二次函数含参问题

二次函数专题——含参二次函数完整版题型汇总含参的二次函数在高中阶段考试中经常出现，因为参数的存在使得函数形成一种动态，随着参数的变化，函数也会不同。

这就使得本来简单的二次函数变得复杂起来。

例如，考虑求解$f(x)=x-2ax$在$[2,4]$上的最大值和最小值。

由于参数的存在，这个函数是动态的。

为了解决这个问题，我们需要考虑动轴定区间问题，即对称轴随着参数的变化而变化，但是在给定区间上问最大值和最小值。

对于这个问题，需要分类讨论。

在$[2,4]$这个区间上，可能出现对称轴不在这个区间里面的情况，对称轴就在区间里面的情况，或者对称轴在区间右侧的情况。

因此，我们需要分别考虑这些情况。

具体来说，我们需要找到在整个函数的区间上，哪个数离对称轴最远。

这个分界线就应该在$2$和$4$中间的位置上，即$3$。

当对称轴在$x=3$这条线左边的时候，对称轴离$2$就比较近，离$4$就比较远；对称轴在右边的时候，离$2$就比较近，离$4$就比较远。

因此，这个函数的最大值可以表示为：f_{\max}(x)=\begin{cases}f(4)=16-8a& (a\leq 3)\\f(2)=4-4a&(a>3)\end{cases}$$当$a=3$时，放在哪边都可以。

代入上面的式子，得到$f_{\max}(x)=-8$。

因此，最大值为$-8$。

接下来，我们来讨论含参的二次函数的最大值和最小值问题。

这类问题的重点在于能否清晰地做分类讨论，得到一个分段函数的解析式。

我们可以按照对称轴的位置进行分类讨论。

首先，对于对称轴在区间左侧，且$a\leq 2$的情况，函数在$x=2$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(2)=4-4a$。

其次，对于对称轴在区间中间，即$24$的情况，函数在$x=4$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(4)=16-8a$。

