高等数学基础班常微分方程

高等数学常微分方程讲义,试题,答案常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、dyp(x)Q(y)dx(Q(y) 0) 2、齐次方程：dy dxy f x三、一阶线性方程及其推广1、dydyP(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx( 0,1)四、全微分方程及其推广（数学一）1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足Q P2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x22Q p (RQ) (RP)但存在R(x,y)，使x y x ydydyxy的通解。

dxdx解：y (x xy)22dy0dxydyy2 x d__y x2 y1 x2yduu2令u,则u x udx x(1 u)du 0xdxu 11 udxdu u x C1 ln|xu| u C1例2C1 uce, y cedyy的通解d__ y4uyx求微分方程d__ y4dx1解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶dyydyy11dy 14 dy 133yydy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e yey 3例3设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解xx解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为dy(e x 1)y 1 dxx xdy(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4设1212故所求解y e exx e x12满足以下件F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )内f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex（1）求F(x)所满足的一阶微分方程（2）求出F(x)的表达式解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e2dx4e2xe 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是例52F(x) e2x e 2xdy2(1 y)的通解求微分方程(y x) xdxsec2udusec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2secvdv化简为sin(u v)dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,1 sinzv c21 sinz1 sinz z v c 2coszz tanz secz v c z最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。

高数微分方程公式大全微分方程是数学中的重要概念，包含了许多公式和方法。

下面我将从不同角度介绍一些常见的高等数学微分方程公式。

1. 一阶微分方程：可分离变量方程公式，dy/dx = f(x)g(y)，可通过分离变量并积分求解。

齐次方程公式，dy/dx = f(x)/g(y)，可通过变量代换或分离变量求解。

线性方程公式，dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过积分因子法或常数变易法求解。

2. 二阶微分方程：齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，可通过特征方程法求解。

非齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。

欧拉方程公式，x²d²y/dx² + pxdy/dx + qy = 0，可通过变量代换或特征方程法求解。

3. 高阶微分方程：常系数线性齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = 0，可通过特征方程法求解。

常系数线性非齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。

常系数二阶齐次方程公式，d²y/dx² + py' + qy = 0，可通过特征方程法求解。

4. 常见的变换和公式：指数函数变换，对于形如y = e^(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。

对数函数变换，对于形如y = ln(x)的方程，可通过变量代换进行求解。

三角函数变换，对于形如y = sin(kx)或y = cos(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。

常用公式，如指数函数的导数公式、对数函数的导数公式、三角函数的导数公式等。

高中数学中的常微分方程知识点一、引言常微分方程是数学中的一个重要分支，它在自然科学、社会科学和工程技术等领域有着广泛的应用。

高中数学中的常微分方程知识点主要包括一阶微分方程、二阶微分方程和常微分方程的解法等内容。

二、一阶微分方程1. 概念一阶微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x)是关于自变量x的已知函数。

2. 解法（1）分离变量法：将方程中的y和x分离，化为y = f(x)的形式，然后对两边进行积分。

（2）积分因子法：找出一个函数μ(x)，使得原方程两边乘以μ(x)后，可以化为dy/dx + μP(x)y = μQ(x)的形式，然后利用积分因子公式求解。

（3）变量替换法：选择一个合适的变量替换，将原方程化为简单的一阶微分方程，然后求解。

3. 例子求解方程dy/dx + 2y = e^x。

（1）分离变量法：dy/y = e^x dx∫ dy = ∫ e^x dxy = e^x + C其中C是积分常数。

（2）积分因子法：μ(x) = e^(-∫ 2dx) = e^(-2x)μ(dy/dx + 2y) = μQ(x)e^(-2x)dy/dx + 2e^(-2x)y = e(-2x)e x(-dy/dx + 2y)e^(2x) = 1-dy/dx + 2y = e^(-2x)利用积分因子公式求解，得到：y * e^(2x) = -∫ e^(-2x) dx + Cy = (-1/2)e^(-2x) + C/e^(2x)三、二阶微分方程1. 概念二阶微分方程是指形如d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = R(x)的方程，其中P(x)、Q(x)和R(x)是关于自变量x的已知函数。

