排列组合 随机事件的概率—复习归纳(教师)

第42课随机事件与概率知识精讲知识点01有限样本空间与随机事件【即学即练1】抛掷一枚骰子（touzi),观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.解：用i 表示朝上面的“点数为i ”，因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω={1,2,3,4,5,6}.构建样本空间，这是将实际问题数学化的关键步骤，其作用体现在：可以利用集合工具（语言）描述概率问题，能用数学语言严格刻画随机事件的概念，通过与集合关系与运算的类比，可以更好地理解随机事件的关系和运算意义.可以用符号语言准确而简练地表示求解概率问题的过程.知识点02事件的关系和运算定义表示法图示事件的运算包含关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A(或称事件A 包含于事件B)B ⊇A (或A ⊆B )并事件若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件)A ∪B (或A +B )交事件若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件)A∩B (或AB)互斥关系若A∩B 为不可能事件，则称事件A 与事件B 互斥若A∩B ＝∅，则A 与B 互斥对立关系若A∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件，可记为B ＝或A ＝若A∩B ＝∅，A ∪B ＝U ，则A 与B 对立事件的关系或运算含义符号表示包含A 发生导致B 发生A ⊆B 并事件(和事件)A 与B 至少一个发生A ∪B 或A ＋B 交事件(积事件)A 与B 同时发生A ∩B 或AB 互斥(互不相容)A 与B 不能同时发生A ∩B ＝∅互为对立A 与B 有且仅有一个发生A ∩B ＝∅，A ∪B ＝Ω【即学即练2】盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A ＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B ＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C ＝{3个球中至少有1个红球}，事件D ＝{3个球中既有红球又有白球}．求：(1)事件D 与A ，B 是什么样的运算关系？(2)事件C 与A 的交事件是什么事件？【答案】(1)D ＝A ∪B ．(2)C ∩A ＝A ．【解析】(1)对于事件D ，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D ＝A ∪B ．(2)对于事件C ，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，所以A ⊆C ，故C ∩A ＝A ．知识点03古典概型【即学即练3】抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I 号和II 号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果，（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；（2）求下列事件的概率：A =“两个点数之和是5”；B =“两个点数相等”；C =“I 号骰子的点数大于II 号骰子的点数”.【答案】（1）,,1,2,3,4,5,6m n m n，是古典概型（2）19;16;512【解析】（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I 号骰子的每一个结果都可与II 号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m 表示I 号骰子出现的点数是m ，数字n 表示II 号骰子出现的点数是n ，则数组 ,m n 表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间,,1,2,3,4,5,6m n m n ，其中共有36个样本点.由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.（2）因为 1,4,2,3,3,2,4,1A ，所以 4n A ，从而 41369n A P A n ；因为 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6B，所以 6n B ，从而 61366n B P B n；因为C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}，所以 15n C ，从而 1553612n C P C n；解题技巧（求古典概型的一般步骤）(1)明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）；(2)根据实际问题情景判断样本点的等可能性；(3)计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A 的概率.知识点04概率的基本性质【即学即练4】一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件1R “第一次摸到红球”，2R “第二次摸到红球”，R “两次都摸到红球”，G “两次都摸到绿球”，M “两个球颜色相同”，N “两个球颜色不同”.（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；（2）事件R 与1R ，R 与G ，M 与N 之间各有什么关系？