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第二章 利息理论基础

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利息理论总复习

利息理论总复习
每年的实际利率为i0。
1 + i0 = (1 + i )
k
则年金的现值和终值分别为： 则年金的现值和终值分别为：
& a& n i 和 &&n i s
0
0
3、永续年金
1）期末付
lim a kn sk
n→∞
1 − v kn 1 1 = lim ⋅ = （i为每次的利率） n→∞ i sk is k
2）期初付
i ( m ) = m(e m − 1)
δ
1、期末付年金的现值与终值
( ( anm ) (∞) = anm ) = i
1− v i ( m)
n
=
1 − e − nδ m(e m − 1)
δ
。
( ( s nm ) ( ∞ ) = s n m ) i
(1 + i ) n − 1 = i (m)
2 、期初付年金的现值与终值
第一章
利息的基础知识
1、积累函数
a ( t )=
或：
a n − a n −1 an
=
i 1+ i
d = i ⋅v i=
d 1−d
贴现率与折现因子
公式一 公式二
d = 1− v
及：
vt = v = (1 − d )
t
t
及：
v = 1− d
at = (1 − d )
同理： 同理：
&&n m = &&n (1 + i ) = &&m + n − &&m s s s s
m
.
年金的当前值
0 1 1 ------m 1 1 n 1

利息理论——课件

利息理论——课件
t
27
定义 A(t)=k×a(t)称为金额函数，它给出 原始投资为k时在时刻t>=0的积累值。 记从投资之日算起第n个时期所得到的利息金额为 In.则 In=A(n)-A(n-1) 注 设t为从投资之日算起的时间，用来度量时间的 单位称为“度量时期”或“时期”，最常用的时期 为一年 以I（t)表示t时刻的利息额，则I(t)=A(t)-A(0)
14
利率决定利率
• 1、凯恩斯流动偏好模型 假定资产有货币（收益率0），债券（收益率i） 总资产=货币总量+债券总量 • ：货币需求曲线，当利率升高时----债 券价格下降----债券需求升高-----货币需求下 Md 降（eg:利率升高，储蓄增加，消费减少）
15
• 当 （均衡利率）时， ，货币需求<供 Md Ms i1 i0 给，人们用多余的货币购买债券，债券价 格升高-----债券收益率（利率）下降 • 当时， ，货币需求>供给，人们用卖 Md Ms i1 i0 债券，债券价格下降-----债券收益率（利率） 升高
复利
定义 复利指前期赚取的利息在后期会赚取附加 利息的计息方式。复利的积累函数是的积累函数 是 a(t)=(1+i)t 对整数t0
复利的直观表述：1元本金经过时期t+s后的累积 值等于将1元本金经过t后的累积值再投资s期所形 成的累积值
40
定义 利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转 让货币使用权所得的报酬。 利息的计算与积累函数的形式、利息的计息次数有关。
§2.1积累函数与贴现
一般地，一笔金融业务可看成是投资一定数量的钱款 以产生利息，初始投资的金额称为本金，而过一段时 间后收回的总金额称为积累值。 积累值=本金+利息

第二章-利息理论基础

第二章-利息理论基础
例：Find the accumulated value of $500 invested for 5 years at 8% per annum convertible quarterly.
• 实际应用中一般需要计算与名义利率i（m）等价旳（ 年）实质利率i旳大小。 名义利率与实际利率有如下关系
2. 短期两者差别不大，长久两者明显差别
3. 复利几乎用于全部旳金融业务，单利只 用于短期计算或复利不足期近似计算。
a (t)
1
0
1
e ^(it) (1+i)^t (1+it)
t
三、贴现率与现值函数 1、实质贴现率
一种度量期上旳实质贴现率为该度量期 内产生旳利息金额与期末旳积累值之 比。一般用字母d来表达实质贴现率。
例：
1、拟定500元以季度转换8%年利率投资5年 旳积累值。
2、如以6%年利，按六个月为期预付及转换 ，到第6年末支付1000元，求其现时值。
3、拟定季度转换旳名义利率，使其等于月度 转换6%名义贴现率。
例：答案
1、 2、
P 1
i(4) 4
4n
500 1
0.08 20 4
742.97
A0
I＝P×i×t
A(t)＝P＋I＝P(1+it)
注意：i和t旳单位必须一致，即若利率取年利率 ，时期t必须以年计；若利率取月利率，t必须 以月计。
• 例：假如每年单利率为8％，投资额为2023 元，求（1）4年后旳利息 （2）3个月后旳 利息（3）4年后旳本利和
解：
（1）I＝Pit＝2023×8％×4＝640（元）
第二章
利息理论基础
第一节
利息分析
第一节汉英名词对照