2. 解法（1）常数变易法：假设y = e^(αx)，代入原方程，得到关于α的二次方程，求解得到α的值，进而求出y的解。

（2）待定系数法：假设y = e^(αx)的系数为待定系数，代入原方程，得到关于待定系数的方程，求解得到待定系数的值，进而求出y的解。

高等数学基础--多元函数微积分与线性常微分方程
高等数学中的多元函数微积分和线性常微分方程是重要的数学基础，在生物、物理、化学、经济学、工程学等多个领域有着重要的应用。

对于多元函数微积分而言，主要涉及到定义积分、泰勒级数、变量替
换法和线性空间等。

它不仅能够有助于应用者更好地理解多元函数的
变化和结构特征，而且可以更有效地计算函数的微分、数值的变化随
参数的变化等，从而推导求解许多复杂的问题。

线性常微分方程是微积分的重要组成部分，它定义了元函数的变化趋
势是线性的，并且可以用来求解特定系统的行为特征和解决行为模型
所产生的问题。

它的解决思路也和多元函数微积分有很大的联系。

它
通常会用到特征值和特征根，偏微分方程等解决方法，常见的模型包
括波动方程、拉格朗日方程和随机方程等。

在数学和科学的应用中，多元函数微积分和线性常微分方程是重要的
基础，可以用来分析不同现象的起源和发展趋势，为优化利用事物规律，提高技术利用效率提供重要依据和指导。

多元函数微积分和线性
常微分方程对尤其是非线性系统的数理建模、分析和应用有着重要作用。

第六章 常微分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。

微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。

特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。

【大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。

【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。

理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。

了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。

会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。

【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。

求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。

2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。

利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。

若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。

3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。

【考点一】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。

可分离变量的微分方程的解题程序：当()0,()()()()dy g y y f x g y f x dx g y '≠=⇔=时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+⎰⎰上式即为变量可分离微分方程的通解。

授课11单元教案第一节微分方程的基本概念教学过程一、引入新课初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。

这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。

方程的定义：含有未知数的的等式。

它表达了未知量所必须满足的某种条件。

根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。

引例1二、新授课1、微分方程的定义：含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。

例如，22;d yx y x dx=+=dx 和是常微分方程dyzxy x∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。

一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '= 例如：2354()0y x y x '+-=，2()20dy dyx y x dx dx-+=都是一阶微分方程。

二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''= 例如：222sin 0d y dyyx dx dx-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。

类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。

其中F 是n +2个变量的函数。

这里必须指出，在方程()(,,,,)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '(1),n y y -''等变量可以不出现。

例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。

例1 ．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：122222222(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d yxdy y xdx y e dt yy y x dy dx x y xy y -==++=+=+==+-=2、微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程，称为解微分方程例如，函数3x 16是微分方程22d y x dx =的解。

高数大一知识点常微分方程高数大一知识点：常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）是数学中的一个重要分支，研究函数的导数与自变量之间的关系。

在高数大一的学习中，常微分方程是一个重要的知识点。

本文将简要介绍常微分方程的定义、分类和解法，并给出一些常见的示例。

一、常微分方程的定义常微分方程是用函数与其导数构成的等式来描述未知函数的性质的数学方程。

一般形式为：f(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0其中，x为自变量，y为未知函数，y⁽ⁿ⁾表示y的n阶导数。

二、常微分方程的分类常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。

1. 一阶常微分方程一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)其中，f(x, y)为已知函数。

一阶常微分方程的解可以表示为y = Φ(x, C)，其中Φ(x, C)是一族包含常数C的函数。

2. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指方程中包含未知函数的高阶导数的方程。

高阶常微分方程可以通过一系列变换化为一阶常微分方程。

三、常微分方程的解法常微分方程的解法有很多种方法，这里介绍两种常用的方法：分离变量法和常数变易法。

1. 分离变量法对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，可以通过分离变量将y的项移到一边，x的项移到另一边，然后两边同时积分得到通解。

2. 常数变易法对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，可以通过引入一个未知函数u(x)，将方程转化为关于u和x的一阶常微分方程，再通过求导和代换等操作，求得y关于x的通解。

四、常微分方程的示例1. 一阶常微分方程示例：dy/dx = x^2 - y先整理方程，得到dy + y = x^2通过分离变量法可得∫1/y dy = ∫x^2 dx解得ln|y| = x^3/3 + C1最终的通解为y = Ce^(x^3/3)，其中C为常数。

