广东省高考数学(理科)

2021年广东省高考数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共8小题,每题5分,总分值40分,在每题给出的四个 选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 〔5分〕设集合 M={x| x 2+2x=0,x€ R} , N={x| x 2—2x=0, x€ 号,贝U MUN=〔 A. {0} B. {0, 2} C. {-2, 0} D. {-2, 0, 2}2. 〔5分〕定义域为R 的四个函数y=x 3, y=2x, y=x 2+1, y=2sinx 中,奇函数的个 数是〔 〕 A. 4B. 3 C 2 D. 13. 〔5分〕假设复数z 满足iz=2+4i,那么在复平面内,z 对应的点的坐标是〔 〕A. 〔2, 4〕B. 〔2, -4〕C. 〔4, -2〕D. 〔4, 2〕 4. 〔5那么X 的数学期望E 〔X 〕=〔 〕 A — B. 2 C. D. 3 2 25. 〔5分〕某四棱台的三视图如下图,那么该四棱台的体积是〔〕A. 4 B — C.D. 633 6. 〔5分〕设m, n 是两条不同的直线,% B 是两个不同的平面,以下命题中正 确的是〔 〕A.假设 a± & m? a, n? B,那么 m±nB.假设 all 0, m? a, n? & 那么 m // nC.假设 m±n, m? a, n? 3 那么 a± pD.假设 m ,a, m // n, n // & 那么 a± 0 7. 〔5分〕中央在原点的双曲线 C 的右焦点为F 〔3, 0〕,离心率等于,,那么 C 的方程是〔〕F ¥ J B Jc /n -7 二——1 — — C — — D —--〔5 分〕设整数 n>4,集合 X={1, 2, 3,…,n}.令集合 S={ 〔x, y, z 〕 | x, zC X,且三条件 x< y<z, y<z<x, z<x< y 恰有一个成立}.假设〔x, y, z 〕 〔z, w, x 〕都在S 中,那么以下选项正确的选项是〔〕A. 8. y, 和A. 〔y, z, w〕C S, 〔x, y, w〕 ?SB. 〔y, z, w〕€ S, 〔x, y, w〕€ SC. 〔y, z, w〕?S, 〔x, y, w〕S SD. 〔y, z, w〕 ?S, 〔x, y, w〕 ?S二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每题5分,总分值30分.9. 〔5分〕不等式x2+x —2<0的解集为.10. 〔5分〕假设曲线y=kx+lnx在点〔1, k〕处的切线平行于x轴,那么k=.11. .〔5分〕执行如下图的程序框图,假设输入n的值为4,那么输出s的值为.12. 〔5分〕在等差数列｛a n｝中,33+88=10,那么3a5+a7=.K+4V>413. 〔5 分〕给定区域D: r+y<4 .令点集T=｛〔x°, Vo〕 CD|xo, yo^Z, 〔x0,Ly°〕是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点｝,那么T中的点共确定条不同的直线.14. 〔5分〕〔坐标系与参数方程选做题〕曲线C的参数方程为〔t为参数〕,C在点〔1,1〕处的切线为I,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么I的极坐标方程为. 15. 如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD过C作圆O 的切线交AD于E.假设AB=6, ED=2,那么BC=.三、解做题：本大题共6小题,总分值80分.解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤.16. 〔12分〕函数f 〔x〕 =V2cos 〔x-—〕, xCR.12〔I〕求f 〔—工〕的值；6〔H〕假设cosB2,筱〔",2兀〕,求f 〔2什工〕. 5 2 317. 〔12分〕某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下图,其中茎为十位数,叶为个位数.〔1〕根据茎叶图计算样本均值；〔2〕日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.18. (14分)如图1,在等腰直角三角形ABC中,/A=90°, BC=6 D, E分别是AC, AB上的点,CD二BE二加,O为BC的中点.将△ ADE沿DE折起,得到如图2 所示的四棱椎A'-BCDE其中A O<.(1)证实：A工平面BCDE(2)求二面角A'-CD- B的平面角的余弦值.2 S19. (14分)设数列{a n}的前n项和为3b a〔二1,二1二日三门2力4,n_ * € N .(1)求a2的求;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证实：对一切正整数n,有!小+..・」-<工. a l a2 a n 420. (14分)抛物线C的顶点为原点,其焦点F (0, c) (c>0)到直线l: x-y-2=0的距离为色巨,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA, PB,其中A, B为切点.(1)求抛物线C的方程；(2)当点P (xo, yo)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|?|BF|的最小值.21. (14 分)设函数f (x) = (x- 1) e x- kx2 (kC R).(1)当k=1时,求函数f (x)的单调区问；(2)当1］时,求函数f (x)在［0, k］上的最大值M.叁2021年广东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题,每题5分,总分值40分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1. (5分)设集合M={x| x2+2x=0,x€ R} , N={x| x2—2x=0, xC R},贝U MUN=(A. {0}B. {0, 2}C. {-2, 0}D. {-2, 0, 2}【分析】根据题意,分析可得,M={0, -2}, N={0, 2},进而求其并集可得答案.【解答】解：分析可得,M 为方程x2+2x=0 的解集,贝U M={x| x2+2x=C}={0, — 2},N 为方程x2— 2x=0 的解集,贝U N={x|x2-2x=0}={0, 2},故集合M UN=[0, - 2, 2},应选：D.【点评】此题考查集合的并集运算,首先分析集合的元素,可得集合的意义,再求集合的并集.2. 〔5分〕定义域为R的四个函数y=x3, y=2x, y=x2+1, y=2sinx中,奇函数的个数是〔〕A. 4B. 3C. 2D. 1【分析】根据函数奇偶性的定义及图象特征逐一盘点即可.【解答】解：y=x3的定义域为R,关于原点对称,且〔-x〕3=- x3,所以函数y=x3 为奇函数；y=2x的图象过点〔0, 1〕,既不关于原点对称,也不关于y轴对称,为非奇非偶函数；y=x2+1的图象过点〔0, 1〕关于y轴对称,为偶函数；y=2sinx的定义域为R,关于原点对称,且2sin 〔 - x〕 =-2sinx,所以y=2sinx为奇函数；所以奇函数的个数为2,应选：C.【点评】此题考查函数奇偶性的判断,属根底题,定义是解决该类题目的根本方法,要熟练掌握.3. 〔5分〕假设复数z满足iz=2+4i,那么在复平面内,z对应的点的坐标是〔〕A. 〔2, 4〕B. 〔2, -4〕C. 〔4, -2〕D. 〔4, 2〕【分析】由题意可得z2彗,再利用两个复数代数形式的乘除法法那么化为412i,从而求得z对应的点的坐标.【解答】解：复数z满足iz=2+4i,贝U有z=2+产」2+4i〕i=4 — 2i,1 -1故在复平面内,z对应的点的坐标是〔4, -2〕, 应选：C.