利息理论基础最新课件

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保险精算
精算部门的日常工作包括哪些内容？ 比较高级的精算职位要履行哪些职责？ 对精算从业人员的技术和职业道德要求有
哪些？
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一、某公司招聘广告中对精算助理的 要求
岗位职责： 1、 根据市场、销售部门提出的开发新险种的需求，设计
符合市场及公司发展需要的产品； 2、 责任准备金的评估及计提； 3、 公司未来的现金流分析及利润预测； 4、 分析公司发生的各项管理费用的合理性； 5、 核算公司代理人体系的成本，进行成本效益分析； 6、 公司的利源分析，资产负债匹配分析； 7、 根据保监会的规定编制各种精算月报、季报、年报； 8、 各种发生率的经验分析，保险条款的订立与修正。
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课程结构
基础
利息理论基础
生命表基础
核心
保费计算
责任准备金计算
多重损失模型
保单的现金价值与红利
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拓展 特殊年金与保险 寿险定价与负债评估 偿付能力与监管
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学好本课程需要做的准备
心态准备：积极、好学、持之以恒 工具准备：
引言： 了解精算、精算学与精算师
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什么是精算？是精确计算？
精算—依据经济学的基本原理，运用现代的各种 科学有效方法，对各种经济活动中未来的风险进 行分析、评估和管理，是实现现代保险、金融、 投资稳健经营的一种数学计算技术。
保险精算——保险公司稳健经营的灵魂与核心。
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i in 1 ( n 1)i
单贴现与实质单贴现
指数积累
复利与实质复利
a (t ) (1 i ) t inቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ i
复贴现与实质复贴现

