高中数学第二讲直线与圆的位置关系23圆的切线的性质及判定定理练习新人教A版1

三圆的切线的性质及判定定理A 组1. 已知圆的半径为6.5 cm,圆心到直线I 的距离为4.5 cm,则这条直线和这个圆的公共点的个 数是（ ）A.2B.1C.0D.不能确定解析圆心到I 的距离是4.5cm,小于圆的半径6.5cm,故圆与I 相交,有两个公共点• 答案A 2. 如图所示，AB 与。

0切于点B, AO= cm, AB=4 cm,则。

O 的半径r 等于（）如图，连接OB 则OB=r 且OBL AB故 OB=r=-=- =2 (cm).3. （ 0 •山西太原高二检测）如图所示,。

0是正三角形 ABC 勺内切圆，切点分别为E , F ,GP 是劣弧 上任意一点，则/ EPF 的 度数等于（ ）A. 0 °B.90 °C. 0 °D. 0 °解析连接 OEOF 贝U OEL ABOFL BC 于是/ EOF=80 ° - / B= 0 ° ,从而/ EPF=Z EOF=0 4.A.4 cm解析B.2 cmC.2 cmD. cm如图所示,CB为。

O的直径，P是CB的延长线上的一点，且OB=BP/ AOC=0 ° ,则PA与。

0的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定解析如图所示,连接AB.•••/ AOC=0 ° , •••/ AOB=0 ° .又OA=O,B・.A AOB是等边三角形，二OB=AB又OB=B,P「. AB=OP •••/ OAP90° .即OAL AF?则PA与。

0相切.5. （ 0 •安徽蚌埠高二检测）如图所示,已知。

O的直径AB与弦AC的夹角为0 ° ,过C点的切线PC与AB的延长线交于P, PC=",则。

O的半径为（）A.—B.3C.-D.1解析连接OC则/ COP：0 ° , OCL PC可求得OCd 一=1.6. 如图所示，AB是。

三圆的切线的性质及判定定理课堂探究探究一圆的切线的性质的应用利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算时，连接圆心和切点的半径是常用辅助线．【典型例题1】如图所示，AB为⊙O的直径，BC，CD为⊙O的切线，B，D为切点，(1)求证：AD∥OC；(2)若⊙O的半径为1，求AD·O C的值．思路分析：(1)要证AD∥OC，由于AB是⊙O的直径，所以BD⊥AD.故可转化为证明BD ⊥OC；(2)由AD·OC可以联想到△ABD∽△OCB，利用等积式转化线段间的关系．(1)证明：如图，连接OD，BD.∵BC，CD是⊙O的切线，∴OB⊥BC，OD⊥CD.∴∠OBC＝∠ODC＝90°.又∵OB＝OD，OC＝OC，∴Rt△OBC≌Rt△ODC.∴BC＝CD.又∵OB＝OD，∴OC⊥BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.∴AD∥OC.(2)解：∵AD∥OC，∴∠A＝∠BOC.又∠ADB＝∠OBC＝90°，∴△ABD∽△OCB.∴ABOC＝ADOB.∴AD·OC＝AB·OB＝2×1＝2.点评若题目中有圆的切线，则首先想到的是连接圆心和切点构造垂直关系．探究二圆的切线的判定在不知道圆与直线是否有公共点的情况下，通常过圆心作直线的垂线段，然后证垂线段的长等于半径，即“作垂直，证半径”，这是证直线与圆相切的常用方法之一．【典型例题2】如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过E作直线与AF 垂直，交AF的延长线于点D，且交AB的延长线于点C.求证：CD是⊙O的切线．分析：连接OE，只需证明OE⊥CD即可．证明：如图，连接OE.∵OA＝OE，∴∠1＝∠2.又∵AE平分∠BAF，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴OE∥AD.∵AD⊥CD，∴OE⊥CD.∴CD与⊙O相切于点E.规律小结定理法判定圆的切线是平面几何中最常用的方法．这种方法的步骤是：①连接圆心和公共点；②转化为证明直线过公共点且垂直于所连线段．由此看出，证明圆的切线可转化为证明直线垂直．。