（3）事件R 与事件G 的并事件与事件M 有什么关系？事件1R 与事件2R 的交事件与事件R 有什么关系？解：（1）所有的试验结果如图10.1-10所示.用数组 12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)} ，事件1R “第一次摸到红球”，即11x 或2，于是1{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}R ；事件2R “第二次摸到红球”，即21x 或2，于是2{(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}R .同理，有{(1,2),(2,1)}R ，{(3,4),(4,3)}G ，{(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}M ，{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}N .（2）因为1R R ，所以事件1R 包含事件R ；因为R G ∩，所以事件R 与事件G 互斥；因为M N ，M N ，所以事件M 与事件N 互为对立事件.（3）因为R G M ，所以事件Ｍ是事件R 与事件G 的并事件；因为12R R R ∩，所以事件R 是事件1R 与事件2R 的交事件.能力拓展考法01有限样本空间与随机事件考法02事件的关系和运算【典例2】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（）A ．事件1与事件3互斥B ．事件1与事件2互为对立事件C ．事件2与事件3互斥D ．事件3与事件4互为对立事件【答案】B【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.【详解】由题可知，事件1可表示为： 13,5A ,,事件2可表示为： 2,4,6B ,事件3可表示为： 4,5,6C ,事件4可表示为： 1,2D ,因为 5A C ∩，所以事件1与事件3不互斥，A 错误；因为A B 为不可能事件，A B 为必然事件，所以事件1与事件2互为对立事件，B 正确；因为 4,6B C ∩，所以事件2与事件3不互斥，C 错误；因为C D 为不可能事件，C D 不为必然事件，所以事件3与事件4不互为对立事件，D 错误；故选：B.考法03古典概型与概率基本性质【典例3】芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多A．50%B．625%．【答案】C【分析】依题意将原材料进行切割，得到有坏点的芯片数，即可判断【详解】依题意将这块原材料如下切割得到第故第5代芯片的产品良率为12100%75% 16故选：C【变式训练】从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球．若事件“两个球都是红球同”的概率为（）A．415B．715【答案】C【分析】首先利用三个事件为互斥事件，再根据互斥事件概率公式，即可求解分层提分题组A 基础过关练一、单选题1．某人在打靶中连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是A ．至少有一次中靶B ．只有一次中靶C ．两次都中靶D ．两次都不中靶【答案】C【分析】至多有一次的反面是至少有两次.【详解】射击两次中靶的次数可能是0，1，2.至多1次中靶，即中靶次数为0或1，故它的对立事件为中靶两次.选C.【点睛】本题考查对立事件的概念，解题关键是掌握至少、至多等词语的否定.2．在投掷骰子的试验中，可以定义许多事件，例如：1 C {出现1点}，2 C {出现的点数小于1}，3 C {出现的点数小于7}，4C {出现的点数大于6}，5C {出现的点数是偶数}，以上5个事件中的随机事件个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据随机事件的定义即可得解.【详解】解：∵24C C ,是不可能事件，3C 是必然事件，在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，二、多选题7．下列事件是随机事件的是（）A．连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上B．异性电荷相互吸引C．在标准大气压下，水在1℃结冰D．买一注彩票中了特等奖E．掷一次骰子，向上的一面的点数是6A ．应从第3，4，5组中分别抽取3人、2人、1人B ．第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为815C ．第5组志愿者被抽中的概率为13D ．第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为23【答案】ABC【分析】根据分层抽样得定义即可判断A ；利用列举法结合古典概型计算即可判断【详解】第3组的人数有0.06630.060.040.02人，第4组的人数有0.04620.060.040.02人，第5组的人数有0.02610.060.040.02人，故A 正确；设第3组的人分别为,,a b c ，第4组的人分别为,d e ，第则6人中随机抽取2人有 ,,,,,,,,,a b a c a d a e a f种结果，满足条件的事件是为坐标的点落在直线上，当，，，；，，共有种结果，根据古典概型的概率公式得到以为坐标的点落在直线上的概率：．故答案为.四、解答题13．判断下列现象是否是随机现象，如果是，写出该试验的样本空间．(1)抛一个苹果，下落；(2)种下一粒种子，观察是否发芽；(3)甲、乙两队进行一场足球比赛，观察甲队的比赛结果（可以是平局）．