广东省广州市天河区2020届高三数学一模试题理(含解析)

2020届广东省广州普通高中毕业班综合测试（一）数学（理）试题一、单选题1．设集合{}{|01}|2M x x x R N x x x R =<<∈=<∈，，，，则（ ） A ．M N M ⋂= B ．M N N ⋂=C ．M N M ⋃=D ．M N R ⋃=【答案】A【解析】由题意{}22,N x x x R =-<<∈，分别计算出M N ⋂、M N ⋃即可得解. 【详解】由题意{}{}2,22,N x x x R x x x R =<∈=-<<∈，{}01,M x x x R =<<∈， 所以{}01,M N x x x R M ⋂=<<∈=，{}22,M N x x x R N ⋃=-<<∈=. 故选：A. 【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题.2．若复数z 满足方程220z +=，则3z =（ ） A．± B．-C．-D．±【答案】D【解析】220z +=，即22z =-，解得z =．所以32()(2)z z z =⋅=⋅-=±，故选D3．若直线10kx y -+=与圆222410x y x y ++-+=有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)3-+∞，B ．(]3-∞-，C ．()0+∞，D ．()-∞+∞，【答案】D【解析】由题意得圆心到直线的距离2d =≤，解不等式即可得解.【详解】圆222410x y x y ++-+=的圆心为()1,2-，半径为2，由题意可知圆心到直线的距离2d =≤，化简得2183033k ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 故(),k ∈-∞+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题.4．已知1223p x q x +><<：，：，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由题意:12p x +>⇔1x >或3x <-，利用充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】由题意:1212p x x +>⇔+>或121x x +<-⇔>或3x <-， 由“1x >或3x <-”不能推出“23x <<”； 由“23x <<”可推出“1x >或3x <-”； 故p 是q 的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题. 5．设函数()12cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若对于任意的x R ∈都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【答案】C【解析】由题意结合三角函数的图象与性质可得12min22Tx x π-==，即可得解. 【详解】由题意知函数()f x 的最小正周期2412T ππ==，()1f x 、()2f x 分别为函数()f x 的最小值和最大值，所以12min22Tx x π-==. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，属于基础题.6．已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，若P Q ，分别在11AA CC ，上，且111133AP AA CQ CC ==，，则四棱锥B APQC -的体积是（ ） A ．16V B ．29V C ．13V D ．79V【答案】B【解析】在棱1BB 上取一点H ，使113BH BB =，连接PH 、QH ，由B APQC ABC PHQ B PHQ V V V ---=-即可得解.【详解】在棱1BB 上取一点H ，使113BH BB =，连接PH 、QH ， 由题意PHQ ABC S S =△△，BH ⊥平面PHQ ， 所以111113339B PHQ PHQ ABC V S BH S BB V -=⋅=⋅=△△，11133ABC PHQ ABC ABC V S BH S BB V -=⋅=⋅=△△，所以112399B APQC ABC PHQ B PHQ V V V V V V ---=-=-=. 故选：B.【点睛】本题考查了直三棱柱的特征及几何体体积的求解，考查了空间思维能力，属于基础题. 7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ） A ．514B ．914C ．37D ．47【答案】C【解析】由题意计算出总情况数和符合要求的情况数，利用古典概型概率公式即可得解. 【详解】将这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动共有510252C =种情况；每个宣传小组至少选派1人分为以下几种情况：①可回收物或餐厨垃圾宣传小组选派两人，其他组每组一人，共有121112223336C C C C C ⋅⋅⋅⋅=种情况；②有害垃圾或其他垃圾宣传小组选派两人，其他组每组一人，共有121112332272C C C C C ⋅⋅⋅⋅=种情况；故所求概率367232527p +==. 故选：C. 【点睛】本题考查了计数原理的应用与古典概型概率的求解，考查了分类讨论思想，属于中档题. 8．已知直线2l y x =-：与x 轴的交点为抛物线22C y px =：的焦点，直线l 与抛物线C 交于A B ，两点，则AB 中点到抛物线准线的距离为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．4【答案】A【解析】由题意可知抛物线焦点为()2,0，进而可得抛物线2:8C y x =，联立方程可得1212x x +=，即可求得点A 、B 到准线的距离和，即可得解.【详解】Q 直线:2l y x =-与x 轴的交点为()2,0，∴22p=即4p =，∴抛物线2:8C y x =，准线方程为2x =-，设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程228y x y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得21240x x -+=，>0∆，则1212x x +=，∴点A 、B 到准线的距离和为1216x x p ++=，∴AB 中点到抛物线准线的距离1682d ==. 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线性质的应用和直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知125143a a a =+=，，若()*48n n S a n N ≥+∈，则n 的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】由题意结合等差数列的通项公式计算出23d =，分别表示出n a 、n S 后，解一元二次不等式即可得解. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，Q 113a =，254a a +=， ∴114433d d +++=即23d =， ∴2133n a n =-，212133323n n n S n +-=⋅=， Q 48n n S a ≥+，∴22148333n n ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，解得2n ≤-或10n ≥，由*n N ∈可知n 的最小值为10. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.10．已知点()00P x y ，是曲线321C y x x =-+：上的点，曲线C 在点P 处的切线与811y x =-平行，则（ ）A ．02x =B ．043x =-C ．02x =或043x =-D ．02x =-或043x =【答案】B【解析】由导数的几何意义结合题意得200328x x -=，算出0x 分别代入验证即可得解.【详解】由题意曲线32:1C y x x =-+，求导得232y x x '=-，∴曲线C 在点P 处的切线斜率20032k x x =-，∴200328x x -=，解得043x =-或2，当043x =-时，320448513327y ⎛⎫⎛⎫=---+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点485,327P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，切线方程为8548273y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭即203827y x =+，符合题意； 当02x =时，3202215y =-+=，则点()2,5P ，切线方程为()582y x -=-即811y x =-，不符合题意，舍去.故选：B. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用和导数的运算，属于中档题.11．已知O 为坐标原点，设双曲线()2222100x y C a b a b -=>>：，的左右焦点分别为12F F ，，点P 是双曲线C 上位于第一象限上的点，过点2F 作12F PF ∠角平分线的垂线，垂足为A ，若122b F F OA =-，则双曲线的离心率为（ ） A ．54B ．43C ．53D ．2【答案】C【解析】延长2F A 交1F P 于点Q ，由题意结合平面几何知识可得2F A AQ =，2PF PQ =，进而可得11222OA FQ F P F P a ==-=，结合双曲线的性质即可得223850c ac a -+=，即可得解.【详解】延长2F A 交1F P 于点Q ，Q PA 平分12F PF ∠，2F A PA ⊥，∴2F A AQ =，2PF PQ =，又12FO OF =，∴11222OA FQ F P F P a ==-=， Q 122b F F OA =-，∴22b c a =-，又222+=a b c ，∴()22222a c a c +-=，化简得223850c ac a -+=，∴23850e e -+=，解得53e =或1e =（舍去）. 故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了转化化归思想和计算能力，属于中档题.12．已知函数()221010x x x f x x x x ⎧--+<=⎨-+≥⎩，，，若()()()20201F x f x sin x π=--在区间[]11-，上有m 个零点123m x x x x L ，，，，，则()()()()123m f x f x f x f x ++++=L （ ） A ．4042 B ．4041 C ．4040 D ．4039【答案】B【解析】由题意()()()22sin 20200sin 20200x x x x F x x x x x ππ⎧---<⎪=⎨--≥⎪⎩，，，设()[]220,1,10x x x g x x x x x ⎧--<=∈-⎨-≥⎩，，，()()[]sin 2020,1,1h x x x π=∈-，由函数的奇偶性可得()()()()1230m g x x x g g g x ++++=L ，由三角函数的性质可得4041m =，再由()()()()()()()()123123m m f x f x f x f x g x x x g m g g x ++++=+++++L L 即可得解. 【详解】由题意()()()()()22sin 20200sin 20201sin 20200x x x x F x f x x x x x x πππ⎧---<⎪=--=⎨--≥⎪⎩，，，设()[]22,1,10x x x g x x x x x ⎧--<=∈-⎨-≥⎩，，，()()[]sin 2020,1,1h x x x π=∈-， 则123m x x x x L ，，，，为方程()()g x h x =的根即为函数()g x 与()h x 交点的横坐标， 当0x <时，()()()()22g x x x x x g x --=+=-=--，且()00g =，所以函数()g x 为奇函数；()()()()sin 2020sin 2020h x x x h x ππ-=-=-=-，所以函数()h x 为奇函数；所以1230m x x x x =L ++++，所以()()()()1230m g x x x g g g x ++++=L ， 函数()g x 的图象，如图， 函数()h x 的最小正周期2120201010T ππ==，且()[]1,1h x ∈-，所以在10,1010⎛⎤ ⎥⎝⎦，12,10101010⎛⎤ ⎥⎝⎦，231009,,1101010101010⎛⎤⎛⎤⋅⋅⋅ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦上，()()g x h x =均有两个不等实根，所以在(]0,1上，()()g x h x =共有2020个不等实根， 所以在[)1,0-上，()()g x h x =共有2020个不等实根，又()()00g h =，所以()()g x h x =在[]1,1-上共有4041个不等实根即4041m =， 所以()()()()123m f x f x f x f x ++++L()()()()1234041m g g g x x x g x m ++=+++=L .故选：B.【点睛】本题考查了函数周期性和奇偶性的应用及函数零点相关问题的解决，考查了转化化归思想和数形结合思想，属于中档题.二、双空题13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为________，表面积为________．3π 3π 【解析】由题意可得该几何体为底面半径为1、母线长为23锥体积和表面积公式即可得解. 【详解】由题意可知，该几何体为底面半径为1、母线长为23的圆锥，所以该几何体体积213133V ππ=⨯=， 表面积21123S πππ=⨯+⨯⨯=， 3π，3π. 【点睛】本题考查了三视图的识别及圆锥体积、表面积的计算，属于基础题.三、填空题 14．在()5211ax x x+-的展开式中，3x 的系数为15，则实数a =_______． 【答案】5【解析】由题意结合二项式定理写出二项式()521x -的展开式的通项公式，分别令1022r -=、1024r -=即可得3x 的系数，即可得解.【详解】二项式()521x -的展开式的通项公式为：()()()2021155511rr rrr r r x T C C x-+-=⋅⋅-=⋅-⋅，令1022r -=即4r =，则()()4455115rrC C ⋅-=⋅-=， 令1024r -=即3r =，则()()33551110r r C C ⋅-=⋅-=-， 所以()5211ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为510a -，所以51015a -=即5a =. 故答案为：5. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了计算能力，属于基础题.15．已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为3π，若向量122e e +u r u u r 与122e ke +u r u u r 的夹角为56π，则实数k 的取值为_______． 【答案】-10【解析】建立直角坐标系，表示出122e e +u r u u r 、122e ke +u r u u r的坐标后，利用()()1212121212122cos 2,2222e ke e ke e ke e e e e e e ++++=⋅++⋅u u r u u r u u r u u ru u u r u r u r u r u r u r r u u r 列出方程即可得解.【详解】如图建立直角坐标系，由题意得()11,0e=u r，21,22e ⎛= ⎝⎭u ur ，则(122e e +=u u ru r ，121222e ke k ⎛+=+ ⎝⎭u u u r r ， 所以()()1212121212122cos 2,2222e ke e ke e ke e e e e e e ++++=⋅++⋅u u r u u r u u r u u ru u u r u r u r u r ur u r r u u r2223544522cos67241343222kk k k k k k π+++===⋅++⎛⎫⎛⎫+⋅++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即25402219100kk k ⎧+<⎪⎨⎪+-=⎩，解得10k =-.故答案为：10-.【点睛】本题考查了平面向量运算的坐标表示及利用平面向量数量积解决向量夹角相关问题，考查了计算能力，属于中档题.16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*122n n a a n n cos sin n N n ππ++=-∈，且2019110090m S a m +=->，，则119a m+的最小值为_______． 【答案】16【解析】由三角函数的性质可得当()4n k k N =∈时，4414k k a a k ++=；当()42n k k N =+∈时，()424342k k a a k +++=-+；利用分组求和可得201911010S a =-，进而可得11m a +=，利用基本不等式即可得解.【详解】当()4n k k N =∈时，44144cos sin cos0sin 01422k k a a k k k ππ++=-=-=，即4414k k a a k ++=； 当()42n k k N =+∈时，()()42434242cossin cos sin 14222k k k k a a k ππππ+++++=-=-=-+， 即()424342k k a a k +++=-+；∴()()()201912345201820191242018S a a a a a a a a =+++++⋅⋅⋅++=-+-⋅⋅⋅-()()()1124682014201620181010a a =+-++-++⋅⋅⋅+-+-=-，∴2019110101009m S m a +=+-=-， ∴11m a +=，又10a m >，∴10a >，0m >，∴()1111191919101016a m a m a m a m a m ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当119a m a m=时等号成立. 故答案为：16. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和基本不等式的应用，考查了分组求和法求数列前n 项和的应用，属于中档题.四、解答题17．ABC n 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知c =absinCasinA bsinB csinC=+-（1）求角C 的大小； （2）求2b a +的最大值． 【答案】（1）3π；（2）． 【解析】（1）由正弦定理得222abc a b c =+-cos C =，即可得解；（2）由正弦定理得2sin a A =，2sin b B =，则转化条件得()2b a A ϕ+=+，确定2,23ππϕϕ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭后即可得解.【详解】（1）由题意及正弦定理可得：222abca b c=+- 由余弦定理得：2222cos a b c ab C +-=⋅，所以2221cos 262a b c C ab +-===，由()0,C π∈可得3C π=；（2）由正弦定理可得：2sin sin sin a b cA B C====， 所以2sin a A =，2sin b B =，又A B C π++=，所以22sin 2sin 2sin 33b B A A ππ⎛⎫⎛⎫==-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22sin 4sin sin 4sin 5sin 3b a A A A A A A A π⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭()A ϕ=+,由tan 5ϕ=可得0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,3A πϕϕϕ⎛⎫+∈+⎪⎝⎭，2,23ππϕϕ⎛⎫∈+⎪⎝⎭， 所以()sin 1max A ϕ+=，所以2b a +≤. 故2b a +的最大值为【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了三角恒等变换的应用，属于中档题. 18．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率； （2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望()E Y【答案】（1）27128；（2）分布列详见解析，数学期望()34E Y =． 【解析】（1）由题意可得()2520100P x ≥=，由二项分布的概率公式即可得解；（2）先利用分层抽样的概念算出各组抽取的人数，根据超几何分布的概率公式求出()0P Y =、()1P Y =、()2P Y =、()3P Y =后即可列出分布列，进而即可求得期望.