二次函数中“含参恒成立”问题求解策略

含参不等式恒成立问题的求解策略不等式是数学中的基础知识，它涉及到关系的研究，常用于数学等学科的计算。

它的解决方案可以用来帮助解决复杂的问题，或者提出观点并影响结果。

今天，我们将讨论如何解决含参不等式恒成立问题。

首先，让我们来讨论这种问题，即不等式含参恒成立问题，是指一个不等式变量以及一些参考变量满足不等式恒成立（比如x+y<5，当x=3，y=2时恒成立）的问题。

解决这类问题的思路主要有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法。

1.学解法。

数学解法是常用的解决含参不等式恒成立问题的方法，通常需要先将输入的参数值代入不等式，然后利用求解方程的方法求解问题。

例如，当给定不等式为x+y<5，求解x=3,y=2时恒成立，则可以分别代入x=3和y=2，得到x+y<5，因此恒成立。

2.序求解法。

程序求解法是更加实用的方法，特别是在需要处理大量数据时。

它需要把不等式构造成一个程序，然后通过程序求解。

例如，当给定不等式为x+y<5时，可以用程序编写一段代码，把输入的参数代入不等式，并判断结果是否满足不等式，从而解决问题。

3.明方法。

证明方法是解决含参不等式恒成立的另外一种方法，即通过证明不等式恒成立来解决问题。

证明方法需要对不等式或者相关公式进行证明，以达到满足不等式恒成立的目的。

例如，当给定不等式为x+y<5时，可以通过证明x=3,y=2时，x+y也小于5，从而解决问题。

从以上内容可以看出，解决含参不等式恒成立的问题的策略有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法。

其中，数学解法是最常用的方法，而程序求解法和证明方法则能够更加实用地解决复杂的问题。

因此在解决含参不等式恒成立问题时，要根据问题的复杂程度选择适当的策略，从而有效解决问题。

综上所述，解决含参不等式恒成立问题的策略有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法，根据不等式的复杂程度来选择适当的策略，从而有效求解问题。

把握这些解决含参不等式恒成立问题的策略，能够帮助我们有效解决复杂的问题，从而更快提出观点，影响结果。

含参一元二次不等式的解法与恒成立问题
一元二次不等式是几何、代数以及统计学等领域中使用最广泛的不等式之一，其解法和恒成立问题也是学习和研究的重要内容。

首先，要理解含参一元二次不等式的解法，我们需要对一元二次方程有所了解。

一元二次不等式也可以表示为一元二次方程形式，也可以将一元二次方程化为一元二次不等式形式。

一元二次方程有一般形式ax^2 + bx + c = 0,其中a,b,c均为实数，且a≠0，这个方程有两个实根，如果a,b,c满足一定条件，那么解得的方程式可以写作
x^2+px+q≥0,其中p为常数，q为常数。

在求解含参一元二次不等式的时候，要先化成一元二次方程的形式，然后根据首项系数是正还是负，分两种情况讨论，如果ax^2为正，那么此一元二次不等式在实数集上有解，只要保证满足一定条件即可；若ax^2为负，则含参一元二次不等式可以分离，而只要满足条件就必定存在解。

当求解不等式的恒成立问题时，一般的思路是先将不等式的非负部分和负部分分开，求解其左右两边的值，例如：若有ax^2+bx+c≥0，可先将其分解为ax^2+c≥0和bx≥0，然后求解其左右两边的值，根据不等式的性质，求解其两个值，确定其恒成立条件。

