高中数学复习课件-含参二次函数的求解B

(2)作 g(t)的图象并写出 g(t) 的最小值
是最值．若x只在某区间内取值，最值与极值便不可混 x1,x2，则x1+x2等于_________.
解：若m=0，则f(x)=-3x+1, 显然满足要求. ③零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
淆了. ,当a>0 时, 图象开口向上;当a<0 时,图象开口向下.
能力·思维·方法
例6.已知对于x的所有实数值，二次函数
fx x 2 4 a 2 x a 1 a 2 R
的值都非负，求关于x的方程 x a12的根的范围.
解解题：分解 由析已：得知由3得已，知a△方2≤程0,即a(x-42aa)2|-2a4(21a|+122将)≤0x,表示为 a 的
函(数1)当 ，这3样求a2方程1时 根的，问原题方就程转化化为成x求=-函a2数+a值+6域的问题。
③零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 【解题回顾】①在本题解题过程中，容易将f(x)=mx2+(m-3)x+1看成是二次函数，从而忽视对m=0的讨论
f(x)=x2-4x-4在闭区间[t，t+1] (t ∈R)上的最小值记为g(t).
②顶点式 f(x)=a(x-h)2+k (a≠0)；
f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m，n]上的最值问题． 一般情况下，需要分：-b/2a＜m，m≤-b/2a≤n和-b/2a＞n三 种情况讨论解决.
f(x)=ax2+bx+c=0的区间根问题．一般情况下，需要从三个 方面考虑：
①判别式；
②区间端点函数值的正负；
③对称轴 x=-b/2a 与区间端点的关系

3 二次函数的单调性
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
4 二次函数的极值
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 0)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递减，求$a$的取值范围。
提高习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 1)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递增，求$a$的取值范围。
04
下一步学习计划
01
深入学习其他类型的函数，如 三角函数、指数函数等，进一 步拓展数学知识面。
02
加强数学练习，通过大量的习பைடு நூலகம்题训练提高自己的解题能力和 数学思维能力。
03
学习数学中的其他重要概念和 定理，如导数、积分等，为后 续的学习打下坚实的基础。
04
参加数学竞赛或课外活动，与 其他同学一起探讨数学问题， 共同进步。
基础习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 2$处取得最小值，求$a$的取值范围。
基础习题3

解：f (x) ax2 2x 1, x 1,2, a 0,
当2
2 时，即0 a 1，此时f a
(x)max
f
(0)
1;
当a 1时，f (x)max f 2 4a 3
所以f
(
x)max
1，0 4a
a 3,
a
1
1
变式5：f (x) x2 2ax 1, x 1,2，a ,1的最大值
第三章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
高中数学复习课 §3.4 二次函数的最值问题探究
引题： 一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c
在同一坐标系中的图象大致是
（
）
√
思考：参数a,b,c对二次函数图象的影响？
例：f (x) x2 2x 1, x 1,2的最大值与最小值
轴动区间定
1 3
1 3
(－∞，－1)∪23，23
4.若(a＋1) <(3－2a) ，则实数a的取值范围是__________________.
自主演练
3.幂函数f(x)＝x a 2－10 a＋23(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
则a等于
A.3
√ B.4 C.5 D.6
解析 因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
f(x)＝x(a－5)2－2 (a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6， 又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
§3.4 幂函数
特殊探究：当 0时？
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析
y＝xα 的图象特征：
（1）第一象限 （2）第二、三象限

一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1）
y=ax2+bx+c
由条件得：
y
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
点M( 0,1 )在抛物线上
所以：a(0+1)(0-1)=1
x o
顶点式： y=a(x-h)2+k
得： a=-1 故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
.
23
4.求抛物线解析式的三种方法
例题精讲
例1.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、
（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
由条件得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
有两个相等的
解
x1=x2=
b 2a
没有实数根
O
x
19
基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是(D )
A y=2x2 – 3
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x
轴交点情况是( C )
（1）抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三
点。
yx2 x2
（2）抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴
的一个交点的横坐标是8。
y1(x6 )221x26x 1 6