【详解】（1）记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A ，由表可知()251201004P x ≥==，所以()22241127144128P A C ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅； （2）由题意得：抽取的20x <的人数为31294⨯=；20x ≥的人数为11234⨯=； 从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y 的可能取值为0，1，2，3，则()39312840220C P Y C ===；()21933121081220C C P Y C ===； ()1293312272220C C P Y C ===；()3331213220C P Y C ===；所以Y 的分布列为：所以Y 的数学期望()84108271301232202202202204E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了二项分布和超几何分布的应用，考查了离散型随机变量分布列和期望的求解，属于中档题.19．如图1，在边长为2的等边ABC V 中，D E ，分别为边AC AB ，的中点，将∆AED 沿ED 折起，使得AB AD ⊥ ， AC AE ⊥，得到如图2的四棱锥A -BCDE ，连结BD CE ，，且BD 与CE 交于点H ．（1）求证：AH ⊥平面BCDE ; （2）求二面角B AE D --的余弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）3【解析】（1）由题意可得EHA EAC △△∽，DHA DAB △△∽，即可得AH BD ⊥，AH EC ⊥，利用线面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系后，表示出各点坐标，求出平面AED 、平面AEB 的一个法向量为1n u r 、2n u u r，利用121212cos n n n n n n ⋅=u r u u ru r u u r u r u u r ，即可得解. 【详解】（1）证明：由题意1AE AD ==，3CE BD ==因为D 、E 分别为AC 、BD 的中点，所以EHD CHB △△∽且相似比为2，所以33EH DH ==，33BH CH ==， 所以3AE EH CE AE ==3AD DHBD AD == 所以EHA EAC △△∽，DHA DAB △△∽，又因为AB AD ⊥，AC AE ⊥，所以AH BD ⊥，AH EC ⊥， 由BD CE H =I 可得AH ⊥平面BCDE ，得证.（2）如图，过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系；所以()000D ，，，)30B ，，，()010C ，，，由（1）知2263AH AD DH =-=，则360A ⎝⎭，， 由131,022DE CB ⎫==-⎪⎪⎝⎭u u u r u u u r 可知3102E ⎫-⎪⎪⎝⎭，， 所以3162AE =-⎝⎭u u u r ，，2360AB =-⎝⎭u u u r ，，360DA =⎝⎭u u u r ，， 设平面AED 的一个法向量为()1111n x y z =u r，，，所以110 0AE n DA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u v u u u v u v ，即111113160623 36033x y z x z --=⎪⎨⎪+=⎪⎩，取11z =-得)1261n =-u r ，，，同理可得平面AEB 的一个法向量(2132n =u u r，， 所以1212123cos n n n n n n ⋅==u r u u ru r u u r u r u u r ，， 由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角B AE D --的余弦值为3- 【点睛】本题考查了线面垂直的证明和利用空间向量求二面角，考查了计算能力，属于中档题. 20．已知M e 过点)3A ，，且与(22316N x y ++=e ：内切，设M e 的圆心M的轨迹为C ，（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线l 不经过点()20B ，且与曲线C 交于点P Q ，两点，若直线PB 与直线QB 的斜率之积为12-，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）l 过定点203，． 【解析】（1）由题意结合圆的性质可得4MA MN +=，利用椭圆的定义即可得解；（2）当直线l 斜率不存在时，求出各点坐标后即可得l 与x 轴的交点为203⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，联立方程可得122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -=+，进而可转化条件()242PB QB b k k k b k -⋅=+，得出23b k =-后即可得解.【详解】（1）由题意M e过点)A，且与(2216N x y +=e ：内切，易知点()N ，N e 半径为4， 设两圆切点为D ，所以4MD MN ND +==，在M e 中，MD MA =，所以4MA MN MA +=>，所以M的轨迹为椭圆，由椭圆定义可知24a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2221b a c =-=，所以轨迹C 的方程为2214x y +=；（2）①当l 的斜率不存在的时，设()00P x y ，，所以()00Q x y -，， 所以000022001222 14PB QB y y k k x x x y -⎧⋅=⋅=-⎪--⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得0023 3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或002 0x y =⎧⎨=⎩（舍）， 所以l 与x 轴的交点为203⎛⎫⎪⎝⎭，； ②当l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消元可得()222148440k x kbx b +++-=， ()()()222228414446416160kb k b k b ∆=-+-=-+>，所以2241k b >-， 由韦达定理122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -=+，则()()()()()222121212112121212()222224PB QBkx b k x x kb x x b y y kx b k k x x x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅=-----++ ()()()()2222222222222244822414144484242241414b k b k b b k b k b k k k b kb k b k b k k ⋅⋅--+-+-++===--++-+++， 又因为20k b +≠，所以()21422b k b k -=-+，即23b k =-，所以22221143b k k ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，所以23b k =-成立，所以2233y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当23x =时，0y =，所以l 过203⎛⎫⎪⎝⎭，， 综上所述，l 过定点203⎛⎫⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查了椭圆定义的应用和直线与椭圆的综合问题，考查了计算能力，属于中档题. 21．已知函数()()()3214613x f x x ex x g x a x lnx -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭，．（1）求函数()f x 在()0+∞，上的单调区间； （2）用{}max m n ，表示m n ，中的最大值，()f x '为()f x 的导函数，设函数()()(){}h x max f x g x '=，，若()0h x ≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()*11111ln 312313n N n n n n n+++++>∈++-L ． 【答案】（1）()f x 单调递增区间为()3+∞，;() f x 单调递减区间为()03，；（2）43a ≥；（3）详见解析．【解析】（1）求导后求出()0f x '>、()0f x '<的解集后即可得解；（2）转化条件得()0g x ≥在()03，上恒成立，即11ln 3xa x+-≥在()03，上恒成立，令()()1ln 03xF x x x+=<<，求导后求得()F x 的最大值即可得解； （3）利用导数证明1x e x >+，进而可证111111111131233n n n n n n n n e e e e e ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>L ，即可得证. 【详解】（1）因为()()3246x f x x e x x -=-+-，所以()()()()3332632x x f x x ex x e --=-+-='-+，令()0f x '=得3x =，当3x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当03x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以函数()f x 在()0+∞，上的单调递增区间为()3+∞，，单调递减区间为()03，； （2）由（1）知()()()332x f x x e-'=-+，当3x ≥时，()0f x '≥恒成立，故()0h x ≥恒成立；当3x <时，()0f x '<，又因为()()(){}0h x max f x g x '=≥，恒成立，所以()0g x ≥在()03，上恒成立， 所以11ln 03a x x ⎛⎫---≥ ⎪⎝⎭，即11ln 3xa x+-≥在()03，上恒成立， 令()()1ln 03x F x x x +=<<，则()13max a F x -≥， 由()()221ln 1ln x xF x x x-+-'==， 令()0F x '=得1x =，易得()F x 在()01，上单调递增，在[)13，上单调递减，所以()()11max F x F ==，所以113a -≥，即43a ≥，综上可得43a ≥.（3）证明：设()()10xm x e x x =-->，则()10xm x e '=->，所以()m x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00m x m >=，即1x e x >+， 所以1111111111312312333112313n n n nn n n nn n n n n ee eeen n n n n++++++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-L 123331231n n n nn n n n +++>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++-， 所以11111ln 312313n n n n n +++++>++-L . 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了计算能力和推理能力，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为312x ty t =+⎧⎨=+⎩，(t 为参数)，曲线2C的参数方程为x y θ⎧=⎪⎨⎪=⎩，(θ为参数，且322ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，)． （1）求1C 与2C 的普通方程，（2）若A B ，分别为1C 与2C 上的动点，求AB 的最小值．【答案】（1）1C 的普通方程为2250x y C --=；的普通方程为22133x y -=，x ≤（2【解析】（1）消参即可求出1C 的普通方程；对2C 的参数方程同时平方得()222222223cos sin 3cos cos 3sin cos x y θθθθθθ⎧+⎪==⎪⎨⎪=⎪⎩，再结合322ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可得2C 的普通方程； （2）设1C 的平行直线为20x y c -+=，当直线20x y c -+=与2C 相切时，两直线的距离即为AB 的最值，即可得解. 【详解】（1）消参可得1C 的普通方程为250x y --=；又因为2C的参数方程为cos x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得()222222223cos sin 3cos cos 3sin cos x y θθθθθθ⎧+⎪==⎪⎨⎪=⎪⎩， 又322ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，所以x ≤ 所以2C的普通方程为(22133x y x -=≤，（2）由题意，设1C 的平行直线为20x y c -+=，联立2220133x y c x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩消元可得：223430x cx c +++=，令()()2212340c c ∆=+=-，解得3c =±，又因为x ≤3c =时直线与2C 相切， 所以5min AB ==. 【点睛】本题考查了参数方程和直角坐标方程的转化，考查了圆锥曲线上的点到直线上的点的距离的最值的求解，属于中档题.23．已知函数()36f x x x a =-++， （1）当1a =时，解不等式()3f x <;（2）若不等式()114f x x <-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）()85-，． 【解析】（1）由题意()47125,12?472x x f x x x x x -+<⎧⎪=-+≤<⎨⎪-≥⎩，，，分类讨论即可得解；（2）转化条件得5a <且25a x >-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立，根据恒成立问题的求解方法即可得解. 【详解】（1）当1a =时，()47136125,12?472x x f x x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=-+≤<⎨⎪-≥⎩，，，当1x <时，()3f x <即473x -+<，解得1x >（舍）；当12x ≤<时，()3f x <即253x -+<，解得1x >，所以12x <<； 当2x ≥时，()3f x <即473x -<，解得52x <，所以522x ≤<； 综上，()3f x <的解集为51,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）由()36114f x x x a x =-++<-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 则5 50x a xx ⎧-<-⎨->⎩对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 所以5 5x x a x a x-<-⎧⎨-<-⎩即5a <且25a x >-对任意342x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，成立， 即85a -<<，故a 的取值范围为()85-，. 【点睛】本题查了绝对值不等式的求解和含绝对值恒成立问题的求解，考查了计算能力和分类讨论思想，属于中档题.。

2020年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|0<x<1,x∈R}，N={x||x|<2,x∈R}，则()A. M∩N=MB. M∩N=NC. M∪N=MD. M∪N=R2.若复数z满足方程z2+2=0，则z3=()A. ±2√2B. −2√2C. −2√2iD. ±2√2i3.若直线kx−y+1=0与圆x2+y2+2x−4y+1=0有公共点，则实数k的取值范围是()A. [−3,+∞)B. (−∞,−3]C. (0,+∞)D. (−∞,+∞)4.已知p：|x+1|>2，q：2<x<3，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.设函数f(x)=2cos(12x−π3)，若对于任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1−x2|的最小值为()A. π2B. πC. 2πD. 4π6.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V，若P，Q分别在AA1，CC1上，且AP=13AA1，CQ=13CC1，则四棱锥B−APQC的体积是()A. 16V B. 29V C. 13V D. 79V7.为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为()A. 514B. 914C. 37D. 478.已知直线l：y=x−2与x轴的交点为抛物线C：y2=2px的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，则AB中点到抛物线准线的距离为()A. 8B. 6C. 5D. 49. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=13，a 2+a 5=4，若S n ≥4a n +8(n ∈N ∗)，则n 的最小值为( )A. 8B. 9C. 10D. 1110. 已知点P(x 0,y 0)是曲线C ：y =x 3−x 2+1上的点，曲线C 在点P 处的切线与y =8x −11平行，则( )A. x 0=2B. x 0=−43C. x 0=2或x 0=−43D. x 0=−2或x 0=4311. 已知O 为坐标原点，设双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 上位于第一象限内的点．过点F 2作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为A ，若b =|F 1F 2|−2|OA|，则双曲线C 的离心率为( )A. 54B. 43C. 53D. 212. 已知函数f(x)={−x 2−x +1,x <0x 2−x +1,x ≥0，若F(x)=f(x)−sin(2020πx)−1在区间[−1,1]上有m 个零点x 1，x 2，x 3，…，x m ，则f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)+⋯+f(x m )=( )A. 4042B. 4041C. 4040D. 4039二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 在(ax +1x )(x 2−1)5的展开式中，x 3的系数为15，则实数a =______．14. 已知单位向量e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 的夹角为π3，若向量e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 与2e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ 的夹角为5π6，则实数k 的值为______．15. 记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n +a n+1n=cosnπ2−sinnπ2(n ∈N ∗)，且m +S 2019=−1009，a 1m >0，则1a 1+9m 的最小值为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为 (1) ，表面积为 (2) ．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）= 17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=√3，且满足absinCasinA+bsinB−csinC √3．(1)求角C的大小；(2)求b+2a的最大值．18.随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；(1)以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；(2)依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y的分布列及数学期望E(Y)．19.如图1，在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点，将△AED沿ED折起，使得AB⊥AD，AC⊥AE，得到如图2的四棱锥A−BCDE，连结BD，CE，且BD与CE交于点H．(1)求证：AH⊥平面BCDE；(2)求二面角B−AE−D的余弦值．