利息理论知识点

利息理论知识点

利息理论知识点利息理论是金融学中非常重要的一部分，它涉及到我们日常生活中经济活动的方方面面。

在这篇文章中，我们将逐步深入探讨一些关键的利息理论知识点。

第一步：什么是利息？利息是指在借贷交易中，贷款人向借款人提供资金时产生的费用。

它代表了借款人使用贷款资金的成本，也是贷款人的回报。

第二步：利息的计算方法在实际生活中，利息的计算方法有很多种。

其中最常见的是简单利息和复利息。

简单利息是指在固定的时间段内，基于贷款的原始本金计算利息。

它的计算公式为：利息 = 本金 × 利率 × 时间。

复利息是指在每个时间段结束时，利息会被加到本金上，下一个时间段的利息将基于更新后的本金计算。

它的计算公式为：利息 = 本金 × （1 + 利率）^ 时间 - 本金。

第三步：利率和影响利率的因素利率是计算利息的重要参数，它代表了借款的成本或者投资的回报。

利率的水平由多种因素决定，包括但不限于以下几点：1.经济政策：宏观经济政策的调整可以直接影响利率水平。

例如，央行通过调整基准利率来控制货币供应量和利率水平。

2.市场需求和供应：市场上的借贷需求和供应也会对利率产生影响。

当借款需求大于供应时，利率通常会上升，反之亦然。

3.风险因素：借款人的信用状况和贷款的风险水平也会影响利率。

风险越高，借款人通常会面临更高的利息成本。

第四步：利息的作用和影响利息在经济活动中扮演着至关重要的角色，它对个人、企业和整个经济体都有重要的影响。

1.个人：对于个人来说，利息是负担债务的成本，也是储蓄和投资的回报。

了解利息理论可以帮助个人做出更明智的借贷和投资决策。

2.企业：对于企业来说，利息是融资成本的一部分。

通过掌握利息理论，企业可以更好地评估贷款和债务的风险和回报，从而制定更有效的财务战略。

3.经济体：利息的水平和变动也会对整个经济体产生影响。

低利率可以刺激经济增长和投资活动，但也可能导致通货膨胀。

高利率则可能减缓经济增长，但有助于控制通货膨胀。

利息理论

利息理论

通过上述各种信用工具的收益率可以看出，简易贷款和贴现债 券只在到期日偿付，所以收益率具有相对简单的形式；而固定分 期支付贷款和附息债券在到期日之前要不断地定期支付，所以收 益率的形式要复杂得多。 在学习本课程的过程中，我们需要对以下概念达成共识： 资金的周转使用会带来价值的增值。资金周转使用时间越长，实 现的价值增值就越大。 等额的货币在不同的时间点上，由于受通货膨胀因素的影响，其 实际价值也是不同的。 货币的所有者把货币使用权转让给其他经济活动者，他应该获得 与放弃这个使用机会时期长短相应的报酬。 支付利息就是掌握和运用他人资金所付的代价，获取利息就是转 让货币使用权所得到的报酬。 利息就其实质而言是货币资金使用者在经济活动中获得利润的一 部分。
例：按复利计息，n年后的本利和为 n年后的本利和为
A(n) A(0) (1 i)n
n1 A ( n 1 ) A ( 0 ) ( 1 i ) 则第n-1年的利率为
A(n) A(n 1) A(0) (1 i) n A(0) (1 i) n1 in A(n 1) A(0) (1 i) n1 (1 i) 1 i
在以上的例子中，如果按单利计息，则实际利率为：
A(n) A(n 1) a(n) a(n 1) in A(n 1) a(n 1) (1 in) (1 i (n 1)) i (1 i(n 1)) 1 i (n 1)
可见，随着n的增大 in 将变小。以上例子说明，按单利计息时， 各年的利息率并不相同的。
以上例子说明，按复利计息时，任何一年的利息率都是相同的。
2、1、2 单利和复利 利息的计算方法有单利和复利两种。单利只在本金 上计算利息，其累积函数的形式为 a(t)=1+it (t≥0) 当 t=0时， a(0)=1 ，当 t=1时， a(1)=1+ ｉ，说明它经过 （0，1）和（1，1+ i）点。 见P12图2一2。

寿险精算学利息理论基础

寿险精算学利息理论基础
精算师需要根据市场情况和公司战略，设计出符合市场需求的人寿保险产品，并确保产品具有合理的费 率水平。
保险费率的计算
01
02
03
保险费率是保险公司根据风险大 小和预期损失情况，向投保人收 取的保费标准。
寿险精算学在保险费率计算中发 挥着重要作用，通过对死亡率、 利率、疾病发生率等风险因素的 评估和预测，精算师可以制定出 合理的费率标准。
计算投资组合的预期收益，通常使用历史收益率、未来收益率和风 险调整后收益率等指标。
绩效评估
比较投资组合的实际表现与预期表现的差异，常用的指标包括夏普 比率、阿尔法系数和贝塔系数等。
投资组合的优化与调整
资产配置优化
根据投资目标和风险承受能力，确定最优的资 产配置比例。
动态调整
根据市场环境和投资组合的实际表现，定期或 不定期调整投资组合的资产配置。
信用风险
由于发行人违约，无法按时偿还 本金或利息的风险。
回报
债券的回报主要来源于利息收入 和资本利得（买卖债券的价差） 。
01
02
利率风险
由于市场利率波动，导致债券价 格波动的风险。
03
04
流动性风险
由于市场不活跃或缺乏交易对手 ，导致债券难以买卖的风险。
04
投资组合理论
投资组合的基本概念
投资组合
由多种资产组成的集合，包括股票、债券、现金等。
资产配置
投资者根据风险承受能力和投资目标，将资金分配到不同的资产 类别中。
多样化
通过持有多种不同类型的资产，降低单一资产的风险，提高整体 投资组合的风险调整后收益。
投资组合的评估方法
风险评估
衡量投资组合的风险水平，包括市场风险、信用风险和操作风险等。