总之，一元二次不等式的解法及其恒成立问题是学习和研究中重要的内容，也是大家常用的不等式之一。

要正确求解，首先要正确分离不等式，然后根据不等式的性质确定相应的恒成立条件。

解题宝典含参不等式恒成立问题是一类综合性较强的题型，经常同时涉及多个不同的知识点.由于问题中涉及了参数，所以在解题的过程中，我们要充分关注参数，对参数进行分离、分类讨论等.本文结合实例，对解答含参不等式恒成立问题的三种途径作一探讨.一、分离参数法分离参数法是指将不等式变形使参数和变量分离，然后构建关于变量的函数，将原问题转化为函数最值或值域问题来求解的方法.在分离出参数之后，求函数最值的方法有导数法、基本不等式法、配方法等.例1.已知函数f ()x =ln 2()1+x -x 21+x，其单调递增区间为()-1,0，单调递减区间为()0,+∞.若不等式æèöø1+1n n +a≤e 对于任意n ∈N *都成立（其中e 是自然对数的底数），求a 的最大值.解：将不等式æèöø1+1n n +a≤e 两边取对数，可得()n +a æèöø1+1n ≤1，即a ≤1ln æèöø1+1n -n ，设g ()x =1ln ()1+x -1x，x ∈(]0,1，而函数的单调递增区间为()-1,0，单调递减区间为()0,+∞，所以ln 2()1+x -x 21+x≤0，故g ′()x <0，x ∈(]0,1，即g ()x 在区间(]0,1上为减函数，因此g ()x 在(]0,1的最小值为g ()1=1ln 2-1，则a 的最大值为1ln 2-1.解答本题主要运用了分离参数法.首先将不等式进行变形使参数和变量分离，然后构造函数g ()x ，对其求导，通过讨论导函数的单调性求得g ()x 的最小值，得到a 的最大值.二、分段讨论法分段讨论法一般适用于求解需要分多种情况进行讨论的问题.在运用分段讨论法求解含参不等式恒成立问题时，需将参数或定义域区间分成几段，然后逐段讨论使不等式恒成立时的情况，最后综合所求得的结果即可.这种方法的优势在于可以将每一种情况都考虑到.例2.已知f ()x =x ||x -a -2.当x ∈[]0,1时，f ()x <0恒成立，求实数a 的取值范围.分析：已知函数式中含有绝对值，需采用分段讨论法来求解，在定义域内讨论不同区间去掉绝对值符号以及不等式恒成立的情况.解：当x =0时，显然f ()x <0成立，此时a ∈R ，当x ∈(]0,1时，由f ()x <0可得，x -2x <a <x +2x，令g ()x =x -2x ，h ()x =x +2x ，x ∈(]0,1，则g ′()x =1+2x2>0，所以g ()x 在x ∈(]0,1上是单调递增的，则g ()x max =g ()1=-1，此时h ′()x =1-2x2<0，则h ()x 是单调递减，h ()x min =h ()1=3，因此a 的取值范围是()-1,3.三、单调性法单调性法是指利用函数的单调性构造使不等式恒成立的条件，使问题获解的方法.在运用单调性法解答不等式恒成立问题时，要注意首先将不等式进行变形，构造出合适的函数，然后分析函数的单调性.例3.若定义在()0,+∞上的函数f ()x 满足f ()x +f ()y =f ()xy ，且当x >1时，不等式f ()x <0成立，若不等式f æèöøx 2+y 2≤f ()xy +f ()a 对于任意x ,y ∈()0,+∞恒成立，求实数a 的取值范围.解：设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1，则有f æèçöø÷x 2x 1<0，所以f ()x 2-f ()x 1=f æèçöø÷x 2x 1∙x 1-f ()x 1=f æèçöø÷x 2x 1<0，即f ()x 2<f ()x 1，所以函数f ()x 在()0,+∞上为减函数，故f æèöøx 2+y 2≤f xy +f ()a ⇔f æèöøx 2+y 2≤f ()a xy⇔a +y xy+y xy≥2xy xy=2（当且仅当x =y 时取等号），所以a 的取值范围是()0,2.分离参数法、分段讨论法和单调性法都是解答含参不等式恒成立问题的方法，但它们的适用范围并不相同，分离参数法适用于求解方便将参数、变量分离的问题；分段讨论法适用于解答需要分多种情况进行讨论的问题；单调性法适用于解答函数的性质较为明显的问题.（作者单位：江苏省南通市海门四甲中学）42。

函数中的几个恒成立问题的解题策略一、一次函数型给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f本质上是利用了一次函数的单调性和函数的最值！例1：对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围。

