2019-2020学年东北三省三校高三第一次模拟考试数学(理)模拟试题有答案

2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 .A.( , 1) (3,B.( , 1] [3,D.( , 1] [1,4.大约在 20 世纪 30 年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数 n ，如果它是偶数，则除以 2；如果它是奇数，则将它乘以 3 加 1，这样反复运算，最后结果必然 是1 ，这个题目在东方称为“角谷猜想” ，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各 种方法，甚至动用了最先进的电子计算机， 验算到对 700 亿以内的自然数上述结论均为正确 的，但却给不出一般性的证明，例如取 n 13，则要想算出结果 1，共需要经过的运算步数 是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知 a ln3,b log 3 e,c log e (注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是 （ ）A.b acB.c b aC.b c aD.a b c6.已知在边长为 3 的等边 ABC 的中，1BD DC ，则 AD AC =( )2A.6B.9C.12D. 61.已知集合 A x 22x，B11 则 C R (A B) ( ) x2.已知复数 za bi(a,b R)， z i1 是实数，那么复数 z 的实部与虚部满足的关系式为 A.a B.a b C.a 2b 0 D.a 2b 0 3.已知 是两个不同的平面，直线 m ，下列命题中正确的是（ A.若 ，则 m ∥ B.若 ，则 m C.若 m∥，则 ∥D.若 m ，则C.[3, )7.如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， ED 平面 ABCD ， FC 平面 ABCD ，y 轴对称，则2nb n 为数阵从左至右的 n 列，从上到下的 n 行共 n 2个数的和，则数列的前 2020 项和为bnED 2FC 2 ，则四面体 A BEF 的体积为( )1 A.32 B. 3C.14 D.38.已知函数 f (x)sin2x 3 cos2x 的图像向右平移 (02)个单位后，其图像关于A.12B.6C.35 D. 122x9.已知椭圆 2a2yb 21(a b 0) 的右焦点为 F(c,0) ，上顶点为A(0,b) ，直线2 ax 上 c存在一点 P 满足 (FP FA) AP 0 ，则椭圆的离心率取值范围为(1A.[12,1) 2 B.[ 22 ,1) 51 C.[ 52 1,1) D.(0, 2 ]10. 已 知 定 义 在 R 上的函 数 f (x) ， 满 足 f(1 x) f (1 x) ， 当[1, ) 时f(x)1 x 2,xx12f ( 2 ),x[1,3) [3, )，则函数 f(x) 的图像与函数 g(x)ln x,xln(2 x),x 1的图像在区间 [ 5,7] 上所有交点的横坐标之和为(A.5B.6C.7D.911.已知数 a n 列的通项公式为 a n 2n2 ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）4 小题，每小题5 分，共 20 分 .把答案填写在答题纸相应位置上13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增 大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术， 它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力 .假定现在市售的某款新能源汽车上， 车载动力蓄电池充放电循环次数达到 2000 次 的概率为 85%，充放电循环次数达到 2500 次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经 经过了 2000 次充电，那么他的车能够充电 2500 次的概率为 .14.已知函数 f （x ） e x ae x 在［ 0,1］上不单调，则实数 a 的取值范围为.2*15.数列 a n 满足 a 1 1，a n （2S n 1） 2S n 2（n 2,n N *），则 a n =.16.已知函数 f （x ） （x 2 a ）2 3x 2 1 b ，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）一）必考题：共 60 分 .17. （本小题满分 12 分）在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 2bcosC 2a c （Ⅰ）求 B ；（Ⅱ）若 a 2， D 为AC 的中点，且 BD 3，求 c .18. （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 中， BB 1 平面 ABC ， AB BC ， AB 2，BC 1，1011 A.20202019 B.20202020 C.2021 1010 D.202112.已知双曲线2y1 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F 1、F2 ， 点3 1 2P 在双曲线上，且 F 1PF 2 120 ，F 1PF 2 的平分线交 x 轴于点 A ，则 PA （ ）A. 55B.2 5 5C.3 55D. 5二、填空题：本题共 1①a2⑤ 4 个极小值35② a ③ a 1, 2 b 0 22⑥1 个极小值点⑦6 个零点④ a 1, 9 b4⑧4 个零点三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤2或 b 01 （Ⅱ）F 是线段CC1上一点，且直线AF 与平面ABB1A1所成角的正弦值为3，求二3 面角F BA1 A 的余弦值.19. （本小题满分12 分）为了研究55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100 万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5 万，出现B症状人数为9.3 万，出现C 症状人数为 6.5万，其中含AB症状同时出现 1.8 万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5 万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5 万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73 万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55 岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？n(ad bc)2参考公式：K2(a b)(c d)(a c)(b d)20. (本小题满分12 分)1 2 2 1已知以动点P为圆心的⊙ P与直线l: x 相切，与定圆⊙ F：(x 1)2 y2相24 外切.(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹方程C ；(Ⅱ)过曲线C上位于x轴两侧的点M、N (MN 不与x轴垂直)分别作直线l 的垂线，垂足记为M 1、N1 ，直线l 交x轴于点A，记AMM 1、AMN、ANN 1的面积分别为S1、S2、S3 ，且S22 4S1S3 ，证明：直线MN过定点.21. (本小题满分12 分)12已知函数f(x) (x 1) ln( x 1)- ax2 x(a R) .2(Ⅰ)设f (x)为函数f(x) 的导函数，求函数f ( x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)在(0, )上有最大值，求实数a 的取值范围.二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任取一题作答 .如果多做，则按所做的第 题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分 10 分.22. [选修 4-4：坐标系与参数方程 ]Ⅰ）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程；Ⅱ）设 M 、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求 MN 的最小值 .23. [选修 4-5：不等式选将 ]设函数 f （x ） x 2 x 3（Ⅰ）求不等式 f （x ） 9的解集；（Ⅱ）过关于 x 的不等式 f （x ） 3m 2 有解，求实数 m 的取值范围一模答案、填空题1, n 113. 14. 