抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

数学中的抽象函数问题练习题在数学的学习中，抽象函数问题常常让同学们感到困惑和棘手。

抽象函数没有给出具体的解析式，需要我们通过题目所给的条件和性质，运用逻辑推理和数学方法来求解。

下面为大家准备了一些典型的抽象函数问题练习题，让我们一起来挑战一下吧！一、函数的单调性问题例 1：已知函数$f(x)＄对于任意的实数$x_1$，＄x_2$，都有$f(x_1＋ x_2) ＝ f(x_1) ＋ f(x_2)＄，且当$x ＞ 0$时，＄f(x) ＞ 0$，判断函数$f(x)＄的单调性。

分析：要判断函数的单调性，我们可以设$x_1 ＜ x_2$，然后通过变形得出$f(x_2) f(x_1)＄的正负性。

解：设$x_1 ＜ x_2$，则$x_2 x_1 ＞ 0$，因为当$x ＞ 0$时，＄f(x) ＞ 0$，所以$f(x_2 x_1) ＞ 0$。

＄f(x_2) ＝ f(x_1 ＋（x_2 x_1)）＝ f(x_1) ＋ f(x_2 x_1)＄所以$f(x_2) f(x_1) ＝ f(x_2 x_1) ＞ 0$，即$f(x_2) ＞ f(x_1)＄因此，函数$f(x)＄在其定义域上是增函数。

练习 1：设函数$f(x)＄对任意实数$x$，＄y$都有$f(x ＋ y) ＝ f(x)＋ f(y)＄，且当$x ＜ 0$时，＄f(x) ＜ 0$，＄f(1) ＝ 2$，求$f(x)＄在区间$－3, 3$上的最大值和最小值。

二、函数的奇偶性问题例 2：已知函数$f(x)＄的定义域为$R$，且对于任意的实数$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，当$x ＞ 0$时，＄f(x) ＝ x^2 ＋ 1$，求$f(x)＄的解析式。

分析：因为函数是奇函数，所以$f(0) ＝ 0$，然后利用奇函数的性质求出$x ＜ 0$时的解析式。

解：因为$f(x) ＝ f(x)＄，所以$f(0) ＝ 0$当$x ＜ 0$时，＄x ＞ 0$，所以$f(x) ＝（x)＾2 ＋ 1 ＝ x^2 ＋ 1$因为$f(x) ＝ f(x)＄，所以$f(x) ＝ f(x) ＝（x^2 ＋ 1) ＝ x^2 1$所以$f(x) ＝＼begin{cases} x^2 ＋ 1, ＆ x ＞ 0 ＼＼ 0, ＆ x ＝ 0 ＼＼x^2 1, ＆ x ＜ 0 ＼end{cases}＄练习 2：已知函数$f(x)＄对任意实数$x$，＄y$都有$f(x ＋ y) ＋ f(x y) ＝ 2f(x)f(y)＄，且$f(0) ＼neq 0$，判断函数$f(x)＄的奇偶性。

高考抽象函数技巧总结欧阳引擎（2021.01.01）由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x-=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

抽象函数经典综合题抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查能力的较好途径；抽象函数问题既是难点，又是近几年来高考的热点；1．定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈、，有)()()(b f a f b a f ⋅=+；I ．求证1)0(=f ； Ⅱ．求证：R x ∈∀，0)(>∃x f ；Ⅲ．证明：)(x f 是R 上的增函数；Ⅳ．若1)2()(2>-⋅x x f x f ，求x 的取值范围；2．已知函数()f x ，()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=-且0)1(≠f ；I ．求证：()f x 为奇函数；II ．若(1)(2)f f =，求(1)(1)g g +-的值；3．已知函数)(x f 对任意实数x ，y 恒有)()()(y f x f y x f +=+且当0>x ，0)(<x f ，又2)1(-=f .I ．判断)(x f 的奇偶性；Ⅱ．求)(x f 在区间]3,3[-上的最大值；4．已知)(x f 在)1,1(-上有定义，1)21(-=f ，且满足x ，)1,1(-∈y 有)1()()(xyyx f y f x f ++=+； I ．证明：)(x f 在)1,1(-上为奇函数；II ．对数列211=x ，2112nn n x x x +=+，求)(n x f ；III ．求证+)(11x f +)(12x f +)(13x f 252)(1++->+n n x f n ；5．已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；I ．试证明：)(x f 为N 上的单调增函数；II ．n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；Ⅲ．若(0)1f =，对任意,m n N ∈，有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12．6．已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；(2)(1)3f =；(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-．I ．求(0)f 的值；II ．求()f x 的最大值；III ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3),n n S a n N =--∈．求证：123112332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-．7． 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． I ．若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；Ⅱ．判断函数()21xg x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； Ⅲ． 若函数()f x 为理想函数，假定∃[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证00()f x x =．8．已知定义在R 上的单调函数()f x ，存在实数0x ，使得对于任意实数12,x x ，总有0102012()()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立；I ．求0x 的值；Ⅱ．若0()1f x =，且对任意正整数n ，有1()12n n a f =+，求数列{}n a 的通项公式；Ⅲ．若数列{}n b 满足1221n n b log a =+，将数列{}n b 的项重新组合成新数列{}n c ，具体法则如下：112233456,,,c b c b b c b b b ==+=++478910,c b b b b =+++……，求证：12311112924n c c c c ++++<； 9．设函数)(x f 是定义域在),0(+∞上的单调函数，且对于任意正数y x ,有)()()(y f x f y x f +=⋅，已知1)2(=f ．I ．求)21(f 的值；II ．一个各项均为正数的数列}{n a 满足：)(1)1()()(*∈-++=N n a f a f S f n n n ，其中n S 是数列}{n a 的前n 项的和，求数列}{n a 的通项公式； Ⅲ．在II的条件下，是否存在正数M，使)12()12()12(12221321--⋅-+≥n n na a a n M a a a a ，对一切*∈Nn 成立？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，说明理由．10．定义在R 上的函数f （x ）满足fxy fx fy f ()()()()++=+=1120，，且x >12时，0)(<x f ； I ．设a fnn N n=∈()()*，求数列的前n 项和S n ； II ．判断)(x f 的单调性，并证明；11．设函数)(x f 定义在R 上，对于任意实数m ，n ，恒有fm n fm fn ()()()+=·，且当0>x 时，1)(0<<x f ； I ．求证：1)0(=f ，且当0<x 时，1)(>x f ；II ．求证：)(x f 在R 上单调递减； Ⅲ．设集合{}A x y f xf y f =>(,)|()()()221·，{}B x y f a x y a R =-+=∈(,)|()21，，若A B ∩=∅，求a 的取值范围；12．定义在R 上的函数)(x f 对任意实数a ．b 都有)()(2)()(b f a f b a f b a f ⋅=-++成立，且f ()00≠； I ．求)0(f 的值；II ．试判断)(x f 的奇偶性；Ⅲ．若存在常数0>c 使f c()20=，试问)(x f 是否为周期函数？若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由；13．已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足：①f x x f x f x f x f x ()()()()()1212211-=+-·②存在正常数a ，使1)(=a f ， 求证：I ．)(x f 是奇函数；II ．)(x f 是周期函数，并且有一个周期为a 4；14．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：I ．x >0时，01<<f x ()；II ．f x ()在R 上为减函数；即f x ()为减函数； 15．已知函数f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，且对一切实数x ，不等式fk x fk x (s i n )(s i n)-≥-22恒成立，求k 的值；16．设定义在R 上的函数()f x 对于任意,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且(1)2f =-，当0x >时，()0f x <； I ．判断)(x f 的奇偶性，并加以证明；II ．试问：当20032003≤≤-x 时，()f x 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由； III ．解关于x 的不等式2211()()()()22f bx f x f b x f b ->-，其中22b ≥． 17．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<；（2）对于定义域内任意的实数,x y ，均满足：)()(1)()()(n f m f n f m f n m f ++=+，试回答下列问题：I ．试求)0(f 的值；Ⅱ．判断并证明函数)(x f 的单调性；Ⅲ．若函数)(x f 存在反函数)(x g ，求证：+)51(g +)111(g )21()131(2g n n g >+++．18．已知函数)(x f 对任意实数x ．y 都有)()()(y f x f xy f ⋅=，且1)1(-=-f ，9)27(=f ，当10<≤x 时，)1,0[)(∈x f ；I ．判断)(x f 的奇偶性；II ．判断)(x f 在),0[+∞上的单调性，并给出证明；Ⅲ．若0≥a 且39)1(≤+a f ，求a 的取值范围；19．设函数)(x f y =的定义域为全体R ，当0<x 时，1)(>x f ，且对任意的实数x ，R y ∈，有)()()(y f x f y x f =+成立，数列}{n a 满足)0(1f a =，且)12(1)(1+-=+n n n a a f a f （*∈N n ）I ．求证：)(x f y =是R 上的减函数； Ⅱ．求数列}{n a 的通项公式；Ⅲ．若不等式0121)1()1)(1(21≤+-+++n a a a k n 对一切*∈N n 均成立，求k 的最大值．20．函数)(x f 的定义域为D {}0x x =>， 满足： 对于任意,m n D ∈，都有()()()f mn f m f n =+，且1)2(=f ．I ．求)4(f 的值；II ．如果3)62(≤-x f ，且)(x f 在),0(+∞上是单调增函数，求x 的取值范围．21．函数)(x f 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意R x ∈，有0)(>x f ；②对任意x ．R y ∈，有yx f xy f )]([)(=；③1)31(>f ；I ．求)0(f 的值；II ．求证：)(x f 在R 上是单调增函数； Ⅲ．若ac b c b a =>>>2,0且，求证：).(2)()(b f c f a f >+22．定义在区间),0(∞上的函)(x f 满足：（1）．)(x f 不恒为零；（2）．对任何实数x ．q ，都有)()(x qf x f q =．I ．求证：方程0)(=x f 有且只有一个实根；II ．若1>>>c b a ，且a ．b ．c 成等差数列，求证：)()()(2b fc f a f <⋅； Ⅲ．若)(x f 单调递增，且0>>n m 时，有)2(2)()(nm f n f m f +==，求证：32m << 23． 设)(x f 是定义域在]1,1[-上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零．I ．求证)(x f 在]1,1[-上是减函数；Ⅱ．如果)(c x f -，)(2c x f -的定义域的交集为空集，求实数c 的取值范围；Ⅲ．证明若21≤≤-c ，则)(c x f -，)(2c x f -存在公共的定义域，并求这个公共的空义域．24．已知函数1)(1)()(+-=x g x g x f ，且)(x f ，)(x g 定义域都是r ，且0)(>x g ，2)1(=g ，)(x g 是增函数，)()()(n m g n g m g +=⋅(m ．R n ∈) ；求证：)(x f 是R 上的增函数25．定义在+R 上的函数)(x f 满足： ①对任意实数m ，)()(x mf x f m =；②1)2(=f ．求证：I ．)()()(y f x f xy f +=对任意正数x ，y 都成立；II ．证明)(x f 是*R 上的单调增函数；Ⅲ．若2)3()(≤-+x f x f ，求x 的取值范围．26．已知)(x f 是定义在R 上的函数，1)1(=f ，且对任意R x ∈都有5)()5(+≥+x f x f ，1)()1(+≤+x f x f ，若x x f x g -+=1)()(，求)2002(g ；27．设定义在R 上的函数)(x f ，满足当0>x 时，1)(>x f ，且对任意x ，R y ∈，有)()()(y f x f y x f =+，2)1(=f ；I ．解不等式4)3(2>-x x f ；Ⅱ．解方程组1)2()3(21)]([2+=++f x f x f ；28、定义域为R 的函数)(x f 满足：对于任意的实数x ，y 都有)()()(y f x f y x f +=+成立，且当0>x 时0)(<x f 恒成立． I ．判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；Ⅱ．证明)(x f 为减函数；若函数)(x f 在)3,3[-上总有6)(≤x f 成立，试确定)1(f 应满足的条件；Ⅲ．解关于x 的不等式)()(1)()(122a f x a f nx f ax f n ->-，n 是一个给定的自然数，0<a ； 29．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,a b R ∈都满足：()()()f a b af b bf a ⋅=+I ．求()()0,1f f 的值；Ⅱ．判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；Ⅲ．若2)2(=f ，nf u n n )2(-=)(*∈N n ，求数列{}n u 的前n 项的和n S ．30．设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间]7,0[上，只有(1)(3)0f f ==． I ．试判断函数()y f x =的奇偶性；Ⅱ．试求方程()0f x =在闭区间]2005,2005[-上的根的个数，并证明你的结论．31．设f x ()定义在R 上且对任意的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，求证：f x ()是周期函数，并找出它的一个周期；32．设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称；对任意x x 12012，，∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=⋅； I ．设f ()12=，求f f ()()1214，；II ．证明)(x f 是周期函数；33．已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足： ①当1x ，2x 是定义域中的数时，有)()(1)()()(122121x f x f x f x f x x f -+=-；②1)(-=a f （0>a ，a 是定义域中的一个数）； ③当a x 20<<时，0)(<x f ；试问：I ．)(x f 的奇偶性如何？说明理由；II ．在)4,0(a 上，)(x f 的单调性如何？说明理由；。

