下载文档原格式
2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A 版选修1-1能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 重点：导数的四则运算法则及其运用． 难点：导数的四则运算法则的理解运用． 方 法：合作探究 一新知导学 思维导航我们已经会求幂函数、指数函数、对数函数及y ＝sinx ，y ＝cosx 的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？ 1．设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________； (f (x )·g (x ))′＝______________________．2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫f (x )g (x )′＝____________________________.牛刀小试1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B ． 2 C ．－1 D ．0 2．函数y ＝x4＋sinx 的导数为( ) A ．y ′＝4x3 B ．y ′＝cosx C ．y ′＝4x3＋sinxD ．y ′＝4x3＋cosx3．下列运算中正确的是( )A ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′ B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′ C ．(sin x x 2)′＝(sin x )′－(x 2)′x2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 4．求下列函数的导数(1)y ＝2x2－3x ＋1，y ′＝__________. (2)y ＝(x ＋2)2，y ′＝__________.课堂随笔:(3)y ＝sinx ＋cosx ，y ′＝__________. (4)y ＝tanx ，y ′＝__________.(5)y ＝(x ＋2)(3x －1)，y ′＝__________. 二．例题分析例1函数的下列导数求： (1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝1x ＋2x 2＋3x3；(4)y ＝x tan x －2cos x .（5）y ＝sin2x练习：求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (2)y ＝x －sin x 2·cos x2.例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx ＋e 的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．练习：已知抛物线y ＝ax2＋bx －7经过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．例3已知直线l1为曲线y ＝x2＋x －2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x 轴所围成的三角形的面积．练习：已知函数f(x)＝2x3＋ax 与g(x)＝bx2＋c 的图象都过点P(2,0)，且在点P 处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式． 三．作业 基础题一、选择题1．曲线y ＝－x 2＋3x 在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x ＋3 C ．y ＝x ＋3 D ．y ＝2x 2．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )A ．y ′＝xB ．y ′＝1xC ．y ′＝ln x ＋1D ．y ′＝ln x ＋x3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A ．193 B ．163 C ．133 D ．1034．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．12 5．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．y ′＝－sin xx2B ．y ′＝－sin xC ．y ′＝－x sin x ＋cos xx 2D ．y ′＝－x cos x ＋cos xx 26．若函数f (x )＝f ′(1)x 3－2x 2＋3，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 二、填空题7．函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(x )＝________.8．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)＝________________.9．(2015·天津文)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．三、解答题10．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB ．提高题一、选择题1．(2015·长安一中质检)设a ∈R ，函数f (x )＝e x＋a ·e －x的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln2B ．－ln2C ．ln22D ．－ln222．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －24．(2015·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e )＋ln x ，则f ′(e )( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e 二、填空题后记与感悟:5．直线y ＝4x ＋b 是曲线y ＝13x 3＋2x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.6．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________. 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，求函数f (x )的解析式． 8.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．答案基础题acdbcd 7.1－1x28.π－1π2 9.310.[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)， 即3a 2－2a －1＝－1， 解得a ＝23.提高题acac 5.－4236.y ＝－3x7.[解析] 由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2.f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .因为在M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，可知－6－f (－1)＋7＝0， 即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. 8.[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为13x －y －32＝0. (2)解法一：设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16， 又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． 解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14.。