高等数学:常微分方程的基础知识和典型例题常微分方程一、一阶微分方程的可解类型（一）可分离变量的方程与一阶线性微分方程1. （05,4分）微分方程xy '+2y =x ln x 满足y (1)=-的解为_________. 2dy 2⎰x dx 2分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为. +y =ln x , 两边乘e =x 得 dx xdx 2y)= x 2ln x .dx111积分得 x 2y=C+⎰x 2ln xdx =C +⎰ln xdx 3=C +x 3ln x -x 3.339111由y (1)=-得C =0⇒y =x ln x -x .939192. （06,4分）微分方程y '=y (1-x )的通解为————. x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得=(-1) dx . 积分得ln y =ln x -x +C 1，即y =e C 1x e -x .y x 因此，原微分方程的通解为 y =Cxe -x , 其中C 为任意常数.（二）奇次方程与伯努利方程1. （97,2,5分）求微分方程(3x +2xy -y ) dx +(x -2xy ) dy =0的通解.222解：所给方程是奇次方程. 令 y =xu , 则dy =xdu +udx . 代入原方程得 3（1+u -u 2）dx +x (1-2u ) du =0.1-2u 3分离变量得 du =-dx ,1+u -u 2x积分得 ln +u -u 2=-3ln x +C 1, 即1+u -u 2=Cx -3. 以u =y C 代入得通解 x 2+xy -y 2=. x x⎧⎪(y dx -xdy =0(x >0), 2.(99,2,7分)求初值问题⎨的解.⎪⎩y x =1=0解：所给方程是齐次方程(因dx , dy 的系数(y 与(-x ) 都是一次齐次函数）. 令dy =xdu +udx , 带入得x (u -x (xdu +udx ) =0, 化简得-xdu =0.dx 分离变量得 x 积分得 lnx -ln(u =C 1, 即 u +=Cx . 以u =y代入原方程通解为=Cx 2. x=0, 得C =1.故所求解为 =x ，或写成y =(x -1). x =12再代入初始条件y（三）全微分方程练习题(94,1,9分）设f (x ) 具有二阶连续导数，f (0)=0, f '(0)=1, 且[xy (x +y)-f (x ) y]dx+[f '(x ) +x 2y]dy=0为一全微分方程，求f (x ) 以及全微分方程的通解解：由全微分方程的条件，有∂∂[xy (x +y ) -f (x ) y ]=[f '(x ) +x 2y ],∂y ∂x即x 2+2xy -f (x ) =f ''(x ) +2xy , 亦即f ''(x ) +f (x ) =x 2.2⎧⎪y ''+y =x因而f (x ) 是初值问题⎨⎪⎩y x =0=0, y 'f (x ) =2cos x +sin x +x 2-2.的解，从而解得=1x =0原方程化为[xy 2+2y -(2cos x +sin x ) y ]dx +(x 2y +2x -2sin x +co s x ) dy =0. 先用凑微分法求左端微分式的原函数：11(y 2dx 2+x 2dy 2) +2(ydx +xdy ) -yd (2sinx -cos x ) -(2sinx -cos x ) dy =0, 221d [x 2y 2+2xy +y (cosx -2sin x )]=0. 21其通解为 x 2y 2+2xy +y (cosx -2sin x ) =C .2（四）由自变量改变量与因变量改变量之间的关系给出的一阶微分方程4. （98,3分）已知函数y =y (x ) 在任意点x 处的增量∆y =y∆x +α, 当∆x →0时, 21+xα是∆x 的高阶无穷小，y (0)=π，则y (1)等于（）ππ(A )2π.(B ) π.(C ) e 4.(D ) πe 4.分析：由可微定义，得微分方程y '=y. 分离变量得21+xdy dx arctan x'=, 两边同时积分得ln y =arctan x +C , 即y =Ce . 2y 1+x代入初始条件y (0)=π，得C=π，于是y (x ) =πe arctan x ,π由此，y (1)=πe 4. 