抽象函数专练1、已知函数()(,0)y f x x R x =∈≠对任意的非零实数1,2x x ，恒有1212()()()f x x f x f x =+,试判断()f x 的奇偶性。

解：令121,x x x =-=，得()(1)()f x f f x -=-+；为了求(1)f -的值，令121,1x x =-=，则(1)(1)f f f -=-+，即(1)0f =,再令121x x ==-得(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-∴(1)0f -=代入()(1)()f x f f x -=-+得 ()()f x f x -=,可得()f x 是一个偶函数。

2、 已知定义在[-2，2]上的偶函数，()f x 在区间[0，2]上单调递减，(1)()f m f m -<,求实数m 的取值范围分析：根据函数的定义域，[]2,2m m -∈-，，但是1m -和m 分别在[20][02]-，和，的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x )有性质f （-x )= f (x )=f ( |x | )，就可避免一场大规模讨论。

解：∵f (x )是偶函数， f (1-m )<f (m ) 可得)()1(m f m f <-，∴f (x )在[0，2]上是单调递减的，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤>-202101m m m m ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤-≤->+-222122122m m m m m 化简得-1≤m <21。

3、设f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。

解：因为f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)， 故6是函数f(x)的一个周期。

又f(x)是奇函数，且在x ＝0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。

抽象函数经典综合题33例（含详细解答）抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。

抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。

本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答）1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴)(1)(x f x f =- 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0)(1)(>-=x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0(3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴1)()()()()(121212>-=-⋅=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数（4）f(x)·f(2x-x 2)=f[x+(2x-x 2)]=f(-x 2+3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增∴由f(3x-x 2)>f(0)得：3x-x 2>0 ∴ 0<x<3 2.已知函数()f x ,()g x 在R 上有定义，对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠（1）求证：()f x 为奇函数（2）若(1)(2)f f =， 求(1)(1)g g +-的值解（1）对x R ∈，令x=u-v 则有f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-[f(u)g(v)- g(u)f(v)]=-f(x)（2）f(2)=f{1-(-1)}=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0∴g(-1)+g(1)=13.已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，.2)1(.0)(-=<f x f 又(1)判断)(x f 的奇偶性；(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f解（1）取,0==y x 则0)0()0(2)00(=∴=+f f f取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则)()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数. （2）任取2121),(,x x x x <+∞-∞∈且， 则012>-x x0)()()(1212<-=-+∴x x f x f x f),()(12x f x f --<∴ 又)(x f 为奇函数 )()(21x f x f >∴ ∴)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数. ∴对任意]3,3[-∈x ，恒有)3()(-≤f x f而632)1(3)1()2()12()3(-=⨯-==+=+=f f f f f 6)3()3(=-=-∴f f ∴)(x f 在[－3，3]上的最大值为6（3）∵)(x f 为奇函数，∴整理原式得 )2()()2()(2-+<-+f ax f x f ax f进一步可得)2()2(2-<-ax f x ax f而)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数，222->-∴ax x ax .0)1)(2(>--∴x ax∴当0=a 时，)1,(-∞∈x 当2=a 时，}1|{R x x x x ∈≠∈且 当0<a 时，}12|{<<∈x ax x 当20<<a 时, }12|{<>∈x a x x x 或 当a>2时，}12|{><∈x ax x x 或4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xyy x ++1) ⑴证明：f (x )在(－1，1)⑵对数列x 1＝21，x n ＋1＝212nn x x +，求f (x n ); ⑶求证252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n(Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x )∴f (x )为奇函数 (Ⅱ)解：f (x 1)＝f (21)＝－1，f (x n ＋1)＝f (212n n x x +)＝f (nn n n x x x x ⋅++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n ) ∴)()(1n n x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列∴f (x n )＝－2n －1 (Ⅲ)解：)2121211()(1)(1)(11221-++++=+++n nx f x f x f 2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n而2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n5.已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；（1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数； （2）n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；（3）若(0)1f =，对任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12. 证明：（1）由①知，对任意*,,a b a b ∈<N ，都有0))()()((>--b f a f b a ， 由于0<-b a ，从而)()(b f a f <，所以函数)(x f 为*N 上的单调增函数. （2）由（1）可知n N ∀∈都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)≥f(n)+1∴f(n+1)-f(n)1≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥ ∙∙∙ ∴ f(2)-f(1)1≥∴f(1)-f(0)1≥由此可得f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证（3）（3）由任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f 得()1f m = 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+121)311(21311)311(31313131)13(121<-=--=+∙∙∙++=-∑=nn n ni i f6.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值；(III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3),n n S a n N =--∈.求证：123112332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-.解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥max ()(1)3f x f ∴==(III)*12(3)()n n S a n N =--∈1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥ 1111133(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴= 111112113333333()()()()()23()4n n n n n n nn f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 111143333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n n f a f a +≤+。

