讲义—抽象函数与分段函数

分段函数、抽象函数一、函数的概念1、映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的______一个元素，在集合B 中都有 和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的 ，记为f ：B A →。

如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，那么A 中的元素a 所对应B 中的元素b 叫做a 的 ，a 叫做b 的 。

例1．已知A={}R y x y x ∈,|),(，B={}R y x y x ∈,|),(，B A f →:是从集合A 到集合B 的映射, 若)1,1(:2++x x f ，求①A 中的元素(2,2)的象；②B 中元素⎪⎭⎫⎝⎛45,23的原象. 2、函数定义：设A 、B 是两个 ，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 x ，在集合B 中都有 数)(x f 和它对应，那么就称f ：B A →为从集合A 到集合B 的一个函数，记为)(x f y =，A x ∈注意：（1）函数一定是映射（特殊的映射），映射不一定是函数； （2）A 、B 是两个非空数集；（3）三要素：对应法则、______和______（三要素的作用是____________________）. 例2．设集合=M {}10≤≤x x ，=N {}10≤≤y y ．下列四个图象中，可以作为函数()=y f x 的图像的是( )．)(A )(B )(C )(D例3．下列各组函数中表示同一函数的是( ) （1）)1()(;1)(+=+∙=x x x g x x x f（2）22)()(;)(x x g x x f ==（3）xaxa x g ax f alog)(;)(log==(4) (3)(5)(),()53+-==-+x x f x g x x xA.(1) (2)B. (2) (3)C. (3)D. (3) (4) 二、函数的表示法： ______ 、 、 。

分段函数：① 在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这 样的函数叫分段函数；② 分段函数的定义域是各段定义域的_____集，其值域是各段值域的_____集； ③ 分段函数表示的是一个函数，而 】不是几个函数； ④ 分段函数问题的一般方法：分类讨论（注意各段定义域）.例4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=)0(,1)0(,121)(x x x x x f ，若a a f >)(，求实数a 的取值范围。

抽象函数与分段函数抽象函数与分段函数的理解和应用抽象函数和分段函数是高中数学中一个重要的概念，二者都是数学中的工具，用于描述特定的数学规律和函数关系。

在数学的学习过程中，我们经常会遇到需要用这两种函数来解决问题的情况。

本文将对抽象函数和分段函数进行详细的介绍和解释，并阐述其在数学和实际生活中的应用。

首先，让我们从抽象函数开始。

抽象函数是通过定义而存在的无具体表达式的数学函数。

它通常以一个字母或符号来表示，没有具体的数学公式或关系式来描述。

因此，抽象函数更关注函数的性质和特点，而非具体的计算方法。

抽象函数广泛应用于代数、几何和数学分析等数学领域。

它是一种灵活且通用的数学工具，可以用来描述各种数学规律和函数间的关系。

抽象函数在数学理论研究和问题求解中发挥着重要的作用。

通过引入抽象函数，我们可以对问题进行抽象化处理，令问题更具一般性和普遍性。

例如，当我们研究函数的性质时，可以将函数表示为抽象函数f(x)，方便我们从宏观的角度来研究函数的变化规律和特性。

同时，抽象函数还可以用来证明数学定理和推断数学规律，为数学理论的发展提供了有力的工具。

其次，我们来看看分段函数，分段函数是由两个或多个部分组成的函数。

每个部分在定义域上有不同的表达式来描述，函数的取值也会因定义域的不同而有所差别。

分段函数的定义域通常由一个或多个区间来确定。

在每个区间内，函数可以用不同的数学表达式来表示。

分段函数常用于实际问题中，用于描述某种情况下的函数规律。

在实际问题中，我们经常会遇到某些变量在不同范围内具有不同的变化规律。

例如，一个计费系统中，费用随使用量的不同而有所不同，我们可以使用分段函数来描述不同使用范围下的费用计算规则。

类似地，在工程问题中，某个参数的取值在不同范围内可能对其他变量产生不同的影响，我们可以通过分段函数来描述这种关系。

因此，分段函数在实际问题求解中具有很高的实用价值。

总结起来，抽象函数和分段函数是数学中常用的两种工具。

函数的三要素函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x 和y 之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定一．定义域一．定义域1.具体函数：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；的实数集合； ④若f(x)是对数型函数，则函数的定义域是使真数大于0的实数集合；的实数集合；⑤若f(x)是零次幂函数，则函数的定义域是使零次幂的底数不为零的实数集合；是零次幂函数，则函数的定义域是使零次幂的底数不为零的实数集合； ⑥三角函数:（必修4） 2.抽象函数：抽象函数：①已知函数f(x)的定义域为D ，求函数f 【g （x ）】的定义域，只需g （x ）∈D; ②已知函数f 【g （x ）】的定义域为D, 求函数f(x)的定义域, 只需求出g （x ）的值域。