真题实战： 设函数323()(1)1,32af x x x a x a =-+++其中为实数。

（Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）已知不等式'2()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。

二、 二次函数（1）二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)当R x ∈大于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆>00a ；（2）二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布求解。

本质上是利用了二次函数的性质和函数的最值！例2.若函数y =R 上恒有意义，求m 的取值范围。

例3.已知函数2()3f x x a x a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

变式1：若[]x∈-时，()02,2f x≥恒成立，求a的取值范围。

变式2：若[]2,2x∈-时，()2f x≥恒成立，求a的取值范围。

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此类题目中的x还可以换成)f：如三角函数、指数函数、对数函数，还可以是一元二次(x不等式，一元二次函数等。

二次函数中“含参恒成立”问题求解策略二次函数是一个具有形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a$、$b$、$c$是常数，且$a\neq 0$。

在解题过程中，当给定一定的条件，要求找到使得二次函数“含参恒成立”的参数值，需要采取以下步骤。

第一步：理解含参恒成立的概念含参恒成立是指对于二次函数中的参数值，存在一个或一组满足特定条件的解使得方程恒成立。

通常来说，这些参数值可以是实数、整数或者满足特定要求的整数。

第二步：分析题目条件仔细阅读题目，分析所给条件以及问题的要求。

通常来说，问题中会涉及到函数图像的性质、方程的解的个数、方程的根的取值范围等。

第三步：确定参数的取值范围根据题目中给出的条件，确定参数的取值范围。

这方面通常包括参数的正负性质以及其他限制条件。

第四步：构建二次方程根据题目要求以及参数的取值范围，构建二次方程。

一般来说，可以通过给定条件构建出包含参数的二次方程。

第五步：解二次方程解二次方程的方法有多种，可以通过求根公式或者配方法解方程。

第六步：验证解的合法性将求得的解代入构建的二次方程中，验证是否满足题目给定的条件。

如果满足条件，则该参数取值使得二次函数“含参恒成立”。

第七步：总结答案将满足条件的参数值以及求得的二次方程的解进行总结，得出最终答案。

如果存在多个满足条件的参数值，需要将所有解都列出。

在实际解题过程中，每一步都要仔细思考、分析，并得出合理的解答。

需要注意的是，由于题目条件的不同，求解的策略也会有所差异。

因此，根据具体情况灵活运用解题策略是非常重要的。

含参不等式恒成立问题的求解策略【典型例题】[判别式法]若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。

一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ;2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a 例1．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。

[最值法]将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）a x f >)(恒成立m in )(x f a <⇔2）a x f <)(恒成立m ax )(x f a >⇔例3．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。

例4．函数),1[,2)(2+∞∈++=x xa x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

[分离变量法]若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。

这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。

一般地有：1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立m ax )()(x f a g >⇔2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立m ax )()(x f a g <⇔例5．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

[变换主元法]例6．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。

一、 判别式法:若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。

一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有（1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔0a ;（2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a注:①R x c bx ax ∈>++对02恒成立⎩⎨⎧<∆>⎩⎨⎧>==⇔0000a c b a 或;②R x c bx ax ∈<++对02恒成立⎩⎨⎧<∆<⎩⎨⎧<==⇔0000a c b a 或 例：关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围． 解:(1)当0=a 时，原不等式化为01<--x ,不符合题意，∴0≠a .(2)当0≠a 时,则⎩⎨⎧>--<⇒⎩⎨⎧<---=∆<012300)1(4)1(022a a a a a a a 310)1)(13(0-<⇒⎩⎨⎧>-+<⇒a a a a ∴a 的取值范围为)31,(--∞ 例：若函数)8(6)(2++-=k kx kx x f 的定义域为R ，求实数k 的取值范围解：(1)当0=k 时，8)(=x f 满足条件.(2) 当0≠k 时,则102)8(43602≤<⇒⎩⎨⎧≤+-=∆>k k k k k . 综合(1)(2)得：k 的取值范围是]1,0[ 例:已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