20.已知⊙M过点A(√3,0)，且与⊙N：(x+√3)2+y2=16内切，设⊙M的圆心M的估轨迹为C，(1)求轨迹C的方程；(2)设直线l不经过点B(2,0)且与曲线C交于点P，Q两点，若直线PB与直线QB的斜，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，率之积为−12请说明理由．21. 已知函数f(x)=(x −4)e x−3+x 2−6x ，g(x)=(a −13)x −1−lnx ．(1)求函数f(x)在(0,+∞)上的单调区间；(2)用max{m,n}表示m ，n 中的最大值，f′(x)为f(x)的导函数，设函数ℎ(x)=max{f′(x),g(x)}，若ℎ(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明：1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n >ln3(n ∈N ∗)．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+ty =1+2t(t 为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√3tanθ(θ为参数，且θ∈(π2,3π2))．(1)求C 1与C 2的普通方程，(2)若A ，B 分别为C 1与C 2上的动点，求|AB|的最小值．23. 已知函数f(x)=|3x −6|+|x +a|．(1)当a =1时，解不等式f(x)<3；(2)若不等式f(x)<11−4x 对任意x ∈[−4,−32]成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合M={x|0<x<1,x∈R}，N={x||x|<2,x∈R}={x|−2<x<2,x∈R}，∴M∩N={x|0<x<1,x∈R}=M，M∪N={x|−2<x<2,x∈R}=N．故选：A．求出集合M，N，进而求出M∩N，M∪N，由此能求出结果．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由z2+2=0⇒z=±√2i⇒z3=±2√2i，故选D．先求复数z，再求z3即可复数代数形式的运算，是基础题．3.【答案】D【解析】解：圆方程可整理为(x+1)2+(y−2)2=4，则圆心(−1,2)，半径r=2，≤2，整理得3k2−2k+3≥0，则圆心到直线的距离d=√1+k2因为△=4−36<0，故不等式恒成立，所以k∈(−∞,+∞)，故选：D．整理圆的方程得到其圆心与半径，直线与圆有交点等价于圆心到直线的距离d=≤2，解不等式即可√1+k2本题考查直线与圆的位置关系、根的判别式，不等式解集等，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：p：|x+1|>2，解得：x>1，或x<−3．q：2<x<3，则q⇒p，但是p无法推出q．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．解出不等式p，即可判断出关系．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：函数f(x)=2cos(12x−π3)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，∴f(x1)是函数的最小值，f(x2)是函数的最大值，|x1−x2|的最小值就是函数的半周期，T 2=12×2π12=2π；故选：C．由题意可知f(x1)≤f(x)≤f(x2)，f(x1)是函数的最小值，f(x2)是函数的最大值，|x1−x2|的最小值就是半个周期．本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，题意的正确理解，考查分析问题解决问题的能力．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查多面体体积的求法，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．由题意画出图形，过P作PG//AB交BB1于G，连接GQ，由等体积法可得V B−APQC=2 3V ABC−PQG，再由已知得到V ABC−PQG=13V ABC−A1B1C1，即可得出．【解答】解：如图，过P作PG//AB交BB1于G，连接GQ，在三棱柱ABC −PQG 中，由等积法可得V B−APQC =23V ABC−PQG ， ∵AP =13AA 1，CQ =13CC 1，∴V ABC−PQG =13V ABC−A 1B 1C 1，∴V B−APQG =23V ABC−PQG =23×13V ABC−A 1B 1C 1=29V ．故选：B ．7.【答案】C【解析】解：某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾． 某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学． 现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数n =C 105=252，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数：m =C 22C 21C 31C 31+C 21C 22C 31C 31+C 21C 21C 32C 31+C 21C 21C 31C 32=108，则每个宣传小组至少选派1人的概率为P =m n=108252=37．故选：C ．基本事件总数n =C 105=252，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数m =C 22C 21C 31C 31+C 21C 22C 31C 31+C 21C 21C 32C 31+C 21C 21C 31C 32，由此能求出每个宣传小组至少选派1人的概率．本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：抛物线C ：y 2=2px ，可得准线方程为：x =−p2，直线l ：y =x −2，经过抛物线的焦点坐标，可得P =4，抛物线方程为：y 2=8x 由题意可得：{y 2=8x y =x −2，可得x 2−12x +4=0，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的横坐标为：6， 则线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为：6+2=8．故选：A．求出抛物线的准线方程，然后求解准线方程，求出线段AB的中点的横坐标，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．9.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2+a5=4，可得：13+d+13+4d=4，解得d=23，所以S n=n3+n(n−1)×13=n23，a n=13+(n−1)×23=2n−13，S n≥4a n+8(n∈N∗)，可得：n23≥8n−43+8，可得：n2−8n−20≥0，解得n≥10或n≤−2(舍去)，所以n的最小值为10．故选：C．利用等差数列通项公式求出数列的首项与公差，然后求解通项公式以及数列的和，结合不等式求解即可．本题考查等差数列的通项公式以及前n项和，数列与不等式相结合，考查转化首项以及计算能力，是中档题．10.【答案】B【解析】解：由y=x3−x2+1，得y′=3x2−2x，则曲线C在点P(x0,y0)处的切线的斜率为k=y′|x=x=3x02−2x0，∵曲线C在点P处的切线与y=8x−11平行，∴3x02−2x0=8，∴x0=2或x=−43，∵当x0=2时，切线和y=8x−11重合，∴x=−43．故选：B．先求出y=x3−x2+1的导数，得到曲线C在点P(x0,y0)处的切线斜率k，然后根据曲线C在点P处的切线与y=8x−11平行得到关于x0的方程，解方程得到x0的值，再检验得到符合条件的x0．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的性质及角平分线的性质，属于中档题．由角平分线的性质可得延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|=|PB|，可得OA为△BF1F2的中位线，b=|F1F2|−2|OA|=2c−2a再由a，b，c的关系求出离心率．【解答】解：延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|=|PB|，连接OA，则OA为△BF1F2的中位线，所以|BF1|=2|OA|，而|BF1|=|PF1|−|PB|=|PF1|−|PF2|=2a，因为b=|F1F2|−2|OA|=2c−2a，而b2=c2−a2所以c2−a2=4(c−a)2整理可得3c2−8ac+5a2=0，即3e2−8e+5=0，解得e=53或1，再由双曲线的离心率大于1，可得e=5，3故选：C．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查正弦函数的图象和性质，分段函数的图象，以及中心对称的函数的性质，属于中档题．本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和． 【解答】解：∵F(x)=f(x)−sin(2020πx)−1在区间[−1,1]上有m 个零点， ∴f(x)−1=sin(2020πx)在区间[−1,1]上有m 个根，即g(x)=f(x)−1={− x 2−x,x <0x 2−x,x ≥0与ℎ(x)=sin(2020πx)在区间[−1,1]上有m 个交点， ∵T =2πω=2π2020π=11010且ℎ(x)关于原点对称，在区间[−1,1]上ℎ(x)max =1，ℎ(x)min =−1 又∵g(x)=f(x)−1={− x 2−x,x <0x 2−x,x ≥0∴在区间[−1,1]上g(x)max =g(−12)=14，g(x)min =g(12)=−14， 且g(x)关于原点对称．∵根据g(x)和ℎ(x)函数图象特点易知在ℎ(x)一个周期内， g(x)和ℎ(x)图象有两个交点．∵T =11010∴在(0,1]内共有1010个周期， ∴g(x)和ℎ(x)图象共有2020个交点， ∵g(x)和ℎ(x)图象都关于原点对称，∴g(x)和ℎ(x)图象在[−1,0)U(0,1]共有4040个交点， 再加上(0,0)这个交点．∵g(x)关于原点对称，设x 1，x 2为关于原点对称的两个交点横坐标， ∴g(x 1)+g(x 2)=0，即f(x 1)−1+f(x 2)−1=0， 即f(x 1)+f(x 2)=2，∴f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)+⋯+f(x m )=40402×2+f(0)=4040+1=4041．故选：B ．13.【答案】5【解析】解：∵(x 2−1)5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r (x 2)5−r⋅(−1)r =(−1)r ⋅C 5r x 10−2r ，r =0，1， (5)∴(ax +1x )(x 2−1)5的展开式中含x 3的系数为a ×(−1)4×C 54+C 53⋅(−1)3=5a −10．又∵5a −10=15，∴a =5． 故答案为：5．先求得(x 2−1)5的展开式的通项公式，再列出含x 3的系数的关于a 的方程，最后求出a ． 本题主要考查二项式定理中的通项公式，属于基础题．14.【答案】−10【解析】解：单位向量e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 的夹角为π3， 即|e 1⃗⃗⃗ |=|e 2⃗⃗⃗ |=1，e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =1×1×cos π3=12； 又向量e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 与2e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ 的夹角为5π6，所以(e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ )⋅(2e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ )=|e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ |×|2e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ |cos 5π6，即2×12+(4+k)×12+2k ×12=√12+4×12+4×12×√4×12+4k ×12+k 2×12×(−√32)； 8+5k =−√21⋅√k 2+2k +4； {8+5k ≤0(8+5k)2=21(k 2+2k +4)， 解得k =−10， 所以实数k 的值为−10．根据单位向量的定义与平面向量数量积的运算法则，求解即可． 本题考查了单位向量的定义与平面向量数量积的运算问题，是中档题．15.【答案】16【解析】解：由已知，a 2+a 3=−2； a 4+a 5=4； a 6+a 7=−6；⋮a 2018+a 2019=−2018；将上述等式左右分别相加，得S 2019−a 1=−2018+1008=−1010；将S 2019=a 1−1010代入等式m +S 2019=−1009， 得m +a 1=1；∵a 1m >0，故都为正数；∴1a 1+9m =(1a 1+9m )(m +a 1)=10+ma 1+9a 1m≥10+2√ma 1⋅9a 1m=16；当且仅当m =3a 1 即m =34，a 1=14时等号成立； 故答案为：16．通过递推式，可求得S 2019与a 1的关系，结合已知等式m +S 2019=−1009，即可求出结论．本题考查了利用递推式求数列前n 项的和，并探究数列的某些性质，属中档题．16.【答案】√3π33π【解析】解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，该几何体的体积V =13×π×12×√3=√3π3；表面积S =π×12+12×2π×1×2=3π． 故答案为：√3π3；3π．由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为1，高为√3.再由圆锥的体积公式及表面积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．17.【答案】解：(1)由题意及正弦定理可得：abca 2+b 2−c 2=√3，由余弦定理得：a 2+b 2−c 2=2ab ⋅cosC ， 所以cosC =a 2+b 2−c 22ab=12，又C 为△ABC 内角， ∴C =π3；(2)由正弦定理可得：asinA =bsinB =csinC =2， 所以a =2sinA ，b =2sinB ， 又因为A +B +C =π， 所以b =2sinB =2sin(A +π3)，所以b +2a =2sin(A +π3)+4sinA =sinA +√3cosA +4sinA =5sinA +√3cosA =2√7sin(A +ϕ)，且tanϕ=√35， 又因为A ∈(0,2π3)，所以sin(A +ϕ)max =1，所以b +2a ≤2√7，即b +2a 的最大值为2√7．【解析】(1)根据已知条件，结合正余弦定理可得cosC =12，由此即可求得C ； (2)易知b =2sinB =2sin(A +π3)，再由三角恒等变换可得b +2a =2√7sin(A +Φ)，结合A ∈(0,2π3)，可知sin(A +ϕ)max =1，由此求得b +2a 的最大值．本题涉及了正余弦定理，三角恒等变换，三角函数的图象及性质等基础知识点，考查计算能力，属于中档题．18.【答案】解：记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A ．由表可知P(x ≥20)=25100，所以P(A)=C 42(14)2(1−14)2=27128． (2)由题意得：x <20的人：12×34=9；x ≥20的人有12×14=3从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y 的可能取值为0，1，2，3，且Y ～H(3,3,12)P(Y =0)=C 93C 123=84220，P(Y =1)=C 92C 31C 123=108220，P(Y =2)=C 91C 32C 123=27220，P(Y =3)=C 33C 123=1220，所以Y 的分布列为：Y 0 1 2 3 P84220108220272201220Y 的分布列及数学期望E(Y)=0×84220+1×108220+2×27220+3×1220=34．【解析】(1)记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A.求出P(x ≥20)=25100=14，利用独立重复实验的概率求解即可． (2)由题意得：x <20的人：12×34=9；x ≥20的人有12×14=3从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y 的可能取值为0，1，2，3，且Y ～H(3,3,12)，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可． 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立重复实验的概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．19.【答案】(1)证明：由题意，AD =CD =1，BD =CE =√3， 又因为AB ⊥AD ，所以AB =√BD 2−AD 2=√3−1=√2=AC ，所以AC 2=AD 2+CD 2，即AD ⊥CD 又因为CD ⊥BD ，且BD ∩AD =D ，所以CD ⊥平面ABD.所以CD ⊥AH ，同理AH ⊥BE ，CD 与BE 是相交直线， 所以AH ⊥平面BCDE ． (2)解：如图，过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系 所以D(0,0,0)，B(√3,0,0)，E(√32,−12,0)，设点A(a,0,b)由AD =1,AB =√2得{a 2+b 2=1(a −√3)2+b 2=2，解得：a =√33,b =√63， 所以A(√33,0,√63)，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√36,−12,−√63)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√33,0,−√63)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,0,√63)，设平面AED 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 所以{AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0⟹{x 1=√3y 1+2√2z 1x 1+√2z 1=0，取z 1=−1，得n 1⃗⃗⃗⃗ =(√2,√6,−1)， 同理可得平面AEB 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,√2)，所以cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ ≥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√33， 由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角B −AE −D 的余弦值为−√33．【解析】(1)证明AD ⊥CD ，CD ⊥BD ，即可证明CD ⊥平面ABD.推出CD ⊥AH ，同理AH ⊥BE ，即可证明AH ⊥平面BCDE ．(2)过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面AED 的法向量，平面AEB 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B −AE −D 的余弦值即可．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意⊙M 过点A(√3,0)，且与⊙N ：(x +√3)2+y 2=16内切，设两圆切点为D 所以|MD|+|MN|=|ND|=4，在⊙M 中，|MD|=|MA|所以|MA|+|MN|=4，所以M 的轨迹为椭圆，由定义可知{2a =4c =√3，所以求轨迹C 的方程为x 24+y 2=1．