）的值域。

练习：1.求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x xx x f③=)(x f x11111++④x x x x f -+=)1()( ⑤373132+++-=x x y⑥()()1log 143++--=x x x x f ⑦⑦221()1(3234)f x n x x x x x =-++--+ ⑧221()log (1)x f x x --=-⑨若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f x g x x =-的定义域是（ ） 2. 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-×x f 的定义域3．设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域4. 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 5. 设a ÎR ，函数)22lg(2a x ax y --=的定义为A ，不等式0342<+-x x的解集为B ，若¹ÇB A f ，求实数a 的取值范围．的取值范围．6.已知函数6)1(3)1()(22+-+-=x a x a x f ，(1)若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值.二．函数解析式二．函数解析式1.已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式 2．若x x x f 21(+=+）,求f(x)3. 已知：)(x f =x 2-x+3 求：求： f(x+1), f(x1) 4. 已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]. 5. 若xxx f -=1)1( 求f(x) 6. 已知f(x)满足x xf x f 3)1()(2=+，求)(x f7.设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求)(x f 的解析式. 8.8. 已知ｆ（ｘ＋x 1）＝ｘ３＋31xx ，求ｆ(ｘ)的解析式的解析式三．值域三．值域1．直接法：利用常见函数的值域来求利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ¹0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(¹=k xky 的定义域为{x|x ¹0}，值域为{y|y ¹0}；二次函数)0()(2¹++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-³}；当a<0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-£}. 2.分离常数法（反函数法）： 例：1+=x x y3．换元法：例：求函数x x y -+=142的值域的值域4. 判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例：求函数66522++-=x x x y 的值域的值域 5. 数形结合法：数形结合法：例1：求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 例2：求函数xx y 1+=的值域6. 二次函数比区间上的值域(最值)：①142+-=x x y ； ②]4,3[,142Î+-=x x x y ；③]1,0[,142Î+-=x x x y ； ④]5,0[,142Î+-=x x x y ；练习：①x x y -+=2； ②242xx y --=③ 34252+-=x x y④④)0(9122¹++=x x x y ⑤若函数12)(22+--+=x x ax x x f 的值域为[－2，2]，则a 的值为的值为 （ ）⑥ 设函数41)(2-+=x x x f . （Ⅰ）若定义域限制为[0，3]，求)(x f 的值域；的值域； （Ⅱ）若定义域限制为]1,[+a a 时，)(x f 的值域为]161,21[-，求a 的值⑦的值域求2)2(|1|-++=x x y⑧的值域，试求函数的值域是已知)(21)()(]94,83[)(x f x f x g y x f -+== ⑨已知函数y=f(x)=x 2+ax+3在区间x ∈[-1,1]时的最小值为-3，求实数a 的值．的值．分段函数分段函数; ; ; 定义域定义域定义域; ; ; 值域或最值值域或最值值域或最值; ; ; 函数值函数值函数值; ; ; 解析式解析式解析式; ; ; 图像图像图像; ; ; 反函数反函数反函数; ; ; 奇偶性奇偶性奇偶性; ; ; 方程方程方程; ; 不等式不等式. .))12log (12x 1)1x +--）的值为）的值为。

第04讲（与分段函数有关的取值范围问题）【目标导航】1．理解含义抽象函数的求值问题、与分段函数有关的方程或不等式、分段函数的值域、分段函数的零点问题、分段函数中求参问题、分段函数奇偶性讨论等问题； 2．理解分段函数有关的取值范围等问题并能灵活运用． 【例题导读】例1、若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ， x ≤0f (x －2)，x ＞0，则f (log 23)＝ ．【答案】．34【解析】因为1＜2log 3＜2，所以f (log 23)＝f (log 23－2)＝22log 3log 32223224-==.例2、设函数()()cos ,011,0x x f x f x x π>⎧=⎨+-≤⎩，则103f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________ 【答案】92-【解析】由()f x 解析式可知，只有0x >，才能得到具体的数值，0x <时只能依靠()()11f x f x =+-向0x > 正数进行靠拢。

由此可得：107412123433333f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而 221cos 332f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭10932f⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭例3、 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（3－x ），x≤0，2x －1，x>0，若f(a －1)＝12，则实数a ＝________．【答案】 log 23【解析】当a －1≤0，即a≤1时，f(a －1)＝log 2(4－a)＝12，解得a ＝4－2(舍)；当a －1>0，即a>1时，f(a －1)＝2a －1－1＝12，解得a ＝log 23.例4、已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩，≥，，， 则不等式()()f x f x >-的解集为 ．【答案】(20)(2)-+∞U ，，【解析】：若0x ≥，则22()2,()2f x x x f x x x =--=-+，由()()f x f x >-得： 22222x x x x x ->-+⇒>，故2x >.若0x <，则22()2,()2f x x x f x x x =---=+，由()()f x f x >-得： 222220x x x x x -->+⇒-<<，故20x -<<. 综上，不等式()()f x f x >-的解集为 (20)(2)-+∞U ，，.例5、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≤0，－x 2＋1， x >0的值域为________．【答案】 (－∞，1]【解析】思路分析 先画出图像看看．分段画出f (x )的图像即可看出函数的值域为(－∞，1]．例6、已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1x 2，x≤－12，log 12⎝⎛⎭⎫1＋x 2，x>－12，g(x)＝－x 2－2x －2.若存在a ∈R ，使得f (a )＋g (b )＝0，则实数b 的取值范围是________． 【答案】. (－2，0)【解析】由题意，存在a ∈R ，使得f (a )＝－g (b )，令h (b )＝－g (b )＝b 2＋2b ＋2.当a ≤－12时，f (a )＝a 2＋2a －1a 2＝－1a 2＋2a ＋1＝－⎝⎛⎭⎫1a －12＋2，因为a ≤－12，所以－2≤1a <0，从而－7≤f (a )<1；当a >－12时，f (a )＝log 12⎝⎛⎭⎫1＋a 2，因为a >－12，所以1＋a 2>14，从而f (a )<2.综上，函数f (a )的值域是(－∞，2)． 令h (b )<2，即b 2＋2b ＋2<2，解得－2<b <0. 例7、已知函数(2)1(1)()log (1)aa x x f x x x --≤⎧=⎨>⎩，若()f x 在(),-∞+∞单调递增，则实数a 的取值范围是_________【答案】(]2,3a ∈【解析】思路：若()f x 在(),-∞+∞单调增，则在R 上任取12x x <，均有()()12f x f x <，在任取中就包含12,x x 均在同一段取值的情况，所以可得要想在R 上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，由此可得：201a a ->⎧⎨>⎩，但仅仅满足这个条件是不够的。