第三节 圆的切线的性质及判定定理课堂导学三点剖析一、切线的性质【例1】 如图2-3-1,两圆为以O 为圆心的同心圆,大圆的弦AB 是小圆的切线,C 为切点.求证:C 是AB 的中点.图2-3-1证明：连结OA 、OC 、OB,∵OA=OB,∴△OAB 是等腰三角形.又∵AC 是小圆切线,C 是切点,∴OC⊥AB,即OC 是等腰三角形底边上的高.∴OC 是AB 边上的中线.∴C 是AB 的中点.温馨提示连结圆心、切点是解决切线问题时常用的作辅助线的方法之一.二、切线的判定【例2】 如图2-3-4,AB 是⊙O 的直径,点D 在AB 的延长线上,BD=OB,点C 在圆上,∠CAB＝30°.求证:DC 是⊙O 的切线.图2-3-4证明：连结OC 、BC,∵OA=OC,∴∠CAB=∠ACO.∴∠BOC=∠CAB+∠ACO=60°.∵OB=OC,∴△OBC 是等边三角形.∵BD=OB,∴BD=BC.∴∠D=∠BCD.∵∠OBC=∠D+∠BCD, ∴∠BCD＝21∠OBC=30°. ∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°.∴DC 是⊙O 的切线.三、切线的性质与判定的综合运用【例3】 如图2-3-6,直角梯形ABCD 中,以CD 为直径的圆恰好与腰AB 相切.求证:以AB 为直径的圆也与腰CD 相切.图2-3-6思路分析：取CD 、AB 中点O 1、O 2,则O 1、O 2分别是两圆圆心,只需证O 2到CD 距离等于O 2A 或O 2B 即可.证明:连结O 1O 2,作O 2E⊥O 1D 于E,DF⊥O 1O 2于F.∵O 1C=O 1D,O 2B=O 2A,∴O 1O 2∥AD∥BC.∴AB⊥O 1O 2.∴DF=AO 2.∵AB 与⊙O 1相切,∴O 1O 2=O 1D.∴△O 1O 2E≌△O 1DF.∴O 2E=DF.∴O 2E=O 2A.∴⊙O 2与CD 相切于E 点.各个击破类题演练1如图2-3-2,两个同心圆⊙O,大圆的弦AB 和AC 分别和小圆相切于点D 和E.求证:DE 21BC.图2-3-2证明:连结OD 、OE,∵AB 切小圆于D,∴OD⊥AB.∴AD=BD.同理,AE=EC.∴DE 是△ABC 的中位线.∴DE 21BC.变式提升1求证:一圆的两条平行切线的切点连线经过圆心.图2-3-3答案:已知:如图l 1、l 2分别切⊙O 于A 、B,l 1∥l 2,求证:O 在AB 上.证明:连结OA,并延长交l 2于B′,∵l 1切⊙O 于点A ,∴OA⊥l 1.又∵l 1∥l 2,∴OA⊥l 2,即OB′⊥l 2.∴B为l2与⊙O的切点.∴OB⊥l2.但过O只有一条直线与l2垂直.∴B′与B重合.即A、O、B在一条直线上,或AB经过点O.类题演练2如图2-3-5,已知以Rt△ABC的直角边AB为直径,作⊙O与斜边AC交于点D,E为BC边上的中点,连结DE.求证:DE是⊙O的切线.图2-3-5证明:连结OD、BD.∵AB是⊙O直径,∴∠ADB=90°.∴∠CDB=90°.∵E是BC中点,∴CE=EB=DE.∴∠1=∠2.∵O B=OD,∴∠3=∠4.∴∠1+∠4=∠2+∠3.∵在Rt△ABC中,∠ABC=∠2+∠3=90°,∴∠EDO=∠1+∠4=90°.∵D为⊙O上的点,∴DE是⊙O的切线.类题演练3如图2-3-7,已知OC平分∠AOB,D是OC上任意一点,⊙D与OA相切于点E.求证:OB与⊙D相切.图2-3-7证明:连结DE,过D作DF⊥OB,垂足为F.OB与⊙D相切于点F.。