【点评】此题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幕运算性质, 复数与复平面内对应点之间的关系,属于根底题.4. 〔5分〕离散型随机变量X的分布列为那么X的数学期望E 〔X〕=〔〕A —B. 2 C. D. 3 2 2【分析】利用数学期望的计算公式即可得出.【解答】解：由数学期望的计算公式即可得出：E〔X〕 =〞+2X三+3」巨.5 10 10 2应选：A.【点评】熟练掌握数学期望的计算公式是解题的关键.5. 〔5分〕某四棱台的三视图如下图,那么该四棱台的体积是〔〕A. 4 B = C D. 6 33【分析】由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可.【解答】解：几何体是四棱台,下底面是边长为2的正方形,上底面是边长为1 的正方形,棱台的高为2, 并且棱台的两个侧面与底面垂直,四楼台的体积为V=L X〔22+ 1 3+722X I2〕X2=^-- ■J'J应选：B.【点评】此题考查三视图与几何体的关系, 棱台体积公式的应用,考查计算水平与空间想象水平.6. 〔5分〕设m, n是两条不同的直线,% B是两个不同的平面,以下命题中正确的是〔〕A.假设a± & m? a, n? B,那么m±nB.假设all 0, m? a, n? & 那么m // nC.假设m±n, m? a, n? 3 那么a± pD.假设m,a, m // n, n // & 那么a± 0 【分析】由a± p, m? a, n? B,可才t得m,n, m // n,或m, n异面；由all 0, m? & n?就可得m // n,或m, n异面；由m,n, m? a, n? 0,可得a与0 可能相交或平行；由m± a, m // n,那么n,a,再由n // B可得a± 0.【解答】解：选项A,假设n & m? % n? 3那么可能m±n, m // n,或m, n 异面,故A错误；选项B,假设all & m? a, n? B,那么m // n,或m, n异面,故B错误；选项C,假设m,n, m? a, n? 0,那么a与B可能相交,也可能平行,故C错误；选项D,假设m, a, m // n,那么n, a,再由n II 0可得「0,故D正确.应选：D.【点评】此题考查命题真假的判断与应用,涉及空间中直线与平面的位置关系, 属根底题.7. (5分)中央在原点的双曲线C的右焦点为F (3, 0),离心率等于,,那么C的方程是( )A / IB /C ,「D ’A「- - B ——C—— D —— -【分析】设出双曲线方程,利用双曲线的右焦点为 F (3, 0),离心率为1,建2立方程组,可求双曲线的几何量,从而可得双曲线的方程.22【解答】解：设双曲线方程为三二7二1 (a>0, b>0),那么 a b.•.双曲线C的右焦点为F (3, 0),离心率等于,,上1 r c-3* c c , c=3, a=2, • . b2=c2 - a2=5一心2 2「•双曲线方程为,誉:1. 4 5应选：B.【点评】此题考查双曲线的方程与几何性质,考查学生的计算水平,属于根底题.8. (5 分)设整数n>4,集合X=[1, 2, 3,…,n}.令集合S={ (x, y, z) | x, y, z€ X,且三条件x< y<z, y<z<x, z<x< y 恰有一个成立}.假设(x, y, z) 和(z, w, x)都在S中,那么以下选项正确的选项是( )A. (y, z, w) S S, (x, y, w) ?SB. (y, z, w) S S, (x, y, w) S SC. (y, z, w) ?S, (x, y, w) € SD. (y, z, w) ?S, (x, y, w) ?S【分析】特殊值排除法,取x=2, y=3, z=4, w=1,可排除错误选项,即得答案.【解答】解：方法一：特殊值排除法, 取x=2, y=3, z=4, w=1,显然满足(x, y, z)和(z, w, x)都在S中,此时(y, z, w) = (3, 4, 1) C S, (x, y, w) = (2, 3, 1) C S,故A、G D 均错误；只有B成立,应选B.直接法：根据题意知,只要y<z<w, z<w<y, w<y<z 中或x<y<w, y<w<x, w<x <y中恰有一个成立那么可判断〔y, z, w〕€ S, 〔x, y, w〕€ S.v(x, y, z) € S, (z, w, x) C S,x<y<z•・①,y<z<x••②,z<x<y••③三个式子中恰有一个成立；z<w<x…④,w<x<z••⑤,x<z<w••⑥三个式子中恰有一个成立.配对后有四种情况成立,第一种：①⑤成立,止匕时w <x<y<z,于是〔y, z, w〕€ S, 〔x, y, w〕C S; 第二种：①⑥成立,此时x<y<z<w,于是(y, z, w) e S, (x, y, w) e S；第三种：②④成立,此时y<z< w<x,于是(y, z, w) e S, (x, y, w) e S；第四种：③④成立,此时z<w<x<y, 于是(y, z, w) S S, (x, y, w) S S.综合上述四种情况,可得〔y, z, w〕 C S, 〔x, y, w〕€ S.应选：B.【点评】此题考查简单的合情推理,特殊值验证法是解决问题的关键,属根底题.二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每题5分,总分值30分.9. 〔5分〕不等式x2+x —2<0的解I集为〔一2, 1〕.【分析】先求相应二次方程x2+x-2=0的两根,根据二次函数y=x2+x- 2的图象即可写出不等式的解集.【解答】解：方程x2+x- 2=0的两根为-2, 1, 且函数y=/+x-2的图象开口向上,所以不等式x2+x- 2<0的解集为〔-2, 1〕.故答案为：〔-2, 1〕.【点评】此题考查一元二次不等式的解法,属根底题,深刻理解三个二次〞间的关系是解决该类题目的关键,解二次不等式的根本步骤是：求二次方程的根；作出草图；据图象写出解集.10. 〔5分〕假设曲线y=kx+lnx在点〔1, k〕处的切线平行于x轴,那么k= - 1 .【分析】先求出函数的导数,再由题意知在1处的导数值为0,列出方程求出k 的化【解答】解：由题意得,y'踮, X•••在点〔1, k〕处的切线平行于x轴,. ・k+1=0,彳4 k= - 1,故答案为：-1.【点评】此题考查了函数导数的几何意义应用,难度不大.11. 〔5分〕执行如下图的程序框图,假设输入n的值为4,那么输出s的值为7 .【分析】由中的程序框图及中输入4,可得：进入循环的条件为i04,即i=1, 2, 3, 4.模拟程序的运行结果,即可得到输出的S值.【解答】解：当i=1时,S=1+1 - 1=1;当i=2 时,S=#2-1=2;当i=3 时,S=?3—1=4;当i=4 时,S=4M—1=7;当i=5时,退出循环,输出S=7;故答案为：7.【点评】此题考查的知识点是程序框图, 在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程序的循环体中变量比拟多时,要用表格法对数据进行治理.12. 〔5分〕在等差数列｛a n｝中,33+88=10,那么3a5+a7= 20 .【分析】根据等差数列性质可得：3a5+a7=2 〔a5+a6〕=2 〔央+出〕.【解答】解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+ 〔a s+a/〕=2a5+ 〔2%〕 =2 〔a5+%〕 =2 〔a3+%〕 =20,故答案为：20.【点评】此题考查等差数列的性质及其应用, 属根底题,准确理解有关性质是解决问题的根本.工+4V>413. 〔5 分〕给定区域 D: r+y<4 .令点集 T={ 〔xo, yo 〕 CD|xo, yoCZ, 〔xo, yo 〕是z=x+y 在D 上取得最大值或最小值的点},那么T 中的点共确定 6 条 不同的直线.【分析】先根据所给的可行域,利用几何意义求最值, z=x+y 表示直线在y 轴上 的截距,只需求出可行域直线在y 轴上的截距最值即可,从而得出点集T 中元素 的个数,即可得出正确答案.【解答】解：画出不等式表示的平面区域,如图.