攻克“抽象函数与分段函数”的常规题型抽象函数是没有给出函数的具体解析式，只给出函数的抽象表达关系式，利用这些关系式解题；分段函数是将函数的定义域分成若干个子区间，不同的子区间有不同的表达式．由于这两类函数表达形式比较特殊，使得这类问题成为函数内容的难点，而这两类函数在函数内容又占重要位置，本文就这两类函数对其常见的题型归纳评析如下：一、确定解析式问题例1 已知y=f(x)满足1()()af x bf cxx+=，其中a、b、c都是非零的常数，a≠±b，求函数的解析式．【分析】y=f(x)没有具体结构，条件中的a、b、c a、b、c都是已知的常数，不可用待定系数法去求解．本题可用1()()af x bf cxx+=，转化出另一个式子，采用解方程组的办法求解．【解析】∵1()()af x bf cxx+=，以1x代换x得：11()()af bf x cx x+=，联立两式消去f(1x)得：22()()()ba b f x c axx-=-．∵22a b≠，∴22()()c bf x axa b x=--．【点评】从所给式子出发，看成一个变式，把x换成1x以后得到方程组，故视f(x)为一个未知量，解之得f(x)，称此法为“函数方程法”．求抽象函数解析式这是常用的方法．例2 设f(x)是定义域为R的函数，且满足f(－x)=－f(x)，当x∈[0，+∞)时，()(1f x x=+，求f(x)的解析式．【分析】利用f(－x)=－f(x)求（－∞，0）上的表达式即可．【解析】∵f(－x)=－f(x)，又当x＜0时，－x＞0，由已知()(1 f x x-=-+，∴()(1f x x-=-+，则()(1f x x=（x＜0)，∴(1[0,) ()(1(,0)x xf xx x⎧+∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩．【点评】给出某区间上的表达式，求对称区间上的表达式时，常常应用f(－x)=－f(x)或f(－x)= f(x)进行转化．二、求函数值问题例3函数f (x )定义在正整数集上，且满足：f (1)=2002和f （1）+f （2）+……+f （n ）=2n f （n ），则f (2002)的值为__________．【分析】首先根据所给的条件求出f （n ）的表达式，在求值．【解析】由f （1）+f （2）+…+f （n ）=2n f （n ），得：f （1）+f （2）+…+f （n －1）=2(1)n - f （n －1），两式相减得：f （n ）=2n f （n ）－2(1)n - f （n －1）（n ≥3），变形得：()1(1)1f n n f n n -=-+（n ≥3），由2(1)(2)2(2)f f f +=得：3(2)(1)f f =，又f (1)=2002，于是有1(2)20023f =⨯，∴22002()(1)f n n n ⨯=+，故f (2002)=22003． 【点评】由f （n ）=2n f （n ）－2(1)n - f （n －1）（n ≥3）推出f （n ）的表达式，整个运算过程，都需要有一定的观察分析能力，善于从式子结构出发，向下进行，进而求出f (2002)．例4已知函数1(0)()2(0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩2)，若f (x )=10，求x =_________．【分析】首先确定用那一部分的函数表达式求解x ，从f (x )=10可以看出，要求函数的值是正数，故不用f (x )=－2x （x ＞0）．【解析】由于f (x )=10＞0，而当f (x )=－2x （x ＞0）时，f (x )＜0，于是应用2()1(0)f x x x =+≤，令21x +=10，x =±3，由于x ＜0，故x =－3．三、定义域与值域问题例5 已知函数y =f (2x +1)的定义域是[0，1]，求y =f (x )的定义域．【分析】函数y =f (2x +1)的定义域是[0，1]，是指解析式中x 的取值范围，2x +1不是自变量，而是中间变量，f (2x +1)中的中间变量相当于f (x )中的x ，所以此题是已知x ∈[0，1]，求2x +1的取值范围．【解析】∵函数y =f (2x +1)的定义域是[0，1]，∴0≤x ≤1，∴1≤2x ≤3，∴函数y =f (x )的定义域是[1，3]．【点评】若已知函数y =f (x )的定义域为[a ，b ]，求y =f (g(x ))的定义域，只需将g(x )代换为x ，解不等式a ≤g(x )≤b ，，求出x 的集合即为y =f (g(x ))的定义域；若已知y =f (g(x ))的定义域为[a ，b ]，求函数y =f (x )的定义域，只要求出y = g(x ) ，x ∈[a ，b ]，的值域即为y =f (x )的定义域．例6 已知函数2(11)()2(11)x x f x x x ⎧-≤≤=⎨><-⎩或，求其定义域和值域． 【分析】求分段函数的定义域只要将各段的子区间取并集；求分段函数的值域需要分段求出值域，在取并集．【解析】，由于[－1，1]∪(1，+∞)∪(－∞，－1）=R ，可知，定义域为R ． 当x ∈[－1，1]时，2()f x x =，f (x ) ∈[0，1]；而当x ∈（1，+∞）∪（－∞，－1）时，f （x ）=2，因此函数2(11)()2(11)x x f x x x ⎧-≤≤=⎨><-⎩或的值域为：[0，1] ∪{2}．