另外，还有一类问题叫做定轴动区间的问题。

对于这类问题，我们同样需要进行分类讨论，只不过区间在变化。

解答题压轴题纯含参二次函数问题模块一2022中考真题集训1.(2022•北京)在平面直角坐标系xOy 中，点(1，m )，(3，n )在抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)上，设抛物线的对称轴为直线x =t ．(1)当c =2，m =n 时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；(2)点(x 0，m )(x 0≠1)在抛物线上．若m <n <c ，求t 的取值范围及x 0的取值范围．思路引领：(1)将点(1，m )，(3，n )代入抛物线解析式，再根据m =n 得出b =-4a ，再求对称轴即可；(2)再根据m <n <c ，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x 0的取值范围．解：(1)法一、将点(1，m )，(3，n )代入抛物线解析式，∴m =a +b +c n =9a +3b +c，∵m =n ，∴a +b +c =9a +3b +c ，整理得，b =-4a ，∴抛物线的对称轴为直线x =-b 2a =--4a 2a=2；∴t =2，∵c =2，∴抛物线与y 轴交点的坐标为(0，2)．法二、当m =n 时，点A (1，m )，B (3，n )的纵坐标相等，由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为x =1+32，∴t =2，∵c =2，∴抛物线与y 轴交点的坐标为(0，2)．(2)∵m <n <c ，∴a +b +c <9a +3b +c <c ，解得-4a <b <-3a ，∴3a <-b <4a ，∴3a 2a <-b 2a <4a 2a ，即32<t <2．由题意可知，点(x 0，m )与点(1，m )关于x =t 对称；∴t =x 0+12；当t =32时，x 0=2；当t =2时，x 0=3．∴x 0的取值范围2<x 0<3．综上，t 的取值范围为：32<t <2；x 0的取值范围2<x 0<3．总结提升：本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解．2.(2022•安顺)在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如：点(1，1)，12，12，(-2，-2)，⋯⋯都是和谐点．(1)判断函数y =2x +1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；(2)若二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的图象上有且只有一个和谐点52，52．①求a ，c 的值；②若1≤x ≤m 时，函数y =ax 2+6x +c +14(a ≠0)的最小值为-1，最大值为3，求实数m 的取值范围．思路引领：(1)设函数y =2x +1的和谐点为(x ，x )，可得2x +1=x ，求解即可；(2)将点52，52代入y =ax 2+6x +c ，再由ax 2+6x +c =x 有且只有一个根，Δ=25-4ac =0，两个方程联立即可求a 、c 的值；②由①可知y =-x 2+6x -6=-(x -3)2+3，当x =1时，y =-1，当x =3时，y =3，当x =5时，y =-1，则3≤m ≤5时满足题意．解：(1)存在和谐点，理由如下，设函数y =2x +1的和谐点为(x ，x )，∴2x +1=x ，解得x =-1，∴和谐点为(-1，-1)；(2)①∵点52，52 是二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的和谐点，∴52=254a +15+c ，∴c =-254a -252，∵二次函数y =ax 2+6x +c (a ≠0)的图象上有且只有一个和谐点，∴ax 2+6x +c =x 有且只有一个根，∴Δ=25-4ac =0，∴a =-1，c =-254；②由①可知y =-x 2+6x -6=-(x -3)2+3，∴抛物线的对称轴为直线x =3，当x =1时，y =-1，当x =3时，y =3，当x =5时，y =-1，∵函数的最大值为3，最小值为-1；当3≤m ≤5时，函数的最大值为3，最小值为-1．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合解题是关键．3.(2022•长沙)若关于x 的函数y ，当t -12≤x ≤t +12时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数h =M -N 2，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．(1)①若函数y =4044x ，当t =1时，求函数y 的“共同体函数”h 的值；②若函数y =kx +b (k ≠0，k ，b 为常数)，求函数y 的“共同体函数”h 的解析式；(2)若函数y =2x(x ≥1)，求函数y 的“共同体函数”h 的最大值；(3)若函数y =-x 2+4x +k ，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数“h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．思路引领：(1)①由题意求出M =6066，N =2022，再由定义可求h 的值；②分两种情况讨论：②当k >0时，M =kt +12k +b ，N =kt -12k +b ，h =12k ；当k <0时，M =kt -12k +b ，有N =kt +12k +b ，h =-12k ；(2)由题意t -12≥1，M =2t -12，N =2t +12，则h =44t 2-1，所以h 有最大值12；(3)分四种情况讨论：①当2≤t -12时，M =-t -12-2 2+4+k ，N =-t +12-2 2+4+k ，h =t -2；②当t +12≤2时，N =-t -12-2 2+4+k ，M =-t +12-2 2+4+k ，h =2-t ，；③当t -12≤2≤t ，即2≤t ≤52，N =-t +12-2 2+4+k ，M =4+k ，h =12t -32 2；④当t <2≤t +12，N =-t -12-2 2+4+k ，M =4+k ，h =12t -52 2，画出h 的函数图象，结合图象可得18=4+k ，解得k =-318．解：(1)①∵t =1，∴12≤x ≤32，∵函数y =4044x ，∴函数的最大值M =6066，函数的最小值N =2022，∴h =2022；②当k >0时，函数y =kx +b 在t -12≤x ≤t +12有最大值M =kt +12k +b ，有最小值N =kt -12k +b ，∴h =12k ；当k <0时，函数y =kx +b 在t -12≤x ≤t +12有最大值M =kt -12k +b ，有最小值N =kt +12k +b ，∴h =-12k ；综上所述：h =12k；(2)t -12≥1，即t ≥32，函数y =2x (x ≥1)最大值M =2t -12，最小值N =2t +12，∴h =44t 2-1，当t =32时，h 有最大值12；(3)存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数“h 的最小值，理由如下：∵y =-x 2+4x +k =-(x -2)2+4+k ，∴函数的对称轴为直线x =2，y 的最大值为4+k ，①当2≤t -12时，即t ≥52，此时M =-t -12-2 2+4+k ，N =-t +12-2 2+4+k ，∴h =t -2，此时h 的最小值为12；②当t +12≤2时，即t ≤32，此时N =-t -12-2 2+4+k ，M =-t +12-2 2+4+k ，∴h =2-t ，此时h 的最小值为12；③当t -12≤2≤t ，即2≤t ≤52，此时N =-t +12-2 2+4+k ，M =4+k ，∴h =12t -32 2，∴h 的最小值为18；④当t <2≤t +12，即32≤t <2，此时N =-t -12-2 2+4+k ，M =4+k ，∴h =12t -52 2，∴h 的最小值为18；h 的函数图象如图所示：h 的最小值为18，由题意可得18=4+k ，解得k =-318；综上所述：k 的值为-318．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，根据定义结合所学的一次函数、反比例函数、二次函数的图象及性质综合解题，分类讨论是解题的关键．4.(2022•广州)已知直线l ：y =kx +b 经过点(0，7)和点(1，6)．(1)求直线l 的解析式；(2)若点P (m ，n )在直线l 上，以P 为顶点的抛物线G 过点(0，-3)，且开口向下．①求m 的取值范围；②设抛物线G 与直线l 的另一个交点为Q ，当点Q 向左平移1个单位长度后得到的点Q ′也在G 上时，求G在4m5≤x≤4m5+1的图象的最高点的坐标．思路引领：(1)用待定系数法求解析式即可；(2)①设抛物线的解析式为y=a(x-m)2+7-m，将点(0，-3)代入可得am2+7-m=-3，再由a= m-10m2<0，求m的取值即可；②由题意求出Q点的横坐标为m+12，联立方程组y=-x+7y=a(x-m)2+7-m，整理得ax2+(1-2ma)x+am2-m=0，根据根与系数的关系可得m+m+12=2m-1a，可求a=-2，从而可求m=2或m=-52，确定抛物线的解析式后即可求解．解：(1)将点(0，7)和点(1，6)代入y=kx+b，∴b=7k+b=6 ，解得k=-1 b=7 ，∴y=-x+7；(2)①∵点P(m，n)在直线l上，∴n=-m+7，设抛物线的解析式为y=a(x-m)2+7-m，∵抛物线经过点(0，-3)，∴am2+7-m=-3，∴a=m-10m2，∵抛物线开口向下，∴a<0，∴a=m-10m2<0，∴m<10且m≠0；②∵抛物线的对称轴为直线x=m，∴Q点与Q'关于x=m对称，∴Q点的横坐标为m+12，联立方程组y=-x+7y=a(x-m)2+7-m ，整理得ax2+(1-2ma)x+am2-m=0，∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点，∴m+m+12=2m-1a，∴a=-2，∴y=-2(x-m)2+7-m，∴-2m2+7-m=-3，解得m=2或m=-5 2，当m=2时，y=-2(x-2)2+5，此时抛物线的对称轴为直线x=2，图象在85≤x≤135上的最高点坐标为(2，5)；当m=-52时，y=-2x+522+192，此时抛物线的对称轴为直线x=-5 2，图象在-2≤x≤-1上的最高点坐标为(-2，9)；综上所述：G在4m5≤x≤4m5+1的图象的最高点的坐标为(-2，9)或(2，5)．总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式，分类讨论是解题的关键．5.(2022•贵阳)已知二次函数y=ax2+4ax+b．(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a，b的代数式表示)；(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(-1，e)，(-3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当-2≤m≤1时，n的取值范围是-1≤n≤1，求二次函数的表达式．思路引领：(1)将二次函数解析式化为顶点式求解．(2)分类讨论a>0，a<0，根据抛物线对称轴及抛物线开口方向求解．(3)分类讨论a>0，a<0，由抛物线开口向上可得m=-2时，n=-1，m=1时，n=1，由抛物线开口向下可得m=-2时，n=1，m=1时，n=-1，进而求解．解：(1)∵y=ax2+4ax+b=a(x+2)2-4a+b，∴二次函数图象的顶点坐标为(-2，-4a+b)．(2)由(1)得抛物线对称轴为直线x=-2，当a>0时，抛物线开口向上，∵3-(-2)>1-(-2)>(-1)-(-2)=(-2)-(-3)，∴d>c>e=f．当a<0时，抛物线开口向下，∵3-(-2)>1-(-2)>(-1)-(-2)=(-2)-(-3)，∴d<c<e=f．(3)当a>0时，抛物线开口向上，x>-2时，y随x增大而增大，∴m=-2时，n=-1，m=1时，n=1，∴-1=4a-8a+b 1=a+4a+b，解得a=29b=-19，∴y=29x2+89x-19．当a<0时，抛物线开口向下，x>-2时，y随x增大而减小，∴m=-2时，n=1，m=1时，n=-1，∴b-4a=1a+4a+b=-1 ，解得a=-29b=19．∴y=-29x2-89x+19．综上所述，y=29x2+89x-19或y=-29x2-89x+19．总结提升：本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．6.(2022•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a>0)的顶点为P，与x轴相交于点A( -1，0)和点B．(Ⅰ)若b=-2，c=-3，①求点P的坐标；②直线x=m(m是常数，1<m<3)与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；(Ⅱ)若3b=2c，直线x=2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．思路引领：(Ⅰ)①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P的坐标；②求出直线BP的解析式，设点M(m，m2-2m-3)，则G(m，2m-6)，表示出MG的长，可得关于m 的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；(Ⅱ)由3b=2c得b=-2a，c=-3a，抛物线的解析式为y=ax2-2a-3a．可得顶点P的坐标为(1，-4a)，点N的坐标为(2，-3a)，作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，得点P′的坐标为(-1，-4a)，点N'的坐标为(2，3a)，当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+ EN取得最小值，此时，PF+FE+EN=P'N'=5延长P'P与直线x=2相交于点H，则P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H=3，HN'=3a-(-4a)=7a．由勾股定理可得P'N′2=P'H2+HN2=9+49a2=25．解得a1=47，a2=-47(舍)．可得点P'的坐标为-1，-167，点N′的坐标为2，127．利用待定系数法得直线P 'N ′的解析式为y =43x -2021．即可得点E ，F 的坐标．解：(Ⅰ)①若b =-2，c =-3，则抛物线y =ax 2+bx +c =ax 2-2x -3，∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于点A (-1，0)，∴a +2-3=0，解得a =1，∴抛物线为y =x 2-2x -3=(x -1)2-4，∴顶点P 的坐标为(1，-4)；②当y =0时，x 2-2x -3=0，解得x 1=-1，x 2=3，∴B (3，0)，设直线BP 的解析式为y =kx +n ，∴3k +n =0k +n =-4，解得k =2n =-6 ，∴直线BP 的解析式为y =2x -6，∵直线x =m (m 是常数，1<m <3)与抛物线相交于点M ，与BP 相交于点G ，设点M (m ，m 2-2m -3)，则G (m ，2m -6)，∴MG =2m -6-(m 2-2m -3)=-m 2+4m -3=-(m -2)2+1，∴当m =2时，MG 取得最大值1，此时，点M (2，-3)，则G (2，-2)；(Ⅱ)∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于点A (-1，0)，∴a -b +c =0，又3b =2c ，b =-2a ，c =-3a (a >0)，∴抛物线的解析式为y =ax 2-2ax -3a ．∴y =ax 2-2ax -3a =a (x -1)2-4a ，∴顶点P 的坐标为(1，-4a )，∵直线x =2与抛物线相交于点N ，∴点N 的坐标为(2，-3a )，作点P 关于y 轴的对称点P '，作点N 关于x 轴的对称点N '，得点P ′的坐标为(-1，-4a )，点N '的坐标为(2，3a )，当满足条件的点E ，F 落在直线P 'N '上时，PF +FE +EN 取得最小值，此时，PF +FE +EN =P 'N '=5．延长P 'P 与直线x =2相交于点H ，则P 'H ⊥N 'H ．在Rt △P 'HN '中，P 'H =3，HN '=3a -(-4a )=7a ．∴P 'N ′2=P 'H 2+HN ′2=9+49a 2=25．解得a 1=47，a 2=-47(舍)．∴点P '的坐标为-1，-167 ，点N ′的坐标为2，127．∴直线P 'N ′的解析式为y =43x -2021．∴点E 57，0 ，点F 0，-2021．总结提升：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，轴对称求最小值问题，勾股定理等，利用待定系数法求出直线解析式是解本题的关键．7.(2022•嘉兴)已知抛物线L 1：y =a (x +1)2-4(a ≠0)经过点A (1，0)．(1)求抛物线L 1的函数表达式．(2)将抛物线L 1向上平移m (m >0)个单位得到抛物线L 2．若抛物线L 2的顶点关于坐标原点O 的对称点在抛物线L 1上，求m 的值．(3)把抛物线L 1向右平移n (n >0)个单位得到抛物线L 3，若点B (1，y 1)，C (3，y 2)在抛物线L 3上，且y 1>y 2，求n 的取值范围．思路引领：(1)把(1，0)代入抛物线的解析式求出a 即可；(2)求出平移后抛物线的顶点关于原点对称点的坐标，利用待定系数法求解即可；(3)抛物线L 1向右平移n (n >0)个单位得到抛物线L 3，的解析式为y =(x -n +1)2-4，根据y 1>y 2，构建不等式求解即可．解：(1)∵y =a (x +1)2-4(a ≠0)经过点A (1，0)，∴4a -4=0，∴a =1，∴抛物线L 1的函数表达式为y =x 2+2x -3；(2)∵y =(x +1)2-4，∴抛物线的顶点(-1，-4)，将抛物线L 1向上平移m (m >0)个单位得到抛物线L 2．若抛物线L 2的顶点(-1，-4+m )，而(-1，-4+m )关于原点的对称点为(1，4-m )，把(1，4-m )代入y =x 2+2x -3得到，1+2-3=4-m ，∴m =4；(3)抛物线L 1向右平移n (n >0)个单位得到抛物线L 3，的解析式为y =(x -n +1)2-4，∵点B (1，y 1)，C (3，y 2)在抛物线L 3上，∴y 1=(2-n )2-4，y 2=(4-n )2-4，∵y 1>y 2，∴(2-n )2-4>(4-n )2-4，解得n >3，∴n 的取值范围为n >3．总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．8.(2022•杭州)设二次函数y 1=2x 2+bx +c (b ，c 是常数)的图象与x 轴交于A ，B 两点．(1)若A ，B 两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数y 1的表达式及其图象的对称轴．(2)若函数y 1的表达式可以写成y 1=2(x -h )2-2(h 是常数)的形式，求b +c 的最小值．(3)设一次函数y2=x-m(m是常数)，若函数y1的表达式还可以写成y1=2(x-m)(x-m-2)的形式，当函数y=y 1-y2的图象经过点(x0，0)时，求x0-m的值．思路引领：(1)根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1=2(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；(2)把函数y1=2(x-h)2-2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；(3)把y1，y2代入y=y1-y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点(x0，0)，把(x0，0)代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．解：(1)∵二次函数y1=2x2+bx+c过点A(1，0)、B(2，0)，∴y1=2(x-1)(x-2)，即y1=2x2-6x+4．∴抛物线的对称轴为直线x=-b2a =32．(2)把y1=2(x-h)2-2化成一般式得，y1=2x2-4hx+2h2-2．∴b=-4h，c=2h2-2．∴b+c=2h2-4h-2=2(h-1)2-4．把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，∴当h=1时，b+c的最小值是-4．(3)由题意得，y=y1-y2=2(x-m)(x-m-2)-(x-m)=(x-m)[2(x-m)-5]．∵函数y的图象经过点(x0，0)，∴(x0-m)[2(x0-m)-5]=0．∴x0-m=0，或2(x0-m)-5=0．即x0-m=0或x0-m=5 2．总结提升：本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：y=ax2+bx+c，顶点式：y=a(x-h)2 +k，交点式：y=a(x-x1)(x-x2)．9.(2022•连云港)已知二次函数y=x2+(m-2)x+m-4，其中m>2．(1)当该函数的图象经过原点O(0，0)，求此时函数图象的顶点A的坐标；(2)求证：二次函数y=x2+(m-2)x+m-4的顶点在第三象限；(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．思路引领：(1)把O (0，0)代入y =x 2+(m -2)x +m -4可得y =x 2+2x =(x +1)2-1，即得函数图像的顶点A 的坐标为(-1，-1)；(2)由抛物线顶点坐标公式得y =x 2+(m -2)x +m -4的顶点为2-m 2，-m 2+8m -204，根据m >2，-m 2+8m -204=-14(m -4)2-1≤-1<0，可知二次函数y =x 2+(m -2)x +m -4的顶点在第三象限；(3)设平移后图像对应的二次函数表达式为y =x 2+bx +c ，其顶点为-b 2，4c -b 24，将-b 2，4c -b 24 代入y =-x -2得c =b 2+2b -84，可得OB =-c =-b 2+2b -84，过点A 作AH ⊥OB 于H ，有S △AOB =12OB •AH =12×-b 2+2b -84 ×1=-18(b +1)2+98，由二次函数性质得△AOB 面积的最大值是98．(1)解：把O (0，0)代入y =x 2+(m -2)x +m -4得：m -4=0，解得m =4，∴y =x 2+2x =(x +1)2-1，∴函数图像的顶点A 的坐标为(-1，-1)；(2)证明：由抛物线顶点坐标公式得y =x 2+(m -2)x +m -4的顶点为2-m 2，-m 2+8m -204 ，∵m >2，∴2-m <0，∴2-m 2<0，∵-m 2+8m -204=-14(m -4)2-1≤-1<0，∴二次函数y =x 2+(m -2)x +m -4的顶点在第三象限；(3)解：设平移后图像对应的二次函数表达式为y =x 2+bx +c ，其顶点为-b 2，4c -b 24，当x =0时，B (0，c )，将-b 2，4c -b 24 代入y =-x -2得：4c -b 24=b2-2，∴c =b 2+2b -84，∵B (0，c )在y 轴的负半轴，∴c <0，∴OB =-c =-b 2+2b -84，过点A 作AH ⊥OB 于H ，如图：∵A (-1，-1)，∴AH =1，在△AOB 中，S △AOB =12OB •AH =12×-b 2+2b -84 ×1=-18b 2-14b +1=-18(b +1)2+98，∵-18<0，∴当b =-1时，此时c <0，S △AOB 取最大值，最大值为98，答：△AOB 面积的最大值是98．总结提升：本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，二次函数图像上点坐标的特征等，解题的关键是掌握二次函数的性质及数形结合思想的应用．10.(2022•赛罕区校级一模)在平面直角坐标系中，抛物线y =2(x -m )2+2m (m 为常数)的顶点为A ．(1)若点A 在第一象限，且OA =5，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而减小时x 的取值范围；(2)当x ≤2m 时，若函数y =2(x -m )2+2m 的最小值为3，求m 的值；(3)分别过点P (4，2)、Q (4，2-2m )作y 轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M ，N ．当抛物线y =2(x -m )2+2m 与四边形PQNM 的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B ，点C ，且点B 的纵坐标大于点C 的纵坐标．若点B 到y 轴的距离与点C 到x 轴的距离相等，则m 的值是多少？思路引领：(1)运用勾股定理建立方程求解即可；(2)分两种情况进行讨论：①当m <0时，2(2m -m )2+2m =3，解方程即可得出答案；②当m >0时，2(m -m )2+2m =3，解方程即可得出答案；(3)分情况讨论：①当m >1时，如图1，抛物线y =2(x -m )2+2m 与四边形PQNM 的边没有交点；②当m =1时，如图2，抛物线y =2(x -m )2+2m 与四边形PQNM 的边只有一个交点；③当12≤m <1时，如图3，抛物线y =2(x -m )2+2m 与四边形PQNM 的边有两个交点，若点B 在PM 边上，点C 在MN 边上，令y =2，则2=2(x -m )2+2m ，得出B (m +1-m ，2)，C (m ，2m )，根据题意，得2m =m+1-m ，求解即可；④当0≤m <12时，如图4，可得B (m +1-m ，2)，C (m +1-2m ，2-2m )，则2-2m =m +1-m ，求解即可；⑤当m <0时，如图5，B (m +1-2m ，2-2m )，C (m +1-m ，2)，则|m +1-2m |=2，求解即可．解：(1)∵点A (m ，2m )在第一象限，且OA =5，∴m 2+(2m )2=(5)2，且m >0，解得：m =1，∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2，当x≤1时，函数值y随x的增大而减小；(2)∵当x≤2m时，若函数y=2(x-m)2+2m的最小值为3，∴分两种情况：2m<m，即m<0时，或2m>m，即m>0时，①当m<0时，2(2m-m)2+2m=3，解得：m=-1+72(舍)或m=-1+72，②当m>0时，2(m-m)2+2m=3，解得：m=3 2，综上所述，m的值为32或-1+72；(3)P(4，2)、Q(4，2-2m)，抛物线y=2(x-m)2+2m，①当m>1时，如图1，∵2m>2，2-2m<0，∴抛物线y=2(x-m)2+2m与四边形PQNM的边没有交点；②当m=1时，如图2，∵2m=2，2-2m=0，∴抛物线y=2(x-m)2+2m的顶点在边PM边上，即抛物线y=2(x-m)2+2m与四边形PQNM的边只有一个交点；③当12≤m<1时，如图3，∵1≤2m<2，0<2-2m≤1，P(4，2)、Q(4，2-2m)，∴M(m，2)，N(m，2-2m)，抛物线y=2(x-m)2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C在MN边上，∴令y=2，则2=2(x-m)2+2m，∴x=m+1-m或x=m-1-m(不合题意，应舍去)，∴B(m+1-m，2)，C(m，2m)，根据题意得：2m=m+1-m，解得：m=5-12或m=-5-12(不合题意，应舍去)；④当0≤m<12时，如图4，∴点B在PM边上，点C在NQ边上，∴B(m+1-m，2)，C(m+1-2m，2-2m)，则2-2m=m+1-m，解得：m=11±1318，∵0≤m<12，∴m=11-1318，⑤当m<0时，如图5，∵2m<0，2-2m>2，∴点B在NQ边上，点C在PM边上，B(m+1-2m，2-2m)，C(m+1-m，2)，则|m+1-2m|=2，当m+1-2m=2时，得m2-2m+3=0，∵Δ=(-2)2-4×1×3=-8<0，∴该方程无解；当m+1-2m=-2时，得m2+6m+3=0，解得：m=-3-6或m=-3+6，当m=-3+6时，|m+1-2m|=|-3+6+1-2(-3+6)|=26-4≠2，不符合题意，舍去，综上所述，m的值为5-12或11-1318或-3-6．总结提升：本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数图象和性质，矩形性质等相关知识，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．11.(2022•婺城区校级模拟)在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=-12x2+mx+2m+2与y轴的交点，点B在该抛物线上，将该抛物线A，B两点之间(包括A，B两点)的部分记为图象G，设点B的横坐标为2m-1．(1)当m=1时，①图象G对应的函数y的值随x的增大而增大(填“增大”或“减小”)，自变量x的取值范围为x≤1；②图象G 最高点的坐标为　1，92　．(2)当m <0时，若图象G 与x 轴只有一个交点，求m 的取值范围．(3)当m >0时，设图象G 的最高点与最低点的纵坐标之差为h ，直接写出h 与m 之间的函数关系式．思路引领：(1)①当m =1时，抛物线的表达式为y =-12x 2+x +2，当函数y 的值随x 的增大而增大时，则图象在对称轴的左侧，即可求解；②函数的对称轴为x =1，当x =1时，y =92，即点G 的坐标为1，92；(2)求出点A 、B 的坐标，确定点A 在点B 的上方，进而求解；(3)分m ≤0，0<m ≤12，12<m ≤1，m >1四种情况，分别确定点A 、B 、H 的位置，进而求解．解：(1)①当m =1时，抛物线的表达式为y =-12x 2+x +4，∵-12<0，故抛物线开口向下，当函数y 的值随x 的增大而增大时，图象在对称轴的左侧，即x ≤1，故答案为：增大，x ≤1；②函数的对称轴为x =1，当x =1时，y =-12x 2+x +4=92，即点G 的坐标为1，92 ，故答案为：1，92 ；(2)当x =2m -1时，y =-12x 2+mx +2m +2=3m +32，则点B 的坐标为2m -1，3m +32，所以，点A 的坐标为(0，2m +2)，∵m <0，则y B -y A =3m +32-2m -2=m -12<0，即点A 在点B 的上方，故当y A >0且y B ≤0时，符合题意，即2m +2>0且3m +32≤0，解得-1<m ≤-12，当抛物线顶点落在x 轴上时，此时m 2-4×-12×(2m +2)=0，解得：m =-2，此时抛物线对称轴为直线x =-2，B 点横坐标为-5，符合题意，综上，-1<m ≤-12或m =-2；(3)设抛物线的顶点为H，则点H m，12m2+2m+2，由抛物线的表达式知，点A、B的坐标分别为(0，2m+2)，2m-1，3m+3 2，①当0<m≤12时，此时点A、B分别是G的最高和最低点，则h=y A-y B=(2m+2)-3m+3 2=-m+12；②当12<m≤1时，此时点B、A分别是G的最高和最低点，则h=y B-y A=m-1 2；③当m>1时，此时点H、A分别是G的最高和最低点，则h=y H-y A=12m2；∴h=-m+120<m≤12m-1212<m≤112m2(m>1)．总结提升：本题考查二次函数的综合应用，掌握一次和二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，确定图象上点的位置关系和分类求解是解题的关键．12.(2022•保定二模)已知：如图，点O(0，0)，A(-4，-1)，线段AB与x轴平行，且AB=2，点B在点A的右侧，抛物线l：y=kx2-2kx-3k(k≠0)．(1)当k=1时，求该抛物线与x轴的交点坐标(-1，0)，(3，0)；(2)当0≤x≤3时，求y的最大值(用含k的代数式表示)；(3)当抛物线l经过点C(0，3)时，l的解析式为y=-x2+2x+3，顶点坐标为(1，4)，点B不(填“是”或“不”)在l上；若线段AB以每秒2个单位长的速度向下平移，设平移的时间为t(秒)①若l与线段AB总有公共点，求t的取值范围；②若l同时以每秒3个单位长的速度向下平移，l在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，直接写出t的取值范围．思路引领：(1)当k=1时，该抛物线解析式y=x2-2x-3，令y=0时，得x2-2x-3=0，解方程即可得出答案；(2)先确定出对称轴直线x=--2k2k =1，再分k大于0和小于0两种情况讨论即可得出答案；(3)当抛物线经过点C(0，3)时，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，顶点坐标(1，4)，A(-4，-1)，将x =-2代入y=-x2+2x+3，y=-5≠-1，点B不在l上；①设平移后B(-2，-1-2t)，A(-4，-1-2t)，当抛物线经过点B时，有y=-5，当抛物线经过点A 时，有y=-21，l与线段AB总有公共点，则-21≤-1-2t≤-5，解得2≤t≤10；②平移过程中，设C(0，3-3t)，则抛物线的顶点(1，4-3t)，于是-1-2t≥3-3t-1-2t<4-3t，解得4≤t<5．解：(1)当k=1时，该抛物线解析式y=x2-2x-3，y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，∴该抛物线与x轴的交点坐标(-1，0)，(3，0)；(2)抛物线y=kx2-2kx-3k的对称轴直线x=--2k2k=1，∵k<0，∴x=1时，y有最大值，y最大值=k-2k-3k=-4k；当k>0时，x=3时，y有最大值，y最大值=9k-6k-3k=0；(3)当抛物线经过点C(0，3)时，-3k=3，k=-1，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，顶点坐标(1，4)，∵A(-4，-1)，线段AB与x轴平行，且AB=2，∴B(-2，-1)，将x=-2代入y=-x2+2x+3，y=-5≠-1，∴点B不在l上，故答案为：y=-x2+2x+3，(1，4)，不；①设平移后B(-2，-1-2t)，A(-4，-1-2t)，当抛物线经过点B时，有y=-(-2)2+2×(-2)+3=-5，当抛物线经过点A时，有y=-(-4)2+2×(-4)+3=-21，∵l与线段AB总有公共点，∴-21≤-1-2t≤-5，解得2≤t≤10；②平移过程中，设C(0，3-3t)，则抛物线的顶点(1，4-3t)，∵抛物线在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，-1-2t≥3-3t-1-2t<4-3t，解得4≤t<5．总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了二次函数，熟练掌握二次函数图象的性质与平移规律是解题的关键．13.(2022•都安县校级二模)在平面直角坐标系中，抛物线y=2(x-m)2+2m(m为常数)顶点为A．(1)当m=12时，点A的坐标是　12，1　，抛物线与y轴交点的坐标是　0，32　；(2)若点A在第一象限，且OA=5，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x 的取值范围；(3)抛物线y =2(x -m )2+2n (m 的常数)的对称轴为直线x =m ．M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)为抛物线上任意两点，其中x 1<x 2．若对于x 1+x 2>3，都有y 1<y 2．求m 的取值范围．思路引领：(1)将m =12代入抛物线解析式中，即可得出顶点坐标，再令x =0，即可求得答案；(2)运用勾股定理建立方程求解即可；(3)由题意点(x 1，0)，(x 2，0)连线的中垂线与x 轴的交点的坐标大于32，利用二次函数的性质判断即可．解：(1)当m =12时，y =2x -12 2+1，∴顶点A 12，1，令x =0，得y =32，∴抛物线与y 轴交点的坐标为0，32，故答案为：12，1 ，0，32 ；(2)∵点A (m ，2m )在第一象限，且OA =5，∴m 2+(2m )2=(5)2，且m >0，解得：m =1，∴抛物线的解析式为y =2(x -1)2+2，当x ≤1时，函数值y 随x 的增大而减小；(3)∵y =2(x -m )2+2n 的对称轴为直线x =m ．M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)为抛物线上任意两点，∵x 1<x 2，x 1+x 2>3，都有y 1<y 2．∴x 1+x22>m ，∴m <32．总结提升：本题考查考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14.(2022•香洲区校级三模)直线y =-12x +1与x ，y 轴分别交于点A ，B ，抛物线的解析式为y =2x 2-4ax +2a 2+a ．(1)求出点A ，B 的坐标，用a 表示抛物线的对称轴；(2)若函数y =2x 2-4ax +2a 2+a 在3≤x ≤4时有最大值为a +2，求a 的值；(3)取a =-1，将线段AB 平移得到线段A 'B '，若抛物线y =2x 2-4ax +2a 2+a 与线段A 'B '有两个交点，求直线A 'B '与y 轴交点的纵坐标的取值范围．思路引领：(1)根据坐标轴上点的特征分别令x =0，y =0即可求得点A ，B 的坐标，利用公式或运用配方法即可求得抛物线的对称轴；(2)利用二次函数的性质建立方程求解即可得出答案；(3)求出直线A ′B ′与抛物线相切时与y 轴交点的纵坐标，再求出线段A ′B ′两个端点均落在抛物线上时直线A ′B ′与y 轴交点的纵坐标，即可得出答案．解：(1)在y =-12x +1中，令x =0，得y =1，∴B (0，1)，令y =0，得-12x +1=0，解得：x =2，∴A (2，0)，∵y =2x 2-4ax +2a 2+a =2(x -a )2+a ，∴抛物线的对称轴为直线x =a ；(2)函数y =2x 2-4ax +2a 2+a 在3≤x ≤4时有最大值为a +2，当a ≤72时，32-16a +2a 2+a =a +2，解得：a =3或a =5(不符合题意，舍去)；当a >72时，18-12a +2a 2+a =a +2，解得：a =4或a =2(不符合题意，舍去)；综上所述，a 的值为3或4；(3)当a =-1时，y =2x 2+4x +1=2(x +1)2-1，∵直线AB 的解析式为y =-12x +1，∴设直线A ′B ′的解析式为y =-12x +b ，与抛物线解析式联立，得：2x 2+4x +1=-12x +b ，整理得：4x 2+9x +2-2b =0，当直线y =-12x +b 与抛物线只有一个公共点时，Δ=81-16(2-2b )=0，解得：b =-4932，当线段A ′B ′的两个端点恰好落在抛物线上时，|x 1-x 2|=2，即(x 1-x 2)2=4，∴(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4，∵x 1+x 2=-94，x 1x 2=1-b2，∴8116-2(1-b )=4，解得：b =1532，∴直线A 'B '与y 轴交点的纵坐标的取值范围为-4932<b ≤1532．总结提升：本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，平移变换的性质，直线与抛物线的交点，一元二次方程根与系数的关系的应用等，属于中档题．15.(2022•柘城县校级三模)在平面直角坐标系xOy 中，点(2，m )和点(6，n )在抛物线y =ax 2+bx (a <0)上．(1)若m =4，n =-12，求抛物线的对称轴和顶点坐标；(2)已知点A (1，y 1)，B (4，y 2)在该抛物线上，且mn =0．①比较y 1，y 2，0的大小，并说明理由；②将线段AB 沿水平方向平移得到线段A 'B '，若线段A 'B '与抛物线有交点，直接写出点A '的横坐标x 的取值范围．思路引领：(1)利用待定系数法解答即可；(2)①利用分类讨论的方法分m=0和n=0两种情形讨论解答：分别求得抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性和二次函数的性质，数形结合的思想方法解答即可；②结合函数的图象利用平移的性质分别求得A'的横坐标x的最小值与最大值即可得出结论．解：(1)∵m=4，n=-12，∴点(2，4)和点(6，-12)在抛物线y=ax2+bx(a<0)上．∴4a+2b=436a+6b=-12 ，解得：a=-1 b=4，∴抛物线的解析式为y=-x2+4x．∵y=-x2+4x=-(x-2)2+4，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，4)；(2)①∵mn=0，∴m=0或n=0．当m=0时，∵抛物线y=ax2+bx(a<0)的开口方向向下，经过(0，0)，(2，0)，∴抛物线的对称轴为x=0+22=1，∴A(1，y1)为抛物线的顶点，∴y1为函数的最大值且大于0，∵点(2，0)在x轴上，∴点B(4，y2)在x轴的下方，∴y2<0，∴y1，y2，0的大小关系为：y1>0>y2；当n=0时，∵抛物线y=ax2+bx(a<0)的开口方向向下，经过(0，0)，(6，0)，∴抛物线的对称轴为x=0+62=3，∴当x<3时，y随x的增大而增大，由抛物线的对称性可知：(2，y2)在抛物线上，∵0<1<2，∴0<y1<y2．综上，当m=0时，y1>0>y2，当n=0时，0<y1<y2；②A'的横坐标x的取值范围为：当n=0时，-1<x<5，当m=0时，-5<x<1．理由：由①知：当m=0时，抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=1，∴点A，B关于对称轴对称的点的坐标分别为A′(1，y1)，B′(-2，y2)，∵将线段AB沿水平方向向左平移至B与B′重合时，线段A'B'与抛物线有交点，再向左平移就没有交点了，而由B平移到B′平移了6个单位，∴A'的横坐标x的最小值为1-6=-5，而最大值为1，∴A'的横坐标x的取值范围为：-5<x<1；由①知：当n=0时，抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=3，∴点A，B关于对称轴对称的点的坐标分别为A′(5，y1)，B′(2，y2)，∵将线段AB沿水平方向向左平移至B与B′重合时，线段A'B'与抛物线有交点，再向左平移就没有交点了，而由B平移到B′平移了2个单位，∴A'的横坐标x的最小值为1-2=-1，∵将线段AB沿水平方向向右平移至A与A′重合时，线段A'B'与抛物线有交点，再向右平移就没有交点了，而由A平移到A′平移了4个单位，∴A'的横坐标x的最大值为1+4=5，∴A'的横坐标x的取值范围为：-1<x<5．综上，A'的横坐标x的取值范围为：当n=0时，-1<x<5，当m=0时，-5<x<1．总结提升：本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，平移的点的坐标的特征，数形结合法，利用待定系数法和数形结合法解答是解题的关键．16.(2022•新兴县校级模拟)已知抛物线y=ax2-4ax-2a+3与x轴的两个交点分别为A，B(点A 在点B的左侧)．(1)若点A，B均在x轴正半轴上，求OA+OB的值；(2)若AB=6，求a的值；(3)过点P(0，1)作与x轴平行的直线交抛物线于C，D两点．若CD≥4，请直接写出a的取值范围．思路引领：(1)令y=0，则ax2-4ax-2a+3=0，A，B在x轴正半轴，由跟与系数的关系得出OA+ OB=x1+x2=4；(2)根据跟与系数的关系得出x1+x2=4，x1•x2=-2+3a，然后由AB=6解出a的值；(3)联立方程组y=1y=ax2-4ax-2a+3，化简得ax2-4ax-2a+2=0，然后x C+x D=4，x C•x D=-2a+2a，再由CD≥4求出a的取值范围．解：(1)令y=0，则ax2-4ax-2a+3=0，由根与系数的关系得：x1+x2=--4aa=4，∵点A，B均在x轴正半轴上，∴OA=x1，OB=x2，∴OA+OB=x1+x2=4；(2)由(1)知，x1+x2=4，x1•x2=-2a+3a =-2+3a，AB=|x2-x1|=(x1+x2)2-4x1x2=42-4-2+3a=6，化简得：24-12a=6，解得a=-1，经检验a=-1符合题意，∴a=-1；(3)∵过点P(0，1)作与x轴平行的直线交抛物线于C，D两点，∴联立方程组y=1y=ax2-4ax-2a+3 ，化简得ax 2-4ax -2a +2=0，∴x C +x D =4，x C •x D =-2a +2a，∴CD =|x C -x D |=(x C +x D )2-4x C ⋅x D =16-4-2+2a =24-8a，∵CD ≥4，∴24-8a ≥4，化简得：1a≤1，∴a ≥1或a <0．总结提升：本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x 轴的交点，解题的关键是对二次函数图象和性质的综合运用．17.(2022•柘城县校级四模)如图，抛物线y =mx 2-2mx +4经过点A ，B ，C ，点A 的坐标为(-2，0)．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)当-2≤x ≤2时，求y 的最大值与最小值的差；(3)若点P 的坐标为(2，2)，连接AP ，并将线段AP 向上平移a (a ≥0)个单位得到线段A 1P 1，若线段A 1P 1与抛物线只有一个交点，请直接写出a 的取值范围．思路引领：(1)将A 点代入y =mx 2-2mx +4，可求函数的解析式及顶点坐标；(2)当-2≤x ≤2时，y 的最大值为92，最小值为0，即可求解；(3)由题意可求A 1(-2，a )，P 1(2，2+a )，当P 1在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点，则0≤a <2时，线段A 1P 1与抛物线只有一个交点；求出平移后直线A 1P 1的解析式y =12x +1+a ，当直线与抛物线有一个交点时，求出a 的值．解：(1)将A 点代入y =mx 2-2mx +4，∴4m +4m +4=0，解得m =-12，∴y =-12x 2+x +4，∵y =-12x 2+x +4=-12(x -1)2+92，∴顶点为1，92；(2)当x =-2时，y =0，∴当-2≤x ≤2时，y 的最大值为92，最小值为0，。