黄达《金融学》讲义：第二章利息和利率

黄达《金融学》讲义：第二章利息和利率

黄达《金融学》讲义：第二章利息和利率在金融学的领域中，利息和利率是极其重要的概念，它们不仅影响着个人的财务决策，也在宏观经济层面发挥着关键作用。

接下来，让我们一同深入探讨黄达《金融学》中第二章关于利息和利率的相关内容。

首先，我们来理解一下什么是利息。

简单来说，利息就是资金所有者因出借资金而从借款者手中获得的报酬。

想象一下，你把一笔钱借给朋友，过了一段时间朋友还给你的钱比当初借的要多，多出来的那部分就是利息。

利息的产生源于资金的时间价值，因为同样的一笔钱在不同的时间点具有不同的价值。

比如，今天的100 元能买到的东西，可能一年后 100 元就买不到了，这就是资金的时间价值。

而利率则是利息与本金的比率，它反映了资金的增值速度。

利率的高低受到多种因素的影响。

从宏观角度来看，经济的增长状况是一个重要因素。

当经济繁荣时，投资机会增多，对资金的需求增加，往往会推动利率上升；反之，在经济衰退时，利率可能会下降。

通货膨胀率也会对利率产生影响。

如果通货膨胀率较高，人们为了弥补货币贬值的损失，会要求更高的利率。

此外，货币政策也是决定利率的关键因素。

中央银行通过调整货币供应量和基准利率等手段，来影响整个市场的利率水平。

在日常生活中，利率的应用无处不在。

对于储蓄者来说，利率决定了他们存款所能获得的收益。

较高的利率会吸引更多人储蓄，因为可以获得更多的利息收入。

对于借款者，如购房者申请房贷、企业为扩大生产而贷款，利率的高低直接影响到借款成本。

低利率环境下，借款成本降低，可能会刺激更多的借款和投资行为。

从金融市场的角度来看，不同类型的金融工具往往有着不同的利率。

比如，国债通常被认为是风险较低的投资，其利率相对也较低；而企业债券的利率则会根据企业的信用评级和风险状况有所不同，信用较差的企业需要支付更高的利率来吸引投资者。

再来说说利率的计算方式。

常见的有单利和复利两种。

单利是只对本金计算利息，而复利则是不仅对本金计算利息，还对利息计算利息。

第二章 利息与利率

第二章 利息与利率

第二节 利息理论
一,西方古典经济学派的利息理论 1.利息报酬说(威廉 配第与约翰 洛克) 配第与约翰.洛克 .利息报酬说(威廉.配第与约翰 洛克) 2.资本租金论(达得利 诺斯) 诺斯) .资本租金论(达得利.诺斯 3.利息源于利润说(约瑟夫 马西) 马西) .利息源于利润说(约瑟夫.马西 4.资本生产力说(萨伊,罗雪尔和马尔萨斯) .资本生产力说(萨伊,罗雪尔和马尔萨斯) 5. 利息剩余价值说(亚当 斯密) 利息剩余价值说(亚当.斯密 斯密)
2.名义利率和实际利率 .
实际利率是指物价不变, 实际利率是指物价不变,从而货币购买力不 变条件下的利率. 变条件下的利率. 名义利率, 名义利率,是指包括补偿通货膨胀风险的利 率. 名义利率粗略的计算公式可以写成: 名义利率粗略的计算公式可以写成:r = i+P. . 精确公式: ( ) 精确公式:r =(1+i)×(1+P)—1. .
(二)利息转化为收益的一般形态
利息已经被人们看作是收益的一般形态 . 利率成为一个尺度: 利率成为一个尺度:如果投资回报率不大于 利率则根本不需要投资; 利率则根本不需要投资;如果扣除利息所余 利润与投资的比非常低, 利润与投资的比非常低,则说明经营的效益 不高. 不高.
利息能够转化为收益一般形态的原因: 利息能够转化为收益一般形态的原因: 借贷关系中利息是资本所有权的果实这种观 点被广而化之,取得了普遍存在的意义. 点被广而化之,取得了普遍存在的意义. 利率的大小,在其他因素不变的条件下, 利率的大小,在其他因素不变的条件下,直 接制约企业主收入的多少.在这个意义上, 接制约企业主收入的多少.在这个意义上, 用利率衡量收益, 用利率衡量收益,并以利息表现收益的观念 及做法,就不奇怪了. 及做法,就不奇怪了. 利息的悠久历史. 利息的悠久历史.

利息与利率基础知识要点PPT(共34页)

利息与利率基础知识要点PPT(共34页)

二、利息和利率
• 利息
– 利息是使用借贷资本的报酬
• （一）利息的来源及本质
– 利息来源于剩余产品或利润的一部分， 是剩余价值的转化形式
二、利息和利率
• （二）利息的本质理论
– 资本生产力论 • 利息是资本生产力的产物
– 时差利息论 • 人们对现在财货的主观评价高于对未来财货的主 观评价
– 流动性偏好理论 • 货币具有高度流动性，被人们普遍接受的金融资 产
银行信用
1．含义 银行等信用机构以货币形态向社会和个人提供 的信用
2．特征 银行信用是间接信用，信用对象是货币资
本 3．优越性
银行信用规模大，不受运动方向的限制， 银行信用具有广泛的可接受性 4．信用工具 银行券，支票，银行汇票，银行本票
国家信用
1．含义 国家作为债务人，举债筹集资金的行为
2．特征 信用主体是国家，债务凭证流动性高， 风险小
•
29、人生就像一道漫长的阶梯，任何人 也无法 逆向而 行，只 能在急 促而繁 忙的进 程中， 偶尔转 过头来 ，回望 自己留 下的蹒 跚脚印 。
•
30、时间，带不走真正的朋友；岁月， 留不住 虚幻的 拥有。 时光转 换，体 会到缘 分善变 ；平淡 无语， 感受了 人情冷 暖。有 心的人 ，不管 你在与 不在， 都会惦 念；无 心的情 ，无论 你好与 不好， 只是漠 然。走 过一段 路，总 能有一 次领悟 ；经历 一些事 ，才能 看清一 些人。
– 商业信用 – 银行信用 – 国家信用 – 消费信用 – 国际信用
商业信用
1．含义： 企业间用赊账和预付方式买卖商品时提供的信 用
2．特征: 信用范围局限于企业 信用对象是商品资本 信用载体是商业票据,与产业资本运动相一致

