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第十章 球函数

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球函数 数学物理方法

球函数 数学物理方法

第十章球函数1000)(',)(0)()()(')()(''c z w c z w z w z q z w z p z w 级数解法一、二阶常微分方程的二阶常微分方程：数。

定解条件，逐个确定系幂级数，并代入方程和的为中心，带有待定系数表示为以级数解法：将方程的解0z ,sin cos 0'"x B x A y y y 的通解为例如：都可展为幂级数。

、处，在x x x sin cos 0 、方程的常点和奇点1为方程的常点。

点解析，则在和）常点：如果（00)()(1z z z q z p 为方程的奇点。

的非解析点，则和是）奇点：如果（00)()(2z z q z p z 否则，为非正则奇点。

为正则奇点；的二阶极点，则的一阶极点，最多是若00)()(z z q z p z00)()(k kk z z c z w 条件确定系数。

递推关系，再根据定解为零，找出系数之间的，令合并后各系数分别代入方程，合并同幂项将00)()(k kk z z c z w 法、常点邻域内的级数解2域内单值解析。

件的解存在，并在此区这个区域中满足定解条内单值解析，则方程在在、）定理：若（R z z z q z p ||)()(10）确定系数（2)0()ln()()()()()0()()()(00,1002000012121b z z z Aw z z b z z z w a z z a z z z w n s s k kks k kks 数解、正则奇点邻域中的级3两个线性无关解为：002010001)()()()()()()()(k kk k kk z z q z q z z z q z z p z p z z z p0)()(k sk k z z c z w 设解的形式为：20)(0)()()(')()(''z z z w z q z w z p z w 两边方程0)()()()(')()()('')(202020 z w z q z z z w z p z z z w z z 0)()()(')()()('')(11020 z w z q z w z p z z z w z z)()()()()()()1)((00000000k sk kk kk k s k k k kk k sk kz z c z z q z z c s k z z p z z c s k s k 零，可得判定方程：令最低次幂项的系数为0)1(00 q sp s s 是较小的根。

球函数

球函数
1
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
−1
1
8
d d 2 dP 2 dP k {Pl [(1 − x ) ] − Pk [(1 − x ) l ]}dx ∫−1 dx dx dx dx
1
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
方程(5)满足自然周期条件的解是
Φ (ϕ ) = A cos mϕ + B sin mϕ
若取m = 0
Φ(ϕ ) = 常数
d 2R dR r + 2r − l (l + 1) R = 0 2 dr dr
2
(6)
1
d d 2 = ∫ [ (1 − x ) Pl ′Pk − (1 − x 2 ) Pl Pk′]dx −1 dx dx
1
= [(1 − x )( Pl′Pk − Pl Pk′ )]
2
1 −1
9
[ k ( k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx l
−1
1
= [(1 − x )( Pl ′Pk − Pl Pk′)]
d 2Θ dΘ (1 − x 2 ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
dΘ d 2Θ (1 − x ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
⎧(1 − x 2 ) y ′′ − 2 xy ′ + l (l + 1) y = 0 ⎪ ——本征值问题 ⎨ ⎪当x = ±1时y ( x)有限 (自然边界条件 ) ⎩

数学物理方法--球函数

数学物理方法--球函数
2
)
12
例4 在本来是匀强的静电场中放置均匀介质球，本来的 电场强度是E0，球的半径是，介电常数是，试求介质 球内外的电场强度
分析：球内电势 球外电势 衔接条件
13
10.2 连带勒让德函数
一. 连带勒让德函数
(1
x2 )
d2 dx2
2x
d dx
[l (l
1)
m2 1 x2
]
0(m
0,1, 2,L
u 0
(r2R' )'l(l 1)R 0
(sin' )'l(l 1) sin 0 (0),( )有界
x cos
r2R"2rR'l(l 1)R 0
[(1 x2 )' ]'l(l 1) 0 (1)有界
R Al rl Bl rl1
f ( )
l 0
Rl
(a)Pl
(cos
)
u
l 0
Rl
(r)Pl
(cos
)
11
例 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为 u0 c，os 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
u 0, r a, / 2
定解问题为：u |rr0 u0 cos
u
|
2
0
问题有反演对称性，对z进行偶延拓后
u 0，r a
u
|ra
u0
cos (
)
y |x1 有限
求对应的本征函数:
m
设 (1 x2 ) 2 y(x) 带入方程整理得:
(1 x2) y 2(m 1)xy [l(l 1) m2]y 0(m 0,1, 2,L )
14