作出目标函数对应的直线,由于直线 z=x+y 与直线x+y=4平行,故直线z=x+y 过 直线 x+y=4 上的整数点：〔4,.〕,〔3, 1〕, 〔2, 2〕, 〔1, 3〕或〔.,4〕时,直线的纵截距最大,z 最大；当直线过〔o, 1〕时,直线的纵截距最小,z 最小,从而点集T={ 〔4, o 〕, 〔3, 1〕, 〔2, 2〕,〔1, 3〕,〔o,4〕,〔o,1〕},经过这六个点的直线一共有6条.即T 中的点共确定6条不同的直线. 故答案为：6.【点评】此题主要考查了简单的线性规划, 以及利用几何意义求最值,属于根底 题.14. 〔5分〕〔坐标系与参数方程选做题〕以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,那么 I 的极坐标方程为 P cos+% sin _02=o 〔埴 p sin 〔或 P cos 〔 9〕一回也得总分值〕 .【分析】先求出曲线C 的普通方程,再利用直线与圆相切求出切线的方程, 最后 利用x= p cos,8 y= p sin 他换求得其极坐标方程即可.「•曲线C 是以〔o, o 〕为圆心,半径等于 血的圆. C 在点〔1,1〕处的切线I 的方程为x+y=2, 令 x= p cos,8y= p sin,0曲线C 的参数方程为{x=V2costy=V2sint〔t 为参数〕,C 在点〔1,1〕处的切线为I,【解答】解：由「一 [y=V2sint〔t 为参数〕,两式平■方后相加得x 2+y 2=2,…〔4分〕代入x+y=2 ,并整理得p cos+〕p sin & 2=0 ,即p 4^；〕一日或P cos〔B那么l的极坐标方程为p cos+Op sin & 2=0 〔填p sin〔 84或P CCIB〔日二$〕=^巧也得总分值〕•…〔10分〕故答案为：p cos+Op sin 4〕2=0 〔填P n 〔.H或p 8 式 9 —.也得总分值〕.【点评】此题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化.普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x= p cos,8y= p sin.015. 如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BC=CD过C作圆O 的切线交AD 于E.假设AB=6, ED=2, WJ BC=__^_.【分析】利用AB是圆O的直径,可得/ ACB=90. IP AC±BD,又BC=CD 可得△ ABD是等腰三角形,可得/ D=/B.再利用弦切角定理可得/ ACE=/ B, 得至ij/AECWACB=90,进而得到^ CED^AACB,利用相似三角形的性质即可得出.【解答】解：.「AB是圆O的直径,「./ ACB=90.即AC BD.又 = BC=CD AB=AD,「. / D=/ ABC, / EAC=Z BAC•.CE与..相切于点C, 「./ACE之ABC / AECW ACB=90.・ .△CED^ AACB.. •里里,又CD=BCAB BCBC=V AB*ED =76X2-2^3.【点评】此题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等根底知识,需要较强的推理水平.三、解做题：本大题共6小题,总分值80分.解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤.16. 〔12 分〕函数f 〔x〕 ='/^cos 〔x-y1-〕, xCR. JT〔I〕求f 〔-三〕的值；6〔n〕假设cosel,长〔JLL, 2兀〕,求f〔2肝2L〕.5 2 3【分析】〔1〕把x=-二直接代入函数解析式求解.6〔2〕先由同角三角函数的根本关系求出sin 8的值以及sin2.然后将x=20二代3入函数解析式,并利用两角和与差公式求得结果.【解答】解：〔1〕f ^〕=A/2COS〔^^^T〕=V2COS〔--^〕=V2o Q iz q 一上〔2〕由于8号©=|, e e 等,2n〕所以, 「［一一・：所以$in2 e =2sin8 cos 9 =2 乂〔"〕"二,cos2 9 =cos2 9 -si n20 二〔汨〕一〔4〕2 = 5 5 25所以f〔2 = +_Z-〕=V2C0S^2=+-z_^r;r〕=V2C0S〔2 =+—j-〕：=cos2日-sin2 ==U 0 JL T7 z24 s1725 ।25’ 25【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值的求解, 考查了和差角公式的运用, 属于知识的简单综合,要注意角的范围.17. 〔12分〕某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下图,其中茎为十位数,叶为个位数.〔1〕根据茎叶图计算样本均值；〔2〕日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？〔3〕从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.【分析】〔1〕茎叶图中共同的数字是数字的十位,这是解决此题的突破口,根据所给的茎叶图数据,代入平均数公式求出结果；〔2〕先由〔1〕求得的平均数,再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数；〔3〕设从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人〞为事件A,结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率.【解答】解：(1)样本均值为升20+21+25+30=22；6(2)抽取的6名工人中有2名为优秀工人,所以12名工人中有4名优秀工人；(3)设从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人〞为事件A,clcJ 1 c所以P(A〞一V二会, v12即恰有1名优秀工人的概率为—.33【点评】此题主要考查茎叶图的应用,古典概型及其概率计算公式,属于容易题.对于一组数据,通常要求的是这组数据的众数,中位数,平均数,题目分别表示一组数据的特征,考查最根本的知识点.18. (14分)如图1,在等腰直角三角形ABC中,/A=90°, BC=6 D, E分别是AC, AB上的点,CD=BE=V2, O为BC的中点.将△ ADE沿DE折起,得到如图2 所示的四棱椎A'-BCDE其中A O=?(1)证实：A工平面BCDE(2)求二面角A'-CD- B的平面角的余弦值.【分析】(1)连接OD, OE.在等腰直角三角形ABC中,/B=/ C=45, CD二BE二班, AD=AE乏/!,CO=BO=3分另1」在4 COD与△ OBE中,利用余弦定理可得OD, OE.禾用勾股定理的逆定理可证实/ A OD=A' OE=90再利用线面垂直的判定定理即可证实；(2)方法一：过点O作OF, CD的延长线于F,连接A' F利用(1)可知：A' 0 ,平面BCDE根据三垂线定理得A LCD,所以/ A' FO；二面角A'-CD- B的平面角.在直角△ OCF中,求出OF即可；方法二：取DE中点H,那么OH, OB.以O为坐标原点,OH、OB、OA分别为x、V、z轴建立空间直角坐标系.利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角.【解答】(1)证实：连接OD, OE.由于在等腰直角三角形ABC中,/ B=/ C=45, CD二BE二加,CO=BO=3在ACOD中,加二｛C02+C D々CO・CDs s45;二立,同理得比=^・由于AD=A' D=A‘ E=AE=2/2, A’ 0二®所以 A 2+OD2=A 2), A 2+Og=A,孑所以/A' OD=A' OE=90所以A' UOD, A吐OE, ODA OE=O.所以A吐平面BCDE(2)方法一：过点O作OF,CD的延长线于F,连接A' F由于A吐平面BCDE根据三垂线定理,有A 1CD.所以/A' F的二面角A'-CD- B的平面角.在Rt^COF中,0F=C0S E5'=^.