抽象函数专练1、已知函数()(,0)y f x x R x =∈≠对任意的非零实数1,2x x ，恒有1212()()()f x x f x f x =+,试判断()f x 的奇偶性。

解：令121,x x x =-=，得()(1)()f x f f x -=-+；为了求(1)f -的值，令121,1x x =-=，则(1)(1)f f f -=-+，即(1)0f =,再令121x x ==-得(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-∴(1)0f -=代入()(1)()f x f f x -=-+得 ()()f x f x -=,可得()f x 是一个偶函数。

2、 已知定义在[-2，2]上的偶函数，()f x 在区间[0，2]上单调递减，(1)()f m f m -<,求实数m 的取值范围分析：根据函数的定义域，[]2,2m m -∈-，，但是1m -和m 分别在[20][02]-，和，的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x )有性质f （-x )= f (x )=f ( |x | )，就可避免一场大规模讨论。

解：∵f (x )是偶函数， f (1-m )<f (m ) 可得)()1(m f m f <-，∴f (x )在[0，2]上是单调递减的，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤>-202101m m m m ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤-≤->+-222122122m m m m m 化简得-1≤m <21。

3、设f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。

解：因为f(x+3) =-f(x)，所以f(x+6)=f((x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)， 故6是函数f(x)的一个周期。

又f(x)是奇函数，且在x ＝0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6×333)=f(0)=0。

高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象.学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难.学好这部分知识.能加深学生对函数概念的理解.更好地掌握函数的性质.培养灵活性；提高解题能力.优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式.从而求出()f x .这也是证某些公式或等式常用的方法.此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法：在已知(())()fg xh x =的条件下.把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式.再利用代换即可求()f x .此解法简洁.还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x xx+=+.求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-.(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型.设定函数关系式.再由已知条件.定出关系式中的未知系数。

例3． 已知()f x 二次实函数.且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++.则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数.∴()f x 的定义域关于原点对称.故先求x <0时的表达式。

抽象函数经典综合题33例(含详细解答)-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0∴g(-1)+g(1)=13.已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，.2)1(.0)(-=<f x f 又(1)判断)(x f 的奇偶性；(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2+<-ax f x f ax f解（1）取,0==y x 则0)0()0(2)00(=∴=+f f f 取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则)()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数. （2）任取2121),(,x x x x <+∞-∞∈且， 则012>-x x 0)()()(1212<-=-+∴x x f x f x f),()(12x f x f --<∴ 又)(x f 为奇函数 )()(21x f x f >∴ ∴)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数. ∴对任意]3,3[-∈x ，恒有)3()(-≤f x f 而632)1(3)1()2()12()3(-=⨯-==+=+=f f f f f 6)3()3(=-=-∴f f ∴)(x f 在[－3，3]上的最大值为6（3）∵)(x f 为奇函数，∴整理原式得 )2()()2()(2-+<-+f ax f x f ax f进一步可得)2()2(2-<-ax f x ax f而)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数，222->-∴ax x ax.0)1)(2(>--∴x ax∴当0=a 时，)1,(-∞∈x 当2=a 时，}1|{R x x x x ∈≠∈且当0<a 时，}12|{<<∈x a x x 当20<<a 时,}12|{<>∈x ax x x 或当a>2时，}12|{><∈x a x x x 或4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xy y x ++1)⑴证明：f (x )在(－1，1)⑵对数列x 1＝21，x n ＋1＝212nn x x +，求f (x n );⑶求证252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n(Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数(Ⅱ)解：f (x 1)＝f (21)＝－1，f (x n ＋1)＝f (212nn x x +)＝f (nnn nxx xx ⋅++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n )∴)()(1nn x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列∴f (x n )＝－2n －1(Ⅲ)解：)2121211()(1)(1)(11221-++++=+++n nx f x f x f 2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n而2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n5.已知函数Nx f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；（1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数； （2）n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；（3）若(0)1f =，对任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-ni if 141)13(12. 证明：（1）由①知，对任意*,,a b a b ∈<N ，都有0))()()((>--b f a f b a ，由于0<-b a ，从而)()(b f a f <，所以函数)(x f 为*N 上的单调增函数.（2）由（1）可知n N ∀∈都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)≥f(n)+1 ∴f(n+1)-f(n)1≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥∙∙∙ ∴f(2)-f(1)1≥∴f(1)-f(0)1≥由此可得f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证 （3）（3）由任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f得()1f m = 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+121)311(21311)311(31313131)13(121<-=--=+∙∙∙++=-∑=nn n ni i f6.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-.(I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值；(III)设数列{}n a 的前n 项和为nS ，且满足*12(3),n nS a n N =--∈.求证：123112332()()()()2nn f a f a f a f a n -⨯++++≤+-.解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥max()(1)3f x f ∴== (III)*12(3)()nn S a n N =--∈1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥1111133(2),10n nn na a n a a --∴=≥=≠∴=111112113333333()()()()()23()4n n n n n n nn f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 111143333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n nf a f a +≤+。

高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法：在已知(())()fg xh x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x xx+=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

高考抽象函数技巧总结欧阳家百（2021.03.07）由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x-=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