四、函数性质问题1、单调性例7 已知函数y =f (x )的定义域为R ，对任意x ∈R ，均有f (x +x )=f (x )+f (x )，且对任意x ＞0，都有f (x )＜0，f (3)=－3．（1）证明函数y =f (x )是R 上的单调减函数；（2）试求函数y =f (x )在[m ，n ]（m ，n ∈Z 且mn ＜0＝上的值域．【分析】利用函数的单调性的定义证明；由（1）的结论可知f (m )、f (n )分别是函数y =f (x )在[m ，n ]上的最大值与最小值，故求出f (m )与f (n )即可得所求函数的值域．【证明】（1）任取1x 、2x R ∈，且1x ＜2x ，2121()[()]f x f x x x =+-，由题设f (x +x )=f (x )+f (x )，可知2121()()()f x f x f x x =+-，∵1x ＜2x ，∴2x －1x ＞0，∴f (2x －1x )＜0, ∴2121()()()f x f x f x x =+-＜1()f x ，故y =f (x )是R 上的单调减函数．1－1（2）由于y =f (x )是R 上的单调减函数，∴y =f (x )在[m ，n ]上也是单调递减函数，∴y =f (x )的最大值为f (m )，最小值为f (n )，∵f (n )=f [1+(n －1)]=f (1)+f (n －1)=2f (1)+f (n －2)=……=nf (1),同理f (m )= m f (1)．∵f (3)=－3，∴f (3)=3 f (1) =－3，∴f (1)=－1，f (m )=－m ，f (n )=－n ，故函数y =f (x )在[m ，n ]上的值域为[－n ，－m ]．【点评】：对于抽象函数，往往通过研究函数的单调性确定其最值和值域；对抽象函数关系式中的变元取适当的值，求所需关系式或值，是解决抽象函数问题的常用技巧．例8 若函数f (x )=|x －a |在(－∞，1)内是减函数，求实数a 的取值范围．【分析】本题采用数形结合的方法形象直观容易求a 的取值范围． 【解析】f (x )=|x －a |=()()x a x a a x x a -≥⎧⎨-<⎩，作出函数的图象，由于(－∞，a )内是减函数，而在(－∞，1)内也是减函数，故(－∞，1)是(－∞，a )的子区间．因此a ≥1．2、奇偶性例9 设f (x )是定义在R 上的函数，满足f (x +2)=－f (x )，且x ∈[0，2]时，2()2f x x x =-．（1）求x ∈[－2，0]时，f (x )的表达式；（2）求f (9)和f (－9)的值；（3）证明f (x )是奇函数．【分析】这是一个分段函数问题，首先求出函数的表达式，然后在利用定义证明函数是奇函数．【解析】（1）∵x ∈[－2，0]时，x +2∈[0，2]，∴f (x )=－f (x +2)=－[2(x +2)－(x +2)2]，即x ∈[－2，0]时，2()2f x x x =+．（2）∵f (x +2)=－f (x )，∴f (x +4)=－f (x +2)= f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (9)=f (1)=1，f (－9)= f (－1)=－1，．(3)∵222([0,2])()2([2,0])x x x f x x x x ⎧-∈⎪=⎨+∈-⎪⎩， 又∵f (x )+f (－x )=22222[()2()],[0,2]2[2()()],[2,0]x x x x x x x x x x ⎧-+-+-∈⎪⎨++---∈-⎪⎩，∴f (x )+f (－x )=0，（x ∈[－2,2]），∴f (x )在[－2,2]上为奇函数．若x ∈[4k －2,4k+2]，k ∈Z ，则－x ∈[－4k －2, －4k +2]，,∴f (x )= f (x －4k)，f (－x )= f (－x +4k)，且x －4k 与－x +4k ∈[－2，2]又∵－x +4k=－（x －4k ），∴f （－x +4k ）=－f (x －4k), ∴f (－x )=－f (x )，∴f (x )为奇函数．3、周期性例10设f (x ) 定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意1x 、2x 1[0,]2∈都有1212()()()f x x f x f x +=⋅，且f (1)=a ＞0． （1）求1()2f 、1()4f ； （2）证明f (x )是周期函数．【分析】偶函数的图象关于y 轴对称，由函数图象关于直线x =1对称，可以判定函数f (x )是周期函数．【解析】（1）由1212()()()f x x f x f x +=⋅，1x 、2x 1[0,]2∈，知()()()022x x f x f f =⋅≥，x ∈[0，1]，∵2111(1)()()[()]222f f f f =⋅=，21111()()()[()]02444f f f f =⋅=>，又f (1)=a ＞0，∴121()2f a =，141()4f a =． （2）依题意设y =f (x )关于直线x =1对称，∴f (x )= f (1+1－x )，f (x )= f (2－x )，又∵f (－x ) =f (x )，∴f (x )= f (x +2)，∴函数f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期．