应选(D )二、二阶微分方程的可降阶类型5. （00,3分）微分方程xy ''+3y '=0的通解为_____分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令y '=P(x ) ，则y ''=P'，方程可化为一阶线性方程C 03xP '+3P =0, 标准形式为P '+P=0，两边乘x 3得(Px 3) '=0.通解为y '=P =3.x x C 2再积分得所求通解为 y =2+C 1.x6. （02,3分）微分方程yy ''+y '2=0满足初始条件y 分析：这是二阶的可降阶微分方程. 令y '=P (y )(以y 为自变量) ，则y ''=代入方程得yP'x =0=1，y1=的特解是_____ x =02dy 'dP dP ==P . dx dx dyx =0dP 2dP+P=0，即y +P =0(或P =0,，但其不满足初始条件y 'dy dy dP dy分离变量得 +=0,P yC积分得ln P +ln y =C '，即P=1对应C 1=0)；y11由x =0时y =1，P =y '=, 得C 1=，于是221y '=P =, 2ydy =dx , 积分得y 2=x +C 2.2y 又由yx =01=）. 2=1得C 2. =1，所求特解为y =三、二阶线性微分方程（一）二阶线性微分方程解的性质与通解结构7. （01,3分）设y =e x (C 1sin x +C 2cos x )(C 1, C 2为任意常数) 为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____.分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是r 1，r 2=1±i ，从而得知特征方程为(r -r 1)(r -r 2) =r 2-(r 1+r 2) r +r 1r 2=r 2-2r +2=0. 由此，所求微分方程为y ''-2y '+2y =0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型（只要是二阶），由通解y =e x (C 1sin x +C 2cos x ) 求得y '=e x [(C 1-C 2)sin x +(C 1+C 2)cos x ],y ''=e x (-2C 2s in x +2C 1cos x ), 从这三个式子消去C 1与C 2, 得y ''-2y '+2y =0.（二）求解二阶线性常系数非齐次方程9. （07,4分）二阶常系数非齐次线性微分方程y ''-4y '+3y =2e 2x 的通解为y =_____分析：特征方程λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3) =0的根为λ=1, λ=3.非齐次项e αx , α=2不是特征根，非齐次方程有特解y *=Ae 2x . 代入方程得(4A -8A +3A ) e =2e ⇒A =-2. 因此，通解为y =C 1e x +C 2e 3x -2e 2x . .2x2x10.(10,10分) 求微分方程y ''-3y '+2y =2xe x 的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1︒由相应的特征方程λ2-3λ+2=0, 得特征根λ1=1, λ2=2⇒相应的齐次方程的通解为y =C 1e x +C 2e 2x .2︒非齐次项f (x ) =2xe αx , α=1是单特征根，故设原方程的特解y *=x (ax+b ) e x .代入原方程得 ax 2+(4a +b ) x +2a +2b -3[ax 2+(2a +b ) x +b ]+2(ax 2+bx )=2x , 即-2ax +2a -b =2x , ⇒a =-1, b =-2.3︒原方程的通解为y =C 1e x +C 2e 2x -x (x +2) e x , 其中C 1，C 2为两个任意常数.（三）确定二阶线性常系数非齐次方程特解的类型（04，2, 4分）微分方程y ''+y '=x 2+1+sin x 的特解形式可设为（）(A ) y *=ax 2+bx +c +x (A sin x +B cos x ).(B ) y *=x (ax 2+bx +c +A sin x +B cos x ). (C ) y *=ax 2+bx +c +A sin x .(D ) y *=ax 2+bx +c +A cos x .分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是λ2+1=0, 特征根为λ=±i .