15. a n2 16. ①⑥、② ,n 22n 1 2n 3⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得 2sin BcosC 2sin A sinC ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯在直角坐标系 xOy 中，参数方程x cos （其中 y sin为参数）的曲线经过伸缩变换2x得到曲线 C ，以原点 O 为极点， yx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为 sin （3 10 2又由sin A sin(B C) sin BcosC cosB sin C ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4⋯分⋯得2cos B sin C sinC 0 ，因为0 C ，所以sinC0，所以cosB1．因为0 B ，所以2．2B．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6⋯分⋯3uuur uuur uuur（Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以BA BC2BD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8⋯分⋯uuu r uuur 2 uuur 2所以BC)2 (2BD)2，即a2 2 c ac12，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分因为a 2，解方程c22c 8 0，得c 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分18. 解析：(I )连结AB1交A1B于O，连结EO , OC11Q OA OB, AE EB, OE BB1, OE //BB1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯21又DC1BB1，DC1// BB1,2OE/ /DC 1 ，因此，四边形DEOC 1为平行四边形，即ED / /OC1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯Q OC1 面C1AB, ED 面C1AB, DE // 平面C1BA1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5⋯分⋯z(II )建立空间直角坐标系B xyz ，如图过F 作FH BB1 ，连结AHQ BB1 面ABC,AB 面ABC, AB BB1Q AB BC,BC I BB1, AB 面CBB1C1Q AB 面BAA1 B1 , 面BAA1B1 面CBB1C1,Q FH 面CBB1C1, FH BB1, 面BAA1B1 I 面CBB1C1 BB1, FH 面BAA1B1，即FAH 为直线AF 与平面ABB1 A1 所成角，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.7⋯分⋯11记为，sin , AF 3,AF 3在Rt ACF 中，5 AC 2 CF 2 AF 2 CF 2 9, CF 2,uuur uuurF(0,2,1), A1(2,3,0), BF (0,2,1), BA1 (2,3,0),20．解析：ur 设平面 BAC 1的法向量 m （x, y,z ），ur m ur m uuur BF 2y uuur BA 1 2x3y 0 ur ，取 y 2,m ( 3,2, 4) 0 平面 BAA 1 的法向量 n (0,0,1) ，⋯⋯ur r |cos m,n |4 ⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分 29 1因此，二面角 F BA 1 A 的余弦值 429 .⋯29 19. 解析：设 A ｛出现 A 症状的人｝ 、 B 示有限集合元素个数） 根据数 .1⋯0 ⋯分.1⋯2分⋯出现 B 症状的人｝、 C ｛出现 C 症状的人｝（ card 表 1 可 知card AI B 1.8,card AI C 1,card BI C 2,card AI BI C 0.5，所以 card AUBUC card A card B card card AI B card AI C card B I C card=8.5+9.3+6.5 1.8 1 0.5 20 1.3 6.2 0.5 40.51.5失眠人数（万）不失眠人数（万）患病人数（万） 5 7 12 不患病人数（万）15 73 882080100得患病总人数为 20 万人，比例大约为 20%.⋯⋯.4⋯分⋯ ⋯分⋯.9⋯分22100 5 73 15 7k 24.001 3.841.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分12 88 80 20有 95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在 “强关联 ” . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分Ⅰ）设P x,y ，e P 半径为 R ，则R x 1, PF 21R 1 ，所以点 P 到直线 x2 1的 距离与到 F 1,0 的距离相等，故点 P 的轨迹方程 C 为 y 2 4x . .4⋯分⋯Ⅱ）设 M x 1, y 1 N x 2, y 2 ，则 M 1 2,y 11 N 12,y2 设直线 MN : x ty n t 22 0 代入 y 2 4x 中得 y 2 4ty 4n 0 y 1 y 2 4t, y 1y 2 4n 0. .6⋯分⋯Q S 1 2 x 1y 1 、 S 3 x 2 4S 1S 31 ty 1 n2ty 2n 1 2y 1y 221t y 1y 2 n2t y 1y2n22211 4nt 24t2nn22x12x 1 2 y 1y 24n214n222t 2 n 1 4n2 又 S 2 11 n y 1 y2 1 1 n y122 2 2 22 2 1 1 2 1 S 22 n 16t 2 16n 4 n 24 2 2 2 S 22 4S 1S 3 8nt 2 4 n 1 t 2 2n2y 24y 1y 22t 2 n . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分21 1⋯⋯nn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分22 .⋯⋯.8⋯分⋯直线 MN 恒过 1,0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分 221．解析： （Ⅰ） f x ln x 1 ax2 x ．令 h xln x 1 ax ，1 fxhxa ； .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯x 11o当 a0时 ，h x 0 ，f 'x在 1, 上 递 增 ，无减 区间hx 0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.3⋯分⋯2o当a0时，令 hx011 x 1，a令 h x0x11a所以， f 'x 在 1,11 上单调递增， 在 11, 上单调递减； .⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯.5⋯aa分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当 a 0 时，f ' x在 0, 上递增， f ' xf ' 0 0在 0,上递增，无最大值， 不合题意；x所以，当x0时，h x 2 x 1 ax 2 x 1 a x 1 x 12ax1．取t4211，则t 1 ，且h t t 1 2 a t 10．a a又因为h11h0 0，所以由零点存在性定理，存在x01 1,t ，使得a ah x00；⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分当x0, x0时，h x0 ，即f x 0；当x x0 ,时，h x0 ，即f x0；所以， f x 在0, x0上单调递增，在x0 ,上单调递减，在0,上有最大值f x0 ．综上，0a1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分在第22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2．B．铅．笔．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