【答案】(1)是确定性现象，不是随机现象(2)是随机现象，答案见解析(3)是随机现象，答案见解析(1)试根据频率分布直方图求出这100据用该组区间的中点值代替）；(2)若先采用分层抽样的方法从成绩在社区开展全运会､特奥会宣传活动，求做宣传的这【答案】(1)18人，73(2)115【分析】（1）根据频率分布直方图中数据计算频率，从而求出人数，再代入平均数公式求解平均分；（2）先通过分层抽样确定各组人数，然后列举基本事件，利用古典概型概率公式求概率【详解】（1）由频率分布直方图中数据知，成绩低于平均成绩0.02450.16550.22x题组B能力提升练A．518B．13【答案】A的表格，再根据古典概型的概率公式计算可得；【分析】依题意画出345648【详解】解：根据题意，结合范例画出个，所以从表内任取一数，恰好取到奇数的概率故选：A.4．古代《冰糖葫芦》算法题：一个小摊上摆满了五彩缤纷的5个山楂；另一种是2个山楂、3个小桔子．若小摊上山楂共选取一个“冰糖葫芦”，则这个“冰糖葫芦”是A．0.3B．0.4【答案】B【分析】设5个山楂的“冰糖葫芦”有x个，2个山楂、y ，基本事件总数80120200120n ，这个求出这个“冰糖葫芦”是5个山楂的概率．【点睛】本题考查古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式的应用，解题时要将所求事件进行分类讨论，结合相关公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.（1）按分层抽样的方法从质量落在[350,400)，[400,抽2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有100000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：A ．所有黄桃均以20元/千克收购；B ．低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于请你通过计算为该村选择收益最好的方案.（参考数据：2250.052750.163250.24375 【答案】（1）710（2）B 【分析】（1）由题得黄桃质量在 350,400和 400,2A ，3A ，质量在 400,450的黄桃为1B ，2B ，列出取出400克的事件个数，根据古典概型即可求解（2）分别计算两种方案的收益，比较收益大小即可确定需选择的方案.【详解】（1）由题得黄桃质量在 350,400和 400,∴应分别在质量为 350,400和 400,450的黄桃中各抽取记抽取质量在 350,400的黄桃为1A ，2A ，3A ，质量在(1)求实数a 的值；(2)若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副队长，求【答案】(1)0.04(2)815【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形面积之和为（2）求出第四组和第五组中人数之比，即可求得简单随机抽样方法取2人作为正、副队长的所有的基本事件和“抽取的可求得答案.（1）由题意可得(0.010.070.060.02)51a ，可得（2）由题意，100名大学生中第三组有20人，第五组有故从第四组、第五组的学生中用分层抽样的方法抽取20642010人，第五组有2人，设第四组的4人分别为a,b,c,d,第五组的2人为A,B ,则从中抽取2人的所有基本事件有：,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB 共其中“抽取的2人为不同组”的基本事件有,,,aA aB bA 故“抽取的2人为不同组”的概率为815P.题组C培优拔尖练A．38【答案】B【分析】根据古典概型的概率公式即可求解【详解】从甲、乙两位同学的则共有16种情况，其中甲的得分高于乙的得分的情况有故所求的概率为7 16故选：B.2．柜子里有3双不同的鞋子，如果从中随机地取出一双的概率为（“”，“”“”“”“”“”“”二、多选题7．如果知道事件X 已发生，则该事件所给出的信息量称为“自信息”．设随机变量X 的所有可能取值为1x ，2x ，…，n x ，且 01,2,,i p x i n ， 11ni i p x ，定义X 的“自信息”为 2log i i I x p x ．一次掷两个不同的骰子，若事件A 为“仅出现一个2”，事件B 为“至少出现一个5”，事件C 为“出现的两个数之和是偶数”，则（）A ．当 1i p x 时，“自信息” 0i I xB ．当 120p x p x 时， 12I x I xC ．事件C 的“自信息” 1I C D ．事件A 的“自信息” I A 大于事件B 的“自信息”I B三、填空题9．抛掷3枚硬币，试验的样本点用(x ，y ，z )表示，集合M 表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，则M ＝________________________________________________________________________．【答案】{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）}.【分析】根据试验结果，直接写出事件M 包含的基本事件即可求解.【详解】抛掷3枚硬币，试验的样本点用(x ，y ，z )表示,其中,,x y z 分别表示正反，则{M （正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）}.四、解答题13．抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.【答案】详见解析【解析】根据抛一枚硬币，落地时有正面朝上和反面朝上两种可能情况，可得样本空间。