由线性方程解的迭加原理，分别考察方程y ''+y =x 2+1 （）与1y ''+y =sin x （2）方程(1)有特解y *=ax 2+bx +c , 方程(2)的非齐次项f (x ) =e αx sin βx =sin x (α=0, β=1，α±i β是特征根), 它有特解y *=x (A sin x +B cos x ).因此原方程有特解 y *=ax 2+bx +c +x (A sin x +Bb cos x ). 应选(A ).(四) 二阶线性变系数方程与欧拉方程d 2y dy 12.(04,4分) 欧拉方程x +4x +2y =0(x >0) 的通解为_______.dx 2dx2分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量x =e t (t =ln x ) ，将它化成常系数的情形：d 2y dy d 2y dy+(4-1) +2y =0, 即+3+2y =0. dx 2dt dt 2dt相应的特征方程λ2+3λ+2=0, 特征根λ1=-1, λ2=-2, 通解为y =C 1e -t +C 2e -2t . 因此，所求原方程的通解为y =C 1C 2+, 其中C 1, C 2为任意常数. x x 2(05,2,12分) 用变量代换x =cos t (0x =0=1, y 'x =0=2的特解.分析：建立y 对t 的导数与y 对x 的导数之间的关系.2dy dy dx dy d 2y d 2y 2dy dy 2d y ==(-sin x ), 2=2sin t -cos t =(1-x ) 2-x . dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为2+y =0, 其通解为y =C 1cos t +C 2sin t .dt回到x 为自变量得y =C 1x +C 由y (0)=C 2=1⇒C 2=1. y '(0)=C 1+因此特解为y =2x +四、高于二阶的线性常系数齐次方程13. （08，4分）在下列微分方程中，以y =C 1e x +C 2cos 2x +C 3sin 2x (C 1,C 2, C 3为任意常数）为通解的是（）(A ) y '''+y ''-4y '-4y =0.(B ) y '''+y ''+4y '+4y =0. (C ) y '''-y ''-4y '+4y =0.(D ）y '''-y ''+4y '-4y =0.x =0=2⇒C 1=2.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是：1, ±2i (i =，对应的特征方程是(λ-1)(λ+2i )(λ-2i ) =(λ-1)(λ2+4) =λ3-λ2+4λ-4=0, 因此所求的微分方程是y '''-y ''+4y '-4y =0，选(D ).(00,2,3分) 具有特解y 1=e -x , y 2=2xe -x , y 3=3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是（）(A ) y '''-y ''-y '+y =0.(B ) y '''+y ''-y '-y =0. (C ) y '''-6y ''+11y '-6y =0.(D ) y '''-2y ''-y '+2y =0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为r 1=r 2=-1, r 3=1，从而特征方程为(r +1) 2(r -1) =0, 即r 3+r 2-r -1=0, 由此，微分方程为y '''+y ''-y '-y =0. 应选(D).五、求解含变限积分的方程（00,2,8分）函数y =f (x ) 在[0, +∞)上可导，f (0)=1，且满足等式1xf (t ) dt =0，⎰0x +1(1)求导数f '(x ) ；(2)证明：当x ≥0时, 成立不等式e -x ≤f (x ) ≤1. f'(x ) +f (x ) -求解与证明（）首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分：1(x +1) f '(x ) +(x +1) f (x ) -⎰f (t ) dt =0,(x +1) f ''(x ) +(x +2) f '(x ) =0.0x在原方程中令变限x =0得f '(0)+f (0)=0, 由f (0)=1, 得f '(0)=-1.x +2现降阶：令u =f '(x ), 则有u '+u =0，解此一阶线性方程得x +1e -xf '(x ) =u =C u =0x +1e -x由f '(0)=-1, 得C =-1, 于是f '(x ) =-.x +1e -x(2)方法1︒用单调性. 