广东省2019届高三数学文一轮复习典型题专项训练：不等式

2019 高三数学名校试题汇编专题 07 不等式一．基础题1. 【广东省华附、省实、广雅、深中2013 届高三上学期期末四校联考】不等式2x57建立旳一个必需不充足条件是(A) x 1 (B)x6(C) x1或x6(D) x 0【答案】 D【分析】 2x 57 x1或x6.选D.2.【安徽省 2013 届高三开年第一考文】 已知 a 0, b 0, a,b 旳等比中项是 1，且mb1，a1，则mn 旳最小值是（）n abA ．3B ．4C ．5D ．63. 【广东省肇庆市中小学教课质量评估 2012— 2013 学年第一学期一致检测题】 已知变量 x, y 知足拘束条件x y1，则 z 2x 3y 旳取值范围是（ ）x 1 0x y 1A.[ 8,4]B.[ 8,2]C.[ 4,2]D.[4,8]4. 【安徽省皖南八校 2013 届高三第二次联考】已知变量 x,y 知足条件x 1，则 z 2x y 旳最小值是y2x y【答案】 C【分析】数形联合可知，当 x 1, y1时，z2 x y 取最小值 35. 【惠州市2013届高三第三 次 调 研 考 试 】 已 知 x ，y知足拘束条件x y 5 0x y，则 z 2x 4 y 旳最小值为（）y 0A ． 14B ．15C ．16D． 176. [2012-2013 学年河南省中原名校高三 （上） 第三次联考 ] 已知实数 x ，y 知足假如目标函数A ．z=x ﹣y 旳最小值为﹣7 B ．1，则实数 m 等于（5 C ．）4 D ．37. 【 2012-2013 学年江西省南昌市调研考试】若存在实数 x [2, 4] 使x22x 5 m成立，则 m 旳取值范围为 ( )A.(13, )B.(5,) C. (4,)D.(,13)【答案】 B5有解，则m [ x 2x【分析】 x22x 5 m 0有解m x2 2x5]min 528. 【四川省成都市 2013 届高中毕业班第一次诊疗性检测】当 x>1 时，旳最小值为 __________.【答案】 22【分析】 此题考察均值不等式旳运用， 原式 = 2log 2x1 x2 2 ，仅 log 2x2时取等号 .log 229. 【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】已知 a b ，且 ab 1，则 22 旳最小值是 . a b a b10.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】 不等式 x 3x 1 a对任意实数 x 恒建立，则实数 a 旳取值范围是（）A.[1,3]B.[ 1,3]C.( ,4] D.[4, )11.【北京市海淀区北师特学校2013 届高三第四次月考】 已知实数对 ( x, y ) 知足 x2y 1x y 0则 2x y 旳最小值是 ___ ______ ．【答案】 3【分析】做出可行域如图，设 z2x y ，则 y 2x z ，做直线y2x ，平移直线由图象知当直线 y2xz 经过点 C 时，直线 y2xz 旳截距最小，由 y 1 ，得x 1 ，即C (1,1)，代入z2x y得最小值为z 2xy 3.y xy 112. 【广东省肇庆市中小学教课质量评估 2012— 2013 学年第一学期一致检测题】不等式 3 |5 2x |9 旳解集是.13【. 2012-2013 学年云南省昆明市高三 （上）摸底调研测试】 变量 x ，y 知足条件 ，则 2x ﹣ y 旳最大值为．【分析】知足条件 旳可知域以以下图所示：∵目标函数为z=2x﹣ y，且 z O=0， z A= ， z B=﹣ 1，故 2x﹣y 旳最大值为故答案为：14.【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】已知 z=2x +y，x，y 知足y x,x y 2,x a, 且 z 旳最大值是最小值旳 4 倍，则 a 旳值是．15. 【北京市海淀区北师特学校2013 届高三第四次月考】已知正数a、b知足2a b 10, 则1 2 旳最小值为．a b【答案】 4516.[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]（ 5 分）关于 0≤a ＜1 旳实数 a，当 x， y 知足时，z=x+y（）A．只有最大值，没有最小值B．只有最小值，没有最大值C．既有最小值也有最大值D．既没有最小值也没有最大值【答案】 C【分析】因为x﹣ay=2 是恒过（ 2， 0）点旳直线系，因此x， y 知足，旳可行域如图：是三角形ABC旳地区，当目标函数经过可行域旳 B 点时，目标函数确立最小值；目标函数经过可行域旳 A 点时，目标函数确立最大值．应选 C．二．能力题1. 【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】设 O 为坐标原点， M 1,2 ，若N x, y 知足 2 x y4 0，则OM ON 旳最大值为x y2 0A ． 4 B． 6C． 8D． 10【答案】 B【分析】可行域以下图， OM ONx 2 y, 明显过点 A 时获得最大值，2x y4 0, A( 2 , 8), 则 旳最大值为 28OM ON3 2 6.x y2 03 33yAO x2. 【 2012-2013 学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】设x ， y ∈ R ， a ＞ 1， b ＞ 1，若a x =b y =2，，则 旳最大值为（ ）A ． 3B ．C ． 4D ．3. 【 2012-2013 学年四川省成都市高新区高三（上）一致检测】 x 是实数，则以下不等式恒建立旳是（）A ．x 2+4＞ 4xB ．C ． lg （ x 2+1）＞lg （ 2x ）D ． x 2+1＞ x【答案】 D【分析】因为 x 2﹣ 4x+4=（ x ﹣ 2） 2≥0，故 A 不恒建立．因为≤1，故 B 不恒建立．因为 x 2+1≥2x ，故 lg （ x 2+1）≥ lg （ 2x ），故 C 不恒建立．因为 x 2﹣ x+1=+ ＞ 0，故 x 2+1＞ x 恒建立，应选 D ．4. 【广州市 2013 届高三年级 1 月调研测试】 在 R 上定义运算: x yx(1 y). 若对任意 x 2 ，不等式 xaxa2 都建立，则实数 a 旳取值范围是A ．B ．, 3C ．, 7D ．, 17,1, 7【答案】 C【 解 析 】 由 题 意 得 ( x - a) ? x (x - a)(1- x)， 故 不 等 式( x - a) ? x,a2 化 为( x - a)(1- x), a + 2 ，化简得 x (a 1)x2a2 0，2故原题等价于 x 2( a1)x 2a 2 0在(2,) 上恒建立，由二次函数 f (x)x (a 1)x 2a2 图象，其对称轴为a1 ，议论得2x2a 1 或a 1 ，解得 a, 3或3 a, 7，2 , 2 2 2f (2) 0a 1f ()2综上可得 a , 75【. 河南省三门峡市 2013 届高三第一次大练习】 设实数 x ，y 知足拘束条件2 x y 2 0 ，8x y 4 0 x 0y若目标函数 z abx y （ a ＞ 0， b ＞ 0）旳最大值为 8，则 a b 旳最小值为.6. 【 2012-2013 学年四川省成都市高新区高三（上）一致检测】已知﹣1≤x+y≤4且 2≤x﹣y≤3，则z=2x2 +2y2旳最小值（）A．B．4C．D． 2【答案】 B【分析】知足﹣ 1≤x+y≤4且 2≤x﹣y≤3旳可行域以以下图所示：2 2故 OP最小时， z 取最小值∵O点到可行域内近来旳点旳距离即为O点到直线x﹣y﹣ 2=0 旳距离 d又∵ d==∴z旳最小值为 4应选 B7. 【山东省泰安市2013 届高三上学期期末考试】不等式组y x 2 所表示旳平面地区旳面积y x 1y 0为B. 1C. 1D. 12 3 48. 【 2013 安徽省省级示范高中名校高三联考】三个实数 a ， b ， c 成等比数列，且 a ＋b ＋ c＝3，则 b 旳取值范围是（）A 、[ 1,0)B 、(0,1]C 、[ 1,0) ∪(0,3]D 、[ 3,0) ∪(0,1]【答案】 D9.【 2013 安徽省省级示范高中名校高三联考】设 D 是不等式组x y 1 0 表示旳平面区y 1 0x y1 0域，则 D 中旳点 P （x,y ）到直线 xy ＝ 1 距离旳最小值是（）2A 、3 5B 、4 5C 、 5D 、6 555 5【答案】 A【分析】绘图确立可行域，进而确立( 1,0) 到直线 x距离旳最小值为y 1 3 5 .2510.【 2013 年乌鲁木齐地域高三年级第一次诊疗性测试试卷】设平面地区 D 是由双曲线旳两条渐近线和抛物线 y2 =-8x旳准线所围成旳三角形 ( 含界限与内部） . 若点（ x ， y) ∈ D, 则x + y 旳最小值为A. -1B.0C. 111.[ 安徽省宣城市 6 校 2013 届高三联合测评考] 三个正数 a,b,c知足a b c2a，ba c2b ，则 b 旳取值范围是（）aA ． 2 3B ． 2C ．3 D ．[1,2][,] [ , 2][1,]3 2 32【答案】 A【分析】∵ a 0,由 a b c2a, 得1b c ,a a2由 b a cb c b 设 b c , 则有 1x y 2 , 其可行域如图 :2b 得12 . x, yx 1 yaaaaa1 y 2x此中A (21), B ( 3 1 )，∴xb ［2, 3］.3 ,3 2 ,a3 2212. 【 安 徽 省 皖 南 八 校 2013届 高 三 第 二 次 联 考 】 设 命 题 p:4x 3y12 0 (x, y, k R, 且k0)k x 0x 3 y 12命题q：( x 3) y 25 ( x, y R) , 若 P 是 q 旳充足不用要条件, 则 k 旳取值范围是（）2 2A（ 0,3] B. (0,6] C. (0,5] D. [1,6]13.[2012-2013学年河南省中原名校高三（上）第三次联考] （ 5 分）若第一象限内旳点 A （x， y）落在经过点（6，﹣ 2）且方向向量为旳直线l上，则t=有（）A．最大值1B．最大值C．最小值D．最小值 1【答案】 A【分析】由题意可得直线l 旳斜率为﹣，故直线l 旳方程为y+2= ﹣（x﹣6），即 y=2 ﹣x ，即 2x+3y=6 ．∵点 A（ x，y）在第一象限内， x，y＞ 0，∴6=2x+3y≥2，∴xy≤．∴t====≤1，故 t 旳最大值等于 1，应选 A．14. 【北京市东城区2012-2013 学年度第一学期期末教课一致检测】已知x，y知足不等式组当3 s 5时，目标函数z 3x 2y旳最大值旳变化范围是x 0,y0,x y s,y2x 4.（A）[6,15]（B）[7,15]（C）[6,8]（D）[7,8]15. 【安徽省2013 届高三开年第一考】若实数x,y 知足不等式组，则y ln x2x 3 y 6 0x 2y 4 0 y 2 旳取值范围是zx16. 【北京市东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教课一致检测】某种饮料分两次抬价，抬价方案有两种，方案甲：第一次抬价 p% , 第二次抬价 q% ；方案乙：每次都抬价 p q ，若 p q0 ，则抬价多旳方案是.2 %【答案】乙【分析】设原价为 1，则抬价后旳价钱 : 方案甲： (1p%)(1 q%) , 乙：p q 2 ，(1%)2因为 (1 p%)(1 q%)1 p% 1 q%1 pq % ，因为p q0 ，因此2 22q % ，即，因此抬价(1 p%)(1 q%)1 p (1 p%)(1q%)(1p q %) 222多旳方案是乙 .三．拔高题1. 【北京市东城区2012-2013 学年度第一学期期末教课一致检测】（本小题共14 分）已知实数构成旳数组( x1, x2 , x3, , x n )知足条件：① n ；② n .x i 0 x i 1i 1 i 1( Ⅰ ) 当n 2 时，求x1 ， x2 旳值；（Ⅱ）当n 3 时，求证：3x1 2x2 x3 1；（Ⅲ）设a1 a2 a3 a n ,且a1 a n ( n 2)，求证：n1 .a i x i (a1 a n )i 1 2 （Ⅱ）证明：当n 3 时，由已知x1x2x30 ,x1x2x3 =1.因此3x12x2x3x12( x1x2x3 )x3x1x3x x1.9 分1 32. 【 2012-2013学年江西省南昌市调研考试】列车加速能够提升铁路运输量前后两车必需保持一个“安全间隔距离d( 千米 ) ”，“安全间隔距离. 列车运转时，d( 千米 ) ”与列车旳速度 v( 千米 / 小时 ) 旳平方成正比（比列系数k= 1 ）. 假定全部旳列车长度l 均为0.4 千米，4000最大速度均为v（千米/ 小时）列车车速多大时，单位时间流量Q= v 最大？l d3. 【湖北省黄冈市2012 年秋天2013 届高三年级期末考试】（本小题满分14 分）已知函数 f (x) ＝ x2－ ax，g（ x）＝ lnx（ I ）若 f （ x）≥ g(x) 关于定义域内旳随意x 恒建立，务实数 a 旳取值范围；（ II ）设h(x) = f (x) +g(x) 有两个极值点x1，x2，且，求证： h （ x 1）一 h(x 2）＞ 3 一 1n2.4（ III)设 r(x)=f(x) ＋1 ax 关于随意旳 a (1,2) ，总存在1 ，使不等式g(2 )x 0[ ,1]2r(x) ＞ k （1 一 a 2）建立，务实数 k 旳取值范围．（Ⅰ） f (x)g( x),a xln x 0)( xx 2 x设 ( x)x ln x , '(x) ln x 14 分x x 2当 时当 x (1, ) 时 , '(x) 0x (0,1) , '(x) 0,( x) (1) 1, a ( ,1]一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一。

2019届广东省东莞市高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷）数学（文）试题一、单选题1．已知集合2{|20},{|13},A x x x B x x =-<=<<则AB =（ ）A ．()01，B ．()12，C ．()23，D ．()03，【答案】B【解析】先求出集合A ，再根据集合交集的定义求出A B 即可.【详解】集合2{|20}{|02}A x x x x x =-<=<<，且{|13}B x x =<< 所以A B ={|12}x x <<故选：B 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，以及求两个集合的交集，属于基础题． 2．已知a 为实数，若复数()()12a i i +-为纯虚数，则a =（ ） A ．12-B ．2C ．12D ．2-【答案】D【解析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可． 【详解】()()12a i i +-＝()212a a i ++-，∵复数是纯虚数，∴20a +=且120a -≠得2a =-且a ≠12，即2a =-， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题．3．如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中ABC ∆为直角三角形，四边形DEFC 为它的内接正方形，已知2BC =，4AC =，在ABC ∆上任取一点，则此点取自正方形DEFC 的概率为（ ）A ．19B ．29C ．49D ．59【答案】C【解析】由图形，结合已知条件，得DE ∥BC ，则AD DE AC CB =，设CD x =，即4=42x x-，解得x ＝43，由几何概型中的面积比可得． 【详解】由图形得，ABC ∆为直角三角形，四边形DEFC 为它的内接正方形，已知2BC =，4AC =，设CD ＝x ，由DE ∥BC 则有AD DE AC CB =，即442x x-=，解得x ＝43， 设在△ABC 上任取一点，则此点取自正方形DEFC 为事件A ，由几何概型中的面积比得：P （A ）＝S S ∆正方体＝244319422⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯⨯. 故选：C ． 【点睛】本题考查了相似比及几何概型中的面积型，属于中档题．4．已知非零向量,m n 满足4n m =，且()2m n m ⊥+，则,m n 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】D【解析】根据()2m n m ⊥+，得()2m n 0m ⋅+=，再根据4n m =进行数量积的运算即可求出cos ,m n <>的值，根据向量夹角的范围即可求出夹角． 