(2)当l 的斜率不存在的时，设P(x 0,y 0)，所以Q(x 0,−y 0)， 所以{k PB ⋅k QB =y0x 0−2⋅−y0x 0−2=−12x 024+y 02=1，解得{x 0=23y 0=2√23或{x 0=2y 0=0(舍)， 所以l 与x 轴的交点为(23,0)， 当l 的斜率存在时，设l 的方程为y =kx +b 联立{y =kx +bx 24+y 2=1消元可得(1+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−4=0，△=(8kb)2−4(1+4k 2)(4b 2−4)=64k 2−16b 2+16>0， 所以4k 2>b 2−1，由韦达定理x 1+x 2=−8kb1+4k 2；x 1x 2=4b 2−41+4k 2， k PB ⋅k QB =y 1x 1−2⋅y 2x 2−2=(kx 1+b)(x 1−2)(kx 2+b)(x 2−2)=k 2x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k 24b2−41+4k 2−8k 2b 21+4k 2+b 24b 2−41+4k 2−2−8kb 1+4k 2+4=b 2−4k 2(4k+2b)2=(b−2k)(b+2k)4(2k+b)2，又因为2k +b ≠0，所以b−2k4(b+2k)=−12，即b =−23k ， 所以b 2−1=(−23k)2−1<4k 2，所以b =−23k 成立， 所以y =kx −23k =k(x −23)，当x =23时，y =0，所以l 过(23,0)综上所述l 过定点，且点坐标为(23,0)．【解析】(1)由题意⊙M 过点A(√3,0)，且与⊙N ：(x +√3)2+y 2=16内切，推出M 的轨迹为椭圆，结合椭圆定义求轨迹C 的方程．(2)当l 的斜率不存在的时，设P(x 0,y 0)，所以Q(x 0,−y 0)，利用斜率乘积以及点在椭圆上，转化求解l 与x 轴的交点为(23,0)，当l 的斜率存在时，设l 的方程为y =kx +b 联立{y =kx +bx 24+y 2=1，通过判别式推出4k 2>b 2−1，结合韦达定理，利用斜率的乘积推出b =−23k ，然后得到直线系方程说明结果距离．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力是难题．21.【答案】解：(1)因为f(x)=(x −4)e x−3+x 2−6x ，所以f′(x)=(x −3)e x−3+2x −6=(x −3)(e x−3+2)， 令f′(x)=0得x =3当x >3时，f′(x)>0，f(x)单调递增 当0<x <3时，f′(x)<0，f(x)单调递减所以f(x)单调递增区间为(3,+∞)；f(x)单调递减区间为(0,3)．(2)由(1)知f′(x)=(x −3)(e x−3+2)，当x ≥3时f’(x)≥0恒成立，故ℎ(x)≥0恒成立 当x <3时，f’(x)<0，又因为ℎ(x)=max{f’(x),g(x)}≥0恒成立， 所以g(x)≥0在(0,3)上恒成立 所以(a −13)x −1−lnx ≥0，即a −13≥1+lnx x在(0,3)上恒成立令F(x)=1+lnx x ，则a −13≥F(x)max ， F’(x)=1−(lnx+1)x 2=−lnx x 2，令F’(x)=0得x=1，易得F(x)在(0,1)上单增，在[1,3)上单减，所以F(x)max=F(1)=1，所以a−13≥1，即a≥43综上可得a≥43，(3)设m(x)=e x−x−1(x>0)，则m′(x)=e x−1>0，所以m(x)在(0,+∞)上单增，所以m(x)>m(0)=0，即e x>x+1所以e1n+1n+1+1n+1+⋯+13n=e 1n⋅e1n+1⋅e1n+2…e13n>n+1n⋅n+2n+1⋅n+3n+2…3n3n−1⋅3n+13n>n+1n ⋅n+2n+1⋅n+3n+2…3n3n−1=3，所以1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n>ln3．【解析】(1)求出导函数，通过f′(x)=0得x=3然后判断函数的单调性求解函数的单调区间即可．(2)通过ℎ(x)=max{f’(x),g(x)}≥0恒成立，令F(x)=1+lnxx ，推出a−13≥F(x)max，结合函数的导数求解函数的最大值，求解即可．(3)设m(x)=e x−x−1(x>0)，利用函数的导数推出e x>x+1，然后结合不等式转化求解证明即可．本题考查了导数的综合应用及恒成立问题化为最值问题的处理方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题可得：C1的普通方程为2x−y−5=0又因为C2的参数方程为{x=√3cosθy=√3tanθ，两边平方可得{x2=3cos2θy2=3sin2θcos2θ，所以C2的普通方程为x23−y23=1，且x≤−√3．(2)由题意，设C1的平行直线2x−y+c=0联立{2x−y+c=0x23−y23=1消元可得：3x2+4cx+c2+3=0所以△=4c2−36=0，解得c=±3又因为x≤−√3，经检验可知c=3时与C2相切，所以|AB|min =√22+(−1)2=8√55．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和曲线的位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)a =1时，f(x)=|3x −6|+|x +1|={−4x +5,x <−1−2x +7,−1≤x ≤24x −5,x >2；当x <−1时，由f(x)<3得−4x +5<3，解得x >12(不合题意，舍去)； 当−1≤x ≤2时，由f(x)<3得−2x +7<3，解得x >2(不合题意，舍去)； 当x >2时，由f(x)<3得4x −5<3，解得x <2(不合题意，舍去)； 所以不等式f(x)<3的解集⌀；(2)由f(x)=|3x −6|+|x +a|<11−4x 对任意x ∈[−4,−32]成立， 得−(3x −6)+|x +a|<11−4x ，即|x +a|<5−x ， 所以{|x +a|<5−x 5−x >0，所以{x −5<x +ax +a <5−x，得a >−5且a <5−2x 对任意x ∈[−4,−32]成立；即−5<a <8，所以a 的取值范围是(−5,8)．【解析】(1)a =1时，f(x)=|3x −6|+|x +1|，讨论x 的取值范围，去掉绝对值求不等式f(x)<3的解集即可；(2)f(x)=|3x −6|+|x +a|<11−4x 对任意x ∈[−4,−32]成立，等价于|x +a|<5−x 恒成立，去绝对值，从而求出a 的取值范围．本题考查了不等式恒成立的应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法问题，是中档题．。

2020年广东省广州市天河区高考理科数学一模试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x﹣1＞0}，则（∁R A）∩B＝（）A．（1，3）B．（1，3]C．[3，+∞）D．（3，+∞）2．（5分）设复数z满足（z+2i）•i＝3﹣4i ，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8＝15﹣a5，则S9等于（）A．18B．36C．45D．60
4．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n
5．（5分）（x2+2）（）5的展开式的常数项是（）
A．﹣3B．﹣2C．2D．3
6．（5分）已知x1＝1n，x2＝e，x3满足e＝lnx3，则下列各选项正确的是（）A．x1＜x3＜x2B．x1＜x2＜x3C．x2＜x1＜x3D．x3＜x1＜x2 7．（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9数字表示两位数的个数为（）
A．13B．14C．15D．16
8．（5分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，
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2020年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|x<2}，集合N={x|0<x<1}，则M∩N=()A. {x|1<x<2}B. {x|0<x<1}C. {x|x<2}D. R2.设复数z=1−i，则z3=()A. −2+2iB. 2+2iC. −2−2iD. 2−2i3.若直线y=x+b与圆x2+y2−4x+2y+3=0有公共点，则实数b的取值范围是()A. [−2,2]B. [−3,1]C. [−4,0]D. [−5,−1]4.条件p：|x−m|≤2，条件q：−1≤x≤n，若p是q的充要条件，则m+n=()A. 2B. 3C. 4D. 55.当0≤x≤π2时，函数f(x)=sinx+√3cosx的()A. 最大值是√3，最小值是12B. 最大值是√3，最小值是1C. 最大值是2，最小值是1D. 最大值是2，最小值是126.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3,BC=5,，M是AA1的中点，则三棱锥A1−MBC1的体积为()A. 5B. 4C. 3D. 27.同文中学在高一年级进行“三城同创”演讲比赛，如果高一(8)班从3男1女4位同学中选派2位同学参加此次演讲比赛，那么选派的都是男生的概率是()．A. 34B. 14C. 23D. 128.直线l：y=k(x−1)与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，若线段AB的中点横坐标为3，则|AB|的值为()A. 8B. 8√3C. 6√3D. 69.若等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=1，a8+a9=9，则S9=()A. 15B. 16C. 17D. 1810.曲线y=3x−lnx在点(1,3)处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+5C. y=2x+1D. y=2x−111.已知O为坐标原点，F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，PM为∠F1PF2的角平分线，过F1作PM的垂线交PM于点M，则|OM|的长度为()A. aB. bC. a2D. b212.函数f(x)=x2−x−2的零点是()A. –2，–1B. 2，–1C. 1，2D. 1，–2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图完全相同，均为等边三角形与矩形的组合，俯视图为圆，若已知该几何体的表面积为16π，则x=______ ．14.已知(2+x2)(ax+1a)6展开式中含x4项的系数为45，则正实数a的值为______．15.设单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的夹角是2π3，若(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⊥(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )，则实数k的值是______ ．16.已知数列{a n}的前n项和S n=n3，则a6+a7+a8=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin(2A+B)sinA=2+2cos(A+B)．(1)证明：b=2a；(2)若c=√7a，求∠C大小．18.“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．(1)经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；(2)某调查人员在调查这200人时，有3张周末的马拉松训练活动体验卡要向他们发放，若被调查者为“热烈参与者”，即送其1张体验卡，否则不予送出．调查人员顺次调查完前3人后，剩余的体验卡数量为ξ，试根据统计表的数据，以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，求ξ的分布列及期望．19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．(1)求证：AE⊥平面A1BD；(2)求二面角D−BE−B1的余弦值．20.已知定点A(−3,0)、B(3,0)，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为−1，记动点M的9轨迹为曲线C．(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)过点T(1,0)的直线l与曲线C交于P、Q两点，是否存在定点S(s,0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在请说明理由．21. 已知函数f(x)=ln(x +a)−x ，a ∈R ．(1)当a =−1时，求f(x)的单调区间；(2)若x ≥1时，不等式e f(x)+a 2x 2>1恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：{x =1+12t y =√32t(t 为参数)，曲线C 1：{x =√2cosθy =sinθ(θ为参数)．(1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB|；(2)若Q 是曲线C 2：{x =cosαy =3+sinα(α为参数)上的一个动点，设点P 是曲线C 1上的一个动点，求|PQ|的最大值．23. 设f(x)=|x +1|−|2x −1|，(1)求不等式f(x)≤x +2的解集；(2)若不等式满足f(x)≤|x|(|a −1|+|a +1|)对任意实数x ≠0恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集的运算，属于基础题．求出集合M，N，即可求解．解：∵集合M={x|x<2}，集合N={x|0<x<1}，∴M∩N={x|0<x<1}．故选B．2.答案：C解析：本题考查了复数的运算法则、考查了计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则求解即可．解：，故选C．3.答案：D解析：本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．将圆的一般方程转化为标准方程，根据题意可知圆心(2,−1)到直线x−y+b=0的距离小于等于半径√2，即可求得b的取值范围．解：圆x2+y2−4x+2y+3=0转化成标准方程为(x−2)2+(y+1)2=2，圆心为(2,−1)，半径为√2，因为直线y=x+b与圆x2+y2−4x+2y+3=0有公共点，≤√2，解得−5≤b≤−1，所以√1+1故选：D．4.答案：C解析：解：条件p：|x−m|≤2，解出m−2≤x≤m+2.条件q：−1≤x≤n，由p是q的充要条件，∴m−2=−1，m+2=n，解得m=1，n=3．则m+n=4．故选：C．条件p：|x−m|≤2，解出m−2≤x≤m+2.条件q：−1≤x≤n，由p是q的充要条件，可得m−2=−1，m+2=n，解出即可得出．本题考查了不等式与方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：利用辅助角公式将函数f(x)化简，根据三角函数的有界限求解即可．本题考查三角函数的图象及性质的运用，考查转化思想以及计算能力．解：函数f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3).当0≤x≤π2时，则π3≤x+π3≤5π6，那么：当x+π3=5π6时，函数f(x)取得最小值为1．当x+π3=π2时，函数f(x)取得最大值为2．故选C．6.答案：B解析：本题考查三棱柱体积的求法，属于基础题.根据题意可得sin∠MA1B=35，A1B=5，，A1M=2，即可得到S△A1MB,进而求出三棱锥A1−MBC1的体积．解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3,BC=5,M是AA1的中点，则sin∠MA1B=35，A1B=5，，A1M=2，所以S△A1MB =12·A1M·A1B·sin∠MA1B=12×2×5×35=3，所以棱锥A1−MBC1的体积为 VA1−MBC1=VC−A1MB=13×C1A1·S△A1MB=13×4×3=4．7.答案：D解析：本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．基本事件总数n=C42=6，选派的都是男生包含的基本事件个数m=C32=3，由此能求出选派的都是男生的概率．解：高二8班从3男1女4位同学中选派2位同学参加某演讲比赛，三男一女分别记为A，B，C，D，则4位同学中选派2位同学的结果有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种，选派的都是男生包含的结果有AB，AC，BC，共三种，∴选派的都是男生的概率p=36=12．故选D．8.答案：A解析：本题考查抛物线的性质和应用，正确运用抛物线的定义是关键．线段AB的中点到准线的距离为4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|AB|的值．解：由题设知直线l：y=k(x−1)经过抛物线C：y2=4x的焦点坐标，线段AB的中点到准线的距离为3+1=4，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8．故选：A．9.答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式，属于基础题．由a 8+a 9=9，a 4=1联立解方程组即可求出等差数列的的公差和首项，然后代入求和公式． 解：因为{a n }是等差数列，所以可设a n =a 1+(n −1)d ，所以a 4=a 1+3d =1，a 8+a 9=2a 4+9d =9，所以d =79，a 1=−43，所以S 9=9×(−43)+9×82×79=16． 故选B ． 10.答案：C解析：本题考查曲线的切线方程，考查导数的几何意义，属于基础题．求导数，确定切线的斜率，即可求出曲线y =3x −lnx 在点(1,3)处的切线方程． 解：由题意，y ′=3−1x ，所以曲线过点(1,3)处的切线斜率为k =3−1=2，所以切线方程为y −3=2(x −1)，即y =2x +1，故选C ． 11.答案：A解析：解：依题意如图，延长F 1M ，交PF 2于点T ，∵PM 是∠F 1PF 2的角分线．TF 1是PM 的垂线，∴PM 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|=|PT|，∵P为双曲线x2a2−y2b2=1上一点，∴|PF1|−|PF2|=2a，∴|TF2|=2a，在三角形F1F2T中，MO是中位线，∴|OM|=a．故选：A．先画出双曲线和焦点三角形，由题意可知PM是TF1的中垂线，再利用双曲线的定义，数形结合即可得结论．本题考查了双曲线的定义的运用以及双曲线标准方程的意义，解题时要善于运用曲线定义，数形结合的思想解决问题．12.答案：B解析：本题主要考查函数零点的判定定理．由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标．令f(x)=0，由二次方程的解法，运用因式分解解方程即可得到所求函数的零点．解：令f(x)=0，即x2−x−2=0，即有(x−2)(x+1)=0，解得x=2或x=−1．即函数f(x)的零点为2或−1．故选B．13.答案：2√3解析：解：由三视图可知此几何体是组合体：上面是圆锥、下面是圆柱，∵正视图与侧视图完全相同，均为等边三角形与矩形的组合，∴圆锥的高是x，则半径为xtan60°=√3，母线长是xsin60°=2√3x3，则圆柱的底面半径是√3，高是1，∵该几何体的表面积为16π，∴π×(√3)2+2π×√3×1+π√3× 2√3x 3=16π，化简得，√3x 2+2x −16√3=0， 解得x =2√3或x =3舍去)， 故答案为：2√3．由三视图可知此几何体是组合体：上面是圆锥、下面是圆柱，由条件和直角三角形的三角函数求出半径、圆锥母线长，利用圆柱、圆锥的表面积公式列出方程求出x 的值．本题考查了由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．14.答案：√22或1解析：本题考查了二项式定理的应用以及利用二项展开式的通项公式求展开式中某项系数的问题，是综合性题目，属于基础题．根据(ax +1a )6展开式的通项公式求出展开式中含x 4与x 2，从而求出(2+x 2)(ax +1a )6展开式中含x 4项的系数，列出方程求出正实数a 的值． 解：∵(ax +1a )6展开式的通项公式为：T r+1=C 6r ⋅(ax)6−r ⋅(1a )r =C 6r⋅a 6−2r ⋅x 6−r ，令6−r =4，得r =2，∴T 2+1=C 62⋅a 2⋅x 4=15a 2x 4，令6−r =2，得r =4，∴T 4+1=C 64⋅a −2⋅x 2=15a −2x 2，∴(2+x 2)(ax +1a )6展开式中含x 4项的系数为： 2×15a 2+15a −2=45， 整理得2a 4−3a 2+1=0， 解得a 2=1或a 2=12， ∴正实数a =1或a =√22．故答案为√22或1．15.答案：54解析：本题考查了平面向量的数量积公式的应用以及向量垂直的性质；属于常规题．首先求出单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的数量积，再根据(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )·(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )=0，得到关于k的方程解之即可．