五、反函数问题例11 已知定义域为*R 的函数f (x )，对任意x 、y ∈*R 恒有f (xy )=f (x )+f (y )．（1）求证：当x ∈*R 时，1()()f f x x=-； （2）若x ＞1时，恒有()0f x <，求证：f (x )必有反函数；（3）设1()f x -是f (x )的反函数，求证：1()f x -在其定义域内恒有1111212()()()f x x f x f x ---+=⋅．证明：（1）∵11(1)()()()f f x f x f x x=⋅=+，则有f (1)= f (1)+f (1) ,∴有f (1)=0，∴1()()f f x x=-． （2）12,x x R ∈，且12x x <时，211x x >，∴21()0x f x <． 由()()()()x x f x f y f f y y y =⋅=+，得()()()x f f x f y y=-， ∴2211()()()0x f x f x f x -=<，知f (x )在*R 上为单调递减函数．∴f (x )必有反函数． （3）设111122(),()f x n f x n --==，∴1122(),()f n x f n x ==，121212()()()f n n f n f n x x ⋅=+=+，即1111212()()()f x x f x f x ---+=⋅．例12 已知函数2()21f x x tx =-+，其定义域为{}|0178x x x ≤≤≤≤或．（1）若f (x )在其定义域内有反函数，求t 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求反函数1()f x -．解：（1）∵f (x )在x R ∈时其对称轴为x =t ．当0t ≤时，f (x )在其定义域内为增函数，所以此时f (x )有反函数； 同理，当8t ≥时，f (x )在其定义域内也有反函数；当14t ≤≤时，f (x )图象在[0,1]x ∈的一段比在[7,8]x ∈的一段更靠近对称轴．那么要使得f (x )在定义域内有反函数，应有(0)(7)f f <．则得15014t <-，解得712t ≤<； 当47t ≤≤时，同理应有(8)(1)f f <，解得972t <≤； 当01,78t t <<<<或时f (x )显然不存在反函数．有以上讨论可知，f (x )在其定义域内有反函数的t 的范围为：79017822t t t t ≤≤<<≤≥或或或． （2）由221y x tx =-+，得22()1x t y t -=+-．当0t ≤时知，0x t -≥，∴x t -=．∴此时反函数为1()f x t -=+其中[][]6516,501422,1x t t t ∈--⋃- 当8t ≥时，x t -=．∴此时反函数为1()f x t -=其中[][]6516,501422,1x t t t ∈--⋃- 当791722t t ≤<<≤或时，反函数为[][]122,1)()5014,6516)t x t f x t x t t -⎧-∈-⎪=⎨+∈--⎪⎩．六、相关不等式问题例12 设函数是定义在R 上的增函数，且f (x )≠0，对于任意1x 、2x R ∈都有1212()()()f x x f x f x +=⋅．（1） 求证：f (x )＞0；（2） 求证：1122()()()f x f x x f x -=； （3）若f (1)=2，解不等式f (3x ) ＞4f (x )．【分析】由于函数x y a =具有本例中f (x )的条件与结构，因而在求解过程中应以指数函数x y a =（a ＞0且a ≠1）为模型类比求解．【解析】（1）令122t x x ==，则2()()()()222t t t f t f f f =⋅=，∵f (t) ≠0, ∴f (t) ＞0，即f (x ) ＞0，．（2）∵1122122()()()()f x f x x x f x x f x =-+=-⋅，又f (x ) ≠0， ∴1122()()()f x f x x f x -=．（3）∵f (1)=2，∴2f (x )= f (1) ·f (x )= f (1+x )，4 f (x )=2·2 f (x )= f (1)·f (1+x )= f (2+x )，∴f (3x ) ＞4f (x )，即f (3x ) ＞f (2+x )．又f (x )是定义域R 上的增函数，∴3x ＞2+x ，∴x ＞1，故不等式f (3x ) ＞4f (x )的解集为{x |x ＞1}．【点评】在解有关抽象函数问题时，可以根据题中的抽象函数关系式的特例，即具体函数，类比求解，这样可以使解题方向明确．例13 已知函数f (x )的定义域为（0，+∞）且在其上为增函数，满足f (xy )=f (x )+f (y )，f (2)=1，试解不等式f (x )+f (x －2)＜3．【分析】解此题的关键是求函数值3所对应的自变量值，即求f (a )=3中a 的值．【解析】∵f (4)=f (2)+f (2)=2，又3=2+1= f (4)+f (2)= f (4×2)= f (8)，即f (8)=3，根据题中关系式，有f (x )+ f (x －2)=2(2)f x x -，所以，原不等式化成2(2)f x x -＜ f (8)，有200202242428x x x x x x x x ⎧>>⎧⎪⎪->⇒>⇒<<⎨⎨⎪⎪-<<->⎩⎩，∴不等式的解集为{x |2≤x ≤4}．。