【详解】∵4n m =，且()2m n m ⊥+；∴22(2)22||||||cos ,0m m n m m n m m n m n ⋅+=+⋅=+<>=，且||0,||0m n ≠≠；∴2|m ||n |cos m,n 0+<>=；∴cos ,m n <>2||12||m n =-=-；又0,m n π<>；∴2,3m n π<>=．故选：D ． 【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的范围，属于基础题．5．已知椭圆C ：()222124x y a a +=>，直线:2l y x =-过C 的一个焦点，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．13C ．2D ．3【答案】C【解析】直线:2l y x =-过C 的一个焦点，得2c =，利用椭圆的性质求出a ，解出离心率即可． 【详解】椭圆C ：()222124x y a a +=>，直线:2l y x =-过椭圆C 的一个焦点，可得2c =，则a ==，所以椭圆的离心率为：2c e a ===． 故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．6．己知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(]0-∞，为增函数，且()30f =，则不等式()1?20f x ->的解集为（ ） A ．()10-，B ．()12-，C ．()02，D ．()2，+∞ 【答案】B【解析】结合函数的奇偶性与单调性得f （x ）在[0，+∞）上为减函数，由f （3）＝0，可得f （1﹣2x ）＞0⇒f （1﹣2x ）＞f （3）⇒|1﹣2x|＜3，解得x 的取值范围即可． 【详解】根据题意，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数， 所以函数f （x ）在[0，+∞）上为减函数，由f （3）＝0，则不等式f （1﹣2x ）＞0⇒f （1﹣2x ）＞f （3）⇒|1﹣2x|＜3， 解可得：﹣1＜x ＜2，即不等式的解集为（﹣1，2）. 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 7．若曲线x y e =在0x =处的切线与ln y x b =+的切线相同，则b =（ ） A ．2 B ．1 C ．1-D ．e【答案】A【解析】求出xy e =的导数，得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线ln y x b =+相切的切点为（m ，n ），得ln y x b =+的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得m ，n ，进而得到b 的值． 【详解】函数xy e =的导数为y '＝e x ，曲线xy e =在x ＝0处的切线斜率为k ＝0e =1， 则曲线x y e =在x ＝0处的切线方程为y ﹣1＝x ； 函数ln y x b =+的导数为y '＝1x ，设切点为（m ，n ），则1m＝1，解得m ＝1，n ＝2， 即有2＝ln1+b ，解得b ＝2． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求切线方程，属于基础题．8．执行如图的程序框图，依次输入123451719202123x x x x x =====，，，，，则输出的S 值及其意义分别是（ ）A ．4S =，即5个数据的方差为4B ．4S =，即5个数据的标准差为4C ．20S =，即5个数据的方差为20D ．20S =，即5个数据的标准差为20 【答案】A【解析】根据程序框图，输出的S 是123451719202123x x x x x =====，，，，这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可． 【详解】根据程序框图，输出的S 是123451719202123x x x x x =====，，，，这5个数据的方差，∵15x =（17+19+20+21+23）＝20， ∴由方差的公式得S ＝15[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4． 故选：A ． 【点睛】本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．9．在长方体1111-ABCD A B C D 中，2AB =，2BC =122CC =M 为1AA 的中点，则异面直线AC 与1B M 所成角的余弦值为（ ） A ．66B ．23C ．34D ．223【答案】B【解析】以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC 与B 1M 所成角的余弦值． 【详解】以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0),(0, 2,0),A C(2,2,22),(2,0,2)B M ,∴1AC (2,2,0),B M (0,2,2)=-=-- ，设异面直线AC 与B 1M 所成角为θ， 则112cos 366||AC B AC B MM θ⋅===⋅⋅．∴异面直线AC 与B 1M 所成角的余弦值为23．故选：B ．【点睛】本题考查了用向量法求异面直线所成角的余弦值，属于基础题．10．如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．253πB ．263πC ．223πD ．233π【答案】A【解析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为球的组合体，是半径为2的球的34与半径为1的球的14，再由球的体积公式计算即可． 【详解】由三视图还原原几何体，如图所示，可知原几何体为组合体，是半径为2的球的34与半径为1的球的14， 其球的组合体的体积33341425V 2143433πππ=⨯⨯+⨯⨯= . 故选：A ．【点睛】本题考查了三视图还原原几何体的图形，求球的组合体的体积，属于中档题． 11．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 340a a B B -++=，7b =ABC △的面积为A ．2B 2C ．23D 3【答案】C【解析】由二次方程有解，结合三角函数性质可得只有△0=，此时可求B ，进而可求a ，然后结合余弦定理可求c ，代入1sin 2ABC S ac B ∆=可求． 【详解】把22(sin 3)40a a B B -++=看成关于a 的二次方程， 则2224(sin 3)164(323cos 4)B B sin B cos B B B =-=++- 24(223cos 3)4(cos 2322)cos B B B B B =+-=-4[2sin(2)2]06B π=+-，故若使得方程有解，则只有△0=，此时6B π=，b =代入方程可得，2440a a -+=， 2a ∴=，由余弦定理可得，2428cos3022c c+-︒=⨯，解可得，c =∴111sin 2222ABC S ac B ∆==⨯⨯=．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的存在条件的灵活应用及同角平方关系，二倍角公式，辅助角公式及余弦定理的综合应用，属于中档试题．12．已知函数()2xf x e ax =-，对任意10x <，20x <，都有()()()()21210x x f x f x --<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．,02e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．0,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实数a 的取值范围即可． 【详解】由题意可知函数f （x ）是（﹣∞，0）上的单调递减函数，且当x ＜0时，2()xf x eax -=-，121()20x x xaxe f x ax e e '+=--=-，可得：2axe x+1≥0，即12e x a x - 恒成立， 令g （x ）＝xe x （x ＜0），则g'（x ）＝e x （x+1），据此可得函数g （x ）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减，在区间（﹣1，0）上单调递增，函数g （x ）的最小值为1(1)g e -=，则min 122x e xe -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， 可得：实数a 的取值范围是e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故选：D ． 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，恒成立问题的处理方法等知识，属于中档题．二、填空题13．已知实数,x y 满足约束条件21052x y x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩，则3z x y =-的最大值是____.【答案】11【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 【详解】由3z x y =-得1133y x z =-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线1133y x z =-，由图象可知当直线1133y x z =-经过点A 时，直线1133y x z =-的截距最小，此时z 最大，由2105x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得A （2，﹣3）．代入目标函数3z x y =-，得z ＝2﹣3×（﹣3）＝11 故答案为：11．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法，属于基础题． 14．设为第二象限角，若，则=______．【答案】【解析】由可得，进而由，结合为第二象限角即可得解. 【详解】.由，结合为第二象限角，，可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了两角和差的正切展开及同角三角函数关系，属于基础题. 15．已知F 为抛物线C ：24x y =的焦点，直线112y x =+与曲线C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB S ∆=________.5【解析】联立直线与抛物线，根据弦长公式以及点到直线的距离可得三角形的面积． 【详解】联立24112x y y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2240x x --=，设()()1212A ,,B ,y x y x ，则12122,4x x x x +==-，则||AB|＝()221212114141654k x x x x =++-=++=， 点O 到直线112y x =+的距离AB 251125d S |AB |d 55221514O ∆===∴=⨯=⨯=+． 5【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，属于中档题．16．已知四棱锥S ABCD -的正方形，且四棱锥S ABCD -的顶点都在半径为2的球面上，则四棱锥S ABCD -体积的最大值为__________. 【答案】6.【解析】四棱锥的底面面积已经恒定，只有高不确定，只有当定点的射影为正方形ABCD 的中心M 时，高最大，从而使得体积最大.则利用球体的性质，求出高的最大值，即可求出最大体积. 【详解】因为球心O 在平面ABCD 的射影为正方形ABCD 的中心M ，，12AC MC AC ∴===则在Rt OMC ∆中，1,OM ==所以四棱锥S ABCD -的高的最大值为OM R +=3，此时四棱锥S ABCD -体积的为21363⨯⨯=【点睛】主要考查了空间几何体体积最值问题，属于中档题.这类型题主要有两个方向的解决思路，一方面可以从几何体的性质出发，寻找最值的先决条件，从而求出最值；另一方面运用函数的思想，通过建立关于体积的函数，求出其最值，即可得到体积的最值.三、解答题17．设{}n a 是单调递增的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知313S =，且13a +，23a ，35a +构成等差数列．（1）求n a 及n S ；（2）是否存在常数λ．使得数列{}n S λ+是等比数列?若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）13-=n n a ，312n n S -=（2）存在常数12λ=．使得数列12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，详见解析【解析】（1）根据已知得到方程组，解方程组得q 的值，即得n a 及n S ；（2）假设存在常数λ．使得数列{}n S λ+是等比数列，由题得()()()24113λλλ+=+⋅+，解之即得λ，检验即得解.【详解】 （1）由题意得1232131368a a a a a a ++=⎧⎨=++⎩∴23a =， 1310a a += ∴3310q q +=， 解得3q =或13q =（舍） 所以2123--==n n n a a q，()11331132n n nS ⨯--==- .（2）假设存在常数λ．使得数列{}n S λ+是等比数列， 因为11S λλ+=+，24S λλ+=+，313S λλ+=+， 所以()()()24113λλλ+=+⋅+，解得12λ=， 此时1322nn S += 11132231322nn n n S S --+==+()2n ≥， ∴存在常数12λ=．使得数列12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为11322a +=，公比为3等比数列 ． 【点睛】本题主要考查等比数列的通项的求法，考查等比数列的前n 项和的求法，考查等比数列的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．如图，在四边形ABDE 中，//AB DE ，AB BE ⊥，点C 在AB 上，且AB CD ⊥，2AC BC CD ===，现将ACD 沿CD 折起，使点A 到达点P 的位置，且PE 22=.（1）求证：平面PBC ⊥平面DEBC ； （2）求三棱锥P EBC -的体积.【答案】（1）见解析； （2）233. 【解析】（1）根据折叠前后关系得PC ⊥CD ，根据平几知识得BE//CD ，即得PC ⊥BE ，再利用线面垂直判定定理得EB ⊥平面PBC ，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据线面垂直EB ⊥平面PBC 得高，再根据等积法以及三棱锥体积公式得结果. 【详解】（1）证明：∵AB ⊥BE ，AB ⊥CD ，∴BE//CD ， ∵AC ⊥CD ，∴PC ⊥CD ，∴PC ⊥BE ， 又BC ⊥BE ，PC∩BC=C ， ∴EB ⊥平面PBC ，又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ； （2）解法1：∵AB//DE ，结合CD//EB 得BE=CD=2， 由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB ⊥PB ，由PE 22=得222PB PE EB =-=,∴△PBC 为等边三角形， ∴23234PBC S ∆=⨯=, ∴113233P EBC E PBC PBC V V S EB --∆==⋅=⨯⨯ 23=. 解法2：∵AB//DE ，结合CD//EB 得BE=CD=2， 由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB ⊥PB ，由PE 22=， 得222PB PE EB =-=, ∴△PBC 为等边三角形，取BC 的中点O ，连结OP ，则3PO =,∵PO ⊥BC ，∴PO ⊥平面EBCD ，∴211123332P EBC EBC V S PO -∆=⋅=⨯⨯⨯ 233=.