球函数解析式方法

球函数解析式方法

求函数解析式的几种方法山东 胡大波求()f x 解析式方法多，难度大．只有正确求出函数解析式才能进一步研究函数性质，因此本文介绍几种求()f x 解析式的方法，供同学们参考．1．配凑法例１ 已知2(1)2f x x -=+，求()f x ．解：22(1)2(1)2(1)3f x x x x -=+=-+-+，即2()23f x x x =++．2．换元法例2 若2(1)21f x x +=+，求()f x ．解：令1t x =+，则1x t =-，22()2(1)1243f t t t t ∴=-+=-+． 2()243f x x x ∴=-+．3．解方程组法若已知()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 是未知量外，还出现其他未知量（如()f x -，1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭等）．可以利用相互代换得到方程组，消去()f x -或1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而得到()f x 的解析式．例３ 若2()()1f x f x x --=+，求()f x ．解： 2()()1f x f x x --=+，用x -去替换式中的x ， 得2()()1f x f x x --=-+，即有2()()12()()1f x f x x f x f x x --=+⎧⎨--=-+⎩，， 解方程组消去()f x -，得 ()13x f x =+． 4．待定系数法当题设给出函数特征，求函数的解析式时，可用此种方法，如函数为一次函数，可设()(0)f x ax b a =+≠，再利用恒等原理确定其系数．例4 设方程210x x -+=的两根为αβ，，试求满足()f αβ=，()f βα=，(1)1f = 的二次函数()f x 的解析式．解：由已知条件，可得1αβ+=，1αβ= ，显然αβ≠，即0αβ-≠．设二次函数2()(1)f x a x x bx c =-+++．αβ ，为方程210x x -+=的两根，210αα∴-+=且210ββ-+=．222()(1)()(1)(1)(111)1f a b c f a b c f a b c ααααβββββα⎧=-+++=⎪=-+++=⎨⎪=-+++=⎩，，， 可得1b c b c a b c αββα+=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，，， 故111a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，，22()(1)122f x x x x x x ∴=-+-+=-+．5．特值法此法适用于所给的关系式中，无论自变量在定义域内取何值，关系式均成立，通过取某些特殊值代入题设的等式中，有时能使问题具体化、简单化，顺利找出规律，求出解析式．例5 已知(0)1f =，()()(21)()f p q f p q p q p q -=--+∈R ，，求()f x ． 解法1：令0p =，得(0)(0)(1)f q f q q -=--+，即()1(1)f q q q -=--+．又令q x -=，代入上式，得2()1()(1)1f x x x x x =--+=++，2()1f x x x ∴=++．解法2：令p q =，得(0)()(1)f f p p p =-+，即2()1(1)1f p p p p p =++=++， 2()1f x x x ∴=++．。

Chap._10 球函数

Chap._10 球函数
1
d l 1 2 d d l -2 2 l l 1 dx l 1 ( x 1) dx dx l-2 ( x 1) dx
分部积分l次
( 1)l N l2 2 l 2 (l! ) 2 ( 1)l 2l 2 (l! ) 2
1
d l 1 2 d l 1 2 ( x 1)l l 1 ( x 1)l dx 1 dx l 1 dx
4
利用
(k 2)(k 1) ak ak 2 (k l )(k l 1)
k (k 1) ak 2 ak , (k l 2)(k l 1)
l (l 1) l (l 1) (2l )! al 2 al l 2 2(2l 1) ( 2)(2l 1) 2 (l! ) 1 (2l )! (2l 2)! 1 l ( 1) l , ( 2)(2l 1) 2 (l 1)!(l 2)!l 2 (l 1)!(l 2)!
2
2 i i( ) 2
x x 1e
将此代入积分表式

x x 1e
2
i
13
1 1 Pl ( x ) 2i 2l 1 2 1 2 1 2

2



x x 2 1ei 1
2

x 1
2 2 i

l
l 1
2 N l Pl ( x) dx , (l 0,1,2,) 1 2l 1
1 2
18
用
l 1 dl 2 x 1 Pl ( x ) l l 2 l! dx
1 2 N l 2l 2 (l! ) 2 1 2l 2 (l! ) 2 1 2l 2 (l! ) 2

