13.2排列组合思想扩展二

排列组合问题综合应用一、特殊元素优先法例1.由5,4,3,2,1,0可以组成多少个没有重复数字五位奇数？分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。

末位和首位有特殊要求。

先排末位，从5,3,1三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从4,2和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数种任选三个共有34A 种排列。

由分步计数原理得288341413=A C C 。

变式1.7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制得四个花盒中共有24A 种排列，再种其他葵花有55A 种排列。

由分步计数原理得14405524=A A 。

二、相邻问题捆绑法例2.7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：将甲乙两个元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个符合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理得480222255=A A A 。

变式2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为多少？分析：命中得三枪捆绑成一枪，与命中得另一枪插入未命中四枪形成得五个空位，共有2025=A 种排列。

三、相离问题插空法例3.一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题，分两步。

第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得432004652=A A .变式3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为多少？分析：将2个新节目插入原定5个节目排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有3026=A 种排列。

排列组合问题-数学思维拓展五年级上册一、选择题1．用7、8、9、0四张数字卡片，可以组成（）个不同的四位数。

A．24 B．18 C．122．学校组织春游活动因故提前了，张老师要尽快通知到每一位学生，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，每人接到电话后立即通知其他不知道这一信息的同学，全班40位同学，最快（）分钟才能通知到全班同学。

A．4 B．5 C．6 D．73．如图，小蚂蚁从点A爬到点B，走最短的路线，共有（）种不同的路线。

A．6 B．8 C．10 D．124．有1元、2元、5元和10元人民币各1张，任意取2张，可以有（）种不同的取法。

5．将7个点连成线段，任意三点不在同一条直线上，最多可以连成（）。

A．7条B．12条C．21条D．28条6．四对情侣排成一队买演唱会门票，已知每对情侣必须排在一起，问共有多少种不同的排队顺序（）。

A．24种B．96种C．384种D．40320种二、填空题7．小巧与同学们聚会，参加聚会的每两个人都合影一张。

聚会结束时，统计出一共拍照45张，参加这次聚会的同学共有( )人。

8．从下面三枚硬币中取硬币，一共可以取出( )种不同的钱数。

9．明明、红红、强强在平时的50m短跑训练比赛中，成绩相当。

他们要进行一场50m短跑比赛，你能算出比赛可能一共有( )种结果。

（不并列）。

10．从沈阳站始发的火车，途经辽中、锦州南站、唐山北站后到达终点北京站。

这趟列车单程需要准备( )种不同的车票。

11．要在人民公园大门的上方挂6只大灯笼（如图），如果把形状相同的灯笼挨在一起，可以有( )种不同的挂法。

12．小明从一楼到二楼，共要上9级台阶，他每次最多跨两级，那么他从一楼到二楼，一共有( )种走法。

13．5名象棋爱好者进行比赛，规定每两人比赛一局，经过一段时间后统计，甲已赛了4局，乙已赛了3局，丙已赛了2局，丁已赛了1局，则此时戊已赛了( )局。

14．2018年世界杯足球赛在俄罗斯举行。

共有32支球队参加，平均分成8个小组，每组4支球队。

数学怪才告诉你怎么解排列组合问题在介绍排列组合方法之前 我们先来了解一下基本的运算公式！35C ＝（5×4×3）/（3×2×1） 26C ＝（6×5）/（2×1）通过这2个例子 看出C nm 公式 是种子数M 开始与自身连续的N 个自然数的降序乘积做为分子。

以取值N 的阶层作为分母35P ＝5×4×3 66P ＝6×5×4×3×2×1通过这2个例子P n m ＝从M 开始与自身连续N 个自然数的降序乘积 当N ＝M 时 即M 的阶层排列、组合的本质是研究“从n 个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”.分类：“做一件事，完成它可以有n 类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.分步：“做一件事，完成它需要分成n 个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n 个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后，这件事才算最终完成.两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理.在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：1．有限制条件的排列问题常见命题形式：“在”与“不在”“邻”与“不邻”在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：“含”与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法.。

—......................................................... u Amf ..............................................排列组合解题技巧归纳总结教学内容1. 分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有mi种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N m1 m2 L m n种不同的方法.2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…,做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N 叶m2 L m n种不同的方法.3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。

3. 确定每一步或每一类是排列冋题（有序）还是组合（无序）冋题,兀素总数是多少及取出多少个兀素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有C；然后排首位共有C：最后排其它位置共有A3由分步计数原理得C4C3A3288练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