2019-2020年高三第一次模拟考试数学（理）试题 含答案(III)2016．03注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一． 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{}{}=20,A x x B x x a -<=<，若AB A =，则实数a 的取值范围是（A ）(,2]-∞- （B ）[2,)-+∞ （C ）(,2]-∞ （D ）[2,)+∞ （2）若复数z 满足iii z -=+2，则复数z 的模为 （A ）10 （B ）10 （C ）4 （D ）3 （3）下列函数中，在(0,)+∞上单调递减，并且是偶函数的是（A ）2y x = （B ）3y x =- （C ）ln y x =- （D ）2x y =（4）双曲线的一个顶点为(2,0)，一条渐近线方程为y =，则该双曲线的方程是（A ）22148x y -= （B ） 22184y x -= （C ）22124x y -= （D ）22142x y -= （5）给出下列说法：①命题“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“0,x R ∃∈320010x x -+>”； ②若“p q ∧”为假命题，则,p q 均为假命题；③“三个数,,a b c 成等比数列”是“b = 其中不正确的个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（6）已知直线l ⊥平面α， 直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥βl m ⇒⊥；②αβ⊥⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒αβ⊥；④l m αβ⊥⇒⊥，其中正确的是（A ）①②③ （B ）②③④ （C ）②④ （D ）①③（7）记定义在区间[,]a b 上的连续函数()y f x =，如果存在0[,]x a b ∈，使得()()baf x dx f x b a=-⎰ 成立，则称0x 为函数()f x 在[,]a b 上的“平均值点”.那么函数3()2f x x x =+在[1,1]-上“平均值点”的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（8）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形.若该几何体的体积为V ，并且可以用n 个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则,V n 的值是 （A ）32,2V n ==（B ）64,33V n == （C ）32,63V n ==（D ）16,4V n == （9）已知曲线()sin (0)f x x x ωωω=>的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且曲线关于点0(,0)x 成中心对称，若0[0,]2x π∈，则0x =（A ）12π （B ）6π （C ）3π （D ）512π （10）已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB BC ===,AB =,AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 （A（B ）3π （C）3（D ）2π （11）在平面直角坐标系xOy 中，已知⊙C ：22(1)5x y +-=，点A 为⊙C 与x 轴负半轴的交点，过A 作⊙C 的弦AB ，记线段AB 的中点为M ，若O A O M =，则直线AB的斜率为（A ）2- （B ）12（C ）2 （D ）4 （12）已知函数32()f x x x x a =--+的图象与x 轴只有一个交点，则实数a 的取值范围是（A ）1(,1)(,)9-∞--+∞ （B ）5(,1)27- （C ）(,1)-∞（D ）5(,)(1,)27-∞-+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答. 二．填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分. （13）若1,2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为_________.（14）已知在等差数列{}n a 中，12017,a a 为方程210160x x -+=的两根，则210092016a a a ++=_______________.（15）设变量,x y 满足约束条件220,420,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩目标函数(,z abx y a b =+均大于0)的最大值为8，则a b +的最小值为_____________.（16）已知12,F F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，,A B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的最小值为________________. 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且21232621,4a a a a a +==.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . （18）（本小题满分12分）已知A B C ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，(,2)sin()am c b A B =-+，(sin 2,1)n C =，且满足0m n ⋅=.（I ）求A ∠的大小；（II ）若1a =，求ABC ∆周长的取值范围. （19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，PA ⊥平面ABCD ，AC BC =，,E F 分别是,BC PC 的中点.（I ）证明：平面AEF ⊥平面PAD ；（II ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为2，求二面角F AE B --的余弦值.（20）（本小题满分12分）已知函数2()ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值. （I ）求函数()f x 的单调区间； （II ）若关于x 的方程5()2f x x b =-+在区间(0,2)有两个不等实根，求实数b 的取值范围；（III ）对于n N +∈，证明：22222341ln(1)123n n n ++++⋅⋅⋅+>+.（21）（本小题满分12分）从抛物线22x py Γ=：(p 为常数且0p >)外一点P 引抛物线Γ的两条切线PA 和PB (切点为A 、B )，分别与x 轴相交于点C 、D ，若AB 与y 轴相交于点Q .（I ）求证：四边形PCQD 是平行四边形；（II ）四边形PCQD 能否为矩形？若能，求出点Q 的坐标；若不能，请说明理由. 请考生在第（22）～（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于点D .（I ）求证：2CE CD CB =⋅；（II ）若2AB BC ==，求CE 和CD 的长.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 232,21（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρθ=.（I ）求出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （II ）设直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求AB 的值. （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()212f x x x =--+. （I ）解不等式:()0f x >；（II ）若()321f x x a ++≥-对一切实数x 均成立,求a 的取值范围.大庆市高三年级第一次教学质量检测数学试题参考答案及评分标准（理科）2016.03说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一．选择题二．填空题（13）34π； （14）15； （15）2； （16）115-. 三. 