天津市南开区高三二模数学理试题含答案

2018年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）i为虚数单位，则复数＝（）A．﹣1+3i B．3+i C．3﹣i D．2+4i2．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+3y的最大值为（）A．11B．24C．36D．493．（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知b＝，c＝2，cos B＝，则a＝（）A．B．C．2D．34．（5分）函数f（x）＝log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（0，2）D．（﹣2，0）5．（5分）设F1，F2是离心率为5的双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．4B．8C．24D．486．（5分）下列命题中，正确的是（）A．“lna＞lnb”是“10a＞10b”的充要条件B．命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m ≠0且n≠0”C．存在x0＞0，使得x0＜sin x0D．若cosα≠，则α≠7．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，a1＝2，a2＝4，a3＝6，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，则S25＝（）A．233B．282C．466D．6508．（5分）设△ABC是边长为1的正三角形，M是△ABC所在平面上的一点，且+2λ+＝，则当•取最小值时，λ的值为（）A．B．C．2D．3二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上.9．（5分）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为．10．（5分）执行如图的程序框图，若输入的N是4，则输出p的值是．11．（5分）二项式（）5的展开式中的常数项为．12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是，则a＝．13．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2（cosθ+sinθ），以极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴．两种坐标系中的长度单位相同，直线l：（t为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，则|EA|•|EB|＝．14．（5分）已知函数f（x）＝（）x，函数g（x）为偶函数且g（x﹣2）＝﹣g（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝若F（x）＝g（x）﹣f（|x|）﹣a恰有4个零点，则a的取值范围是．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知x＝是函数f（x）＝2cos2x+2a sin x•sin（x+）图象的一条对称轴．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．16．（13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得﹣1分．现从盒内任取3个球．（Ⅰ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（Ⅱ）设X为取出的3个球中白色球的个数，求X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°．（Ⅰ）求此三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝，且当n≥2时，＝+2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝2（1﹣n）a n，证明：b22+b32+b42+..+b n+12＜．19．（14分）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4的焦点，离心率等于．椭圆E的左焦点为F，过点M（﹣3，0）任作一条斜率不为零的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于x 轴的对称点为C．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△MBC面积的最大值．20．（14分）已知函数f（x）＝xlnx．（Ⅰ）若存在x∈[，e]，使不等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设0＜x1＜x2，证明：；（Ⅲ）证明：（x+1）（1﹣xf′（x））＜（e2+1）e x﹣2．2018年天津市南开区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）i为虚数单位，则复数＝（）A．﹣1+3i B．3+i C．3﹣i D．2+4i【解答】解：＝．故选：B．2．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+3y的最大值为（）A．11B．24C．36D．49【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图由z＝2x+3y得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+，经过点A时，直线y＝﹣x+，的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（1，3），此时z＝2×1+3×3＝11，故选：A．3．（5分）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知b＝，c＝2，cos B＝，则a＝（）A．B．C．2D．3【解答】解：∵b＝，c＝2，cos B＝，∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得：5＝a2+4﹣2×，整理可得：3a2﹣8a﹣3＝0，∴解得：a＝3或﹣（舍去）．故选：D．4．（5分）函数f（x）＝log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（0，2）D．（﹣2，0）【解答】解：要使函数有意义，则得，即﹣2＜x＜2，即函数的定义域为（﹣2，2），f（x）＝log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）＝log0.5（2﹣x）（2+x）＝log0.5（4﹣x2），设t＝4﹣x2，则y＝log0.5t是减函数，要求函数f（x）的单调递增区间，等价为求函数t＝4﹣x2，的单调递减区间，∵函数t＝4﹣x2，的单调递减区间为[0，2），∴f（x）的单调递增区间为（0，2），故选：C．5．（5分）设F1，F2是离心率为5的双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．4B．8C．24D．48【解答】解：∵设F1，F2是离心率为5的双曲线的两个焦点，∴e＝＝＝5，解得a2＝1，∴c＝5，∴|F1F2|＝2c＝10，∵3|PF1|＝4|PF2|，∴设|PF2|＝x，则|PF1|＝|PF2|＝x，由双曲线的性质知x﹣x＝2，解得x＝6．∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，∴∠F1PF2＝90°，∴△PF1F2的面积＝×6×8＝24．故选：C．6．（5分）下列命题中，正确的是（）A．“lna＞lnb”是“10a＞10b”的充要条件B．命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m ≠0且n≠0”C．存在x0＞0，使得x0＜sin x0D．若cosα≠，则α≠【解答】解：对于A，lna＞lnb时，a＞b＞0，∴10a＞10b，充分性成立；10a＞10b时，a＞b，lna＞lnb不一定成立，即必要性不成立；是充分不必要条件，A错误；对于B，命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”，它的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，∴B错误；对于C，设f（x）＝x﹣sin x，则f′（x）＝1﹣cos x≥0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）＝0，即x＞sin x在（0，+∞）上恒成立；它的否定命题：存在x0＞0，使得x0＜sin x0是假命题，C错误；对于D，α＝时，cosα＝是真命题，∴它的逆否命题：若cosα≠，则α≠也是真命题，D正确．故选：D．7．（5分）已知S n是数列{a n}的前n项和，a1＝2，a2＝4，a3＝6，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，则S25＝（）A．233B．282C．466D．650【解答】解：S n是数列{a n}的前n项和，a1＝2，a2＝4，a3＝6，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，可知a4＝4，a5＝6，a6＝8，a7＝6，a8＝8，a9＝10，a10＝8，a11＝10，a12＝12，即：2，4，6，4，6，8，6，8，10，8，10，12，10，12，14，12，14，16，14，16，…数列{a n}的前25项和：2+2×4+3（6+8+10+12+14+16+18）+20＝30+3×＝282．故选：B．8．（5分）设△ABC是边长为1的正三角形，M是△ABC所在平面上的一点，且+2λ+＝，则当•取最小值时，λ的值为（）A．B．C．2D．3【解答】解：如图，∵，，+2λ+＝，∴，得．∴，∴＝＝设，则．当t＝，即，也就是时，•取最小值．故选：A．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上.9．（5分）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为160．【解答】解：在分层抽样中每个个体被抽到的概率相同，则，即n＝160，即总体中的个体数为160，故答案为：16010．（5分）执行如图的程序框图，若输入的N是4，则输出p的值是24．【解答】解：由程序框图知；第一次循环k＝1，p＝1•1＝1；第二次循环k＝2，p＝1•2＝2；第三次循环k＝3，p＝2•3＝6；第四次循环k＝4，p＝4•6＝24．不满足条件k＜4，跳出循环体，输出p＝24．故答案为：24．11．（5分）二项式（）5的展开式中的常数项为﹣80．【解答】解：二项式（﹣）5的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•，令﹣＝0，求得r＝3，∴展开式的常数项为×（﹣8）＝﹣80，故答案为：﹣80．12．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是，则a＝2．【解答】解：由已知三视图得到几何体为长方体割去一个角，如图所以其体积为•a﹣•a•••＝，解得a＝2，故答案为：2．13．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2（cosθ+sinθ），以极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴．两种坐标系中的长度单位相同，直线l：（t为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，则|EA|•|EB|＝1．【解答】解：∵曲线C的极坐标方程为ρ＝2（cosθ+sinθ），∴ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ＝0，∴x2+y2﹣2x﹣2y＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．把直线l：（t为参数）代入曲线C的方程可得：t2﹣3t+1＝0，∴t1+t2＝3，t1t2＝1．∴|EA|•|EB|＝t1t2＝1．故答案为：1．14．（5分）已知函数f（x）＝（）x，函数g（x）为偶函数且g（x﹣2）＝﹣g（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝若F（x）＝g（x）﹣f（|x|）﹣a恰有4个零点，则a的取值范围是（2，2.375）．【解答】解：由函数g（x）为偶函数且g（x﹣2）＝﹣g（x），则g（x）＝g（﹣x），g（x+2）＝﹣g（x），g（x+4）＝﹣g（x+2）＝g（x），函数g（x）的周期为4，x∈[0，2]时，g（x）＝，则在区间[﹣2，0]上，有g（x）＝，分别作出函数y＝g（x）在[﹣2，2]的图象，并左右平移4个单位，8个单位，…，可得y＝g（x）的图象，再作y＝（）|x|+a的图象，注意上下平移．当经过A（1，2.5）时，a＝2.5﹣0.5＝2，经过B（3，2.5）时，a＝2，5﹣0.53＝2.375．则平移可得2＜a＜2.375时，图象共有4个交点，即F（x）＝g（x）﹣f（|x|）﹣a恰有4个零点．故答案为：（2，2.375）．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知x＝是函数f（x）＝2cos2x+2a sin x•sin（x+）图象的一条对称轴．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝2cos2x+2a sin x•sin（x+）＝1+cos2x+a sin2x＝sin（2x+θ）+1，tanθ＝．∵x＝是函数的对称轴，∴2×+θ＝，k∈Z．∴θ＝kπ，那么tan（kπ）＝tan＝，∴a＝．（Ⅱ）由可知（Ⅰ）函数f（x）＝2sin（2x+）+1，∵x∈[0，]上，∴2x+∈[，]上，∴﹣1≤sin（2x+）≤1．故得函数f（x）在区间[0，]上的取值范围是[﹣1，3]．16．（13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得﹣1分．现从盒内任取3个球．（Ⅰ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（Ⅱ）设X为取出的3个球中白色球的个数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件为从9个球中任取3个球有C93种结果，而满足条件取出的3个球得分之和恰为1分有两种种结果，包括取出1个红色球，2个白色球和取出2个红色球，1个黑色球记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，有C21C32种结果．“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，有C22C41种结果，其中它们之间是互斥事件，∴P（B+C）＝P（B）+P（C）＝＝．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝．∴X的分布列为：X的数学期望EX）＝＝1．17．（13分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°．（Ⅰ）求此三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．【解答】解：（Ⅰ）取BC的中点为O，连接OD由正三棱柱的结构特征得OA⊥平面BCC1B1，且OA＝．所以∠ADO是直线AD与侧面BB1C1C所成的角，即∠ADO＝45°．所以OD＝．所以侧棱的长为2．（Ⅱ）如图，以O为原点，OC为x轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，），B（﹣1，0，0），C（1，0，0），D（1，，0），＝（﹣1，0，﹣），＝（1，，﹣），设＝x，y，z）是平面ABD的一个法向量，则由，取z＝﹣1，得＝（，﹣，﹣1），面BCD的一个法向量＝（0，0，1），∴cos＜＞＝＝＝﹣．而所求二面角为锐角，即二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．（Ⅲ）∵＝（﹣1，0，），∴点C到面ABD的距离为：d＝＝．18．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝，且当n≥2时，＝+2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝2（1﹣n）a n，证明：b22+b32+b42+..+b n+12＜．【解答】（I）证明：当n≥2时，＝+2．∴﹣＝2.＝2，∴数列{}是等差数列，公差为2，首项为2．∴＝2+2（n﹣1）＝2n，∴S n＝．∴n≥2时，a n＝S n﹣S n＝﹣＝﹣．﹣1∴a n＝．（II）证明：n≥2时，b n＝2（1﹣n）a n＝．∴n≥3时，＝＜＝，∴b22+b32+b42+..+b n+12＜+……+＜+＝﹣＜．19．（14分）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝4的焦点，离心率等于．椭圆E的左焦点为F，过点M（﹣3，0）任作一条斜率不为零的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于x 轴的对称点为C．