第2课时组合的应用------------------- 学习目标导航I -------------------------------------1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.(重点)2.能解决有限制条件的组合问题.(难点)‘认知预习质疑知识梳理要点初探)［基础•初探］教材整理组合的实际应用阅读教材P15~P16,完成下列问题.1.组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从n个不同元素中取岀个元素.不同点：排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.2.应用组合知识解决实际问题的四个步骤(1)判断：判断实际问题是否是组合问题.(2)方法：选择利用直接法述是间接法解题.(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算.(4)结论：根据计算结果写出方案个数.--------- O微体验O ----------1.__________________________________________ 把三张游园票分给10个人中的3人，分法有___________________________________ ・10 X 9 X X 【解析】把三张票分给10个人中的3人，不同分法有&0= 3X2X1 =120(种).【答案】1202.甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有______ 种.【解析】甲选修2门，有C5 = 6(种)不同方案.乙选修3 H,有&=4(种)不同选修方案.丙选修3 n,有ci=4(种)不同选修方案.由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6X4X4 = 96(种).【答案】96［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1: 解惑：疑阶段2介作探究通关「分组讨论燦难细究)问2：解惑：疑问3：解惑：［小组合作型］无限制条件的组合问题在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加.【精彩点拨】本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题.【自主解答】⑴从中任取5人是组合问题，共有Ci2=792种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题,共有& = 36种不同的选法.(3) 甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有&=126 种不同的选法.(4) 甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人， 有C|=3种选法；再从另外9人中选4人，有C ：种选法.共有C|C9=378种不 同的选法.名师解答简单的组合问题的思考方法1. 弄清要做的这件事是什么事.2. 选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题.3. 结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果.［再练一题］1 •现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.(1) 现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2) 选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？【解】(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不(2)可把问题分两类：第1类，选出的2名是男教师有&种方法；第2类,选出的2名是女教师有C ；种方法，即CHd=21(种).高二⑴班共有35名同学，其屮男生20名，女生15名，今从屮选出 3名同学参加活动.(1) 其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种?(2) 其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种?(3) 恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？(4) 至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？同元素中取出2个元素的组合数，即Cf°= 10X9 ------ =45 2X1 Q»例(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？【精彩点拨】可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼.使用两个计数原理解决.【自主解答】(1)从余下的34名学生中选取2名，有&4=561(种).・・・不同的取法有561种.(2)从34名可选学生中选取3名，有C站种.或者 &5一&4=C£ = 5 984 种.・•・不同的取法有5 984种.(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C2O C T5=2 100种.・•・不同的取法有2 100种.⑷选取2名女生有CloC?5种，选取3名女生有&5种，共有选取方式N=C］oC I5+C^5=2 100+455 = 2 555 种.・•・不同的取法有2555种.(5)选取3名的总数有C#5,因此选取方式共有N=Cl5-Cls=6 545-455 = 6 090 种.・•・不同的取法有6 090种.常见的限制条件及解题方法1.特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据.2.含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或釆用间接法求解.3.分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解.［再练一题］2・“抗震救灾，众志成城”，在我国“四川5-12"抗震救灾中，某医院从10名医疗专家屮抽调6名奔赴赈灾前线，其屮这10名医疗专家屮有4名是外科专家•问:（1）抽调的6名专家屮恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？（2）至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？（3）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？【解】（1）分步：首先从4名外科专家中任选2名，有&种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C?种选法，所以共有W=90（种）抽调方法.（2）“至少”的含义是不低于，有两种解答方法.