利息理论总结

利息理论总结

第一章利息的基本计算一、利息基本函数(一)累积函数本金：初始投资的资本金额累积值：过一定时期后收到的总金额利息：累积值与本金之间的金额差值积累函数a(t)表示0时刻的本金1经过t年的连续累积得到的积累值，也称作累积因子。

总量函数A(t)表示本金为k的透支在时刻t>=0是的积累值。

A(t)=k∗a(t)累积函数a(t)的倒数a-1(t)为t期折现因子或折现函数，把一期折现因子a-1(t)简称为折现因子，记为v(二)单利和复利将从投资之日算起的第n个时期内所获得的利息金额记为I，有I n=A(n)−A(n−1),n≥1利率等于一定的货币量在一段时间（计息期）内的变化量（利息）与期初货币量的比值利息计算公式：利率=利息/期初本金*100%1.单利如果其在t时的积累值为a(t)=1+it 其中i为某常数。

那么，我们就说该项投资以单利i计息，并将这种计息方式称为单利(计息方式)。

2. 复利如果其在t 时的积累值为a (t )=(1+i )t那么，我们就说该项投资以复利i 计息，这种计息方式称为复利。

3. 单利计算与复利计算的区别1) 若单利率=复利率，当0<t<1，时单利>复利，而当t>1时，单利<复利2) 两者短期差距不大，长期两者有显著差距3) 复利几乎用于所有金融业务，单利只用于短期计算或复利的不足期近似计算 (三) 贴现函数 如果在期初投资(1+i )-1则期末是恰好累积到1，把v=(1+i )-1称为是贴现因子，即期初本金=期末累积值*贴现因子 一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值称为实贴现率 贴现率d 的计算公式：d n =A (n )−A(n −1)A(n)=I n A(n)=a (n )−a(n −1)a(n)1. 单贴现贴现函数为a −1(t )=1+dt,0≤t ≤1d ,其中d 为单贴现率2. 复贴现3.贴现函数为a−1(t)=（1+d）t,0≤t,其中d为复贴现率●如果对给定的投资金额，在同样长的期间类，它们产生同样的积累值，则称两个“率”是“等价”等。

利息理论第二章课后答案

利息理论第二章课后答案

1、证明： ()nmm n i vv a a -=-;证明：11()()m nnmm n i i i i v v v v a a ---=-=-2、化简：n t t nnas as--解：()()()()()()()111111111111111tn tnttn t t n n n nnni iiii vi i i a s asv i i n ------+=+=+=----+++++++3、设2,n n x y a a ==，用x 、y 来表示d; 解：()()()2222221122111211n n n n nn v a x xi v x y i x y ixi yi i d i x x x y v yi v a yi ⎧-==⎪⎧-=--⎪⎪⇒⇒-=-⇒=⇒==⎨⎨++---=⎪⎪⎩==⎪⎩4、设,mn x yas ••== 证明：1m nvx yiy a++=+；）证明：()()()()()()111111111111m m m m n nnn v i a x v xivxiv yi xv y i a i iy i s y v yi i -+-⎧-+⎪==⇒=----+⎪∴==⎨++-⎪==⇒=-⎪⎩5、证明：2322......1......nnnnn nsss sss+-=;证明：()()()()()()()()()()232322222211111111111111111111n n nn n nn n n nnn n nnns s s i i i s s s i i i i i i i +-+-+-+-=+-+-+-+-⎡⎤+-+⎣⎦=+++=+-6年金a 的给付情况是：1—10年，每年给付1000；11-20年，每年给付2000元；21-30年，每年给付1000元；年金b 在1-10年，每年给付k 元；11-20每年给付0；21-30，每年给付k 元，若a 与 b 相等，知道=，计算k解：100030a +10001010v a =k 30a -k 1010v a 又因10v = 解答得k=1800—7 某人希望采取零存整取的方式累积2000，前n 年，每年末存入50，后n 年，每年末存入100，不足部分在2n+1年末存入，正好达到2000的存款本息和。