解答题（17）（本小题满分12分）解: （I ）设数列{}n a 的公比为q ，由23264a a a =得225111()4a q a q a q =⋅，∴214q =. ……………………………….2分 由已知0q >，∴12q =，由1221a a +=得112a =. …………………………….4分故数列{}n a 的通项公式为12n n a =. ……………………………………….6分（II ）21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+(1)(12)2n n n +=-++⋅⋅⋅+=-，……..9分∴12112()(1)1n b n n n n =-=--++， ∴121111111122[(1)()()]22311n n nS b b b n n n =++⋅⋅⋅+=--+-+⋅⋅⋅+-=-++. ……12分（18）（本小题满分12分）解：（I ）∵0m n ⋅=，∴sin 220sin()aC c b A B ⋅+-=+， …………………2分∴2sin cos 20sin aC C c b C⋅+-=，即2cos 20a C c b +-=，…………………3分 由余弦定理得：2222202a b c a c b ab+-⋅+-=， …………………………………4分 整理得222+b c a bc -=，∴1cos 2A =，∵0A π<<，∴=3A π. ……………6分 （II ）∵1cos 2A =，∴sin A =， …………………………………7分由正弦定理得：sin sin sin b c a B C A ====， …………………………8分 ABC ∆的周长1sin )1sin()]3332sin()16l a b c B C B B B ππ=++=++=+++=++…………………………………10分 ∵203B π<<，∴5666B πππ<+<,∴1sin()126B π<+≤, …………………11分 因此23l <≤，故ABC ∆周长的取值范围为(2,3]. …………………12分 （19）（本小题满分12分）解：（I ）由四边形ABCD 是菱形，AC BC =，可得ABC ∆为正三角形.，∴AE B C ⊥. 又∵BC ∥AD ，∴AE AD ⊥ ……………………………………1分 ∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AE ， ∵PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA AD A =，∴AE ⊥平面PAD ，而AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAD . …………………4分 （II ）设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接,AH EH ， 由（I ）知AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角. …………5分在Rt EHA ∆中，AE =∴当AH 最短时，EHA ∠最大，即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大，此时tan 2EHA ∠=. …………………6分∴AH 2AD =，∴45ADH ο∠=，∴2PA =. ………………8分 由（I ）知,,AE AD AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 又,E F 分别是,BC PC 的中点，∴(0,0,0)A，1,0)B -，,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P，E，1,1)2F . ………………9分 ∴(3,0,0)AE =，31(,1)2AF =. 设平面AEF 的法向量为111(,,)m x y z =，则0,0,m AE m AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴11110,10,2x y z =++= ………10分取11z =-，则(0,2,1)m =-为平面AEF 的一个法向量. 又PA ⊥平面ABC ，∴(0,0,1)n =为平面ABE 的一个法向量.∴cos ,5mn m n m n⋅===⨯， 故所求二面角的余弦值为………………………12分 （20）（本小题满分12分）解：（I ）由已知得112()()()21x x a x a f x x x a x a-+-+'=--=++， ……………1分 ∵(0)0f '=，∴10aa-=，∴1a =. 因此2()ln(1)(1)f x x x x x =+-->-， ………………………2分于是32()12(1)(1)2()(1)11x x x x x f x x x x -+-+-+'==>-++， 由()0f x '>得10x -<<；由()0f x '<，得0x >，∴()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. …………………4分 （II ）令253()()()ln(1),(0,2)22g x f x x b x x x b x =--+=+-+-∈， 则21345()2122(1)x x g x x x x +-'=-+=-++，令()0g x '=，得1x =或54x =-（舍）， 当01x <<时，()0g x '>；当12x <<时()0g x '<，即()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减. ………………………7分方程5()2f x x b =-+在区间(0,2)有两个不等实根等价于函数()g x 在(0,2)上有两个不同的零点.∴(0)0,(1)0,(2)0g g g <⎧⎪>⎨⎪<⎩即0,1ln 20,2ln 310b b b -<⎧⎪⎪+->⎨⎪--<⎪⎩亦即0,1ln 2,2ln 3 1.b b b >⎧⎪⎪<+⎨⎪>-⎪⎩∴1ln 31ln 22b -<<+，故所求实数b 的取值范围为1ln 31ln 22b b ⎧⎫-<<+⎨⎬⎩⎭. (9)分（III ）由（I ）可得，当0x ≥时2ln(1)x x x +≤+（当且仅当0x =时等号成立），设1x n =，则2111l n (1)n n n +<+，即211ln n n n n ++< ① ………………………10分 ∴222222334411ln ,ln ,ln ,,ln 112233n n n n++>>>⋅⋅⋅>， 将上面n 个式子相加得：222223412341ln ln ln ln ln(1)123123n n n n n +++++⋅⋅⋅+>+++⋅⋅⋅+=+, 故22222341ln(1)123n n n++++⋅⋅⋅+>+. ………………………12分 （21）（本小题满分12分）解：（I ）由2:2G x py =得22x y p=，∴x y p '=. ………………………1分设221212(,),(,)22x x A x B x p p ，则直线PA 的方程为2111()2x x y x x p p-=-，①直线PB 的方程为2222()2x x y x x p p-=- ②， ………………………3分由①、②解得1212,22x x x x x y p +==，∴P 点坐标为1212(,)22x x x xp+. ……………………4分 设点(0,)Q t ，则直线AB 的方程为y kx t =+. ………………………5分由22,x py y kx t⎧=⎨=+⎩得2220x pkx pt --=，则12122,2x x pk x x pt +==-， ∴(,)P pk t -，∴线段PQ 被x 轴平分，即被线段CD 平分. ………………………7分在①中，令0y =，解得12x x =，∴1(,0)2x C ；同理得2(,0)2xD ，∴线段CD 的中点坐标为12(,0)4x x +，即(,0)2pk. ………………………8分又∵直线PQ 的方程为2ty x t pk=-+，∴线段CD 的中点(,0)2pk 在直线PQ 上，即线段CD 被线段PQ 平分，因此四边形PCQD 是平行四边形. ………………………9分（II ）由（I ）得四边形PCQD 是平行四边形，要使四边形PCQD 是矩形，必须使得PQ CD ===2p t =.∴当点Q 为(0,)2p（即抛物线G 的焦点）时，四边形PCQD 为矩形. ……………………12分 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲证明：（I ）连接BE ，∵BC 为⊙O 的切线，∴∠90ABC O=,CBE A AEO CED ∠=∠=∠=∠. (3)分在CDE ∆和CEB ∆中，,CBE CED C C ∠=∠∠=∠，∴CDE ∆∽CEB ∆， ∴CE CD CB CE=，∴2CE CD CB =⋅. ……………………6分 （II）依题意OC =1CE OC OE =-,…8分 由（I ）得2CE CD CB =⋅，∴21)2CD =，∴3CD = ……………………10分 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（I ）由直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 232,21消去参数t 得普通方程为0323=-+-y x . (3)分由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以曲线C的直角坐标方程为22(3x y +=. …………………………6分 （II ）曲线C是圆心为，半径r =.圆心到直线l的距离1d ==， …………………8分所以AB==…………………………10分（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（I）3,2,1()31,2,213,.2x xf x x xx x⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩……………………………3分当2x≤-时，由()0f x>得30x-+>，解得2x≤-，…………………………4分当122x-<<时，由()0f x>得310x-->，解得123x-<<-，………………5分当12x≥时，由()0f x>得30x->，解得3x>，…………………………6分综上，得()0f x>的解集为1,33x x x⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或. ……………………………7分（II）∵()3221221224f x x x x x x++=-++=-++()12(24)5x x≥-++=. …………………………8分∴由题意可知15a-≤，解得46a-≤≤，……………………………9分故所求a的取值范围是{}46a a-≤≤. …………………………10分。