解：由题意得：不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a ，解得311>-<a a 或。

所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞例：若不等式210ax ax --<的解集为R ,求实数a 的取值范围. 解: (1)当0=a 时,原不等式可化为10-<,显然成立(2)当0a ≠,则240a a a <⎧⎨∆=+<⎩,得04<<-a 综上(1)(2)得：a 的取值范围]0,4(-. 例：已知关于x 的不等式01)3()32(22<-----x m x m m 的解集为R ,求实数m 的取值范围.解:(1)若0322=--m m ,则13-==m m 或, 当3=m 时，原不等式可化为10-<,显然成立; 当1-=m 时，原不等式可化为014<-x ,显然不成立.3=∴m(2) 若0322≠--m m ,则⎪⎩⎪⎨⎧<+=∆<03-2m -m 43)-(m 03-2m -m 222, 综上(1)(2)得：m 的取值范围]3,51(-例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m 的取值范围 ； （2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x 的取值范围 解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m [-2,2]） 则 g(m)>0恒成立⇔g(-2)=3x2-3x+3>0g(2)=-x2+x+3>0*若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

考点透视含参不等式恒成立问题经常以压轴题的形式出现.这类问题具有较强的综合性，需灵活运用不等式的性质，函数的图象、性质，导函数的性质、求导公式，方程的性质等来求解.下面结合一道例题，谈一谈解答含参不等式恒成立问题的两种方法.例题：已知函数f (x )=e x +ax 2-x ，当x ≥0时，f (x )≥12x 3+1，求a 的取值范围.该题中涉及了指数式、幂函数式，较为复杂，很难直接利用简单基本函数、不等式的性质求得答案，需采用函数最值法和分离参数法来求解.方法一：函数最值法函数最值法是求解含参不等式恒成立问题的常用方法.通常需先将不等式进行适当的变形，如移项、通分等，将所有的项置于不等式的一侧，以构造出一个新函数，有时可将变形后不等式两边的式子分别构造成两个新函数；再研究新函数的性质，求得新函数的最值，进而建立使不等式恒成立的新关系式，从而求得问题的答案.解：由f (x )=e x +ax 2-x 可得(12x 3-ax 2+x +1)e -x ≤1，设函数F (x )=(12x 3-ax 2+x +1)e -x (x ≥0)，则F ′(x )=-12x (x -2a -1)(x -2)e -x .由F ′(x )=0可得x 1=0,x 2=2a +1,x 3=2，①若2a +1≤0,即a ≤-12，则当x ∈()0,2时，F ′(x )>0，所以F (x )在(0,2)上单调递增，而F (0)=1，所以当x ∈()0,2时，F (x )>1，不符合题意，②若0<2a +1<2，即-12<a <12，当x ∈(0,2a +1)⋃(2,+∞)时，F ′(x )<0，当x ∈(2a +1,2)时，F ′(x )>0，所以F (x )在()0,2a +1和(2,+∞)上单调递减，在(2a +1,2)上单调递增，由于F (0)=1，所以F (x )≤1，所以F (2)=(7-4a )e -2≤1，即a ≥7-e 24，即当7-e 24≤a <12时，F (x )≤1.③若2a +1≥2，即a ≥12，F (x )≤(12x 3+x +1)e -x ，由②可得(12x 3+x +1)e -x ≤1，故a ≥12时，符合题意.综上可知，a 的取值范围是éëêùûú7-e 24,+∞.解答此题，需先将不等式移项，构造出新函数F (x )=(12x 3-ax 2+x +1)e -x (x ≥0)；然后对函数进行求导，以通过研究导函数的性质判断出函数的单调性，求得函数的最值，只需使F (x )max ≤1，即可确保不等式恒成立.在讨论函数的最值时，需分2a +1≤0、0<2a +1<2、2a +1≥2三种情况进行讨论.利用函数最值法解题，关键在于根据函数的单调性求得函数的最值.此方法的缺点是解题时的计算量较大，并且往往需要分多种情况进行讨论.方法二：分离参数法运用分离参数法求解含参不等式恒成立问题，需先将不等式中的参数、变量分离，使其分别在不等号的两侧，如f (x )<a 、f (x )>a ；再求得f (x )的最值，使得f (x )max <a 、f (x )min >a ，即可解题.在分离参数时，往往要根据不等式的结构特点进行移项、分解因式，或根据不等式的性质改变不等号的方向.解：当x =0时，不等式恒成立.当x >0时，a ≥12x 3+x +1-e xx 2，令g (x )=12x 3+x +1-e xx 2,g ′(x )=(x -2)(12x 2+x +1-e x )x 3,令h (x )=12x 2+x +1-e x ，可得h ′(x )=x +1-e x，易证h ′(x )≤0恒成立，所以h (x )在(0,+∞)上单调递减，h (x )<h (0)=0，所以当x ∈(0,2)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x ∈(2,+∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，则g (x )max =g (2)=7-e 24,所以a ≥7-e 24.运用分离参数法解答含参不等式恒成立问题，需先分离参数；再构造函数，找到函数值为零和导数值为零的点，以确定不含参数式子的临界值.相比较而言，运用分离参数法解题的计算量较小，但函数最值法比较常用.无论是运用函数最值法还是运用分离参数法，都需灵活运用数形结合思想、转化思想来辅助解题.（作者单位：江苏省高邮市第一中学）39Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