分段函数与抽象函数•分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。

抽象函数：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y ＞0）。

•知识点拨：1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。

2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。

3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。

分段函数题型编辑由于分段函数概念过广课本无法用文字明确给出分段函数的定义，故以更的实际例题的形式出现。

但不少理解能力较弱的学生仍对它认识肤浅模糊，以致学生解题常常出错。

本段介绍分段函数的若干种题型及其解法，以供大家参考。

作图题例1作出函数的图像。

分析：(根据北师大版32页例题2)函数去绝对值符号后就变为分段函数f(x)=|x+1|+|x-1| =这个分段函数有三段，所以这个函数的图像应由三条线组成，其中两边各是一条射线，中间是一条线段。

分段函数作图题的一般解法:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。

求函数值例2已知函数f(x)= 求f(3)的值。

解：由3∈（－∞，6），知f(3)=f(3+2)=f(5),又5∈（－∞，6）,所以f(5)=f(5+2)=f(7).又由7∈[6，+∞）所以f(7)=7－2=5，因此，f(3)=5。

求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。

求函数值域例3求函数f(x)= 的值域。

解：当-2≤x≤a时，x2 的取值有三种情形：（1）当-2≤a<0时,有a2≤x2≤4 ；(2)当0≤a≤2时,有0≤x2≤4 ；(3)当a>2时,有0≤x2≤a2当x>a时，-|x|的取值有两种情形：（1）当-2≤a<0时，有-|x|≤0,（2）当a≥0时，有－|x|<-a 。