12345 2019年三省三校高三第一次联合模拟考试6 理科数学答案7 一．选择题8 1-6 DBCABB 7-12 DACDCC9 二．填空题1013. 3 14. 乙 15. 78- 16. 4π11三．解答题1217. 解：（Ⅰ）1()2cos 21sin(2)1226f x x x x =++=++π2分13 ∵[0,]2x π∈，∴72666πππ≤+≤x4分14∴1sin(2)1226π≤++≤x 15 ∴函数()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．6分16（Ⅱ）∵3()sin(2)162π=++=f A A ∴1sin(2)62π+=A17 ∵0π<<A ，∴132666πππ<+<A ，∴5266ππ+=A ，即3π=A8分18由正弦定理，2a A B ==，∴sin 2B =19 2034B B ππ<<∴=9分20∴sin sin()C A B =+=sin sin c bC B==，∴2=b 11分 21∴133sin 2∆+==ABC S bc A12分2218. 解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件A ，则1131241()2C C P A C ==23 故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为12.4分24 （Ⅱ）根据以上数据得到列联表：25近视 不近视 足够的户外暴露时间 40 60 不足够的户外暴露时间60408分26 所以2K 的观测值2200(40406060)8.000 6.635(4060)(6040)(4060)(6040)k ⨯⨯-⨯==>++++， 27 故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系. 12分28 19.解：（Ⅰ）在BDC ∆中，延长BF 交CD 于点M ，29 13OF OD =,BDC ∆是等边三角形30 F ∴为BDC ∆的重心31 13MF BM ∴=2分32 //EF 平面ACD , EF ⊂平面ABM ABM ACD AM =，且面面，33 //EF AM ∴34 13AE AB ∴=,即点E 为线段AB 上靠近点A 的三等分点. 4分35 （Ⅱ）等边BCD ∆中，OD BC ⊥，OD BCD ⊂平面，ABC BCD ⊥面面，交线为BC ，36 OD ABC ∴⊥平面6分37 如图以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz - 38 点A 在平面BEF 上，所以二面角D FB E --与二面角D FB A --为相同二面角. 39 设2AB =,则3OD OA ==3(3,0,0),(0,1,0)F A B 40zyxAFOEDMCB3(0,1,),(3,1,0)BF BA∴=-=-41设平面AFB的法向量u(,,)x y z=，则⎧⎨⎩uu⋅=⋅=BFBA42即y zy⎧-+=⎪⎨-=，取1x=，则u=9分4344又OA⊥平面OBD，(3,0,0)OA =, 10分4546则cos<u,OA>=uu13==47又二面角D FB E--为钝二面角，所以余弦值为.12分4820.解：（Ⅰ）设),(yxP(2)x≠±，则2214xy+=，49因为)0,2(),0,2(BA-，则5041441422222221-=--=-=-⋅+=xxxyxyxykk2分51(,)Q x y设(2)x≠±52所以4422212243λλ-==-=-⋅+=kkxyxyxykk，53整理得1422=+λyx)2(±≠x.54所以，当4=λ时，曲线2C的方程为)2(422±≠=+xyx. . 4分55（Ⅱ）设),(),,(2211yxFyxE. 由题意知，56直线AM的方程为：26-=yx，直线BM的方程为：22+-=yx.57由（Ⅰ）知，曲线2C的方程为1422=+λyx)2(±≠x，.7分58联立)2(442622±≠⎩⎨⎧=+-=xyxyxλλ，消去x，得2(91)60y yλ+-λ=，得1961+=λλy59OA⋅OA联立)2(442222±≠⎩⎨⎧=++-=x y x y x λλ，消去x ，得2(1)20λ+-λ=y y ，得 122+=λλy 9分602212111111sin 91222211111sin 2222MA MF AMF y y MA MF S S MB ME MB ME BME y y ∠--+=====+∠--λλ 10分 61 设918()911g λ+λ==-λ+λ+，则()g λ在[1,3]上递增 62 又(1)5,(3)7g g ==，63 12S S ∴的取值范围为[]5,7 12分64 21.解：（Ⅰ）当1a =时,()()()x h x f x g x e x -=+=+，()1,x h x e -'=-+令()0,h x '=解得0x =6566 ()=(0)1h x h ∴=极小值4分67 （Ⅱ）设1()(1)ln(1)e ()e ln(1)e t t f t t g t at t ϕ+=--++--=-++-， 68 令1(1)t x x +=≥，()e ln e ,1x F x ax x a x =-+-+≥，69 1'()e x F x a x =-+，设1()()e x t x F x a x '==-+，21()e x t x x'=-，70 由1x ≥得，2211,01x x e e x≥∴<≤≥71 21'()e 0x t x x=->，()t x 在(1,)+∞单调递增， 72 即()F x '在(1,)+∞单调递增，(1)1F e a '=+-，73 ① 当e 10a +-≥，即e 1a ≤+时，(1,)x ∈+∞时，()(1)0F x F ''>≥，()F x 在(1,)+∞单调递增, 74 又(1)0F =，故当1x ≥时，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有且只有一个实数解.8分75②当10e a +-<，即1a e >+时，76 1(1)0,'(ln )0ln F F a a a a a a'<=-+>-=，又ln ln(1)1a e >+> 77 故00(1,ln ),()0x a F x '∃∈=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又(1)0F =， 78 故当(]01,x x ∈时，()0F x <，79 在[)01,x 内，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有一个实数解1x =. 10分 80 又0(,)x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，81 且22()ln 1a a F a e a a a e e a =+-+->-+，令2()1(1)x k x e x x =-+≥，82 ()()2x s x k x e x '==-,()e 2e 20x s x '=->->,故()k x '在()1,+∞单调递增，又(1)0k '>83 故()k x 在()1,+∞单调递增，故()(1)0k a k >>，故()0F a >，又0eaa x >>，由零点存在定理可知，84 101(,),()0x x a F x ∃∈=，85 故在()0,x a 内，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有一个实数解1x .此时方程有两个解. 86 综上，e 1a ≤+. 12分8722.解：（Ⅰ）22324103x x x y y αα⎧=+⎪∴-++=⎨=⎪⎩ 2分88 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=.4分89 （Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,)R θθρθπ=∈∈，其中1θ为直线l 的倾斜角， 90 代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ.91 21211214cos ,10,16cos 40∴+==>∆=->ρρθρρθ7分 92 1212OA OB +=+=+=ρρρρ8分93 1cos θ∴= 满足0∆>16πθ∴=或56π， l 的倾斜角为6π或56π， 94则1tan k θ==-10分95 23.解：（Ⅰ）因为a x a x x a x x f 444)(=--≥+-=，所以 a a 42≤，解得 44≤≤-a . 96 故实数a 的取值范围为]4,4[-. 4分97 （Ⅱ）由（1）知，4=m ，即424x y z ++=. 根据柯西不等式98222)(z y y x +++[][]2222221)2(4)(211+-+⋅+++=z y y x 99 []21162)(42112=+-+≥z y y x 8分100 等号在z y y x =-=+24即884,,72121x y z ==-=时取得. 101 所以222)(z y y x +++的最小值为2116. 10分 102 103104。