§10.1 轴对称球函数

§10.1 轴对称球函数

u0 cos ，底面绝热，试求这个半球里的
稳定温度分布。
u 0 r r0 u u0 cos 0 r r0 2 即u r r u0 x 0 x 1 0 u 0 即u x x 0 0 2
2l ! al l 2 2 l !
利用已知递推公式
②
k 2 k 1 a ak k 2 k l k l 1
得
2l 2k ! pl x 1 l xl 2k 2 k ! l k ! l 2k ! k 0
2 x3 3x 4 f 0 p0 x f1 p1 x f 2 p2 x f 3 p3 x 3 1 5 3 2 3 f 0 f1 x f 2 x f 2 f 3 x f 3 x 2 2 2 2
得
1 f0 2 f2 4 f 3 f 3 1 2 3 3 f 0 2 2 5 f3 2 2
l 0,1, 2
（参阅教材P280）
（8）广义傅里叶级数
设 f x 在[-1，+1]上连续，则
f x f l pl x l 0 f 2l 1 1 f x p x dx l l 2 1
或
f f l pl cos l 0 f 2l 1 f p cos sin d l 0 l 2
解：（1）轴对称，取球坐标
u 0 r r0 u r 0 有限 u u0 0 r r0 2 u 0 即 u x 0 0 2
u0

球函数

10
2k + 1 Ak = 2a k
∫
+1
−1
半径为r 的半球， 例3 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为u0 cos θ ， 底面绝热， 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
∆ u = 0, r < a , θ < π / 2 定 解 问 题 为 ： u | r = r0 = u 0 cos θ u |θ = π = 0 2
24
∞
∞
右边按球函数展开： 右边按球函数展开：
1 u0 sin 2 θ cos ϕ sin ϕ = u0 (3sin 2 θ ) sin 2ϕ 6 1 = u0 P22 (cos θ ) sin 2ϕ 6
比较系数得: 比较系数得
1 r0 B = u0 6 其它系数为零
2 2 2
方程的解为： 方程的解为：
∑
∞ l =0
( Al r l + B l r − l −1 ) Pl (cos θ )
球内解要求 u ( 0 , θ ) 有界，半通解化为 u=
∑
∞ l =0
Al r l Pl (cos θ )
2
由边界条件得： = x
根据完备性：
∑
∞ l=0
Al a l Pl ( x )
Ax 2 Pk ( x ) dx =
2
∑
k=0
( − 1) k ( 2 l − 2 k ) ! x l−2k 2 l k !( l − k ) !( l − 2 k ) !
♦ 微分表示
d Pl ( x ) = l 2 l ! dx
1
l l
( x 2 − 1) l
展开
l 1 1 l! 2 l ( x − 1) = l ∑ ( x 2 ) ( l − k ) ( − 1) k 2l l! 2 l ! k =0 (l − k ) ! k !

数学物理方法第十章

m m
m 0,1, 2, l l 0,1, 2,
轴对称球函数
1 sin l l 1 0 sin
d 2 d (1 x ) 2 2 x l ( l 1) 0 dx dx
k
[l / 2：小于、等于 ]
P0 ( x ) 1 P 1 ( x ) x cos
2 1 (3 cos 2 1) P2 ( x ) 1 ( 3 x 1 ) 2 4 3 1 (5 cos 3 3 cos ) P3 ( x ) 1 ( 5 x 3 x ) 2 8 1 ( 35 x 4 30 x 2 3) P4 ( x ) 8 1 64

勒让德多项式的完备性：任意一个在区间 [-1,1]中分段连续的函数f(x)，在 平均收敛意义下，可展开为级数
f ( x ) f l Pl ( x ),
2

l 0
lim 平均收敛： N
1

1
f ( x ) f l Pl ( x ) dx 0
l 0
N
15
正交性

al 4
(l 2)(l 3) (l 2)(l 3) (2l 2)! (2l 4)! 2 al 2 (1)2 ( ) 1 4(2l 3) 2 2!(2l 3) 2l (l 1)!(l 2)! 2! 2l (l 2)!(l 4)!
3
问题的引出
u 0
偏微分方程 分离变量
1 2 u 1 u 1 2 u 0 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 2 r r sin r sin r r
常微分方程组 本征值问题 广义傅立叶级数 勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数）