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△MBC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程：（a＞b＞0），由抛物线x2＝4的焦点（0，），则b＝，椭圆的离心率e＝＝＝，则a＝，∴椭圆E的方程：；（Ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x+3）．联立，整理得（1+3k2）x2+18k2x+27k2﹣6＝0，△＝（18k2）2﹣4（1+3k2）（27k2﹣6）＞0，解得k2＜．设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，y1＝k（x1+3），y2＝k（x2+3）．∵F（﹣2，0），C（x1，﹣y1）．∴＝（x1+2，﹣y1），＝（x2+2，y2）．∵（x1+2）y2﹣（x2+2）（﹣y1）＝（x1+2）k（x2+3）+（x2+2）k（x1+3）＝k[2x1x2+5（x1+x2）+12]，＝k（++12）＝＝0．∴＝λ，则直线BC过椭圆的左焦点F，由题意可知：S＝|MF||y1|+|MF||y2|＝|MF||y1+y2|＝|k（x1+x2）+6k|＝＝≤＝．当且仅当k2＝＜，取“＝”成立，∴k2＝时，△MBC面积取得最大值．20．（14分）已知函数f（x）＝xlnx．（Ⅰ）若存在x∈[，e]，使不等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设0＜x1＜x2，证明：；（Ⅲ）证明：（x+1）（1﹣xf′（x））＜（e2+1）e x﹣2．【解答】解（Ⅰ）由题意知，2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则a≤2lnx+x+．若存在x∈[，e]使不等式2f（x）≥﹣x2+ax﹣3成立，只需a小于或等于2lnx+x+的最大值．设h（x）＝2lnx+x+（x＞0），则h′（x）＝．当x∈[，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（1，e]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增．由h（）＝﹣2++3e，h（e）＝2+e+，h（）﹣h（e）＝2e﹣﹣4＞0，可得h（）＞h（e）．所以，当x∈[，e]时，h（x）的最大值为h（）＝﹣2++3e，故a≤﹣2++3e．（Ⅱ）证明：构造函数G（x）＝，（0＜x＜x2）．G′（x）＝lnx﹣ln，∵，0＜x＜x2．∴，∴G（x）＜0∴函数G（x）＝，（0＜x＜x2）单调递减．∴G（x）＞G（x2）＝0∴G（x1）＞G（x2）＝0，⇒＞0∴；（Ⅲ）证明：令H（x）＝1﹣xf′（x）＝1﹣xlnx﹣x，则H′（x）＝﹣lnx﹣2 x∈（0，e﹣2）时，H′（x）＞0，x∈（e﹣2，+∞）时，H′（x）＜0∴H（x）＝1+e﹣2．令m（x）＝，，x∈（0，+∞）时，m′（x）＞0，∴m（x）在（0，+∞）单调递增，∴m（x）＞m（0）＝1+e﹣2∴（1﹣xf′（x））＜m（x）＝．∴（x+1）（1﹣xf′（x））＜（e2+1）e x﹣2．。

一、选择题CBBCDCBCCACA 二、填空题13.3514.5215.（-1,2）16.1717.3218.（I ）是（II ）略三、解答题∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．（II ）∠CDP 的大小不发生变化．∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP=90°．∵PD 是∠CPA 的平分线，∴∠APC=2∠APD ．∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠COP=2∠A，在Rt△OCP中，∠OCP=90°，∴∠COP+∠OPC=90°，∴2（∠A+∠APD）=90°，∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．即∠CDP的大小不发生变化．22.如图：由于AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴AF=BE，EF=AB=2．设DE=x，在Rt△CDE中，CE===x．在Rt△ABC中，∵=，AB=2，∴BC=2．在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣2．∴AF===（x﹣2），∵AF=BE=BC+CE．∴（x﹣2）=2+x，解得x=6．答：树DE的高度为6米．23.解：（I）由题意得：﹣n2+14n﹣24=21，解得：n=5或n=9；（II）y=﹣n2+14n﹣24=﹣（n﹣7）2+25，∵﹣1＜0，∴开口向下，y有最大值，即n=7时，y取最大值25，故7月能够获得最大利润，最大利润是25万；（III）∵y=﹣n2+14n﹣24=﹣（n﹣2）（n﹣12），当y=0时，n=2或者n=12．又∵图象开口向下，∴当n=1时，y＜0，当n=2时，y=0，当n=12时，y=0，则该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月．24.解：（I）在直角△OAD中，∵tan∠OAD==，∴∠A=60°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠A=60°；（II）①证明：∵E（﹣1，），AE=DE=2，OE=OA=2，∴△OAE是等边三角形，则∠AOE=∠AEO=60°；根据轴对称的性质知：∠AOE=∠EOF′，故∠EOF′=∠AEO=60°，即OF′∥AE，∴∠OF′E=∠DEH；∵∠OF′E=∠OFE=∠DGE，∴∠DGE=∠DEH，又∵∠GDE=∠EDH，∴△DGE∽△DEH．②过点E作EM⊥直线CD于点M，∵CD∥AB，∴∠EDM=∠DAB=60°，∴EM=DE•sin60°=2×=，=GH•ME=×GH=3，∵S△EGH∴GH=6；∵△DHE∽△DEG，∴=即DE2=DG•DH，当点H在点G的右侧时，设DG=x，DH=x+6，∴4=x（x+6），解得：x1=﹣3+，x2=﹣3﹣（舍去），∴点F的坐标为（1﹣，0）；当点H在点G的左侧时，设DG=x，DH=x﹣6，∴4=x（x﹣6），x2﹣6x﹣4=0解得：x1=3+，x2=3﹣（舍去），∵△DEG≌△AEF，∴AF=DG=3+，∵OF=AO+AF=3++2=5+，∴点F的坐标为（﹣﹣5，0），综上可知，点F的坐标有两个，分别是F1（1﹣，0），F2（﹣﹣5，0）．25.解：（I）对于，当y=0，x=2．当x=﹣8时，y=﹣．∴A点坐标为（2，0），B点坐标为．由抛物线经过A、B两点，得解得．∴．（II）①设直线与y轴交于点M，当x=0时，y=．∴OM=．∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2．∴AM=．∵OM：OA：AM=3：4：5．由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM∽△PED．∴DE：PE：PD=3：4：5．∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，∵PD⊥x轴，∴PD两点横坐标相同，∴PD=y P﹣y D=﹣﹣x+﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4，∴=．∴．．∴x=﹣3时，l最大=15②当点G落在y轴上时，如图2，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得，所以，如图3，过点P作PN⊥y轴于点N，过点P作PS⊥x轴于点S，由△PNF≌△PSA，PN=PS，可得P点横纵坐标相等，故得当点F落在y轴上时，x=﹣﹣x+，解得x=，可得，（舍去）．综上所述：满足题意的点P有三个，分别是．。

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1天津市南开区2020届高三年级模拟考试(二)数学试卷一、选择题（共9小题）.1．复数z =4+3i3−4i(i 是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（ ） A ．（1，0） B ．（0，1）C ．(45，−35)D ．(35，−45)2．某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6：5：7，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n 的样本，样本中高三年级的学生有21人，则n 等于（ ） A ．35B ．45C ．54D ．633．方程x 2+y 2﹣kx +2y +k 2﹣2＝0表示圆的一个充分不必要条件是（ ） A ．k ∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B ．k ∈（2，+∞） C ．k ∈（﹣2，2）D ．k ∈（0，1]4．设a =2ln2，b =−log 124，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b5．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是面积为2的正方形，该长方体的外接球体积为323π，点E 为棱AB 的中点，则三棱锥D 1﹣ACE 的体积是（ ） A ．2√23B ．2√2C ．√33D ．126．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√62，以双曲线C 的右焦点F 为圆心，a 为半径作圆F ，圆F 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则∠MFN ＝（ ） A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°7．某学校食堂为了进一步加强学校疫情防控工作，降低学生因用餐而交叉感染的概率，规定：就餐时，每张餐桌（如图）至多坐两个人，一张餐桌坐两个人时，两人既不能相邻，也不能相对（即二人只能坐在对角线的位置上）．现有3位同学到食堂就餐，如果3人在1号和2号两张餐桌上就餐（同一张餐桌的4个座位是没有区别的），则不同的坐法种数为（ ） A ．6 B ．12C ．24D ．488．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），y ＝f （x ）的图象关于直线x =5π6对称，且与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，则函数f （x ）的导函数f ′（x ）的一个单调减区间为（ ） A ．[π12，7π12]B ．[−5π12，π12] C ．[π6，7π6]D ．[−π6，π3]9．如图，在边长2√3的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，O 为△ABC 的中心，过点O 的直线与直线BC 交于点P ，与直线DE 交于点Q ，则AP →⋅AQ →的取值范围是（ ） A ．[3，+∞） B ．（﹣∞，3）C ．(−∞，92)D ．(−∞，92]3二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上． 10．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）≤0}，∁R B ＝{x |x ≤0或x ＞3}，则A ∩B ＝ ． 11．若（x 2+1ax ）6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝ （用数字作答）． 12．过点(−√3，1)的直线l 与圆x 2+y 2＝4相切，则直线l 在y 轴上的截距为 ． 13．一袋中装有6个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是45，则袋中白球的个数为 ；从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X 的数学期望为 ．14．已知ab ＞0，则(a 2+4b 2)2+2(a 2+4b 2)+54ab+1的最小值为 ．15．已知定义在R 上的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上单调递增，且f （﹣1）＝﹣1．若f （x ﹣1）+1≥0，则x 的取值范围是 ；设函数g(x)={(√x +1)2−a −1，x ＞0，2x +x −a +1，x ≤0，若方程f （g （x ））+1＝0有且只有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题：（本大题共5个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a 2+c 2＝b 2+√105ac ．（Ⅰ）求cos B 及tan2B 的值； （Ⅱ）若b ＝3，A =π4，求c 的值．417．如图所示，平面CDEF ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝45°，四边形CDEF 为直角梯形，EF ∥DC ，ED ⊥CD ，AB ＝3EF ＝3，ED ＝a ，AD =√2． （1）求证：AD ⊥BF ；（Ⅱ）若线段CF 上存在一点M ，满足AE ∥平面BDM ，求CMCF的值；（Ⅲ）若a ＝1，求二面角D ﹣BC ﹣F 的余弦值．18．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，椭圆C 过点M (1，√22)，且MF 2⊥F 1F 2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）经过点P （2，0）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若存在点Q （m ，0），使得|QA |＝|QB |．（i ）求实数m 的取值范围：（i ）若线段F 1A 的垂直平分线过点Q ，求实数m 的值．19．设{a n }是各项都为整数的等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3+b 2＝7，S 5b 2＝50，n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n ＝log 2b 1+log 2b 2+log 2b 3+…+log 2b n ，T n ＝a c n +1+ac n +2+ac n +3+⋯+ac n +n ．（i ）求T n ；（ii ）求证：∑n i=2√i2．20．（16分）设函数f（x）=k3x3−12x2−x，k∈R．（Ⅰ）若x＝1是函数f（x）的一个极值点，求k的值及f（x）单调区间；（Ⅱ）设g（x）＝（x+1）ln（x+1）+f（x），若g（x）在[0，+∞）上是单调增函数，求实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：当p＞0，q＞0及m＜n（m，n∈N*）时，[p+qp2m−1∑2m−1i=1(−1)i−1p2m−1−i q i−1]2n−1＞[p+qp2n−1∑2n−1i=1（﹣1）i﹣1p2n﹣1﹣i q i﹣1]2m﹣1．5天津市南开区2020届高三年级模拟考试(二)数学试卷参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=4+3i3−4i(i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（）A．（1，0）B．（0，1）C．(45，−35)D．(35，−45)【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z=4+3i3−4i=(4+3i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25i25=i，∴复数z=4+3i3−4i(i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为（0，1）．故选：B．2．某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6：5：7，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本，样本中高三年级的学生有21人，则n等于（）A．35 B．45 C．54 D．63【分析】由某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，知高三年级学生的数量占总数的718，再由分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，高三年级被抽到的人数为21人，能求出n．解：∵某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，∴高三年级学生的数量占总数的718，∵分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，若已知高三年级被抽到的人数为21人，67∴n ＝21÷718=54． 故选：C ．3．方程x 2+y 2﹣kx +2y +k 2﹣2＝0表示圆的一个充分不必要条件是（ ） A ．k ∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B ．k ∈（2，+∞） C ．k ∈（﹣2，2）D ．k ∈（0，1]【分析】化x 2+y 2﹣kx +2y +k 2﹣2＝0为(x −k 2)2+(y +1)2=3−34k 2，由3−34k 2＞0求得k 的范围，然后逐一核对四个选项得答案．