高中数学抽象函数及其应用练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=2x−4，则不等式f(x−2)>0的解集为（）A.{x|x<0或x>4}B.{x|0<x<2或x>4}C.{x|x<0或x>2}D.{x|x<−2或x>2}2. 已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=2f(x)，且f(5)=3f(3)+2，则f(4)=( )A.16B.8C.4D.23. 给出如下三个等式：①f(a+b)=f(a)+f(b)；②f(ab)=f(a)+f(b)；③f(ab)=f(a)×f(b)．则下列函数中，不满足其中任何一个等式的函数是( )A.f(x)=x2B.f(x)=3xC.f(x)=2xD.f(x)=ln x4. 若函数f(x)为定义在R上的偶函数，且在(0, +∞)内是增函数，又f(2)＝0，则不等式xf(x−1)>0的解集为（）A.(−∞, −2)∪(0, 2)B.(−1, 1)∪(3, +∞)C.(−1, 0)∪(3, +∞)D.(−2, 0)∪(2, +∞)5. 奇函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x)<0的解集是（）A.(−1, 1)B.(−∞, −1)∪(1, +∞)C.(−1, 0)∪(1+∞)D.(−∞, −1)∪(0, 1)6. 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1+x)＝f(1−x)对所有x∈R恒成立，则下列函数值一定正确的是（）A.f(1)＝0B.f(2)＝1C.f(2020)＝0D.f(2021)＝17. 已知f(x)是R上的奇函数，且对x∈R，有f(x+2)＝−f(x)．当x∈(0, 1)时，f(x)＝2x−1，则f(log241)＝（）A.40B.C.D.f(1)≠0，则g(0)等于( )A.−1B.0C.1D.29. 若定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0，则不等式xf(x−2)≤0的解集为( )A.(−∞,4]B.(−∞,−4]∪[0,4]C.[−4,0]∪[4,+∞)D.[−4,4]>0的10. 若f(x)是奇函数，且在(−∞,0)上是减函数，又f(−4)=0，则f(x+2)−f(−x−2)x解集是( )A.(−4,0)∪(4,+∞)B.(−6,−2)∪(0,2)C.(−6,−2)∪(2,+∞)D.(−∞,−4)∪(0,4)11. 已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x+2)−f(x)=f(1)．若函数y=f(x+2)的图象关于x=−2对称，且f(0)=8，则f(99)+f(100)=( )A.0B.4C.6D.812. 奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(24)+f(25)=（）A.−2B.−1C.1D.013. 已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x+2)−f(x)=f(1)．若函数y=f(x+2)的图象关于x=−2对称，且f(0)=8，则f(99)+f(100)=( )A.0B.4C.5D.814. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2−x)=f(2+x)．当0≤x≤2时，f(x)= x2，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+⋯+f(9)+f(10)=（）A.−5B.5C.−2D.215. 已知函数y=f(x)为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数g(x)= f(x−5)+x，数列{a n}为等差数列，且公差不为0，若g(a1)+g(a2)+⋯+g(a9)= 45，则a1+a2+⋯+a9=（）A.45B.15C.10D.016. 定义在R上的偶函数f(x)满足，则f(2021)＝（）17. 已知f(x)是定义域为(−∞, +∞)的奇函数，满足f(1−x)＝f(1+x)，若f(1)＝2，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)＝________．18. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+4)＝f(x)，当2≤x≤3，f(x)＝x，则f(5.5)＝________．19. 设f(x)是定义在(0, +∞)上的单调增函数，且对定义域内任意x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，则使不等式f(x)+f(x−3)≤2成立的x的取值范围是________.20. 函数f(x)在[−1, 1]上为奇函数并在[0, 1]上单调递减，且f(1−a)+f(1−2a)<0，则a的取值范围为________．21. 已知f(x−)＝x2+，则f(3)＝________.22. 偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=−f(x)，则f(2021)=________．23. 研究表明，函数g(x)=f(x+a)−b为奇函数时，函数y=f(x)的图象关于点P(a, b)成中心对称，若函数f(x)=x3−3x2的图象对称中心为P(a, b)，那么a=________；b=________．24. 已知函数f(x)的定义域为R，对任意x∈R,f(x+2)=3f(x)恒成立，且当x∈(0,2]时，f(x)=2x，则f(7)=________ .25. 已知定义在R上的单调函数f(x)满足对任意的x1，x2，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)成立，若正实数a，b满足f(a)+f(2b−1)=0，则1a +2b的最小值为________.26. 已知函数f(x)的定义域为R，在(−∞, 0)上单调，且为奇函数．若f(−3)＝−2，f(−1)＝2，则满足−2≤f(1−x)≤2的x的取值范围是________．27. 设函数y＝f(x)的定义域为R，满足f(x+1)＝2f(x)，且当x∈(0, 1]时，f(x)＝x(x−1)．若对任意x∈(−∞, m]，都有，则m的取值范围是________．①f(x)+f(−x)=0；②f(x)=f(x +2)；③当0≤x <1时，f(x)=2x −1．则f(12)+f(1)+f(32)+f(2)+f(52)=________.29. 已知函数 f(x) 满足对任意实数m ,n ，都有 f(m +n)=f(m)+f(n)−2，设g(x)=f(x)+a x a x +1，(a >0, a ≠1) ，若g(ln 2020)=2019 ，则g(ln 12020)=________.30. 求下列函数的解析式：（1）已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x +1)−f(x)＝x −1，求f(x)；（2）已知3f(x)+2f(−x)＝x +3，求f(x)．31. 已知f (x )是定义在R 上的函数，若对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x +y )=f (x )+f (y )，且当x >0时，有f (x )>0．(1)求证:f (0)=0；(2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)判断函数f (x )在R 上的单调性，并证明你的结论．32. 已知定义在R 上的函数f(x) 满足：①对任意的x ，y ∈R ，都有f(x)+f(y)＝f(x +y)②当x <0时，有f(x)<0（1）利用奇偶性的定义，判断f(x)的奇偶性；（2）利用单调性的定义判断f(x)的单调性；（3）若关于x 的不等式f(k ⋅3x )+f(3x −9x −2)>0在R 上有解，求实数k 的取值范围．33. 已知函数f(x)的定义域是(0, +∞)，且满足f(x ⋅y)＝f(x)+f(y)，当x >1时，f(x)>0．（1）求f(1)的值：（2）判断并证明f(x)的单调性．34. 已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f (1−x)＝f (1+x)．（1）证明：f (4+x)＝f(x)；（2）若f (1)＝2，求式子f (1)+f (2)+f (3)+...+f (50)的值．35. 已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且f(xy)=f(x)+f(y).(1)求f(1)的值；(2)若f(2)=1，解不等式f(x+3)<2．36. 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，满足f(0)=2，f(x+1)−f(x)=2x−1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当x∈[−1, 2]时，求函数的最大值和最小值．37. 已知f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1．(1)求证：f(8)=3；(2)求不等式f(x)−f(x−2)>3的解集．38. 已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(−2)=−3.当x> 0时，f(x)>0.(1)证明：f(x)是R上的增函数．(2)求关于x的不等式f(ax2)−f(ax)<f(x2−3x)+3的解集．39. 已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时f(x)>0，f(2)=1．(1)求f(1)的值；(2)求证:f(x)在定义域上单调递增；40. 已知函数f(x)的定义域D=(−∞, 0)∪(0, +∞)，且对于任意x1，x2∈D，恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，且当x>1时，f(x)<0．（1）求f(1)与f(−1)的值．判断f(x)在(0, +∞)上的单调性（不证明）；（2）试证明y=f(x)在x∈(−∞, 0)∪(0, +∞)上的奇偶性；（3）若f(2m−1)>f(m)+3m2−4m+1，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析高中数学抽象函数及其应用练习题含答案一、选择题（本题共计 16 小题，每题 3 分，共计48分）1.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，由函数的解析式分析可得当0<x<2时，f(x)<0，当x>2时，f(x)>0，结合函数的奇偶性可得当−2<x<0时，f(x)>0，当x<−2时，f(x)<0，综合可得f(x)>0的解集，对于f(x−2)>0，则有−2<x−2<0或x−2>2，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，当x>0时，f(x)=2x−4，则f(x)在区间(0, +∞)上为增函数，且f(2)=0，则当0<x<2时，f(x)<0，当x>2时，f(x)>0.又由f(x)为奇函数，当−2<x<0时，f(x)>0，当x<−2时，f(x)<0，则f(x)>0的解集为{x|−2<x<0或x>2}.不等式f(x−2)>0，则有−2<x−2<0或x−2>2，解得：0<x<2或x>4，即不等式f(x−2)>0的解集为{x|0<x<2或x>4}.故选B.2.【答案】C【考点】抽象函数及其应用【解析】根据关系式得到f(4)=2f(3)且f(5)=2f(4)，进而求得结论．【解答】解：∵函数y=f(x)满足f(x+1)=2f(x)，∴f(4)=2f(3)且f(5)=2f(4).又∵f(5)=3f(3)+2，∴2f(4)=3×1f(4)+2，2∴f(4)=4.故选C.3.【答案】C抽象函数及其应用【解析】本题可以用排除法来解答，根据f(ab)＝f(a)⋅f(b)，可排除A；根据f(a+b)＝f(a)+ f(b)，可排除B；f(ab)＝f(a)+f(b)可排除D，对C进行证明后，即可得到答案．【解答】解：A中，若f(x)=x2，f(ab)=(ab)2，f(a)⋅f(b)=a2⋅b2，f(ab)=f(a)⋅f(b)，故③成立.B中，若f(x)=3x，f(a+b)=3(a+b)，f(a)+f(b)=3a+3b，f(a+b)=f(a)+f(b)，故①成立.D中，若f(x)=ln x，f(ab)=ln ab=ln a+ln b=f(a)+f(b)，故②成立．C中，若f(x)＝2x，f(a+b)=2a+b，f(a)+f(b)=2a+2b，f(a+b)=f(a)+f(b)不一定成立，故①不成立；f(ab)=2ab，f(a)+f(b)=2a+2b，f(ab)=2a⋅2b，f(ab)=f(a)+f(b)不一定成立，故②不成立；f(ab)=f(a)⋅f(b)不一定成立，故③不成立.故选C.4.【答案】C【考点】抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析满足f(x)>0与f(x)<0的区间，而xf(x−1)>0⇒或，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)在(0, +∞)内是增函数且f(2)＝0，则在区间(0, 2)上，f(x)<0，在区间(2, +∞)上，f(x)>0，又由f(x)为偶函数，则在区间(−2, 0)上，f(x)<0，在区间(−∞, −2)上，f(x)>0，xf(x−1)>0⇒或，则有−1<x<0或x>3，即不等式的解集为(−1, 0)∪(3, +∞)，5.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合抽象函数及其应用根据题意，由函数f(x)的奇偶性与单调性作出其草图，又由xf(x)<0⇒{x<0f(x)>0或{x>0f(x)<0，分析可得答案．【解答】根据题意，奇函数f(x)在(−∞, 0)上单调递减，则f(x)在(0, +∞)上也递减，又由f(1)＝0，则f(−1)＝0，其大致图象如图：xf(x)<0⇒{x<0f(x)>0或{x>0f(x)<0，则有x<−1或x>1，即不等式的解集为(−∞, −1)∪(1, +∞)，故选：B．6.【答案】C【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】C【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【考点】函数的求值抽象函数及其应用【解析】分别令m=0，n=0和m=1，n=0，结合题中条件即可得解. 【解答】解：由题意得，令m=0，n=0，则f(0−0)=f(0)g(0)−f(0)g(0)，即f(0)=0，令m=1，n=0，f(1−0)=f(1)g(0)−f(0)g(1)，即f(1)=f(1)g(0)，∴g(0)=1.故选C.9.【答案】A【考点】抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合不等式恒成立问题【解析】无【解答】解：因为定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0，所以f(x)在(−∞,0]上单调递减，且f(−2)=0，所以当x∈(−2,2)时，f(x)<0，当x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)时，f(x)>0，所以由xf(x−2)≤0，可得{x<0,x−2≤−2或x−2≥2,或{x>0,−2≤x−2≤2,或x=0，解得x≤4．故选A．10.【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合抽象函数及其应用【解析】此题暂无解析【解答】所以f (−4)=−f (4)=0，即f (4)=0.因为函数f (x )在(−∞,0)上是减函数，所以函数f (x )在(0,+∞)上是减函数，作出函数f (x )的大致图象如图所示，所以对于f (x+2)−f (−x−2)x >0， 等价于f(x+2)−f[−(x+2)]x >0， 即2f (x+2)x >0，则{x <0,f (x +2)<0或{x >0,f (x +2)>0,即{x <0,−4<x +2<0或{x >0,0<x +2<4,解得−6<x <−2或0<x <2，综上，f (x+2)−f (−x−2)x >0的解集是(−6,−2)∪(0,2)．故选B ．11.【答案】D【考点】函数的周期性函数的求值抽象函数及其应用【解析】由函数y =f (x +2)关于直线x =−2对称，得到函数f (x )为偶函数，再由题设条件，得到f (x )的最小正周期为2，即可求解．【解答】解：由函数y =f (x +2)的图象关于直线x =−2对称，所以y =f (x )的图象关于直线x =0对称，即f (x )为偶函数.因为f (x −2)−f (x )=f (1)，所以f (−1+2)−f (−1)=f (1) ，f (1)=0，可得f (x +2)=f (x )，那么f (x )的最小正周期为2，所以f (100)=f (0)=8 ，f (99)=f (1)=0 ，则f (99)+f (100)=8.故选D .12.