二次函数综合专题含参不简单，只因特征藏，找寻关键点，看它难不难。

（不等关系类）例1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与()02342≠-+-=a a ax axy x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）．（1）当抛物线过原点时，求实数a 的值；（2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含的代数式表示）；a （3）当AB ≤4时，求实数a 的取值范围．巩固练习：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2-4ax +3a (a ＞0)与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧）．（1）求抛物线的对称轴及点A ，B 的坐标；（2）点C （t ，3）是抛物线上一点，（点C 在对称轴的右侧），过243(0)y ax ax a a =-+>点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．①当时，求此时抛物线的表达式；CD AD =②当时，求t 的取值范围．CD AD >（翻折类）例2.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=nx 2-4nx+4n-1(n≠0)，与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线顶点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为（0，3），AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，求点B 的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线在B ，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，若直线m x y +=21与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围．巩固练习：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的最高点的纵坐标是2．243y ax ax a =-+（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在1≤x ≤4之间的部分记为图象G 1，将图象G 1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G 2，图象G 1和G 2组成图象G ．过(0，b )作与y 轴垂直的直线l ，当直线l 和图象G 只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求b 的取值范围和x 1 + x 2的值．（平移类）例3．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点在 x 轴上，22y x ax b =-+（）是此抛物线上的两点．1(,)P x m 2(,)Q x m 12x x <（1）若，1a =①当时，求，的值；m b =1x 2x ②将抛物线沿轴平移，使得它与轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；y x（2）若存在实数，使得，且成立，则的取值范围是 ．c 11x c ≤-27x c ≥+m 巩固练习：在平面直角坐标系xOy 中,抛物线，与y22(31)2(0)y x m x m m m =-+++>轴交于点C ，与x 轴交于点A ,B ，且1(,0)x 2(,0)x 12x x <（1）求的值；3221+-x x （2）当m=时，将此抛物线沿对称轴向上平移n 个单位，使平移后得到的抛1223-+x x 物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．考题再现：（2016南通中考）1.平面直角坐标系中，已知抛物线，经过xOy c bx x y ++=2、两点，其中为常数.)12,1(2++-m m )22,0(2++m m m （1）求的值，并用含的代数式表示；b mc （2）若抛物线与轴有公共点，求的值；c bx x y ++=2x m （3）设、是抛物线两点，请比较与的大小，),(1y a ),2(2y a +c bx x y ++=212y y -0并说明理由.（2018北京一模）2.有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x 轴的交点坐标分别为， (点B 在点A 的右侧)；(1,0)A 22(,)B x y ②对称轴是；3x =③该函数有最小值是-2.（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G ”，2x x ＞平行于x 轴的直线与图象“G ”相交于点、、（），33(,)C x y 44(,)D x y 55(,)E x y 345x x x <<结合画出的函数图象求的取值范围.345x x x ++。