解：由x 2+y 2﹣kx +2y +k 2﹣2＝0，得(x −k 2)2+(y +1)2=3−34k 2，若方程x 2+y 2﹣kx +2y +k 2﹣2＝0表示圆，则3−34k 2＞0，即﹣2＜k ＜2．∴A ，B 为方程x 2+y 2﹣kx +2y +k 2﹣2＝0表示圆的既不充分也不必要条件，C 为充要条件， 而（0，1]⊂（﹣2，2），则D 为充分不必要条件． 故选：D ．4．设a =2ln2，b =−log 124，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b【分析】根据0＜ln 2＜1即可得出1＜2ln 2＜2，并得出−log 124=2，log 32＜1，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．解：0＜ln 2＜1，1＜2ln 2＜2，−log 124=2，log 32＜log 33＝1，∴b ＞a ＞c ． 故选：A ．85．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是面积为2的正方形，该长方体的外接球体积为323π，点E 为棱AB 的中点，则三棱锥D 1﹣ACE 的体积是（ ）A ．2√23B ．2√2C ．√33D ．1【分析】由该长方体的外接球体积为323π，求出该长方体的外接球半径为R ＝2，从而求出AA 1＝2√3，由此能求出三棱锥D 1﹣ACE 的体积．解：∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是面积为2的正方形， 该长方体的外接球体积为323π，设长方体的外接球的半径为R ，则43πR 3=323π，解得该长方体的外接球半径为R ＝2， ∴√2+2+AA 122=2，解得AA 1＝2√3，S △ACE =12S △ABC =12×12×√2×√2=12，∴三棱锥D 1﹣ACE 的体积V =13×S △ACE ×DD 1=13×12×2√3=√33．故选：C ．6．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√62，以双曲线C 的右焦点F 为圆心，a 为半径作圆F ，圆F 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则∠MFN ＝（ ）9A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【分析】因为离心率e =√c 2a 2=√1+b 2a 2=√62，所以b a =√22，不妨设与圆F 相交的渐近线为y =b a x ，则点F （c ，0）到直线MN 的距离为d =|b a ⋅c|√1+ba 2=b ，所以sin ∠NMF =dMF =b a =√22，∠NMF ＝45°＝∠MNF ，所以∠MFN ＝180°﹣（∠NMF +∠MNF ）＝90°． 解：∵离心率e =√c 2a 2=√1+b 2a 2=√62，∴b a =√22，由题意可知，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的渐近线方程为y =±ba x ，点F （c ，0）， 不妨设与圆F 相交的渐近线为y =ba x ，则点F 到直线MN 的距离为d =|b a ⋅c|√1+ba 2=b ， ∴sin ∠NMF =d MF =b a =√22，∠NMF ＝45°＝∠MNF ，∴∠MFN ＝180°﹣（∠NMF +∠MNF ）＝90°． 故选：C ．7．某学校食堂为了进一步加强学校疫情防控工作，降低学生因用餐而交叉感染的概率，规定：就餐时，每张餐桌（如图）至多坐两个人，一张餐桌坐两个人时，两人既不能相邻，也不能相对（即二人只能坐在对角线的位置上）．现有3位同学到食堂就餐，如果3人在1号和2号两张餐桌上就餐（同一张餐桌的4个座位是没有区别的），则不同的坐法种数为（ ）A ．6 B ．12C ．24D ．4810【分析】根据分类计数原理即可求出．解：若在2人在1号餐桌，1人在2号餐桌，则有C 32×2＝6种， 若在1人在1号餐桌，2人在2号餐桌，则有C 32×2＝6种， 则共有不同的坐法6+6＝12种． 故选：B ．8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），y ＝f （x ）的图象关于直线x =5π6对称，且与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，则函数f （x ）的导函数f ′（x ）的一个单调减区间为（ ） A ．[π12，7π12]B ．[−5π12，π12]C ．[π6，7π6]D ．[−π6，π3]【分析】先根据三角函数的图象和性质求出f （x ）的解析式，可得它的导数，再利用余弦函数的单调性，得出结论．解：∵函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2），y ＝f （x ）的图象关于直线x =5π6对称，且与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，故函数的周期为2×π2=2πω，∴ω＝2．故2×5π6+φ＝k π+π2，k ∈Z ，∴φ=−π6，f （x ）＝sin （2x −π6）． 则函数f （x ）的导函数f ′（x ）＝2cos （2x −π6）．令2k π≤2x −π6≤2k π+π，可得k π+π12≤x ≤k π+7π12，故f ′（x ）的减区间为[k π+π12，k π+7π12]，k ∈Z ， 故选：A ．119．如图，在边长2√3的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，O 为△ABC 的中心，过点O 的直线与直线BC 交于点P ，与直线DE 交于点Q ，则AP →⋅AQ →的取值范围是（ ）A ．[3，+∞）B ．（﹣∞，3）C ．(−∞，92)D ．(−∞，92]【分析】因为是等边三角形，所以可建立平面直角坐标系，设出PQ 的方程，解出P ，Q 的坐标，即可将问题转化为直线PQ 斜率k 的函数，求其值域即可． 解：由题意，如图建立平面直角坐标系：因为三角形ABC 边长为2√3，故高为2√3×√32=3，故：DE ：y =32；O （0，1），A （0，3）．所以直线PQ ：y ＝kx +1，（由对称性，不妨设k ＞0）．所以由{y =kx +1y =32得Q （12k ，32）；由{y =0y =kx +1得P （−1k ，0）． 所以AQ →=(12k ，−32)，AP →=(−1k，−3)，所以AP →⋅AQ →=−12k2+92＜92，特别的，当PQ ⊥x 轴时，P （0，0），Q （0，32），∴AP →⋅AQ →=(0，−3)⋅(0，−32)=92．12故AP →⋅AQ →≤92．故选：D ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上． 10．已知集合A ＝{x |（x +1）（x ﹣2）≤0}，∁R B ＝{x |x ≤0或x ＞3}，则A ∩B ＝ （0，2] ． 【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 解：∵∁R B ＝{x |x ≤0或x ＞3}，∴B ＝{x |0＜x ≤3}，且A ＝{x |﹣1≤x ≤2}， ∴A ∩B ＝（0，2]． 故答案为：（0，2]． 11．若（x 2+1ax ）6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝ 2 （用数字作答）． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r +1项，令x 的指数为3，求出展开式中x 3的系数，列出方程求出a ．解：通项T r +1＝C 6r •a ﹣r x 12﹣3r ，当12﹣3r ＝3时，r ＝3，所以系数为C 63•a ﹣3=52，得a ＝2．故答案为21312．过点(−√3，1)的直线l 与圆x 2+y 2＝4相切，则直线l 在y 轴上的截距为 4 ． 【分析】根据题意，分析可得点（−√3，1）在圆x 2+y 2＝4上，由圆的切线方程可得切线l 的方程为−√3x +y ＝4，变形分析可得答案．解：根据题意，圆x 2+y 2＝4，对于点（−√3，1），有（−√3）2+12＝4， 即点（−√3，1）在圆x 2+y 2＝4上，则切线l 的方程为−√3x +y ＝4，变形可得y =√3x +4，直线l 在y 轴上的截距为4； 故答案为：413．一袋中装有6个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是45，则袋中白球的个数为 3 ；从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X 的数学期望为 1 ．【分析】设白球个数为m ，根据古代概型概率公式和对立事件概率公式列方程计算m ，计算X 的各种取值对应的概率，再计算数学期望． 解：设袋中有白球m 个，则有黑球6﹣m 个，设事件A ：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球，则P （A ）＝1−C 6−m2C 62=45，∴C 6−m 2=3，即(6−m)(5−m)2×1=3，解得m ＝3或m ＝8（舍）．P （X ＝0）＝1−45=15，P （X ＝1）=C 31C 31C 62=35，P （X ＝2）=45−35=15，∴E （X ）＝0×15+1×35+2×15=1．故答案为：3，1．1414．已知ab ＞0，则(a 2+4b 2)2+2(a 2+4b 2)+54ab+1的最小值为 4 ．【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得a 2+4b 2≥2×√a 2×4b 2=4ab ，进而可得(a 2+4b 2)2+2(a 2+4b 2)+54ab+1≥(4ab)2+2(4ab)+54ab+1=(4ab+1)2+44ab+1=（4ab +1）+44ab+1，据此由基本不等式的性质分析可得（4ab +1）+44ab+1的最小值，即可得答案． 解：根据题意，ab ＞0，则有a 2+4b 2≥2×√a 2×4b 2=4ab ，当且仅当a ＝2b 时等号成立， 则原式=(a 2+4b 2)2+2(a 2+4b 2)+54ab+1≥(4ab)2+2(4ab)+54ab+1=(4ab+1)2+44ab+1=（4ab +1）+44ab+1，又由ab ＞0，则4ab +1＞1，则有（4ab +1）+44ab+1≥2×√(4ab +1)×44ab+1=4，当且仅当4ab +1＝2，即4ab ＝1时等号成立，综合可得：(a 2+4b 2)2+2(a 2+4b 2)+54ab+1的最小值为4，当且仅当a ＝2b =1√2时等号成立故答案为：4．15．已知定义在R 上的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上单调递增，且f （﹣1）＝﹣1．若f （x ﹣1）+1≥0，则x 的取值范围是 [0，2] ；设函数g(x)={(√x +1)2−a −1，x ＞0，2x+x −a +1，x ≤0，若方程f （g （x ））+1＝0有且只有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 （﹣∞，﹣1]∪（3，+∞） ．【分析】根据f （x ）的奇偶性和单调性列不等式求出x 的范围，根据g （x ）的单调性和最值，分情况讨论最值和±1的关系，从而确定a 的范围． 解：∵f （x ）是偶函数，且f （x ）在（﹣∞，0]上单调递增， ∴f （x ）在（0，+∞）上单调递减，且f （1）＝f （﹣1）＝﹣1，由f（x﹣1）+1≥0可得：f（x﹣1）≥f（1），∴﹣1≤x﹣1≤1，即0≤x≤2．由f（g（x））+1＝0可得g（x）＝1或g（x）＝﹣1．由函数解析式可知g（x）在（﹣∞，0]和（0，+∞）上均为增函数，故当x∈（﹣∞，0]时，g（x）≤2﹣a，当x∈（0，+∞）时，g（x）＞﹣a，（1）若1＞2﹣a＞﹣1＞﹣a，则g（x）＝1有1解，g（x）＝﹣1有2解，不符合题意；（2）2﹣a＞1＞﹣a＞﹣1，此时g（x）＝1有2解，g（x）＝﹣1有1解，不符合题意；（3）若﹣a≥1，则g（x）＝1有1解，g（x）＝﹣1有1解，符合题意；（4）若2﹣a＜﹣1，则g（x）＝1有1解，g（x）＝﹣1有1解，符合题意；（5）若2﹣a＝1，则g（x）＝1有2解，g（x）＝﹣1有1解，不符合题意；（6）若2﹣a＝﹣1，则g（x）＝﹣1有2解，g（x）＝1有1解，不符合题意；综上，﹣a≥1或2﹣a＜﹣1，解得a≤﹣1或a＞3．故答案为：[0，2]，（﹣∞，﹣1]∪（3，+∞）．三、解答题：（本大题共5个小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a2+c2＝b2+√105ac．（Ⅰ）求cos B及tan2B的值；（Ⅱ）若b＝3，A=π4，求c的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可得cos B，利用同角三角函数基本关系式可求sin B，利用二倍角公式可求sin2B，cos2B，进而根据同角三角函数基本关系式可求tan2B的值．（Ⅱ）由已知利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，进而由正弦定理可得c的值．1516解：（Ⅰ）∵a 2+c 2＝b 2+√105ac ，∴由余弦定理可得：cos B =a 2+c 2−b 22ac =√1010，∴sin B =√1−cos 2B =3√1010， ∴sin2B ＝2sin B cos B =35，cos2B ＝2cos 2B ﹣1=−45，∴tan2B =sin2B cos2B =−34； （Ⅱ）∵sin C ＝sin[π﹣（A +B ）]＝sin （A +B ）＝sin （B +π4）＝sin B cos π4+cos B sin π4=3√1010×√22+√1010×√22=2√55． ∴由正弦定理c sinC =bsinB，可得c =b⋅sinC sinB =3×2√5531010=2√2． 17．如图所示，平面CDEF ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝45°，四边形CDEF 为直角梯形，EF ∥DC ，ED ⊥CD ，AB ＝3EF ＝3，ED ＝a ，AD =√2． （1）求证：AD ⊥BF ；（Ⅱ）若线段CF 上存在一点M ，满足AE ∥平面BDM ，求CMCF的值；（Ⅲ）若a ＝1，求二面角D ﹣BC ﹣F 的余弦值．【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出直线AD 及直线BF 的方向向量，利用两向量的数量积为0，即可得证；17（2）设CM →=λCF →，根据题设数据，求出平面BDN 的一个法向量，以及直线AE 的方向向量，利用AE ∥平面BDM ，建立关于λ的方程，解出即可；（3）求出平面BCF 及平面BCD 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解． 解：（1）∵平面CDEF ⊥平面ABCD ，ED ⊥CD ， ∴ED ⊥平面ABCD ，如图，以D 为原点，DC 所在直线为y 轴，过点D 垂直于DC 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，∵∠DAB ＝45°，AB ＝3EF ＝3，ED =a ，AD =√2，∴A （1，﹣1，0），B （1，2，0），C （0，3，0），E （0，0，a ），F （0，1，a ），∴BF →=(−1，−1，a)，DA →=(1，−1，0)，∴BF →⋅AD →=−1+1+0=0， ∴AD ⊥EF ；（2）设CM →=λCF →=λ(0，−2，a)=(0，−2λ，aλ)，则DM →=DC →+CM →=(0，3，0)+(0，−2λ，λa)=(0，3−2λ，λa)，设平面BDM 的法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，则{n 1→⋅DB →=x 1+2y 1=0n 1→⋅CP →=(3−2λ)y 1+λaz 1=0，取x 1＝2，则n 1→=(2，−1，3−2λaλ)， 若AE ∥平面BDM ，则AE →⋅n 1→=(−1，1，a)⋅(2，−1，3−2λaλ)=0，即−2−1+3−2λλ=0，解得λ=35，∴线段CF 上存在一点M ，满足AE ∥平面BDM ，此时CMCF =35；18（3）设平面BCF 的法向量为n 2→=(x 2，y 2，z 2)，则{n 2→⋅CB →=(x 2，y 2，z 2)⋅(1，−1，0)=x 2−y 2=0n 2→⋅CF →=(x 2，y 2，z 2)⋅(0，−2，1)=−2y 2+z 2=0， 取x 2＝1，则n 2→=(1，1，2)，又平面BCD 的一个法向量为n 3→=(0，0，1)，∴|cos ＜n 2→，n 3→＞|=|n 2→⋅n 3→|n 2→||n 3→||=√63，由图可知，二面角D ﹣BC ﹣F 为锐角，故二面角D ﹣BC ﹣F 的余弦值为√63．18．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，椭圆C 过点M (1，√22)，且MF 2⊥F 1F 2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）经过点P （2，0）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若存在点Q （m ，0），使得|QA |＝|QB |．（i ）求实数m 的取值范围：（i ）若线段F 1A 的垂直平分线过点Q ，求实数m 的值．【分析】（Ⅰ）由椭圆过M 点，及且MF 2⊥F 1F 2，可得c ＝1，可得a ，b 的值，求出椭圆的方程；（Ⅱ）（i ）设直线AB 的方程与椭圆联立求出两根之和，可得AB 的中点N 的坐标，由|QA|19＝|QB |．