解：因为单位向量e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 的夹角是2π3，所以e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =1×1×cos2π3=−12，并且(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⊥(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )，所以(e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ )⋅(k e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )=0，展开得k e1⃗⃗⃗ 2−2e2⃗⃗⃗ 2+(1−2k)e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =0，即k−2−12(1−2k)=0，解得k=54．故答案为：54．16.答案：387解析：本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列部分项的和，是基础的计算题．由已知数列的前n项和，利用a6+a7+a8=S8−S5求得结果．解：由S n=n3，得a6+a7+a8=S8−S5=83−53=387．故答案为：387．17.答案：解：(1)sin(2A+B)sinA=2+2cos(A+B)．∴sin(2A+B)=2sinA+2sinAcos(A+B)，∴sinAcos(A+B)+cosAsin(A+B)=2sinA+2sinAcos(A+B)，∴−sinAcos(A+B)+cosAsin(A+B)=2sinA，即sinB=2sinA，故由正弦定理可得b=2a．(2)由余弦定理可得cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+4a 2−7a 24a 2=−12，因为∠C 是△ABC 的内角， 故∠C =2π3．解析：(1)等式可化简为sinB =2sinA ，故由正弦定理可得b =2a ； (2)由余弦定理可得cosC =−12，∠C 是△ABC 的内角，故可得∠C =2π3．本题主要考查了余弦定理的综合应用，属于基础题．18.答案：解：(1)以200人中，“热烈参与者”的频率作为概率，则估计该市“热烈参与者”的人数约为：20000×15=4000； (2)根据题意可知，ξ～B(3,45)，P(ξ=0)=C 30×(15)3=1125， P(ξ=1)=C 31×45×(15)2=12125， P(ξ=2)=C 32×(45)2×15=48125， P(ξ=3)=C 33×(45)3=64125，∴ξ的分布列为：E(ξ)=3×45=125．解析：本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)以200人中，“热烈参与者”的频率作为概率，可估计该市“热烈参与者”的人数； (2)根据题意可知，ξ～B(3,45)，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．19.答案：证明：(1)∵AB =BC =CA ，D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∵AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，∴平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，又平面AA 1C 1C ∩平面ABC =AC ，BD ⊂平面ABC ， ∴BD ⊥平面AA 1C 1C ， 又AE ⊂平面AA 1C 1C ， ∴BD ⊥AE ．又∵在正方形AA 1C 1C 中，D ，E 分别是AC ，CC 1的中点， 根据相似三角形，易得A 1D ⊥AE ． 又A 1D ∩BD =D ，A 1D 、BD ⊂平面A 1BD ， ∴AE ⊥平面A 1BD ．解：(2)因为BD ⊥平面AA 1C 1C ，根据题意，取A 1C 1中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， D(0,0，0)，E(1,−1,0)，B(0,0,√3)，B 1(2,0,√3)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√3)， 设平面DBE 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =√3z =0DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =x −y =0，令x =1，则m⃗⃗⃗ =(1,1，0)， 设平面BB 1E 的一个法向量为n⃗ =(a,b ，c)， 则{BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2a =0EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =a +b +√3c =0，令c =√3，则n ⃗ =(0,−3,√3) 设二面角D −BE −B 1的平面角为θ，观察可知θ为钝角， cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√64，∴cosθ=−√64，故二面角D −BE −B 1的余弦值为−√64．解析：本题考查线面垂直的证明，考查向量法求解二面角的余弦值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出BD ⊥AC ，从而平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，进而BD ⊥平面AA 1C 1C ，BD ⊥AE ，再求出A 1D ⊥AE ，由此能证明AE ⊥平面A 1BD ．(2)取A 1C 1中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −BE −B 1的余弦值．20.答案：解：(Ⅰ)设动点M(x,y)，则k MA =yx+3,k MB =yx−3(x ≠±3)， ∵k MA k MB =−19，即yx+3⋅yx−3=−19． 化简得x 29+y 2=1，由已知x ≠±3， 故曲线C 的方程为x 29+y 2=1(x ≠±3)．(Ⅱ)由已知直线l 过点T(1,0)， 设l 的方程为x =my +1， 则联立方程组{x =my +1x 2+9y 2=9，消去x 得 (m 2+9)y 2+2my −8=0， 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则{y 1+y 2=−2mm 2+9y 1y 2=−8m 2+9， 直线SP 与SQ 斜率分别为k SP =y 1x 1−s =y 1my 1+1−s ，k SQ =y 2x 2−s =y2my 2+1−s ，k SP k SQ =y 1y 2(my 1+1−s)(my 2+1−s)=y 1y 2m 2y 1y 2+m(1−s)(y 1+y 2)+(1−s)2=−8(s 2−9)m 2+9(1−s)2．当s =3时，k SP k SQ =−89(1−s)2=−29； 当s =−3时，k SP k SQ =−89(1−s)2=−118．所以存在定点S(±3,0)，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．解析：本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于较难题． (Ⅰ)设动点M(x,y)，则k MA =yx+3,k MB =yx−3(x ≠±3)，利用k MA k MB =−19，求出曲线C 的方程． (Ⅱ)由已知直线l 过点T(1,0)，设l 的方程为x =my +1，则联立方程组{x =my +1x 2+9y 2=9，消去x 得(m 2+9)y 2+2my −8=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)利用韦达定理求解直线的斜率，然后化简即可推出结果．21.答案：解：(1)当a =−1时，f(x)=ln(x −1)−x ，x >1，f′(x)=1x−1−1=2−xx−1，当1<x <2时，f′(x)>0，f(x)递增， 当x >2时，f′(x)<0，f(x)递减， 故f(x)在(1,2)递增，在(2,+∞)递减；(2)由题意得：x ≥1时，x +a >0恒成立，故a >−1，①， 不等式e f(x)+a2x 2>1恒成立， 即a2x 2+x+a e x −1>0对任意的x ≥1恒成立，设g(x)=a2x 2+x+a e x−1，x ≥1，g′(x)=ae x x−x+1−ae x，a ≤0时，g(2)=a(2+1e 2)−1+2e 2<0，不合题意， a >0时，要使x ≥1时，不等式e f(x)+a2x 2>1恒成立， 只需g(1)=a(12+1e )−1+1e >0，即a >2(e−1)e+2，a >2(e−1)e+2时，ae x x −x +1−a =a(e x x −1)+1−x >2(e−1)e+2(e x x −1)+1−x ，设ℎ(x)=2(e−1)e+2(e x x −1)+1−x ，x ≥1，ℎ′(x)=2(e−1)e+2e x x +2(e−1)e+2e x −1，x ≥1，显然ℎ′(x)在(1,+∞)递增，∴ℎ′(x)>ℎ′(1)=4e 2−5e−2e+2>0，∴ℎ(x)在(1,+∞)递增，ℎ(x)>ℎ(1)=2(e−1)2e+2>0，即ae x x −x +1−a >0，②， 由①②得：a >2(e−1)e+2时，满足题意．解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)问题转化为a2x 2+x+a e x−1>0对任意的x ≥1恒成立，设g(x)=a 2x 2+x+a e x−1，x ≥1，通过求导得到g(x)的单调性，从而求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．22.答案：解：(1)由曲线C 1：{x =√2cosθy =sinθ(θ为参数)，消去参数θ，可得普通方程为x 22+y 2=1．把直线l 的参数方程代入为x 22+y 2=1，得7t 2+4t −4=0．则t 1+t 2=−47，t 1t 2=−47．∴|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=8√27； (2)设点P(x,y)是曲线C 1上的一个动点，化曲线C 2：{x =cosαy =3+sinα(α为参数)为x 2+(y −3)2=1． ∴|PC 2|=√x 2+(y −3)2=√−(y +3)2+20， ∵−1≤y ≤1， ∴|PC 2|的最大值为4， 则|PQ|的最大值为5．解析：(1)化曲线C 1的参数方程为普通方程，把直线的参数方程代入，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及此时t 的几何意义求解；(2)点P(x,y)是曲线C 1上的一个动点，化曲线C 2的参数方程为普通方程，由两点间的距离公式写出|PC 2|，利用二次函数求其最大值，进一步得到|PQ|的最大值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了圆与椭圆位置关系的应用，是中档题．23.答案：解：(1)根据题意可得，当x <−1时，−x −1+2x −1≤x +2，解得−2<2，所以x <−1；…(1分) 当−1≤x ≤12时，x +1+2x −1≤x +2，解得x ≤1，所以−1≤x ≤12；…(2分) 当x >12时，x +1−2x +1≤x +2，解得x ≥0，所以x >12；…(3分) 综上，不等式f(x)≤x +2的解集为R …(5分) (2)不等式f(x)≤|x|(|a −1|+|a +1|)等价于|x+1|−|2x−1||x|≤|a −1|+|a +1|，…(6分)因为||x+1|−|2x−1||x||=||1+1x|−|2−1x||≤|1+1x+2−1x|=3，…(8分)当且仅当(1+1x )(2−1x )≤0时取等号， 因为|x+1|−|2x−1||x|≤|a −1|+|a +1|，所以|a −1|+|a +1|≥3，解得a ≤−32或a ≥32，故实数a 的取值范围为(−∞,−32]∪[32,+∞)…(10分)解析：(1)利用x 的范围去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集即可． (2)不等式f(x)≤|x|(|a −1|+|a +1|)等价于|x+1|−|2x−1||x|≤|a −1|+|a +1|，利用绝对值不等式的几何意义求解左侧的最值，然后求解a 的范围即可．本题考查不等式恒成立，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及分类讨论思想的应用．。

绝密★启用前2020届广州市高三理科数学一模模拟卷考试时间：120分钟；命题人：高三备课组注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−2x−3<0}，集合B={x|2x+1>1}，则∁B A=()A. [3,+∞)B. (3,+∞)C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查二次不等式的求解及指数不等式的求解，同时考查集合的补集，属于基础题．根据集合A是二次不等式的解集，集合B是指数不等式的解集，因此可求出集合A，B，根据补集的求法求得∁B A．【解答】解：因为A={x|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}，B={x|2x+1>1}={x|x+1>0}={x|x>−1}，则∁B A=[3,+∞)．故选A．2.若z=1+2i，则4iz⋅z−−1=()A. 1B. −1C. iD. −i【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的代数形式混合运算，共轭复数的概念，属于基础题．利用复数的四则运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则4iz·z−−1=4i(1+2i)(1−2i)−1=4i5−1=i，故选C．3.若tanα=34，则cos2α+2sin2α=()A. 6425B. 4825C. 1D. 1625【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数的化简求值，同角三角函数的关系式，二倍角公式的应用，“弦”化“切”是关键，属于基础题．将所求的关系式的分母“1”化为(cos2α+sin2α)，再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=34，∴cos2α+2sin2α=cos2α+4sinαcosαsin2α+cos2α=1+4tanαtan2α+1=1+4×34 916+1=6425．故选A．4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为√33，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4√3，则C的方程为()A. x23+y22=1 B. x23+y2=1 C. x212+y28=1 D. x212+y24=1【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的定义与标准方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．利用△AF1B的周长为4√3，求出a=√3，根据离心率为√33，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4√3，且△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4√3，∴a=√3，∵离心率为√33，∴ca =√33，解得c=1，∴b=√a2−c2=√2，∴椭圆C的方程为x23+y22=1．故选A．5.正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为()A. √26B. √23C. √24D. √25【答案】B【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查正四面体，线线、线面、面面间的位置第2页，共16页关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．取BC中点E，DC中点F，连接DE、BF，则由题意得DE∩BF=O，取OD中点N，连接MN，则MN//AO，从而∠BMN是异面直线BM与AO所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线BM与AO所成角的余弦值．【解答】解：取BC中点E，DC中点F，连接DE、BF，则由题意得DE∩BF=O，取OD中点N，连接MN，则MN//AO，∴∠BMN是异面直线BM与AO所成角(或所成角的补角)，设正四面体ABCD的棱长为2，BM=DE=√4−1=√3，OD=23DE=2√33，∴AO=√4−43=√23，∴MN=12AO=√2√3，∵O是点A在底面BCD内的射影，MN//AO，∴MN⊥平面BCD，BN⊂平面BCD，∴MN⊥BN，∴cos∠BMN=MNBM =√2√3√3=√23，∴异面直线BM与AO所成角的余弦值为√23．故选B．6.已知数列{a n}满足：a1=−13，a6+a8=−2，且a n−1=2a n−a n+1(n≥2)，则数列{1a n a n+1}的前13项和为()A. 113B. −113C. 111D. −111【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的递推式和通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由条件可得a n+1−a n=a n−a n−1，可得数列{a n}为等差数列，设公差为d，运用等差数列的通项公式解方程可得d，求得通项公式，则1a n a n+1=1(2n−15)(2n−13)=12×(12n−15−12n−13)，运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．第4页，共16页【解答】解：a n−1=2a n −a n+1(n ≥2)， 可得a n+1−a n =a n −a n−1，可得数列{a n }为等差数列，设公差为d ，由a 1=−13，a 6+a 8=−2，即为2a 1+12d =−2， 解得d =2，则a n =a 1+(n −1)d =2n −15．1a n a n+1=1(2n −15)(2n −13) =12×(12n−15−12n−13)， 即有数列{1an a n+1}的前13项和为12(1−13−1−11+1−11−1−9+⋯+111−113) =12×(−113−113)=−113．故选B ．7. 安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有( ) A. 360种 B. 300种 C. 150种 D. 125种 【答案】C【解析】解：分2步分析：先将5名学生分成3组，由两种分组方法，若分成3、1、1的三组，有C 53=10种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有C 51C 42C 22A 22=15种分组方法，则一共有10+15=25种分组方法；再将分好的三组全排列，对应三个社区，有A 33=6种情况， 则有25×6=150种不同的安排方式； 故选：C ． 分2步分析：先将5名大学生分成3组，分2种情况分类讨论，再将分好的三组全排列，对应三个城市，由分步计数原理计算可得答案；本题考查排列、组合的应用，注意本题计算安排方式时用到分组涉及平均分组与不平均分组，要用对公式．8. 函数f(x)=(1−2x1+2x )cosx 的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，利用函数的零点排除选项，然后通过特殊点的位置判断即可，属于中档题． 【解答】 解：函数f(x)=(1−2x 1+2)cosx ，当x =π2时，是函数的一个零点，所以排除A ，B ；当x ∈(0,1)时，cosx >0，1−2x 1+2x <0，函数f(x)=(1−2x 1+2x)cosx <0，函数的图象在x 轴下方；排除D ； 故选C ．9. 某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则①该抽样可能是系统抽样； ②该抽样可能是随机抽样： ③该抽样一定不是分层抽样；④本次抽样中每个人被抽到的概率都是15． 其中说法正确的为( )A. ①②③B. ②③C. ②③④D. ③④【答案】A【解析】【分析】本题考查了随机抽样及概率，正确理解它们是解决问题的关键．①该抽样可以是系统抽样；②因为总体个数不多，容易对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，该抽样不可能是分层抽样；④分别求出男生和女生的概率，故可判断出真假． 【解答】解：①总体容量为30，样本容量为5，第一步对30个个体进行编号，如男生1～20，女生21～30； 第二步确定分段间隔k =305=6；第三步在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l ≤10)；第四步将编号为l +6k(0≤k ≤4)依次抽取，即可获得整个样本．故该抽样可以是系统抽样．因此①正确．