高考数学一轮复习必备：第86课时：第十章排列组合和概率随机事件的概率一．课题：随机事件的概率二．教学目标：1．了解随机事件、必定事件、不可能事件的概念；2．把握等可能事件的概率公式，并能熟练地运用排列组合的知识解决等可能事件的概率咨询题；三．教学重点：等可能事件的概率的运算．四．教学过程：〔一〕要紧知识：1．随机事件概率的范畴；2．等可能事件的概率运算公式；〔二〕要紧方法：1．概率是对大量重复试验来讲存在的一种规律性，但对单次试验而言，事件的发生是随机的；2．等可能事件的概率()mP An=，其中n是试验中所有等可能显现的结果〔差不多事件〕的个数，m是所研究事件A中所包含的等可能显现的结果〔差不多事件〕个数，因此，正确区分并运算,m n的关键是抓住〝等可能〞，即n个差不多事件及m个差不多事件都必须是等可能的；〔三〕基础训练：1．以下事件中，是随机事件的是〔C〕〔A〕导体通电时，发热；〔B〕抛一石块，下落；〔C〕掷一枚硬币，显现正面；〔D〕在常温下，焊锡融解。

2．在10张奖券中，有4张有奖，从中任抽两张，能中奖的概率为〔C〕()A 12()B13()C23()D453．6人随意地排成一排，其中甲、乙之间恰有二人的概率为〔 C 〕()A 13()B14()C15()D1104．有2n个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，那么所取的两个数之和为偶数的概率为〔C〕()A 12()B12n()C121nn--()D121nn++〔四〕例题分析：例1．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回抽三次，运算以下事件的概率：〔1〕三次颜色各不同；〔2〕三种颜色不全相同；〔3〕三次取出的球无红色或无黄色；解：差不多事件有3327=个，是等可能的，〔1〕记〝三次颜色各不相同〞为A ，332()279A P A ==； 〔2〕记〝三种颜色不全相同〞为B ，2738()279P B -==； 〔3〕记〝三次取出的球无红色或无黄色〞为C ，332215()279P C +-==； 例2．将一枚骰子先后掷两次，求所得的点数之和为6的概率。

第86课时：第十章排列、组合和概率——随机事件的概率一．课题：随机事件的概率二．教学目标：1．了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；2．掌握等可能事件的概率公式，并能熟练地运用排列组合的知识解决等可能事件的概率问题；三．教学重点：等可能事件的概率的计算．四．教学过程：（一）主要知识：1．随机事件概率的范围；2．等可能事件的概率计算公式；（二）主要方法：1．概率是对大量重复试验来说存在的一种规律性，但对单次试验而言，事件的发生是随机的；2．等可能事件的概率()mP An=，其中n是试验中所有等可能出现的结果（基本事件）的个数，m是所研究事件A中所包含的等可能出现的结果（基本事件）个数，因此，正确区分并计算,m n的关键是抓住“等可能”，即n个基本事件及m个基本事件都必须是等可能的；（三）基础训练：1．下列事件中，是随机事件的是（C）（A）导体通电时，发热；（B）抛一石块，下落；（C）掷一枚硬币，出现正面；（D）在常温下，焊锡融化。

2．在10张奖券中，有4张有奖，从中任抽两张，能中奖的概率为（C）()A 12()B13()C23()D453．6人随意地排成一排，其中甲、乙之间恰有二人的概率为（ C ）()A 13()B14()C15()D1104．有2n个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两个数之和为偶数的概率为（C）()A 12()B12n()C121nn--()D121nn++（四）例题分析：例1．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回抽三次，计算下列事件的概率：（1）三次颜色各不同；（2）三种颜色不全相同；（3）三次取出的球无红色或无黄色；解：基本事件有3327=个，是等可能的，（1）记“三次颜色各不相同”为A ，332()279A P A ==； （2）记“三种颜色不全相同”为B ，2738()279P B -==； （3）记“三次取出的球无红色或无黄色”为C ，332215()279P C +-==； 例2．将一枚骰子先后掷两次，求所得的点数之和为6的概率。

高中数学知识点总结及公式大全排列组合与概率的计数与事件高中数学知识点总结及公式大全：排列组合与概率的计数与事件数学作为一门基础学科，对于高中学生来说，无疑是学习过程中必不可少的一部分。