可得直线AB ⊥QN 可得斜率之积为﹣1，可得m 的表达式m =2k21+2k2，进而可得m 的范围；（ii ）由题意|QF 1|＝|QA |＝QB |，且F 1（﹣1，0），可得：x 2﹣4mx ﹣4m ＝0，所以x 1+x 2＝4m =8k21+2k 2，x 1x 2＝﹣4m =8k 2−21+2k2，可得8k 21+2k 2=−8k 2−21+2k 2，解得k 2=18，进而求出m 的值．解：（Ⅰ）因为椭圆过M （1，√22），MF 2⊥F 1F 2，所以{c 2=a 2−b 21a 2+12b 2=1解得：a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1；（Ⅱ）设直线的方程为：y ＝k （x ﹣2），代入椭圆的方程{y =k(x −2)x 22+y 2=1，整理可得：（1+2k 2）x 2﹣8k 2x +8k 2﹣2＝0， 因为直线l 与椭圆C 由两个交点，所以△＝64k 4﹣4（1+2k 2）（8k 2﹣2）＞0， 解得2k 2＜1；设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1+x 2=8k21+2k 2，x 1x 2=8k 2−21+2k2， （i ）设AB 中点为M （x 0，y 0）， 则有x 0=4k21+2k 2，y 0＝k （x 0﹣2）=−2k1+2k 2， 当k ≠0时，因为|QA |＝|QB |，∴QM ⊥l ，∴k QM •k =−2k1+2k2−04k21+2k2−m •k ＝﹣1，解得m =2k 21+2k2，20∴m =2k21+2k2=1−11+2k 2∈（0，12）， 当k ＝0，可得m ＝0， 综上所述：m ∈[0，12）．（ii ）由题意|QF 1|＝|QA |＝QB |，且F 1（﹣1，0），由{x 2+2y 2=2(x −m)2+y 2=(m +1)2，整理可得：x 2﹣4mx ﹣4m ＝0， 所以x 1，x 2也是此方程的两个根，所以x 1+x 2＝4m =8k 21+2k 2，x 1x 2＝﹣4m =8k 2−21+2k 2， 所以8k 21+2k 2=2−8k 21+2k 2，解得k 2=18， 所以m =2k21+2k2=15．所以m 的值为15．19．设{a n }是各项都为整数的等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3+b 2＝7，S 5b 2＝50，n ∈一、选择题*． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设c n ＝log 2b 1+log 2b 2+log 2b 3+…+log 2b n ，T n ＝a c n +1+ac n +2+ac n +3+⋯+ac n +n ．（i ）求T n ；（ii ）求证：∑n i=2√i2．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式； （Ⅱ）（i ）运用对数的运算性质和等差数列的求和公式可得c n =12n （n﹣1），ac n +i=n 2﹣n﹣1+2i，再由数列的分组求和，结合等差数列的求和公式，计算可得所求和；（ii）推得√T n−n =√n3−n=√(n−1)n(n+1)√n−1−√n+1，再由数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1＝b1＝1，a3+b2＝7，S5b2＝50，可得1+2d+q＝7，5（1+2d）q＝50，解得d＝2，q＝2或d=12，q＝5，由于{a n}是各项都为整数的等差数列，所以d＝2，q＝2，从而a n＝2n﹣1，b n＝2n﹣1，n∈N*；（Ⅱ）（i）∵log2b n＝log22n﹣1＝n﹣1，∴c n＝0+1+2+…+（n﹣1）=12n（n﹣1），∴a cn+i =2（n2−n2+i）﹣1＝n2﹣n﹣1+2i，∴T n＝（n2﹣n﹣1+2）+（n2﹣n﹣1+4）+…+（n2﹣n﹣1+2n）＝n（n2﹣n﹣1）+（2+4+…+2n）＝n（n2﹣n﹣1）+n（n+1）＝n3；（ii）证明：√T n−n =√n3−n=√(n−1)n(n+1)=1n+1−√n−1（√(n−1)n−√n(n+1)）=√n（√n−1−√n+1）•√n−1+√n+12，而√n−1+√n+12=√n−1+n+1+2√n2−14＜√2n+2n4=√n，∴T n−n√n−1−√n+1，2122∴∑n i=21√i =111√3121√41√3−151√4−1√6+⋯+1√n−21√n 1√n−1−√n+1 ＝1+√22−1√n 1n+1， 由于√n +√n+10， 可得1+√22√n √n+12． 则∑n i=21√i 2．20．（16分）设函数f （x ）=k 3x 3−12x 2−x ，k ∈R ． （Ⅰ）若x ＝1是函数f （x ）的一个极值点，求k 的值及f （x ）单调区间；（Ⅱ）设g （x ）＝（x +1）ln （x +1）+f （x ），若g （x ）在[0，+∞）上是单调增函数，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）证明：当p ＞0，q ＞0及m ＜n （m ，n ∈N *）时，[p+q p2m−1∑ 2m−1i=1(−1)i−1p 2m−1−i q i−1]2n−1＞[p+qp 2n−1∑ 2n−1i=1（﹣1）i ﹣1p 2n ﹣1﹣i q i ﹣1]2m ﹣1．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于k 的方程，求出k ，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）求出函数的导数，问题转化为g ′（x ）＝h （x ）＝ln （x +1）+kx 2﹣x ≥0恒成立，求出h （x ）的导数，通过讨论k 的范围，求出函数h （x ）的最小值，求出k 的范围即可；（Ⅲ）问题转化为证明12m−1ln [1+(q p )2m−1]＞12n−1ln [1+(q p )2n−1]，不妨设p ＞q ＞0，构造函数φ（x ）=1xln （1+a x ），（x ＞0），其中a =q p ∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．解：（Ⅰ）f ′（x ）＝kx 2﹣x ﹣1，23∵x ＝1是函数f （x ）的一个极值点，∴f ′（1）＝k ﹣1﹣1＝0，解得：k ＝2，∴f ′（x ）＝2x 2﹣x ﹣1，当f ′（x ）＞0，即x ＜−12或x ＞1时，f （x ）递增， 当f ′（x ）＜0，即−12＜x ＜1时，f （x ）递减， ∴f （x ）在（﹣∞，−12）递增，在（−12，1）递减，在（1，+∞）递增； （Ⅱ）g （x ）＝（x +1）ln （x +1）+k 3x 3−12x 2﹣x ， g ′（x ）＝ln （x +1）+kx 2﹣x ，若g （x ）在[0，+∞）上是单调增函数，则g ′（x ）≥0对∀x ∈[0，+∞）恒成立， 令h （x ）＝ln （x +1）+kx 2﹣x ，h ′（x ）=1x+1+2kx 2﹣1=x(2kx+2k−1)x+1， （i ）若k ≤0，则h ′（x ）＜0，h （x ）在[0，+∞）递减，∴h （x ）≤h （0）＝0，不合题意；（ii ）若k ＞0，由h ′（x ）＝0解得：x ＝0，x =1−2k 2k ＞−1， ①当0＜k ＜12时，1−2k 2k＞0， ∴x ∈（0，1−2k 2k）时，h ′（x ）＜0，h （x ）递减， ∴h （x ）≤h （0）＝0，不合题意，∴g （x ）＞g （1）＝0；②当k ≥12时，1−2k 2k＜0，24∴x ∈[0，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增，∴h （x ）≥h （0）＝0，即g ′（x ）≥0对任意x ∈[0，+∞）恒成立，综上，k ≥12时，g （x ）在[0，+∞）是单调递增函数； （Ⅲ）∵p+q p 2m−1∑ 2m−1i=1（﹣1）i ﹣1p 2m ﹣1﹣i q i ﹣1=p+q p ∑ 2m−1i=1(−q p )i−1=p+q p •1−(−q p )2m−11−(−q p )=1+(q p )2m−1， ∴[p+q p 2m−1∑ 2m−1i=1(−1)i−1p 2m−1−i q i−1]2n−1＞[p+q p 2n−1n ∑ 2m−1i=1（﹣1）i ﹣1p 2n ﹣1﹣i q i ﹣1]2m ﹣1． ⇔[1+(q p )2m−1]2n ﹣1＞[1+(q p )2n−1]2m ﹣1，⇔[1+(q p )2m−1]12m−1＞[1+(q p)2n−1]12n−1 ⇔12m−1ln [1+(q p )2m−1]＞12n−1ln [1+(q p )2n−1]， 不妨设p ＞q ＞0，则0＜q p ＜1，构造函数φ（x ）=1xln （1+a x ），（x ＞0），其中a =q p ∈（0，1）， φ′（x ）=a x lna x(1+a x )−ln(1+a x )x 2， 由（Ⅱ）知ln （x +1）＞x −12x 2， ∴ln （a x +1）＞a x −12a 2x ， ∴φ′（x ）＜a x lna x(1+a x )−a x −12a 2xx 2， ∵a ∈（0，1），x ＞0，∴lna＜0，a x＞a2x＞12a2x，∴φ′（x）＜0，φ（x）在（0，+∞）递减，∵0＜m＜n，∴0＜2m﹣1＜2n﹣1，∴12m−1ln[1+(qp)2m−1]＞12n−1ln[1+(qp)2n−1]，故原不等式成立．25。

2020年天津市南开区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.复数是虚数单位在复平面内对应点的坐标为A. B. C. D.2.某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6：5：7，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本，样本中高三年级的学生有21人，则n等于A. 35B. 45C. 54D. 633.方程表示圆的一个充分不必要条件是A. B.C. D.4.设，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.5.如图，长方体的底面是面积为2的正方形，该长方体的外接球体积为，点E为棱AB的中点，则三棱锥的体积是A. B. C. D. 16.已知双曲线C：的离心率为，以双曲线C的右焦点F为圆心，a为半径作圆F，圆F与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则A. B. C. D.7.某学校食堂为了进一步加强学校疫情防控工作，降低学生因用餐而交叉感染的概率，规定：就餐时，每张餐桌如图至多坐两个人，一张餐桌坐两个人时，两人既不能相邻，也不能相对即二人只能坐在对角线的位置上现有3位同学到食堂就餐，如果3人在1号和2号两张餐桌上就餐同一张餐桌的4个座位是没有区别的，则不同的坐法种数为A. 6B. 12C. 24D. 488.已知函数，的图象关于直线对称，且与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，则函数的导函数的一个单调减区间为A. B. C. D.9.如图，在边长的等边三角形ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，O为的中心，过点O的直线与直线BC交于点P，与直线DE交于点Q，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.已知集合，或，则______．11.若的二项展开式中的系数为，则______用数字作答．12.过点的直线l与圆相切，则直线l在y轴上的截距为______．13.一袋中装有6个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则袋中白球的个数为______；从袋中任意摸出2个球，则摸到白球的个数X的数学期望为______．14.已知，则的最小值为______．15.已知定义在R上的偶函数在上单调递增，且若，则x的取值范围是______；设函数若方程有且只有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知．Ⅰ求cos B及tan2B的值；Ⅱ若，，求c的值．17.如图所示，平面平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，，四边形CDEF为直角梯形，，，，，．求证：；Ⅱ若线段CF上存在一点M，满足平面BDM，求的值；Ⅲ若，求二面角的余弦值．18.已知，为椭圆C：的左、右焦点，椭圆C过点，且．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ经过点的直线交椭圆C于A，B两点，若存在点，使得．求实数m的取值范围：若线段的垂直平分线过点Q，求实数m的值．19.设是各项都为整数的等差数列，其前n项和为，是等比数列，且，，，．Ⅰ求数列，的通项公式；Ⅱ设，．求；求证：．20.设函数．Ⅰ若是函数的一个极值点，求k的值及单调区间；Ⅱ设，若在上是单调增函数，求实数k的取值范围；Ⅲ证明：当，及时，．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，复数是虚数单位在复平面内对应点的坐标为．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：C解析：解：某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，高三年级学生的数量占总数的，分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，若已知高三年级被抽到的人数为21人，．故选：C．由某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：5：7，知高三年级学生的数量占总数的，再由分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，高三年级被抽到的人数为21人，能求出n．本题考是查分层抽样的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．3.答案：D解析：解：由，得，若方程表示圆，则，即．，B为方程表示圆的既不充分也不必要条件，C为充要条件，而，，则D为充分不必要条件．故选：D．化为，由求得k的范围，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查圆的一般式方程，考查充分必要条件的判定，是基础题．4.答案：A解析：解：，，，，．故选：A．根据即可得出，并得出，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了指数函数和对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：解：长方体的底面是面积为2的正方形，该长方体的外接球体积为，设长方体的外接球的半径为R，则，解得该长方体的外接球半径为，，解得，，三棱锥的体积．故选：C．由该长方体的外接球体积为，求出该长方体的外接球半径为，从而求出，由此能求出三棱锥的体积．本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了学生运用数学基础知识解决实际问题的能力，是中档题．6.答案：C解析：解：离心率，，由题意可知，双曲线的渐近线方程为，点，不妨设与圆F相交的渐近线为，则点F到直线MN的距离为，，，．故选：C．因为离心率，所以，不妨设与圆F相交的渐近线为，则点到直线MN的距离为，所以，，所以．本题考查双曲线的性质，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：若在2人在1号餐桌，1人在2号餐桌，则有种，若在1人在1号餐桌，2人在2号餐桌，则有种，则共有不同的坐法种．故选：B．根据分类计数原理即可求出．本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题．8.答案：A解析：解：函数，的图象关于直线对称，且与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，故函数的周期为，．故，，，则函数的导函数令，可得，故的减区间为，，故选：A．先根据三角函数的图象和性质求出的解析式，可得它的导数，再利用余弦函数的单调性，得出结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，三角函数的导数，属于基础题．9.答案：D解析：解：由题意，如图建立平面直角坐标系：因为三角形ABC边长为，故，故：DE：；，．所以直线PQ：，由对称性，不妨设．所以由得；由得所以，所以，特别的，当轴时，，，．故．故选：D．因为是等边三角形，所以可建立平面直角坐标系，设出PQ的方程，解出P，Q的坐标，即可将问题转化为直线PQ斜率k的函数，求其值域即可．本题考查平面向量在几何问题中的应用，基本思路是：建立坐标系，将问题转化为关于k的函数，然后求其最值．属于中档题．10.答案：解析：解：或，，且，．故答案为：．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．11.答案：2解析：解：通项，当时，，所以系数为，得．故答案为2利用二项展开式的通项公式求出展开式的第项，令x的指数为3，求出展开式中的系数，列出方程求出a．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．12.答案：4解析：解：根据题意，圆，对于点，有，即点在圆上，则切线l的方程为，变形可得，直线l在y轴上的截距为4；故答案为：4根据题意，分析可得点在圆上，由圆的切线方程可得切线l的方程为，变形分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程的计算，属于基础题．13.