在A' 0中,卜’ F 二W .,口/二^^ 所以一「」卜,•A r b所以二面角A' - CD- B 的平面角的余弦值为 堡.5方法二：取DE 中点H,那么OH±OB.以O 为坐标原点,OH 、OB OA 分别为x 、v 、z 轴建立空间直角坐标系. 那么 O (0, 0, 0), A' (0, 0,加),C (0, - 3, 0), D (1, - 2, 0) 0A 7* = (0, 0,无)是平面BCDE 勺一个法向量.设平面A ClDj 法向量为n= (x, y, z)前六二(0, 3,五),而二(L 1, 0). 二一、/n ・CA' =3y+V^w=0 人 皿_ rz所以? 一,令 x=1,那么 y=—1,[n*CD=x+y=O所以4(1,-1,行)是平面A' C 的一个法向量 设二面角A'-CD- B 的平面角为8,且8 6(0, g)|3F>|n|一中立-5所以二面角A'-CD- B 的平面角的余弦值为 亟5【点评】此题综合考查了等腰直角三角形的性质、 余弦定理、线面垂直的判定与 性质定理、三垂线定哩、二面角、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求 面角等根底知识与方法,需要较强的空间想象水平、推理水平和计算水平. 19. (14分)设数列｛a n ｝的前n 项和为3b a i =1,(2)利用 a n =&-S n-1 (n >2)即可得到 na n +1= (n+1) a n +n (n+1),可化为 缪T 〞,缪T,再利用等差数列的通项公式即可得出；(3)利用(2),通过放缩法——< % n【解答】解：(1)当 n=1 时,—p-=2a 1=a £^--l^y,解得 比=4 (1 2)2 %54n 3-n 2 4口① 当 n >2 时,2 SnT 二 ST) a n -7r(n-l ) 3-(n-l ) 24(nT)② J o ①-②得「. ：., 口 ： । n , ,整理得 na n +1= (n+1) a n +n (n+1),即 ％? &L+], n+1 n . -r a9 a ।当 n=1 时,年一^2-1二1 w JL所以数列｛曰｝是以1为首项,1为公差的等差数列 所以上"二口,即a =n 2 n仇所以数列｛a n ｝的通项公式为a n =n 2, n € N *、一 「L (n>2)即可证实.(n-1) n n-1 n(1) 求a 2的值;(2) (3)求数列｛a n ｝的通项公式； 证实：对一切正整【分析】(1)利用a 1=1,有 _p_l_+... a l a2 a n 42Sn_ 1 2 ____________ 2--a ^l —^行,nCN *.令n=1即可求出;an+l a n n+1 n当n=1, 2时,也成立.【点评】熟练掌握等差数列的定义及通项公式、通项与前 n 项和的关系a n =S- Sn-i (n>2)>裂项求和及其放缩法等是解题的关键.20. (14分)抛物线C 的顶点为原点,其焦点F (0, c) (c>0)到直线l: x -y-2=0的距离为型2,设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线 2 PA, PB,其中A, B 为切点. (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x0, y0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时,求|AF|?|BF|的最小值.【分析】(1)利用焦点到直线l: x- y-2=0的距离建立关于变量c 的方程,即可 解得c,从而得出抛物线C 的方程； (2)先设A (町,[J),//),由(1)得到抛物线C 的方程求导数,得到切线PA PB 的斜率,最后利用直线 AB 的斜率的不同表示形式,即可得出 直线AB 的方程；(3)根据抛物线的定义,有|AF|二1J + 1, |即|二|谥+1,从而表示出|AF|?|BF , 再由(2)得X 1+X 2=2x 0, X 1X 2=4y 0, X 0=y 0+2,将它表示成关于y 0的二次函数的形 式,从而即可求出|AF|?| BF 的最小值.【解答】解：(1)焦点F (0, c) (c>0)到直线所以抛物线C 的方程为x 2=4y.(2)设［. . . ■ ■ ■ ：「：, 由(1)得抛物线C 的方程为悬所以切线PA, PB 的斜率分别为 工 工2勺’2叼 所以PA ：或］〔犬—犬］〕①PB ：工:斗父2〔¥一；12〕②联立①②可得点P 的坐标为〔31%, 七2〕,即三1,二二！, : 2 4270 41 J(3)由于--J % n 2 (nT)门 n-1 n(n>2)l : x - y - 2=0的距离I -c-21 c+2 3^2解得c=1, 所二丁 n 4 n 4又由于切线PA的斜率为其孙=.』",整理得为三孙乂04岩,L1 X Q-X I U 2 1 U 4 11 2_1 2直线AB的斜率kJ町国际二止2二现町r 2 4 2所以直线AB的方程为y—■工工o 〔上一£ 1〕,整理得产/乂/白盯式口w J,即尸1,町X-V口,由于点P 〔XQ, yo〕为直线l: x- y- 2=0上的点,所以xo - yo- 2=0,即yo=x0—2, 所以直线AB的方程为XQX - 2y - 2yo=O.〔3〕根据抛物线的定义,有|阿|1君+1,|BF|［g+1,所以k：卜…•」：’-「：। , 了〜, - J ：'［「- = 当U+/〔町+ 〞〕2-2'区21+1,由〔2〕得X I+X2=2XQ, x1X2=4yo, Xo=yo+2,所以I..'' I' ' ' .''' । ,' ：। ,：" । :,■:■.■|l・,> ：। : ,：=2yg+2y0+5=2〔y D+y〕2+1-.所以当V.二q时,|AF|?|BF的最小值为u 4【点评】此题以抛物线为载体,考查抛物线的标准方程,考查利用导数研究曲线的切线方程,考查计算水平,有一定的综合性.21. 〔14 分〕设函数f 〔X〕 = 〔X- 1〕 e x - kx2〔kC R〕.〔1〕当k=1时,求函数f 〔X〕的单调区问；〔2〕当k€ e,1］时,求函数f〔X〕在［0, k］上的最大值M.【分析】(1)利用导数的运算法那么即可得出f'(x),令f'(x) =0,即可得出实数根,通过列表即可得出其单调区问；(2)利用导数的运算法那么求出f'(x),令f'(x) =0得出极值点,列出表格得出单调区问,比拟区间端点与极值即可得到最大值.【解答】解：(1)当k=1 时,f (x) = (x—1) e x-x2,f (x) =e x + (x- 1) e x - 2x=x (e x -2) 令 f (x) =0,解得 x 1二0, x 2=ln2>0 所以f (x), f (x)随x 的变化情况如下表：所以函数f (x)的单调增区间为(-8, 0)和(ln2, +8),单调减区间为(0,ln2)(2) f (x) = (x-1) e x - kx 2, x€[0, k] ,(y, U.f (x) =x3- 2kx=x (e x — 2k), f (x) =0,解得 x1二0, x?=ln (2k) 令小(k) =k- ln (2k),我 心,口,0’2k k所以小(k)在 6,1]上是减函数,..・小(1) &小(k) <1 -ln2<小 (k)(工<k.2 即 0<ln (2k) < k所以f (x), f (x)随x 的变化情况如下表：f (0) =- 1, f (k) -f (0) =(k- 1) e k -k 3-f (0) =(k- 1) e k -k 3+1 =(k-1) e k - (k 3-1)=(k —1) e k — (k — 1) (k 2+k+1) =(k- 1) [e k - (k 2+k+1)] k£ 弓,1], k-10O.对任意的(L 1], y=e k 的图象包在y=k 2+k+1下方,所以e k - (k 2+k+1) < 0 2 所以 f (k) -f (0) >0,即 f (k) >f (0)所以函数f (x)在[0, k]上的最大值M=f (k) = (k-1) e k -k 3.【点评】熟练掌握导数的运算法那么、利用导数求函数的单调性、极值与最值得方法是解题的关键.。