【答案】C【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质【解析】根据题意，由奇函数的性质可得f(−x)=−f(x)且f(0)=0，又由3f(x+2)为偶函数，则f(−x)=f(4+x)，分析可得f(x+4)=−f(x)，则有f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即函数是周期为8的周期函数，据此可得f(24)=0，f(25)=f(1)=1，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)且f(0)=0，又由f(x+2)为偶函数，则f(x+2)=f(−x+2)，即f(x+2)=−f(x−2)，则f(−x)=f(4+x)，分析可得：f(x+4)=−f(x)，则有f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即函数是周期为8的周期函数，f(24)=f(0)=0，f(25)=f(1)=1，则f(24)+f(25)=1．故选C．13.【答案】D【考点】抽象函数及其应用【解析】本题主要考查利用函数的奇偶性及周期性，求抽象函数的值，同时考查函数的图象的平移变换，属于中档题．【解答】解：因为y=f(x+2)的图象关于直线x=−2对称，所以y=f(x)的图象关于直线x=0对称，即f(x)为偶函数．因为f(x+2)−f(x)=f(1)，所以f(−1+2)−f(−1)=f(1).又f(−1)=f(1)，所以f(1)=0，可得f(x+2)=f(x)，所以f(x)的最小正周期为2，所以f(99)=f(1)=0，f(100)=f(0)=8，所以f(99)+f(100)=8．故选D．14.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质抽象函数及其应用函数的求值【解析】【解答】解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2−x)=f(2+x)，所以f(2−x)=−f(x−2)=f(2+x)．又因为当0≤x≤2时，f(x)=x2，所以f(1)=1，f(2)=4，f(3)=f(1)=1，f(4)=f(0)=0，f(5)=f(−1)=−f(1)=−1，f(6)=f(−2)=−f(2)=−4，f(7)=f(−3)=−f(3)=−1，f(8)=f(−4)=−f(4)=0，f(9)=f(−5)=−f(5)=1，f(10)=f(−6)=−f(6)=4.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+⋯+f(9)+f(10)=5．故选B．15.【答案】A【考点】抽象函数及其应用等差数列的性质函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：因为函数y=f(x)为定义域R上的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，f(x)的图象关于点(0,0)对称，所以y=f(x−5)的图象关于点(5,0)对称，由等差中项的性质和对称性可知：a1−5+a9−5=a5−5，2故f(a1−5)+f(a9−5)=0,由此f(a2−5)+f(a8−5)=f(a3−5)+f(a7−5)=f(a4−5)+f(a6−5)=2f(a5−5)=0，由题意，g(x)=f(x−5)+x，若g(a1)+g(a2)+⋯+g(a9)=45，则f(a1−5)+a1+f(a2−5)+a2+⋯+f(a9−5)+a9=45，即f(a1−5)+f(a2−5)+⋯+f(a9−5)+(a1+a2+⋯+a9)=45，则a1+a2+⋯+a9=45.故选A.16.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质与判断抽象函数及其应用函数的求值求函数的值【解析】根据题意，利用特殊值分析可得f(1)＝，解可得f(1)的值，结合函数的奇偶性可得＝，则有f(x+2)＝f(2−x)，变形可得f(x+4)＝f(x)，即可得函数的周期性，则有f(2021)＝f(1+2020)＝f(1)，即可得答案．【解答】根据题意，偶函数f(x)满足，则f(x)≥0，若x＝−1，则f(1)＝＝，解可得f(1)＝4或−3，又由f(x)≥0，则f(x)＝4，f(x)为偶函数，则＝，则有f(x+2)＝f(2−x)，变形可得f(x+ 4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，则f(2021)＝f(1+2020)＝f(1)＝4，故选：D．二、填空题（本题共计 13 小题，每题 3 分，共计39分）17.【答案】【考点】抽象函数及其应用【解析】根据题意，由函数的对称性分析可得f(x)为周期为4的函数，分析可得f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值，结合函数的周期性分析可得答案．【解答】又由f(1−x)＝f(1+x)即有f(x+2)＝f(−x)，则f(x+2)＝−f(x)，进而得到f(x+4)＝−f(x+2)＝f(x)，f(x)为周期为4的函数，若f(1)＝2，可得f(3)＝f(−1)＝−f(1)＝−2，f(2)＝f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+0−2+0＝0，则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)＝505×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]＝0(1)故答案为：018.【答案】2.5【考点】抽象函数及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】3<x≤4【考点】抽象函数及其应用函数单调性的性质【解析】利用赋值法先求出f(4)=2，结合函数的单调性进行转化求解即可．【解答】解：∵f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=1+1=2，则不等式f(x)+f(x−3)≤2等价为f[x(x−3)]≤f(4).∵f(x)是定义在(0, +∞)上的单调递增函数，∴{x>0,x−3>0, x(x−3)≤4,即{x>0, x>3,x2−3x−4≤0,则{x>0, x>3,−1≤x≤4,解得3<x≤4，故答案为：3<x≤4.20.【答案】[0,2 3 )【考点】抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f(x)在区间[−1, 1]上为减函数，进而可得原不等式等价于{1−a2a−1−1≤1−a≤1−1≤2a−1≤1，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f(x)为奇函数且在[0, 1]上单调递减，则f(x)在区间[−1, 0]上也是减函数，故f(x)在区间[−1, 1]上为减函数，则f(1−a)+f(1−2a)<0⇒f(1−a)<−f(1−2a)⇒f(1−a)<f(2a−1)⇒{1−a>2a−1,−1≤1−a≤1,−1≤2a−1≤1,可得：0≤a<23，即a的取值范围为[0, 23).故答案为：[0,23).21.【答案】11【考点】抽象函数及其应用函数的求值求函数的值【解析】利用配方法，即可求得函数解析式，再代入自变量求解即可．I加加加加x−1x)=(x−1x)2+2，f(3)=32+2=1【解答】此题暂无解答22.【答案】【考点】抽象函数及其应用函数的周期性函数奇偶性的性质【解析】先求出函数的周期为4，再根据f(2021)=f(1)，求得结果．【解答】解：由f(x)是偶函数得，f(x)=f(−x)，又f(x+2)=−f(x)，可得f(x+4)=f(x)，故函数的周期为4，f(−1+2)=−f(−1)，即f(1)=−f(1)，所以f(1)=0，则f(2021)=f(1)=0．故答案为：0．23.【答案】1,−2【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质【解析】设f(x)＝x3−3x2的对称中心为点P(a, b)，则g(x)＝f(x+a)−b为奇函数，由函数奇偶性的性质可得f(−x+a)+f(x+a)＝2b，即[(−x+a)3−3(−x+a)2]+[(x+ a)3−3(x+a)2−b]＝2b，变形可得(6a−6)x2+2a3−6a2−2b＝0，则有{6a−6=02a3−6a2−2b=0，解可得a、b的值，即可得答案．【解答】解：设g(x)=f(x+a)−b=(x+a)3−3(x+a)2−b，则g(x)为奇函数，依题可知，g(−x)=f(−x+a)−b且g(−x)=−g(x)，则f(−x+a)−b=b−f(x+a)，即f(−x+a)+f(x+a)=2b，则有[(−x+a)3−3(−x+a)2]+[(x+a)3−3(x+a)2]=2b，即(6a−6)x2+2a3−6a2−2b=0，则有{6a−6=0,2a3−6a2−2b=0,解可得：a=1，b=−2.故答案为：1；−2.24.【答案】54【考点】抽象函数及其应用函数的求值函数的周期性【解析】本题考查函数的性质，考查运算求解能力．【解答】解：∵ f(x+2)=3f(x)，∴ f(7)=3f(5)=32f(3)=33f(1)=54．故答案为：54．25.【答案】9【考点】基本不等式在最值问题中的应用抽象函数及其应用奇偶性与单调性的综合【解析】首先判定函数是奇函数，由所给的等式可得f(x)=f(1−2b)，再由f(x)单调递增可得a=1−2b，从而得到a+2b=1，再利用基本不等式得出结论．【解答】解：不妨令x1=0，x2=0，则有f(0+0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0，当x1=x，x2=−x时，有f(0)=f(x)+f(−x)=0，则函数f(x)是奇函数.∵单调奇函数满足对任意实数a，b满足f(a)+f(2b−1)=0，∴f(a)=f(1−2b)，∴a+2b=1，∴1a +2b=(1a+2b)(a+2b)=5+2ba+2ab≥5+2√2ba ⋅2ab=9，当且仅当2ba =2ab，a+2b=1，即a=b=13时，等号成立.∴1a +2b的最小值为9.故答案为：9.26.【答案】[−2, 0]∪[2, 4]∪{1}【考点】奇偶性与单调性的综合抽象函数及其应用【解析】根据函数的奇偶性和单调性大小将不等式进行转化求解即可．【解答】因为函数f(x)为奇函数，f(−3)＝−2，f(−1)＝2，f(0)＝0所以f(3)＝2，f(1)＝−2，f(x)在(−∞, 0)、(0, +∞)上单调递增，则−2≤f(1−x)≤2⇔1≤1−x≤3或1−x＝0或−3≤1−x≤−1，所以−2≤x≤0或x＝1或2≤x≤4．故答案为：[−2, 0]∪[2, 4]∪{1}．27.【答案】(−∞，）【考点】抽象函数及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答28.【答案】√2−1【考点】函数的周期性抽象函数及其应用函数奇偶性的性质【解析】由①②可知，f(x)是周期为2的奇函数，再利用③，将所求关系式中的f(32)、f(2)、f(52)转化为能求值的即可． 【解答】解：∵ f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，∴ f(x)为奇函数.又f(x)=f(x +2)，∴ f(x)是周期为2的函数，∴ f(−1)=f(−1+2)=f(1).又f(−1)=−f(1)，∴ f(1)=0.又当0≤x <1时，f(x)=2x −1，f(32)=f(32−2)=f(−12)=−f(12)； 同理可得，f(2)=f(0)=20−1=0；f(52)=f(12)，∴ f(12)+f(1)+f(32)+f(2)+f(52) =f(12)+0−f(12)+0+f(12) =f(12)=√2−1.故答案为：√2−1．29.【答案】−2014【考点】抽象函数及其应用对数的运算性质函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 函数f(x)满足对任意实数m,n ，都有f(m +n)=f(m)+f(n)−2， 令m =n =0，则f(0)=2f(0)−2，解得：f(0)=2，令m =x ，n =−x ，则f(0)=f(x)+f(−x)−2，即f(x)+f(−x)=4，∵ g(x)=f(x)+a x a x +1(a >0，a ≠1)，∴g(−x)=f(−x)+a−xa−x+1=f(−x)+1a x+1，故g(x)+g(−x)=f(x)+f(−x)+1=5，∴g(ln2020)+g(ln12020)=2019+g(ln12020)=5，即g(ln12020)=−2014.故答案为：−2014.三、解答题（本题共计 11 小题，每题 10 分，共计110分）30.【答案】（1）f(x)=12x2−32x+2（2）f(x)=x−35【考点】函数解析式的求解及常用方法二次函数的性质抽象函数及其应用【解析】（1）设二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，将f(0)=2与f(x+1)−f(x)=x−1代入化简，可求得a,b,c的值．（2）将一代入原方程得到一个新的方程，和原方程组成方程组，解方程组来求得f(x)的值．【解答】（1）设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)由f(0)=2，得kc=2．由f(x+1)−f(x)=x−1得恒等式:2ex+a+b=x−1，得b=12b=−32故所求函数的解析式为f(x)=12x2−32x+2（2）由3f(x)+2tf−x)=x+3，①x用−x代换得3f(−x)+2f(x)=−x+3，②解①⑦得f(x)=x+3531.【答案】(1)证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，则f(0)=2f(0)，∴f(0)=0．(2)解：由f(x+y)=f(x)+f(y)，令y=−x，则f(0)=f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)f(x)在R上是增函数．证明：在R上任取x1，x2，并且x1>x2，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)，∵x1>x2，即x1−x2>0，且当x>0时，f(x)>0，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在R上是增函数．【考点】抽象函数及其应用函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：由f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，则f(0)=2f(0)，∴f(0)=0．(2)解：由f(x+y)=f(x)+f(y)，令y=−x，则f(0)=f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)f(x)在R上是增函数．证明：在R上任取x1，x2，并且x1>x2，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)，∵x1>x2，即x1−x2>0，且当x>0时，f(x)>0，∴f(x1−x2)=f(x1)−f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在R上是增函数．32.【答案】∵对任意的x，y∈R，都有f(x)+f(y)＝f(x+y)，∴令x＝y＝0，得到：f(0)+f(0)＝f(0)，f(0)＝0，再令y−x得到：f(x)+f(−x)＝f(0)，f(−x)＝−f(x)．∴定义在R上的函数f(x)是奇函数；在R上任取两个自变量的值x1，x2，且x1>x2，f(x2)−f(x1)＝f[x1+(x2−x1)]−f(x1)＝f(x1)+f(x2−x1)−f(x1)＝f(x2−x1)．∵x1>x2，∴x2−x1<0，∵当x<0时，有f(x)<0，∴f(x2)−f(x1)<0，∴f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)在R上单调递增；由（1）（2）知：奇函数f(x)在R上单调递增，∴关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0可以转化为：f(k⋅3x)>−f(3x−9x−2)，∴f(k⋅3x)>−f(3x−9x−2)，∴f(k⋅3x)>f(−3x+9x+2)，∴k⋅3x>−3x+9x+2，∴k>3x+23x−1．∵3x+23x −1≥2√3x×23x−1=2√2−1，当且仅当3x=23x ，x=12log32时取等号．∴关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0在R上有解时，k>2√2−1．∴实数k的取值范围是：(2√2−1, +∞)．【考点】奇偶性与单调性的综合抽象函数及其应用【解析】本题（1）利用奇偶性的定义，结合条件f(x)+f(y)＝f(x+y)，用赋值法，得到f(−x)与−f(x)的关系，判断出f(x)的奇偶性；（2）利用函数单调必的定义，证明出f(x)的单调性；（3）利用函数的奇偶性和单调性，将关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0转化为3x的不等式，通过变量分离，求出最值，得到k的取值范围，得到本题结论．【解答】∵对任意的x，y∈R，都有f(x)+f(y)＝f(x+y)，∴令x＝y＝0，得到：f(0)+f(0)＝f(0)，f(0)＝0，再令y−x得到：f(x)+f(−x)＝f(0)，f(−x)＝−f(x)．