二次函数含参问题本质：解决二次函数含参问题就是解决对称轴与定义域的问题。

课堂例题：1. 若函数a ax x x f --=2)(在区间[0,2]上的最大值为1，则实数=a ；2. 若函数x x x f 3)(2-=，在[]m ,0上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,49，则m 的取值范围为 ；当堂练习：1. 若函数)0(22≠-=a ax ax y 在区间]3,0[上有最大值3，则a 的值是 ；2. 已知函数22)(22++-=a ax x x f [])3,1(-∈x 有最大值18，则实数a 的值为 ；1. 若函数f(x)=4x−12−a ·2x +272在区间[]2,0上的最大值为9，求实数a 的值；当堂练习：1. 已知函数)0(49433)(22>++--=b b x x x f 在区间[－b, 1－b]上的最大值为25，求b 的值；2. 已知函数2244)(22+-+-=a a ax x x f 在区间[]2,0上有最小值3，求实数a 的值；家庭作业：1．函数432--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则实数m 的取值范围是__________. 2．若函数12)(2+-=x x x f 在区间[]2,+a a 上的最大值为4，则a 的值为 ；3．已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间[]m ,0上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为 ；4．若函数22422y x ax a a =-+-+在[0,2]的最小值是2，则a 的值为 ；5．若三条抛物线，，中至少有一条与轴有交点，则的取值范围是 ；3442+-+=a ax x y 22)1(a x a x y +-+=a ax x y 222-+=x a1.不等式(2−α)x2−2(a−2)x+4>0对于一切实数x都成立，求α的取值范围；2.若不等式x2−2αx+a2−a>0，当x∈[0,1]时恒成立，求 α的取值范围；当堂练习：1.求对于−1≤α≤1，不等式x2+(α−2)x+1−a>0恒成立的x的取值范围；)恒成立，则α的取值范围是多少；2. 若不等式 x2+αx+1≥0对于一切x∈(0，123.不等式αx2+2x+1>0在x∈[−2，1]上恒成立，求实数α的取值范围；4.设不等式αx2−2x−a+1<0对于满足|α|≤2的一切值都恒乘以，求x的取值范围；家庭作业：1.函数f(x)=αx2−2x+2 (a∈R)，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求实数α的取值范围；>0 对任意2.已知f(x)是定义在区间[−1,1]上的函数，且f(1)=1，若m，n∈[−1,1]，m+n≠0时，有f(m)+f(n)m+n x∈[−1,1]，f(−x)=−f(x)都成立。

二次函数含参问题 (1)姓名________ 班级________ 学号____________1.“动轴定区间”型的二次函数最值例 函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。

例 函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3[,2]2-上最大值为1,求实数a 的值2“动区间定轴”型的二次函数最值例 求函数2()23f x x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最值。

3.“动轴动区间”型的二次函数最值已知函数22()96106f x x ax a a =-+--在1[,]3b -上恒大于或等于０，其中实数[3,)a ∈+∞,求实数b 的范围．巩固习题1．已知函数()222f x x x =++，若[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最小值，并作出最小值的函数图象。

2．已知函数2()3f x x =-+，若()26f x kx ≤-+在区间[]2,1-上恒成立，求实数k 的取值范围。

3．已知k 为非零实数，求二次函数,122++=kx kx y (,2]x ∈-∞的最小值。

4．已知3a ≤，若函数()221f x x ax =-+在[]3,1上的最大值为()a M ，最小值为()a m ，又已知函数()()()a m a M a g -=，求()a g 的表达式。

5. 已知函数()12-+=ax ax x f ，若()0<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

6. 当20≤≤x 时，函数()()3142-++=x a ax x f 在2=x 时，取得最大值，求实数a 的取值范围。

7. 已知函数322+-=x x y ，在m x ≤≤0时有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围。

8. 已知函数()122+-=px x x f ，当0≥x 时，有()0≥x f 恒成立，求实数p 的取值范围。

9. 方程0122=++x ax 至少的一个负数根，求实数a 的取值范围。

含参的二次函数二次函数在初中的时候就比较重要，那么在高中阶段二次函数的考点更加重要，难度也会加大。

高中阶段比较喜欢考含有参数的二次函数，参数就会让函数形成一种动态，随着参数不同，函数是不一样的，这就使得本来简单的二次函数变得复杂起来。

例1. 求2()2f x x ax =-在[2,4]上的最大值和最小值。

解析：这道题因为参数的存在使得函数的本身是动的，在动的情况下考虑这个函数最大值和最小值的问题，这就涉及到高中比较爱考的一类问题，动轴定区间问题。

这道题中对称轴正好是x a =，随着a 不同，这个对称轴在变化，但是在给定区间上问最大值和最小值，那么就会有下面几种情况，在[2,4]这个区间上，有可能（1）这个对称轴不在这个区间里面这个时候的最大值最小值；也有可能（2）这个对称轴就在区间里面，这个时候的最值，还可能（3）对称轴在区间右侧这几个图针对这个函数并不严谨，上面的是一般函数的示意图，这道题中的函数一定是过原点的。

可以感受，随着a 的不同，最大值和最小值是不一样的，所以这种含参的动态的问题往往需要我们做的一个工作就是分类讨论。

那么函数在什么时候取到最大值呢，比如说（1），就会在4的地方取得最大值，（2）在4的地方取得最大值，（3）就会在2的地方取得最大值。

那么在整个函数的区间上，什么时候能取得最大值呢，我们就要看在这个区间上，哪个数离对称轴最远。

那么就有两种情况了，有的时候是2离得比较远，有的时候是4离得比较远，是怎么分界的呢？这个分界线就应该在2和4中间的位置上是3，当对称轴在3x =这条线左边的时候，对称轴离2就比较近，离4就比较远，对称轴在右边的时候，离2就比较近，离4就比较远。

因此这个函数的最大值，经过分类讨论之后，就会得到一个分段函数：max (4)=168(3)()(2)44(3)f a a f x f a a -≤⎧=⎨=->⎩也就是如果这个对称轴在3的左侧，也就是3a ≤的时候，离4远，在4处取得最大值，如果在右侧的话，也就是3a >的时候，离2远，在2处取得最大值。

二次函数含参问题总结归纳二次函数含参问题总结归纳一、二次函数的基本概念1. 二次函数的定义：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数称为二次函数。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。

3. 二次函数的性质：①对称轴垂直于x轴，过抛物线顶点；②当a>0时，抛物线开口朝上，当a<0时，抛物线开口朝下；③当Δ=b²-4ac>0时，有两个实根，抛物线与x轴交于两点；当Δ=0时，有一个实根，抛物线与x轴相切于一点；当Δ<0时，无实根，抛物线不与x轴交点。

二、含参二次函数1. 含参二次函数的定义：含有参数（常数）的二次函数。

2. 含参二次函数的解析式：y=ax²+bx+c（a≠0）中a、b、c均为常数，其中a为参数。

3. 含参二次函数图像特征：① 当参数a>0时，图像开口向上，并且顶点坐标为（-b/2a,-Δ/4a）；② 当参数a<0时，图像开口向下，并且顶点坐标为（-b/2a,Δ/4a）。

三、含参二次函数的应用1. 含参二次函数的极值问题当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a,-Δ/4a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a,Δ/4a)。

2. 含参二次函数的零点问题当Δ>0时，函数有两个实根；当Δ=0时，函数有一个实根；当Δ<0时，函数无实根。

3. 含参二次函数在平面几何中的应用如：求解抛物线焦点坐标、求解抛物线与直线交点坐标等。

四、含参二次函数题型归纳1. 求参数范围：要求确定参数范围使得含参二次函数满足某种性质。

如：使得抛物线与x轴有且仅有一个交点，求参数范围。

2. 求最值：要求确定含参二次函数的最大值或最小值。

如：已知含参二次函数y=ax²+bx+c（a>0）在区间[1,3]上取到最大值为4，则参数a和b的取值范围是多少？3. 求零点：要求确定含参二次函数的零点。

初中含参二次函数的最值问题二次函数在数学中是一种比较常见的函数形式，也是我们初中阶段需要掌握的重要知识点之一。

其中，最值问题是二次函数题目中比较典型和常见的一类问题。

在这篇文章中，我将通过一些例题和解题思路的介绍，来帮助大家更好地理解含参二次函数的最值问题。

1. 带参数二次函数的最值问题下面是一个含参数的二次函数的例子：$y=ax^2+bx+c(a>0)$ 。

我们来考虑这个函数的最值问题。

（1）当$a>0$时，这个二次函数的值域为$[q,\infty)$。

其中$q$为$a,b,c$的函数，满足$a>0$时，有如下的公式：$$q=f(\frac{-b}{2a})=\frac{4ac-b^2}{4a}$$那么，这个二次函数的最小值就是$q$，也就是当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最小值。

（2）当$a<0$时，这个二次函数的值域为$(-\infty,q]$。

其最大值也是$q$，即当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最大值。

可以通过公式来求解含参二次函数的最值问题。

具体来说，找到函数的最小值或最大值所在的$x$坐标，然后代入函数中求出对应的函数值即可。

下面让我们通过一个例题来进一步了解含参二次函数的最值问题。

2. 例题分析【例题】已知函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$，并满足：$|x-2|+|x-4|+|x-6|=k(k>0)$求函数$y$的最小值和最大值并确定此时$x$的值。