答案：3 1解析：解：设袋中有白球m个，则有黑球个，设事件A：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球，则，，即，解得或舍．，，，．故答案为：3，1．设白球个数为m，根据古代概型概率公式和对立事件概率公式列方程计算m，计算X的各种取值对应的概率，再计算数学期望．本题考查了组合数公式计算，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于基础题．14.答案：4解析：解：根据题意，，则有，当且仅当时等号成立，则原式，又由，则，则有，当且仅当，即时等号成立，综合可得：的最小值为4，当且仅当时等号成立故答案为：4．根据题意，由基本不等式的性质分析可得，进而可得，据此由基本不等式的性质分析可得的最小值，即可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，注意放缩法的应用，属于基础题．15.答案：，解析：解：是偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，且，由可得：，，即．由可得或．由函数解析式可知在和上均为增函数，故当时，，当时，，若，则有1解，有2解，不符合题意；，此时有2解，有1解，不符合题意；若，则有1解，有1解，符合题意；若，则有1解，有1解，符合题意；若，则有2解，有1解，不符合题意；若，则有2解，有1解，不符合题意；综上，或，解得或．故答案为：，，．根据的奇偶性和单调性列不等式求出x的范围，根据的单调性和最值，分情况讨论最值和的关系，从而确定a的范围．本题考查了函数零点与方程的关系，函数单调性与零点个数判断，属于中档题．16.答案：解：Ⅰ，由余弦定理可得：，，，，；Ⅱ．由正弦定理，可得．解析：Ⅰ由已知利用余弦定理可得cos B，利用同角三角函数基本关系式可求sin B，利用二倍角公式可求sin2B，cos2B，进而根据同角三角函数基本关系式可求tan2B的值．Ⅱ由已知利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，进而由正弦定理可得c的值．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.答案：解：平面平面ABCD，，平面ABCD，如图，以D为原点，DC所在直线为y轴，过点D垂直于DC的直线为x轴，建立空间直角坐标系，，，，，2，，3，，0，，1，，，，；设，则，设平面BDM的法向量为，则，取，则，若平面BDM，则，即，解得，线段CF上存在一点M，满足平面BDM，此时；设平面BCF的法向量为，则，取，则，又平面BCD的一个法向量为，，由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为．解析：建立空间直角坐标系，求出直线AD及直线BF的方向向量，利用两向量的数量积为0，即可得证；设，根据题设数据，求出平面BDN的一个法向量，以及直线AE的方向向量，利用平面BDM，建立关于的方程，解出即可；求出平面BCF及平面BCD的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．本题主要考查空间向量在立体几何中的运用，考查利用空间向量求证线线垂直以及线面平行，求解二面角等问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ因为椭圆过，，所以解得：，，所以椭圆的方程为：；Ⅱ设直线的方程为：，代入椭圆的方程，整理可得：，因为直线l与椭圆C由两个交点，所以，解得；设，，则有，，设AB中点为，则有，，当时，因为，，，解得，，当，可得，综上所述：由题意，且，由，整理可得：，所以，也是此方程的两个根，所以，，所以，解得，所以．所以m的值为．解析：Ⅰ由椭圆过M点，及且，可得，可得a，b的值，求出椭圆的方程；Ⅱ设直线AB的方程与椭圆联立求出两根之和，可得AB的中点N的坐标，由可得直线可得斜率之积为，可得m的表达式，进而可得m的范围；由题意，且，可得：，所以，，可得，解得，进而求出m的值．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中难题．19.答案：解：Ⅰ设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由，，，可得，，解得，或，，由于是各项都为整数的等差数列，所以，，从而，，；Ⅱ，，，；证明：，而，，，由于，可得．则．解析：Ⅰ设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；Ⅱ运用对数的运算性质和等差数列的求和公式可得，，再由数列的分组求和，结合等差数列的求和公式，计算可得所求和；推得，再由数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和、放缩法的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ，是函数的一个极值点，，解得：，，当，即或时，递增，当，即时，递减，在递增，在递减，在递增；Ⅱ，，若在上是单调增函数，则对恒成立，令，，若，则，在递减，，不合题意；若，由解得：，，当时，，时，，递减，，不合题意，；当时，，时，，递增，，即对任意恒成立，综上，时，在是单调递增函数；Ⅲ，．，，不妨设，则，构造函数，，其中，，由Ⅱ知，，，，，，，，在递减，，，，故原不等式成立．解析：Ⅰ求出函数的导数，得到关于k的方程，求出k，求出函数的单调区间即可；Ⅱ求出函数的导数，问题转化为恒成立，求出的导数，通过讨论k的范围，求出函数的最小值，求出k的范围即可；Ⅲ问题转化为证明，不妨设，构造函数，，其中，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

一、单选题二、多选题1. 集合，，则（ ）A．B．C．D．2. “甲流”是甲型流感的简称，是由甲型流感病毒感染引起的急性呼吸道传染病，可呈季节性流行，北半球多在冬春季节发生．近期，我国多地纷纷进入“甲流”高发期，某地两所医院因发热就诊的患者中分别有被确诊为“甲流”感染，且到A 医院就诊的发热患者人数是到B 医院的三倍．现从到这两所医院就诊的发热患者中任选一人，则此人未感染“甲流”的概率是（ ）A ．0.78B ．0.765C ．0.59D ．0.2353. 已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，，则抛物线的方程为（ ）A．B．C．D．4. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ）A ．若，则B．若，则C ．若，则D ．若，则5. 已知则的大小关系为（ ）A．B．C．D．6.如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，M 是侧棱PC 的中点，若过AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱PB ､PD 于点E ､F (可与端点重合)，则四棱锥的体积的取值范围是（）A．B．C．D．7. 已知双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C ．2D ．48.已知在平面直角坐标系中，，，，，动点满足不等式，，则的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59. 已知双曲线，直线l：与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于，两点.当点M变化时，点之变化.则下列结论中正确的是（ ）A．B．天津市南开区2023届高三二模数学试题(1)天津市南开区2023届高三二模数学试题(1)三、填空题四、解答题C．点坐标可以是D ．有最大值10. 袋中有大小和质地均相同的5个球，其中2个红球，3个黑球．现从中随机摸取2个球，下列结论正确的有（ ）A ．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件B ．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C ．“至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件D ．“至少有一个红球”和“都是红球”是互斥事件11. 《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（）．A．B．C ．向量在向量上的投影向量为D ．向量在向量上的投影向量为12.在正三棱柱中，若A 点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n 次后还在底面ABC 的概率为，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．为等比数列D．13. 将一个正方体的5个面均涂上蓝色，第6个面涂上红色，然后将其分割成27个同样大小的小正方体，则从至少有一个面涂色的小正方体中任取一个，取到恰有2个面涂色且涂不同颜色的小正方体的概率为______.14. 某产品的广告费投入与销售额的统计数据如下表所示:广告费万元万元4235销售额万元万元49263954根据上表建立线性回归方程，预测当广告费投入6万元时，销售额约为_______万元.15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 与x 轴和直线y =x 都相切，则满足要求的一个圆C 的标准方程是___________.16. 2021年7月中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，随后各学校积极响应，认真落实.“双减”不仅仅是减轻了学生家庭的经济负担、学生的课业负担，同时也增加了学生每天的体育锻炼时间.经过对某市义务教育阶段各学校学生平均每天体育锻炼时间的抽样调查，得出“双减”政策出台前（图1）与“双减”政策出台后（图2）的两个频率分布直方图.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，请解答下列问题：(1)根据上面两个频率分布直方图，估计“双减”政策出台后，学生平均每天的体育锻炼时间增加多少分钟；(2)如果把每天平均体育锻炼时间在69分钟以上（含69分钟）的情况定义为“良”，把上述两个样本数据的频率视为概率，试估算出该市在“双减”政策出台后，学生平均每天的体育锻炼时间为“良”的概率.17. 大数据时代对于数据分析能力的要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某种算式的表示方式.比如是平面直角坐标系上的一系列点，其中是不小于的正整数，用函数来拟合该组数据，尽可能使得函数图像与点列比较接近.其中一种衡量接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数的拟合误差为：.已知在平面直角坐标系上，有5个点的坐标数据如下表所示：2.212 4.67（1）若用函数来拟合上述表格中的数据，求；（2）若用函数来拟合上述表格中的数据.①求该函数的拟合误差的最小值，并求出此时的函数解析式；②指出用中的哪一个函数来拟合上述表格中的数据更好？18. 如图，在正方体中，分别是的中点．(1)证明：；(2)求与所成的角；(3)证明：平面平面；(4)设，求三棱锥的体积．19. 已知椭圆：的离心率为，为该椭圆的右焦点，过点任作一直线交椭圆于，两点，且的最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为，若直线，分别交直线于，两点，求证：.20.如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，．(1)求该圆台的体积；(2)点E在圆上，且，求直线与平面所成角的正弦值．21. 在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，其母线长为6，边长为的等边内接于圆锥底面，且.(1)证明：平面平面；(2)若为中点，射线与底面圆周交于点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.。

2021年天津市南开区高考数学模拟试卷（二）（二模）一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知集合A={−3,−1,0，2，3，4}，∁R B={x|x≤0或x>3}，则A∩B=()A. ⌀B. {−3,−1,0，4}C. {2,3}D. {0,2，3}<0”是“x2<1”的()2.已知x∈R，则“2x−1A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数f(x)=1−x2的图象大致为()e xA. B.C. D.4.某健身俱乐部统计学员经训练后的平板支撑的时间增加值都在20s到45s之间，其频率分布直方图如图所示.现已知时间增加值在[30,35)，[35,40)，[40,45]的健身人数呈递减的等差数列，则学员时间增加值是[30,35)或[40,45]的频率之和为()A. 0.5B. 0.3C. 0.6D. 0.45.已知直线l与圆C：x2+y2−6x+5=0交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为D(2,√2)，则|AB|=()A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知f(x)是定义在上的偶函数，且在区间(−∞,0)上单调递减.若a =f(log 2e)，b =f(ln2)，c =f(log 123)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A. a >b >cB. b >a >cC. c >b >aD. c >a >b7. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 23=1(a >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10，则△AF 1F 2的面积为( )A. √15B. 2√15C. 15D. 308. 已知函数f(x)=√3cos2x −sin2x ，则下列四个结论中：①f(x)的周期为π；②x =π3是f(x)图象的一条对称轴；③[−7π12,−π12]是f(x)的一个单调递增区间； ④f(x)在区间[0,7π12]上的最大值为2． 所有正确结论的序号是( )A. ①②B. ①③C. ①②④D. ①③④9. 在直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB ，CD//AB ，AB =2AD =2DC =2，E 为BC 边上一点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为直线AE 上一点，则CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A. 613B. −613C. 920D. −920二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 若复数z =2i +21+i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为______ ．11. (√y −√x )6的二项展开式中，x 3的系数等于______ ．12. 某长方体的长、宽、高分别为4，4，2，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为______ ．13. 甲、乙两人参加一次历史知识竞赛，已知在备选的10道试题中，甲、乙分别都能答对其中的8道题.规定每人都从备选题中随机抽出3道题进行回答，至少答对2道题才算合格.则甲不合格的概率是______ ；甲、乙两人中恰有一人合格的概率是______ ．14. 已知a >0，b >0，a +2b =1，则a 2+4b 2+14ab 的最小值是______ ． 15. 设函数f(x)={−x 2+4x,x ≤4log 2x,x >4，若函数y =f(x)在区间(a,a +1)上单调递增，则实数a 的取值范围是______ ；若函数g(x)=f(f(x))−m 恰有5个的零点，则m 的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a =3，b =√2，csinA =acosC ． (Ⅰ)求角C 的大小； (Ⅱ)求边c 的长； (Ⅲ)求cos(C −2A)的值．17. 如图所示，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D 是AC 的中点．(Ⅰ)求证：B 1C//平面A 1BD ；(Ⅱ)求直线AB 1与平面A 1BD 所成角的正弦值； (Ⅲ)求二面角A −BD −A 1的大小．18. 设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗).已知b 1=1，b 3=b 2+2，b 4=a 3+a 5，b 5=a 4+2a 6． (Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式； (Ⅱ)设数列{(−1)a n }的前n 项和T n .记c n =3+T 2n−12b 2n−1+3+T 2n 2b 2n ，求c n ；(Ⅲ)求∑ai c n+1−i ni=1．19. 已知抛物线C 1：y 2=2px(p >0)与离心率为√22的椭圆C 2：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >1)的一个交点为P(1,t)，点P 到抛物线C 1的焦点的距离为2． (Ⅰ)求C 1与C 2的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，在第一象限内，椭圆C 2上是否存在点A ，使过O 作OA 的垂线交抛物线C 1于点B ，直线AB 交y 轴于点E ，且∠OAE =∠EOB ？