法一（直接法）：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有种选法；②选3名外科专家，共有C；・C?种选法；③选4名外科专家，共有C；・Cg种选法.根据分类加法计数原理，共有Cj-Co+ClCl+Cld=\85（种）抽调方法.法二（间接法）：不考虑是否有外科专家，共有Cfo种选法，考虑选取1名外科专家参加，有种选法；没有外科专家参加，有&种选法，所以共有：Cfo—Cl・C?—&= 185（种）抽调方法.（3）“至多2名”包括“没有” “有1名” “有2名”三种情况，分类解答.①没有外科专家参加，有&种选法；②有1名外科专家参加，有种选法；③有2名外科专家参加，有&・&种选法.所以共有C£+C］・&+W=115（种）抽调方法.［探究共研型］已知平面a//p,在a内有4个点，在0内有6个点.过这10个点探究1中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面?【提示】所作出的平面有三类：①a内1点，0内2点确定的平面，有C1•&个；②a内2点，0内1点确定的平面，有 W个；③cc, 0本身.・・・所作的平面最多有C,d+C糸C：+2 = 98个.探究2上述问题中，以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥?【提示】所作的三棱锥有三类：①a内1点，0内3点确定的三棱锥，有C】•&个；②a内2点，0内2点确定的三棱锥，有&个；③么内3点，p内1 点确定的三棱锥，有&个.・•・最多可作出的三棱锥有C：&+CZ&+&・C2= 194个.探究3上述三棱锥屮最多可以有多少个不同的体积？【提示】・・•等底面积、等高的情况下，三棱锥的体积相等，且平面a//p, ・•・体积不相同的三棱锥最多有&+&+&£?= 114个.卜例国在一个正方体中，各棱、各面对角线和体对角线中，共有多少对异面直线？【精彩点拨】解答本题可用间接法求解，28条线段任取2条的组合中除去不能构成异面直线的情况.或者构造模型，借助三棱锥中有且仅有3对异面直线来解决.【自主解答】法一：一个正方体的棱、面对角线和体对角线共28条•底面、侧面和对角面共12个面，每一个面中，任两条直线都不构成异面直线，8 个顶点中过每个顶点的3条面对角线不能构成异面直线，故共有&8—12&—8& =174对异面直线.法二：因为一个三棱锥的6条棱中有且仅有3对异面直线，而一个正方体的8个顶点中取4个点的取法有Q种，上述12个底面、侧面和对角面每个面的4 个顶点不能构成三棱锥，故一个正方体的8个顶点可构成12 = 58个三棱锥，所以一个正方体中符合题设要求的异面直线共有3-(C S-12)=3X58=174对.几何中的计数问题一般为组合问题，要注意分清“对应关系”，如不共线的三点对应一个三角形，不共面的四点确定一个四面体等.解题时可借助图形帮助思考，并要善于利用几何性质，但要注意共点、共线、共面等特殊情况，避免多算或漏算.［再练一题］3.四面体的一个顶点为从其他顶点和各棱中点屮取3个点，使它们与点力在同一平面上，有多少种不同的取法?【解】如图所示，含顶点/的四面体的3个面上，除点/外每个面都有5 个点，从中取出3点必与点/共面，共有3C?种取法，含顶点/的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法.根据分类加法计数原理，不同的取法有3© + 3 = 33种.［构建•体系］1.楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有（）A. 72 种B. 84 种C・120种 D. 168种【解析】需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有Cfo=12O（种）.故选C.【答案】C2.若从1,2,3,…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A. 60 种B. 63 种C. 65 种D. 66 种【解析】均为奇数时，有d=5种；均为偶数时，有C；=l种；两奇两偶时，有C4-Cl = 60种，共有66种.【答案】D3.由三个3和四个4可以组成________ 个不同的七位数.【解析】在七个位置上选出3个位置放入3,其余放入4,所以有d=d =35个不同的数.【答案】354.在直角坐标平面xOy±,平行直线x=w(w = 0,l,2,…，5)与平行直线尹=如=0丄2,…，5)组成的图形中，矩形共有___________ 个.【导学号：62690015]【解析】在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为&><&=15><15 = 225 个.【答案】2255.在12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3 件.⑴共有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？【解】⑴有倪=220种抽法.(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C：种方法；再从10件正品中抽出2 件有C%种方法，所以共有C2Clo=9O种抽法.(3)法一：分两类，即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与(2)小题类似共有clcio+c^c!o=ioo种抽法.法二(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有C；2种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有Cfo种不合要求，所以共有Ct2-C|o=lOO种抽法.励志我还有这些不足:我的课下提升方案:（1）（2）学业分层测评（建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1.（2016-南宁高二检测）圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形, 则一共可以画的三角形个数为（）A. 720B. 360C. 240D. 120【解析】确定三角形的个数为Cfo=12O・【答案】D2.某电视台连续播放5个广告，其屮有3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告.要求最后必须播放奥运广告，且2个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有（）A. 120 种B. 48 种C. 36 种D. 18 种【解析】最后必须播放奥运广告有C］种，2个奥运广告不能连续播放，倒数第2个广告有C］种，故共有C；C］A； = 36种不同的播放方式.【答案】C3.以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A. 70 个B. 64 个C. 58 个D. 52 个【解析】・・•四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面共12个，・•・共有四面体C R-12=58个.故选C.【答案】C4.