【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19．工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y 有关，具体见下表.（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y 都在[]9.8?10.2，内的概率； （3）已知该厂产品的维护费用为300元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？ 【答案】（1）1007．；（2）15；（3）该服务值得购买 【解析】（1）由样本数据能估计该厂产品的质量指标Y 的平均值指标．（2）由分层抽样法知，先抽取的件产品中，指标Y 在[9.8，10.2]内的有3件，记为A 1，A 2，A 3，指标Y 在（10.2，10.6]内的有2件，记为B 1，B 2，指标Y 在[9.4，9.8）内的有1件，记为C ，从6件产品中，随机抽取2件产品，共有基本事件15个，由此能求出指标Y 都在[9.8，10.2]内的概率．（3）不妨设每件产品的售价为x 元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x 元，其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，由此能求出结果． 【详解】（1）指标Y 的平均值＝13296101041007666⨯+⨯+⨯≈．．． （2）由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标Y 在[9.4，9.8）内的有3件，记为123A A A 、、；指标Y 在（10.2，10.6]内的有2件，记为12B B 、：指标Y 在[9.4，9.8）内的有1件，记为C ．从6件产品中随机抽取2件产品，共有基本事件15个()12,A A 、()13,A A 、()11,A B 、()12,A B 、()1,A C 、()23,A A 、()21,A B 、()22,A B 、()2,A C 、()31,A B 、()32,A B 、()3,A C 、()12,B B 、()1,B C 、()2,B C .其中，指标Y 都在[]9.8,10.2内的基本事件有3个：()12,A A 、()13,A A 、()23,A A 所以由古典概型可知，2件产品的指标Y 都在[]9.8,10.2内的概率为31155P ==. （3）不妨设每件产品的售价为x 元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x 元．其中有16件产品一年内的维护费用为300元／件，有8件产品一年内的维护费用为600元／件，此时平均每件产品的消费费用为()14816300860020048x x η⨯+⨯+⨯=+=元； 假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为()48100x +元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出83002400⨯=元，平均每件产品的消费费用()100814843001508x x ξ+=⨯⨯+=+元. 所以该服务值得消费者购买. 【点睛】本题考查平均值、概率、平均每件产品的消费费用的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．20．已知过点()4,0D 的直线l 与椭圆22:14x C y +=交于不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其中120y y ≠，O 为坐标原点.（1）若10x =，求OAB ∆的面积；（2）在x 轴上是否存在定点T ，使得直线TA 与TB 的斜率互为相反数.【答案】（1）45（2）在x 轴上存在定点(1,0)T ，使得直线TA 与TB 的斜率互为相反数. 【解析】（1）由题意不妨设点A(0,1),写出直线AB 方程，与椭圆方程联立，得点B 坐标，根据面积公式即可得结果；（2）设过点D 的直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理0TA TB k k +=化简，即可得到定点T 的坐标. 【详解】(1)当10x =时，()0,1A 或()0,1A -，由对称性，不妨令()0,1A ，此时直线l ：440x y +-=，联立2244044x y x y +-=⎧⎨+=⎩，消去x 整理得25830y y -+=， 解得11y =，285y =， 故83,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以OAB ∆的面积为1841255⨯⨯=. （2）显然直线l 的斜率不为0，设直线l ：4x my =+，联立22444x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 整理得()2248120m y my +++= 所以()226441240m m ∆=-⨯+>，即212m >，12284m y y m +=-+，122124y y m =+， 设(),0T t ，则()()()()1221121212TA TB y x t y x t y yk k x t x t x t x t -+-+=+=---- ()()()()12121224my y t y y x t x t +-+=--因为直线TA 与TB 的斜率互为相反数，所以0TA TB k k +=， 即()()()()12122228112824240444m t mmy y t y y m t m m m -+-+=⋅+-⋅==+++， 故1t =，故在x 轴上存在定点()1,0T ，使得直线TA 与TB 的斜率互为相反数. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21．已知2()(1)(1),[1,)x f x x e a x x =--+∈+∞. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()2ln f x a x ≥-+，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12e a -≤. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数的解析式可得()'2xf x xe ax =- ()2xx e a =-，当2ea ≤时，()'0f x ≥，()f x 在[)1,+∞上单调递增；当2ea >时，由导函数的符号可知()f x 在()()1,2ln a 单调递减；在()()2,ln a +∞单调递增.（Ⅱ）构造函数()()()211xg x x e a x lnx =----，问题转化为()0g x ≥在[)1,x ∈+∞上恒成立，求导有()1'2xg x xe ax x =--，注意到()10g =.分类讨论：当12e a ->时，不满足题意. 当12e a -≤时，()'0g x >，()g x 在[)1,+∞上单调递增；所以()()10g x g ≥=，满足题意.则实数a 的取值范围是12e a -≤. 试题解析：（Ⅰ）()'2xf x xe ax =- ()2xx e a =-，当2ea ≤时，[)1,x ∈+∞，()'0f x ≥.∴()f x 在[)1,+∞上单调递增； 当2ea >时，由()'0f x =，得()2x ln a =.当()()1,2x ln a ∈时，()'0f x <；当()()2,x ln a ∈+∞时，()'0f x >. 所以()f x 在()()1,2ln a 单调递减；在()()2,ln a +∞单调递增. （Ⅱ）令()()()211xg x x e a x lnx =----，问题转化为()0g x ≥在[)1,x ∈+∞上恒成立， ()1'2x g x xe ax x=--，注意到()10g =. 当12e a ->时，()'1210g e a =--<， ()()()()1'212121g ln a ln a ln a +=+-+，因为21a e +>，所以()211ln a +>，()()'210g ln a +>， 所以存在()()01,21x ln a ∈+，使()0'0g x =， 当()01,x x ∈时，()'0g x <，()g x 递减， 所以()()10g x g <=，不满足题意.当12e a -≤时，()()1'1x g x xe e x x ≥--- ()11xx e e x⎡⎤=---⎣⎦， 当1x >时，()11xx e e ⎡⎤-->⎣⎦，101x<<， 所以()'0g x >，()g x 在[)1,+∞上单调递增；所以()()10g x g ≥=，满足题意. 综上所述：12e a -≤. 22．在直角坐标系xOy 中，直线1:2l x =，曲线2cos :22sin x C y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）.以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为(3,)6π. （1）求直线1l 和曲线C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，已知射线2:(0)2l πθαα=<<与1l ,C 的公共点分别为A ,B ，且OA OB ⋅=MOB ∆的面积．【答案】（1）直线1l ： cos 2ρθ=；曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=；（2. 【解析】（1）先根据22sin cos 1φφ+=，把曲线C 化为普通方程，再利用互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=，把直线2x =和曲线C 化为极坐标方程；（2）联立极坐标方程，并利用极径的几何意义，根据三角形面积公式可得． 【详解】 解：（1）∵cos {sin x y ρθρθ==，∴直线2x =的极坐标方程是cos 2ρθ=，曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=，即2240x y y +-=. 所以曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（2）将θα=分别代入cos 2ρθ=，4sin ρθ=得：2cos A OA ρα==，4sin B OB ρα==.∴8tan OA OB α⋅==∴tan α=. ∵02πα<<，∴3πα=.∴OB =3OM =，6MOB π∠=.所以1sin 2MOB S OM OB MOB ∆=∠11322=⨯⨯=即AOB ∆ 【点睛】本题考查了曲线的参数方程转化为普通方程，再转化为极坐标方程，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的解题的关键.23．已知函数()()22R f x x a x a =-+-∈． （1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集； （2）若[]2,1x ∈-时不等式()32f x x ≤-成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2{|3x x <或()4cos(2)6f x x π=-；（2）空集. 【解析】（1）通过零点法，分类讨论，去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集． （2）当[2,1]x ∈-时，220x -<，化简()22f x x a x =-+-，由()32f x x ≤-得1x a -≤，即11a x a -≤≤+，推出结果即可．【详解】解：（1）不等式()2f x >，即2222x x -+->.可得22222x x x ≥⎧⎨-+->⎩，或122222x x x <<⎧⎨-+->⎩或12222x x x ≤⎧⎨--+>⎩，解得23x <或2x >，所以不等式的解集为2{|2}3x x x <>或.（2）当[2,1]x ∈-时，220x -<，所以()22f x x a x =-+-， 由()32f x x ≤-得1x a -≤，即11a x a -≤≤+，则1211a a -≤-⎧⎨+≥⎩，该不等式无解，所以实数a的取值范围是空集（或者 ）.【点睛】本题考查不等式的解法，恒成立条件的转化，考查计算能力．。

东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷）文科数学试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2{|20},{|13},A x x x B x x =-<=<<则AB =（ ）A. ()01，B. ()12，C. ()23，D. ()03，【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ，再根据集合交集的定义求出A B 即可.【详解】集合2{|20}{|02}A x x x x x =-<=<<，且{|13}B x x =<< 所以A B ={|12}x x <<故选：B【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，以及求两个集合的交集，属于基础题．2.已知a 为实数，若复数()()12a i i +-为纯虚数，则a =（ ） A. 12-B. 2C.12D. 2-【答案】D 【解析】【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．【详解】()()12a i i +-＝()212a a i ++-，∵复数是纯虚数，∴20a +=且120a -≠ 得2a =-且a ≠12，即2a =-， 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题．3.如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中ABC ∆为直角三角形，四边形DEFC 为它的内接正方形，已知2BC =，4AC =，在ABC ∆上任取一点，则此点取自正方形DEFC 的概率为（ ）A.19B.29C.49D.59【答案】C 【解析】 【分析】由图形，结合已知条件，得DE ∥BC ，则AD DE AC CB =，设CD x =，即4=42x x-，解得x ＝43，由几何概型中的面积比可得．【详解】由图形得，ABC ∆为直角三角形，四边形DEFC 为它的内接正方形，已知2BC =，4AC =， 设CD ＝x ，由DE ∥BC 则有AD DE AC CB =，即442x x-=，解得x ＝43， 设在△ABC 上任取一点，则此点取自正方形DEFC 为事件A ，由几何概型中的面积比得：P （A ）＝S S ∆正方体＝244319422⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯⨯. 故选：C ．【点睛】本题考查了相似比及几何概型中的面积型，属于中档题．4.已知非零向量,m n 满足4n m =，且()2m n m ⊥+，则,m n 的夹角为（ ） A.6π B.3π C.2π D.23π 【答案】D 【解析】 【分析】根据()2m m n ⊥+，得()20m m n ⋅+=，再根据4n m =进行数量积的运算即可求出cos ,m n 的值，根据向量夹角的范围即可求出夹角．【详解】∵4n m =，且()2m m n ⊥+；∴()22222||cos ,0m m n m m n m m n m n ⋅+=+⋅=+=，且0,0m n ≠≠；∴2m n cos m,n 0+=；∴21cos ,2mm n n =-=-；又0,m n π≤…；∴2,3m n π=． 故选：D ．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的范围，属于基础题．5.已知椭圆C ：()222124x y a a +=>，直线:2l yx =-过C 的一个焦点，则C 的离心率为（ ）A.12B.13C.2D.3【答案】C 【解析】 【分析】直线:2l y x =-过C 的一个焦点，得2c =，利用椭圆的性质求出a ，解出离心率即可．