看作动区间沿x轴移动的过程中，函数最 值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧 及包含定轴的变化，要注意开口方向及端 点情况。
典型例题讲授
，
例3、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. x∈[ t，t+1 ]，求函数f(x)的最小值；
解：f (x) x2 2x 3 的对称轴是 x 1
当 1[t,t 1] 即 0 t 1 时
所以：f
( x)min
6a 1
13, a 2 2a,a 2
变式练习一
1、求二次函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最小值？
解：由题知， 函数f(x)的对称轴为x=a，开口向上
若 a 0 ，则函数f(x)的最小值为f(0)=—1
若 0 a 2 ，则函数f(x)的最小值为 f (a) a2 1
含参数的二次函数最值问题 高中数学教师欧阳文丰
二次函数图象及性质
解析式
f x a x2 bx c(a 0)
开口
a>0
a<0
图象
y
O
x
y
O
x
对称轴
x b 2a
顶点坐标 最值
b 2a
,
4ac 4a
b
2
最小值为 4ac-b2
4a
最大值为 4ac-b2
4a
闭区间上二次函数的最值解题方法
求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上的
最值或值域的一般方法是：
（1）判断x0=
b 2a
是否属于
[
m，n]；
（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0）
中的较大者是最大值,较小者是最小值；
（3）当x0 [m，n]时，f(m)、f(n)中的较大

二次函数的极坐标表示
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$在极 坐标系下的表示为$r = a\cos^{2}\theta + b\cos\theta + c$。
05
二次函数的应用实例
生活中的二次函数应用
打篮球的抛物线
篮球运动员投篮时，篮球的运动 轨迹可以近似为二次函数。通过 调整投篮角度和力度，可以最大
数是偶函数。
03
二次函数的公式与运算
二次函数的公式
标准的二次函数公式
y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为系数，且a≠0。
顶点式
y = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标。
交点式
y = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为与x轴的交点坐标。
二次函数的运算规则
解
根据顶点式，可知顶点坐标为(1.5, -0.75)；根据交点式，可知 与x轴的交点坐标为(2.5, 0)和(2.5, 0)；与y轴的交点坐标为(0, 5)。
例题2
已知二次函数y = -3x^2 + 6x + 9，求函数的对称轴和最小值。
04
二次函数的图像变换
平移变换
水平平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向右平移$m$个单位，得到新的 二次函数$y = a(x - m)^{2} + b(x - m) + c$。
垂直平移
二次函数$y = ax^{2} + bx + c$ 向上平移$n$个单位，得到新的 二次函数$y = ax^{2} + bx + c + n$。

翻折变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行翻转。
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。

f (x)
x1
x2
0
x
(1 0 )方 程 有 一 正 根 一 负 根
可用韦达定理表达式来书写：ac<0
也可 f(0)<0
( 6 ) x 1 ， x 2 有 且 只 有 一 个 根 在 （ k 1 , k 2 ） 内
0
k1
f(k1)f(k2)0
k2
k1
或
b
k2
k1 2a k2
k1
k2
称轴方(2)程顶为点_坐__x标_＝_是_－_____2－_b_a___2_b_a__，_____4___a__c4，_－a__b_2______；
向上 (3) 开口方向；当 a＞0 时，开口_____ ，当 a＜0 时，开
口__向___下___．
(4)值域：当a＞0时，值域为
，
当a＜0时，值域为
可用韦达定理表达式来书写：ac<0
也可 f(0)<0
例1.m为何实数值时，关于x的方程 x2mx+(3+m)0
（1）有实根 （2）有两正根 （3）一正一负
解： 寻求等价条件
(1)m 24(3+m )0， m 24m 120 得 ： m 6或 m 2.
0
m6或 m2
(2) x1+x20得 m0
得 ： m6
n个a
（2）特殊：a0 1(a 0) ，
（3） an 1 (a 0, n N*)
an
新疆 王新敞
奎屯
（4）正分数指数幂：
m
a a n n m（ a>0,m,n N 且 n>1）
注意:在分数指数幂里,根指数作分母,幂指数作分子.
（5）正数的负分数指数幂:

0, 范围是_______________ .