46．分段函数、复合函数和抽象函数分段函数、复合函数和抽象函数是三类特殊的函数，它们的性质及其应用也是函数中的一个难点．如何攻克？只需回归函数及其性质（单调性、奇偶性）的定义，其中有解决上述问题的宝贝，就看你能不能淘出来．一、分段函数1．定义域、值域例1 已知函数⎩⎨⎧≤≤+<<--=.30,1,02,212x x x x y ，则它的定义域是 ；值域是 . 分析：把两段的x 的取值范围并起来，即为函数的定义域；分段求出函数值的取值范围，它们的并集就是函数的值域.解：函数的定义域是]3,2(]3,0[)0,2(-=- .因为函数x y 21-=在区间)0,2(-上是减函数，所以此时51<<y ；因为函数12+=x y 在区间]3,0[上是增函数，所以此时101≤≤y .所以函数的值域是]10,1[]10,1[)5,1(= .评注：函数的定义说得清楚：定义域是自变量的取值范围，何为自变量，就是函数中能自主变化的量.值域是函数值的取值集合，故求分段函数的定义域和值域时，要遵循先分后总的原则，把各段自变量和函数值的取值范围并起来.例2 求函数|1||3|+-+=x x y 的值域.分析：通过讨论x 的范围去绝对值符号后，可把此函数转化为分段函数.解：当3-<x 时，2)]1([)3(-=+--+-=x x y ；当13-≤≤-x 时，42)]1([3+=+--+=x x x y ；当1->x 时，2)1(3=+-+=x x y .所以⎪⎩⎪⎨⎧->-≤≤-+-<-=.1 ,2,13 ,42,3 ,2)(x x x x x f ，因为当13-≤≤-x 时，2422≤+≤-x .所以原函数的值域为}22|{}22|{}2{}2{≤≤-=≤≤--y y y y评注：含绝对值的函数一般都需先去掉绝对值符号再解决问题，而去掉绝对值的方法是讨论自变量的范围，这样就把函数转化成了分段函数.2．奇偶性例3 若函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>-=.0,,0,,0,2)(x b x x a x x x f 是奇函数，则=+b a .分析：根据奇函数的定义求出b 的值，根据奇函数的性质求出a 的值，即可求b a +.解：当0<x 时，0>-x ，所以2)(--=-x x f .因为函数)(x f 是奇函数，所以)()(x f x f -=-，所以b x x x f +=+=2)(，所以2=b .又因为0)0(==a f ，所以2=+b a .评注：根据奇函数的定义，对于定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，这是本题求解的依据.若给定一个分段函数，判断其奇偶性，那就需依据函数奇偶性的定义，全定义域考证.3．单调性例4 设⎩⎨⎧≥<-+=.1,,1,4)13()(2x ax x a x a x f 是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 . 分析：先求出每一段是增函数时a 的取值范围，再求出当1=x 时24)13(ax a x a ≤-+的a 的取值范围.两个范围的交集即为a 的最终取值范围.解：因为函数)(x f 是R 上的增函数，所以⎪⎩⎪⎨⎧⨯≤-⨯+>>+.141)13(,0,0132a a a a a 解得21≥a . 所以a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21. 淘宝：根据函数单调性的定义，若使函数)(x f 在其定义域上是增函数，只保证答每段都增是不够的，还要保证函数在两端的衔接处也是增的，这一点往往容易被忽视.二、复合函数例5 已知函数)78lg(2-+-=x x y 在)1,(+m m 上是增函数，则m 的取值范围是 .分析：函数)78lg(2-+-=x x y 是由函数u y lg =与782-+-=x x u 复合而成的，故它的单调性取决于这两个函数的单调性.因为函数u y lg =是增函数，故若使函数)78lg(2-+-=x x y 在)1,(+m m 上是增函数，只需在0782>-+-=x x u 前提下求出782-+-=x x u 的递增区间，即为函数)78lg(2-+-=x x y 的递增区间，然后通过)1,(+m m 是这个递增区间的子集求m 的取值范围.解：由0782>-+-=x x u ，可得71<<x ，而函数782-+-=x x u 的递增区间为)4,(-∞，∴函数)78lg(2-+-=x x y 的递增区间为)4,1(.若使函数)78lg(2-+-=x x y 在)1,(+m m 上是增函数，须使)4,1()1,(⊆+m m ，只需⎩⎨⎧≤+≥.41,1m m 解得 31≤≤m ，所以m 的取值范围是]3,1[.评注：二重复合函数))((x g f y =的单调性遵循同增异减的规则，解释如下：函数的性质其实都是由对应关系决定的.函数))((x g f y =的自变量是x ，函数值是y ，根据函数单调性的定义，其单调性要看这两个量的变化关联（)(x g 作为中间变量，只起沟通与过渡的作用）.如：若f 和g 同增，则当x 增大时，)(x g 增大，则))((x g f y =也增大，即x 增大时，y 也增大，所以))((x g f y =单调递增；而当f 和g 同减时，则当x 增大时，)(x g 减，则))((x g f y =反而增大，即x 增大时，y 也增大，所以))((x g f y =也单调递增.所以得出“同增”的结论，“异减”同样分析，关键是看两端（即x 与y ）变化关联.本例的易错点是范围端点值的取舍不当.例6 （多选题）已知函数)(x f 的定义域为R ，且)1(+x f 是偶函数，)1(-x f 是奇函数，则下列说法正确的个数为（ ）A ．0)7(=fB ．)(x f 的一个周期为8C ．)(x f 图象的一个对称中心为)0,3(D ．)(x f 图象的一条对称轴为直线2022=x分析：根据的)1(+x f 和)1(-x f 奇偶性，得到两个等式，进而推出函数)(x f 的的对称性和周期性，即可进行判选.解：由)1(+x f 是偶函数，得)1()1(x f x f +=-①，即直线1=x 是)(x f 图象的对称轴；又由)1(-x f 是奇函数，得-=--)1(x f )1(-x f ②，即点)0,1(-是)(x f 图象的对称中心．在①式中，用1-x 代换x ，可得)()2(x f x f =-；在②式中，用1+x 代换x ，可得)()2(x f x f -=--（原则是把其中一边变成)(x f ）．所以)2()2(x f x f ---=-，用2-x 代换x ，可得)()4(x f x f --=-③，所以)()4()8(x f x f x f -=--=-，所以)(x f 的一个周期为8，B 正确．所以0)1()7(=-=f f ，所以A 正确；由③式得相邻两个对称中心之间的距离是4，所以)(x f 图象的一个对称中心为)0,3(，所以C 正确；每隔一个周期对称轴出现一次，而5825212022+⨯=-，所以直线2022=x 不是)(x f 图象的一条对称轴，所以D 错误．综上，选ABC ．评注：函数))((x g f 的自变量是x ，对应关系是两个对应关系g f ,的复合，由函数奇偶性的定义，可知当))((x g f 是偶函数时，应有))(())((x g f x g f =-；当))((x g f 是奇函数时，应有))(())((x g f x g f -=-，即只改变其中自变量的符号.所以当)1(+x f 是偶函数时，应有)1()1(x f x f +=-，而不是)1()1(x f x f +=--，后者说明f 即外层函数是偶函数；当)1(-x f 是奇函数时，应有)1()1(--=--x f x f .三、抽象函数例7 若对于任意实数y x ,，都有)()(2)2(y f x f y x f +=+．（1）求)0(f 的值；（2）判断函数)(x f 的奇偶性．分析：)0(f 可通过赋予y x ,特殊值求解，函数)(x f 的奇偶性可依据函数奇偶性的定义判断，但需灵活地设置变量．解：（1）令0==y x ，代入)()(2)2(y f x f y x f +=+得)0(3)0(f f =，所以0)0(=f ．（2）令x y -=，代入)()(2)2(y f x f y x f +=+得)()(2)(x f x f x f -+=，即)()(x f x f -=-，所以函数)(x f 是奇函数．评注：抽象函数是指未给出函数解析式的函数，解答抽象函数问题时，因无具体的函数解析式可用，所以在研究它们的性质时，要以相关性质的定义为“指引”，有的放矢，灵活变换已知条件．例8 已知定义在R 上的函数)(x f y =满足)0)(()(><+a x f a x f ，则不等式)12()(+>x f x f 的解集为（ ）A ．}1|{->x xB ．}1|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}1|{<x x分析：先由)0)(()(><+a x f a x f 确定函数)(x f y =的单调性，然后把待解不等式转化，即可求出其解集．解：设21x x <，则)0(12>+=a a x x ，所以)()()(112x f a x f x f <+=，所以0)()()()(1121>+-=-a x f x f x f x f ，所以函数)(x f y =在R 上是减函数，所以12+<x x ，解得1->x ．选A ．评注：待解不等式的两端是两个函数值，因而我们考虑先判断函数的单调性，进而运用单调性脱去不等式中抽象的对应关系“f ”，从而化抽象为具体，使不等式获解．。