【详解】椭圆C ：()222124x y aa +=>，直线:2l y x =-过椭圆C 的一个焦点，可得2c =，则a =，所以椭圆离心率为：2c e a ===． 故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．6.己知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(]0-∞，为增函数，且()30f =，则不等式(12)0f x ->的解集为（ ） A. ()10-，B. ()12-，C. ()02，D. ()2，+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性与单调性得f （x ）在[0，+∞）上为减函数，由f （3）＝0，可得f （1﹣2x ）＞0⇒f （1﹣2x ）＞f （3）⇒|1﹣2x|＜3，解得x 的取值范围即可．【详解】根据题意，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数， 所以函数f （x ）在[0，+∞）上为减函数，由f （3）＝0，则不等式f （1﹣2x ）＞0⇒f （1﹣2x ）＞f （3）⇒|1﹣2x|＜3， 解可得：﹣1＜x ＜2，即不等式的解集为（﹣1，2）. 故选：B ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．7.若曲线xy e =在0x =处的切线与ln y x b =+的切线相同，则b =（ ） A. 2 B. 1 C. 1-D. e【答案】A 【解析】 【分析】求出xy e =的导数，得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线ln y x b =+相切的切点为（m ，n ），得ln y x b =+的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得m ，n ，进而得到b 的值． 【详解】函数xy e =的导数为y '＝e x ，曲线xy e =在x ＝0处的切线斜率为k ＝0e =1， 则曲线xy e =在x ＝0处的切线方程为y ﹣1＝x ； 函数ln y x b =+的导数为y '＝1x ，设切点为（m ，n ），则1m＝1，解得m ＝1，n ＝2， 即有2＝ln1+b ，解得b ＝2． 故选：A ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，求切线方程，属于基础题．8.执行如图的程序框图，依次输入123451719202123x x x x x =====，，，，，则输出的S 值及其意义分别是（ ）A. 4S =，即5个数据的方差为4B. 4S =，即5个数据的标准差为4C. 20S =，即5个数据的方差为20D. 20S =，即5个数据的标准差为20 【答案】A 【解析】 【分析】根据程序框图，输出的S 是123451719202123x x x x x =====，，，，这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．【详解】根据程序框图，输出的S 是123451719202123x x x x x =====，，，，这5个数据的方差，∵15x =（17+19+20+21+23）＝20， ∴由方差的公式得S ＝15[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．故选：A ．【点睛】本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．9.在长方体1111-ABCD A B C D 中，2AB =，BC =1CC =M 为1AA 的中点，则异面直线AC 与1B M 所成角的余弦值为（ ）A.6B.23C.34D.3【答案】B 【解析】 【分析】以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC 与B 1M 所成角的余弦值．【详解】以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0, 2,0),A C2,B M ,∴1AC (2,2,0),B M (0,2,=-=- ，设异面直线AC 与B 1M 所成角为θ， 则112cos 36||AC B AC B MM θ⋅===⋅．∴异面直线AC 与B 1M 所成角的余弦值为23．故选：B ．【点睛】本题考查了用向量法求异面直线所成角的余弦值，属于基础题．10.如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A. 253πB.263πC. 223πD. 233π【答案】A 【解析】 【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为球的组合体，是半径为2的球的34与半径为1的球的14，再由球的体积公式计算即可．【详解】由三视图还原原几何体，如图所示，可知原几何体为组合体，是半径为2的球的34与半径为1的球的14，其球的组合体的体积33341425V 2143433πππ=⨯⨯+⨯⨯= . 故选：A ．【点睛】本题考查了三视图还原原几何体的图形，求球的组合体的体积，属于中档题．11.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 40a a B B -+=，b =则ABC △的面积为A.C. 【答案】C 【解析】 【分析】由二次方程有解，结合三角函数性质可得只有△0=，此时可求B ，进而可求a ，然后结合余弦定理可求c ，代入1sin 2ABC S ac B ∆=可求．【详解】把22(sin )40a a B B -+=看成关于a 的二次方程，则2224(sin )164(3cos 4)B B sin B cos B B B =-=++-24(2cos 3)4(cos 222)cos B B B B B =+-=+-4[2sin(2)2]06B π=+-…，故若使得方程有解，则只有△0=，此时6B π=，b =代入方程可得，2440a a -+=， 2a ∴=，由余弦定理可得，2428cos3022c c+-︒=⨯，解可得，c =∴111sin 2222ABC S ac B ∆==⨯⨯=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的存在条件的灵活应用及同角平方关系，二倍角公式，辅助角公式及余弦定理的综合应用，属于中档试题．12.已知函数()2xf x e ax =-，对任意10x <，20x <，都有()()()()21210x x f x f x --<，则实数a 的取值范围是（ ） A. ,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B. ,02e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 0,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实数a 的取值范围即可． 【详解】由题意可知函数f （x ）是（﹣∞，0）上的单调递减函数，且当x ＜0时，2()xf x eax -=-，121()20x x xaxe f x ax e e '+=--=-…，可得：2axe x+1≥0，即12e x a x -… 恒成立， 令g （x ）＝xe x （x ＜0），则g'（x ）＝e x （x+1），据此可得函数g （x ）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减， 在区间（﹣1，0）上单调递增，函数g （x ）的最小值为1(1)g e -=，则min122x e xe -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， 可得：实数a 的取值范围是e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故选：D ．【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，恒成立问题的处理方法等知识，属于中档题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数,x y 满足约束条件21052x y x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩，则3z x y =-的最大值是____.【答案】11 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【详解】由3z x y =-得1133y x z =-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线1133y x z =-，由图象可知当直线1133y x z =-经过点A 时，直线1133y x z =-的截距最小，此时z 最大，由2105x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得A （2，﹣3）．代入目标函数3z x y =-，得z ＝2﹣3×（﹣3）＝11故答案为：11．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法，属于基础题．14.设θ为第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos θ =______．【答案】 【解析】 【分析】由tan 44tan ππθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭可得tan θ，进而由22131sin tan cos sin cos θθθθθ⎧==-⎪⎨⎪+=⎩，结合θ为第二象限角即可得解.【详解】1tan 11442tan 144311tan 244tan tan tanππθππθθππθ⎛⎫+-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+-===- ⎪⎛⎫⎝⎭+++ ⎪⎝⎭. 由22131sin tan cos sin cos θθθθθ⎧==-⎪⎨⎪+=⎩，结合θ为第二象限角，0cos θ<，可得10cos θ=-. 故答案为：31010-. 【点睛】本题主要考查了两角和差的正切展开及同角三角函数关系，属于基础题.15.已知F 为抛物线C ：24x y =的焦点，直线112y x =+与曲线C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB S ∆=________.【解析】 【分析】联立直线与抛物线，根据弦长公式以及点到直线的距离可得三角形的面积．【详解】联立24112x y y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2240x x --=，设()()1212A ,,B ,y x y x ，则12122,4x x x x +==-， 则||AB|＝5===，点O 到直线112y x =+的距离AB 11d ,S |AB |d 55225O ∆===∴=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，属于中档题．16.已知四棱锥S ABCD -的正方形，且四棱锥S ABCD -的顶点都在半径为2的球面上，则四棱锥S ABCD -体积的最大值为__________. 【答案】6. 【解析】 【分析】四棱锥的底面面积已经恒定，只有高不确定，只有当定点的射影为正方形ABCD 的中心M 时，高最大，从而使得体积最大.则利用球体的性质，求出高的最大值，即可求出最大体积. 【详解】因为球心O 在平面ABCD 的射影为正方形ABCD 的中心M ， 6，123,32AC MC AC ∴===，则在Rt OMC ∆中，1,OM ==所以四棱锥S ABCD -的高的最大值为OM R +=3，此时四棱锥S ABCD -体积的为21363⨯⨯=【点睛】主要考查了空间几何体体积最值问题，属于中档题.这类型题主要有两个方向的解决思路，一方面可以从几何体的性质出发，寻找最值的先决条件，从而求出最值；另一方面运用函数的思想，通过建立关于体积的函数，求出其最值，即可得到体积的最值.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设{}n a 是单调递增的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知313S =，且13a +，23a ，35a +构成等差数列．（1）求n a 及n S ；（2）是否存在常数λ．使得数列{}n S λ+是等比数列?若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）13-=n n a ，312n n S -=（2）存在常数12λ=．使得数列12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，详见解析【解析】 【分析】（1）根据已知得到方程组，解方程组得q 的值，即得n a 及n S ；（2）假设存在常数λ．使得数列{}n S λ+是等比数列，由题得()()()24113λλλ+=+⋅+，解之即得λ，检验即得解.【详解】（1）由题意得1232131368a a a a a a ++=⎧⎨=++⎩∴23a =， 1310a a +=∴3310q q +=， 解得3q =或 13q =（舍） 所以2123--==n n n a a q，()11331132n n nS ⨯--==- .（2）假设存在常数λ．使得数列{}n S λ+是等比数列， 因为11S λλ+=+，24S λλ+=+，313S λλ+=+， 所以()()()24113λλλ+=+⋅+，解得12λ=， 此时1322nn S +=11132231322nn n n S S --+==+()2n ≥， ∴存在常数12λ=．使得数列12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为11322a +=，公比为3等比数列 ． 【点睛】本题主要考查等比数列的通项的求法，考查等比数列的前n 项和的求法，考查等比数列的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图，在四边形ABDE 中，//AB DE ，AB BE ⊥，点C 在AB 上，且AB CD ⊥，2AC BC CD ===，现将ACD 沿CD 折起，使点A 到达点P 的位置，且PE =（1）求证：平面PBC ⊥平面DEBC ； （2）求三棱锥P EBC -的体积.【答案】（1）见解析； （2【解析】 【分析】（1）根据折叠前后关系得PC⊥CD，根据平几知识得BE//CD ，即得PC⊥BE，再利用线面垂直判定定理得EB⊥平面PBC ，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据线面垂直EB ⊥平面PBC 得高，再根据等积法以及三棱锥体积公式得结果.【详解】（1）证明：∵AB⊥BE，AB⊥CD，∴BE//CD， ∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴PC⊥BE， 又BC⊥BE，PC∩BC=C， ∴EB⊥平面PBC ，又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ； （2）解法1：∵AB//DE，结合CD//EB 得BE=CD=2，由（1）知EB⊥平面PBC ，∴EB⊥PB，由PE =2PB ==,∴△PBC 为等边三角形， ∴22PBC S ∆==∴11233P EBC E PBC PBC V V S EB --∆==⋅= 3=. 解法2：∵AB//DE，结合CD//EB 得BE=CD=2，由（1）知EB⊥平面PBC ，∴EB⊥PB，由PE =得2PB ==, ∴△PBC 为等边三角形，取BC 的中点O ，连结OP ，则PO =EBCD ，∴21112332P EBC EBC V S PO -∆=⋅=⨯⨯=【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19.