②因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样，故②正确；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，但兴趣小组有男生20人，女生10人，抽取2男三女，抽的比例不同，故③正确；④该抽样男生被抽到的概率220=110；女生被抽到的概率=310，故前者小于后者．因此④不正确．故选A ．10.已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=√2，则球O的表面积等于()A. 4πB. 3πC. 2πD. π【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了线面垂直的判定和性质，以及外接球的表面积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OA=OB=OC=OS，根据直角三角形的性质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的表面积公式求解即可．【解答】解：如图所示：取SC的中点O，连接AO，BO，因为SA⊥平面ABC，，，∴SA⊥AC，SA⊥BC，∴在Rt△ASC中，OA=OS=OC，又AB⊥BC，SA∩AB=A，，又，∴BC⊥SB，∴在Rt△SBC中，有OB=OS=OC，又SA=AB=1，BC=√2，AB⊥BC，∴SC=2，∴OA=OB=OC=OS=1，即球O的半径为1，∴球O的表面积为4πR2=4π．故选A．11.已知函数f(x)=e x(x−b)(b∈R).若存在x∈[12,2]，使得f(x)+xf′(x)>0，则实数b的取值范围是()第6页，共16页A. (−∞,83)B. (−∞,56)C. (−32,56)D. (83,+∞)【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题． 求出f′(x)，问题转化为b <x 2+2x x+1在[12,2]恒成立，令g(x)=x 2+2x x+1，x ∈[12,2]，求出b 的范围即可． 【解答】解：∵f(x)=e x (x −b)，∴f ′(x)=e x (x −b +1)， 若存在x ∈[12,2]，使得f(x)+xf ′(x)>0，则若存在x ∈[12,2]，使得e x (x −b)+xe x (x −b +1)>0， 即存在x ∈[12,2]，使得b <x 2+2x x+1成立，令g(x)=x 2+2x x+1，x ∈[12,2]， 则g′(x)=x 2+2x+2(x+1)2>0，g(x)在[12,2]递增， ∴g(x)max =g(2)=83， 故b <83， 故选A ．12. 数列{a n }满足a 1=14，a n+1=14−4a n ，若不等式a 2a 1+a 3a 2+⋯+a n+2a n+1<n +λ对任何正整数n 恒成立，则实数λ的最小值为( )A. 38B. 34C. 78D. 74【答案】D【解析】【分析】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题． 先求出a n =n2(n+1)，进而变形可知a n+1a n=1+12(1n −1n+2)，裂项相加、放缩即得结论．【解答】解：a n+1=14−4a n，设b n =22an −1，则b n+1=22a n+1−1 =224−4a n−1=22an −1−2=b n −2，则 b n+1−b n =−2，又a 1=14，第8页，共16页∴b 1=22a1−1=−4，∴b n =−4+(n −1)×(−2)=−2n −2， ∴22a n −1=−2n −2，∴a n =12−12n+2=n2(n+1)，由此可知：a n =n2(n+1)，∵a n+1a n=n +12(n +2)n 2(n +1)=(n +1)2n(n +2)=1+1n(n+2)=1+12(1n −1n+2)，∴a 21+a 32+⋯+a n+2n+1=n +1+12(1−13+12−14+⋯+1n−1n +2+1n +1−1n +3) =n +1+12(1+12−1n +2−1n +3)=n +74−12(1n+2+1n+3)，又∵不等式a 2a 1+a 3a 2+⋯+an+2a n+1<n +λ对任何正整数n 恒成立，∴实数λ的最小值为74， 故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(m,1)，若向量a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ 垂直，则m =______． 【答案】7【解析】【分析】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．利用平面向量坐标运算法则先求出a ⃗ +b ⃗ ，再由向量a ⃗ +b ⃗ 与a⃗ 垂直，利用向量垂直的条件能求出m 的值． 【解答】解：∵向量a⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(m,1)， ∴a ⃗ +b ⃗ =(−1+m,3)， ∵向量a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ 垂直， ∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =(−1+m)×(−1)+3×2=0， 解得m =7． 故答案为7．14.已知实数x，y满足{y≤23x−y−3≤02x+y−2≥0，目标函数z=3x+y+a的最大值为4，则a=．【答案】−3【解析】【分析】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．由题意，不等式组{y≤23x−y−3≤02x+y−2≥0，表示一个三角形区域(包含边界)，求出三角形的三个顶点的坐标，目标函数z=3x+y+a的几何意义是直线的纵截距，由此可求得结论．【解答】解：由题意，不等式组{y≤23x−y−3≤02x+y−2≥0，表示一个三角形区域(包含边界)三角形的三个顶点的坐标分别为(0,2)，(1,0)，(53,2)，目标函数z=3x+y的几何意义是直线y=−3x+z的纵截距，作直线y=−3x的平行线，由图可知在点A(53,2)处取得最大值4．3×53+2+a=4，解得a=−3故答案为−3．15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(−∞,0)时，f(x)=2x3+x2，则f(2)=______．【答案】12【解析】【分析】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题．由已知当x∈(−∞,0)时，f(x)=2x3+x2，先求出f(−2)，进而根据奇函数的性质，可得答案．【解答】解：∵当x∈(−∞,0)时，f(x)=2x3+x2，∴f(−2)=−12，又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(2)=−f(−2)=12，故答案为12．16.已知F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，若PF22PF1的最小值为8a，则双曲线的离心率的取值范围为________．【答案】(1,3]【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，依题意求得|PF1|=4a，|PF2|=2a是基础，利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|之间的三角关系得到关于a，c的不等式组是关键，也是难点，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．依题意，双曲线左支上存在一点P使得|PF2|2|PF1|=8a，|PF1|−|PF2|=−2a，可求得，|PF1|= 2a，|PF2|=4a，再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：∵P为双曲线左支上一点，∴|PF1|−|PF2|=−2a，∴|PF2|=|PF1|+2a，①又|PF2|2|PF1|=8a，②∴由①②可得，|PF1|=2a，|PF2|=4a．∴|PF1|+|PF2|≥|F1F2|，即2a+4a≥2c，∴ca≤3，③又|PF1|+|F1F2|>|PF2|，∴2a+2c>4a，∴ca>1.④由③④可得1<ca≤3．故答案为(1,3]．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=sin(2x+π6)+2sin2x．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A2)=32，b+c=7，△ABC的面积为2√3，求边a的长．第10页，共16页【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=sin(2x+π6)+2sin2x，可得f(x)=sin2xcosπ6+cos2xsinπ6+1−cos2x=sin(2x−π6)+1，所以f(x)的最小正周期T=2π2=π；令2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2，解得kπ+π3≤x≤kπ+5π6，所以f(x)的单调递减区间是[kπ+π3,kπ+ 5π6](k∈Z)；(Ⅱ)∵f(x)=sin(2x−π6)+1，f(A2)=32，∴sin(A−π6)=12，又−π6<A−π6<5π6可得A−π6=π6即A=π3，∵b+c=7，△ABC的面积为2√3，即12bcsinA=√34bc=2√3，∴bc=8，a2=b2+c2−2bccosπ3=(b+c)2−3bc=25，∴a=5．【解析】本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换和正弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(Ⅰ)运用两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，化简函数f(x)，再由正弦函数的周期公式和单调减区间，解不等式可得减区间；(Ⅱ)由A的范围，结合正弦函数值，可得A，再由三角形的面积公式和余弦定理可得所求值．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，AB=2，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．(Ⅰ)证明：AE⊥PD；(Ⅱ)设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为√5，求二面角E−AF−C的余弦值．【答案】(Ⅰ)证明：∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴三角形ABC为正三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，又AD//BC，∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，而PA、AD为平面PAD内两条相交直线，∴AE⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD；(Ⅱ)解：过A作AH⊥PD于H，连接HE，由(Ⅰ)得AE⊥PD，第12页，共16页AH 、HE 为平面AHE 内两条相交直线， ∴PD ⊥平面AHE ，又EH 在平面AHE 内，∴EH ⊥PD ，此时线段EH 长最小，即EH =√5， ∵AE =√3，∴AH =√2，则PA =2．以A 为原点，AE ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，A(0,0，0)，E(√3,0，0)，D(0,2，0)，C(√3,1，0)，P(0,0，2)，F(√32,12,1)，B(√3,−1,0)．AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,1)， 设平面AEF 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x =0m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +12y +z =0，取z =1，可得m⃗⃗⃗ =(0,−2,1)； ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD ，又∵BD ⊥AC ，PA 、AC 为平面AFC 内两条相交直线， ∴BD ⊥平面AFC ，故BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,0)为平面AFC 的一个法向量， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=m⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×√12=√155． 即二面角E −AF −C 的余弦值为√155．【解析】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．(Ⅰ)连接AC ，证明AE ⊥BC ，AE ⊥AD ，推出PA ⊥平面ABCD ，即可证明AE ⊥PD ； (Ⅱ)过A 作AH ⊥PD 于H ，连接HE ，由(Ⅰ)得AE ⊥平面PAD ，可得EH ⊥PD ，即EH =√5，，以A 为原点，AE ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF 与平面AFC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E −AF −C 的余弦值．19. 已知函数f(x)=xe x −ln (x +1)−x ．(1)求曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)证明：函数f(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点． 【答案】解：(1)当x =0时，f(0)=0， 由f(x)=xe x −ln(x +1)−x ， 得f′(x)=e x (x +1)−1x+1−1， 故斜率k =f′(0)=−1，故切线方程是：y =−x ；(2)由题意可知，函数的定义域是(−1,+∞)， 由(1)知，f′(x)=e x (x+1)2−x−2x+1，记g(x)=e x (x +1)2−x −2， 故g′(x)=e x (x 2+4x +3)−1， 易知x ∈(0,+∞)时，g′(x)>0， 故g(x)在区间(0,+∞)递增， 故g(x)>g(0)=−1， ∵g(1)=4e −3>0，故在区间(0,1)内必存在ξ，使得g(ξ)=0， 故当x ∈(0,ξ)时，g(x)<0，即f′(x)<0， 故f(x)递减，当x ∈(ξ,1)时，g(x)>0，即f′(x)>0， 故f(x)递增，故当x =ξ时，f(x)有最小值且为f(ξ)， ∵f(0)=0，∴f(ξ)<f(0)=0，而f(1)=e −ln2−1>0，故在区间(ξ,1)内存在唯一零点，故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查分类讨论思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，求出直线的斜率，求出切线方程即可；(2)求出函数的定义域，记g(x)=e x (x +1)2−x −2，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．20. 已知椭圆C ：x 2b 2+y 2a 2=1(a >b >0)的离心率为√32，椭圆C 的长轴长为4． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y =kx +√3与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c ，则由题设，得：{2a =4e =c a =√32, 解得{a =2c =√3, 所以b 2=a 2−c 2=4−3=1， 故所求椭圆C 的方程为y 24+x 2=1．(2)存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ． 理由如下：设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 将直线l 的方程y =kx +√3代入y 24+x 2=1，并整理，得(k 2+4)x 2+2√3kx −1=0，(∗) 易知Δ>0，第14页，共16页则x 1+x 2=−2√3kk 2+4，x 1x 2=−1k 2+4，因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即x 1x 2+y 1y 2=0． 又y 1y 2=k 2x 1x 2+√3k(x 1+x 2)+3， 于是−1+k 2k 2+4−6k 2k 2+4+3=0， 解得k =±√112，所以当k =±√112时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．【解析】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，向量垂直的充要条件，属于中档题．(1)设椭圆的半焦距为c ，则由题设，得：{2a =4e =c a=√32，解得a ，c 的值，即可求出b 的值，从而可得椭圆C 的方程；(2)设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将直线l 的方程y =kx +√3代入y 24+x 2=1，利用韦达定理，及向量垂直的充要条件，可求出满足条件的k 值．21. 2019年7月1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试．现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)．(2)根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布N(μ,σ2)，经计算第(1)问中样本标准差s 的近似值为50.用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973． (3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券，已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格(从k 到k +1)，若掷出反面，遥控车向前移动两格(从k 到k +2)，直到遥控车移到第49格(胜利大本营)或第50格(失败大本营)时，游戏结束．设遥控车移到第n 格的概率为P n ，试说明{P n −P n−1}是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．【答案】解：(1)x =0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+0.004×50×355+0.001×50×405=300(千米)； (2)因为X 服从正态分布N(300,502)， 所以P(250<X ⩽400)≈0.9545−0.9545−0.68272=0.8186；(3)遥控车开始在第0格为必然事件，P 0=1.第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第1格，其概率为12，即P 1=12．遥控车移到第n(2≤n ≤49)格的情况是下列两种，而且也只有两种： ①遥控车先到第n −2格，又掷出反面，其概率为12P n−2；②遥控车先到第n −1格，又掷出正面，其概率为12P n−1.所以P n =12P n−2+12P n−1． 所以P n −P n−1=−12(P n−1−P n−2)．所以当1≤n ≤49时，数列{P n −P n−1}是首项为P 1−P 0=−12，公比为−12的等比数列． 所以P 1−1=−12，P 2−P 1=(−12)2，P 3−P 2=(−12)3，…，P n −P n−1=(−12)n ． 以上各式相加，得P n −1=(−12)+(−12)2+⋯+(−12)n ，所以P n =1+(−12)+(−12)2+⋯+(−12)n =23[1−(−12)n+1](n =0,1,2,⋯,49)． 所以获胜的概率为P 49=23[1−(12)50]，失败的概率P 50=12P 48=12×23[1−(−12)49]=13[1+(12)49]． 所以P 49−P 50=23[1−(12)50]−13[1+(12)49]=13[1−(12)48]>0．所以获胜的概率大．所以此方案能够成功吸引顾客购买该款新能源汽车．【解析】 本题考查了离散型随机变量的概率分布列，超几何分布，正态分布，等比数列证明及应用等知识，阅读量大，审清题意是关键，属于中档题．(1)将直方图中每个小长方形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可；(2)因为X 服从正态分布N(300,502)，根据概率公式求解即可；(3)遥控车开始在第0格为必然事件，分析得出P n −P n−1=−12(P n−1−P n−2)，从而即可证明{P n −P n−1}是等比数列，判断P 49−P 50>0，即可得出此方案能够成功吸引顾客购买该款新能源汽车．第16页，共16页22. 已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标是ρ=2asinθ，直线l 的参数方程是{x =−35t +a y =45t(t 为参数)． (1)若a =2，M 为直线l 与x 轴的交点，N 是圆C 上一动点，求|MN|的最大值； (2)若直线l 被圆C 截得的弦长为2√6，求a 的值． 【答案】解：(1)直线l 的参数方程是{x =−35t +ay =45t，a =2时， 化为普通方程：y =−43(x −2)．令y =0，解得x =2，可得M(2,0)．圆C 的极坐标是ρ=2asinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x 2+y 2−4y =0， 即x 2+(y −2)2=4． |MC|=2√2，∴|MN|的最大值为2√2+2．(2)圆C 的方程为：x 2+(y −a)2=a 2，直线l 的方程为：4x +3y −4a =0， 圆心C 到直线l 的距离d =|3a−4a|5=|a|5．∴2√a 2−a225=2√6，解得a =±52．【解析】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)直线l 的参数方程是{x =−35t +a y =45t，a =2时，化为普通方程：y =−43(x −2).可得M(2,0).圆C 的极坐标是ρ=2asinθ，即ρ2=4ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程，求出|MC|=2√2，可得|MN|的最大值为2√2+2．(2)圆C 的方程为：x 2+(y −a)2=a 2，直线l 的方程为：4x +3y −4a =0，利用点到直线的距离公式与弦长公式即可得出．。