三圆的切线的性质及判定定理互动课堂重难突破一、圆的切线的性质定理及推论1.圆的切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.此定理强调半径必须经过切点,否则结论不成立.由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直,所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点;反过来,过切点垂直于切线的直线一定经过圆心,因此可以得到两个推论: 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.2.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得出如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.(1)垂直于切线;(2)过切点;(3)过圆心.于是在利用切线性质时,过切点的半径是常作的辅助线.3.另外,圆的切线还有两条性质应当注意,一是切线和圆只有一个公共点;二是切线和圆心的距离等于圆的半径.在许多实际问题中,我们也利用它们来解决二、切线的判定定理1.切线的判定定理是经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.在定理中要分清定理的题设和结论,强调“经过半径外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线,如图2-3-1的例子就不同时满足两个条件,所以都不是圆的切线图2-3-2.用判定定理证明一直线与圆相切时,必须满足两个条件:①过半径的外端;②垂直于这条半径.因此在解决相关问题时,若已知要证的切线经过圆上一点,则需把这点与圆心相连,证这直线与这半径垂直;否则需先向这直线作垂线,再证这垂线段是圆的半径三、刨根问底问题1 判断一条直线是否是圆的切线,通常有哪些方法？一般如何选取合适的方法？探究:判定切线通常有三种方法（1）和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线（2）和圆心距离等于半径的直线是圆的切线（3）过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线“过半径外端,垂直于这条半径的直线是圆的切线”只是把“到圆心距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化,在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法,如果涉及到数值计算或距离问题,通常利用（2）,如果涉及到线段的位置关系等,通常选取（3）问题2 已知下列5个命题(1)过半径外端的直线是圆的切线(2)垂直于半径的直线是圆的切线(3)经过半径外端和这条直线垂直的直线是圆的切线(4)过直径端点且和这条直径垂直的直线是圆的切线(5)和圆有一个交点的直线是圆的切线其中正确的命题序号是探究:首先判断这些命题的条件与切线判定定理或定义是否一致.(3)(4)正确.活学巧用【例 1】 如图 2-3-2所示,梯形 ABCD 中,AD ∥BC ,∠C =90°,且 AD +BC =AB ,AB 为⊙O 的直径,求证:⊙O 与 CD 相切图 2-3-2思路解析:欲证⊙O 与 CD 相切只需证明圆心 O 到直线 CD 的距离等于⊙O 的半径即可证明:过 O 点作 OE ⊥CD ,垂足为E∴AD ∥OE ∥BC∵O 为 AB 的中点,∴E 为 CD 的中点∴OE = ∴OE = 1 2 1 2 (AD +BC ).又∵AD +BC =AB AB =⊙O 的半径.∴⊙O 与 CD 相切.【例 2】如图 2-3-3所示,已知 AB 为半圆 O 的直径,直线 MN 切半圆于点 C ,AD ⊥MN 于点 D ,BE ⊥MN于点 E ,BE 交半圆于点 F ,AD =3 cm,BE =7 图 2-3-3（1）求⊙O的半径（2）求线段 DE 的长思路解析:（1）连结 OC,证点 C 为 DE 的中点.在解有关圆的切线问题时,常常需要作出过 切点的半径.对于（2）则连结 AF ,证四边形 ADEF 为矩形,从而得到 AD =EF ,DE =AF ,然后在 Rt△ABF 中运用勾股定理,求 AF 的长解:（1）连结 OC .∵MN 切半圆于点 C ,∴OC ⊥MN∵AD ⊥MN ,BE ⊥MN,∴AD ∥OC ∥BE∵OA =OB ,∴CD =CE .∴OC = ∴⊙O 的半径为 51 2 （AD ＋BE ）=5 （2）连结 AF .∵AB 为半圆 O 的直径∴∠AFB =90°.又∠ADE =∠DEF =90°,∴四边形 ADEF 为矩形∴DE =AF ,AD =EF =3在 Rt△ABF 中,BF =BE －EF =4 cm,AB =2OC =10由勾股定理,得 AFAB 2 BF 2 = 102 42 =2 21∴ DE 2 21.【例3】如图2-3-4所示,AB为⊙O的直径,BC、CD为⊙O的切线,B、D为切点图2-3-4（1）求证:AD∥OC（2）若⊙O的半径为1,求AD·OC的值思路解析:对于（1）,连结OD、BD,证AD⊥BD,OC⊥BD;对于（2）,连结BD,证△A BD∽△OCB 即可（1）证明:连结OD、BD.∵BC、CD是⊙O的切线∴OB⊥BC,OD⊥CD∴∠OBC=∠ODC＝又∵OB=OD,OC=OC,∴Rt△OBC ≌Rt△O DC.∴BC=CD.∵OB =OD,∴OC⊥BD.又∵AB为⊙O的直径∴∠ADB即AD⊥BD.∴AD∥OC（2）解:∵AD∥OC,∴∠A =∠BOC又∠ADB =∠OBC=90°,∴△ABD ∽△OCB∴A BOC=ADOB.∴AD·OC =AB·OB =2×1=2.【例4】如图2-3-5,已知两个同心圆O,大圆的直径AB交小圆于C、D,大圆的弦EF切小圆于C,ED交小圆于G,若小圆的半径为2,EF43,试求EG的长图2-3-5思路解析:由EF和小圆切于点C,易知EF⊥CD.因为CD为小圆的直径,联想“直径上的圆周角为90°”,考虑连结GC,则GC⊥ED.由已知条件容易求出CD、EC的长.在Rt△ECD中利用勾股定理和射影定理不难求出EG的长解:连结GC,则GC⊥ED∵EF和小圆切于C∴EF⊥CD,EC= 12EF2又∵CD =4,∴在Rt△ECD中,有ED EC2CD2= (23)42=27∵EC2=EG·E D,∴EC2EG=ED(2223)7=677.。