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．20. 已知函数f(x)=e 2x ，g(x)=m(2x +1)(m ≠0)(e 为自然对数的底数)，ℎ(x)=f(x)−g(x)．(Ⅰ)若m =e ，求函数ℎ(x)的单调区间； (Ⅱ)若ℎ(x)≥1−m 恒成立，求实数m 的值；(Ⅲ)若直线y =g(x)是曲线f(x)=e 2x 的一条切线.求证：对任意实数a >b ，都有ℎ(a)−ℎ(b)a−b≥2e 2b −2．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵∁R B={x|x≤0或x>3}∴B={x|0<x≤3}∵A={−3,−1,0，2，3，4}∴A∩B={2,3}故选：C．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由2x−1<0，解得x<1，由x2<1，解得−1<x<1，∵(−1,1)⊆(−∞,1)，∴“2x−1<0”是“x2<1”的必要不充分条件，故选：B．解不等式，求得x的取值范围，根据充要条件的定义即可判断．本题考查了不等式的解法，充要条件的判断，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数图象的判定，注意用排除法分析，属于基础题．根据题意，用排除法分析：先分析函数的奇偶性排除C、D，再计算f(0)的值，排除A，即可得答案．【解答】解：根据题意，f(x)定义域为R，关于原点对称，f(−x)=1−(−x)2e−x =1−x2e−x，故f(−x)≠f(x)，且f(−x)≠−f(x)，为非奇非偶函数，可以排除C、D，=1，排除A；又由f(0)=1−0e0故选：B．4.【答案】D【解析】解：设学员时间增加值是[35,40)的频率为a，则学员时间增加值是[30,35)或[40,45]的频率之和为2a，由频率分布直方图的性质得：(0.01+0.07)×5+a+2a=1，解得a=0.2，∴学员时间增加值是[30,35)或[40,45]的频率之和为2a=0.4．故选：D．设学员时间增加值是[35,40)的频率为a，则学员时间增加值是[30,35)或[40,45]的频率之和为2a，由频率分布直方图的性质列方程求出a，由此能求出学员时间增加值是[30,35)或[40,45]的频率之和．本题考查频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．5.【答案】A【解析】解：圆C：x2+y2−6x+5=0的圆心(3,0)，半径为2，直线l与圆C：x2+y2−6x+5=0交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为D(2,√2)，所以弦心距为：√(2−3)2+(√2−0)2=√3，所以弦长|AB|为：2√22−(√3)2=2．故选：A．求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长|AB|即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，弦长的求法，考查学生的分析问题解决问题的数学素养，是基础题．6.【答案】D【解析】解：∵f(x)是R上的偶函数，3)=f(−log23)=f(log23)，∴c=f(log12∵f(x)在区间(−∞,0)上单调递减，∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，∵0<ln2<1<log2e<log23，∴f(ln2)<f(log2e)<f(log23)，即b<a<c．故选：D．根据f(x)是R上的偶函数可得c=f(log23)，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，然后由0< ln2<1<log2e<log23，可得a，b，c的大小关系．本题考查了函数奇偶性与单调性的综合，函数值大小的比较，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：双曲线C：x2a2−y23=1(a>0)的离心率为2，可得√a2+3a=2，解得a=1，因为点A在双曲线C上，不妨设A在第一象限，△AF1F2的周长为10，|F1F2|+|AF1|+ |AF2|=10，|AF1|−|AF2|=2，所以三角形的边长为|F1F2|=4，|AF1|=4，|AF2|=2，所以三角形的面积为：12×2×√42−12=√15、故选：A．利用双曲线的离心率求解双曲线方程，结合三角形的周长，结合双曲线的定义求解三角形的边长，然后求解三角形的面积．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率以及定义的应用，三角形的面积的求法，是基础题．8.【答案】B【解析】解：f(x)=2(√32cos2x−12sin2x)=2cos(2x+π6)，①函数f(x)的周期为T=2π2=π，①正确；②令2x+π6=kπ,k∈Z，解得x=kπ2−π12,k∈Z，令kπ2−π12=π3，解得k=56∉Z，②错误；③令−π+2kπ≤2x+π6≤2kπ,k∈Z，解得−7π12+kπ≤x≤−π12+kπ,k∈Z，令k=0，则−7π12≤x≤−π12，则[−7π12,−π12]是f(x)的一个单调递增区间，③正确；④当x ∈[0,7π12]时，2x +π6∈[π6,4π3]，−1≤2cos(2x +π6)≤√3，此时最大值为√3，④错误． 故选：B ．先化简f(x)，易知函数f(x)的周期为π，利用函数f(x)的对称性及单调性，即可判断②③，当x ∈[0,7π12]时，f(x)的最大值为√3，由此判断④错误．本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：以A 为原点，AB 、AD 所在的直线分别为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，∴A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(a,b)，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1),EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−a,1−b)， ∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(−1,1)=3(1−a,1−b)，解得a =43,b =23，即E 的坐标为E(43,23)， ∴直线AE 的方程为y =12x ， 设F(x,y)，∴CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y −1),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−y)， ∴CF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1)(2−x)−12x(12x −1)=−54(x −75)2+920，又∵F 为直线AE 上一点， ∴当x =75时，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有最大值920， 故选：C ．以A 为原点，AB 、AD 所在的直线分别为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，通过已知条件，以及BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可求E 点的坐标，再结合平面向量的向量积，以及二次函数的性质，即可求解．本题主要考查了向量的数量积的计算，要求学生有建立平面直角系的思维，属于中档题．10.【答案】√2【解析】解：复数z=2i+21+i =2i+2(1−i)(1+i)(1−i)=2i+1−i=1+i，则复数|z|=√2，故答案为：√2．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】15【解析】解：(y−x)6的二项展开式的通项公式为T r+1=C6r(y)6−r x)r=(−1)r C6r x6−32r y32r−3，令6−32r=3且32r−3=0，解得r=2，所以x3的系数等于(−1)2C62=15．故答案为：15．求出二项展开式的通项公式，令x的指数为3且y的指数为0，求出r的值，即可求解x3的系数．本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，特定项的求法，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．12.【答案】89π【解析】解：长方体的体积为：V1=2×4×4=32，长方体外接球的直径为：2R=2+42+42=6，外接球的体积为：V2=4π3×33=36π，长方体的体积与其外接球的体积之比为：V1 V2=3236π=89π．故答案为：89π．求出长方体的体积，设球的半径为R，则因为球心为长方体的中心，求出球的半径，则球的体积可以求出，则长方体的体积与其外接球的体积比值可求．本题考查了球的体积，长方体的外接球．解题时注意球心为长方体的中心．属于中档题．13.【答案】115 28225【解析】解：甲不合格的概率是P =1−C 83C 103−C 82C 21C 83=115； 甲、乙两人中每次答题合格的概率为P =C 83C 103+C 82C 21C 83=1415，∴甲、乙两人中恰有一人合格的概率P =1415×115+115×1415=28225． 故答案为：115，28225．先求出甲不合格的概率，然后求出甲、乙两人中每次答题合格的概率，再求出甲、乙两人中恰有一人合格的概率．本题考查概率的求法，对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】52【解析】解：∵a >0，b >0，∴1=a +2b ≥2√2ab ，∴ab ≤18． 令ab =t ，则t ∈(0,18]，∴a 2+4b 2=1−4t ， ∴a 2+4b 2+14ab =1−4t +14t．令f(t)=1−4t +14t ，0<t ≤18． 可知函数f(t)在(0,18]是减函数， ∴f(18)≤f(t)<f(0)， 解得：f(t)≥52． 故答案为：52．令ab =t ，由a +2b =1得t 的范围，把所求代数式转化为关于t 的表达式，再用函数解决．本题考查基本不等式应用、函数思想，考查数学运算能力，属于中档题．15.【答案】a ≤1或a ≥4 (0,2]【解析】解：画出函数f(x)图象如下：由图可知，若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增，则a+1≤2或a≥4，解得：a≤1或a≥4；若函数g(x)=f(f(x))−m恰有5个的零点，则：若m>4，f(x)>4，g(x)仅存1个零点．若m=4，f(x)=2或f(x)>4，g(x)存3个零点．若2<m<4，0<f(x)<2或2<f(x)<4或f(x)>4，函数有6个零点．若0<m≤2，0<f(x)<2或2<f(x)<4，函数有5个零点．若m=0，f(x)=0或4，函数有4个零点．若m<0，f(x)<0，函数仅有1个零点．综上，m的取值范围是：m∈(0,2]．故答案为：(0,2]．本题画出函数图象对m进行讨论即可解决此题．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学运算能力及抽象能力，属于难题．16.【答案】解：(I)因为csinA=acosC，由正弦定理得，sinCsinA=sinAcosC，因为sinA>0，所以sinC=cosC，即tanC=1，由C为三角形内角得，C=π4；(II)因为a=3，b=√2，C=π4，由余弦定理得，c2=a2+b2−2ab×√22=9+2−2×3√2×√22=5，所以c=√5；(III)由余弦定理得，cosA =b 2+c 2−a 22bc=2+5−92×√2×√5=−√1010， 所以sinA =3√1010，sin2A =2sinAcosA =−35，cos2A =2cos 2A −1=−45，所以cos(C −2A)=cos(π4−2A)=√22(cos2A +sin2A)=√22×(−15)=−√210．【解析】(I)由已知结合正弦定理进行化简可求tan C ，进而可求C ； (II)由已知结合余弦定理即可直接求解；(III)由余弦定理先求cos A ，进而可求sin A ，然后利用二倍角公式及两角差的余弦公式可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角及二倍角公式，属于中档题． 17.【答案】(Ⅰ)证明：设AB 1∩A 1B =M ，连接DM ， 因为四边形AA 1B 1B 为平行四边形，所以M 为AB 1中点，又因为D 为AC 中点，所以DM//B 1C ，因为DM ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，所以B 1C//平面A 1BD ；(Ⅱ)解：取A 1B 中点N ，连接MN 、AN ，因为A 1A ⊥底面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥BD ， 因为底面ABC 是正三角形，D 是AC 的中点，所以BD ⊥AC ， 又因为A 1A ∩AC =A ，所以BD ⊥平面A 1AD ， 因为AN ⊂平面A 1AD ，所以AN ⊥BD ，又因为A 1A =AD =1，所以AN ⊥A 1D ，所以AN ⊥平面A 1BD ，于是MN 为AB 1在平面A 1BD 内投影，所以∠AMN 为直线AB 1与平面A 1BD 所成角， sin∠AMN =AN AM=A 1A⋅sin45°12⋅AB 1=1⋅√2212⋅√12+22=√2√5=√105， 所以直线AB 1与平面A 1BD 所成角的正弦值√105；(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知BD ⊥平面A 1AD ，因为A 1D ⊂平面A 1AD ，所以BD ⊥A 1D ，又因为BD ⊥AC ，所以∠A 1DA 为二面角A −BD −A 1的平面角， 因为∠A 1AD =90°，A 1A =AD ，所以∠A 1DA =45°， 所以二面角A −BD −A 1的大小为45°．【解析】(Ⅰ)只须证明B1C平行于平面A1BD内一条直线DM即可；(Ⅱ)寻找直线在平面内投影，解直角三角形求解；(Ⅲ)寻找二面角的平面角，解直角三角形求解．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，考查了二面角的计算问题，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)设数列{a n}是公差为d的等差数列，数列{b n}是公比为q的等比数列，公比大于0，其前n项和为S n(n∈N∗).已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．所以q2=q+2，解得q=2，由于b4=a3+a5，b5=a4+2a6．所以2a1+6d=8，3a1+13d=16，解得a1=d=1，故a n=n，b n=2n−1．(Ⅱ)由(Ⅰ)知：(−1)a n=(−1)n，所以T2n=0，T2n−1=−1，所以c n=3+T2n−12b2n−1+3+T2n2b2n=b2n−1+32b2n=4n，(Ⅲ)由(Ⅱ)得：a ic n+1−i =i4，所以T n=14n +24n−1+...+n−142+n4①，4T n=14n−1+24n−2+...+n−141+n40②，①−②得：−3T n=14n +14n−1+...+142+14−n=14(1−14n)1−14−n，整理得T n=3n−19+19⋅4n．【解析】(Ⅰ)直接利用等差和等比数列的性质求出数列的首项和公差及公比，进一步求出数列的通项公式；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论求出数列的通项公式；(Ⅲ)利用(Ⅱ)的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)y2=2px的焦点为(p2,0)，准线方程为x=−p2，P(1,t)到抛物线C1的焦点的距离为2，可得1+p2=2，解得p =2，则抛物线的方程为y 2=4x ： 由题意可得e =c a=√1−b 2a 2=√22，即有a =√2b ，由2p =t 2=4，1a 2+t 2b 2=1a 2+4b 2=1， 解得a =3，b =3√22， 则椭圆的方程为x 29+2y 29=1；(Ⅱ)由题意可得直线OA 的斜率存在且不为0，设OA 的方程为y =kx(k ≠0)， 由于OA ⊥OB ，可得直线OB 的方程为y =−1k x ，由{y =kx x 2+2y 2=9，可得(1+2k 2)x 2=9，所以x =√1+2k 2， 由{y =−1k x y 2=4x ，可得x 2k2=4x ，解得x =4k 2(0舍去)，第一象限内，椭圆C 2上若存在点A∠OAE =∠EOB ， 则k >0，此时A(22，B(4k 2,−4k)，设直线AB 与x 轴交于D ，因为∠OAE =∠EOB ，∠AOB =∠DOE =90°，所以∠OAD =∠AOD ，∠DOB =∠OBD ，所以AD =OD =BD ，即D 为AB 的中点， 所以yA =−yB ，即2=4k ，解得k 2=−732<0， 故不存在适合题意的点A ．【解析】(Ⅰ)由抛物线的定义，解方程可得p ，进而得到抛物线的方程，求得P 的坐标，代入椭圆方程，结合离心率公式，解方程可得a ，b ，即可得到椭圆方程；(Ⅱ)设OA 的方程为y =kx(k ≠0)，可得直线OB 的方程为y =−1k x ，分别与椭圆方程和抛物线的方程联立，求得A ，B 的坐标，设直线AB 与x 轴交于D ，推得D 为AB 的中点，解方程可判断是否存在A ．