【解题思路】该题要求我们求解带有约束条件的含参二次函数的最值问题。

实际上，约束条件中的绝对值形式会让我们比较难受，不过我们可以将其转化为分段描述，从而更好地理解这个问题。

具体来说，考虑以下的情况：（1）当$x\leq 2$时，有$|x-2|=2-x$。

（2）当$2<x\leq4$时，有$|x-2|=x-2$、$|x-4|=4-x$。

（3）当$4<x\leq 6$时，有$|x-4|=x-4$、$|x-6|=6-x$。

参考答案与试题解析一．选择题（共 4 小题）1．二次函数 y＝x2+（a﹣2）x+3 的图象与一次函数 y＝x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数 a 的取值范围是（）A．a＝3±2 B．﹣1≤a＜2C．a＝3 或﹣≤a＜2 D．a＝3﹣2 或﹣1≤a＜﹣【解答】解：由题意可知：方程 x2+（a﹣2）x+3＝x 在 1≤x≤2 上只有一个解，即 x2+（a﹣3）x+3＝0 在 1≤x≤2 上只有一个解，当△＝0 时，即（a﹣3）2﹣12＝0a＝3±2当 a＝3+2 时，此时 x＝﹣，不满足题意，当 a＝3﹣2 时，此时 x＝，满足题意，当△＞0 时，令 y＝x2+（a﹣3）x+3，令 x＝1，y＝a+1，令 x＝2，y＝2a+1（a+1）（2a+1）≤0解得：﹣1≤a≤，当 a＝﹣1 时，此时 x＝1 或 3，满足题意；当 a＝﹣时，此时 x＝2 或 x＝，不满足题意，综上所述，a＝3﹣2 或﹣1≤a＜，故选：D．2．对于题目“一段抛物线 L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线 l：y＝x+2 有唯一公共点，若 c 为整数，确定所有 c 的值，”甲的结果是 c＝1，乙的结果是 c＝3 或 4，则（）A．甲的结果正确第1页（共27页）B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【解答】解：∵抛物线 L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线 l：y＝x+2 有唯一公共点∴①如图 1，抛物线与直线相切，联立解析式得 x2﹣2x+2﹣c＝0△＝（﹣2）2﹣4（2﹣c）＝0解得 c＝1②如图 2，抛物线与直线不相切，但在 0≤x≤3 上只有一个交点此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上∴c 的最小值＝2，但取不到，c 的最大值＝5，能取到∴2＜c≤5又∵c 为整数∴c＝3，4，5综上，c＝1，3，4，5故选：D．3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M，N 的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线 y第2页（共27页）＝ax2﹣x+2（a≠0）与线段 MN 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是（）A．a≤﹣1 或≤a＜B．≤a＜C．a≤或 a＞D．a≤﹣1 或 a≥【解答】解：∵抛物线的解析式为 y＝ax2﹣x+2．观察图象可知当 a＜0 时，x＝﹣1 时，y≤2 时，且﹣＞﹣1，满足条件，可得 a≤﹣1；当 a＞0 时，x＝2 时，y≥1，且抛物线与直线 MN 有交点，且﹣≤2 满足条件，∴a≥，∵直线 MN 的解析式为 y＝﹣x+ ，由，消去 y 得到，3ax2﹣2x+1＝0，∵△＞0，∴a＜，∴≤a＜满足条件，综上所述，满足条件的 a 的值为 a≤﹣1 或≤a＜，故选：A．4．如图，已知点 A（0，2），B（2，2），C（﹣1，0），抛物线 y＝a（x﹣h）2+k 过点 C，顶点 M 位于第一象限且在线段 AB 的垂直平分线上．若抛物线与线段 AB 无公共点，则 k 的取值范围是（）第3页（共27页）A．0＜k＜2 B．0＜k＜2 或 k＞C．k＞D．0＜k＜2 或 k＞【解答】解：∵抛物线 y＝a（x﹣h）2+k 的顶点 M 位于第一象限且在线段 AB 的垂直平分线上，且点 A（0，2），B（2，2），∴h＝1，k＞0．抛物线与线段 AB 无公共点分两种情况：当点 M 在线段 AB 下方时，∵点 M 的坐标为（1，k），∴0＜k＜2；当点 M 在线段 AB 上方时，有，解得：k＞．综上所述：k 的取值范围为 0＜k＜2 或 k＞．故选：B．二．填空题（共 3 小题）5．如图，以扇形 OAB 的顶点 O 为原点，半径 OB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点 B 的坐标为（2，0），若抛物线 y＝x2+k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是﹣2＜k＜．第4页（共27页）【解答】解：由图可知，∠AOB＝45°，∴直线 OA 的解析式为 y＝x，联立消掉 y 得，x2﹣2x+2k＝0，△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×2k＝0，即 k＝时，抛物线与 OA 有一个交点，此交点的横坐标为 1，∵点 B 的坐标为（2，0），∴OA＝2，∴点 A 的坐标为（，），∴交点在线段 AO 上；当抛物线经过点 B（2，0）时，×4+k＝0，解得 k＝﹣2，∴要使抛物线 y＝x2+k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，实数 k 的取值范围是﹣2＜k＜．故答案为：﹣2＜k＜．6．已知抛物线 C1：y＝x2﹣2x﹣8 及抛物线 C2：y＝x2﹣（4a+3）x+4a2+6a（a 为常数），当﹣2＜x＜2a+3 时，C1，C2 图象都在 x 轴下方，则 a 的取值范围为﹣＜a≤﹣1 ．【解答】解：当 y＝0 时，有 x2﹣2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4；当 y＝0 时，有 x2﹣（4a+3）x+4a2+6a＝0，第5页（共27页）解得：x3＝2a，x4＝2a+3．∵两抛物线均开口向上，且当﹣2＜x＜2a+3 时，C 1，C2 图象都在 x 轴下方，∴，解得：﹣＜a≤﹣1．故答案为：﹣＜a≤﹣1．7．在直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，0），若抛物线 y＝x2﹣2x+n﹣1 与线段 OA 有且只有一个公共点，则 n 的取值范围为﹣2≤n＜1 或 n＝2 ．【解答】解：∵点 A 的坐标为（3，0），抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2 与线段OA 有且只有一个公共点，∴n﹣2＝0 或，解得，﹣2≤n＜1 或 n＝2，故答案为：﹣2≤n＜1 或 n＝2．三．解答题（共 11 小题）8．已知抛物线 y＝ax2﹣2anx+an2+n+3 的顶点 P 在一条定直线 l 上．（1）直接写出直线 l 的解析式；（2）对于任意非零实数 a，存在确定的 n 的值，使抛物线与 x 轴有唯一的公共点，求此时 n 的值；（3）当点 P 在 x 轴上时，抛物线与直线 l 的另一个交点 Q，过点 Q 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 A，过点 Q 作 y 轴的平行线，交 x 轴于点 B，求的值或取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2﹣2anx+an2+n+3＝a（x﹣n）2+（n+3），∴抛物线 P（n，n+3），∵顶点 P 在一条定直线 l 上，令 n＝x，n+3＝y，∴y＝x+3，即：直线 l 的解析式为 y＝x+3，（2）抛物线与 x 轴有唯一的公共点，第6页（共27页）令 y＝0，即：ax2﹣2anx+an2+n+3＝0，∴△＝（﹣2an）2﹣4a×（an2+n+3）＝﹣4a（n+3）＝0，∵任意非零实数 a，∴n+3＝0，∴n＝﹣3，∴抛物线与 x 轴有唯一的公共点，此时 n 的值为﹣3，（3）由（1）知，P（n，n+3），∵点 P 在 x 轴上，∴n+3＝0，∴n＝﹣3，∴抛物线 y＝a（x+3）2，①∵直线 l 的解析式为 y＝x+3②，联立①②得 Q（﹣3+ ，），∵过点 Q 作 y 轴的平行线，交 x 轴于点 B，∴BQ＝| |，∵过点 Q 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 A，∴a（x+3）2＝，∴x＝﹣3±，∴A（﹣3﹣，），∵Q（﹣3+ ，），∴AQ＝|﹣3+ ﹣（﹣3﹣）|＝| |∴＝2．9．如图 1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中 m 为常数，且 m＞0，E（0，n）为 y 轴上一动点，以 BC 为边在 x 轴上方作矩形 ABCD，使 AB＝2BC，画射线OA，把△ADC 绕点 C 逆时针旋转 90°得△A′D′C′，连接 ED′，抛物线 y＝ax2+bx+n （a≠0）过 E，A′两点．第7页（共27页）（1）填空：∠AOB＝45 °，用 m 表示点 A′的坐标：A′（m ，﹣m ）；（2）当抛物线的顶点为 A′，抛物线与线段 AB 交于点 P，且＝时，△D′OE 与△ABC 是否相似？说明理由；（3）若 E 与原点 O 重合，抛物线与射线 OA 的另一个交点为点 M，过 M 作 MN⊥y 轴，垂足为 N：①求 a，b，m 满足的关系式；②当 m 为定值，抛物线与四边形 ABCD 有公共点，线段 MN 的最大值为 10，请你探究 a 的取值范围．【解答】解：（1）∵B（2m，0），C（3m，0），∴OB＝2m，OC＝3m，即 BC＝m，∵AB＝2BC，∴AB＝2m＝0B，∵∠ABO＝90°，∴△ABO 为等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，由旋转的性质得：OD′＝D′A′＝m，即 A′（m，﹣m）；故答案为：45；m，﹣m；（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），∵＝，∴P（2m，m），第8页（共27页）∵A′为抛物线的顶点，∴设抛物线解析式为 y＝a（x﹣m）2﹣m，∵抛物线过点 E（0，n），∴n＝a（0﹣m）2﹣m，即 m＝2n，∴OE：OD′＝BC：AB＝1：2，∵∠EOD′＝∠ABC＝90°，∴△D′OE∽△ABC；（3）①当点 E 与点 O 重合时，E（0，0），∵抛物线 y＝ax2+bx+n 过点 E，A′，∴，整理得：am+b＝﹣1，即 b＝﹣1﹣am；②∵抛物线与四边形 ABCD 有公共点，∴抛物线过点 C 时的开口最大，过点 A 时的开口最小，若抛物线过点 C（3m，0），此时MN 的最大值为 10，∴a（3m）2﹣（1+am）•3m＝0，整理得：am＝，即抛物线解析式为 y＝x2﹣x，由 A（2m，2m），可得直线 OA 解析式为 y＝x，联立抛物线与直线 OA 解析式得：，解得：x＝5m，y＝5m，即 M（5m，5m），令 5m＝10，即 m＝2，当 m＝2 时，a＝；若抛物线过点 A（2m，2m），则a（2m）2﹣（1+am）•2m＝2m，解得：am＝2，∵m＝2，∴a＝1，则抛物线与四边形 ABCD 有公共点时 a 的范围为≤a≤1．10．如图，已知抛物线与 x 轴交于点 A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴交于点 C（0，8）．第9页（共27页）（1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；（2）设直线 CD 交 x 轴于点 E．在线段 OB 的垂直平分线上是否存在点 P，使得点 P 到直线 CD 的距离等于点 P 到原点 O 的距离？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段 EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y＝a（x+2）（x﹣4）．把 C（0，8）代入，得 a＝﹣1．∴y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，顶点 D（1，9）；（2 分）（2）假设满足条件的点 P 存在．依题意设 P（2，t）．由 C（0，8），D（1，9）求得直线 CD 的解析式为 y＝x+8，它与 x 轴的夹角为 45°．设 OB 的中垂线交 CD 于 H，则 H（2，10）．则 PH＝|10﹣t|，点 P 到 CD 的距离为．又．（4 分）∴．平方并整理得：t2+20t﹣92＝0，解之得 t＝﹣10±8 ．∴存在满足条件的点 P，P 的坐标为（2，﹣10±8 ）．（6 分）（3）由上求得 E（﹣8，0），F（4，12）．①若抛物线向上平移，可设解析式为 y＝﹣x2+2x+8+m（m＞0）．第10页（共27页）当 x＝﹣8 时，y＝﹣72+m．当 x＝4 时，y＝m．∴﹣72+m≤0 或 m≤12．∴0＜m≤72．（8 分）②若抛物线向下平移，可设解析式为 y＝﹣x2+2x+8﹣m（m＞0）．由，有﹣x2+x﹣m＝0．∴△＝1﹣4m≥0，∴m≤．∴向上最多可平移 72 个单位长，向下最多可平移个单位长．（10 分）11．如图，在直角坐标系中，抛物线 y＝x2+bx+c 的顶点 D 在直线 y＝x 上运动．抛物线与 y 轴相交于 C 点．（1）当 b＝﹣4 时，求 C 点坐标；（2）抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点，当△ABD 为直角三角形时，求 b，c 的值；（3）线段 MN 的端点 M（﹣2，4），N（﹣1，1），若抛物线与线段 MN 有公共点，求 b 的取值范围．第11页（共27页）【解答】解：∵抛物线 y＝x2+bx+c 的顶点 D 在直线 y＝x 上运动，∴设抛物线 y＝x2+bx+c 的顶点 D 的坐标是（﹣，﹣）．（1）如图 1，∵点 D 在抛物线上，∴﹣＝（﹣）2+b•（﹣）+c，即 c＝﹣+ ．又∵b＝﹣4，c＝﹣+ ＝6，即 c＝6．令 x＝0，则 y＝c＝6，即 C（0，6）；（2）如图 2，连接 AD、BD．∵点 A、B 是抛物线 y＝x2+bx+c 与 x 轴的两个交点，点 D 是顶点，∴AD＝BD，∴在直角△ABD 中，∠ADB＝90°．设 A（x1，0）、B（x2，0），则x1+x2＝﹣b，x1x2＝c．∴AB＝|x1﹣x2|＝＝，则，解得，即 b，c 的值分别是 2、0；（3）如图 3，当点 M（﹣1，1）在抛物线 y＝x2+bx+c 上时，b 取最小值，所以，1＝1﹣b+c，即 b＝c，则 b＝﹣+ ，解得 b＝6；当点 N（﹣2，4）在抛物线 y＝x2+bx+c 上时，b 取最大值，所以 4＝4﹣2b+c，即 2b＝c，则 2b＝﹣+ ，解得 b＝10，所以 b 的取值范围是 6≤b≤10．第12页（共27页）12．已知抛物线 y＝a（x+1）2+c（a＞0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C，其顶点为 M，已知直线 MC 的函数表达式为 y＝kx﹣3，与x 轴的交点为 N，且 cos∠BCO＝．（1）求抛物线的解析式；（2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N、P、C 为顶点的三角形是以 NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图 2，过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？【解答】解：（1）由 y＝kx﹣3，可知 OC＝3，在 Rt△OBC 中，∵cos∠BCO ＝，∴BC＝，OB＝＝1，将 B（1，0））、C（0，﹣3）代入抛物线解析式，得，第13页（共27页）解得，∴抛物线解析式为 y＝（x+1）2﹣4；（2）存在．由抛物线解析式得 M（﹣1，﹣4），设直线 MN 解析式为 y＝kx+b，则，解得，∴y＝x﹣3，N（3，0），△OCN 为等腰直角三角形．过 N 点作 CN 的垂线交 y 轴于（0，3），垂线解析式为 y＝﹣x+3．联立，得 P 点坐标为（，）或（，），连接 AC，则 A（﹣3，0）点满足题意，∴P 点坐标为（，）或（，）或（﹣3，0）；（3）设平移后抛物线解析式为 y＝（x+1）2+m，①当抛物线与直线 MN 只有一个交点时，联立，得 x2+x+m+4＝0，当方程组有一个解时，△＝0，即 1﹣4（m+4）＝0，解得 m＝﹣，∴向上平移 4﹣＝个单位，②当抛物线经过 N（3，0）时，（3+1）2+m＝0，解得 m＝﹣16，当抛物线经过 Q（﹣3，﹣6）时，（﹣3+1）2+m＝﹣6，解得 m＝﹣10，∴向下平移 16﹣4＝12 个单位．即抛物线向上最多可平移个单位长度，向下最多可平移 12 个单位长度．13．如图，平面直角坐标系中，y＝ax2﹣2amx+am2+2m+2 的顶点为 P，且 OP2 最小．（1）求 m 的值；（2）直线 l：y＝2x+2 与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B．第14页（共27页）①抛物线与直线 l 交于两点，当这两点之间的距离为时，求 a 的值；②若抛物线与线段 AB 有两个公共点，请直接写出 a 的值或取值范围是a≥或 a≤﹣10 ．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m+2＝a（x﹣m）2+2m+2，∴P（m，2m+2），∴OP2＝m2+（2m+2）2＝5m2+8m+4＝5（m+ ）2+ ，∵OP2 最小．∴m＝﹣；（2）设抛物线与直线 l 交于两点 C（x 1，y1），D（x2，y2），＝2x1+2，y2＝2x2+2，∴y∴y1﹣y2＝2（x1﹣x2）由（1）知，m＝﹣，∴y＝ax2﹣2amx+am2+2m+2＝ax2+ ax+ a+ ①；①∵直线 l：y＝2x+2②，联立①②得，ax2+ ax+ a+ ＝2x+2，化简得，ax2+ x+ ＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴CD2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝5（x1﹣x2）2＝5[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝5[ ﹣4×]，第15页（共27页）∵两点之间的距离为，∴5[ ﹣4×]＝，∴4a2＝25，∴a＝±；②如图，∵直线 l：y＝2x+2 与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B，∴A（﹣1，0），B（0，2），y＝ax2+ ax+ a+ ＝a（x+ ）2+ ，∴抛物线的顶点 P 坐标（﹣，），把 x＝﹣代入 y＝2x+2 得，y＝，∴点 P 在直线 l：y＝2x+2 上，当 a＞0 时，把 B（0，2）代入 y＝a（x+ ）2+ 得，a×+ ＝2，∴a＝，∵抛物线与线段 AB 有两个公共点，且|a|越小抛物线开口就越大，根据图象得，a≥，当 a＜0 时，把 A（﹣1，0）代入 y＝a（x+ ）2+ 得，a×+ ＝0，∴a＝﹣10，∵抛物线与线段 AB 有两个公共点，且|a|越小抛物线开口就越大，根据图象得，a≤﹣10，即：抛物线与线段 AB 有两个公共点，a 的取值范围为 a≥或 a≤﹣10，故答案为：a≥或 a≤﹣10．第16页（共27页）14．如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒 1 个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y＝x2+bx+c 经过点O 和点P．已知矩形ABCD 的三个顶点为A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）．（1）求 c，b（可用含t 的代数式表示）；（2）当t＞1 时，抛物线与线段AB 交于点M．在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；（3）在矩形 ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t 的取值范围．【解答】解：（1）把 x＝0，y＝0 代入 y＝x2+bx+c，得 c＝0，再把 x＝t，y＝0 代入 y＝x2+bx，得 t2+bt＝0，∵t＞0，∴b＝﹣t；（2）不变．第17页（共27页）∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣tx，且 M 的横坐标为 1，∴当 x＝1 时，y＝1﹣t，∴M（1，1﹣t），∴AM＝|1﹣t|＝t﹣1，∵OP＝t，∴AP＝t﹣1，∴AM＝AP，∵∠PAM＝90°，∴∠AMP＝45°；（3）＜t＜．①左边 4 个好点在抛物线上方，右边 4 个好点在抛物线下方：无解；②左边 3 个好点在抛物线上方，右边 3 个好点在抛物线下方：则有﹣4＜y2＜﹣3，﹣2＜y3＜﹣1 即﹣4＜4﹣2t＜﹣3，﹣2＜9﹣3t＜﹣1，＜t＜4 且＜t＜，解得＜t＜；③左边 2 个好点在抛物线上方，右边 2 个好点在抛物线下方：无解；④左边 1 个好点在抛物线上方，右边 1 个好点在抛物线下方：无解；⑤左边 0 个好点在抛物线上方，右边 0 个好点在抛物线下方：无解；综上所述，t 的取值范围是：＜t＜．15．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝4x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，抛物线 y＝ax2+bx ﹣3a 经过点 A，将点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C．（1）求点 C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．【解答】解：（1）与 y 轴交点：令 x＝0 代入直线 y＝4x+4 得 y＝4，∴B（0，4），∵点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C，∴C（5，4）；（2）与 x 轴交点：令 y＝0 代入直线 y＝4x+4 得 x＝﹣1，第18页（共27页）∴A（﹣1，0），∵点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C，将点 A（﹣1，0）代入抛物线 y＝ax2+bx﹣3a 中得 0＝a﹣b﹣3a，即 b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴 x＝﹣＝﹣＝1；（3）∵抛物线 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0）且对称轴 x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过 A 的对称点（3，0），①a＞0 时，如图 1，将 x＝0 代入抛物线得 y＝﹣3a，∵抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞﹣，将 x＝5 代入抛物线得 y＝12a，∴12a≥4，a≥，∴a≥；②a＜0 时，如图 2，将 x＝0 代入抛物线得 y＝﹣3a，∵抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜﹣；③当抛物线的顶点在线段 BC 上时，则顶点为（1，4），如图 3，将点（1，4）代入抛物线得 4＝a﹣2a﹣3a，解得 a＝﹣1．综上所述，a≥或 a＜﹣或 a＝﹣1．第19页（共27页）16．如图，在平面直角坐标系中，点 P 从原点 O 出发，沿 x 轴向右以每秒一个单位长的速度运动 t 秒（t＞0），抛物线y＝﹣x2+bx 经过点 O 和点 P．已知矩形 ABCD 的三个顶点为A（1，0），B（3，0），D（1，3）．（1）求 b 的值（用 t 的代数式表示）；（2）当 3＜t＜4 时，设抛物线分别与线段 AD，BC 交于点 M，N．①设直线 MP 的解析式为 y＝kx+m，在点P 的运动过程中，你认为 k 的大小是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出 k 的值；②在点 P 的运动过程中，当 OM⊥MN 时，求出 t 的值；第20页（共27页）（3）在点 P 的运动过程中，若抛物线与矩形 ABCD 的四条边有四个交点，请直接写出 t 的取值范围．【解答】解：（1）∵点 P 的坐标为（t，0），∴0＝﹣t2+bt，解得：b＝t，（2）①把 x＝1 代入 y＝﹣x2+tx，得 y＝t﹣1，即 M（1，t﹣1），∴，解得 k＝﹣1，②如图，过点 N 作 NH⊥AD 于点 H，求得：BN＝3t﹣9，MH＝8﹣2t，HN＝AB＝2，当 OM⊥MN 时，可证得△OAM∽△MHN，故可得，即，解得，（舍去）从而可得：．（3）抛物线的解析式为 y＝﹣x2+bx＝﹣（x﹣）2+ ，①因为抛物线的顶点纵坐标大于点 D 和点 C 的纵坐标，所以＞3，解得 b＞2 或 b＜﹣2 ；②当 x＝1 时，y＝﹣1+b＜3，解得：b＜4，综上可得：2 ＜b＜4．第21页（共27页）17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上，且长分别为 1、4，D 为边 AB 的中点，一抛物线 l 经过点 A、D 及点 M（﹣1，m）．（1）把△OAD 沿直线 OD 折叠后点 A 落在点 A′处，DA′与 OC 交于 H，求证：△OHD 是等腰三角形．（2）求点 A′的坐标；（3）求抛物线的解析式（用含 m 的式子表示）；（4）连接 OA′并延长与线段 BC 的延长线交于点 E，若抛物线与线段 CE 相交，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）如图 1，由折叠得：∠ADO＝∠ODH，∵四边形 ABCO 为矩形，∴AB∥OC，∴∠ADO＝∠DOH，∴∠DOH＝∠ODH，∴△OHD 是等腰三角形；（2）如图 2，过 A′作 A′F⊥x 轴于 F，由折叠得：A′D＝AD＝AB＝2，OA′＝OA＝1，∠OA′H＝90°，设 A′H＝x，则 DH＝OH＝2﹣x，第22页（共27页）由勾股定理得：12+x 2＝（2﹣x ）2，x ＝ ，即 A ′H ＝ ，∴DH ＝OH ＝2﹣ ＝ ，∴S △A ′OH ＝ OA ′•A ′H ＝ OH •A ′F ，∴1× ＝ ×A ′F ，∴A ′F ＝ ，由勾股定理得：OF ＝ ＝ ＝ ，∴A ′（ ，﹣ ），（3）设抛物线的解析式为：y ＝ax 2+bx+c ，把 A （0，1）、D （2，1）、M （﹣1，m ）代入得： ，解得： ，∴抛物线的解析式为：y ＝ + +1，（4）∵A ′F ∥BE ， ∴，∴ ，∴CE ＝3， ∴E （4，﹣3），当 x＝4 时，y＝+ +1，y＝，∵﹣3≤y≤0，∴﹣3≤≤0，第23页（共27页）∴﹣≤m≤．18．在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量 x，这两个函数对应的函数值记为 y1、y2，都有点（x，y1）和（x，y2）关于点（x，x）中心对称（包括三个点重合时），由于对称中心都在直线 y＝x 上，所以称这两个函数为关于直线 y ＝x 的特别对称函数．例如：和为关于直线 y＝x 的特别对称函数．（1）若 y＝3x+2 和 y＝kx+t（k≠0）为关于直线 y＝x 的特别对称函数，点 M（1，m）是y＝3x+2 上一点．①点 M（1，m）关于点（1，1）中心对称的点坐标为（1，﹣3）．②求 k、t 的值．（2）若 y＝3x+n 和它的特别对称函数的图象与 y 轴围成的三角形面积为 2，求 n 的值．（3）若二次函数 y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 为关于直线 y＝x 的特别对称函数．①直接写出 a、b 的值．②已知点 P（﹣3，1）、点Q（2，1），连结PQ，直接写出 y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围．第24页（共27页）【解答】解：（1）①∵点 M（1，m）是 y＝3x+2 上一点，∴m＝5，∴M（1，5），∴点 M 关于（1，1）中心对称点坐标为（1，﹣4），故答案为（1，﹣3）；②∵y＝3x+2 和 y＝kx+t（k≠0）为关于直线 y＝x 的特别对称函数，∴＝x，∴（1+k）x+（t+2）＝0，∴k＝﹣1，t＝﹣2；（2）设 y＝3x+n①的特别对称函数为 y＝m'x+n'，∴＝x，∴（1+m'）x+n+n'＝0，∴m'＝﹣1，n'＝﹣n，∴y＝3x+n 的特别对称函数为 y＝﹣x﹣n②，联立①②解得，x＝﹣n，y＝﹣n，∵y＝3x+n 和它的特别对称函数的图象与 y 轴围成的三角形面积为 2，∴|n﹣（﹣n）|×|﹣n|＝2，∴n＝±2；（3）①∵二次函数 y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 为关于直线 y＝x 的特别对称函数，∴，∴（a+1）x2+（b﹣2）x+c+d＝0，∴a＝﹣1，b＝2，c＝﹣d；②由①知，a＝﹣1，b＝2，c＝﹣d，∴二次函数 y＝﹣x2+2x﹣d 和 y＝x2+d，第25页（共27页）∴这两个函数的对称轴为直线 x＝1 和 x＝0，∵P（﹣3，1）、点Q（2，1），当d＜0 时，如图 1，当抛物线 C2：y＝x2+d 恰好过点 P（﹣3，1）时，即：9+d＝1，∴d＝﹣8，当抛物线 C1：y＝﹣x2+2x﹣d 恰好过点 Q（2，1）时，即：﹣4+2﹣d＝1，∴d＝﹣3，y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为﹣8≤d ＜﹣3，如图 2，当 0≤d＜1 时，抛物线 C1 与线段 PQ 有两个交点，而抛物线 C2 与线段 PQ 没有交点，∴y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为 0≤d ＜1，即：y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为﹣8 ≤d＜﹣3 或 0≤d＜1．第26页（共27页）1、一知半解的人，多不谦虚；见多识广有本领的人，一定谦虚。