在高中阶段，学习数学的内容相当繁杂，其中涉及的知识点众多。

本文将对高中数学的排列组合与概率的计数与事件进行系统的总结，并提供相关公式大全供参考。

一、排列组合基础知识排列与组合是数学中的两个基本概念，具有广泛的应用。

在学习排列组合的过程中，有几个核心的概念需要掌握。

1. 排列排列是从若干元素中按照一定的顺序选取出一部分元素，形成一个有序的序列。

常见的排列可以分为全排列和局部排列两种。

- 全排列：将若干元素按照不同的顺序进行排列，所得的不同排列数称为全排列。

全排列的公式为：A(n, n) = n!，其中 n 表示元素的个数。

- 局部排列：从若干元素中选取出其中的一部分元素，按照一定的顺序进行排列，所得的不同排列数称为局部排列。

局部排列的公式为：A(n, m) = n!/(n-m)!，其中n 表示元素的总数，m 表示选取的元素个数。

2. 组合组合是从若干元素中选取出一部分元素，不考虑其顺序，形成一个无序的集合。

常见的组合有全组合和局部组合两种。

- 全组合：将若干元素选取出所有可能的组合，所得的不同组合数称为全组合。

全组合的公式为：C(n) = 2^n，其中 n 表示元素的个数。

- 局部组合：从若干元素中选取出其中的一部分元素，不考虑其顺序，所得的不同组合数称为局部组合。

局部组合的公式为：C(n, m) =n!/[m!(n-m)!]，其中 n 表示元素的总数，m 表示选取的元素个数。

二、概率与事件概率和事件是数学中研究随机事件发生可能性的重要内容。

在学习概率与事件的过程中，有几个核心的概念需要了解。

1. 概率概率是对随机事件发生可能性的量化描述。

以事件 A 在随机试验中发生为例，事件 A 发生的概率记为 P(A)。

概率的计算公式为：P(A) =N(A)/N(S)，其中 N(A) 表示事件 A 中有利的试验结果的个数，N(S) 表示样本空间 S 中的所有可能结果的个数。

随机事件的概率进门测判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生频率与概率是相同的．()(2)随机事件和随机试验是一回事．()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．()(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．()(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．()(6)两互斥事件的概率和为1. ( )阶段训练题型一事件关系的判断例1(1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③(2)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④恰有1个白球与都是黄球．其中互斥而不对立的事件共有()A．0组B．1组C．2组D．3组题型二随机事件的频率与概率例2某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？题型三互斥事件、对立事件的概率命题点1 互斥事件的概率例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？命题点2 对立事件的概率例4 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．1．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的概率，记作P (A )． 2．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )B ⊇A (或A ⊆B ) 相等关系若B ⊇A 且A ⊇BA ＝B 并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件)A ∪B (或A ＋B )交事件 若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或A ∩B (或AB )阶段重难点梳理(积事件)积事件)若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，那么称事件A互斥事件A∩B＝∅与事件B互斥若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那P(A)＋P(B)＝1 对立事件么称事件A与事件B互为对立事件3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．重点题型训练典例 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则b >a 的概率是( ) A.45 B.35 C.25 D.152．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( ) A ．必然事件B ．随机事件C ．不可能事件D ．无法确定3．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2,0.3,0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( ) A ．0.5 B ．0.3 C ．0.6 D ．0.94．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．1．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A.56 B.25 C.16D.132．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球． 在上述事件中，是对立事件的为( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率作业布置为()A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.54．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A．互斥但非对立事件B．对立事件C．相互独立事件D．以上都不对5．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为()A．0.8 B．0.5 C．0.7 D．0.36．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的卡片的频率是()A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.377．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．8．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a 的取值范围是________________．9．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，然后将它们混合，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是________．10．一个口袋内装有大小相同的红球，白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．11．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．12．国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次：(1)射中9环或10环的概率；(2)命中不足8环的概率．*13.一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．随机事件的概率进门测判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生频率与概率是相同的．(×)(2)随机事件和随机试验是一回事．(×)(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×)(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(√)(6)两互斥事件的概率和为1.(×)阶段训练题型一事件关系的判断例1(1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③ D ．①③(2)设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡答案 (1)C (2)A (3)A解析 (1)③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．(2)若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件． (3)至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．思维升华(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．(2)判别互斥、对立事件的方法判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④恰有1个白球与都是黄球．其中互斥而不对立的事件共有()A．0组B．1组C．2组D．3组答案 B解析①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰好1个白球和1个黄球，①中的两个事件不是互斥事件．②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，则两个事件不互斥．③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都是指有1个白球和1个黄球，因此两个事件是同一事件．④中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选B.