由f '(x ) =--x +1x -x又设φ(x ) =f (x ) -e -x , 则φ'(x ) =f '(x ) +e -x =e ≥0(x ≥0), φ(x ) 单调增，因此φ(x )x +1≥φ(0)=0(x ≥0), 即f (x ) ≥e -x (x ≥0）. 综上所述，当x ≥0时, e -x ≤f (x ) ≤1.方法2︒用积分比较定理. 由牛顿-莱布尼茨公式，有f (x ) -f (0)=⎰f '(t ) dt , f (x ) =1-⎰0xx 0e -t. t +1-t x e x e -t -t由于0≤≤e (t ≥0), 有0≤⎰≤⎰e -t dt =1-e -x (x ≥0).0t +10t +1从而有e -x ≤f (x ) ≤1.六、应用问题（一）按导数的几何应用列方程练习题1. （96,1,7分）设对任意x >0, 曲线y =f (x ) 上点(x , f (x )) 处的切线在y轴上的截距等于1xf (t ) dt , 求f (x ) 的一般表达式. x ⎰0解：曲线y =f (x ) 上点(x , f (x )) 处的切线方程为Y -f (x ) =f '(x )(X -x ).令X =0得y 轴上的截距Y =f (x ) -xf '(x ). 由题意1xf (t ) dt =f (x ) -xf '(x ) ⎰0x（含有未知函数及其导数与积分的方程），为消去积分，两边乘以x , 得⎰xf (t ) dt =xf (x ) -x f '(x )(*)恒等式两边求导，得f (x ) =f (x ) +xf '(x ) -2xf '(x ) -x 2f ''(x ) ，即x f ''(x ) +f '(x ) =0在(*) 式中令x =0得0=0, 自然成立. 故不必再加附加条件. 就是说f (x ) 是微分方程xy ''+y '=0C的通解. 令y '=P (x ), 则y ''=P ', 解xP '+P =0, 得y '=P =1.x再积分得y =f (x ) =C 1ln x +C 2.2. （98, 2,8分）设y =y (x ) 是一向上凸的连续曲线, 其上任意一点(x , y ) 且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y =x +1, 求该曲线的方程，并求函数y =y (x ) 的极值.解：由题设和曲率公式有''=（因曲线y (x ) 向上凸, y ''y ''=-1. 2'1+yP '=-1，1+P 2dP=-dx , 积分得arctan P =-x +C 1. 1+P 2由题意可知y '(0)=1即P (0)=1, 代入可得C 1=y '=P =tan(-x ).4π4，故再积分得 y =ln cos(-x ) +C 241又由题设可知y (0)=1, 代入确定C 2=1+ln 2，故有2π1y =ln cos(-x ) +1+ln 242ππππ3ππ3当-0, 而当x →-或π时,24244444cos(-x ) →0,ln cos(-x ) →-∞，故所求的连续曲线为44π1π3y =ln cos(-x ) +1+ln 2(-4244ππ1π3显然，当x =时,ln co s(-x ) =0, y 取最大值1+ln 2, 显然y 在(-π) ，没有极小值.44244(二) 按定积分几何应用列方程πππ3.(97,2,8分) 设曲线L 的极坐标方程为r =r (θ), M (r , θ) 为L 上任一点, M 0(2,0)为L 上一定点, 若极径OM 0, OM 与曲线L 所围成的曲边扇形面积值等于L 上M 0、M 两点间弧长值的一半，求曲线L 的方程.解：由已知条件得1θ21θr d θ=θ，⎰⎰0022两边对θ求导, ，得r 2=, 解出r '=±=±d θ.1d ()11由于=-=arccos , 或=⎰dt =t =arccos (r =sec t ) r r 1两边积分，得arccos =±θ+Cr1π1π代入初始条件r (0)=2，得C =arc cos =, ⇒arccos =±θ.23r 31π1即L 的极坐标方程为=cos(±θ) =cos θθ， r 32从而，L 的直角坐标方程为x =2.。