普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.A.{}1,0,1-B.{}1,0,1,2-C.{}1,0,2-D.{}0,12.已知复数z 满足()3425i z +=，则z =（ ） A.34i - B.34i + C.34i -- D.34i -+3.若变量x 、y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩，且2z x y =+的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m -=（ ）A.8B.7C.6D.5()336M m -=--=，故选C.4.若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ ） A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等A.()1,1,0-B.()1,1,0-C.()0,1,1-D.()1,0,1-6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A.200，20B.100，20C.200，10D.100，107.若空间中四条直线两两不同的直线1l 、2l 、3l 、4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是（ ）A.14l l ⊥B.14//l lC.1l 、4l 既不平行也不垂直D.1l 、4l 的位置关系不确定“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（ ） A.60 B.90 C.120 D.130第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .10.曲线25+=-xey 在点()0,3处的切线方程为 .11.从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .12.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba.13.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________.15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积的面积AEF CDF .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ，（1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f .55233:(1)()sin()sin , 3.121243223(2)(1):()3sin(),4()()3sin()3sin()443(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )4444323cos sin 6cos 426cos ,(0,),42f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈解由得10sin 4331030()3sin()3sin()3sin 3.444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======解频率分布直方图如下所示(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D －AF －E 的余弦值.:(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则0022,CD 2,30,130,==1,213324,,,=,,,3,222333319322EG .,7,,4231933193193622,()()474747EHG D AF E DPC CDF CF CD DE CF CP EF DC DE DF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴==⋅⋅======⋅⋅∴====-=为二面角的平面角设从而∥即还易求得EF=从而易得故3,476347257cos .47319GH EHG EH ∴∠==⋅=12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431(,,0),(ADF CP (3,1,0),2222AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DFCF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--∴++-><->-+++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-+++<-<-+<-∴---<--∴=-∞------+---+-+∞==-⋅⋅该方程的解为得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-+∞+>+++>+>∴<-∞---+---+∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴-<---<<-+-+-+--+<+->∴><+<<-+∴-++<<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii xx x x x kx x k k kg x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<<--+<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f --<<-+<-++<∴<>+->∴<+-+<---⋃--⋃-+⋃--+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。