∴定义在R上的函数f(x)是奇函数；在R上任取两个自变量的值x1，x2，且x1>x2，f(x2)−f(x1)＝f[x1+(x2−x1)]−f(x1)＝f(x1)+f(x2−x1)−f(x1)＝f(x2−x1)．∵x1>x2，∴x2−x1<0，∵当x<0时，有f(x)<0，∴f(x2)−f(x1)<0，∴f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)在R上单调递增；由（1）（2）知：奇函数f(x)在R上单调递增，∴关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0可以转化为：f(k⋅3x)>−f(3x−9x−2)，∴f(k⋅3x)>−f(3x−9x−2)，∴f(k⋅3x)>f(−3x+9x+2)，∴k⋅3x>−3x+9x+2，∴k>3x+23x−1．∵3x+23x −1≥2√3x×23x−1=2√2−1，当且仅当3x=23x ，x=12log32时取等号．∴关于x的不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x−2)>0在R上有解时，k>2√2−1．∴实数k的取值范围是：(2√2−1, +∞)．33.【答案】令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)+f(1)，解得f(1)＝0．f(x)在(0, +∞)上的是增函数，设x1，x2∈(0, +∞)，且x1>x2，则x1x2>1，∴f(x1x2)>0，∴f(x1)−f(x2)=f(x2⋅x1x2)−f(x2)=f(x1x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0, +∞)上的是增函数．【考点】抽象函数及其应用【解析】（1）利用赋值法，令x＝y＝1，进行求解即可．（2）利用抽象函数关系，结合函数单调性的定义进行证明即可．【解答】令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)+f(1)，解得f(1)＝0．f(x)在(0, +∞)上的是增函数，设x1，x2∈(0, +∞)，且x1>x2，则x1x2>1，∴f(x1x2)>0，∴f(x1)−f(x2)=f(x2⋅x1x2)−f(x2)=f(x1x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0, +∞)上的是增函数．34.【答案】证明：根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(−x)＝−f(x)，又由f(x)满足f(1+x)＝f(1−x)，则f(−x)＝f(2+x)，则有f(x+2)＝−f(x)，变形可得：f(x+4)＝f(x)，即可得证明；由（1）的结论，f(x+4)＝f(x)，又由f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，则f(2)＝−f(0)＝0，f(3)＝−f(1)＝−2，f(4)＝f(0)＝0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+0+(−2)+0＝0，则有f(1)+f(2)+f(3)+...+f(50)＝[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×12+f(49)+f(50)＝f(1)+f(2)＝2．【考点】抽象函数及其应用【解析】（1）根据题意，由函数的奇偶性以及f(1+x)＝f(1−x)分析可得f(x+2)＝−f(x)，进而变形可得答案；（2）由（1）的结论分析可得f(2)、f(3)、f(4)的值，结合函数的周期性分析可得答案．【解答】证明：根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(−x)＝−f(x)，又由f(x)满足f(1+x)＝f(1−x)，则f(−x)＝f(2+x)，则有f(x+2)＝−f(x)，变形可得：f(x+4)＝f(x)，即可得证明；由（1）的结论，f(x+4)＝f(x)，又由f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，则f(2)＝−f(0)＝0，f(3)＝−f(1)＝−2，f(4)＝f(0)＝0，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)＝2+0+(−2)+0＝0，则有f(1)+f(2)+f(3)+...+f(50)＝[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×12+f(49)+f(50)＝f(1)+f(2)＝2．35.【答案】解：(1)令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0.(2)令x=y=2，则f(4)=f(2)+f(2)，又f(2)=1，所以f(4)=2，f(x+3)<2，即f(x+3)<f(4)，又函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数，所以{x+3>0，x+3<4，解得−3<x<1，所以不等式f(x+3)<2的解集为(−3,1).【考点】抽象函数及其应用其他不等式的解法函数单调性的性质【解析】(1)直接取x=y=1，即可解出.(2)利用函数单调性的性质，构造不等式组，解出即可. 【解答】解：(1)令x=y=1，则f(1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0.(2)令x=y=2，则f(4)=f(2)+f(2)，又f(2)=1，所以f(4)=2，f(x+3)<2，即f(x+3)<f(4)，又函数f(x)在区间(0,+∞)上为增函数，所以{x+3>0，x+3<4，解得−3<x<1，所以不等式f(x+3)<2的解集为(−3,1).36.【答案】解：(1)由f(0)=2，得c=2，又f(x+1)−f(x)=2x−1，得2ax+a+b=2x−1，故{2a=2，a+b=−1，解得：a=1，b=−2，所以f(x)=x2−2x+2．(2)f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，图象对称轴为x=1，且开口向上，所以，f(x)单调递增区间为(1, +∞)，单调递减区间为(−∞, 1)．(3)f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，对称轴为x=1∈[−1, 2]，故f min(x)=f(1)=1，又f(−1)=5，f(2)=2，所以f max(x)=f(−1)=5．【考点】抽象函数及其应用函数的最值及其几何意义函数单调性的判断与证明函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）利用已知条件列出方程组，即可求函数f(x)的解析式；（2）利用二次函数的对称轴，看看方向即可求函数f(x)的单调区间；（3）利用函数的对称轴与x∈[−1, 2]，直接求解函数的最大值和最小值．【解答】解：(1)由f(0)=2，得c=2，又f(x+1)−f(x)=2x−1，得2ax+a+b=2x−1，故{2a=2，a+b=−1，解得：a=1，b=−2，所以f(x)=x2−2x+2．(2)f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，图象对称轴为x=1，且开口向上，所以，f(x)单调递增区间为(1, +∞)，单调递减区间为(−∞, 1)．(3)f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，对称轴为x=1∈[−1, 2]，故f min(x)=f(1)=1，又f(−1)=5，f(2)=2，所以f max(x)=f(−1)=5．37.【答案】(1)证明：由题意可得f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=3f(2)=3；(2)解：原不等式可化为f(x)>f(x−2)+3=f(x−2)+f(8)=f(8x−16)∵f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数∴{8x−16>0，x>8x−16，解得：2<x<167.【考点】抽象函数及其应用其他不等式的解法函数单调性的性质【解析】（1）由已知利用赋值法及已知f(2)=1可求证明f(8)（2）原不等式可化为f(x)>f(8x−16)，结合f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数可求【解答】(1)证明：由题意可得f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=3f(2)=3；(2)解：原不等式可化为f(x)>f(x−2)+3=f(x−2)+f(8)=f(8x−16)∵f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数∴{8x−16>0，x>8x−16，解得：2<x<167.38.【答案】(1)证明：设x>y，则x−y>0. 因为当x>0时，f(x)>0，所以f(x−y)>0.因为f(x+y)=f(x)+f(y)，所以f(x)=f(x−y+y)=f(x−y)+f(y)．因为f(x−y)>0，所以f(x)>f(y)，故f(x)是R上的增函数．(2)解：f(ax2)−f(ax)<f(x2−3x)+3等价于f(ax2)+f(−2)<f(x2−3x)+f(ax)，即f(ax2−2)<f(x2−3x+ax).因为f(x)是R上的增函数，所以ax2−2<x2−3x+ax，即(a−1)x2−(a−3)x−2<0.当a=1时，原不等式转化为2x−2<0，解得x<1.当a>1时，不等式(a−1)x2−(a−3)x−2<0可转化为[(a−1)x+2](x−1)<0，解得−2a−1<x<1．当a<1时，不等式(a−1)x2−(a−3)x−2<0可转化为[(a−1)x+2](x−1)<0，①当−2a−1>1，即−1<a<1时，原不等式的解集是{x|x<1或x>−2a−1}；②当−2a−1=1，即a=−1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；③当−2a−1<1，即a<−1时，原不等式的解集是{x|x<−2a−1或x>1}．综上，当a<−1时，原不等式的解集是{x|x<−2a−1或x>1}；当a=−1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；当−1<a<1时，原不等式的解集是{x|x<1或x>−2a−1；当a=1时，原不等式的解集是{x|x<1}；当a>1时，原不等式的解集是{x|−2a−1<x<1}．【考点】函数单调性的判断与证明抽象函数及其应用函数单调性的性质函数的单调性及单调区间【解析】【解答】(1)证明：设x>y，则x−y>0.因为当x>0时，f(x)>0，所以f(x−y)>0.因为f(x+y)=f(x)+f(y)，所以f(x)=f(x−y+y)=f(x−y)+f(y)．因为f(x−y)>0，所以f(x)>f(y)，故f(x)是R上的增函数．(2)解：f(ax2)−f(ax)<f(x2−3x)+3等价于f(ax2)+f(−2)<f(x2−3x)+f(ax)，即f(ax2−2)<f(x2−3x+ax).因为f(x)是R上的增函数，所以ax2−2<x2−3x+ax，即(a−1)x2−(a−3)x−2<0.当a=1时，原不等式转化为2x−2<0，解得x<1.当a>1时，不等式(a−1)x2−(a−3)x−2<0可转化为[(a−1)x+2](x−1)<0，解得−2a−1<x<1．当a<1时，不等式(a−1)x2−(a−3)x−2<0可转化为[(a−1)x+2](x−1)<0，①当−2a−1>1，即−1<a<1时，原不等式的解集是{x|x<1或x>−2a−1}；②当−2a−1=1，即a=−1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；③当−2a−1<1，即a<−1时，原不等式的解集是{x|x<−2a−1或x>1}．综上，当a<−1时，原不等式的解集是{x|x<−2a−1或x>1}；当a=−1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；当−1<a<1时，原不等式的解集是{x|x<1或x>−2a−1；当a=1时，原不等式的解集是{x|x<1}；当a>1时，原不等式的解集是{x|−2a−1<x<1}．39.【答案】(1)解：∵f(x)对(0,+∞)内的任意x1,x2都有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，令x1=x2=1，∴有f(1×1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0．(2)证明：设x2>x1>0，则f(x2)−f(x1)=f(x1⋅x2x1)−f(x1)=f(x1)+f(x2x1)−f(x1)=f(x2x1)．∵x2>x1>0，∴x2x1>1，∴f(x2x1)>0，即f(x2)−f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在定义域上单调递增．(3)解：∵f(2)=1，f(4)=f(2)+f(2)=2，又∵函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，f(2x2−1)<2，∴2x2−1<4，解得−√102<x<√102；且2x2−1>0，解得x<−√22或x>√22，∴√22<x<√102或−√102<x<−√22．即不等式的解集为{x|−√102<x<−√22或√22<x<√102}．【考点】抽象函数及其应用函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：∵f(x)对(0,+∞)内的任意x1,x2都有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，令x1=x2=1，∴有f(1×1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0．(2)证明：设x2>x1>0，则f(x2)−f(x1)=f(x1⋅x2x1)−f(x1)=f(x1)+f(x2x1)−f(x1)=f(x2x1)．∵x2>x1>0，∴x2x1>1，∴f(x2x1)>0，即f(x2)−f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在定义域上单调递增．(3)解：∵f(2)=1，f(4)=f(2)+f(2)=2，又∵函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，f(2x2−1)<2，∴2x2−1<4，解得−√102<x<√102；且2x2−1>0，解得x<−√22或x>√22，∴√22<x<√102或−√102<x<−√22．即不等式的解集为{x|−√102<x<−√22或√22<x<√102}．40.【答案】令x1=x2=1，代入f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，可得f(1)=0，令x1=x2=−1，则有f[(−1)×(−1)]=f(−1)+f(−1)=f(1)=0，解得f(−1)=0．函数f(x)在(0, +∞)上是减函数．证明：令x1=x，x2=−1，则有f(−x)=f(x)+f(−1)=f(x)，即f(−x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数．设g(x)=f(x)−x2，则偶函数g(x)在(0, +∞)上是减函数，所以f(2m−1)>f(m)+3m2−4m+1⇔f(2m−1)−(4m2−4m+1)>f(m)−m2⇔g(2m−1)>g(m)⇔g(|2m−1|)>g(|m|)⇔0≠|2m−1|<|m|⇔0≠(2m−1)2<m2⇔13<m<1且m≠12，所以m的取值范围是(13, 12)∪(12, 1)．【考点】函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断抽象函数及其应用【解析】（1）令x1=x2=1，代入f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)可得f(1)=0，再令x1=x2=−1，代入题中的条件可得f(−1)=0；（2）令x1=x，x2=−1，并且结合（1）中的结论可得答案；（3）设g(x)=f(x)−x2，判断g(x)的奇偶性和单调性，由题意得到关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围．【解答】令x1=x2=1，代入f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)，可得f(1)=0，令x1=x2=−1，则有f[(−1)×(−1)]=f(−1)+f(−1)=f(1)=0，解得f(−1)=0．函数f(x)在(0, +∞)上是减函数．证明：令x1=x，x2=−1，则有f(−x)=f(x)+f(−1)=f(x)，即f(−x)=f(x)，所以函数f(x)是偶函数．设g(x)=f(x)−x2，则偶函数g(x)在(0, +∞)上是减函数，所以f(2m−1)>f(m)+3m2−4m+1⇔f(2m−1)−(4m2−4m+1)>f(m)−m2⇔g(2m−1)>g(m)⇔g(|2m−1|)>g(|m|)⇔0≠|2m−1|<|m|⇔0≠(2m−1)2<m2⇔13<m<1且m≠12，所以m的取值范围是(13, 12)∪(12, 1)．。