题型二随机事件的频率与概率例2 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：(1)记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P (A )的估计值；(2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．解 (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55. (2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.思维升华(1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．(2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解 (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 题型三 互斥事件、对立事件的概率 命题点1 互斥事件的概率例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解 方法一 从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则有P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14.方法二 设红球有n 个，则n 12＝13，所以n ＝4，即红球有4个． 又得到黑球或黄球的概率是512，所以黑球和黄球共5个． 又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．又得到黄球或绿球的概率也是512，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)．所以黑球有12－4－3－2＝3(个)． 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 312＝14，212＝16，312＝14. 命题点2 对立事件的概率例4 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100， P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖． 设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C . ∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.思维升华 求复杂事件的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法： (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)方法一记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.方法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.1．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的概率，记作P (A )． 2．事件的关系与运算若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那对立事件P(A)＋P(B)＝1么称事件A与事件B互为对立事件3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．重点题型训练典例某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)思想方法指导若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．规范解答解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.[2分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[7分](2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝20100＝15，P(A2)＝10100＝110.[10分]P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－15－110＝710.[12分]故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[15分]1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则b >a 的概率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 答案 D解析 基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b >a 的有3种，所以b >a 的概率为315＝15.2．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( ) A ．必然事件 B ．随机事件 C ．不可能事件 D ．无法确定答案 B解析 抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件． 3．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2,0.3,0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( ) A ．0.5 B ．0.3 C ．0.6 D ．0.9 答案 A解析 依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.4．袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________． 答案 ②解析 ①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件.1．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A.56 B.25 C.16 D.13答案 A解析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56.2．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球． 在上述事件中，是对立事件的为( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 B解析 至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生． ∴②中两事件是对立事件．3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A ．0.7B ．0.65C ．0.35D ．0.5作业布置答案 C解析∵“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35.4．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A．互斥但非对立事件B．对立事件C．相互独立事件D．以上都不对答案 A解析由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选A.5．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为()A．0.8 B．0.5 C．0.7 D．0.3答案 C解析由互斥事件概率公式知重量大于40克的概率为1－0.3－0.5＝0.2，又∵0.5＋0.2＝0.7，∴重量不小于30克的概率为0.7.6．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的卡片的频率是( ) A ．0.53 B ．0.5 C ．0.47 D ．0.37 答案 A解析 取到号码为奇数的卡片的次数为13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.故选A.7．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： ①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件． 答案 ③ ② ①8．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (54，43]解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<13a －3≤1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43⇒54<a ≤43. 9．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，然后将它们混合，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是________． 答案 35解析个位数字共有5种情况，只有当个位数字取2,4,5时，得到的数才能被2或5整除，所以概率为3 5.10．一个口袋内装有大小相同的红球，白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．答案0.2解析记事件A，B，C分别是摸出红球，白球和黑球，则A，B，C互为互斥事件且P(A＋B)＝0.58，P(A＋C)＝0.62，所以P(C)＝1－P(A＋B)＝0.42，P(B)＝1－P(A＋C)＝0.38，P(A)＝1－P(C)－P(B)＝1－0.38－0.42＝0.2.11．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.。

专题六 排列组合与随机事件的概率一、知识梳理（一）1．排列组合的常见方法有：特殊元素法、特殊位置法、相邻问题捆绑法、不相邻 问题插空法、分排问题直排法，定序问题用除法，分组分配问题中平均分组要除以组数阶乘，隔板法等。

