且．②当（显然）时，得，且．所以公比或；（3）对任意的等比数列，设公比为，则，令，则，下面证明：为“R”数列．因为所以，取正整数，得，所以为“R”数列，同理可以证明为“R”数列．所以对任意的等比数列，总存在两个“R数列”和，使得()成立．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等差数列求和，利用新定义证明有关命题，熟练运用定义是关键，是中档题21．已知矩阵，若矩阵A属于特征值的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为，求矩阵A．【答案】【解析】由题列a,b,c,d的方程组求解即可得【详解】因为矩阵A属于特征值的一个特征向量为，所以，得，①因为矩阵A属于特征值1的一个特征向量为，所以，得②①②联立，解得，所以．【点睛】本题考查矩阵的有关计算，考查特征向量及特征向量，熟记公式准确计算是关键，是基础题22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（θ为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．若直线与曲线相交于不同的两点A,B，且，求的值．【答案】【解析】化曲线C为普通方程，直线l为参数方程，联立利用t的几何意义求解即可【详解】因为，所以直线的直角坐标方程为，其倾斜角为，过点，所以直线的参数方程为（为参数），即（为参数）．曲线的参数方程（θ为参数）化为普通方程为，将代入曲线的方程，整理得，，设点，对应的参数分别为，则，所以．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标与普通方程的互化，直线参数方程的几何意义，准确计算是关键，是基础题 23．函数．若关于x 的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】【解析】化简，求得f （x ）的最小值，转化求解t 即可 【详解】 易得，由-5＜-4x+3＜5，得，因为关于x 的不等式有解，所以，即，解得或．故实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的化简与最值，考查不等式有解问题，准确转化是关键，是基础题24．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，H 是线段1DD 上的动点，若G 为正方形11B BCC 的中心． （1）当113DH DD =时，求1B H 与DG 所成角的余弦值； （2）当1DH D H =时，求直线DG 与平面11AC H 所成角的正弦值.【答案】（16；（2）16.【解析】（1）建立空间直角坐标系，设1B H 与DG 所成的角为α，求向量1,B H DG ，利用异面直线所成角公式求解即可；（2）求平面11AC H 的一个法向量11(,,1)22n =--及11(,1,)22DG =，由线面角公式求解即可； 【详解】以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系（如图所示）．（1）由已知得，1(1,1,1)B ，1(0,0,)3H ，11(,1,)22G ，所以12(1,1,)3B H =---，11(,1,)22DG =，设1B H 与DG 所成的角为α，所以1111|1|||cos ||||B H DG B H DG α---⋅=== （2）由已知得，11(1,0,1),(0,0,)2A H ，1(0,1,1)C ，11(,1,)22G ， 所以11(,1,)22DG =，11(1,0,)2A H =--，.B 设平面11AC H 的法向量是(,,)n a b c =，则1110,0n A H n AC ⋅=⋅=，所以0,20,c a a b ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩取1c =，得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则11(,,1)22n =--为平面11AC H 的一个法向量. 设直线DG 与平面11AC H 所成的角为β， 所以1||||1sin 6||||3DG n DG n β-⋅===． 故直线DG 与平面11AC H 所成的角的正弦值为16. 【点睛】 本题考查空间角的向量求法，熟记公式，熟练计算是关键，是基础题25．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止.若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中白球的个数；（2）用ξ表示甲，乙最终得分差的绝对值，求随机变量的概率分布列及数学期望E ．【答案】（1）3；（2）x 的概率分布列为：.【解析】试题分析：（1）这属于古典概型问题，从7个球中任取两个，共有种取法，而如果其中有个白球，则任取两个白球的取法为，由题意有，解之得；（2）首先要知道随机变量的所有可能取值，由（1）可知，袋中有3个白球、4个黑球，甲四次取球可能的情况是：4个黑球、3黑1白、2黑2白、1黑3白.相应的分数之和为4分、5分、6分、7分；与之对应的乙取球情况：3个白球、1黑2白、2黑1白、3黑，相应分数之和为6分、5分、4分、3分；即x 可能的取值是0,2,4.，再利用公式计算可得分布列和期望.试题解析：（1）设袋中原有n个白球，由题意,知，解之得n=3或n=-2（舍去），即袋中原有3个白球；(2)由（1）可知，袋中有3个白球、4个黑球。

全国名校2019年高三11月大联考 文科数学·答案及评分标准二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 1314．215．12610 16 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）【解析】（1）22()sin cos 2sin cos 1sin 2cos21)14f x x x x x x x x π=-++=-+=-+．（3分）令222242k x k ππππ-≤-≤π+，k ∈Z ，得88k xk π3ππ-≤≤π+，k ∈Z ．故函数()f x 的单调增区间为[,]88k k π3ππ-π+，k ∈Z ．（5分）（2）因为02x π≤≤，所以2444x ππ3π-≤-≤，从而sin(2)124x π≤-≤，所以0)114x π-+≤，所以()f x 在[0,]2π上的值域为1]．（10分）18．（本小题满分12分）【解析】（1）由32312S a ==，得24a =，由1a ，2a ，6a 成等比数列，得216216a a a ==，（3分）即44(6)(1)4d d -+=，整理得230d d -=，又因为公差d 不为0，所以3d =， 所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-．