《利息理论》—教学课件

《利息理论》—教学课件
2、实际利率常用百分数表示。如：i=8%。
3、在该度量期本金的数额保持不变，即没有新本金投入 也没有本金被取出。
4、实际利率是度量期末支付利息的一种度量。
支付利息的二种方式 ❖ 期末支付
这是常见的支付利息的方式，又称滞后利息。 例：设某人向银行借了1000元钱，约定一年后还本，借贷
款利率为8%的滞后利率，则此人在年末时要偿还银行本 金1000元，另加80元利息。 ❖ 期初支付 这种支付利息的方法不常见，又称预付利息。它是在投入 资本之时即获得利息。
显然，In关于n单调递增。而对于每期的实际利率，有
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
(1
i)n (1 i)n1 (1 i)n1
(1 i) 1
1
i
与n无关。这样，尽管定义不同，但复利与实际利率是相同 的，这也是复利与单利区别之一。
❖ 单利与复利的比较 1、单利的利息并不作为投资资金而再赚取利息，而复利则不 然，它采用的是“利滚利”。 2、由积累函数看，相同数值的单利对于不同的时期会有不同 的关系：对于单个度量期，它们产生的结果是相同的；对于 较长时期，由于t≥1时，有(1+i)t≥1+it，所以复利比单利产 生更大的积累值；而对于较短时期则相反，因为t≤1时， (1+i)t≤1+it；
三、实际利率
利率的第一种形式称为“实际利率”，用i表示。 定义：我们将一个度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资
的本金金额之比，称为该期的实际利率。 ❖ 用积累函数来定义即为：
i＝a(1)－a(0) 或 a(1)＝1+i
❖ 关于这个定义有几点值得注意：
1、“实际”这个词的使用不是很直观，这个概念用于每 个计息期支付一次利息的利率，它是与“名义利率” 相 对的。“名义利率”是一个计息期内支付多次利息的利率。

利息理论 ppt课件

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例1.7 已知现在投入1000元，第3年底投入2000元， 第10年底全部收入为5000元，计算半年换算名利率
解题：设半年换算名利率为 i ( 2 ) ，令 j i(2) / 2，则有
10(10 j0 )20 20(10 j0 )14 5000
令 f(i) 10 (1 0j)2 0 020 (1 0j)1 0 450，0分0 别验证f(j0),f(j1) 使得 f(j0)f(j1)0，则有 j2j0ff((jj01))(j1f(jj00)) 按照相同原则迭代出 j3 , j4 等
2.1 基本年金
续例2.1 A: 500(1 00.0)0 8 10 5000 50 70 9.5406
B: 5000 0 .00 8 10 0400000
C: 500001005000020451.445
a 100.08
（利息的发生过程未予考虑）
2.1 基本年金
2.1.2 期初年金
定义2.3 若年金的首次现金流在合同生效时立即产 生，随后依次分期进行，这种年金称为期初年金
aA (5 ) 1 .41a 0 B (5 6 ) 1 .4058
1.1 利率基本函数
定义1.11 设累积函数 a (t ) 为 t(t 0) 的连续可微函
数，则称函数
t
a' (t) ,(t 0)
a(t)
为累积函数a (t ) 对应的利息力函数，并称其在各个
时刻的值为利息力。
a(t)exp0t(sd)st,0
后5年内按月偿还，如果年实际利率为6.09%， 计算每月末的付款金额。
【解】付款按月进行，因此可以先将年利率转 换成实际月利率（ 16.0% 9） 1/12 10.49% 3，86 再按照基本年金公式有