2．排列组合遵循原则：先选后排，先特殊后一般，正难则反。

（二）二项式定理主要考查二项式展开式的特定项及项的系数，利用二项式的性质求多项式的系数和，利用二项式定理求余数及近似计算。

（三）随机事件的概率1．随机事件概率的范围 ； 2．等可能事件的概率计算公式 ；其中n 是试验中所有等可能出现的结果（基本事件）的个数，m 是所研究事件A 中所包含的等可能出现的结果（基本事件）个数，因此，正确区分并计算,m n 的关键是抓住“等可能”，即n 个基本事件及m 个基本事件都必须是等可能的； 二、基础练习 1．（2-31x）6的展开式中的第四项是_______________2．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选 法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．30种D ．36种3．4张卡片上分别写有数学1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张 卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．31 B ．`21 C ．32 D ．434．在平面直角坐标系中，从六个点：A （0，0）、B （2，0），C （1，1）、D （0，2）、E （2，2）、F （3，3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是_________ （结果用分数表示）5．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特 征完全相同，从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）A ．919 B ．9125 C ．9148 D ．9160三、典型例题例1 在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就得优秀，答对其中的4道就获得及格，某考生会回答20道题中的8道题，试求：（1）他获得优秀的概率是多少；（2）他获得及格与及格以上的概率有多大。

一、排列组合问题的解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑〞法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进展排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。

评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑〞法解决，共有种排法。

二、不相临问题——选空插入法例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空〞法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：假设个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空〞法解决，共有种排法。

三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比拟难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法〞，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例4． (1995年高考题) 1名教师和4名获奖学生排成一排照像留念，假设教师不排在两端，那么共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素〔教师〕的排法，因教师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．〔2000年全国高考题〕乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进展分类讨论，最后总计。

数学知识点归纳排列组合与概率的应用数学知识点归纳：排列组合与概率的应用数学是一门抽象而又实用的学科，涉及到各种不同的知识点和概念。

在数学的学习过程中，排列组合与概率是非常重要的内容之一。

排列组合与概率的应用在日常生活中随处可见，如排队买票、抽奖等。

本文将对排列组合与概率的相关知识点进行归纳总结并探讨其实际应用。

一、排列组合的基本概念1. 排列：在数学中，排列是指从若干元素中选取部分元素按一定次序排列的方式。

常用表示方法是P(n, m)，表示从n个不同元素中选取m个元素进行排列的总数。

2. 组合：组合是指从若干元素中选取部分元素不考虑次序的方式。

常用表示方法是C(n, m)，表示从n个不同元素中选取m个元素进行组合的总数。

二、排列组合的应用1. 排列的应用：排列在实际生活中有广泛的应用。

比如，有三个人A、B、C参加某项活动，按照一定的顺序进行排列，那么可能的排列组合数为6种，即ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。

在实际应用中，我们可以运用排列的知识解决类似的问题。

2. 组合的应用：组合同样具有广泛的应用。

比如，购买彩票时选择6个号码的组合方式有很多种，而中奖的概率只有一种。

在实际生活中，我们可以利用组合的知识计算概率，提高中奖的可能性。

三、概率的基本概念概率是数学中比较重要的一个概念，是描述事件发生可能性的一种度量。

概率的计算需要用到排列组合的知识。

四、概率的应用1. 概率的计算：概率可以描述事件发生的可能性大小。

通过排列组合的计算方法，我们可以得到某个事件发生的概率。

比如，掷骰子的例子中，某个点数出现的概率为1/6，即1种有利的结果与6种可能的结果之比。

2. 概率的预测：利用概率的知识，我们可以对事件的发生概率进行预测。

比如，在赌博游戏中，我们可以根据排列组合和概率的知识计算出某个号码或某种组合的中奖概率，从而制定出合理的下注策略。

3. 概率的实际应用：概率在现实生活中有很多实际应用。

一、基本知识点回顾：（一）排列、组合1、 知识结构表：2、 两个基本原理：（1） 分类计数原理（2） 分步计数原理3、 排列（1） 排列、排列数定义（2） 排列数公式：)1()1()!(!+-⋅⋅⋅-=-=m n n n m n n A m n （3） 全排列公式：4、 组合（1） 组合、组合数定义（2） 组合数公式：12)1()1()1()!(!!⨯⨯⋅⋅⋅⨯-⨯+-⋅⋅⋅-=-=m m m n n n m n m n C m n （3） 组合数性质：① ② ③④n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++⑤0)1(210=-+⋅⋅⋅++-n n n n n n C C C C 即：1314202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n n C C C C C 5、 思想方法（1） 解排列组合应用题的基本思路：① 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步② 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；（2） 解排列组合题的基本方法：① 优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；② 排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

③ 分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。

④ 分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。

⑤插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。

⑥捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。