工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y 有关，具体见下表.（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y 都在[]9.8?10.2，内的概率； （3）已知该厂产品的维护费用为300元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？【答案】（1）1007．；（2）15；（3）该服务值得购买 【解析】 【分析】（1）由样本数据能估计该厂产品的质量指标Y 的平均值指标．（2）由分层抽样法知，先抽取的件产品中，指标Y 在[9.8，10.2]内的有3件，记为A 1，A 2，A 3，指标Y 在（10.2，10.6]内的有2件，记为B 1，B 2，指标Y 在[9.4，9.8）内的有1件，记为C ，从6件产品中，随机抽取2件产品，共有基本事件15个，由此能求出指标Y 都在[9.8，10.2]内的概率．（3）不妨设每件产品的售价为x 元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x 元，其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件，有8件产品一年内的维护费用为600元/件，由此能求出结果．【详解】（1）指标Y 的平均值＝13296101041007666．．．⨯+⨯+⨯≈ （2）由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标Y 在[9.4，9.8）内的有3件，记为123A A A 、、；指标Y 在（10.2，10.6]内的有2件，记为12B B 、：指标Y 在[9.4，9.8）内的有1件，记为C ．从6件产品中随机抽取2件产品，共有基本事件15个()12,A A 、()13,A A 、()11,A B 、()12,AB 、()1,AC 、()23,A A 、()21,A B 、()22,A B 、()2,A C 、()31,A B 、()32,A B 、()3,A C 、()12,B B 、()1,B C 、()2,B C .其中，指标Y 都在[]9.8,10.2内的基本事件有3个：()12,A A 、()13,A A 、()23,A A 所以由古典概型可知，2件产品的指标Y 都在[]9.8,10.2内的概率为31155P ==. （3）不妨设每件产品的售价为x 元，假设这48件样品每件都不购买该服务，则购买支出为48x 元．其中有16件产品一年内的维护费用为300元／件，有8件产品一年内的维护费用为600元／件，此时平均每件产品的消费费用为()14816300860020048x x η=⨯+⨯+⨯=+元； 假设为这48件产品每件产品都购买该项服务，则购买支出为()48100x +元，一年内只有8件产品要花费维护，需支出83002400⨯=元，平均每件产品的消费费用()148100830015048x x ξ⎡⎤=⨯++⨯=+⎣⎦元. 所以该服务值得消费者购买.【点睛】本题考查平均值、概率、平均每件产品的消费费用的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．20.已知过点()4,0D 的直线l 与椭圆22:14x C y +=交于不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，其中120y y ≠，O 为坐标原点.（1）若10x =，求OAB ∆的面积；（2）在x 轴上是否存在定点T ，使得直线TA 与TB 的斜率互为相反数. 【答案】（1）45（2）在x 轴上存在定点(1,0)T ，使得直线TA 与TB 的斜率互为相反数. 【解析】 【分析】（1）由题意不妨设点A(0,1),写出直线AB 方程，与椭圆方程联立，得点B 坐标，根据面积公式即可得结果；（2）设过点D 的直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理0TA TB k k +=化简，即可得到定点T 的坐标. 【详解】(1)当10x =时，()0,1A 或()0,1A -，由对称性，不妨令()0,1A ，此时直线l ：440x y +-=，联立2244044x y x y +-=⎧⎨+=⎩，消去x 整理得25830y y -+=， 解得11y =，285y =， 故83,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以OAB ∆的面积为1841255⨯⨯=. （2）显然直线l的斜率不为0，设直线l ：4x my =+，联立22444x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 整理得()2248120m y my +++= 所以()226441240m m ∆=-⨯+>，即212m >，12284m y y m +=-+，122124y y m =+， 设(),0T t ，则()()()()1221121212TA TBy x t y x t y y k k x t x t x t x t -+-+=+=---- ()()()()12121224my y t y y x t x t +-+=--因为直线TA 与TB 的斜率互为相反数，所以0TA TB k k +=， 即()()()()12122228112824240444m t mmy y t y y m t m m m -+-+=⋅+-⋅==+++， 故1t =，故在x 轴上存在定点()1,0T ，使得直线TA 与TB 的斜率互为相反数.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.已知2()(1)(1),[1,)xf x x e a x x =--+∈+∞. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()2ln f x a x ≥-+，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12e a -≤. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由函数的解析式可得()'2xf x xe ax =- ()2xx e a =-，当2ea ≤时，()'0f x ≥，()f x 在[)1,+∞上单调递增；当2ea >时，由导函数的符号可知()f x 在()()1,2ln a 单调递减；在()()2,ln a +∞单调递增. （Ⅱ）构造函数()()()211xg x x e a x lnx =----，问题转化为()0g x ≥在[)1,x ∈+∞上恒成立，求导有()1'2x g x xe ax x =--，注意到()10g =.分类讨论：当12e a ->时，不满足题意. 当12e a -≤时，()'0g x >，()g x 在[)1,+∞上单调递增；所以()()10g x g ≥=，满足题意. 则实数a 的取值范围是12e a -≤. 试题解析：（Ⅰ）()'2xf x xe ax =- ()2xx e a =-，当2ea ≤时，[)1,x ∈+∞，()'0f x ≥.∴()f x 在[)1,+∞上单调递增； 当2ea >时，由()'0f x =，得()2x ln a =.当()()1,2x ln a ∈时，()'0f x <；当()()2,x ln a ∈+∞时，()'0f x >.所以()f x 在()()1,2ln a 单调递减；在()()2,ln a +∞单调递增. （Ⅱ）令()()()211xg x x e a x lnx =----，问题转化为()0g x ≥在[)1,x ∈+∞上恒成立， ()1'2x g x xe ax x=--，注意到()10g =. 当12e a ->时，()'1210g e a =--<， ()()()()1'212121g ln a ln a ln a +=+-+，因为21a e +>，所以()211ln a +>，()()'210g ln a +>， 所以存在()()01,21x ln a ∈+，使()0'0g x =， 当()01,x x ∈时，()'0g x <，()g x 递减， 所以()()10g x g <=，不满足题意.当12e a -≤时，()()1'1x g x xe e x x≥--- ()11xx e e x ⎡⎤=---⎣⎦， 当1x >时，()11xx e e ⎡⎤-->⎣⎦，101x<<， 所以()'0g x >，()g x 在[)1,+∞上单调递增；所以()()10g x g ≥=，满足题意. 综上所述：12e a -≤.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线1:2l x =，曲线2cos :22sin x C y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为(3,)6π. （1）求直线1l 和曲线C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线2:(0)2l πθαα=<<与1l ,C 的公共点分别为A ,B ，且OA OB ⋅=求M O B∆的面积．【答案】（1）直线1l ： cos 2ρθ=；曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=；（2）2. 【解析】 【分析】（1）先根据22sin cos 1φφ+=，把曲线C 化为普通方程，再利用互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=，把直线2x =和曲线C 化为极坐标方程；（2）联立极坐标方程，并利用极径的几何意义，根据三角形面积公式可得． 【详解】解：（1）∵cos {sin x y ρθρθ==，∴直线2x =的极坐标方程是cos 2ρθ=，曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=，即2240x y y +-=. 所以曲线C的极坐标方程为4sin ρθ=.（2）将θα=分别代入cos 2ρθ=，4sin ρθ=得：2cos A OA ρα==，4sin B OB ρα==. ∴8tan OA OB α⋅==tan α=∵02πα<<，∴3πα=.∴OB =3OM =，6MOB π∠=.所以1sin 2MOB S OM OB MOB ∆=∠11322=⨯⨯=即AOB ∆ 【点睛】本题考查了曲线的参数方程转化为普通方程，再转化为极坐标方程，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的解题的关键.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()()22R f x x a x a =-+-∈． （1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集； （2）若[]2,1x ∈-时不等式()32f x x ≤-成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2{|3x x <或2}x >；（2）空集.【解析】 【分析】（1）通过零点法，分类讨论，去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集．（2）当[2,1]x ∈-时，220x -<，化简()22f x x a x =-+-，由()32f x x ≤-得1x a -≤，即11a x a -≤≤+，推出结果即可．【详解】解：（1）不等式()2f x >，即2222x x -+->.可得22222x x x ≥⎧⎨-+->⎩，或122222x x x <<⎧⎨-+->⎩或12222x x x ≤⎧⎨--+>⎩，解得23x <或2x >，所以不等式的解集为2{|2}3x x x <>或.（2）当[2,1]x ∈-时，220x -<，所以()22f x x a x =-+-， 由()32f x x ≤-得1x a -≤，即11a x a -≤≤+，则1211a a -≤-⎧⎨+≥⎩，该不等式无解，所以实数a 的取值范围是空集（或者∅）.【点睛】本题考查不等式的解法，恒成立条件的转化，考查计算能力．。

广东东莞2019高三数学（理）小综合专项练习：不等式东莞中学老师提供【一】选择题1.1.20.2512,(),2log 22a b c -===,那么,,a b c 的大小关系为 A 、c b a <<B 、c a b <<C 、b a c <<D 、b c a <<2、x ，y 满足不等式组22y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，那么2z x y =+的最大值与最小值的比值为A 、12B 、2C 、32D 、433、假设0,0,a b >>且4=+b a ,那么以下不等式恒成立的是A 、211>ab B 、111≤+baC 、2≥abD 、228a b +≥4、假设[0,)x ∈+∞,那么以下不等式恒成立的是A 、21x e x x ++…B 211124x x<-+C 、21cos 12x x-…D 、21ln(1)8x x x+-…5.假设正数x,y 满足x+3y=5xy,那么3x+4y 的最小值是A 、245B 、285C 、5D 、6【二】填空题6.不等式2560x x -+≤的解集为、7.集合2{|20}A x x x =-≤，{|lg(1)}B x y x ==-，那么AB 等于.8.点(3,1)A 和(4,6)B -在直线320x y a -+=的两侧，那么a 的取值范围是.9.假设变量,x y 满足约束条件1133x y x y x y -≥-⎧⎪⎪+≥⎨⎪-≤⎪⎩,那么目标函数23z x y =+的最小值是________. 10.设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩,D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,那么2z x y =-在D 上的最大值为___________.【三】解答题11.某公司生产甲、乙两种桶装产品.生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,求公司共可获得的最大利润.12.如图,建立平面直角坐标系xoy ,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上,其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a 不超过多少时,炮弹能够击中它?请说明理由.13.函数()()21f x x ,g x x ==-.〔1〕假设x R ∃∈，使()()f x bg x <⋅,求实数b 的取值范围;〔2〕设()()()21F x f x mg x m m =-+--,且()F x 在[]01,上单调递增,求实数m 的取值范围.14.正数a b c ，，满足:4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，求b a的取值范围.15.某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).(1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,求内环线列车的最小平均速度;(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运行?2018届高三理科数学小综合专题练习—不等式参考答案一、选择题：ABDCC 二、填空题：6.{}23x x ≤≤7.{|01}x x ≤<8.)24,7(-9.210.2三、解答题： 11.解：设公司每天生产甲种产品X 桶,乙种产品Y 桶,公司共可获得利润为Z 元/天,那么由,得Z=300X+400Y 且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00122122Y X Y X Y X画可行域如下图,目标函数Z=300X+400Y 可变形为Y=400z x 43+-这是随Z 变化的一族平行直线 解方程组⎩⎨⎧=+=+12y 2x 12y x 2⎩⎨⎧==∴4y 4x 即A(4,4)280016001200max=+=∴Z.12.解:(1)在221(1)(0)20y kx k x k =-+>中,令0y =,得221(1)=020kx k x -+. 