利息理论——第二章2.1

利息理论——第二章2.1

1 (1 i ) n (1 i ) n 1 1 (1 i ) i
(2.1.4)
关于 an 的基本公式
1 v 公式(2.1.2) an i 也可以写为 n
n
(2.1.5) 经济意义解释：公式的左侧表示在时刻0进行投 资，投资本金为1，公式的右侧表示投资的回收 方式，即这1单位的本金每期投资一次，并在每 一期期末均产生利息i，那么n期利息的现值之和 为 ian ；到n期末，即时刻n时，将投资本金1收回， n v 并折现到时刻0的现值为 。在利率为i时，投资 额与投资回报本利和的现值是相等的。因而，公 式(2.1.5)左右两侧相等，如下图所示。
n
关于 sn 的基本公式
(1 i ) 1 公式(2.1.4) sn 也可以写为 i n
n
(2.1.6) 经济意义解释：公式左侧表示将1单位本金投资n期, 每期按复利i计算，在n期期末，投资积累值即本利 n 和为 (1 i)；公式右侧表示投资本金为1，即这1单位 的本金每期投资一次，每期期末产生利息i，而每期 所产生的利息又以利率i再投资，这样到n期期末各 积累值之和为isn ，这部分是所生利息的积累值，再 加上投资本金1，即为全部本利和，等式左右两侧分 别是一种投资的两种算法，实质上是相等的，如下 图：
an
于在0时刻投资本金为1，则n期期末本利和为 n n (1 i) ，而 (1 i) 1 isn ，这与每期期末投资 P的n期积累值是等价的，即 1 isn Psn ，由此 1 1 得
an
P
sn
i
an 和 sn 在几种不同利率情况下，对于n从1~50 的值在本书附录中可以查到。通常an 和sn 符号 中不必标出计算所依据的利率，在一个问题中涉 a 及多个利率时，为避免引起混淆，可写作： n i a 和 sn i 的形式，如 a10 0.06 、 20 0.08 和 s20 0.07 等。
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m
m
余 额：1
i (m) 1
m
(1 i (m) ) 2
…
(1 i (m) ) m1
m
m
图(1-2A) 名义利率图
(1 i (m) ) m 1 i m
名义贴现率
用符号d(m)记每一度量期付m次利息的名 义贴现率。所谓名义贴现率d(m)，是指每 1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m 个度量期上的实质贴现率为d(m)/m。
(1-16A) (1-16B) (1-16C)
相同度量期内等价的名义利率与名义贴现率有如下 的关系（m，p可以不相同）
1） (1 i(m) )m (1 d ( p) ) p
m
p
2) 若m p,则有
(1 i(m) )m (1 d (m) )m
m
m
例（1）求与实质利率8％等价的每年计息2次的 年名义利率以及每年计息4次的年名义贴现率；
2. 短期两者差异不大，长期两者显著差异
3. 复利几乎用于所有的金融业务，单利只 用于短期计算或复利不足期近似计算。
a (t)
1
0
1
e ^(it) (1+i)^t (1+it)
t
三、贴现率与现值函数 1、实质贴现率
一个度量期上的实质贴现率为该度量期 内产生的利息金额与期末的积累值之 比。通常用字母d来表示实质贴现率。
I＝P×i×t
A(t)＝P＋I＝P(1+it)
注意：i和t的单位必须一致，即若利率取年利率， 时期t必须以年计；若利率取月利率，t必须以 月计。
例：如果每年单利率为8％，投资额为2000 元，求（1）4年后的利息 （2）3个月后的 利息（3）4年后的本利和
解：
（1）I＝Pit＝2000×8％×4＝640（元）
12
12
i 8.36%
3） (1 i (4) )4＝(1 d (12) )12
4
12
1 i (4) ＝(1 6％)3
期末积累值＝期初本金×累积因子
贴现因子(discount factor)： 积累的反问题：在期初投资多少，才能使在1个 时期结束时本金和利息总额等于1单位的货币量？ 如果在期初投资（1＋i）－1，期末恰好累积到1， 把 v＝ （1＋i）－1 称为贴现因子 期初本金＝期末积累值×贴现因子
贴现函数a-1(t)：也叫为t期贴现因子。a-1(1)简称 为贴现因子，并简记为v;
比较：若单利率＝复利率＝8％
当t＝1/4时， 2038.35<2040，即： 复利终值<单利终 值 当t＝1时，2160＝2160，即：复利终值＝单利终值 当t＝4时，2720.98>2640，即：复利终值>单利终值
单利计算与复利计算的区别
1. 若单利率＝复利率，则当0<t<1时，复 利终值<单利终值；当t＝1时，复利终 值＝单利终值；当t>1时，复利终值> 单利终值。
a 1 (t )
0
t
第N期利息
I (n)
I (n) A(n) A(n 1)
例2-1
已知本金A(0)=1000元，若按a（t） =3t^2+1 积累,求：
（1）10年的积累值； （2）20年的积累值； （3）第10年获得的利息及利率； （4）第20年获得的利息及利率。
二、单利与复利
1、单利条件下的积累函数
人民币存款利率
2008年12月23日
项目 活期存款 整存整取
3个月 半年 1年 2年 3年 5年
年利率(%) 0.36
1.71 1.98 2.25 2.79 3.33 3.60
利率表中是否表示存3个 月的实质利率为1.71％， 而存一年的实质利率为 2.25％？