（2016-柳州高二检测）将标号为1,2,…，10的10个球放入标号为1,2,…, 10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）A. 120 B・ 240C. 360D. 720【解析】先选出3个球有C?o =120种方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3 号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种.这3个号码放入标号不一致的盒子中有2 种不同的方法，故共有120X2 = 240种方法.【答案】B5.（2016-桂林高二检测）从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A. 28B. 49C・56 D・85【解析】依题意，满足条件的不同选法的种数为&G+Cld=49种.【答案】B二、填空题6.某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是 _________ ・【导学号：62690016]【解析】按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有C U）C5=2 100种抽法.【答案】2 1007.有6名学牛，其中有3名会唱歌，2名会跳舞，1名既会唱歌也会跳舞.现在从中选岀2名会唱歌的，1名会跳舞的去参加文艺演出，则共有选法__________ 种.【解析】CH+C]・C[+&=15种.【答案】158.某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那么共有________ 种不同的选法.【解析】若只有1名队长入选，则选法种数为C：・C：o；若两名队长均入选，则选法种数为Cio,故不同选法有C2-C IO+C IO=714（种）.【答案】714三、解答题9.空间有10个点，其中有5个点共面（除此之外再无4点共面），以每4个点为顶点作一个四面体，问一共可作多少个四面体？【解】不考虑任何限制，10个点可得个四面体.由于有5个点共面，这5个点中的任意4个点都不能构成四面体，共有C?种情形.所以构成四面体的个数为C；o—C? = 21O—5 = 205.10.假设在10件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品.【解】（1）没有次品的抽法就是从7件正品中抽取5件的抽法，共有U = 21（种）.（2），恰有2件次品的抽法就是从7件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2 件的抽法，共有d&=105（种）.（3）至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有两类：第一类，从7件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有种；第二类，从7件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有&&种. 按分类加法计数原理，有&&+&&=126（种）.［能力提升］1.某单位拟安排6位员工在2017年劳动节3天假期值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位员工中的甲不值第一日，乙不值最后一日，则不同的安排方法共有（）【导学号：62690017］A. 30种B. 36种C. 42 种D. 48 种【解析】所有排法减去甲值第一日或乙值最后一日，再加上甲值第一日且乙值最后一日的排法，即有del - 2 X C5C4+C4C3=42（种）排法.【答案】C2•现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法 的种数为（）A. 232B. 252C. 472D. 484【解析】显然该问题是一个组合问题，什么条件也不考虑共有C （6种取法, 同一种颜色共有4&种取法，两张红色卡片共有GCL 种取法，不同的取法有：【答案】C3. 如图1-3-1, A, B, C, D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有 ________ 种.【解析】 四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个 小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求，如桥 AC, BC, BQ 符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥/C, CD, DA, 不符合要求，故共有Cl-4=16种不同的建桥方案.【答案】164. 己知一组曲线尹=如兀3+加+1,其中a 为2,4,6,8中的任意一个,b 为1,3,5,7 中的任意一个.现从这些曲线中任取两条.求它们在兀=1处的切线相互平行的 组数.【解】y' =ax 2 + b,曲线在兀=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行， 则需它们的斜率相等，因此按照在x=l 处切线的斜率的可能取值可分为五类完 成.第一类：a+b=5,则a = 2, b=3; a=4, b=l.故可构成2条曲线，有C 扌组. 第二类：a + b=l,贝']a=2f b=5; <7=4, b = 3; a=6, b=\.可构成三条曲 线，有&组.第三类：a + b = 9,则 a = 2, b = 7; o=4, Z? = 5; Q = 6, b = 3; a = 8, b = 1 •C16 — 4C ； — C4C12 = 16X15X14 6-16-72=472. 图 1-3-1可构成四条曲线，有C；组.第四类：a+b=ll9则Q=4, b = 7; Q =6, b = 5; Q =8,b = 3.可构成三条曲线，有&组.第五类：°+/?=13,则t/=6, b=7; tz = 8, b = 5.可构成两条曲线，有&组. 故共有&+&+&+&+&= 14（组）.。

2013年高中数学 1.2 2排列与组合教案新人教A版选修选修2-3
教学内容背景材料：
义务教育课程标准实验教科书（人教版）二年级上册第八单元的排列与组合
教学目标：
1、通过观察、猜测、操作等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数。

2、经历探索简单事物排列与组合规律的过程。

3、培养学生有顺序地全面地思考问题的意识。

4、感受数学与生活的紧密联系，激发学生学好数学的信心。

教学重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程
教学难点：初步理解简单事物排列与组合的不同
教具准备：教学课件
学具准备：每生准备3张数字卡片，学具袋
教学过程：
能写出几个两位数？问题刚说完小
个，小狗说
学生活动教师巡视。

同学写出的个数不同，怎样
力、情感。

2
小熊、小猪一共握几次手？怎样握？
的同与不同，师：刚才我们帮森林学校的小动物们
直夸同学们聪明呢！通过解决这两个
？
计一下共有多少种穿法。

如果需要的。