3 已知二次函数f x 的二次项系数为1,且满足f 1 x 2 x 2x 1 f 1 x , f 2 1, 则f x _________ _. 2 4 若函 数 f x m 1 x 2mx 3是偶函数,则f x 的单调
, 3 . 数, 则实数a的取值范围是_____________
3 若定义在R上的奇函数f x 满足f x xf x 2 x， x0 则方程f x 0的根为_______________ .
二次函数
要点扫描
考点例析
方法指南
纠错笔记
所以f x 4x2 16x 48.
二次函数
要点扫描
考点例析
方法指南
纠错笔记
评注
二次函数的表示方法有三种： 一般式：y ax 2 bx c a 0 ； 顶点式：y a x b c a 0 ；
2
交点式：y a x x1 x x2 a 0 . 根据条件可任选一种来表示二次函数.本题采用了交点式. 根据题目条件, 也可以采用顶点式, 因为x 2或6是f x 0 的两个根, 所以x 2是其对称轴方程, 于是设f x a x 2 c.
考点1
二次函数的解析式
例1. 2008 嘉兴一中模拟 已知函数f x a x 2 a 2 x 2b a 3 , 当x 2, 6 时, f x 0, 当x , 2 且f 0 48, 求f x .
6, 时,f x 0,
,0 . 递增区间为_____________

y
6
平行于 x 轴的直线有什么特点呢？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5 4
（3）记抛物线在 A，B 之间的部分为图象 G（包含 A，
3
B
2
1
B 两点），若对于图象 G 上任意一点 P（ xP ，yP ），
–6 –5 –4 –3 –2 –1O
–1
1 2 3 4 5 6x
–2
yP 2 ，求 m 的取值范围．
–3
–4
–5
纵坐标≤2，可以转化成什么？
–6
答案：答案
（1）m； （2）∵ 抛物线 y mx2 2m2 x 2 与 y 轴交于 A 点，
∴ A（0，2）．∵ AB∥x 轴，B 点在直线 x=4 上， ∴ B（4，2），抛物线的对称轴为直线 x=2. ∴ m=2．∴ 抛物线的表达式为 y 2x2 8x 2 .
（3）当 m 0 时，如图 1．
1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.利用待定系数法求二次函数解析式.
3.学会用数形结合、分类讨论的思想方法解决含参数的二次函数综合问题.
考点定位 在历年中考中，该专题一般以解答题中压轴题出现，分值12分. 主要考查的 知识有： 1、二次函数解析式中的变量系数的变化或图形中某些数学元素(点、线、形 等)的运动为出发点，酝酿与探究函数图象的变与不变或相关几何图形的形状、 位置、大小的变化； 2、对函数图象进行旋转、翻折与平移等，使数学背景(函数的解析式、最值 及相关几何图形的形状、位置及大小)发生变化，进而不断酝酿与生成新的数学 问题、探究点.
∵ A0，2 ，∴要使 0 xP 4 时，始终满足 yP 2 ，
只需使抛物线 y mx2 2m2 x 2 的对称轴与直线 x=2 重合或在

回味无穷
课后作业
从本节课件中选择四道题； 或者自选四道与“含参数的二次函数”有 关的题. 温馨提示：题目和解答一并写在数学作业 本上.
预习《优等生数学》九年级的第42、43节
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
谢谢大家！本文档为精心编制而成，您可以在下载后自由修改和打印，希望下载对您有帮助！
提高练习
练3. 方程x2+(2m-1)x+(m-6)=0有一个根不大于-1，另 一根不小于1. （1）求m的取值范围； （2）求两根平方和的最大值和最小值.
拓展练习——联赛真题
练4. （06年浙江）已知二次函数
y x 2 2 (m 1 )x m 1.
（1）随着m的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在 某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的表达式；如 果不是，请说明理由； （2）如果直线y=x+1经过该二次函数图象的顶点P，求 此时m的值.
yA
E
1 x2a5的图象与x轴只
4
有一个交点. (1)求a的值； (2)求a4－3a+2013的值．
提高练习
练2. 是否存在这样的实数k，使得二次方程 x 2 (2 k 1 )x ( 3 k 2 ) 0有两个实数根，且两 根都在2与4之间？如果有，试确定k的取值范围， 如果没有，试说明理由.
第二十六章 二次函数
26.10 含参数的二次函数
经典例题
例.（05年深圳中考）已知△ABC是边长为4的等
边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A
在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，
点B（－1，0），
（1）求点A、E的坐标；