抽象函数一、求表达式方法 (2)1.换元法 (2)2.拼凑法 (2)3.待定系数法 (2)4.利用函数性质法 (3)5.方程组法 (3)5.赋值法 (3)二、抽象函数常见考点解法综述 (5)1.定义域问题 (5)2.求值问题 (5)3.值域问题 (5)4.奇偶性问题 (6)5单调性问题 (6)6.对称性问题 (7)7.求参数的取值范围 (7)8.解不定式 (7)9.周期问题 (7)三、抽象函数五类题型及解法 (9)1.线性函数型抽象函数 (9)2.指数函数型抽象函数 (10)3.对数函数型抽象函数 (11)4.幂函数型抽象函数 (12)5.三角函数型抽象函数 (13)四、巩固练习 (15)抽象函数问题综述-----含有函数记号“()f x ”有关问题解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式方法1.换元法例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1ux u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 例2：已知＋1)＝x ＋2，则f(x)＝____________.解：设t＋1＝t －1，x ＝(t －1)2，t≥1，代入原式有f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，故f(x)＝x 2－1(x≥1)．2.拼凑法在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例1：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()((3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 例2：已知＋1)＝x ＋2，则f(x)＝____________. 解：＋1)＝x ＋2＝＋1)2－1，故f(x)＝x 2－1(x≥1)．3.待定系数法先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开.研究抽象函数首先要注意函数的定义域,尤其是在解答抽象函数对应的不等式时,通过抽象函数的单调性转变为自变量的大小关系式,不能忽视自变量的取值范围;其次抽象函数都是依据一类具体函数的性质抽象出来的,如()()()f x y f x f y +=+就是从正比例函数抽象出来的; ()()()f xy f x f y =+根据对数函数的性质抽象出来的; ()()()f x y f x f y +=根据指数函数的性质抽象出来的.因此在解决此类问题可以先类比具体函数的性质研究我们要解答的抽象函数的性质,解答抽象函数问题要注意赋值法的应用,通过赋值可以找到函数的不变性质,这个不变性质往往是解决问题的突破口.抽象函数性质的证明是一种代数推理,要注意推理的严谨性,每一步推理都要有充分的条件,不可以漏掉条件,更不要臆造条件,推理过程层次分明.一、抽象函数的概念抽象函数就是没有给出具体函数解析式的函数。