广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析绝密★启用前广东省2019年高考理科数学试卷注意事项：1.考生答卷前，必须在答题卡上填写姓名和准考证号。

2.回答选择题时，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={x|-4<x<2}，N={x|x^2-x-6<0}，则M∩N=（）A。

{x|-4<x<3}B。

{x|-4<x<-2}C。

{x|-2<x<2}D。

{x|2<x<3}2.设复数z满足|z-i|=1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A。

(x+1)^2+y^2=1B。

(x-1)^2+y^2=1C。

x^2+(y-1)^2=1D。

x^2+(y+1)^2=13.已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（）A。

a<b<cB。

a<c<bC。

c<a<bD。

b<c<a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约为0.618，称为黄金分割比例。

某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A。

165cmB。

175cmC。

185cmD。

190cm5.函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为（）A。

B。

C。

D。

6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。

每一重卦由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图为一重卦。

在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A。

B。

C。

D。

7.已知非零向量，满足||=2||，且（-）⊥，则与的夹角为（）A。

2022广东高考数学（理科A卷）试卷及各题详细解答（免费）数学(理科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．1.若集合A={某|-2＜某＜1},B=A={某|0＜某＜2},则集合A∩B=(D)A.{某|-1＜某＜1}B.{某|-2＜某＜1}C.{某|-2＜某＜2}D.{某|0＜某＜1}2.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1z2(A)A.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+i3.若函数f(某)=3+3与g(某)=33的定义域均为R，则(D)A．f(某)与g(某)均为偶函数B．f(某)为奇函数，g(某)为偶函数C．f(某)与g(某)均为奇函数D．f(某)为偶函数，g(某)为奇函数某某某某4．已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和,若a2a32a1,且a4与2a7的等差中项为A．35B．33C．3lD．295.“m5,则S5=(C)412”是“一元二次方程某某m0有实数解”的(A)4A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件''6.如图1，VABC为正三角形，AA'//BB//CC，CC平面ABC且3AA''3BB'CC'AB2则多面体ABCABC的正视图(也称主视图)是(D) '''7.已知随机量某服从正态分布N（3,1），且P（2≤某≤4）=0.6826，则P(某＞4)=(B)A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.15858.为了迎接2022年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红橙黄绿蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是(C)A.1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒第1页共8页二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分（一）必做题(9～13题)9.函数，f(某)=lg(某-2)的定义域是(2,).10．若向量a=(1,1，某)，b=(1，2,1)，c=(1，1,1)满足条件(c—a)·2b=-2，则某=2.11.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C 所对的边，若a=1，b=3，A+C=2B，则inC=1.12.若圆心在某轴上、半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线某+y=0相切，则圆O的方程是(某2)2y22.13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为某1，…，某n(单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若n=2且某1，某2分别为1，2，则输出的结果为1.4（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图3，AB,CD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P，PD2a,OAP=30°则CP=39a.815．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0＜2）中，曲线2in与co1的极坐标为(2,3).4三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分l4分）第2页共8页已知函数f某Ain3某(A＞0，某,，0＜＜），在某12时取得最大值4。

2019年广东省高考数学真题（理科）及答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={x∣x2+2x=0,x∈R},N={x∣x2-2x=0,x∈R},则M∪N=A. {0}B. {0，2}C. {-2,0} D {-2,0,2}2.定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中，奇函数的个数是A. 4B.3C. 2D.13.若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是A. （2,4）B.（2,-4）C. (4,-2) D(4,2)4.已知离散型随机变量X的分布列为1 2 3P则X的数学期望E（X）=A. B. 2 C. D 35．某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是A．4 B． C． D．66．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若α⊥β，m α，nβ，则m ⊥ n B．若α∥β，mα，nβ，则m∥nC．若m⊥ n，m α，n β，则α⊥β D．若m α，m∥n，n∥β，则α⊥β7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是A． = 1 B． = 1 C． = 1 D． = 18.设整数n≥4，集合X=｛1，2，3……，n｝。

令集合S=｛（x,y,z）|x，y，z∈X，且三条件x<y<z,y<z<x，z<x<y 恰有一个成立｝，若（x，y，z）和（z，w，x）都在s中，则下列选项正确的是A.（y，z，w）∈s，（x，y，w）SB.（y，z，w）∈s，（x，y，w）∈SC. （y，z，w）s，（x，y，w）∈SD. （y，z，w）s，（x，y，w）S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

必做题（9~13题）9.不等式x2+x-2<0的解集为。

2011年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设复数Z满足（1+i）Z=2，其中i为虚数单位，则Z=（）A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i2．（5分）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y 为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）A．4 B．3 C．2 D．04．（5分）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数5．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．36．（5分）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12D．188．（5分）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c ∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的二、填空题（共7小题，每小题5分，其中14、15只能选做一题。