本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，以及直线和椭圆、抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)m =e 时，g(x)=e(2x +1)，x ∈R ，由题意得：ℎ(x)=f(x)−g(x)=e 2x −e(2x +1)，x ∈R ， ∴ℎ′(x)=2e 2x −2e =2e(e 2x−1−1)，令ℎ′(x)=0，解得：x =12，x ，ℎ′(x)，ℎ(x)的变化如下：∴ℎ(x)的递减区间是(−∞,12)，递增区间是(12,+∞)； (Ⅱ)若ℎ(x)≥1−m 恒成立，则m ⋅2x ≤e 2x −1， ①x =0时，显然成立， ②x >0时，问题转化为m ≤e 2x −12x在(0,+∞)恒成立，令k(t)=e t −1t(t >0)，则k′(t)=(t−1)e t +1t 2，令p(t)=(t −1)e t +1，则p′(t)=te t >0，p(t)在(0,+∞)递增， 故p(t)>p(0)=0，故k′(t)>0，k(t)在(0,+∞)递增， 而t →0limet −1t=t →0lime t =1，故m ≤1，③x <0时，问题转化为m ≥e 2x −12x在(−∞,0)恒成立，同理可得m ≥1， 综上：m =1；(Ⅲ)证明：直线y =g(x)是曲线f(x)的一条切线，设切点是(x 0,y 0)， ∵f′(x)=2e 2x ，∴{2e 2x 0=2m e 2x 0=m(2x 0+1)，解得：{x 0=0m =1， 故ℎ(x)=e 2x −2x −1， 要证ℎ(a)−ℎ(b)a−b≥2e 2b −2，即证e 2a −2a−1−(e 2b −2b−1)a−b≥2e 2b −2，即证e 2a −e 2b a−b≥2e 2b ，a >b ，即证e 2(a−b)−1≥2(a −b)，令t =a −b >0，即证e 2t −1≥2t ，t >0，令φ(t)=e 2t −1−2t(t >0)，φ′(t)=2e 2t −2>0， 故φ(t)在(0,+∞)单调递增，∴φ(t)>φ(0)=0，即e 2t −1−2t >0， 即证得ℎ(a)−ℎ(b)a−b≥2e 2b −2．【解析】(Ⅰ)代入m的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)问题转化为m⋅2x≤e2x−1，通过讨论x的范围，分类参数m，结合函数的单调性求出m的值即可；(Ⅲ)求出ℎ(x)的解析式，问题转化为证e2(a−b)−1≥2(a−b)，令t=a−b>0，即证e2t−1≥2t，t>0，令φ(t)=e2t−1−2t(t>0)，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是难题．。

2023—2024学年度第一学期阶段性质量监测（二）高三年级 数学学科2024.01本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.祝各位考生考试顺利!第I 卷注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目涂在答题卡上；2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：●锥体的体积公式13V Sh=，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.●对于事件(),,0A B P A >，那么()()()P AB P A P B A =⋅∣.一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}{}1,0,1,2,3,0,1,2,{12}U A B x x =-==∈-<<Z ∣，则()U A B =ð（ ）A. ∅B. {}1 C. {}2 D. {}1,22. 函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是（ ）A. B.C. D.3. “1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则a 的值为（ ）A. 0.02B. 0.2C. 0.04D. 0.45. 设0.40.40.3log ,log 022,.3a b c ===，则（ ）A. a c b <<B. b a c <<C. c b a<< D. a b c<<6. 数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积n T ，则10T 等于（ ）A.16B. 16-C. 6D. 6-7. 已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（ ）A.13B.23C. 1D.438. 设函数()()(0,π)f x x ωϕωϕ=-><.若π5π0,88f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A.17π,312ωϕ==-. B.111π,324ωϕ==C.2π,312ωϕ==-D.211π,312ωϕ==9. 已知()13,0F -，()23,0F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，点P 是双曲线上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为6π，则双曲线的标准方程为（）为A. 22163x y -= B. 22136x y -= C. 2218y x -= D. 2218x y -=第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题：2.本卷共11小题，共105分.二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10. 已知复数1212i,i z z a =+=-，若12z z ⋅是实数，则实数a 的值为__________.11. 6展开式中，3x 的系数等于________．12. 直线21y x =+与圆C ：22450x y x +--=相交于M ，N 两点，则MN =______．13. 设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为__________.14. 在ABC中，1,90AC BC C ∠===，则CA CB +=__________；若P 为ABC 所在平面内的动点，且PC =PA PB ⋅ 的取值范围是__________.15. 已知函数()()1221,1,log 1,1,x x f x x x -⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩若方程()f x m =有三个不等的实根，则实数m 的取值范围是__________；函数()()()()322g x f f x f x =--的零点个数是__________.三､解答题：本大题共5题，共5分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且)2222sin ac B a c b =+-，2a c =.（1）求角B 大小；（2）求角A 的大小；（3）求2sin cos sin cos sin sin cos A B C A B C C -的值.17. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 上一点（不含端点），F 为棱BC 的中点.的（1）若E 为棱11A B 的中点，（i ）求直线EF 与平面11A BC 所成角的正弦值；（ii ）求平面11A BC 和平面AC 的夹角的余弦值；（2）求直线EF 与11A C 所成角余弦值的取值范围.18. 设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点23⎛ ⎝，且其左焦点坐标为()1,0-.（1）求椭圆方程；（2）对角线互相垂直的四边形ABCD 的四个顶点都在E 上，且两条对角线均过E 的右焦点，求AC BD +的最小值.19. 已知正项等比数列{}n a 满足1232,12a a a =+=，数列{}n b 前n 项和为12,1n S b =，当2n ≥时，10n n n S S b -+=.（1）求{}n a 的通项公式：（2）证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭等差数列，并求n S ；（3）设数列n n a S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若()29n n T n a λ≤+恒成立，求λ的取值范围.20. 已知函数()()ln ,af x x xg x x x=-=+，且函数()f x 与()g x 有相同的极值点.（1）求实数a 的值；（2）若对121,,3ex x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()12f x f x k -≤恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：()()e cos x xf xg x x++<.的的是2023—2024学年度第一学期阶段性质量监测（二）高三年级 数学学科2024.01本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.祝各位考生考试顺利!第I 卷注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目涂在答题卡上；2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：●锥体的体积公式13V Sh=，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.●对于事件(),,0A B P A >，那么()()()P AB P A P B A =⋅∣.一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}{}1,0,1,2,3,0,1,2,{12}U A B x x =-==∈-<<Z ∣，则()U A B =ð（ ）A. ∅B. {}1 C. {}2 D. {}1,2【答案】C 【解析】【分析】由集合补集及交集的性质即可求得.【详解】{}{12}0,1B x x =∈-<<=Z ∣，{}1,0,1,2,3U =-{}U 1,2,3B ∴=-ð又{}0,1,2A = ∴()U A B = ð{}2故选：C2. 函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】通过判断()f x 不是奇函数，排除A ，B ，又因为302f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除C ，即可得出答案.【详解】因为2()sin 12xf x x =++的定义域为R ，又因为()()222sin()sin 1221xxx f x x x f x -⋅-=-+=-+≠-++，所以()f x 不是奇函数，排除A ，B.33223322sin()10221212f ππππ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭++，所以排除C.故选：D.3. “1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将存在量词命题转化为有解问题，再利用一元二次不等式有解及充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】因为2R,0x x x a ∃∈-+<，所以()2140a ∆=-->，解得14a <.所以(),1-∞ 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故 “1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的必要不充分条件.故选：B.4. 某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则a 的值为（ ）A. 0.02B. 0.2C. 0.04D. 0.4【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合频率和为1列式求解.【详解】由频率分布直方图可知：每组频率依次为0.1,10,0.45,10,0.05a a ，则0.1100.45100.05200.61a a a ++++=+=，解得0.020a =.故选：A.5. 设0.40.40.3log ,log 22,.3a b c ===，则（ ）A. a c b <<B. b a c <<C. c b a <<D. a b c<<【答案】D 【解析】【分析】利用对数的运算性质、对数函数的性质和指数函数的性质即可求解.【详解】20.0.3243log ,o lo 1122log 0.4l g 0.g a b ====，由2log y x =在()0,∞+上单调递增，0.40.3>，得220.40.30>log log >，所以22110log 0.4log 0.3<<，即0.40.30log l 2og 2<<，于是有0a b <<，由0.40.30c =>，得0a b c <<<，所以a b c <<.故选：D.6. 数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（ ）A.16B. 16-C. 6D. 6-【答案】D 【解析】【分析】依次代入1,2,3,4n =可得{}n a 是以4为周期的周期数列，由1231n n n n a a a a +++=可推导得到结果.【详解】当1n =时，121131a a a +==--；当2n =时，2321112a a a +==--；当3n =时，3431113a a a +==-；当4n =时，454121a a a +==-；…，∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，()()1231123123n n n n a a a a n N *+++⎛⎫∴=⨯-⨯-⨯=∈ ⎪⎝⎭，()10891012236T T a a a a ∴=⋅==⨯-=-.故选：D.7. 已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（ ）A.13B.23C. 1D.43【答案】D 【解析】【分析】易证AB ⊥平面1CDO ，然后由11--=+ABCD A CDO B CDO V V V 求解.【详解】解：如图所示：连接11C OD O，因为AB CD ⊥，12AB O O ⊥，且122O O CD O ⋂=，所以AB ⊥平面1CDO ，所以11--=+ABCD A CDO B CDO V V V ，111142223323=⋅=⨯⨯⨯⨯= CDO S AB ，故选：D 8. 设函数()()(0,π)f x x ωϕωϕ=-><.若π5π0,88f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）A17π,312ωϕ==-. B.111π,324ωϕ==C.2π,312ωϕ==-D.211π,312ωϕ==【答案】C 【解析】【分析】由题意求得4T，再由周期公式求得ω，再由5π8⎛⎫= ⎪⎝⎭f π2π12k ϕ=--，结合||πϕ<，求得ϕ值，即可得解．【详解】由()f x 的最小正周期大于2π，可得π42T >，因为π5π0,88f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得5ππ3π4884=+=T ，则3πT =，且0ω>，所以2π23T ω==，即2()3ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ，由5π25π838ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，即5πsin 112ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得5ππ2π122ϕ-=+k ，k ∈Z ，则π2π12k ϕ=--，k ∈Z ，且π<ϕ，可得0k =，π12ϕ=-，所以23ω=，π12ϕ=-.故选：C ．.9. 已知()13,0F -，()23,0F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，点P 是双曲线上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为6π，则双曲线的标准方程为（ ）A. 22163x y -= B. 22136x y -= C. 2218y x -= D. 2218x y -=【答案】B 【解析】【分析】设点P 为双曲线右支上一点，结合双曲线的定义与条件可得14PF a =，22PF a =，在12PF F △中，根据大边对大角可知12PF F ∠为最小角，进而根据余弦定理求得a ，再得到b ，即可得到答案.【详解】设点P 双曲线右支上一点，则12PF PF >，因为122PF PF a -=，且126PF PF a +=，所以14PF a =，22PF a =，由题，因1226F F c ==，则2242c a a a>⎧⎨>⎩，所以12PF F ∠为最小角，故126PF F π∠=，所以在12PF F △中，由余弦定理可得，()()()222422242a c a a c+-=⋅⋅，解得a =所以b =，所以双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：B第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题：2.本卷共11小题，共105分.