2019年三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学答案一．选择题1-6 DBCABB 7-12 DACDCC二．填空题13. 3 14. 乙 15. 78-16. 4π 三．解答题17. 解：（Ⅰ）1()2cos 21sin(2)1226f x x x x =++=++π 2分 ∵[0,]2x π∈，∴72666πππ≤+≤x 4分∴1sin(2)1226π≤++≤x ∴函数()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 6分 （Ⅱ）∵3()sin(2)162π=++=f A A ∴1sin(2)62π+=A ∵0π<<A ，∴132666πππ<+<A ，∴5266ππ+=A ，即3π=A8分由正弦定理，2a AB ==，∴sin B = 2034B B ππ<<∴=9分∴sin sin()C AB =+=sin sin c bC B ==，∴2=b11分∴1sin 2∆==ABC S bc A 12分 18. 解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件A ，则1131241()2C C P A C == 故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为12. 4分（Ⅱ）根据以上数据得到列联表： 近视 8分所以2K 的观测值2200(40406060)8.000 6.635(4060)(6040)(4060)(6040)k ⨯⨯-⨯==>++++， 故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.12分 19.解：（Ⅰ）在BDC ∆中，延长BF 交CD 于点M ， 13OF OD =,BDC ∆是等边三角形 F ∴为BDC ∆的重心13MF BM ∴= 2分//EF 平面ACD , EF ⊂平面ABM ABMACD AM =，且面面， //EF AM ∴13AE AB ∴=,即点E 为线段AB 上靠近点A 的三等分点. 4分（Ⅱ）等边BCD ∆中，O D B C ⊥，OD BCD ⊂平面，ABC BCD ⊥面面，交线为BC ，OD ABC ∴⊥平面 6分如图以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -点A 在平面BEF 上，所以二面角D FB E --与二面角D FB A --为相同二面角.设2AB =,则OD OA =，(0,0,(0,1,0)3F A B3(0,1,),(3,1,0)3BF BA ∴=-=- 设平面AFB 的法向量u (,,)x y z =，则⎧⎨⎩u u 00⋅=⋅=BF BA 即030y z y ⎧-+=⎪⎨-=，取1x =，则u (1,)= 9分又OA ⊥平面OBD ，(3,0,0)OA =,10分则cos <u ,OA >=u u 13== 又二面角D FB E --为钝二面角，所以余弦值为 . 12分 20.解：（Ⅰ）设),(00y x P 0(2)x ≠±，则220014x y +=， 因为)0,2(),0,2(B A -，则4144142220202020000021-=--=-=-⋅+=x x x y x y x y k k 2分(,)Q x y 设(2)x ≠±所以4422212243λλ-==-=-⋅+=k k x y x y x y k k ， 整理得 1422=+λy x )2(±≠x . 所以，当4=λ时，曲线2C 的方程为 )2(422±≠=+x y x . .4分（Ⅱ）设),(),,(2211y x F y x E . 由题意知，直线AM 的方程为：26-=y x ，直线BM 的方程为：22+-=y x . 由（Ⅰ）知，曲线2C 的方程为1422=+λy x )2(±≠x ， .7分 联立 )2(442622±≠⎩⎨⎧=+-=x y x y x λλ，消去x ，得2(91)60y y λ+-λ=，得 1961+=λλy 联立)2(442222±≠⎩⎨⎧=++-=x y x y x λλ，消去x ，得2(1)20λ+-λ=y y ，得 122+=λλy 9分 2212111111sin 91222211sin 2222MA MF AMF y y MA MF S S MB ME MB ME BME y y ∠--+=====+∠--λλ 10分 设918()911g λ+λ==-λ+λ+，则()g λ在[1,3]上递增 又(1)5,(3)7g g ==，OA ⋅OA12S S ∴ 的取值范围为[]5,7 12分21.解：（Ⅰ）当1a =时,()()()x h x f x g x e x -=+=+，()1,x h x e -'=-+令()0,h x '=解得0x =()=(0)1h x h ∴=极小值 4分 （Ⅱ）设1()(1)ln(1)e ()e ln(1)e t t f t t g t at t ϕ+=--++--=-++-，令1(1)t x x +=≥，()e ln e ,1x F x ax x a x =-+-+≥，1'()e x F x a x =-+，设1()()e x t x F x a x '==-+，21()e x t x x'=-， 由1x ≥得，2211,01x x e e x≥∴<≤≥Q 21'()e 0x t x x =->，()t x 在(1,)+∞单调递增， 即()F x '在(1,)+∞单调递增，(1)1F e a '=+-，① 当e 10a +-≥，即e 1a ≤+时，(1,)x ∈+∞时，()(1)0F x F ''>≥，()F x 在(1,)+∞单调递增,又(1)0F =，故当1x ≥时，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有且只有一个实数解. 8分②当10e a +-<，即1a e >+时，1(1)0,'(ln )0ln F F a a a a a a'<=-+>-=，又ln ln(1)1a e >+> 故00(1,ln ),()0x a F x '∃∈=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又(1)0F =， 故当(]01,x x ∈时，()0F x <，在[)01,x 内，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有一个实数解1x =. 10分又0(,)x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，且22()ln 1a a F a e a a a e e a =+-+->-+，令2()1(1)x k x e x x =-+≥， ()()2x s x k x e x '==-,()e 2e 20x s x '=->->,故()k x '在()1,+∞单调递增，又(1)0k '>故()k x 在()1,+∞单调递增，故()(1)0k a k >>，故()0F a >，又0ea a x >>，由零点存在定理可知，101(,),()0x x a F x ∃∈=，故在()0,x a 内，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有一个实数解1x .此时方程有两个解. 综上，e 1a ≤+. 12分22.解：（Ⅰ）22324103x x x y y αα⎧=+⎪∴-++=⎨=⎪⎩2分 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=.4分（Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,)R θθρθπ=∈∈，其中1θ为直线l 的倾斜角， 代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ. 21211214cos ,10,16cos 40∴+==>∆=->ρρθρρθ7分 1212OA OB +=+=+=ρρρρ8分 1cos θ∴= 满足0∆>16πθ∴=或56π， l 的倾斜角为6π或56π， 则1tan k θ==10分 23.解：（Ⅰ）因为a x a x x a x x f 444)(=--≥+-=，所以 a a 42≤，解得 44≤≤-a .故实数a 的取值范围为]4,4[-.4分（Ⅱ）由（1）知，4=m ，即424x y z ++=. 根据柯西不等式 222)(z y y x +++[][]2222221)2(4)(211+-+⋅+++=z y y x []21162)(42112=+-+≥z y y x 8分 等号在z y y x =-=+24即884,,72121x y z ==-=时取得. 所以222)(z y y x +++的最小值为2116. 10分。