满分30分）9．（5分）不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥0的解集是．10．（5分）x（x﹣）7的展开式中，x4的系数是．11．（5分）等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和．若a1=1，a k+a4=0，则k=．12．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2+1在x=处取得极小值．13．（5分）某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm．14．（5分）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为．15．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB=．三、解答题（共1小题，满分12分）16．（12分）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求f（）的值；（2）设α，β∈[0，]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．17．（13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品总数．（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，y≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量．（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．18．（13分）如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．19．（14分）设圆C与两圆（x+）2+y2=4，（x﹣）2+y2=4中的一个内切，另一个外切．（1）求C的圆心轨迹L的方程；（2）已知点M（，），F（，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标．20．（14分）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，a n≤+1．21．（14分）在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=x2．实数p，q满足p2﹣4q≥0，x1，x2是方程x2﹣px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}．（1）过点，A（p0，p02）（p0≠0），作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点Q（p，q），有φ（p，q）=；（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2﹣4b＞0，a≠0．过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，切点分别为E（p1，），E′（p2，p22），l1，l2与y轴分别交于F，F′．线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a，b）∈X⇔|P1|＜|P2|⇔φ（a，b）=．（3）设D={（x，y）|y≤x﹣1，y≥（x+1）2﹣}．当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值（记为φmin）和最大值（记为φmax）2011年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•广东）设复数Z满足（1+i）Z=2，其中i为虚数单位，则Z=（）A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i【分析】我们可以利用待定系数法求出Z，我们设Z=x+yi，结合已知中（1+i）Z=2，结合复数相等的充要条件，我们易构造出一个关于x，y的方程组，解方程组即可求出满足条件的复数Z的值．【解答】解：设Z=x+yi则（1+i）Z=（1+i）（x+yi）=x﹣y+（x+y）i=2即解得x=1，y=﹣1故Z=1﹣i故选B2．（5分）（2011•广东）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】据观察发现，两集合都表示的是点集，所以求两集合交集即为两函数的交点，则把两集合中的函数关系式联立求出两函数的交点坐标，交点有几个，两集合交集的元素就有几个．【解答】解：联立两集合中的函数解析式得：，把②代入①得：2x2=1，解得x=±，分别把x=±代入②，解得y=±，所以两函数图象的交点有两个，坐标分别为（，）和（﹣，﹣），则A∩B的元素个数为2个．故选C3．（5分）（2011•广东）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0【分析】利用向量共线的充要条件将用表示；垂直的充要条件得到；将的值代入，利用向量的分配律求出值．【解答】解：∵∴存在λ使∵∴=0∴=2=0故选D4．（5分）（2011•广东）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数【分析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）﹣|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|﹣g（x）的奇偶性均不能确定故选A5．（5分）（2011•广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．3【分析】首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．【解答】解：如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故选：C．6．（5分）（2011•广东）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论．【解答】解：甲要获得冠军共分为两个情况一是第一场就取胜，这种情况的概率为一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为×=则甲获得冠军的概率为故选D7．（5分）（2011•广东）如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12D．18【分析】由已知中三视图我们可以确定，该几何体是以正视图为底面的直四棱柱，根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为3，底边上的高为：=，故底面积S=3×=3，又因为棱柱的高为3，故V=3×3=9，故选B．8．（5分）（2011•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的【分析】本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集T，V的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进行分析排除即可．【解答】解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；从而可得T，V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确．故选A．二、填空题（共7小题，每小题5分，其中14、15只能选做一题。

绝密★启用前 试卷类型：A2018年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔讲试卷类型（A ）填涂在答题卡相应的位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。

参考公式：台体的体积公式V=31(S 1+S 2+21s s )h,其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={x ∣x 2+2x=0,x ∈R},N={x ∣x 2-2x=0,x ∈R},则M ∪N=A. {0}B. {0，2}C. {-2,0} D {-2,0,2}2.定义域为R 的四个函数y=x 3,y=2x ,y=x 2+1,y=2sinx 中，奇函数的个数是A. 4B.3C. 2D.13.若复数z 满足iz=2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是A. （2,4）B.（2,-4）C. (4,-2) D(4,2)4.已知离散型随机变量X 的分布列为1 2 3 P则X 的数学期望E （X ）=A.B. 2C. D 35．某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是X。

2019年广东省高考数学真题（理科）及答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={x∣x2+2x=0,x∈R},N={x∣x2-2x=0,x∈R},则M∪N=A. {0}B. {0，2}C. {-2,0} D {-2,0,2}2.定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中，奇函数的个数是A. 4B.3C. 2D.13.若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是A. （2,4）B.（2,-4）C. (4,-2) D(4,2)4.已知离散型随机变量X的分布列为1 2 3P则X的数学期望E（X）=A. B. 2 C. D 35．某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是A．4 B． C． D．66．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是A．若α⊥β，m α，nβ，则m ⊥ n B．若α∥β，mα，nβ，则m∥nC．若m⊥ n，m α，n β，则α⊥β D．若m α，m∥n，n∥β，则α⊥β7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是A． = 1 B． = 1 C． = 1 D． = 18.设整数n≥4，集合X=｛1，2，3……，n｝。

令集合S=｛（x,y,z）|x，y，z∈X，且三条件x<y<z,y<z<x，z<x<y 恰有一个成立｝，若（x，y，z）和（z，w，x）都在s中，则下列选项正确的是A.（y，z，w）∈s，（x，y，w）SB.（y，z，w）∈s，（x，y，w）∈SC. （y，z，w）s，（x，y，w）∈SD. （y，z，w）s，（x，y，w）S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

必做题（9~13题）9.不等式x2+x-2<0的解集为。

绝密★启用前广东省2019年高考理科数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足|z﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A．（x+1）2+y2＝1B．（x﹣1）2+y2＝1C．x2+（y﹣1）2＝1D．x2+（y+1）2＝13．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+9．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则（）A．a n＝2n﹣5B．a n＝3n﹣10C．S n＝2n2﹣8n D．S n＝n2﹣2n 10．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝111．（5分）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（）A．8πB．4πC．2πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年广东省高考数学试卷(新高考I)(含答案)一、选择题（每小题5分，共45分）1. 若函数f(x) = x^2 4x + 3，则下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x=1处取得最小值B. f(x)在x=2处取得最大值C. f(x)在x=3处取得最小值D. f(x)在x=4处取得最大值2. 若a > b > 0，则下列哪个选项是正确的？A. a^2 > b^2B. a^3 < b^3C. 1/a > 1/bD. a/b > 13. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，则a1 + a10的值为多少？A. 20B. 10C. 5D. 24. 若正弦函数y = sin(x)在x = π/4时的值为√2/2，则下列哪个选项是正确的？A. y在x = π/2时的值为1B. y在x = 3π/4时的值为√2/2C. y在x = π时的值为0D. y在x = 2π时的值为15. 若等比数列{bn}的公比为q，且b2 = 4，b3 = 8，则q的值为多少？A. 2B. 4C. 1/2D. 1/46. 若复数z满足|z 1| = 2，则z在复平面上的轨迹是什么？A. 圆心在(1,0)，半径为2的圆B. 圆心在(1,0)，半径为2的圆C. 圆心在(0,1)，半径为2的圆D. 圆心在(0,1)，半径为2的圆7. 若直线y = kx + b与曲线y = x^2相切，则k的值为多少？A. 1B. 1C. 2D. 28. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = 2n^2 + 3n，则a1的值为多少？A. 5B. 7C. 9D. 119. 若函数f(x) = log(x)在x = 1时的值为0，则下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x = 10时的值为1B. f(x)在x = 0.1时的值为1C. f(x)在x = 100时的值为2D. f(x)在x = 0.01时的值为210. 若圆的方程为(x 2)^2 + (y + 3)^2 = 16，则圆的半径是多少？A. 4B. 2C. 8D. 111. 若正方形的对角线长度为2√2，则正方形的面积是多少？A. 4B. 2C. 8D. 112. 若函数f(x) = 2x 3，则下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x = 1时取得最小值B. f(x)在x = 2时取得最大值C. f(x)在x = 3时取得最小值D. f(x)在x = 4时取得最大值为多少？A. 2B. 4C. 1/2D. 1/414. 若直线y = kx + b与曲线y = x^2相切，则k的值为多少？A. 1B. 1C. 2D. 215. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = 2n^2 + 3n，则a1的值为多少？A. 5B. 7C. 9D. 11二、填空题（每小题5分，共25分）16. 若函数f(x) = x^2 4x + 3，则f(x)的极值点为______。