由实际意义和题设条件知00x >k >，. ∴2202020===10112k x k k k≤++,当且仅当=1k 时取等号.∴炮的最大射程是10千米.(2)∵0a >,∴炮弹能够击中目标等价于存在0k >,使221(1)=3.220ka k a -+成立, 即关于k 的方程2222064=0a k ak a -++有正根.由()()222=204640a a a ∆--+≥得6a ≤.如今,k (不考虑另一根).∴当a 不超过6千米时,炮弹能够击中目标.13.解：〔1〕由x R ∃∈,()()f x bg x <，得x R ∃∈,使20x bx b -+<，因此，()240b b ∆=-->0b ∴<或4b >；〔2〕由题设得()221F x x mx m =-+-202(0)10m f m ⎧≤⎪∴⎨⎪=-≥⎩或212(0)10m f m ⎧≥⎪∴⎨⎪=-≤⎩10m ∴-≤≤或2m ≥，即实数m 的取值范围为10m -≤≤或2m ≥.14.解：条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为:354a c a bc c a b c cb e c⎧⋅+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎩.设==ab x yc c，,那么问题转化为:x y ，满足35400x x y x y y ex >y >+≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩，,求y x 的取值范围.作出(x y ，)所在平面区域(如图). 求出=x y e 的切线的斜率e ,设过切点()00P x y ，的切线为()=0y ex m m +≥,那么00000==yex mm e x x x ++,要使它最小,须=0m .∴y x的最小值在()00P x y ，处,为e .如今,点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间.当(x y ，)对应点C 时,=45=205=7=7=534=2012y x y x yy x y x y x x --⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨--⎩⎩,∴y x的最大值在C 处,为7.∴y x 的取值范围为[] 7e ，,即b a的取值范围是[] 7e ，. 15.解:(1)设内环线列车运行的平均速度为v 千米/小时,由题意知,306010209v v⨯≤⇒≥因此,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,列车的最小平均速度是20千米/小时.(2)设内环线投入x 列列车运行,那么外环线投入(18)x -列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间分别为12,t t 分钟,那么123072306060,602530(18)18t t x x x x=⨯==⨯=--， 因此有2122150129607260||||11811412960x x t t x x x x ⎧-+≤⎪-=-≤⇒⎨-⎪+-≤⎩，x ≤≤又*x N ∈,因此10x =,因此当内环线投入10列,外环线投入8列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟.。

广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编不等式与不等式选讲一、选择、填空题1、（潮州市2017届高三上学期期末）设实数，y 满足约束条件，则=2+y 的最大值为（ ） A ．10 B ．8C．D．2、（东莞市2017届高三上学期期末）对于实数m ＞－3，若函数1()2x y =图象上存在点（, y ）满足约束条件30230x y x y x m -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则实数m 的最小值为A ．12 B. －1 C.－32D. －2 3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+10202y y x y x ，则目标函数y x z 3+=的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．64、（广州市2017届高三12月模拟）已知,x y 满足约束条件220,220,20,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩若()0z x ay a =->的最大值为4，则a = .5、（惠州市2017届高三第三次调研）已知，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若＝a ＋y 的最大值为4，则a 等于( )（A ）3 （B ）2 （C ）－2 （D ）－3 6、（江门市2017届高三12月调研）若、满足约束条件，则的最大值为 ．7、（揭阳市2017届高三上学期期末）已知,a b R ∈、且2222290ab a b ++-=，若M 为22a b +的最小值，则约束条件⎩⎨⎧≤+≤+.2||||,322M y x M y x 所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为（A ）29（B ）25（C ）18 （D ）168、（茂名市2017届高三第一次综合测试）若圆2240x y x my +-+-=关于直线0=-y x 对称,动点P ()b a ,在不等式组2000x y x my y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及边界上运动，则21b z a -=-的取值范围是 * ．9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）已知函数,)1ln()(2x x a x f -+=在区间（0、1）内任取两个实数P 、q ，且q P ≠，若不等式(1)(1)1f P f q P q+-+>- 恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. []∞+,11 B. []∞+,13 C. []∞+,15 D. []∞+,1710、（汕头市2017届高三上学期期末）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，且y a x a z )1(3)1(22+-+=的最小值是20-，则实数=a ．11、（韶关市2017届高三1月调研）若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为 (A) 1- (B) 1 (C)32(D) 212、（肇庆市2017届高三第二次模拟）已知,x y 满足约束条件30260102x y y x y x ⎧⎪+-≥⎪-+≥⎨⎪⎪-≤⎩，则z x y=-的最小值为（A ）1 （B ）-1 （C ）3 （D ）-313、（珠海市2017届高三上学期期末）若变量, y 满足约束条件，则＝3+5y 的取值范围是A ．[3,＋)B ．[－8,3]C ．(－，9]D ．[－8,9]二、解答题1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知正实数a 、b 满足：a 2+b 2=2．（1）求的最小值m ；（2）设函数f （）=|﹣t |+|+|（t ≠0），对于（1）中求得的m ，是否存在实数，使得f （）=成立，说明理由．2、（东莞市2017届高三上学期期末）已知函数 f () ＝｜ －1｜＋｜+3｜ （1）解不等式 f () ≥8；（2）若不等式 f () ＜2a －3a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围.3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））已知不等式0123<--+x x 的解集为),(0+∞x （Ⅰ）求0x 的值；（Ⅱ）若函数)0(1)(0>-++-=m x mx m x x f 有零点，求实数m 的值4、（广州市2017届高三12()3≤x f 的解集是}{21|≤≤-x x .（Ⅰ）求a 的值； （II ）若()()||3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围.5、（惠州市2017届高三第三次调研）已知函数f ()＝|－a |.（Ⅰ）若不等式f ()≤3的解集为{|－1≤≤5}，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f ()＋f (＋5)≥m 对一切实数恒成立， 求实数m 的取值范围．6、（江门市2017届高三12月调研）如图，某农场要修建3个形状、大小相同且平行排列的矩形养鱼塘，每个面积为10 000平方米．鱼塘前面要留4米宽的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少米时占地面积最少？．7、（揭阳市2017届高三上学期期末）设函数|2||1|)(--+=x m x x f ． （I ）若1m =，求函数)(x f 的值域；（II ）若1m =-，求不等式x x f 3)(>的解集．8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）已知函数|32||2|)(++-=x a x x f ，2|1|)(+-=x x g .（Ⅰ）若1a =，解不等式()6f x <；（Ⅱ）若对任意1x ∈R ，都有2x ∈R ，使得12()()=f x g x 成立，求实数a 的取值范围.9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）已知函数() f x x a a =-∈R ，. （Ⅰ）当1a =时，求()11f x x ≥++的解集；（Ⅱ）若不等式()30f x x +≤的解集包含{}1x x ≤-，求的取值范围.10、（汕头市2017届高三上学期期末）已知函数|2||1|)(m x x x f +--=，R m ∈. （1）当4-=m 时，解不等式0)(<x f ；（2）当),1(+∞∈x 时，0)(<x f 恒成立，求m 的取值范围.11、（韶关市2017届高三1月调研）已知函数()|||21|f x x m x =++-()m R ∈. （I ）当1m =-时，求不等式()2f x ≤的解集；（II ）设关于x 的不等式()|21|f x x ≤+的解集为A ，且3[,2]4A ⊆，求实数m 的取值范围．12、（肇庆市2017届高三第二次模拟）已知()|||1|f x x a x =-+-. （Ⅰ）当2a =，求不等式()4f x <的解集；（Ⅱ）若对任意的x ，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围.13、（珠海市2017届高三上学期期末）设函数 f () ＝| －1| + | －a | (aR ) ． (1) 若a ＝－3，求函数 f ()的最小值；(2) 如果x ∀∈R ，f () ≤ 2a + 2 | －1|，求a 的取值范围. 参考答案一、选择、填空题1、【解答】解：约束条件，画出可行域，结合图象可得当目标函数=2+y过点A 时，目标函数取得最大值．由，解得A （4，2），则=2+y 的最大值为10．故选：A ．2、B3、B4、35、【解析】(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1,1)．由＝a ＋y ，得y ＝－a ＋.∴当a ＝－2或a ＝－3时，＝a ＋y 在O (0,0)处取得最大值，最大值为ma ＝0， 不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，＝a ＋y 在A (2,0)处取得最大值， ∴2a ＝4，∴a ＝2，故选B. 6、47、由2222290ab a b ++-=结合222ab a b ≤+得22223()93a b a b +≥⇒+≥（当且仅当a b =时等号成立）故3M =,故约束条件确定的平面区域如右图阴影所示，在区域内，由2,2x y =±=±围成的矩形区域（含边界）整点有25个，加上圆2223x y +=与坐标轴的交点4个，共29个.8、圆2240x y x my +-+-=关于直线0=-y x 对称,所以圆心 1(,)22m -在直在线0=-y x 上，1122m m =-⇒=-，2000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图21b z a -=-表示区域OAB 内点P ()b a ,与点Q （1，2）连线的斜率.202,10OQ K -==- 022,21AQ K -==-- 所以答案： ),2[]2,(+∞⋃--∞ 9、C 10、2±11、【解析】如图当直线m x =经过函数x y 2=的图像与直线03=-+y x 的交点时，函数x y 2=的图像仅有一个点P 在可行域内，由⎩⎨⎧=-+=032y x xy 得)2,1(P ，所以1≤m .故选B.12、A 13、D14、解：设每个鱼塘的宽为米，且＞0……1分则AB=3+8，AD=+6，则总面积y=（3+8）（+6）……3分=30048++18≥30048+2=32448……7分当且仅当18=，即=时，等号成立，此时=150……9分即鱼塘的长为150米，宽为米时，占地面积最少为32448平方米……10分二、解答题1、【解答】解：（1）∵2=a 2+b 2≥2ab ，即，∴．又∴≥2，当且仅当a=b 时取等号．∴m=2．（2）函数f （）=|﹣t |+|+|≥≥2=1，∴满足条件的实数不存在．2、（1）22,3()|1||3|4,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩， ………………１分 当3x <-时，由228x --≥，解得5-≤x ；………………２分当31x -≤≤时，()4f x =，()8f x ∴≥无解； ………………３分 当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥． ………………４分 所以不等式()8f x ≥的解集为{}35≥-≤x x x 或． ………………５分 （2所以()min 4f x =………………７分又不等式a a x f 3)(2-<的解集不是空集，所以432>-a a , ………………９分 所以14-<>a a 或即实数a 的取值范围是),4()1,(+∞--∞ ………………１０分 3、8分9分 2,3⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭10分5、解：（Ⅰ）由f ()≤3，得|－a |≤3.解得a －3≤≤a ＋3.又已知不等式f ()≤3的解集为{|－1≤≤5}．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. ………………………………4分（Ⅱ）当a ＝2时，f ()＝|－2|.设g ()＝f ()＋f (＋5)＝|－2|＋|＋3|.由|－2|＋|＋3|≥|(－2)－(＋3)|＝5(当且仅当－3≤≤2时等号成立)， ∴g ()的最小值为5.