球函数及其在物理学中的应用


二、球函数在物理中的应用举例 1. 球函数在电动力学中的应用 同学们对于轴对称的球函数在求解具有轴对称静电场问题的应用已经比较 熟悉，在这里着重讨论球函数在不具有轴对称性静电场问题的应用。 例：设有一半径为 a 的球，球面上的电势分布为 f (θ,φ )，求球内的电势分布。 解：定解问题为 ∇ 2u = 0 (0 < r < a) u
对其进行归一化，就得到球函数： Yl m (θ , ϕ ) = (l − m )! (2l + 1) m Pl (cos)θ ei mϕ (l + m )! 4π
2. 亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量 将亥姆霍兹方程(含拉普拉斯算符)在球坐标系下分离变量：
k u + ∇ =
2
令
u ( r , θ , ϕ ) = R ( r )Y (θ , ϕ )
Plm (cos θ )Pkm (cos θ ) sin θ dθ = cos nϕ cos mϕ dϕ = π δ n m sin nϕ sin mϕ dϕ = π δ n m cos nϕ sin mϕ dϕ = 0
(l + m !) 2 δl k (l − m !) 2l + 1 (2)
2π 0 2π 0 2π 0
l = 0 m= 0 ∞ l
由球面处的定解条件，有
∑ ∑(A
l = 0 m=0
∞
l
lm
cos mϕ + Bl m sin mϕ )a l Plm (cos θ ) = f (θ , ϕ )
(1)
对于正弦函数、余弦函数及连带勒让德函数，有以下正交归一关系：
∫ ∫ ∫ ∫
sin θdθdϕ 积分，有
π 0
代入亥姆霍兹方程，并令在分离变量过程中引入的常数为 λ，得到角度(θ, φ) 部 分的函数 Y (θ,φ ) 所满足的方程 1 1 ∂ ∂Y 1 ∂ 2Y − sin θ ∂θ + 2 θ ∂ϕ 2 = λ Y sin θ ∂θ sin 显然，这一结果与对三维波动方程分离变量时关于角向分布函数 Ψ 所满足 的方程完全一样，最后也可得到归一化球函数 Yl m (θ,φ )。 通过上面的讨论， 我们可以发现，当含拉普拉斯算符的数理方程在球坐标系 下分离变量时，就可以得到球函数，它反映了某一物理量的角向分布。