2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝{x|x2−x−6<0}，集合B＝{x|x−1>0}，则(∁R A)∩B＝（）A.(1, 3)B.(1, 3]C.[3, +∞)D.(3, +∞)2.设复数z满足(z+2i)⋅i=3−4i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=15−a5，则S9等于（）A.18B.36C.45D.604.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若m // α，n // α，则m // nB.若α⊥γ，β⊥γ，则α // βC.若m // α，n // α，且m⊂β，n⊂β，则α // βD.若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n−1)5的展开式的常数项是（）5.(x2+2)(1x2A.−3B.−2C.2D.36.已知x1＝1n1，x2＝e−12，x3满足e−x3=lnx3，则下列各选项正确的是2（）A.x1<x3<x2B.x1<x2<x3C.x2<x1<x3D.x3<x1<x27.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1∼9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1∼9这9数字表示两位数的个数为（）A.13B.14C.15D.168.在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E，则AE→⋅EC→=()A.725B.1225C.125D.144259.函数f(x)=(21+e−1)sinx图象的大致形状是()A.B.C.D.10.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.72B.60C.36D.2411.已知函数f(x)＝sin(2x−π6)，若方程f(x)=35的解为x1，x2(0<x1<x2<π)，则sin(x1−x2)＝()A.−45B.−35C.−√23D.−√3312.已知函数f(x)＝(k+4k )lnx+4−x2x，k∈[1, +∞)，曲线y＝f(x)上总存在两点M(x1, y1)，N(x2, y2)使曲线y＝f(x)在M、N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为（）A.[4, +∞)B.(4, +∞)C.[165,+∞) D.(165,+∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.已知数列{a n}满足a1=1，a n=1+a1+...+a n−1(n∈N∗, n≥2)，则当n≥1时，a n=________．14.设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx+√3cosx取得最大值，则tan(θ+π4)＝________+√3．15.已知函数f(x)＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极小值10，则a−b＝________．16.在三棱锥S−ABC中，SB＝SC＝AB＝BC＝AC＝2，侧面SBC与底面ABC 垂直，则三棱锥S−ABC外接球的表面积是________．三、解答题：共70分。

2020届广东省高三第一次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．设全集为R ，集合{}236M x x =>，{}38N y y =-≤≤，则()R M N =ð（ ）A ．(]3,6-B ．[]3,6-C ．∅D ．(]6,8 【答案】B【解析】解出集合M 、N ，然后利用补集和交集的定义可得出集合()R M N ð【详解】{}{2366M x x x x =>=<-或}6x >，故{} 66R M x x =-≤≤ð，因此，()[] 3,6R M N =-ð.故选：B. 【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2．sin 300cos600=（ ）A ．14B C ．14-D ．【答案】B【解析】根据诱导公式并结合特殊角的三角函数值可得出结果. 【详解】 原式()()()()sin300cos600sin 36060cos 720120sin 60cos 120==--=--=1224⎛⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，在利用诱导公式求值时，要理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查计算能力，属于基础题.3．已知2()()f x x n =-，[21,21)()x n n n Z ∈-+∈，则(2019)f =（ ）A ．21008B ．21009C ．21010D ．21011【答案】B【解析】先由[21,21)()x n n n Z ∈-+∈与(2019)f 中2019x =可分析得n ,再计算(2019)f 即可.【详解】由2019210101=⨯-,可得22(2019)(20191010)1009f =-=,故选:B 【点睛】本题主要考查对奇数表达式的理解,注意21,21n n -+均为奇数.4．已知7log 10a =，2log b =c = ） A ．b c a >> B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>【答案】C【解析】比较a 、b 、c 与1的大小关系，然后将a 利用换底公式化为8log 10a =，可比较出a 与b 的大小关系，从而可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】77log 10log 71a =>=，由换底公式可得32882log log 10log 10log 81b ===>=，7lg10log 10lg 7a ∴==，8lg10log 10lg8b ==，lg8lg 70∴>>，lg100>，lg10lg10lg 7lg8∴>，则1a b >>，而1c =<，因此，a b c >>. 故选：C. 【点睛】本题考查对数与指数的大小比较，解题时应充分利用指数函数与对数函数的单调性并结合中间值法得出各数的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．若某圆锥的主视图是顶角为120的等腰三角形，若该圆锥的侧面积等于，则其母线长为（ ）A ．1B ．2CD ．【答案】D【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由正弦定理可得出2r l =，然后利用圆锥的侧面积公式可求出圆锥的母线长. 【详解】设圆锥母线长为l ，则底面圆的半径为r ，由于圆锥的主视图是顶角为120的等腰三角形，由正弦定理得2sin 30sin120l r =，可得出r =，则圆锥的侧面积为2rl l l ππ=⨯==，解得l =.因此，圆锥的母线长为故选：D. 【点睛】本题考查利用圆锥的侧面积计算圆锥的母线长，解题时要由主视图得出母线长和半径的等量关系，考查运算求解能力，属于中等题.6．已知函数()f x =）A ．函数()f x 的对称轴为32x =，且在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()f x 的对称轴为32x =，且在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，且在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 的对称中心为3,2⎛ ⎝，且在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】A【解析】由()f x =6226x x -+=为常数,故可以考虑到利用函数对称性,再计算对称轴与区间端点处的函数值考查单调性进行排除.【详解】 依题意,620x x -≥⎧⎨≥⎩,解得03x ≤≤,因为3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故函数()f x 的对称轴为32x =,排除C 、D ；因为32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(3)f =故3(3)2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,排除B, 故选:A ． 【点睛】若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-则函数()f x 关于x a =对称. 7．函数|sin |()e x f x x =⋅的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断奇偶性,再分别代入3,,22πππ进行排除即可. 【详解】依题意,x ∈R ,|sin()||sin |()ee ()x xf x x x f x --=-⋅=-⋅=-,故函数()f x 为奇函数, 图象关于原点对称,排除C ；而|sin |()e5f ππππ=⋅=<,排除B ； 而3sin 2333e e 222f ππππ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭,|sin |(2)2e 2f ππππ=⋅=,故3(2)2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭,排除D,故选:A ． 【点睛】判断图像的问题,可以考虑判断单调性、代入图像中有的横坐标的点进行分析排除即可. 8．如图网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．78π++B ．74π++C ．58π++D ．54π++【答案】C【解析】根据三视图可知，该几何体为一个八分之一球与一个三棱柱拼接而成的几何体，并且三棱柱的上底面被遮掉，并计算出各面的面积，相加即可得出该几何体的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为一个八分之一球与一个三棱柱拼接而成的几何体，故所求的表面积为(22114223425884πππ⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯=++， 故选：C. 【点睛】本题考查由三视图计算几何体的表面积，解题时要还原几何体的实物图，结合简单几何体的表面积公式进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 9．边长为2的正方形ABCD 中，12DE EC =，35AF AD =，则AE BF ⋅=（ ） A ．1315B ．65C ．1615 D ．1415【答案】C【解析】由题中正方形ABCD 可考虑用建立平面直角坐标系的方法进行求解. 【详解】以A 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则(0,0)A ,2,23E ⎛⎫⎪⎝⎭,(2,0)B ,60,5F ⎛⎫⎪⎝⎭, 故2,23AE ⎛⎫=⎪⎝⎭,62,5BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则412163515AE BF ⋅=-+=,故选:C ．【点睛】本题主要考虑建立平面直角坐标系的方法进行向量求解的问题. 10．将函数()sin f x x x ωω=()0ω>的图象向右平移3π个单位，平移后的图象关于y 轴对称，则()f x 周期的最大值为（ ）A ．45π B ．65π C ．54π D ．56π 【答案】A【解析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出平移后的解析式，根据题意得出ω的表达式，求出正数ω的最小值，即可得出函数()y f x =周期的最大值.【详解】依题意，()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位长度得到函数为2sin 333f x x ππωπω⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则332k πωπππ-=+()k Z ∈，故132k ω=--()k Z ∈，当1k =-时，正数ω取最小值52. 因此，函数()y f x =周期的最大值为55224T ππ==. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象平移变换以及正弦型函数的对称轴，解题的关键就是求出ω的表达式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．已知函数32(2),0()11,024a x x ax a x f x x -⎧-+≤⎪=⎨⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎩若函数()f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[0，2）D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由题得()f x 在R 上单调递增,故考虑(2)1124a xy -⎛⎫=+⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递增,32x ax a -+在(],0-∞上单调递增.且当0x =时,(2)1124a xy -⎛⎫=+⎪⎝⎭的值大于等于32x ax a -+的值.【详解】因为函数()f x 在R 上单调递增,首先(2)1124a xy -⎛⎫=+⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递增,故20a -<,则2a <①；其次32y x ax a =-+在(],0-∞上单调递增,而()23232y x ax x x a '=-=-,令0y '=,故0x =或23a x =,故203a≥,即0a ≥②；最后,当0x =时,54a ≤③；综合①②③,实数a 的取值范围为50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 故选：D ． 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性,主要注意每段函数上满足单调性,且区间分段处左右两段的函数值也要满足单调性. 12．函数()cos cos 23f x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在[]0,π上的值域为（ ）A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．[]1,3-D ．[]2,1-【答案】C【解析】利用辅助角公式可将函数()y f x =的解析式化简为()22sin 12sin 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，换元sin 6t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由[]0,x π∈，可得出[]0,1t ∈，于是将问题转化为二次函数2221y t t =+-在区间[]0,1上的值域求解，利用二次函数的基本性质可得出结果. 【详解】由()2cos cos 22sin 12sin 366f x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设sin 6t x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[]0,x π∈，则7666x πππ≤+≤，可得1sin 126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，[]0,1t ∴∈，二次函数2221y t t =+-图象的开口方向向上，对称轴为直线12t =-，所以，二次函数2221y t t =+-在区间[]0,1上单调递增，当0t =时，min 1y =-，当1t =时，max 3y =， 因此，函数()y f x =在[]0,π上的值域为[]1,3-. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的值域问题，同时也考查了二倍角余弦公式的应用，解题的关键就是将问题转化为二次函数在定区间上的值域问题求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.二、填空题13．已知平面向量()2,3m =-，()6,n λ=.若m n ⊥，则n =r______.【答案】【解析】由m n ⊥得出0m n ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可求出实数λ的值，然后利用平面向量模的坐标运算可求出n r的值.【详解】依题意，0m n ⋅=，则1230λ-=，解得4λ=，则()6,4n =，故361613n =+故答案为：【点睛】本题考查利用坐标处理向量垂直的问题，同时也考查了平面向量模的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x >时，()3ln f x x x=-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为______.【答案】4【解析】利用奇函数的定义求出函数()y f x =在(),0-∞上的解析式，然后利用导数可求出()1f '-的值，即为所求结果. 【详解】当0x >时，()3ln f x x x=-，由于函数()y f x =为奇函数， 当0x <时，0x ->，则()()()()()33ln ln f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 此时，()()()2231311f x x x x x '=-⋅-=--，()11341f '∴-=-=-. 因此，曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率，同时也考查了利用奇偶性求函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.15．函数()sin 22cos f x x x =+，,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭的最大值是______.【答案】2【解析】利用导数求出函数()y f x =的极值点，并利用导数分析函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，可得出函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值. 【详解】()sin 22cos 2sin cos 2cos f x x x x x x =+=+，()()()2222cos 2sin 2sin 4sin 2sin 22sin 12sin 1f x x x x x x x x '=--=--+=-+-，当22x ππ-<<时，1sin 1x -<<，则0sin 12x <+<.令()0f x '=，得1sin 2x =，当22x ππ-<<时，6x π=. 所以当,26x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.故函数()y f x =在,26ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 因此，当6x π=时，函数()y f x =取得最大值，即()max 622f x f π⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用导数求正弦型函数的最值，解题时要熟悉导数与最值的基本关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16．