二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10. 已知复数1212i,i z z a =+=-，若12z z ⋅是实数，则实数a 的值为__________.【答案】12##0.5为为【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得()()12221i ⋅=++-z z a a ，进而结合题意可得210a -=，运算求解即可.【详解】由题意可得：()()()()1212i i 221i ⋅=+-=++-z z a a a ，若12z z ⋅是实数，则210a -=，解得12a =.故答案为：12.11. 6展开式中，3x 的系数等于________．【答案】15【解析】【详解】6的通项为T r ＋1＝C 6r6－r ⎛ ⎝r ＝C 6r (－1)r x6－32ry 32r －3，令6－32r ＝3，得r ＝2，32r －3＝0，故x 3的系数为C 62(－1)2＝15.12. 直线21y x =+与圆C ：22450x y x +--=相交于M ，N 两点，则MN =______．【答案】4【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求解.【详解】解：圆C ：()2229x y -+=，其圆心坐标为()2,0，半径为3．圆心()2,0到直线2x －y ＋1＝0的距离d ==则4MN ===．故答案为:4.13. 设甲乘汽车､动车前往某目地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为的0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为__________.【答案】0.82##4150【解析】【分析】利用全概率公式求解即可.【详解】设事件1A =“甲乘汽车前往某目的地”， 事件2A =“甲乘动车前往某目的地”， 事件B =“甲正点到达目的地”.()()()()()11220.40.70.60.90.82P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=.故答案为：0.8214. 在ABC 中，1,90AC BC C ∠=== ，则CA CB += __________；若P 为ABC 所在平面内的动点，且PC =PA PB ⋅ 的取值范围是__________.【答案】①. ②. 24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】建立，利用向量的坐标运算求CA CB + ；设P θθ⎫⎪⎪⎭，利用向量的坐标运算结合辅助角公式可得()1sin 3PA PB θϕ⋅=-+ ，再结合正弦函数的有界性分析求解.【详解】如图，以C 为坐标原点，,AC BC 分别为,x y 轴所在直线，建立平面直角坐标系，则()(()1,0,,0,0A B C ，可得()(1,0,CA CB == ，则(CA CB += ，所以CA CB +== ；因为PC =P θθ⎫⎪⎪⎭，可得1,,PA PB θθθθ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1PA PB θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11sin 33θθθϕ⎫=-=-+⎪⎪⎭，其中cos ϕϕ==，因为()[]sin 1,1θϕ+∈-，所以()124sin ,333PA PB θϕ⎡⎤⋅=-+∈-⎢⎥⎣⎦.24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.15. 已知函数()()1221,1,log 1,1,x x f x x x -⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩若方程()f x m =有三个不等的实根，则实数m 的取值范围是__________；函数()()()()322g x f f x f x =--的零点个数是__________.【答案】①. (]1,2 ②. 4【解析】【分析】作出()f x 大致图象，结合图象可得实数m 的取值范围；令()f x t =，将问题转化为()322f t t =+，根据图象分析得()122f t t =+有两个零点为10t =，()21,2t ∈，从而考虑()1f x t =与()2f x t =根的个数即可求解.【详解】作出()f x大致图象如下：若方程()f x m =有三个不等的实根，由图象可得实数m 的取值范围是(]1,2；令()f x t =，则()3202f t t --=，可得()322f t t =+，且()302f =，结合图象可知方程()322f t t =+的一个根10t =，另一个根()21,2t ∈，当10t =时，()f x 与1y t =的图象有1个交点，所以()1f x t =有1个实根，当()21,2t ∈时，()f x 与2y t =的图象有3个交点，所以()2f x t =有3个实根，综上所述：()g x 共有4个零点.故答案为：(]1,2；4.【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．三､解答题：本大题共5题，共5分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且)2222sin ac B a c b=+-，2a c =.（1）求角B 的大小；（2）求角A 的大小；（3）求2sin cos sin cos sin sin cos A B C A B C C -的值.【答案】（1）π3B =（2）π4A =（3【解析】【分析】（1）根据题意利用余弦定理边化角即可得解；（2）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；（3）可得5π12=C ，代入结合降幂公式分析求解.【小问1详解】因为)2222sin ac B a c b =+-，由余弦定理可得2sin cos =ac B B，则tan B =.又因为0πB <<，所以π3B =.【小问2详解】因为2a c +=，由正弦定理可得sin 2sin A B C =，即π2sin 2sin π33A A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以sin sin A A A +=+，则cos A =.因为0πA <<，所以π4A =.【小问3详解】由（1）（2）可得()5ππ12=-+=C A B ，则2sin cos sin cos sin sin cos A B C A B C C -5π5π1cos sin ππππ66sin cos cos sin 432432-=⋅⋅-⋅⋅12=.17. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 上一点（不含端点），F 为棱BC 的中点.（1）若E 为棱11A B 的中点，（i ）求直线EF 与平面11A BC 所成角的正弦值；（ii ）求平面11A BC 和平面AC 的夹角的余弦值；（2）求直线EF 与11A C 所成角余弦值的取值范围.【答案】（1）（i；（ii（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标；（i ）求出直线EF 的方向向量和平面11A BC 的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；（ii ）分别求出平面11A BC 和平面AC 的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；（2）根据（1）的结论，分别求出直线EF 和直线11A C 的方向向量，利用向量的夹角与线面角的关系，结合对勾函数的性质即可求解.【小问1详解】在正方体1111ABCD A B C D -中以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若E 为棱11A B 的中点，则()()2,1,2,1,2,0E F ，()()()112,2,0,2,0,2,0,2,2B A C .所以()()()1112,2,0,0,2,2,1,1,2A C BA FE =-=-=- .（i ）设平面11A BC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则1110,0,n A C n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即220,220,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，则()1,1,1n = .设EF 与平面11A BC 所成角为α，则有sin cos ,n FE n FE n FEα⋅==== .故直线EF 与平面11A BC.（ii ）易知平面AC 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面PDC 和平面EAC 夹角为β，则有||cos |cos ,|||||m n m n m n β⋅=〈〉=== .故平面11A BC 和平面AC.【小问2详解】设直线EF 与11A C 所成角为(),2,,2(02)E m m θ<<，则()1,2,2FE m =- .所以111111cos cos ,A C FE A C FE A C FE θ⋅=====因为02m <<，所以952m m +>，即1211954m m <-<+-1<<，<<cos θ<<.故直线EF 与11A C所成角余弦值的取值范围为.18. 设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点23⎛ ⎝，且其左焦点坐标为()1,0-.（1）求椭圆的方程；（2）对角线互相垂直的四边形ABCD 的四个顶点都在E 上，且两条对角线均过E 的右焦点，求AC BD +的最小值.【答案】（1）22143x y += （2）487.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆的定义可求方程；的（2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出AC BD +，利用二次函数可得答案.【小问1详解】因为椭圆E 的左焦点坐标为()1,0-，所以右焦点坐标为()1,0,1c =.又椭圆E经过点23⎛ ⎝，所以24,a b =+===所以椭圆的方程为22143x y +=.【小问2详解】①当直线,AC BD 中有一条直线的斜率不存在时，7AC BD +=.②当直线AC 的斜率存在且不为0时，设直线AC 的方程()()11221,,,,x ty A x y C x y =+，由2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，()2212134t AC t +==+.设直线BD 的方程为11x y t =-+，同理得()2212134t BD t +=+，所以()()()22228413434t AC BD t t ++=++，设21m t =+，则1m >，则()()22284848448113141711491224m AC BD m m m m m +===≥+-⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭，所以2m =时，AC BD +有最小值487.综上，AC BD +的最小值是487.19. 已知正项等比数列{}n a 满足1232,12a a a =+=，数列{}n b 的前n 项和为12,1n S b =，当2n ≥时，10n n n S S b -+=.（1）求{}n a 的通项公式：（2）证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求n S ；（3）设数列的前n 项和为n T ，若()29n n T n a λ≤+恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）2n n a =（2）证明见解析，11n S n =+ （3）3λ≤.【解析】【分析】（1）利用等比数列基本量的计算求通项公式；（2）利用n a 与n S 的关系以及等差数列的定义求解；（3）利用错位相减法求和以及基本不等式求解.【小问1详解】设正项等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，由1232,12a a a =+=，得22212q q +=，解得2q =，所以2n n a =.【小问2详解】当2n ≥时，10n n n S S b -+=，所以()110n n n n S S S S --+-=，整理得1111n n S S --=，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11112S b ==为首项，1为公差的等差数列.所以11nn S =+，即11n S n =+.【小问3详解】由（1）､（2）知()12n n na n S =+⋅，所以()1231223242212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ ，①()23412223242212,n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ ②①-②得()()231422212n n n T n +-=++++-+⋅ 12n n +=-⋅,所以12n n T n +=⋅.由()29n n T n a λ≤+得()12292n n n n λ+⋅≤+⋅，即922n nλ≤+，因为9322n n +≥=，当且仅当3n =时，等号成立，所以3λ≤.20. 已知函数()()ln ,a f x x x g x x x =-=+，且函数()f x 与()g x 有相同的极值点.（1）求实数a 的值；（2）若对121,,3e x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()12f x f x k -≤恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：()()e cos x x f x g x x++<.【答案】（1）1（2）()2ln3,∞-+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()f x 的极大值点为1x =，由(1)0g '=可得1a =，经检验可确定1a =；（2）先求得()f x 在1,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，然后分1k >-和1k <-两种情况可得k 的取值范围；（3）所证不等式即为ln e cos 1x x x x -<-，通过证明21cos 1(0)2x x x ->->和21ln e 2x x x x -<-即可证得结果.【小问1详解】令()110f x x'=-=，解得1x =，当()0,1x ∈时，()()0,f x f x '>在()0,1单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<在()1,+∞单调递减，故函数()f x 的极大值点为1x =.令()210a g x x=-='，由题意可得()110g a '=-=，解得1a =，经验证符合题意，故实数a 的值为1.【小问2详解】由（1）知，函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在()1,3单调递减，又()()111,11,3ln33e e f f f ⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，且1ln3311e-<--<-，所以当1,3e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()max min ()11,()3ln33f x f f x f ==-==-，若不等式()()12f x f x k -≤恒成立，则()max min ()()1ln332ln3≥-=---=-k f x f x ，所以k 的取值范围为()2ln3,∞-+.【小问3详解】所证不等式即为ln e cos 1x x x x -<-.先证：21cos 1(0)2x x x ->->，即证21cos 102x x +->在()0,∞+上恒成立，设()()21cos 1,sin 2h x x x h x x x =+-='-+，设()()'=d x h x ，因为()cos 10'=-+>d x x 在()0,∞+上恒成立，所以()h x '在()0,∞+单调递增，则()()00h x h ''>=，所以()h x 在()0,∞+单调递增，则()()00h x h >=，所以21cos 1(0)2x x x >->.再证：21ln e 2x x x x -<-，即证2ln e 12x x x x <-.设()()2ln 1ln ,x x m x m x x x-'==，当()0,e x ∈时，()()0,m x m x '>单调递增，当()e,x ∈+∞时，()()0,m x m x '<单调递减，所以()()1e em x m <=.设()()()232e e 1,2x x x x x x x ϕϕ-=-='，当()0,2x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()2e 1242x ϕϕ>=-.所以22ln 1e 1e 1e 422x x x x <<-<-，即2ln e 12x x x x <-.综上，ln e cos 1x x x x -<-，得证.【点睛】关键点睛：第（3）问的关键点是：将证明ln e cos 1x x x x -<-转化为证明21cos 1(0)2x x x ->->和21ln e 2x x x x -<-.。