2
由题 kf (1) 0, k (2k 2 3k 2) 0, （ k k 4）>0即 k 0或k 4.
(2) 已知二次方程 (m 2) x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（ 1， 0）和（， 1 2）求 m 的取值范围.
f (-1)f (0) 0 (2m 1)(2m 1) 0 解：由题 f (1)f (2) 0 (4m 1)(8m 7) 0 1 1 m 1 1 2 2 m 4 2 1 m 7 8 4
m
h k
m
h k
例5： 已知函数y=x2+2x-3 且x [-2，2],
求函数的最值？
例6：已知函数y=-x2-2x+3且x[0，2],
求函数的最值？
二、含参变量的二次函数最值问题 1、轴动区间定 2、轴定区间动 例7：求函数y=x2+2ax+3在x[-2,2]时的 最值？
-a
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
1 二次方程有两异号实数根的充要条件是x1 x2
c 0； a
0 b 2 有 两正 实数根的充要条件是 x x 0； 1 2 a c x1 x2 0 a 0 b 3 有 两负 实数根的 充要条件是 x x 0. 1 2 a c x1 x2 0 a
3.实根分布问题
★一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
(1)、当x为全体实数时的根
(1)当 b 2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
(2)当 b 2 4ac 0时， 方程有两个相等的实数根 2 (3)当 b 4ac 0时， 方程没有实数根

拾级而上
变式2 已知二次函数y = ax2 +4ax+4a+（1 a为常数且a < 0) 的图像经过P （x1，y1）、Q（x2，y2），设n≤x1≤n+1， 当x2≥3时，y1≥y2，要求出 实数n的取值范围．
拓展提升
已知函数 y = x2 - 2kx+k 2 - 1 k -（1 k为常数且k > 2）
二次函数含参问题
——函数值大小比较及最值问题
基础热身
例1 已知二次函数 y = ax2 +4ax+4a+（1 a为常数且 a ≠0) 中， 二次项、一次项、常数项中含有参量a，像这样的二次函数 叫作含参二次函数．
（1）由这个二次函数的关系式，你能得到哪些结论？ （2）若该二次函数的图像经过点P（-1，y1 ）、Q（2， y2 ），你能 比较y1 和 y2 的大小关系吗？
2
（1）当2≤x≤3时，该抛物线对应的函数有最小值-2，求k的值； （2）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线， 当3≤x≤4时， 新抛物线对应的函数有最小值-2，求k的值．
回顾反思
问题1：在本课3个题组求解过程中，你觉得它们之间有怎样的联系？ 问题2：你在解决含参二次函数问题时，有哪些经验值得积累，先在 小组内交流，再汇总后由组长在全班汇报你们小组最小值，越靠近对称轴越小
开口向下，有最大值，越靠近对称轴越大 代入法： 作差，解不等式 函数值大小比较题型 定轴动区间：移动点的位置，比较点到对称轴距离的大小 动轴定区间：移动对称轴，对称轴在区间内，则对称轴处取到最值
对称轴不在区间内，则根据函数的增减性确定最值
拾级而上
例2 已知二次函数 y = ax2 +4ax+4a+（1 a为常数且a <0) 的图像经 过点P（n，y1）、Q（n+1，y2）