常见的解题方法有赋值法、换元法、具体化法等。

若()x f 的定义域是[]b a ,，则对()[]x g f 来说，必有()[]b a x g ,∈，从而可以得到函数()[]x g f 的定义域。

若()[]x g f 的定义域是[]b a ,，则[]b a ,应作为函数()x g 的定义域，进而求出()x g 的值域，从而得到函数()x f 的定义域。

总而言之，外层函数的定义域就是内层函数在复合函数的定义域上的值域。

抽象函数的值域和最值问题，一般先根据条件确定函数的单调性，然后再求其值域或最值。

对于选择、填空题也可以利用奇函数在对称区间上具有相同的单调性、偶函数在对称区间上具有相反的单调性等结论来求解。

【例1】函数()x f 对任意实数x 、y ，均满足()()()[]222y f x f y x f +=+，且()01≠f ，则()=2016f【难度】★★【答案】1008【解析】令1=y ，则()()()[]2121f x f x f +=+，即()()()[]2121f x f x f =-+，再令0=x ，1=y ，得()()()[]21201f f f +=，令0==y x ，得()00=f ，故()211=f ，则()()211=-+x f x f ，累加可得()10082016=f【例2】函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是___.【难度】★★【答案】2][2,⋃-【解析】因为log ()22x 2-相当于f x ()中的x ，所以log ()2221x -≤，解得 22<≤x 或-≤<-22x .【例3】已知()211x f x x =++,求()f x . 【难度】★ 【答案】1()1x f x x +=- 【解析】设1x u x =+,则1u x u =-∴1()2111u u f u u u +=+=--∴1()1x f x x+=- 【例4】如果奇函数()x f 在[]7,3上是增函数且有最小值为5，那么()x f 在[]3,7--上是（ ）A .增函数且有最小值为5-B .增函数且有最大值为5-C .减函数且有最小值为5-D .减函数且有最大值为5-【难度】★★【答案】B【例5】设)(x f 是R 上的奇函数，)(x g 是R 上的偶函数，若函数)()(x g x f +的值域为)3,1[，则)()(x g x f -的值域为 ．【难度】★★【答案】]1,3(--【解析】在()()f x g x -代入x -，因为)(x f 是R 上的奇函数，)(x g 是R 上的偶函数，()()[()()]f x g x f x g x ---=-+，所以值域为]1,3(--，因为定义域为关于原点对称，所以值域是一样的，)()(x g x f -值域为]1,3(--【巩固训练】1.定义在R 上的函数()x f 满足()()()xy y f x f y x f 2++=+，()21=f ，则()=-3f【难度】★★【答案】62.已知函数)1(-x f 的定义域为[2，4],求函数)2(x f 的定义域.【难度】★ 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,213.若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域.【难度】★【答案】]1,1[-.【解析】函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-.4.已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-， 求()f x ,()g x . 【难度】★★ 【答案】21()1f x x =-.2()1x g x x =- 【解析】∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,不妨用-x 代换()f x +()g x =11x - ………①中的x , ∴1()()1f x g x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……② 显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x g x x =-5.已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域.【难度】★★【答案】[]-42，【解析】设x x 12<且x x R 12，∈，则x x 210->， 由条件当x >0时，f x ()>0∴->f x x ()210又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-又令x y ==0得f ()00= ∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二、抽象函数的性质1、抽象函数的单调性抽象函数单调性的求解与证明一般按照单调性的定义来解决，但由于解析式的缺乏，往往只能对题设条件中的等量关系进行适当的拼与凑，来处理()()21x f x f -与0的大小比较，如将1x 变形成()221x x x +-、221x x x ⋅等。