大学物理-球函数

(1) 定解问题为
u12ur 10有0限,
(0 r a) u1 ra u0
(1) (2)
2u2 0
(a r )
(3)
u2
ra u0 ,
lim
r
u2
E0 r
cos
(4)
(2) 对称性及通解形式。本题有轴对称性，因为接地 导体为等势体，故球内、外电势可分别表示为
(5)
(3) 定系数。将式 (5) 的 u2 代入式 (4) 得到
函数 Ylm ( , ) 进行展开
(8-3-19)
其中展开系数 Clm 可以利用 Ylm ( , ) 的正交归一性求得
(8-3-20)
d
(d = sindd：立体角元)
(四) 球坐标系下拉普拉斯方程的通解 球坐标系下的拉普拉斯方程为：
分离变量，令 其中： 则，特解为
由叠加原理，得到通解： 通解的另一种形式：
Yl m (0,)
(l
(l
m )!(2l
m )!4
1)
Pl
m
(1)ei
m
由 (8-2-7) 式知，当 m' = 0 时，Pl m (1) 0，而 Pl (1) = 1。故
Yl m (0,)
(2l
4
1)
m0
将上式代入 (8-3-24) 得到
B0
4
2l 1Yl*m源自(',')
Am
4
2l
一方面，如果以 k' 为轴建立球坐标系，则 k'' 的极角和方位
角分别用 , 表示。如前图所示 (图中未画出 角)。
以 , 和 '' , '' 为变量的球函数是 = l (l + 1) 的方
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一、连带勒让德函数：
证 明：
二、连带勒让德函数的正交性：
二、连带勒让德函数的正交性：
二、连带勒让德函数的正交性：
二、连带勒让德函数的正交性：
二、连带勒让德函数的正交性：
三、非轴对称问题：
三、非轴对称问题：
三、非轴对称问题：
三、非轴对称问题：
三、非轴对称问题： 注： （1）球谐函数的正交归一性：
第十章 球函数
§10.1 轴对称问题 一、勒让德多项式的常用性质： 1、特殊值、奇偶性
（1）特殊值：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
（2）奇偶性：
一、勒让德多项式的常用性质：
2、生成函数： 在半径为1的球面上，有一电量为q=4πε0的点电荷，它在P 点产生的电势为：
一、勒让德多项式的常用性质：
证明：
三、非轴对称问题：
三、非轴对称问题：
（2）Ylm（，）的特殊值：
三、非轴对称问题：
证明：
三、非轴对称问题：
三、非轴对称问Байду номын сангаас：
三、非轴对称问题：
三、非轴对称问题：
三、非轴对称问题：
三、非轴对称问题：
一、勒让德多项式的常用性质：
figure meshc(Z,X,Uin) hold on meshc(Z,X,Uout) xlabel('\fontsize{20}z') ylabel('\fontsize{20}x') title('\fontname{宋体}\fontsize{20}级数式的图形')
一、连带勒让德函数： 也可以在极坐标系下绘制连带勒让德函数的图形：
一、连带勒让德函数：
theta=0:0.1:2*pi; rho1=legendre(1,cos(theta)); rho2=legendre(2,cos(theta)); rho3=legendre(3,cos(theta)); subplot(341) polar(theta,rho1(1,:)) title('P_1^0(cos\theta)') subplot(342) polar(theta,rho1(2,:)) title('P_1^0(cos\theta)') subplot(345) polar(theta,rho2(1,:)) title('P_2^0(cos\theta)') subplot(346) polar(theta,rho2(2,:))
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
例题：以勒让德多项式为基，在[-1,1]区间上把f(x)=|x| 展开为广义傅里叶级数。 解：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、连带勒让德函数：
title('P_2^1(cos\theta)') subplot(347) polar(theta,rho2(3,:)) title('P_2^2(cos\theta)') subplot(349) polar(theta,rho3(1,:)) title('P_3^0(cos\theta)') subplot(3,4,10) polar(theta,rho3(2,:)) title('P_3^1(cos\theta)') subplot(3,4,11) polar(theta,rho3(3,:)) title('P_3^2(cos\theta)') subplot(3,4,12) polar(theta,rho3(4,:)) title('P_3^3(cos\theta)')
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
对r求导：
一、勒让德多项式的常用性质：
4、正交性：
一、勒让德多项式的常用性质：
证明：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
5、广义傅里叶级数： 在-1 ≤x ≤1区间上满足与Pl(x)相同边界条件的相当光 滑函数f(x)可作如下展开：
一、勒让德多项式的常用性质：
Rin(find(Rin>1))=NaN; Rout=R; Rout(find(Rout<1))=NaN; Uin=1; Uout=1./Rout; for k=1:20 Leg=legendre(k,cos(Q)); %产生k阶连带勒让德多项式 Legk=squeeze(Leg(1,:,:)); %提取k阶勒让德多项式，移去 单一维数，使其成为矩阵 uin=Rin.^k.*Legk; uout=1./Rout.^(k+1).*Legk; Uin=Uin+uin; Uout=Uout+uout; end
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
均匀带电球产 生的电势
匀强电场产生 感应电荷产生 的电势 的电势
§12.3 非轴对称问题
一、连带勒让德函数： l 阶连带勒 让德方程
l 阶勒让 德方程
一、连带勒让德函数：
例题：画出所有3阶的连带勒让德函数的图形。
解：% Fig1d17.m x=0:0.01:1; y=legendre(3,x); plot(x,y(1,:),'-',x,y(2,:),'-.',x,y(3,:),':',x,y(4,:),'--') xlabel('x') ylabel('y')
一、连带勒让德函数：
title('\fontsize{20}勒让德多项式') legend('P_3^0','P_3^1','P_3^2','P_3^3')
∵ q在z轴上，产生的电势呈轴对称分布
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
一、勒让德多项式的常用性质：
% Fig2d7.m close all clear all [X,Z]=meshgrid([0:0.1:2],[0:0.1:3]); [Q,R]=cart2pol(Z,X); R(find(R==1))=NaN; u=1./sqrt(1-2*R.*cos(Q)+R.^2); meshc(Z,X,u) xlabel('\fontsize{20}z') ylabel('\fontsize{20}x') title('\fontname{宋体}\fontsize{20}母函数的图形') Rin=R;
例题：以勒让德多项式为基函数，在[-1,1]区间上把 f(x)=2x3+3x+4展开为广义傅里叶级数。 解：
一、勒让德多项式的常用性质：
例题：以勒让德多项式为基函数，在[-1,1]区间上把 f(x)=x2展开为广义傅里叶级数。 解：
一、勒让德多项式的常用性质：
例题：导体球半径为a，电量为Q，置于匀强电场中。 求：球体外的电场分布。 解：