二次函数含参问题总结归纳1. 引言二次函数是数学中的一种重要函数形式，在各个领域都有广泛的应用。

它的一般形式可以表示为y=ax2+bx+c，其中a、b、c是常数。

在二次函数中引入参数之后，我们可以进一步研究函数的特性及其与其他变量之间的关系。

本文将对二次函数含参问题进行全面、详细、完整且深入地探讨。

2. 二次函数含参的一般形式二次函数含参可以表示为y=ax2+bx+c，其中a、b、c是常数，也可以是变量。

这样的表达方式使得函数可以根据不同的参数取值呈现出不同的性质和特性。

3. 二次函数的图像特征二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。

若a> 0，抛物线开口向上；若a<0，抛物线开口向下。

3.1 顶点坐标对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c，其顶点坐标为(−b2a ,4ac−b24a)。

通过求解一阶导数为零的方程，我们可以得到顶点的横坐标−b2a，然后将横坐标代入函数中求得对应的纵坐标。

3.2 对称轴二次函数的对称轴是以顶点为中心的直线。

对于一般形式的二次函数y=ax2+ bx+c，其对称轴的方程为x=−b2a。

对称轴将抛物线分为两个对称的部分。

3.3 焦点和准线对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c，如果a≠0，则该函数的图像是一个抛物线。

在抛物线上存在一个焦点和一条准线。

焦点的坐标可以通过以下公式求得：(−b 2a ,1−4ac 4a) 准线的方程为 y =14a 。

4. 二次函数含参的特性研究通过引入参数，我们可以进一步研究二次函数的特性及其与其他变量之间的关系。

4.1 参数 a 的影响参数 a 决定了二次函数的开口方向和抛物线的斜率。

当 a >0 时，图像开口向上，抛物线的斜率为正；当 a <0 时，图像开口向下，抛物线的斜率为负。

同时，a 的绝对值越大，抛物线的开口越宽。

4.2 参数 b 的影响参数 b 决定了抛物线与 y 轴的位置关系，也是对称轴的横坐标。

二次函数含参问题总结归纳二次函数含参问题总结归纳二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是考试中经常考察的知识点。

在学习二次函数的过程中，我们会遇到含参问题，即函数中会存在一个或多个参数，这些参数会对函数的图像、性质等产生影响。

本文将对二次函数含参问题进行总结归纳。

一、二次函数基本性质回顾在介绍二次函数含参问题之前，我们先来回顾一下二次函数的基本性质。

1. 二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

2. 二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定。

- 当a>0时，抛物线开口向上；- 当a<0时，抛物线开口向下。

3. 二次函数的对称轴方程为x = -b/2a，对称轴与抛物线的凹凸性质相同。

4. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)即为函数的最值。

- 当a>0时，函数有最小值；- 当a<0时，函数有最大值。

二、含参二次函数的图像变化含参二次函数是指函数中存在一个或多个参数，这些参数会对函数的图像产生影响。

下面我们讨论几种常见的含参二次函数的图像变化情况。

1. 含参二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中的参数a的变化对图像的影响：- 当a>0时，随着a的增大，抛物线的开口变得越来越窄，即变得越陡；- 当a<0时，随着a的减小，抛物线的开口变得越来越宽，即变得越矮胖。

2. 含参二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中的参数b的变化对图像的影响：- 当b>0时，整个抛物线向左平移；- 当b<0时，整个抛物线向右平移。

平移的距离与b的绝对值成正比。

3. 含参二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中的参数c的变化对图像的影响：- 当c>0时，在y轴上方平移；- 当c<0时，在y轴下方平移。