2016年广东省高考数学试卷（理科）（全国新课标I ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5 分）设集合A={x| x2- 4x+3v0} , B={x|2x— 3>0}，则A H B=（）A. （-3，-）B. （-3,）C. （1,）D. （，3）2. （5 分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y 是实数，则| x+yi| =（）A. 1B.C.D. 23. （5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8,则a1oo=（）A. 100B. 99C. 98D. 974. （5分）某公司的班车在7: 00，8: 00，8: 30发车，小明在7: 50至8: 30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A. B. C. D.5. （5分）已知方程-=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是（）A. （- 1, 3）B•（- 1,）C. （0, 3）D. （0,）6. （5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂7. （5分）函数y=2W-e|x|在［-2, 2］的图象大致为（）A . a c v b cB . ab c v ba cC. alog b c v blog a c D . log a c v log b c9. （5分）执行下面的程序框图，如果输入的 x=0, y=1, n=1，则输出x , y 的值 满足（ ）A . y=2xB. y=3xC. y=4xD . y=5x10. （5分）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、 E 两点.已知|AB|=4, |DE=2，则C 的焦点到准线的距离为（） A . 2B. 4C. 6 D . 8 11. （5分）平1■丿7 :B . \J 2 I 1 X - A . ■2V —A. C. 8. （5分）若 a >b > 1, O v c v 1,贝U （D.面a过正方体ABC— A i B i C i D i的顶点A, a//平面CBD i, aG平面ABCD=m aG平面ABBA i= n,贝U m、n所成角的正弦值为（）A. B. C. D.12. （5 分）已知函数f （x）=sin （ 3X©）（ 3> 0, | 创<）,x=-为f （x）的零点，乂=为y=f （x）图象的对称轴，且f （乂）在（，）上单调，贝U 3的最大值为（）A. ii B. 9 C. 7 D. 5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. （5 分）设向量=（m, i）, = （i, 2）,且|+| 2=|| 2+|| 2,则m= ________ .14. _________________________________________ （5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是________________________________ .（用数字填写答案）i5（5分）设等比数列｛a n｝满足a i +a3=i0,a2+a4=5,则a i ar・・a的最大值为___ .16. （5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料i.5kg，乙材料ikg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2i00元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料i50kg，乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （i2 分）△ ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos（acosB+bcosA）=c.（I ）求C;（U）若c=,A ABC的面积为，求△ ABC的周长.18. （i2分）如图，在以A, B, C, D, E, F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形, AF=2FD / AFD=90,且二面角D-AF- E与二面角C- BE- F都是60°（I ）证明平面ABEFL平面EFDC（II ）求二面角E- BC- A的余弦值.19. (12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰•机器有 一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200元.在 机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元•现需决策在购买机器时应 同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换 的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的 概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的 (U)若要求P (X < n )> 0.5，确定n 的最小值; (rn)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其」，应选用哪个？ 20. (12分)设圆x 2+y 2+2x - 15=0的圆心为A ,直线I 过点B( 1, 0)且与x 轴不 重合，I 交圆A 于C, D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(I)证明| EA+| EB 为定值，并写出点E 的轨迹方程；(U)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线I 交C 于M ， N 两点，过B 且与I 垂直的直 线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.21. (12分)已知函数f (x ) = (x -2) e x +a (x - 1) 2有两个零点.(I)求a 的取值范围；(U)设X 1，X 2是f ( X )的两个零点，证明：X 1+x 2V 2.同时购买的易损零件数. (I)请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.［选修4-1:几何证明选讲］22. (10分)如图，△ OAB是等腰三角形，/ AOB=120.以0为圆心，OA为半径作圆.(I )证明：直线AB与。

2019年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学（理科） 试卷类型：A参考公式：台体的体积公式V=31 h (S 1 +21s s +S 2),其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合M={x ∣x 2+2x=0,x ∈R},N={x ∣x 2-2x=0,x ∈R},则M ∪N=（ ）A.{0}B.{0，2}C.{-2,0}D.{-2,0,2} 2、定义域为R 的四个函数y=x 3,y=2x ,y=x 2+1,y=2sinx 中，奇函数的个数是（ ）A. 4B.3C.2D.13、若复数z 满足iz=2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）A.（2,4）B.（2,-4）C. (4,-2) D(4,2)4、已知离散型随机变量X 的分布列为（ ）则X 的数学期望E （X ）=（ ） A.23B. 2C. 25D 、3 4题 5题5、某四棱太的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是（ ）A ．4B ．314C ．316 D ．6 6、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的 是（ ）A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β7、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F （3，0），离心率等于，则C 的方程 是（ ）A ．15422=-y xB ．15422=-y xC ．15222=-y x D ．15222=-y x 8、设整数n ≥4，集合X=｛1，2，3…，n ｝，令集合S=｛（x,y,z ）|x ，y ，z ∈X ，且三条件x<y<z,y<z<x ，z<x<y 恰有一个成立｝，若（x ，y ，z ）和（z ，w ，x ） 都在s 中，则下列选项正确的是（ ）A.（y ，z ，w ）∈s ，（x ，y ，w ）∉SB.（y ，z ，w ）∈s ，（x ，y ，w ）∈SC.（y ，z ，w ）∉s ，（x ，y ，w ）∈SD. （y ，z ，w ）∉s ，（x ，y ，w ）∉S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。