高等数学中的常微分方程及其应用随着科学技术的发展，数学的应用范围也越来越广泛。

其中，微积分作为现代数学的核心和基石，发挥着至关重要的作用。

微积分包括微分学和积分学两大部分，其中微分学是研究变化率和斜率等问题的数学分支。

而常微分方程就是微分学中最基础的理论之一，它既是数学基础理论的重要组成部分，也是实际问题求解的重要工具。

一、常微分方程常微分方程是研究变化的数学模型，是微分学的重要组成部分。

在数学中，对于一个未知函数y=f(x)，如果该函数的导数y’只是关于x的函数，则称该函数是一个一阶常微分方程。

一阶常微分方程可以表示为dy/dx=f(x)，其中f(x)是已知的函数。

相应地，二阶、三阶、n阶常微分方程可以表示为：d²y/dx²=f(x,y,dy/dx)d³y/dx³=f(x,y,dy/dx,d²y/dx²)dn/dx=f(x,y,dy/dx,...,y(n-1))其中，y、y’、y’’，..., y(n-1)都是未知函数。

常微分方程广泛应用于各个领域，如物理、化学、生物学、经济学等。

例如，牛顿第二定律F=ma就是一个二阶变量加速度的常微分方程，其中a是速度的导数。

又如，放射性衰变的实验数据可以用一阶常微分方程来描述，物体受到的空气阻力也可以用一阶常微分方程来表示。

二、常微分方程的初值问题对于一阶常微分方程dy/dx=f(x)，我们可以通过求解初值问题来确定未知函数y的具体形式。

常微分方程的初值问题是指，给定常微分方程的初始状态y(x0)=y0，求出相应的解y(x)。

这个初始状态就相当于一个起点，解y(x)就是连接这个起点和各个点的曲线路径。

因此，常微分方程的初值问题可以形式表示为：dy/dx=f(x), y(x0)=y0为了解决常微分方程的初值问题，可以使用解析解、数值解等方法。

解析解是指通过使用数学公式求出未知函数y在每一个时间点的具体值的解法，这种方法只适用于具有简单形式的常微分方程。

第7章 微分方程一、本章提要1． 基本概念微分方程，常微分方程(未知函数为一元函数)，偏微分方程（未知函数为多元函数），微分方程的阶数（填空题）.齐次方程 ：()dy y dxx ϕ=或者()dxxdy yϕ=（计算） 一阶线性微分方程：()()y P x y Q x '+=或者()()x P y x Q y '+=通解公式()d ()d ()e d e P x x P x x y Q x x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 或者用常数变异法求解.（计算或者填空） 线性相关，线性无关（选择） 可降解（不显含x 或y ）的（计算）齐次常系数线性微分方程：特征根法（填空）非齐次常系数线性微分方程：特接用待定系数法. (计算) 微分方程解的结构定理（选择或填空）． 换元法也是求解微分方程的重要方法之一. 二、要点解析问题1 常微分方程有通用的解法吗？对本章的学习应特别注意些什么？解析 常微分方程没有通用的求解方法．每一种方法一般只适用于某类方程．在本章 我们只学习了常微分方程的几种常用方法．因此，学习本章时应特别注意每一种求解方法所适用的微分方程的类型．当然，有时一个方程可能有几种求解方法，在求解时，要选取最简单的那种方法以提高求解效率．要特别注意：并不是每一个微分方程都能求出其解析解，大多数方程只能求其数值解．例1 求微分方程 '+=y y 0 的通解．解一 因为 0y y '+= 所对应的特征方程为10r +=，特征根1r =-，所以e xy C -=（C 为任意常数）为所求通解．解二 因为0=+'y y ，所以)0(d d ≠-=y y xy ，分离变量x y y d d -=，两边积分⎰⎰-=x yy d d ，1ln ln y x C =-+， 所以exy C -= （C 为任意常数）三、例题精解例3 求''=y y 4满足初始条件01,2x x yy =='== 的特解．解一 令'=y p ，则d d d d d d d d p p y py pxy x y''==⋅=．将其代入原方程''=y y 4得 y yp p4d d =，分离变量 y y p p d 4d =， 两边积分⎰⎰=y y p p d 4d ，22111422p y C =⋅+， 2224p y C =+，因为001,2x x yp y =='===，所以222241C =⨯+，可得C 2=0．故224p y =，即 p y =±2．这里'=-y y 2 应舍去，因为此时'y 与y 异号，不能够满足初始条件．将2y y '=分离变量便得其解y =23exC +．再由y x ==01，得30C =，于是所求解为2e xy =．上面解法中，由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C 1的值，使得后续步骤变得简单，这种技巧经常用到．解二 因为''=y y 4，所以40y y ''-=，特征方程 240r -=， 特征根 122,2r r =-=， 于是其通解为2212e e x x y C C -=+， 由初始条件可得C 1=0 ，C 2=1 ，所求特解为 2e x y =．例4 求方程''+=y y x sin 的通解．解一 该方程为二阶常系数非齐次线性方程，其对应的齐次方程为 ''+=y y 0， 特征方程为 210r +=， 特征根12i,=i r r =-，齐次方程的通解为12cos sin Y C x C x =+，由于方程0sin e sin y y x x ''+==，i i αβ+=(其中0,1αβ==) 恰是特征单根，故设特解为(c o s s i n y x a xb x *=+，代入原方程，可得1,02a b =-= 所以1cos 2y x x *=-，于是所求通解为y C x C x x x =+-1212c o ss i n c o s ．上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程 ''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项[]()e()c o s ()s i nxnh f x P x x P xx αββ=+，那么该微分方程的特解可设为[]e()c o s ()s i n kxp mm y x P x x Q xx αββ=+，其中(), ()m m P x Q x 均为 m 次待定多项式 {}m h n =m ax ,．如果非齐次项中的αβ,使i αβ±不是特征方程的根，则设0k =；如果i αβ±是特征方程的单根，则取1k =． 例5 求解微分方程x xe y y y 42=+'-''。