平移的距离与c的绝对值成正比。

专题2 含参数的二次函数的性质问题（解析版）1．关于x的一元二次方程ax2+2x﹣a+2＝0的两个不相等的实数根都在﹣2和0之间（不包括﹣2和0），则a的取值范围是 ．【思路引领】首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在﹣2和0之间（不包括﹣2和0），结合函数图象确定其函数值的取值范围得a，易得a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣a+2＝0的两个不相等的实数根，∴△＝22﹣4×a×（﹣a+2）＝4a2﹣8a+4＝4（a﹣1）2＞0，∴a≠1，设f（x）＝ax2+2x﹣a+2，根据题意知，当a＞0时，如图1，由f（﹣2）＞0且f（0）＞0可得4a−4−a+2＞0−a+2＞0，解得：23＜a＜2；当a＜0时，如图2，由f（﹣2）＜0且f（0）＜0可得4a−4−a+2＜0−a+2＜0，∴该不等式组无解；综上，a的取值范围是23＜a＜2且a≠1，故答案为：23＜a＜2且a≠1．【总结提升】本题主要考查了一元二次方程根的情况的判别及抛物线与x轴的交点，数形结合确定当x＝0和当x＝﹣2时函数值的取值范围是解答此题的关键．2．（2019•海安县一模）已知当2≤x≤3时，关于x的多项式x2﹣2kx+k2−12k﹣1（k为大于2的常数）有最小值﹣2，则常数k的值为 ．【思路引领】利用配方法以及二次函数的性质分类讨论即可求解．解：x2﹣2kx+k2−12k﹣1＝（x﹣k）2−12k﹣1（k＞2），①当2＜k≤3时，当x＝k时取最小值，∴−12k﹣1＝﹣2，∴k＝2，不合题意；②当k＞3时，当x＝3时取最小值，∴9﹣6k+k2−12k﹣1＝﹣2，∴k＝4或2.5，∵k＞3，∴k＝4；综上，k＝4；故答案为：4．【总结提升】本题考查了利用配方法求代数式的最值的问题，解题关键在于利用二次函数的性质结合数形结合列出关于k的方程．3．（2021•靖江市一模）若关于x的方程x2﹣2ax+a﹣2＝0的一个实数根为x1≥1，另一个实数根x2≤﹣1，则抛物线y＝﹣x2+2ax+2﹣a的顶点到x轴距离的最小值是 ．【思路引领】由一元二次方程根的范围结合图形，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围，由二次函数的性质可得出抛物线的顶点坐标，利用配方法即可求出抛物线y＝﹣x2+2ax+2﹣a的顶点到x轴距离的最小值．解：∵关于x的方程x2﹣2ax+a﹣2＝0的一个实数根为x1≥1，另一个实数根x2≤﹣1，∴1+2a+a−2≤0 1−2a+a−2≤0，解得：﹣1≤a≤1 3．抛物线y＝﹣x2+2ax+2﹣a的顶点坐标为（a，a2﹣a+2），∵a2﹣a+2＝（a−12）2+74，∴当a=13时，a2﹣a+2取最小值169．故答案为：16 9．【总结提升】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数的最值，通过解一元一次不等式组求出a的取值范围是解题的关键．4．（2017•嘉兴模拟）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为等值点．例如点（1，1）．（﹣2，﹣2）．，…，都是等值点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个等值点（34，34），且当m≤x≤3时，函数y＝ax2+4x+c−158（a≠0）的最小值为﹣9，最大值为﹣1，则m的取值范围是 ．【思路引领】根据等值点的概念令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，方程的根为−32a=34，从而求得a＝﹣2，c=−98，所以函数y＝ax2+4x+c−158=−2x2+4x﹣3，根据函数解析式求得顶点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．解：令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，又方程的根为−32a=34，解得a＝﹣2，c=−9 8．故函数y＝ax2+4x+c−158=−2x2+4x﹣3＝﹣2（x﹣1）2﹣1，如图，该函数图象顶点为（1，﹣1），由于函数图象在对称轴x＝1左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当m≤x≤3时，函数y＝﹣2x2+4x﹣3的最小值为﹣9，最大值为﹣1，∴﹣1≤m≤1，故答案为：﹣1≤m≤1．【总结提升】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．5．（2020•南通）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．（1）求抛物线的解析式；（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．【思路引领】（1）由题意可得0＝4a+2b+c①，−b2a=1②，Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，联立方程组可求a，b，c，可求解析式；（2）由n＜﹣5，可得点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，由二次函数的性质可求解；（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），∴0＝4a+2b+c①，∵对称轴是直线x＝1，∴−b2a=1②，∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，由①②③可得：a=−12 b=1c=0，∴抛物线的解析式为y=−12x2+x；（2）∵n＜﹣5，∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，∵抛物线y=−12x2+x，∴−12＜0，即y随x的增大而增大，∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，∴3n﹣4＞5n+6，∴y1＞y2；方法二‘∵B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）在抛物线y=−12x2+x上，∴y1=−12（3n﹣4）2+（3n﹣4）=−92n2+15n﹣12，y2=−12（5n+6）2+（5n+6）=−252n2﹣25n﹣12，∴y1﹣y2＝8n（n+5），∵n＜﹣5，∴8n＜0，n+5＜0，∴y1﹣y2＝8n（n+5）＞0，∴y1＞y2．（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意可得3n−4＜15n+6＞11−(3n−4)＜5n+6−1，∴0＜n＜5 3，若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意可得：3n−4＞15n+6＜13n−4−1＜1−(5n+6)，∴不等式组无解，综上所述：0＜n＜5 3．【总结提升】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．6．（2022秋•东城区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当c＝﹣3，t＝2时，求抛物线与y轴交点坐标及比较m，n的大小关系；（2）点（x0，m）在抛物线上，且2＜x0＜3，求t的取值范围，并比较m，n，c的大小关系．【思路引领】（1）令x＝0，求得y＝﹣3，即可求得抛物线与y轴的交点坐标，根据待定系数法即可得到a+b−3=m9a+3b−3=n−b 2a =2，解方程组即可求得m＝n；（2）根据题意得到对称轴为直线x＝t=1x02，然后根据二次函数的增减性即可得出m＜n＜c．解：（1）令x＝0，则y＝ax2+bx+c＝c，∵c＝﹣3，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，∴a+b−3=m9a+3b−3=n−b2a=2，解得m＝n．故抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），m，n的大小关系为m＝n；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点（1，m），（x0，m），∴t=1x0 2，∵2＜x0＜3，∴32＜t＜2，∵抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，且点（1，m）到对称轴的距离最近，点（0，c）到对称轴的距离最远，∴m＞n＞c．【总结提升】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数的性质．7．（2023•大庆三模）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为y＝3x2+2x+1已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a＞0）的“关联抛物线”为C2，C1与y轴交于点E．（1）若点E的坐标为（0，﹣1），求C1的解析式；（2）设C2的顶点为F，若△OEF是以OF为底的等腰三角形，求点E的坐标；（3）过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．【思路引领】（1）利用待定系数法可得答案；（2）根据新定义可得C2的解析式为y＝ax2+4ax+4a﹣3．（3）①求出OE的垂直平分线的解析式，可求出点P的坐标；②当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，分别得出C2的最大值和最小值，进而列出方程，可求出a的值．解：（1）∵C1与y轴交点的坐标为E（0，﹣1），∴4a﹣3＝﹣1，a=1 2．∴C1的解析式为：y=2x2+12x−1．（2）根据新定义可得C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3．∴y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3．∴C2的顶点F的坐标为（﹣2，﹣3）．∴点E（0，4a﹣3）．OE的中点坐标为：（﹣1，−32），设OE垂直平分线的解析式为：y=−23x+b，代入中点坐标得：−32=−23×（﹣1）+b，解得b=−13 6．∴点E的坐标为(0．−136)．（3）①设点P的横坐标为m．∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N，∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3）．∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|．∵MN＝6a，∴|3am2﹣3am|＝6a，解得m＝﹣1或m＝2．∴P（﹣1，0）或（2，0）．②∵C2：y＝a（x+2）2﹣3．∴当x＝﹣2时，y＝﹣3．当x＝a﹣4 时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3；当x＝a﹣2 时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3．根据题意可知，需要分三种情况讨论：Ⅰ．当a﹣4＜﹣2＜a﹣2时，0＜a＜2，且当0＜a≤1时，y大＝a（a﹣2）2﹣3；y小＝﹣3，∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2a＝2+a＝0（舍）；当1＜a＜2时，y大＝a3﹣3；y小＝﹣3，∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a a=a＝0（舍）；Ⅱ．当﹣2≤a一4≤a﹣2时，a≥2，y大＝a3﹣3；y小＝a（a﹣2）2﹣3．∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a，解得a=32（舍）或a＝0（舍）；Ⅲ．当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去．综综以上分析，a2【总结提升】本题考查二次函数背景下新定义类问题，二次函数的图象及性质，掌握二次函数图象的性质是解题关键．8．（2022•广州）已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．（1）求直线l的解析式；（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．①求m的取值范围；②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在4m5≤x≤4m5+1的图象的最高点的坐标．【思路引领】（1）用待定系数法求解析式即可；（2）①设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，将点（0，﹣3）代入可得am2+7﹣m＝﹣3，再由a=m−10m2＜0，求m的取值即可；②由题意求出Q点的横坐标为m+12，联立方程组y=−x+7y=a(x−m)2+7−m，整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，根据根与系数的关系可得m+m+12=2m−1a，可求a＝﹣2，从而可求m＝2或m=−52，确定抛物线的解析式后即可求解．解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入y＝kx+b，∴b=7k+b=6，解得k=−1 b=7，∴y＝﹣x+7；（2）①∵点P（m，n）在直线l上，∴n＝﹣m+7，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，∵抛物线经过点（0，﹣3），∴am2+7﹣m＝﹣3，∴a=m−10 m2，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴a=m−10m2＜0，∴m＜10且m≠0；②∵抛物线的对称轴为直线x＝m，∴Q点与Q'关于x＝m对称，∴Q点的横坐标为m+1 2，联立方程组y=−x+7y=a(x−m)2+7−m，整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点，∴m+m+12=2m−1a，∴a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m，∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，解得m＝2或m=−5 2，当m＝2时，y＝﹣2（x﹣2）2+5，此时抛物线的对称轴为直线x＝2，图象在85≤x≤135上的最高点坐标为（2，5）；当m=−52时，y＝﹣2（x+52）2+192，此时抛物线的对称轴为直线x=−5 2，图象在﹣2≤x≤﹣1上的最高点坐标为（﹣2，9）；综上所述：G在4m5≤x≤4m5+1的图象的最高点的坐标为（﹣2，9）或（2，5）．【总结提升】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式，分类讨论是解题的关键．9．（2023•天门三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+1时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p ﹣q＝2．求m的值；（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其（备用图）顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．【思路引领】（1）求出A、C点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；（2）分四种情况讨论：当m+1≤1时，此时q＝m2﹣4，p＝m2﹣2m﹣3，求得m=−12；当m≥1时，此时p＝m2﹣4，q＝m2﹣2m﹣3，求得m=32；当m＜1＜m+12时，q＝2，p＝m2﹣4，m不符合题意；当m+12＜1＜m+1时，q＝2，p＝m2﹣2m﹣3，m不符合题意（3）由题意可得y＝（x﹣n）2﹣n﹣3，当x﹣5＝（x﹣n）2﹣n﹣3只有一个实数根时，直线BA与抛物线有一个交点；当1＜n≤4时，平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点．解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴A（1，﹣4），令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵CB∥x轴，∴B（2，﹣3），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴k+b=−4 b=−3，解得k=−1 b=−3，∴y＝﹣x﹣3；（2）当x＝m时，y＝m2﹣2m﹣3，当x＝m+1时，y＝（m+1）2﹣2（m+1）﹣3＝m2﹣4，当m+1≤1时，即m≤0，此时q＝m2﹣4，p＝m2﹣2m﹣3，∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣m2+4＝﹣2m+1＝2，解得m=−1 2；当m≥1时，此时p＝m2﹣4，q＝m2﹣2m﹣3，∴p﹣q＝m2﹣4﹣（m2﹣2m﹣3）＝2m﹣1＝2，解得m=3 2；当m＜1＜m+12时，q＝﹣4，p＝m2﹣4，∴p﹣q＝m2﹣4+4＝2，解得m=m=；当m+12＜1＜m+1时，q＝﹣4，p＝m2﹣2m﹣3，∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝1m＝1；综上所述：−12或32．（3）设直线BA的解析式为y＝kx+b，∴2k+b=−3 k+b=−4，解得k=1b=−5，∴y＝x﹣5，∵抛物线的顶点的横坐标为n，∴y＝（x﹣n）2﹣n﹣3，当x﹣5＝（x﹣n）2﹣n﹣3只有一个实数根时，直线BA与抛物线有一个交点，Δ＝（2n+1）2﹣4（n2﹣n+2）＝0，解得n=7 8，当抛物线经过B点时，（2﹣n）2﹣n﹣3＝﹣3，解得n＝1或n＝4，∴当1＜n≤4时，平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；综上所述：n=78或1＜n≤4时，平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点．【总结提升】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，分类讨论是解题的关键．10．（2023•双柏县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴．（1）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝4时，求点B的坐标；（2）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围．【思路引领】（1）判断出点B的横坐标为﹣1，可得结论．（2）分两种情形：当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小．利用图象法解决问题即可．解：（1）把（2，0）代入y＝x2﹣bx，得到b＝2，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x．如图1，∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴抛物线的顶点为（1，﹣1），对称轴为直线x＝1．∵BC∥x轴，∴B、C故对称轴x＝1对称，BC＝4．∴点B的横坐标为﹣1．∴B（﹣1，3）．（2）如图2中，∵点A的横坐标为m，PQ＝2|m|，m＞0，∴PQ＝PN＝MN＝2m．∴正方形的边MN在y轴上．当点M与O重合时，由y=xy=x2−2x，解得x=0y=0或x=3y=3．∴A（3，3）．观察图象可知，当m≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．如图3中，当PQ落在抛物线的对称轴上时，m=12，观察图象可知，当0＜m≤12时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小．综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤12或m≥3．【总结提升】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．11．（2022•甘井子区校级模拟）已知函数y=−x2+nx+n(x≥n)−12x2+n2x+n2(x＜n)（n为常数）．（1）当n＝5时，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值．②求此函数的最大值．（2）当n＜0时，作直线x=23n与x轴交于点P，与该函数图象交于点Q，若∠POQ＝45°，求n的值．（3）若此函数图象上有3个点到直线y＝2n的距离等于2，求n的取值范围．【思路引领】（1）①将P（4，b）代入y=−12x2+52x+52；②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；当x＜5时，当x=52时有最大值为458；故函数的最大值为458；（2）分两种情况：Q在x轴的上方和下方；证明△POQ是等腰直角三角形，得OP＝PQ，列方程可得结论；（3）分两种情况，当n＜0时，n＞0时，分别画出图象，求解即可．解：（1）当n＝5时，y=−x2+5x+5(x≥5)−12x2+52x+52(x＜5)，①将P（4，b）代入y=−12x2+52x+52，∴b=9 2；②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；当x＜5时，当x=52时有最大值为458；∴函数的最大值为45 8；（2）∵n＜0，∴23n＞n．①当点Q 在x 轴上方时，由题意可得，OP =−23n ．∵∠POQ ＝45°，∠OPQ ＝90°，∴△OPQ 是等腰直角三角形，∴OP ＝OQ ，∴−23n ＝﹣（23n ）2+n •（23n ）+n ，解得n ＝0（舍）或n =−152．②当点Q 在x 轴下方时，同理可得，−23n ＝﹣[﹣（23n ）2+n •（23n ）+n ]，解得n ＝0（舍）或n =−32；综上，n 的值是−152或−32；（3）①当n ＞0时，当x ≥n 时，y ＝﹣x 2+nx +n ＝﹣（x −n 2）2+n 24+n ，∵点到直线y ＝2n 的距离等于2，∴点在直线y ＝2n +2上或直线y ＝2n ﹣2上，令n 24+n ＝2n +2，解得n ＝n ＝2﹣把x ＝n 代入y =−12x 2+n 2n +n 2，得y =12n ，令12n ＝2n +2，解得n =−43．∴当2﹣n ＜−43时，此函数图象上有3个点到直线y ＝2n 的距离等于2．②当n ＞0时，同理，当x ＜n 时，y =−12x 2+n 2n +n 2=−12（x −n 2）2+n 28+n 2．令n 28+n 2=2n ﹣2，解得n ＝n ＝6﹣把x ＝n 代入y =−12x 2+n 2n +n 2，得y =12n ，令12n ＝2n ﹣2，解得n =43．∴当3＜n ＜6﹣3个点到直线y ＝2n 的距离等于2．综上所述：n 的取值范围是2﹣n ＜−43或43＜n ＜6﹣【总结提升】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会正确画出函数图象，利用图象法解决问题，属于中考压轴题．12．（2023•越秀区校级二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+4ax +4a +1（a ＜0）交x 轴于A ，B 两点．（1）将AB 沿y 轴正方向平移动t 个单位得到A ′B ′，当抛物线与A ′B ′有且仅有一个公共点时，求t 的取值；（2）当﹣3≤x ≤0时，抛物线恒在直线y ＝2x +a 的上方，求a 的取值范围；（3）将此抛物线在A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（包括边界）记为G ，在G 内的整点（横、纵坐标都是整数的点）是否存在有且只有8个？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【思路引领】（1）将抛物线解析式化作顶点式可得出顶点坐标，由题可知，当抛物线与AB ′有且仅有一个公共点时，即A ′B ′过顶点，可得解；（2）由题意可得：当﹣3≤x ≤0时，ax 2+4ax +4a +1＞2x +a 恒成立，即当﹣3≤x ≤0时，ax 2+（4a ﹣2）x +3a +1＞0 恒成立，由此得出关于a 的不等式组，解之即可；（3）根据y ＝ax 2+4ax +4a +1（a ＜0）可求出顶点坐标和A 、B 的坐标，再根据题意可列出关于a 的不等式组，求解即可得出答案．解：（1）∵y ＝ax 2+4ax +4a +1＝0（x +2）2+1，∴抛物线顶点坐标为（﹣2，1），由题意可得：当抛物线与AB ′有且仅有一个公共点时，即A ′B ′过顶点，∴AB 应沿y 轴正方向平移1个单位，∴t ＝1；（2）由题意可得：当﹣3≤x ≤0时，ax 2+4ax +4a +1＞2x +a 恒成立，即当﹣3≤x ≤0时，ax 2+（4a ﹣2）x +3a +1＞0 恒成立，∴当x ＝﹣3时，y ＞0且当x ＝0时，y ＞0，即9a−3(4a−2)+3a +1＞0①3a +1＞0②，由①得7＞0，由②得a ＞﹣3，∴−3＜a ＜0；（3）由（1）得，抛物线顶点坐标为（﹣2，1），令y ＝0，得 x =−2+x ＝﹣2设A(−20），0），此抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）有且只有8个整点（横、纵坐标都是整数的点），且顶点坐标为（﹣2，1），∴﹣6＜﹣2−5，1≤﹣22，解得−19≤a ＜−116．【总结提升】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是明确已知条件列出关于a 的不等式．13．（2017•南通）已知直线y ＝kx +b 与抛物线y ＝ax 2（a ＞0）相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴正半轴相交于点C ，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ．（1）若∠AOB ＝60°，AB ∥x 轴，AB ＝2，求a 的值；（2）若∠AOB ＝90°，点A 的横坐标为﹣4，AC ＝4BC ，求点B 的坐标；（3）延长AD 、BO 相交于点E ，求证：DE ＝CO ．【思路引领】（1）如图1，由条件可知△AOB 为等边三角形，则可求得OA 的长，在Rt △AOD 中可求得AD 和OD 的长，可求得A 点坐标，代入抛物线解析式可得a 的值；（2）如图2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据CF ∥BG ，由A 的横坐标为﹣4，得B 的横坐标为1，所以A （﹣4，16a ），B （1，a ），证明△ADO ∽△OEB ，则AD OE =OD BE，得a 的值及B 的坐标；（3）如图3，设AC ＝nBC 由（2）同理可知：A 的横坐标是B 的横坐标的n 倍，则设B （m ，am 2），则A （﹣mn ，am 2n 2），分别根据两三角形相似计算DE 和CO 的长即可得出结论．解：（1）如图1，∵抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴，且AB ∥x 轴，∴A 与B 是对称点，O 是抛物线的顶点，∴OA ＝OB ，∵∠AOB ＝60°，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝2，AB⊥OC，∴AC＝BC＝1，∠BOC＝30°，∴OC=∴A（﹣1，把A（﹣1y＝ax2（a＞0）中得：a（2）如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，∵CF∥BG，∴ACBC=AFFG，∵AC＝4BC，∴AFFG=4，∴AF＝4FG，∵A的横坐标为﹣4，∴B的横坐标为1，∴A（﹣4，16a），B（1，a），∵∠AOB＝90°，∴∠AOD+∠BOE＝90°，∵∠AOD+∠DAO＝90°，∴∠BOE＝∠DAO，∵∠ADO＝∠OEB＝90°，∴△ADO∽△OEB，∴ADOE=ODBE，∴16a1=4a，∴16a2＝4，a＝±1 2，∵a＞0，∴a=1 2；∴B （1，12）；（3）如图3，设AC ＝nBC ，由（2）同理可知：A 的横坐标是B 的横坐标的﹣n 倍，则设B （m ，am 2），则A （﹣mn ，am 2n 2），∴AD ＝am 2n 2，过B 作BG ⊥x 轴于G ，∴DE ∥BG ，∴△BOG ∽△EOD ，∴OB OE =OG OD =BG DE，∴OB OE =m mn =am 2DE，∴OB OE =1n ，DE ＝am 2n ，∴OB BE =11n，∵OC ∥AE ，∴△BCO ∽△BAE ，∴CO AE =OB BE =11n，∴CO am 2n 2am 2n =11n，∴CO =am 2n(1n)1n=am 2n ，∴DE ＝CO ．【总结提升】本题是二次函数的综合题，考查了利用三角形相似计算二次函数的解析式、三角形相似的性质和判定、函数图象上点的坐标与解析式的关系、等边三角形的性质和判定，要注意第三问不能直接应用（1）（2）问的结论，第三问可以根据第二问中AC＝4BC，确定A、B两点横坐标的关系，利用两点的纵坐标和三角形相似列比例式解决问题．。