含参数恒成立问题的求解策略参数具有常数与变量的双重性，是数学中十分活泼的“元素”。

对参数的考查是一个热点，它渗透于选择题、填空题以及解答题中。

下面通过具体例子分析处理含参问题的常见方法与策略。

1、判别式法：就是求解的含参问题可转化为二次不等式)0(02≠>++a c bx ax 在实数集R 上恒成立，再由其充要条件是0>a ，且0<∆，进而求得参数的取值范围。

例1、 已知x ＝1是函数1)1(3)(23+++-=nx x m mx x f 的一个极值点，其中 .0,,<∈m R n m（1）求m 与n 的关系式；（2）求f （x ）的单调区间；（3）当]1,1[-∈x 时，函数y ＝f （x ）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围。

解：前面两小题利用常规方法很快可以得到，（1）n ＝3m ＋6；（2）当0<m 时，f （x ）在)21,(m +-∞单调递减，在)1,21(m +单调递增，在),1(+∞上单调递减；（3）为m x f 3)('>对]1,1[-∈x 恒成立，即m mx x m 3)]21()[1(3>+--，因为0<m ， 所以1)]21()[1(3<+--mx x m （*） ①x ＝1时，（*）化为0<1恒成立，所以0<m ， ②1≠x 时，因为]1,1[-∈x ，所以012<-≤-x运用函数思想将（*）式化为11)1(2---≤x x m ，另t ＝x －1，则]0,2[-∈t ，记 tt t g 1)(-=，则g （t ）在区间[－2，0]是单调增函数， 所以.23212)2()(min -=---=-=g t g 由（*）式恒成立，必有m m <-⇒-<34232， 又0<m ，则.034<<-m 综合①②得.034<<-m 2、分离参数法：不等式恒成立问题中，求参数取值范围，可将参数分离出来，转化为形如“)()(x g a f <”或“)()(x g a f >”（其中a 为参数）在某条件下恒成立的不等式，且函数g （x ）在其定义域上的值域可求，从而求出参数的取值范围。

恒成立问题中含参范围的求解策略周云才数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。

一、分离参数——最值化对于某些恒成立问题，可将其中的参数分离出来，将原问题转化为)x (f a >（或)x (f a <）在给定区间上恒成立max )x (f a >⇔（或min )x (f a <），从而将原问题转化为求函数的最大值或最小值问题。

例1 当]1,(x -∞∈时，不等式0124)a a (x x 2>++-恒成立，求实数a 的取值范围。

解析：因04x >，所以x x 22141a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛->-对]1,(x -∞∈恒成立，即有max x x22141a a ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛->-，由于x x 2141)x (f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=在]1,(-∞上是增函数，所以当1x =时，432141)x (f 11max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，所以.23a 2103a 4a 443a a 22<<-⇒<--⇒->-例2 设c b a >>且ca m cb 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。

解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a ( .4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。