注意：上述理解是有问题 的。
名义利率
i (1 i ( m) ) m 1 m
1
i ( m) m[(1 i) m 1]
及
补充： 名义利率图
时间点： 0 利 息：
1/m
i(m) 1 m
2/m
…
i (m) (1 i (m) )
…
m
m
(m-1)/m
i (m) (1 i (m) ) m2
m
m
m/m=1
i (m) (1 i (m) ) m1
解：可得i＝5％，贴现因子v=(1+i)-1=0.9524
d=iv=0.04762
从而借款人期初实际可得
10000(1-d)=9524(元)
2、现值与终值
终值是现在的货币值在未来时期的价值。 现值是未来的货币值在现在时期的价值。 积累因子（accumulation factor）
如果实质利率为i，则在期初投资的1个单位的本金在 期末将累积到1＋i。把1＋i称为积累因子，即
假定一个单位的投资在每个单位时间所赚的利息 是相等的，而利息不用于再投资。
一个投资者开了一个储蓄帐户并存入1元，该帐 户按每年单利率i支付利息，那么一年后投资者帐 户有1+i元，两年后他的帐户值是1+2i元，……
一般表现形式
假设：I－利息；P－期初本金；i－利率; A(t) －经过时间t后的积累值
问题：连续存4个三个月的定期和存一个一年定期， 哪一个更划算？
解：设期初的本金是10000元，连续存4个三个月 的定期可得利息
10000×(1＋1.71%/4)4—10000=172.10
存一个一年定期可得利息 10000×2.25％=225
例：2年期的定期 i（1/2）=2.79% 2年期的实际利率为多少 ？ 2i（1/2）=5.58% 3年期的定期 i（1/3）=3.33% 3年期的实际利率 3i（1/3）=9.99% 5年期的定期 i（1/5）=3.60% 5年期的实际利率 5i（1/5）=18%
1)
(1
i)t (1 i)t1 (1 i)t
i ＝d 1 i
大小不发生变化
例： 实质利率/贴现率
某人存1000元进入银行，第1年末存款余额 为1020元，第2年存款余额为1050元，求 i1、i2、d1、d2 分别等于多少？
例：答案
Q A(0) 1000, A(1) 1020, A(3) 1050
现值 present value
积累与贴现是一对相反的过程，相对于期初1个单位本金在t时 期期末积累值是a(t)，相对于t时期期末1单位金额的期初值则 为a-1(t)。
贴现率与贴现因子的关系是：
v 1 1 i 1d 1i 1i
四、一般复利与一般复贴现
利息可以按年支付，也可以在一年多次支 付，我们将一年多次支付利息的形式称为 一般复利。
1) (1 i (2) )2 1 i 1 8% 2
1
解：i (2)＝[1.082 1] 2 7.85% (1 d (4) )4 1 i 1.08 4
d (4)
1
4[1 (1.08) 4 ]
7.623%
2) 1 i (1 d (12) )12 (1 8% )12 1.0836
如d是对每个度量期初支付的利息的度量 一样，名义贴现率d(m)是一种对1/m个度 量期初支付的利息的度量。
图(1-2B) 名义贴现率图
时间点： 0
1/m
… (m-2)/m
(m-1)/m m/m=1
贴现： d (m) (1 d (m) ) m1
m
m
d (m) (1 d (m) ) m2
…
d (m)
续复利） 时期长度
一、利息与积累函数
积累函数： a(t) 是单位资本金经过时间后的积累额。
a(t)
总累积额函数
A(t)
贴现函数
1------------------------------ a(t)
K------------------------------ A(t) a 1 (t )-----------------------------1
例：Find the accumulated value of $500 invested for 5 years at 8% per annum convertible quarterly.
实际应用中通常需要计算与名义利率i（m）等价的 （年）实质利率i的大小。 名义利率与实际利率有如下关系
1 i (1 i ( m) ) m m
I1 A(1) A(0) 20
I 2 A(3) A(2) 30
i1
I1 A(0)
20 1000
2%
d1
I1 A(1)
20 1.96% 1020
i2
I2 A(1)
30 1020
2.94%
d2
I2 A(2)
30 1050
2.86%
例：假设期初借款人从贷款人那里借10000元， 商定一年到期时还10500元，如果借款人希望 期初时即付给贷款人利息，1年到期时偿还本 金10000元，问：期初借款人实际可得金额多 少？
定义：每个度量期（通常为一年）支付m次利息 的名义利率用i(m)表示（m一般大于1，也可小于 1或不为整数），即每1/m个度量期支付利息一 次，每1/m个度量期的实质利率为 i(m)/m。
例：i(4)＝8％（季换算名义利率8％）表示每个 季度支付利息一次，且每个季度的实质利率为2 ％。
如3个月的定期存款利率（挂牌利率）为i(4)＝ 1.71％,则10000元存满三个月可得利息42.75 元。
第二章
利息理论基础
第一节
利息分析
第一节汉英名词对照
积累值 现实值 实质利率 单利 复利 名义利率 贴现率 利息效力
Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force of interest