分段函数与抽象函数典例剖析分段函数与抽象函数是两类特殊的函数，分段函数的特殊之处在于，它是“一个”函数却有多个对应关系.而抽象函数正好相反，它没有明确的对应关系，即没有明确的函数解析式.这两类函数问题都侧重考查同学们的能力，因而成为各类考试的热点.为使同学们能正确解答这两类函数的有关问题，下举例剖析.一、分段函数问题例1 已知函数⎩⎨⎧≥-≤+=121)(2x x x x a x x f .（1）求a 的值；（2）)]2([f f 的值；（3）若3)(=m f ，求m 的值.分析：对于第（1）问，只给出函数解析式求a 的值，好象不可思议，其实本问考查的是函数的概念，分段函数既然是一个函数，它就符合函数的定义，即一个自变量值只能对应唯一的一个函数值，两段的自变量值都有1，所以当1=x 时的两段函数值必须相等，利用此点可求a 值；对于第（2）问，只需将变量值代入适合的“段”中，直到求出函数值；对于第（3）问，只需把3逐段检验，只要求出的m 的值适合各段自变量范围，就是满足题意的. 解：（1）由函数定义可得，当1=x 时，应有12112⨯-=+a ，即2-=a .（2）由（1）得⎩⎨⎧≥-≤-=1212)(2x x x x x x f . ∵12≥，∴0222)2(2=⨯-=f ；∵10≤，∴120)0()]2([-=-==f f f .（3）由32=-m 得5=m ，而此时1≤m ，所以5=m 不适合题意；由322=-m m 得1-=m 或3=m ，因为此时1≥m ，所以3=m .因此满足题意的m 的值为3.评注：对于分段函数，在求含有多重对应关系的函数值时，要由内而外逐层求解；已知函数值求自变量值时，要逐段求解.例2 求函数⎩⎨⎧≤<--≤≤--=102012)(22x x x x x x x f 的定义域、值域，并判断函数的奇偶性. 分析：分别依据函数定义域、值域和奇偶性的定义求解即可.解：因为函数的定义域是函数自变量的取值范围，所以该函数的定义域为]1,1[]1,0(]0,1[-=- .当01≤≤-x 时，x x x f 2)(2-=，此时函数)(x f 在]0,1[-上为减函数，所以3)(0≤<x f ；当10≤<x 时，x x x f 2)(2--=，此时函数)(x f 在]1,0(上为减函数，所以0)(3<≤-x f .所以函数的值域为]3,3[]3,0[)0,3[-=- .因为函数的定义域为]1,1[-，关于原点对称.当01≤≤-x 时，10≤-≤x ，∴)(2)(2)()(22x f x x x x x f -=+-=----=-；当10≤<x 时，01<-≤-x ，∴)(2)(2)()(22x f x x x x x f -=+=---=-.所以函数)(x f 对于定义域内的每一个x 的值，都有)()(x f x f -=-.因此，函数)(x f 是奇函数.评注：研究分段函数的性质要注意两点：一要以一颗“平常心”看待分段函数，即分段函数也是函数，它的所有性质都可依据各个性质的定义去研究；二是分段函数的性质要先分段研究，再综合作答，遵循“先分后总”的原则.二、抽象函数问题例3 若对于任意实数y x ,，都有)()(2)2(y f x f y x f +=+.（1）求)0(f ；（2）判断函数)(x f 的奇偶性.分析：)0(f 可通过赋予y x ,特殊值求解，函数)(x f 的奇偶性可依据函数奇偶性的定义判断，但需灵活地设置变量.解：（1）令0==y x ，代入)()(2)2(y f x f y x f +=+得)0(3)0(f f =，∴0)0(=f ；（2）令x y -=，代入)()(2)2(y f x f y x f +=+得)()(2)(x f x f x f -+=，即)()(x f x f -=-，∴函数)(x f 是奇函数.评注：1、抽象函数问题没有具体的函数解析式可用，因此函数性质的作用从中凸显，此外赋特殊值也是使抽象函数具体化的一个重要手段；2、抽象函数大凡都有它的函数模型，比如本题的函数模型可以是)0(≠=k kx y ，虽然我们不能直接用这个函数求解，但可它可为我们“指路”.例4 已知函数)(x f ，对任意实数R y x ∈,，都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，0)(<x f ，2)1(-=f .求函数)(x f 在]3,3[-上的最值.分析：利用单调性求最值，在求最值时要用到函数的奇偶性，所以要先求函数的奇偶性. 解：令0==y x ，代入)()()(y f x f y x f +=+可得0)0(=f ，又令x y -=，代入)()()(y f x f y x f +=+可得0)()()0(=-+=x f x f f ，所以)()(x f x f -=-，因此函数)(x f 为奇函数.设21x x >，则)()(])[()(2212211x f x x f x x x f x f +-=+-=，即)()()(2121x x f x f x f -=-， ∵21x x >，且0>x 时，0)(<x f ，∴0)(21<-x x f ，∴0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <.∴函数)(x f 在]3,3[-上是减函数，其最小值为6)1()1()1()1()2()3(-=++=+=f f f f f f ，最大值为6)3()3(=-=-f f .评注：1、本题中抽象函数的函数模型可视为)0(<=k kx y ，结合这个函数我们会获得明确的解答思路.2、在论证单调性时，要注意根据题设条件“”假设1x 和2x 的大小.三、分段函数与抽象函数综合问题例5 若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤+=1)2007(1111)2006()(x x f x x x f x f ，则=)2008(f ____.分析：根据自变量的范围代入适当的“段”，最后要归结到第二段求值.解：∵12008≥，∴)1()20072008()2008(f f f =-=，又∵11≥，∴)2006()20071()1(-=-=f f f ，∵12006-≤-，∴)0()20062006()2006(f f f =+-=-，∵101<<-，∴1)0(=f ，即1)2008(=f .评注：本题分段函数的第一、三段对应关系不明确，所以是一个分段函数与抽象函数综合问题，解答的基本思路是把未知向已知转化.。