因此，若g ()＝f ()＋f (＋5)≥m 对∈R 恒成立，知实数m 的取值范围是(－∞，5]． …………………………………10分6、解：设每个鱼塘的宽为米，且＞0……1分则AB=3+8，AD=+6，则总面积y=（3+8）（+6）……3分=30048++18≥30048+2=32448……7分当且仅当18=，即=时，等号成立，此时=150……9分即鱼塘的长为150米，宽为米时，占地面积最少为32448平方米……10分7、解：（Ⅰ）当1m =时，|2||1|)(--+=x x x f ------------------------------------------------1分[∵3|)2()1(|||2||1||=--+≤--+x x x x ， ------------------------------------------------3分3|2||1|3≤--+≤-∴x x ，函数)(x f 的值域为]3,3[-；-------------------------------5分（Ⅱ）当m =－1时，不等式x x f 3)(>即x x x 3|2||1|>-++， ---------------------------------6分①当1-<x 时，得x x x 321>+---，解得51<x ，1-<∴x ；------------------------7分②当21<≤-x 时，得x x x 321>+-+，解得1<x ，11<≤-∴x ；------------------8分③当2≥x 时，得x x x 321>-++，解得1-<x ，所以无解；--------------------------- 9分综上所述，原不等式的解集为)1,(-∞． --------------------------------------------------------10分8、解：（Ⅰ）当1a =时，()6f x <，即21236x x -++<， 即3,212236,x x x ⎧≤-⎪⎨⎪---<⎩或31,2223126,x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-<⎩或1,22123 6.x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++<⎩ ……………3分322x ∴-<≤-或3122x -<<或112x ≤<， 21x ∴-<< 所以不等式()6f x <的解集为{}|21x x -<<. ……………………5分 （Ⅱ）对任意R x ∈1，都有R x ∈2，使得)()(21x g x f =成立，则有{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=， ………………………………………………………6分 又()|2||23|f x x a x =-++|(2)(23)||3|x a x a ≥--+=+. ……………………………8分 ()|1|22g x x =-+≥，从而|3|2a +≥，解得51a a ≤-≥-或，故(,5][1,)a ∈-∞--+∞U . ………………………………………………………………10分9、解法一：（Ⅰ）1a =时，原不等式可化为111x x --+≥，当1x <-时，原不等式可化为()()111x x -++≥，即21≥，此时， 不等式的解集为{}1x x <-.当11x -≤<时，原不等式化为()()111x x ---+≥，即12x ≤-. 此时，不等式的解集为112x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭. 当1x ≥时，原不等式化为()()111x x --+≥，即21-≥，此时，不等式的解集为∅. 综上，原不等式的解集为12x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭. （Ⅱ）不等式()30f x x +≤的解集包含{}1x x ≤-，等价于30x a x -+≤对( 1]x ∈-∞-，恒成立， 即3x a x -≤-对( 1]x ∈-∞-，恒成立，所以33x x a x ≤-≤-，即42x a x ≤≤-对( 1]x ∈-∞-，恒成立，故的取值范围为[]4 2-，. 解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为()f x x a =-，所以不等式()30f x x +≤可化为30x a x -+≤，当x a ≥时，不等式化为30x a x -+≤，解得4ax ≤；当x a <时，不等式化为30a x x -+≤，解得2ax ≤-.故当0a ≥时，原不等式的解集为2a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭， 由于不等式30x a x -+≤的解集包含{}1x x ≤-， 所以12a-≥-，解得02a ≤≤.当0a <时，原不等式的解集为4a x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭， 由于不等式30x a x -+≤的解集包含{}1x x ≤-， 所以14a≥-，解得40a -≤<.综上，的取值范围为[]4 2-，.10、当2x >时，30x -<，即3x >，解得：3x >，所以不等式()0f x <的解集为5|33x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；（2）因为(1,)x ∈+∞，所以不等式()0f x <恒成立，等价为1|2|0x x m --+<恒成立，即1|2|x x m -<+，解得：21x m x +<-或12x x m -<+即13m x -<或1x m >--恒成立， 因为(1,)x ∈+∞，所以11m --≤，即2m ≥-，故m 的取值范围为：[2,)-+∞．11、解：（I ）当1m =-时，()|1||21|f x x x =-+-， ()2f x ≤⇒|1||21|2x x -+-≤， 上述不等式可化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或1121212x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩或11212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩ 解得120x x ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或1122x x ⎧<<⎪⎨⎪≤⎩或143x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩……………………………………3分 ∴102x ≤≤或112x <<或413x ≤≤， ……………………… ……………4分 ∴原不等式的解集为4{|0}3x x ≤≤. ……………………………………………5分（II ）∵()|21|f x x ≤+的解集包含3[,2]4， ∴当3[,2]4x ∈时，不等式()|21|f x x ≤+恒成立，…………………………………6分 即|||21||21|x m x x ++-≤+在3[,2]4x ∈上恒成立，∴||2121x m x x ++-≤+，即||2x m +≤，∴22x m -≤+≤，………………………………………………7分 ∴22x m x --≤≤-+在3[,2]4x ∈上恒成立，…………………………………8分 ∴max min (2)(2)x m x --≤≤-+， ∴1104m -≤≤，所以实数m 的取值范围是11[,0]4-．………………………………………………10分 12、解：（Ⅰ）当2a =时，不等式()4f x <，即|2||1|4x x -+-<.可得2214x x x ≥⎧⎨-+-<⎩，或12214x x x <<⎧⎨-+-<⎩或1214x x x ≤⎧⎨-+-<⎩ （3分） 解得1722x -<<，所以不等式的解集为17|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （6分） （Ⅱ）|||1|1x a x a -+-≥-，当且仅当()()10x a x --≤时等号成立. （8分） 由12a -≥，得1a ≤-或3a ≥，即a 的取值范围为(][),13,-∞-+∞ （10分） 13、。

广东省2019届高三数学一模试题分类汇编不等式1、（2019广州一模）已知p ：关于x 的不等式x 2+2a x －a>0的解集是R ，q ：－1<a<0，则p 是q 的那么A.充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 C2、（2019广东三校一模）若点y)x,（在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域内运动， 则y x t -=的取值范围是]1,2.[--A ]1,2.[-B ]2,1.[-C ]2,1.[DA3、（2019广东三校一模）若直线1=+bya x 通过点)sin ,cos αα（M ,则 A .122≤+b a 1.22≥+b a B 111.22≤+b a C 111.22≥+ba DB4、（2019东莞一模）已知点),(y x P 满足条件y x z k k y x x y x 3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥若为常数的最大值为8， 则k = .－6 5、（2019番禺一模）已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线0132=+-y x 的两侧，则下列说法正确的是（ ）① 0132>+-b a② 0≠a 时，ab有最小值，无最大值 ③,M R M +∃∈>恒成立 ④ 当且0>a 1≠a ,时0>b , 则1-a b的取值范围为（-12,)(,)33∞-+∞U A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ D6、（2019茂名一模）已知实数,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩,目标函数()z y ax a R =-∈.若取最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数a 的取值范围是 .(1,)+∞7、（2019韶关一模）①2,210x R x x ∀∈-+>；②“1x >且2y >”是“3x y +>”的充要条件；③ 函数2222y x x =+++的最小值为2其中假命题的为_________（将你认为是假命题的序号都填上） ①8、（2019湛江一模）若x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为 ． 99、（2019潮州实验中学一模）若集合2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的值的集合是（ ）（A ）{|04}a a << （B ）{|04}a a ≤< （C ）{|04}a a <≤ （D ）{|04}a a ≤≤ D10、（2019潮州实验中学一模）满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+≤-+0,087032y x y x y x ，则目标函数y x k +=3的最大值为 4。

不等式（后考卷）（满分54分）一、选择题（每题5分，共15分）1、若,,a b c R ∈，且a b >，则下列不等式成立的是 （ ）A 、11a b <B 、22a b >C 、2211a b c c >++ D 、a c b c > 2、“a c b d +>+”是“a b c d >>且”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件3、设全集,U R =且{}|12A x x =->,{}2|680B x x x =-+<,则A B =（ ）A 、(1,4)-B 、(1,3)-C 、 (2,4)D (3,4)二、填空题（每题5分，共15分）4、不等式1123x x -≥+的解集为_________. 5、已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_________.6、已知()f x 是定义域为R 的偶函数,当0x ≥时,2()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<的解集是____________.三、解答题（每题12分，共24分） 7、已知函数[)22(),1,x x a f x x x++=∈+∞，若对任意[)1,,()0x f x ∈+∞>恒成立，求实数a 的取值范围。

8、已知不等式2364ax x -+>的解集为{1}x x x b <>或，（1）、求,a b ； （2）、解不等式2()0ax ac b x bc -++<拓展题：已知函数[)22(),1,x x a f x x x++=∈+∞，若对任意[]1,1,()4a f x ∈->恒成立，求实数x 的取值范围。

答案1-3CAD]23,4.[4--5(0，8)8（1）1,1==b a （2）c x <<2或2<<x c。

广东省14市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编不等式一、选择、填空题1、（东莞市2019届高三上学期期末）实数，y 满足220110x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，且＝3－y ，则的最小值为 ．2、（广州市2019届高三12月调研考试）已知实数x , y 满足20,350,0,0,x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨>⎪>⎪⎩则1142x yz ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为____________．3、（惠州市2019届高三第三次调研考试）若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．6C ．7D ．84、（江门市 2019届普通高中高三调研）已知点(,)a b 在直线230x y ++=上运动，则24ab+有（）5、（揭阳市2019届高三上学期期末）若,x y 满足约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x z y =-+的最小值为A ． 1B ．2C ．-2D ．-16、（雷州市2019届高三上学期期末）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤-100y y x y x ，则目标函数y x z -=2的最小值为．7、（茂名市2019届高三上期末）若，y 满足约束条件0111y x y x y ≤≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则＝－2y 的最小值为（ ）A ．－3B ．－2C 、－1D ．08、（清远市2019届高三上期末）已知011<<ba ，给出下列三个结论：①22b a <； ②2>+baa b ；③ab a lg lg 2>．其中所有的正确结论的序号是 A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③9、（汕头市2019届高三上学期期末）已知 ，y 满足约束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩， 则 =2 -y +2 的最大值为A 、1B 、2C 、3D 、410、（汕尾市2019届高三上学期期末）已知,x y 满足约束条件10,210,2,x y x y y --≤⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩若2z x y =+，则的最大值为。