二次函数含参问题本质：解决二次函数含参问题就是解决对称轴与定义域的问题。

课堂例题：1. 若函数a ax x x f --=2)(在区间 上的最大值为1，则实数=a ；2. 若函数x x x f 3)(2-=，在[]m ,0上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,49，则m 的取值范围为 ；当堂练习：1. 若函数)0(22≠-=a ax ax y 在区间]3,0[上有最大值3，则a 的值是 ；2. 已知函数22)(22++-=a ax x x f [])3,1(-∈x 有最大值18，则实数a 的值为 ；1. 若函数在区间[]2,0上的最大值为9，求实数a 的值；当堂练习：1. 已知函数)0(49433)(22>++--=b b x x x f 在区间[－b, 1－b]上的最大值为25，求b 的值；2. 已知函数2244)(22+-+-=a a ax x x f 在区间[]2,0上有最小值3，求实数a 的值；家庭作业：1．函数432--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则实数m 的取值范围是__________. 2．若函数12)(2+-=x x x f 在区间[]2,+a a 上的最大值为4，则a 的值为 ；3．已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间[]m ,0上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为 ；4．若函数22422y x ax a a =-+-+在[0,2]的最小值是2，则a 的值为 ；5．若三条抛物线，，中至少有一条与轴有交点，则的取值范围是 ；3442+-+=a ax x y 22)1(a x a x y +-+=a ax x y 222-+=x a1.不等式对于一切实数x都成立，求的取值范围；2.若不等式，当x∈时恒成立，求的取值范围；当堂练习：1.求对于，不等式恒成立的x的取值范围；2. 若不等式对于一切x∈，恒成立，则的取值范围是多少；3.不等式在x∈，上恒成立，求实数的取值范围；4.设不等式对于满足的一切值都恒乘以，求x的取值范围；家庭作业：1.函数，对于满足的一切x值都有，求实数的取值范围；2.已知是定义在区间上的函数，且，若m，n∈，时，有对任意x∈，都成立。

培优专题01二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)()22f x x x =-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c =，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a ab =⎧⎨+=-⎩，得12a b =⎧⎨=-⎩.所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩.【例2】已知定义在R 上的函数)f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）．f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；[,1]t t +【例4】已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；上的最大值为【例1】已知函数2()f x x mx m =-+-.(1)若函数()f x 在[]1,0-上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)若当1x >时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得()f x 在[]2,3上的值域恰好是[]2,3？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明上单调递减，应满足【例2】已知二次函数的图象过点，且不等式20ax bx c ++≤1(1)求()f x 的解析式：24g x f x t x =--在区间[]1,2-上有最小值2，求实数t 的值.(1)若函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤，求,a b 的值；时，函数【例4】已知函数，R b ∈.(1)若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值；(2)在（1）条件下，求不等式()0f x <的解集；1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.【例5】在①2,2x ∀∈-，②1,3x ∃∈这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数()24f x x ax =++．(1)当2a =-时，求函数()f x 在区间]22-,上的值域；【例1】已知二次函数()()20,,,f x ax bx c a a b c =++>∈R ，()11f -=，对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，且()0f x x +≥恒成立．(1)求二次函数()f x 的解析式；(1)若x f 为偶函数，求a 的值；(1)当2a =时，试写出函数()()g x f x x =-的单调递增区间；)x(1)当2a =时，求f x 的单调增区间；，所以(1)若函数f x 在[]1,2上单调递增，求实数m 的取值范围；2g x xf x m =+在[]1,2的最小值为7，求实数m 的值.【例1】已知a ，b 是常数，0a ≠，()2f x ax bx =+，()20f =，且方程()f x x =有两个相等的实数根．(1)求a ，b 的值；(2)是否存在实数m ，n ()m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ?若存在，求出实数m ，=【例2】已知函数()1,111,01x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩.(1)当0a b <<，且()()f a f b =时，求11a b+的值；(2)若存在实数,(1)a b a b <<，使得函数()y f x =的定义域为[],a b 时，其值域为[],ma mb ，求实数m 的取值【例3】已知函数()22f x a a x=+-，实数a R ∈且0a ≠．(1)设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值．【例4】已知二次函数，满足对任意实数(3)(1)f x f x -=-，且关于x 的方程()2f x x =有两个相等的实数根.(1)求函数()f x 的解析式：(2)是否存在实数m 、()n m n <，使得()f x 的定义域为[,]m n ，值域为22,m n ⎡⎤⎣⎦?若存在，求出m ，n 的值；【例5】已知函数－2x ＋b 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为的保值区间．(1)若b ＝0，求函数f (x )形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间；m n <【例6】已知函数()2f x x-=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为[]23,23m n --，求实数【例7】已知是定义在R 上的函数，且0f x f x +-=，当0x >时，(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[)1,x ∞∈+时，()()g x f x =，当(),1x ∞∈-时()223g x x mx m =-+-，()g x 在R 上单调递减，求m 的取值范围；(3)是否存在正实数a b ，，当[],x a b ∈时，()()h x f x =且()h x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若存在，求出a b ，，若不【例1】已知函数()1f x x x=+，()21g x x ax a =-+-．(1)若()g x 的值域为[)0,∞+，求a 的值．证明：对任意1,2x ∈，总存在1,3x ∈-，使得f x g x =成立．【例2】函数y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y f x =为奇函数，可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，给定函数()261+-=+x x f x x .(1)求()f x 的对称中心；(2)已知函数()g x 同时满足：①()11+-g x 是奇函数；②当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+.若对任意的0,2x ∈1,5x ∈，使得()()g x f x =所以【例3】已知函数(1)若函数()g x 的值域为[0,)+∞，求a 的取值集合；[2,2]x ∈-[2,2]x ∈-f x g x =。

初中二次函数含参问题总结归纳在初中数学中,二次函数是一个非常重要的知识点,其中含参问题也是二次函数中比较典型的问题之一。

下面我们对二次函数含参问题进行总结归纳:1. 已知函数图像和顶点位置,求函数的解析式和参数值。

这是含参问题的第一个要求,需要画出函数的图像,并确定函数的顶点位置和参数值。

具体而言,可以通过函数顶点的位置来确定参数值,通过函数图像的斜率来确定参数位置。

2. 已知函数图像和一次函数的关系,求二次函数的解析式和参数值。

含参问题的第二个要求,需要确定函数与一次函数的关系。

例如,如果二次函数的系数是-2,而一次函数的系数是x^2,那么可以确定这是一种特殊的二元一次函数,其图像为抛物线。

此时,需要确定抛物线的解析式和参数值。

3. 已知函数图像和一次函数、二次函数的关系,求三者的解析式和参数值。

这是含参问题的三个要求,需要确定一次函数、二次函数和函数之间的关系。

例如,如果一次函数的系数是-2,二次函数的系数是-1,且一次函数和二次函数的交点在函数图像的左侧,那么可以确定这是一种特殊的二元一次函数,其图像为抛物线,且抛物线的解析式为x^2+2x-3。

此时,需要确定抛物线的解析式、参数值和一次函数的参数值。

4. 已知函数图像和二次函数的解析式,求函数的值域和周期。

含参问题的第四项要求,需要确定函数的值域。

例如,如果函数的解析式是y=x^2+2x-3,且-1<=x<=3,那么可以确定函数的值域为[-3,3]。

此外,还需要确定函数的周期,即函数图像在x轴上循环的次数。

综上所述,二次函数含参问题需要通过函数图像和参数值来确定解析式和参数值,同时还需要确定函数的值域和周期。

一般地，含参的二次函数有三种情形，其一是函数式中含参，其二是定义区间含参；这两种情形的基本做法都是将函数的对称轴与定义区间的位置关系进行讨论；其三是涉及含参的二次方程的根的分布问题，一般可结合图像研究。

一．含参二次函数最值问题。

例1. 函数2()44f x x x =--在闭区间[t ，t ＋1]（t ∈R ）上的最小值记为g （t ）。

（I ）试写出g （t ）的函数表达式；（II ）求出g （t ）的最小值。

变式训练1：讨论函数2()44f x x tx =--在定义域[0，1]上的最小值。

变式训练2：20443p p x px x p x ≤≤+>+-对于满足的所有实数，是不等式都成立，求的取值范围。

二．二次函数根的区间分布归纳。

例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

变式训练1：已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

变式训练2：已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，其横坐标一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。

例3. 已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围。

变式训练1：已知关于x 的方程012)1(22=-+-mx x m 的根在区间[0，1]内，求实数m 的取值范围。

变式训练2 （2007年广东卷）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围。

中考二次函数含参问题总结课件和讲解
中考二次函数自2019年开始，难度逐年增大，主要考查题型有填空题压轴题和解答题二次函数压轴题。

与以往的安徽省中考二次函数不同的是，以往的二次函数一般以应用题形式出现，第二问多以最值问题为主要考查方式，然而近3年增加了二次函数含参的问题重点考查，这无异于增加了安徽省中考数学的考试难度，但本质上也是为了对接高中数学知识点，起到了知识点衔接的作用，虽然对于中考难度有所加大，但是对于后面高中数学的学习有很大的帮助。

因此，我们在初中时期，就需要对于这类问题做好总结和训练，在考试中多练习多总结，做到对这类含参二次函数问题的出题方式、解题步骤、解题方法，以及解题技巧的重点把握，才能在中考中取得很好的成绩，希望此视频对学习这类问题有所帮助。

随后附上视频讲义，觉得有帮助的可以保存使用：。