第10页
高考一轮总复习•数学
第11页
2．若一次函数 y＝ax＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y＝ax2＋bx(a≠0) 的图象只可能是( )
解析：因为一次函数 y＝ax＋b 的图象经过第二、三、四象限，所以 a＜0，b＜0，所 以二次函数的图象开口向下，对称轴方程 x＝－2ba＜0.只有选项 C 符合，故选 C．
高考一轮总复习•数学
第27页
二次函数的图象与对称性 (1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析．“三点”中有一个点是顶点， 另外两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与 x 轴的交点；“一线”是指对称轴 这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． (2)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依 据其图象的对称轴、开口方向进行分类讨论．
高考一轮总复习•数学
第13页
4．已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数 f(x)的最小值为 f(－ 1)＝0，则 f(x)＝___x_2_＋__2_x_＋__1___.
解析：设函数 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a(a≠0)，又 f(x)＝ax2＋bx＋1， 所以 a＝1，故 f(x)＝x2＋2x＋1.
依据对称轴和区间的三种情形，讨论三次最小值 .21a＜1， ymin＝f1
或
1≤21a≤2， ymin＝f21a
或
21a＞2， ymin＝f2.
高考一轮总复习•数学
第31页
解：(1)配方，得 y＝(x＋2)2－6. 因为 x∈[－6，－3]， 所以当 x＝－3 时，ymin＝－5； 当 x＝－6 时，ymax＝10. 故函数的值域是[－5,10]． (2)①当 0＜21a＜1，即 a＞12时，f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时 g(a)＝f(1)＝3a－2. ②当 1≤21a≤2，即14≤a≤12时，f(x)在区间1，21a上单调递减，在区间21a，2上单调递 增，此时 g(a)＝f21a＝2a－41a－1.

判别式意义
当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等 的实根，抛物线与 $x$ 轴有两个交点。
02
二次函数与一元二次方程 关系
一元二次方程求解方法
01
02
03
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，从 而求解。
因式分解法
首先，通过配方将二次函数转 化为顶点式f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。然后， 根据二次函数的性质，对称轴 为x = h，顶点坐标为(h, k)。最 后，代入具体的a、b、c值求解。
已知二次函数f(x) = x^2 - 2x， 求在区间[-1, 3]上的最值。
首先，将二次函数配方为f(x) = (x - 1)^2 - 1，确定对称轴为x = 1。然后，根据二次函数的单 调性，在区间[-1, 1]上单调递减， 在[1, 3]上单调递增。因此，在x = 1处取得最小值f(1) = -1，在 x = 3处取得最大值f(3) = 3。
04
根的判别式Δ=b²-4ac可 以用于判断二次函数与x 轴交点的个数。
当Δ>0时，二次函数与x 轴有两个不同的交点。
当Δ=0时，二次函数与x 轴有一个重根，即一个 交点。
当Δ<0时，二次函数与x 轴无交点。
03
二次函数图像变换与性质 分析
平移变换对图像影响
平移方向
二次函数图像在平面直角坐标系中可 沿x轴或y轴方向进行平移。
04
二次函数在实际问题中应 用举例
利润最大化问题建模与求解
1 2 3
问题描述
某公司生产一种产品，其成本和销售价格与产量 之间存在一定的关系。公司希望通过调整产量来 实现利润最大化。

22.1.1 二次函数
二次函数
22.1.1 二次函数
学习目标
1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式；（重点） 2. 会利用二次函数的概念解决问题； 3. 能根据实际问题列二次函数关系式.（难点）
22.1.1 二次函数
知识回顾
1. 什么是函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且
22.1.1 二次函数
想一想 问题 1~3 中函数关系式有什么共同点?
y = 6x2 m 1 n2 1 n
22
y = 20x2 + 40x + 20
函数都是用 自变量的二次整
式表示的
22.1.1 二次函数
归纳总结 二次函数的定义：
一般地，形如 y = ax²+ bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的 函数叫做二次函数.其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式 的二次项系数、一次项系数和常数项.
(7) 次y=数x是²+1x³+25（否）
自变量的最高次数是3
(8) y =2²+2x （否） 自变量的最
高次数是1
22.1.1 二次函数
例2 y m 3 xm27.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
m2 7 1,
解：（1）由题可知,
m
3
0,
解得
温馨提示：
(1) a，b，c 为常数，且 a≠0； (2) 等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (3) 等式的右边自变量的最高次数为 2，可以没有一次项和常数项， 但不能没有二次项.
22.1.1 二次函数
典例精析