3．2 古典概型1.了解基本事件的概念．2.理解古典概型的定义，会计算基本事件的个数．3．掌握古典概型概率的计算公式．1．基本事件(1)在1次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件．(2)若在1次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．2．古典概型(1)定义：如果某问题具有以下两个特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件的发生都是等可能的．我们将满足上述条件的概率模型称为古典概型．(2)古典概型的概率公式如果1次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n ．如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A )＝m n．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件．( )(2)同时抛掷两枚硬币，求向上的面全是正面，这一事件的概率是古典概型问题．( )(3)从甲地到乙地共n 条路线，且这n 条路线长短各不相同，则某人正好选中最短路线的概率为1n.( ) 解析：根据古典概型的两个特征知：(1)×；(2)√；(3)√.答案：(1)× (2)√ (3)√2．若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为( )A.15B.310C.35D.12解析：选B.基本事件总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个基本事件，所以其概率为310，故选B. 3．下列概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点； ②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是________．解析：①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，显然满足有限性和等可能性；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．答案：③基本事件的计数问题判断下列各试验中的基本事件个数，并指出有哪些基本事件．(1)从字母a 、b 、c 中任意取两个字母的试验中；(2)从装有形状完全一样且分别标有1，2，3，4，5号的5个球的袋中任意取出两个球的试验中．【解】 (1)从三个字母中任取出两个字母的所有等可能结果即基本事件数为3个，分别是A ＝{}a ，b ，B ＝{}a ，c ，C ＝{}b ，c .(2)从袋中取两个球的等可能结果为：球1和球2，球1和球3，球1和球4，球1和球5，球2和球3，球2和球4，球2和球5，球3和球4，球3和球5，球4和球5.故共有以上10个基本事件，可分别记为A 1，A 2，…，A 10.根据基本事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，就得到基本事件，但在确定基本事件个数时，要做到不重不漏，因此需要按某种顺序逐个排列出来．1.袋中有红、白、黄、黑颜色不同但大小相同的四个小球．分别写出下面试验的基本事件，并指出基本事件总数．(1)从中任取一个球；(2)从中任取两个球；(3)先后各取一个球．解：(1)这个试验的基本事件为：红，白，黄，黑．基本事件的总数是4.(2)一次取两球，如记(红，白)代表一次取出红球、白球两个，则本试验的基本事件为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)，基本事件的总数是6.(3)先后各取一球，如记(红，白)代表先取一红球，后取一白球．因此本试验的基本事件为：(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(红，黑)，(黑，红)，(白，黄)，(黄，白)，(白，黑)，(黑，白)，(黄，黑)，(黑，黄)，基本事件的总数是12.古典概型的判断判断下列试验是否是古典概型，并说明理由：(1)从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，求每人被选中的概率；(2)同时掷两颗骰子，求点数和为7的概率；(3)求近三天中有一天降雨的概率；(4)10个人站成一排，求其中甲、乙相邻的概率．【解】(1)(2)(4)是古典概型．因为符合古典概型的定义和特点——有限性和等可能性．(3)不是古典概型．因为不符合等可能性的特点，受多方面因素影响．古典概型判断的特点一个试验是否属于古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．2.判断下列两个试验是否为古典概型，并说明理由．(1)在区间[0，3]上任取一点，求此点的坐标小于1的概率；(2)从1，2，3，4四个数中任意取出两个数，求所取两数之一是2的概率．解：(1)此问题不属于古典概型，因为在线段[0，3]上任取一点，此点可以在[0，3]上的任一位置，且在每个位置的可能性是相同的，具备等可能性．但试验的结果是无限多个，不满足古典概型的条件，即不满足试验结果的有限性．(2)此问题属于古典概型，因为此试验的所有基本事件共有6个：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，且每个事件的出现是等可能的，因此属于古典概型．古典概型的概率计算某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy ≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．【解】 用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N ，1≤x ≤4，1≤y ≤4}一一对应．因为S 中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n ＝16.(1)记“xy ≤3”为事件A ，则事件A 包含的基本事件共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)．所以P (A )＝516， 即小亮获得玩具的概率为516. (2)记“xy ≥8”为事件B ，“3<xy <8”为事件C .则事件B 包含的基本事件共6个，即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，所以P (B )＝616＝38. 事件C 包含的基本事件共5个，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，所以P (C )＝516. 因为38>516， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．求古典概型概率的步骤(1)判断是否为古典概型．(2)算出基本事件的总数n .(3)算出事件A 中包含的基本事件个数m .(4)算出事件A 的概率，即P (A )＝m n. 在运用公式计算时，关键在于求出m ，n .在求n 时，应注意这n 种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．3.某市举行职工技能比赛活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工．(1)若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率；(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名进行比赛，求选出的这2名职工来自同一工厂的概率．解：记甲厂派出的2名男职工为A 1，A 2，1名女职工为a ；乙厂派出的2名男职工为B 1，B 2，2名女职工为b 1，b 2.(1)从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名，不同的结果有{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{a ，B 1}，{a ，B 2}，{a ，b 1}，{a ，b 2}，共12种．其中选出的2名职工性别相同的选法有{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{a ，b 1}，{a ，b 2}，共6种．故选出的2名职工性别相同的概率P ＝612＝12. (2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名，不同的结果有{A 1，A 2}，{A 1，a }，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a }，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{a ，B 1}，{a ，B 2}，{a ，b 1}，{a ，b 2}，{B 1，B 2}，{B 1，b 1}，{B 1，b 2}，{B 2，b 1}，{B 2，b 2}，{b 1，b 2}，共21种．其中选出的2名职工来自同一工厂的选法有{A 1，A 2}，{A 1，a }，{A 2，a }，{B 1，B 2}，{B 1，b 1}，{B 1，b 2}，{B 2，b 1}，{B 2，b 2}，{b 1，b 2}，共9种．故选出的2名职工来自同一工厂的概率为P ＝921＝37.1．基本事件是一次试验中所有可能出现的最小事件，且这些事件不能同时发生，每一次试验只能出现一个事件．试验中的事件A 可以是基本事件，也可以是由几个基本事件组合而成的．2．有限性和等可能性是古典概型的两个本质特点，概率计算公式P (A )＝事件A 所包含的基本事件的个数÷基本事件的总数，只对古典概型适用．箱子里有3双不同的手套，随机拿出2只，记事件A 表示“拿出的手套配不成对”；事件B 表示“拿出的都是同一只手上的手套”；事件C 表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”．(1)请列出所有的基本事件；。