东北三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}21x x A =-<<，{}220x x x B =-≤，则AB =（ ）A ．{}01x x <<B ．{}01x x ≤<C ．{}11x x -<≤D ．{}21x x -<≤ 2、复数212ii+=-（ ） A ．()22i+ B ．1i + C ．iD ．i -3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ） A ．14 B ．112-C ．14或112-D ．14-或1124、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）A ．6B ．7C ．10D ．95、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ）A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 6、下列命题中正确命题的个数是（ ） ①对于命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，均有210x x +->②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件 ③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．128、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若F 3dB ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2⎤⎦B ．)2,⎡+∞⎣C ．(]1,3D ．)3,⎡+∞⎣9、不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x-+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（ ）A ．932 B ．732 C ．916D ．71610、设二项式12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则1212n na a ab b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（ ）A ．123n -+B ．()1221n -+C ．12n +D ．111、已知数列{}n a 满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m的值为（ ）A ．14B ．13C ．14-D ．13-12、已知函数())()()0ln 10x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、向量a ，b 满足1a =，2b =，()()2a b a b+⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ．14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ．15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．16、已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ∆AB 的面积为2，且满足0C 4<AB⋅A ≤，设AB 和C A 的夹角为θ． ()1求θ的取值范围；()2求函数()22sin 3cos 24f πθθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的取值范围．18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面CD AB ，E 、F 分别为AB 、C P 的中点．()I 求证：F//E 平面D PA ；()II 若2PA =，试问在线段F E 上是否存在点Q ，使得二面角Q D -AP -的余弦值为55？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，点()2,2A 在椭圆上，且2F A 与x 轴垂直．()1求椭圆的方程；()2过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求∆AOB 面积的最大值． 21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数()2ln f x x x ax =+． ()1若曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,2A -，求实数a 的值；()2若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）， ()I 求证：102a -<<； ()II 求证：()()2112f x f x >>-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在C ∆AB 中，C 90∠AB =，以AB 为直径的圆O 交C A 于点E ，点D 是C B 边的中点，连接D O 交圆O 于点M ． ()I 求证：D E 是圆O 的切线；()II 求证：D C D C D E⋅B =M⋅A +M⋅AB ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． ()I 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；()II 设点(),0m P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ⋅PB =，求实数m 的值． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =--+． ()I 解不等式()0f x >；()II 若0R x ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．东北三省三校三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案一．选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B 12.C 二．填空题：13. 9014. 64π 15. 84 16. 54-三．解答题：17.解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． 6 分（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭． 8 分)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[12 分18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方3 分年龄(岁)平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(21=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（岁）6 分(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,2 3821)0(222015===C C XP 3815)1(22011515===C C C X P 382)2(22025===C C X P 9 分X的分布列为X12P3821 3815 38210 分期望2138223815138210)(=⨯+⨯+⨯=X E （人）12 分19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 21//∴,MF AE //∴ 故：EFMA为平行四边形 AM EF //∴2 分又⊄EF 平面PAD,⊂AM 平面PAD∴//EF 平面PAD4 分(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:yz111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222P B C E F由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6 分 假设存在Q 满足条件：设11,(,0,1),(,,)222EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ1(0,0,2),(,,),22AP AQ λλ==设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =,10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩10 分∴21,cos λλ+-< 由已知：5512=+λλ解得：21=λ 所以：满足条件的Q存在，是EF中点。