三棱锥P ABC -中，点P 到A 、B 、C 三点的距离均为8，PA PB ⊥，PA PC ⊥，过点P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，此时cos PAO ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的体积为______.【答案】【解析】先证明出PA ⊥平面PBC ，根据cos PAO ∠=计算出AD 、BD ，并证明出点D 为BC 的中点，可得出BC ，利用勾股定理可证明出PB PC ⊥，然后构造正方体模型可求出三棱锥P ABC -外接球的半径长，最后利用球体体积公式可计算出结果. 【详解】因为PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC P ⋂=,故PA ⊥平面PBC ，因为8PA PB PC ===，故AB AC ==cos3PA PAO AD ∠==，AD ∴===BD ==PA ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，BC PA ∴⊥.PO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PO ∴⊥.PA PO P =，BC ∴⊥平面PAO ，PD ⊂Q 平面PAO ，PD BC ∴⊥，8PB PC ==，D ∴为BC 的中点，2BC BD ∴==222PB PC BC ∴+=.故PC PB ⊥，构造正方体模型可知，四面体P ABC -的外接球半径2R ==，因此，三棱锥P ABC -外接球的体积为(343V π=⨯=.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积的计算，解题的关键在于推导出线面垂直关系，并结合几何体的结构找出合适的模型计算出外接球的半径，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2223sin sin sin 3sin B C B C A +=+.（1）求tan A 的值；（2）若3sin c Ba A=，且ABC ∆的面积ABC S ∆=，求c 的值.【答案】（1）tan A =；（2）c =【解析】（1）由正弦定理边角互化思想得2223b c a +-=，然后在等式两边同时除以2bc ，利用余弦定理可求出cos A 的值，利用同角三角函数的基本关系求出sin A 的值，从而可求出tan A 的值；（2）由正弦定理边角互化思想得出2b c =，然后利用三角形的面积公式可求出c 的值. 【详解】（1）因为()2223sin sin sin 3sin B C B C A +=+，故2223b c a bc +-=，222cos 23b c a A bc +-∴==，故1sin 3A ===，因此，sin 1tancos 34A A A ===；（2）因为3sin c B a A =，故3c a a=，即2b c =，ABC ∆的面积为1sin2ABCS bc A ∆==21123=，故28c =，解得c =【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.18．如图，菱形ABCD 所在平面与ABE ∆所在平面垂直，且5AB BE ==，3cos cos 5ABC ABE ∠=∠=.（1）求证：AB CE ^； （2）求点A 到平面CDE 的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）作EO AB ⊥，垂足为O ，连接CO ，证明出EBO CBO ∆≅∆，可得出2EOB π∠=，从而得出CO AB ⊥，再结合EO AB ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AB ⊥平面COE ，由此可证明出AB CE ^；（2）由（1）得知OE 为三棱锥E ACD -的体积，由锥体的体积公式可求出三棱锥E ACD -的体积，由//CD AB 以及AB CE ^，可得出CD CE ⊥，可计算出CDE ∆的面积，并设点A 到平面CDE 的距离为h ，由等体积法可计算出点A 到平面CDE 的距离. 【详解】（1）作EO AB ⊥，垂足为O ，连接CO ，由3cos cos 5ABC ABE ∠=∠=，BE BC =，BO BO =，可得EBO CBO ∆≅∆， 所以2COB EOB π∠=∠=，CO AB ∴⊥，因为COEO O =，所以AB ⊥平面COE ，因为CE ⊂平面COE ，所以AB CE ^；（2）由（1）知，OE ⊥平面ABCD ，所以OE 是三棱锥E ACD -的高，且4OE =， 由5AD CD ==，3cos cos 5ADC ABC ∠=∠=，得4in 5s ADC ∠=， 所以ADC ∆的面积11sin 102S AD DC ADC =⋅∠=， 三棱锥E ACD -的体积1114033V OE S =⋅=，由（1）知，AB CE ^，又//AB CD ，所以CD CE ⊥，由4OC OE ==，OC OE ⊥，可得CE =，因为5CD =，所以CDE ∆的面积212S CD CE =⋅=设点A 到平面CDE 的距离为h ，则三棱锥A CDE -的体积22133V h S =⋅=，由21V V =403=，h =A 到平面CDE 的距离为【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，一般利用等体积法计算出三棱锥的高，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，CAB CBA ∠=∠，E 、F 分别是AB 、1CC的中点.（1）求证：//CE 平面1B AF ；（2）若1AA ⊥平面ABC ，11A E B C ⊥，AB =，求平面1B AF 与平面1B EC 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）取1AB 的中点M ，连接EM 、MF ，证明四边形CEMF 为平行四边形，可得出//CE MF ，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出//CE 平面1B AF ； （2）证明出CE ⊥平面11ABB A ，并设4AC BC ==，以点E 为坐标原点，EB 、EC 、EM 为x 、y 、z 轴正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，计算出平面1B AF 和平面1B EC 的法向量，然后利用空间向量法求出平面1B AF 与平面1B EC 所成锐二面角的余弦值. 【详解】（1）取1AB 的中点M ，连接EM 、MF ， 在1ABB ∆中，E 、M 分别是AB 、1AB 的中点， 则1//EM BB ，且112EM BB =， 又F 为1CC 的中点，11//CC BB ，所以1//FC BB ，112FC BB =， 从而有//EM FC 且EM FC =，所以四边形EMFC 为平行四边形，所以//CE FM . 又因为CE ⊄平面1B AF ，FM ⊂平面1B AF ，因此，//CE 平面1B AF ；（2）因为CAB CBA ∠=∠，E 为AB 的中点，所以CE AB ⊥， 又1AA ⊥平面ABC ，得1AA CE ⊥， 又因为1ABAA A =，所以CE ⊥平面11ABB A ，从而1A E CE ⊥，又因为11A E B C ⊥，1B CCE C =，所以1A E ⊥平面1B EC ，从而有11A E B E ⊥，不妨设4AC BC ==，AB =AE EB =，所以1AA AE ==由（1）知1//EM BB ，所以EM ⊥平面ABC .以E 为坐标原点，EB 、EC 、EM 为x 、y 、z 轴正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，则()A -，(1A -，(1B ，()0,2,0C，(F .所以(1A E =-，()0,2,0C，(F .所以(1A E =-，(1AB =，(AF =.设平面1B AF 的法向量为(),,n x y z =，则100AB n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，取1x =，则()1,0,2n =-.平面1B EC的法向量为(1A E =-，所以1310cos ,10A E n =， 所以平面1B AF与平面1B EC.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了二面角余弦值的求解，一般要建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 20．已知函数()(1)x f x x e =-．（1）若关于x 的方程()f x x λ=仅有1个实数根，求实数λ的取值范围； （2）若0x =是函数2()2()g x f x ax =-的极大值点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(],0-∞；（2）(1,)+∞【解析】(1)由()f x x λ=仅有1个实数根可考虑利用参变分离得(1)e xx x λ-=,再分析函数(1)()x x e m x x -=的单调性与极值最值,画出图像分析何时(1)e xx xλ-=仅有一根即可.(2)表达出2()2()g x f x ax =-的函数式,求导后再根据极值点的大小关系分a 的不同类进行讨论即可. 【详解】（1）依题意,(1)e xx x λ-=,显然0x =不是方程的根,故(1)e xx xλ-=,令(1)()xx e m x x -=,则()221e ()x x x m x x-+'=, 故函数()m x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增,且当x →-∞时,()0m x →,当x 从负方向趋于0时以及x →+∞时,()m x →+∞,当x 从正方向趋于0时,()m x →-∞, 作出函数()m x 的图象如图所示,观察可知,0λ≤,即实数λ的取值范围为(],0-∞．（2）22()2()2(1)e x g x f x ax x ax =-=--,则()()2e 22e xxg x x ax x a '=-=-．①若1a >,则当(,0)x ∈-∞时,0x <,e 1x <,e 0x a -<,所以()0g x '>；当(0,ln )x a ∈时,0x >,ln e e 0x a a a -<-=,所以()0g x '<．所以()g x 在0x =处取得极大值．②若1a ≤,则当(0,1)x ∈时,0x >,e e 10x x a -≥->,所以()0g x '>．所以0x =不是()g x 的极大值点．综上所述,实数a 的取值范围是(1,)+∞． 【点睛】(1)本题主要考查已知根的个数,利用参变分离求解的问题,需考查单调性与最值画图进行分析.(2)本题主要考查分类讨论的思想,重点是利用极值点的大小关系进行分类. 21．已知函数()()2ln 1xf x x ea x =---.（其中e 为自然对数的底数）（1）若0a =，且()f x 在(),1n n +()n N ∈上是增函数，求n 的最小值； （2）设()()f xg x x=，若对任意1x 、()20,x ∈+∞恒有()()120g x g x >，求a 的取值范围.【答案】（1）最小值是1；（2）(),2-∞.【解析】（1）将0a =代入函数()y f x =的解析式可得()2ln 1xf x xe x =--，求出导数()()2121xf x x ex'=+-，可得知函数()y f x '=在()0,∞+上为增函数，然后利用零点存在定理可知函数()y f x =在区间()0,1在存在极小值点1t ，从而得出函数()y f x =在()1,t +∞上单调递增，由此可求出自然数n 的最小值；（2）求出函数()y g x =的导数()222ln x xe x g x x+'=，构造函数()22ln xh x xe x =+，可得出函数()y h x =在()0,∞+上为增函数，由零点存在定理可知，存在21,14t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()20h t =，可得出22222ln 2t t t et =-，分析函数()y h x =的函数值符号可得出2t 为函数()y g x =的最小值点，并构造函数()xm x xe =，可得出222ln t t =-，由此可得出函数()y g x =的最小值为2a -，根据题意得出20a ->，从而求出实数a 的取值范围. 【详解】（1）当0a =时，()2ln 1xf x xex =--，()()()21210x f x x e x x'=+->， ()f x '在()0,∞+上是增函数，且1404f ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()21310f e '=->，所以存在()10,1t ∈，使得()f x 在()10,t 上是减函数，在()1,t +∞上是增函数， 因此，n 的最小值是1；（2）()2ln 1xx g x e a x +=--，()2222ln x x e xg x x+'=， 设()222ln xh x x ex =+，则()y h x =在()0,∞+上是增函数，且()2120h e =>，1ln 4048h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以存在21,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20h t =，所以()20,x t ∈时，()0h x <，()0g x '<，()y g x =是减函数；()2,x t ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()y g x =是增函数，所以()()2g x g t ≥.由()20h t =得22222ln 2t t t et =-，设()xm x xe =，则()()222ln m t m t =-， 由()xm x xe =在()0,∞+上是增函数，可得222ln t t =-，2221t et =， 所以()22222222ln 12112t t t g t ea a a t t t +-+=--=--=-， 所以()g x 的值域为()2,a -+∞，若对任意()12,0,x x ∈+∞恒有()()120g x g x >， 则20a ->，即2a <，所以a 的取值范围是(),2-∞. 【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的值，同时与考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，难点在于构造新函数并结合零点存在定理验证函数极值点的存在，以及极值点所满足的条件的灵活应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.22．极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2ρ=．以极点为原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，直线l的参数方程为12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的普通方程；（2）若曲线C 上恰有四个不同的点到直线l 的距离等于1，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）曲线C ：224x y +=，直线l：0x a --=；（2）22a -<<【解析】(1)根据极坐标222x y ρ=+化简曲线C .再消去直线l 的参数方程中的参数t 即可.(2)圆上恰有四个不同的点到直线l 的距离等于1的问题可转换为圆心到直线的距离1d <的问题.【详解】（1）依题意,24ρ=,代入公式222x y ρ=+,得曲线C 的直角坐标方程为224x y +=,由直线的参数方程消去参数t ,得直线l 的普通方程为0x a --=；（2）依题意可得,圆心O 到直线l ：0x a -=的距离1d <,1<,解得22a -<<． 【点睛】(1)本题主要考查极坐标的基本化简222x y ρ=+,与消去参数方程中参数的方法. (2)圆与直线的问题重点考虑圆心到直线的距离或半径的关系. 23．已知函数()124f x x x =-++． （1）求不等式()5f x ≥的解集；（2）若1m >，1n >，求证：()24f mn mn n m -+>-．【答案】（1）8,[0,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）见解析 【解析】(1)分三段2x <-,21x -≤≤,1x >进行讨论求不等式即可. (2)代入()f mn 化简得出求证|1|||mn n m ->-,故考虑两边平方化简证明. 【详解】（1）1245x x -++≥等价于21245x x x <-⎧⎨---≥⎩或211245x x x -≤≤⎧⎨-++≥⎩或11245x x x >⎧⎨-++≥⎩, 解得83x ≤-或01x ≤≤或1x >, 所以原不等式的解集为8,[0,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦．（2）要证：()|24|||f mn mn n m -+>-, 只要证|1|||mn n m ->-,只需证22(1)()mn n m ->-,而()()22222222(1)()1110mn n m m n m n m n ---=--+=-->, 从而原不等式成立． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的方法,包括分情况分段讨论与平方的方法等.。

2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|60}A x x x =--<，集合{|1}B x x =>，则()(R A B =ð )A ．[3，)+∞B ．(1，3]C ．(1,3)D ．(3,)+∞2．（5分）设复数z 满足(2)34z i i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于( ) A ．18B ．36C ．45D ．604．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//n α，且m β⊂，n β⊂，则//αβD ．若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥ 5．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是( ) A ．3- B ．2-C ．2D ．36．（5分）已知1112x n =，122x e -=，3x 满足33x e lnx -=，则下列各选项正确的是( )A ．132x x x <<B ．123x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<7．（5分）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9数字表示两位数的个数为( )A ．13B ．14C ．15D ．168．（5分）在矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则(AEE C =) A ．725B ．1225C ．125D ．144259．（5分）函数2()(1)sin 1xf x x e =-+图象的大致形状是( )A ．B ．C ．D ．10．（5分）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) A ．36B ．24C ．72D ．14411．（5分）已知函数()sin(2)6f x x π=-，若方程3()5f x =的解为1x ，212(0)x x x π<<<，则12sin()(x x -= )A ．35-B ．45-C ．D ．12．（5分）已知函数244()()x f x k lnx k x-=++，[4k ∈，)+∞，曲线()y f x =上总存在两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，使曲线()y f x =在M ，N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为( )A ．8(,)5+∞B ．16(,)5+∞C ．8[,)5+∞D ．16[,)5+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，111(*,2)n n a a a n N n -=++⋯+∈…，则当1n …时，n a = ．14．（5分）设当x θ=时，函数()sin f x x x =+取得最大值，则tan()4πθ+= ．15．（5分）已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极小值10，则a b -= ．16．（5分）在三棱锥S ABC -中，2SB SC AB BC AC =====，侧面SBC 与底面ABC 垂直，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是 ．三、解答题：共70分。