（6分） （2）111111()(32)(31)33231n n n a a n n b n n +==--+-+=，（9分） 所以2012320T b b b b =++++11111111[(1)()()()]34477105861⨯-+-+-++-= 11(1)361=⨯- 2061=．（12分） 19．（本小题满分12分）【解析】（1）由tan 3tan A B =-，得sin sin 3cos cos A BA B=-⨯，即sin cos 3sin cos 0A B B A +=，即3(sin cos sin cos )2sin cos A B B A A B +=，所以3sin()2sin cos A B A B +=，（3分） 又A B C ++=π，所以sin()sin A B C +=，所以3sin 2sin cos C A B =， 根据正弦定理，得32cos c a B =，又4c =，所以cos 6a B =．（6分）（2）根据正弦定理及sin sin 1)sin A B C +=，4c =，得1)a b +=，（8分）根据余弦定理及cos 6a B =，得221668a b a a+-⨯=，即2232a b -=，解得a =，4b =，所以cos C =，又0C <<π，所以6C π=．（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）当1n =时，1143(1)a a =+，解得13a =；当2n ≥时，1143(1)n n a S n --=+-，根据43()n n a S n =+，得11443(1)n n n n a a S S ---=-+， 又1n n n a S S -=-，所以1443(1)n n n a a a --=+，（4分） 所以143n n a a -=+，所以114(1)n n a a -+=+，所以1141n n a a -+=+，所以数列{1}n a +是以4为首项，4为公比的等比数列．（6分） （2）根据（1）得1144n n a -+=⨯，即14n n a +=，（8分）所以22log (1)log 42n n n b a n =+==，224n b n =，（9分）当1n =时，214b =，2111142b =<； 当2n ≥时，2244(1)nb n n n =>-，211111()4(1)41n b n n n n<=--- 22221231111111111111(1)44223341n b b b b n n++++<+-+-+-++-- 111111(1)44242n n =+-=-<， 综上，2222123111112n b b b b ++++<．（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）()e [(1)]e (1)e [(1)21]x x x f x a x a a a x a '=-++-=-+-， 当1a =时，()e 1x f x =-，函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；（2分） 当1a >时，令()0f x '>，得121a x a ->-；令()0f x '<，得121ax a -<-， 所以()f x 在12(,)1a a -+∞-上单调递增，在12(,)1aa --∞-上单调递减；（4分） 当1a <时，令()0f x '>，得121a x a -<-；令()0f x '<，得121ax a ->-，所以()f x 在12(,)1a a --∞-上单调递增，在12(,)1aa -+∞-上单调递减．（6分）（2）当1a =时，由（1）知()f x 在(0,)+∞上单调递增，当1a >时，由（1）知()f x 在12(,)1a a -+∞-上单调递增，且1201aa -<-， 所以当1a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0x >时，()(0)0f x f >=，与()0f x ≤矛盾，不符合题意；（8分） 当12a ≤时，由（1）知()f x 在12(,)1a a -+∞-上单调递减，且1201aa -≤-， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，对任意的0x ≥，有()(0)0f x f ≤=，符合题意；（10分）当112a <<时，由（1）知()f x 在12(,)1a a --∞-上单调递增，且1201a a ->-， 所以()f x 在12(0,)1aa --上单调递增， 当1201ax a -<<-时，()(0)0f x f >=，与()0f x ≤矛盾，不符合题意．因此实数a 的取值范围是1(,]2-∞．（12分）22．（本小题满分12分）【解析】（1）当e a =时，()eln f x x x =-， 则e()1f x x'=-，(1)1f =-，(1)e 1f '=-，（2分） 所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为1(e 1)(1)y x +=--，即(e 1)e 0x y ---=．（4分） （2）由题可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1a a xf x x x-'=-=， 当0x a <<时()0f x '>，函数()f x 单调递增；当x a >时()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以函数()f x 在x a =处取得最大值为()ln (ln 1)f a a a a a a =-=-，（6分） 当0e a <<时，()0f a <，()0f x <恒成立，函数()f x 无零点；（7分） 当e a =时，()0f a =，函数()f x 有唯一零点；（8分） 当e a >时，()ln (ln 1)0f a a a a a a =-=->，因为(1)10f =-<，所以函数()f x 在(0,)a 上有一个零点，（10分） 易得222()ln (2ln )f a a a a a a a =-=-，令()2ln (e)h x x x x =->，则2()0xh'x x-=<， 所以函数()h x 在(e,)+∞上单调递减，则()2lne e 2e <0h x <-=-，所以2()0f a <，所以函数()f x 在(,)a +∞上有一个零点， 所以函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点．（11分）综上，当0e a <<时，函数()f x 无零点；当e a =时，函数()f x 有唯一零点；当e a >时，函数()f x 有两个零点．（12分）。