2019年三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学答案一．选择题1-6 DBCABB 7-12 DACDCC 二．填空题13. 3 14. 乙 15. 78- 16. 4π 三．解答题17. 解：（Ⅰ）1()2cos 21sin(2)1226f x x x x =++=++π2分∵[0,]2x π∈，∴72666πππ≤+≤x4分∴1sin(2)1226π≤++≤x ∴函数()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．6分（Ⅱ）∵3()sin(2)162π=++=f A A ∴1sin(2)62π+=A∵0π<<A ，∴132666πππ<+<A ，∴5266ππ+=A ，即3π=A8分由正弦定理，2aA B ==，∴sin B =2034B B ππ<<∴=9分 ∴sin sin()C AB =+=，sin sin c bC B==，∴2=b 11分∴13sin 22∆==ABC S bc A12分18. 解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件A ，则1131241()2C C P A C == 故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为12.4分（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：8分所以2K 的观测值2200(40406060)8.000 6.635(4060)(6040)(4060)(6040)k ⨯⨯-⨯==>++++， 故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系. 12分19.解：（Ⅰ）在BDC ∆中，延长BF 交CD 于点M ，13OF OD =,BDC ∆是等边三角形F ∴为BDC ∆的重心13MF BM ∴=2分//EF 平面ACD , EF ⊂平面ABM ABMACD AM =，且面面，//EF AM ∴13AE AB ∴=,即点E 为线段AB 上靠近点A 的三等分点.4分（Ⅱ）等边B C D ∆中，O D B C⊥，OD BCD ⊂平面，ABC BCD ⊥面面，交线为BC ，OD ABC ∴⊥平面 6分如图以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -点A 在平面BEF上，所以二面角D FB E --与二面角D FB A --为相同二面角. 设2AB =,则OD OA ==(0,0,(0,1,0)3F A B 3(0,1,),(3,1,0)3BF BA ∴=-=-设平面AFB 的法向量u (,,)x y z =，则⎧⎨⎩u u 0⋅=⋅=BF BA即030y z y ⎧-+=⎪-=，取1x =，则u = 9分又OA ⊥平面OBD ，(3,0,0)OA =, 10分则cos <u ,OA >=u u 1313== 又二面角D FB E --为钝二面角，所以余弦值为 .12分20.解：（Ⅰ）设),(00y x P 0(2)x ≠±，则220014x y +=， 因为)0,2(),0,2(B A -，则4144142220202020000021-=--=-=-⋅+=x x x y x y x y k k2分(,)Q x y 设(2)x ≠±所以4422212243λλ-==-=-⋅+=k k x y x y x y k k ， 整理得1422=+λy x )2(±≠x . 所以，当4=λ时，曲线2C 的方程为 )2(422±≠=+x y x . . 4分（Ⅱ）设),(),,(2211y x F y x E . 由题意知，直线AM 的方程为：26-=y x ，直线BM 的方程为：22+-=y x .由（Ⅰ）知，曲线2C 的方程为1422=+λy x )2(±≠x ， .7分联立 )2(442622±≠⎩⎨⎧=+-=x y x y x λλ，消去x ，得2(91)60y y λ+-λ=，得 1961+=λλy 联立)2(442222±≠⎩⎨⎧=++-=x y x y x λλ，消去x ，得2(1)20λ+-λ=y y ，得 122+=λλy 9分2212111111sin 91222211111sin 2222MA MF AMF y y MA MF S S MB ME MB ME BME y y ∠--+=====+∠--λλ 10分OA ⋅OA设918()911g λ+λ==-λ+λ+，则()g λ在[1,3]上递增 又(1)5,(3)7g g ==，12S S ∴的取值范围为[]5,7 12分21.解：（Ⅰ）当1a =时,()()()xh x f x g x e x -=+=+，()1,x h x e -'=-+令()0,h x '=解得0x =()=(0)1h x h ∴=极小值4分（Ⅱ）设1()(1)ln(1)e ()eln(1)e t t f t t g t at t ϕ+=--++--=-++-，令1(1)t x x +=≥，()e ln e ,1xF x ax x a x =-+-+≥，1'()e x F x a x=-+，设1()()e x t x F x a x '==-+，21()e x t x x '=-，由1x ≥得，2211,01x x e e x≥∴<≤≥Q21'()e 0x t x x=->，()t x 在(1,)+∞单调递增，即()F x '在(1,)+∞单调递增，(1)1F e a '=+-，① 当e 10a +-≥，即e 1a ≤+时，(1,)x ∈+∞时，()(1)0F x F ''>≥，()F x 在(1,)+∞单调递增, 又(1)0F =，故当1x ≥时，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有且只有一个实数解. 8分②当10e a +-<，即1a e >+时，1(1)0,'(ln )0ln F F a a a a a a'<=-+>-=，又ln ln(1)1a e >+> 故00(1,ln ),()0x a F x '∃∈=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又(1)0F =， 故当(]01,x x ∈时，()0F x <，在[)01,x 内，关于x 的方程e ln e 0xax x a -+-+=有一个实数解1x =.10分又0(,)x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，且22()ln 1a a F a e a a a e e a =+-+->-+，令2()1(1)x k x e x x =-+≥，()()2x s x k x e x '==-,()e 2e 20x s x '=->->,故()k x '在()1,+∞单调递增，又(1)0k '>故()k x 在()1,+∞单调递增，故()(1)0k a k >>，故()0F a >，又0eaa x >>，由零点存在定理可知，101(,),()0x x a F x ∃∈=，故在()0,x a 内，关于x 的方程e ln e 0x ax x a -+-+=有一个实数解1x .此时方程有两个解. 综上，e 1a ≤+.12分22.解：（Ⅰ）22324103x x x y y αα⎧=+⎪∴-++=⎨=⎪⎩2分所以曲线C 的极坐标方程为24cos 10ρρθ-+=.4分（Ⅱ）设直线l 的极坐标方程为[)11(,0,)R θθρθπ=∈∈，其中1θ为直线l 的倾斜角，代入曲线C 得214cos 10,ρρθ-+=设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ.21211214cos ,10,16cos 40∴+==>∆=->ρρθρρθ7分1212OA OB +=+=+=ρρρρ8分1cos θ∴= 满足0∆>16πθ∴=或56π， l 的倾斜角为6π或56π， 则1tan k θ==10分23.解：（Ⅰ）因为a x a x x a x x f 444)(=--≥+-=，所以 a a 42≤，解得 44≤≤-a . 故实数a 的取值范围为]4,4[-. 4分（Ⅱ）由（1）知，4=m ，即424x y z ++=. 根据柯西不等式222)(z y y x +++[][]2222221)2(4)(211+-+⋅+++=z y y x []21162)(42112=+-+≥z y y x 8分等号在z yy x =-=+24即884,,72121x y z ==-=时取得. 所以222)(z y y x +++的最小值为2116. 10分。