§2.2 函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．结论M 为最大值1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( √ )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数． ( × )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)． ( × ) (5)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( × ) (6)函数y ＝1－x 21＋x 2的最大值为1.( √ ) 2．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．先递增再递减答案 C解析 作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象(图略)， 根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增．3．(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断． 当a ＝0时，f (x )＝|(ax －1)x |＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a >0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增只需a ≤0.即“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．4．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是________________________________________________________________________．答案 43，1解析 f (x )＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.5．函数y ＝log 21(2x 2－3x ＋1)的单调减区间为________．答案 (1，＋∞)解析 由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为(－∞，12)∪(1，＋∞)．令t ＝2x 2－3x ＋1，则y ＝log 21t ，∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2(x －34)2－18，∴t ＝2x 2－3x ＋1的单调增区间为(1，＋∞)．又y ＝log 21t 在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝log 21(2x 2－3x ＋1)的单调减区间为(1，＋∞).题型一 函数单调性的判断例1 讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．思维启迪 可根据定义，先设－1<x 1<x 2<1，然后作差、变形、定号、判断． 解 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f (x )在(－1,1)上为减函数．思维升华 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：(1)已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数；(2)求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．(1)证明 设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．(2)解 令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数． 由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 题型二 利用函数的单调性求参数例2 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－14 B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤0(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．思维启迪 利用函数的单调性求参数或参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．答案 (1)D (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得0>a ≥－14.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0a >1(2－a )×1＋1≤a， 解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3 (2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)答案 (1)C (2)B 解析 (1)y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，由函数在(－1，＋∞)上单调递增，有⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0a ＋2≤－1，解得a ≤－3. (2)因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2.解得4≤a <8，故选B.题型三 函数的单调性和最值例3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．思维启迪 抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(3)用函数的单调性即可求最值． (1)解 令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)解 ∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f (x 1)f (x 2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等；(2)利用函数单调性可以求函数最值，若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最小值是f (a )，最大值是f (b )．(1)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x－1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( )A ．2B ．3C ．4D ．－1(2)函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.答案 (1)C (2)6解析 (1)根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在[12，＋∞)上单调递增，故f (x )在(－∞，12]上单调递减，则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. (2)易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. ∴a ＋b ＝6.函数单调性的应用典例：(12分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.思维启迪(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f(M)<f(N)的形式．规范解答(1)证明设x1，x2∈R，且x1<x2，∴x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. [2分]f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分]∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．[6分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[10分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．[12分]解函数不等式问题的一般步骤：第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：解不等式或不等式组确定解集；第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1.构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式．解决此类问题的易错点：忽视M、N的取值范围，即忽视f(x)所在的单调区间的约束.方法与技巧1．利用定义判断或证明函数的单调性 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，那么 ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 函数的单调性是对某个区间而言的． 2．求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导数的性质． 3．复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数． 简称：同增异减． 失误与防范函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.A 组 专项基础训练一、选择题1．函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A解析 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．A 中，f (x )＝1x满足要求；B 中，f (x )＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C 中，f (x )＝e x 是增函数；D 中，f (x )＝ln(x ＋1)是增函数．2．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案 D解析 ∵f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1,2]上是减函数， ∴a ≤1.①又g (x )＝(a ＋1)1－x 在[1,2]上是减函数．∴a ＋1>1，∴a >0.② 由①、②知，0<a ≤1.3．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．(0，34]C ．[0，34)D ．[0，34]答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数，当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤34，综上a 的取值范围是0≤a ≤34.4．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (1x)>f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 D解析 依题意得1x <1，即x －1x >0，所以x 的取值范围是x >1或x <0.5．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12答案 C解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 二、填空题6．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是__________．答案 ⎣⎡⎭⎫32，4解析 函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254的减区间为⎣⎡⎭⎫32，4，∵e>1，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫32，4.7．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是__________．答案 [1，＋∞)解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0－2a ≤－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0a ≥1⇒a ≥1. 8．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎪⎪⎪⎪1x >1， ∴1x >1或1x <－1，∴0<x <1或－1<x <0. 三、解答题9．函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)求g (t )的最小值．解 (1)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8. 当t >2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4；当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8； 当t ＋1<2，即t <1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7.从而g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7 (t <1)，－8 (1≤t ≤2)，t 2－4t －4 (t >2).(2)g (t )的图象如图所示，由图象易知g (t )的最小值为－8.10．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，求函数的最大值和最小值．解 设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－(－2x 2＋1)＝－2(x 2＋1－x 1－1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝－2(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1). 由0≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23. B 组 专项能力提升1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定( ) A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案 D 解析 由题意知a <1，∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x－2a ， 当a <0时，g (x )在(1，＋∞)上是增函数，当a >0时，g (x )在[a ，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数，∴g (x )在(1，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 ∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a (x ≥a )，e －x ＋a (x <a )， ∴f (x )在[a ，＋∞)上为增函数，则[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.3．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2. 当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.4．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)， a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， ∴g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x－2)在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x－2)在[2，＋∞)上的最小值为 f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a >3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2.∴a >2.5．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．(1)证明 任取x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1. 综上所述知a的取值范围是(0,1]．。