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高等数学常微分方程讲义,试题,答案常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、dyp(x)Q(y)dx(Q(y) 0) 2、齐次方程：dy dxy f x三、一阶线性方程及其推广1、dydyP(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx( 0,1)四、全微分方程及其推广（数学一）1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足Q P2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x22Q p (RQ) (RP)但存在R(x,y)，使x y x ydydyxy的通解。
dxdx解：y (x xy)22dy0dxydyy2 x d__y x2 y1 x2yduu2令u,则u x udx x(1 u)du 0xdxu 11 udxdu u x C1 ln|xu| u C1例2C1 uce, y cedyy的通解d__ y4uyx求微分方程d__ y4dx1解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶dyydyy11dy 14 dy 133yydy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e yey 3例3设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解xx解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为dy(e x 1)y 1 dxx xdy(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4设1212故所求解y e exx e x12满足以下件F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )内f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex（1）求F(x)所满足的一阶微分方程（2）求出F(x)的表达式解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e2dx4e2xe 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是例52F(x) e2x e 2xdy2(1 y)的通解求微分方程(y x) xdxsec2udusec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2secvdv化简为sin(u v)dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,1 sinzv c21 sinz1 sinz z v c 2coszz tanz secz v c z最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。
高数微分方程公式大全微分方程是数学中的重要概念，包含了许多公式和方法。
下面我将从不同角度介绍一些常见的高等数学微分方程公式。
1. 一阶微分方程：可分离变量方程公式，dy/dx = f(x)g(y)，可通过分离变量并积分求解。
齐次方程公式，dy/dx = f(x)/g(y)，可通过变量代换或分离变量求解。
线性方程公式，dy/dx + P(x)y = Q(x)，可通过积分因子法或常数变易法求解。
2. 二阶微分方程：齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，可通过特征方程法求解。
非齐次线性方程公式，d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
欧拉方程公式，x²d²y/dx² + pxdy/dx + qy = 0，可通过变量代换或特征方程法求解。
3. 高阶微分方程：常系数线性齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = 0，可通过特征方程法求解。
常系数线性非齐次方程公式，andⁿy/dxⁿ +an⁻¹dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + a1dy/dx + a0y = f(x)，可通过常数变易法或待定系数法求解。
常系数二阶齐次方程公式，d²y/dx² + py' + qy = 0，可通过特征方程法求解。
4. 常见的变换和公式：指数函数变换，对于形如y = e^(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
对数函数变换，对于形如y = ln(x)的方程，可通过变量代换进行求解。
三角函数变换，对于形如y = sin(kx)或y = cos(kx)的方程，可通过变量代换进行求解。
常用公式，如指数函数的导数公式、对数函数的导数公式、三角函数的导数公式等。
高中数学中的常微分方程知识点一、引言常微分方程是数学中的一个重要分支，它在自然科学、社会科学和工程技术等领域有着广泛的应用。
高中数学中的常微分方程知识点主要包括一阶微分方程、二阶微分方程和常微分方程的解法等内容。
二、一阶微分方程1. 概念一阶微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）分离变量法：将方程中的y和x分离，化为y = f(x)的形式，然后对两边进行积分。
（2）积分因子法：找出一个函数μ(x)，使得原方程两边乘以μ(x)后，可以化为dy/dx + μP(x)y = μQ(x)的形式，然后利用积分因子公式求解。
（3）变量替换法：选择一个合适的变量替换，将原方程化为简单的一阶微分方程，然后求解。
3. 例子求解方程dy/dx + 2y = e^x。
（1）分离变量法：dy/y = e^x dx∫ dy = ∫ e^x dxy = e^x + C其中C是积分常数。
（2）积分因子法：μ(x) = e^(-∫ 2dx) = e^(-2x)μ(dy/dx + 2y) = μQ(x)e^(-2x)dy/dx + 2e^(-2x)y = e(-2x)e x(-dy/dx + 2y)e^(2x) = 1-dy/dx + 2y = e^(-2x)利用积分因子公式求解，得到：y * e^(2x) = -∫ e^(-2x) dx + Cy = (-1/2)e^(-2x) + C/e^(2x)三、二阶微分方程1. 概念二阶微分方程是指形如d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = R(x)的方程，其中P(x)、Q(x)和R(x)是关于自变量x的已知函数。
2. 解法（1）常数变易法：假设y = e^(αx)，代入原方程，得到关于α的二次方程，求解得到α的值，进而求出y的解。
（2）待定系数法：假设y = e^(αx)的系数为待定系数，代入原方程，得到关于待定系数的方程，求解得到待定系数的值，进而求出y的解。
高等数学基础--多元函数微积分与线性常微分方程
高等数学中的多元函数微积分和线性常微分方程是重要的数学基础，在生物、物理、化学、经济学、工程学等多个领域有着重要的应用。
对于多元函数微积分而言，主要涉及到定义积分、泰勒级数、变量替
换法和线性空间等。
它不仅能够有助于应用者更好地理解多元函数的
变化和结构特征，而且可以更有效地计算函数的微分、数值的变化随
参数的变化等，从而推导求解许多复杂的问题。
线性常微分方程是微积分的重要组成部分，它定义了元函数的变化趋
势是线性的，并且可以用来求解特定系统的行为特征和解决行为模型
所产生的问题。
它的解决思路也和多元函数微积分有很大的联系。
它
通常会用到特征值和特征根，偏微分方程等解决方法，常见的模型包
括波动方程、拉格朗日方程和随机方程等。
在数学和科学的应用中，多元函数微积分和线性常微分方程是重要的
基础，可以用来分析不同现象的起源和发展趋势，为优化利用事物规律，提高技术利用效率提供重要依据和指导。
多元函数微积分和线性
常微分方程对尤其是非线性系统的数理建模、分析和应用有着重要作用。
第六章 常微分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。
微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。
特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
【大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。
理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。
了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。
会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。
【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。
求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。
利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。
若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。
【考点一】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。
可分离变量的微分方程的解题程序：当()0,()()()()dy g y y f x g y f x dx g y '≠=⇔=时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+⎰⎰上式即为变量可分离微分方程的通解。
授课11单元教案第一节微分方程的基本概念教学过程一、引入新课初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。
方程的定义：含有未知数的的等式。
它表达了未知量所必须满足的某种条件。
根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。
引例1二、新授课1、微分方程的定义：含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。
例如，22;d yx y x dx=+=dx 和是常微分方程dyzxy x∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。
一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '= 例如：2354()0y x y x '+-=，2()20dy dyx y x dx dx-+=都是一阶微分方程。
二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''= 例如：222sin 0d y dyyx dx dx-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。
类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。
其中F 是n +2个变量的函数。
这里必须指出，在方程()(,,,,)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '(1),n y y -''等变量可以不出现。
例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。
例1 ．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：122222222(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d yxdy y xdx y e dt yy y x dy dx x y xy y -==++=+=+==+-=2、微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程，称为解微分方程例如，函数3x 16是微分方程22d y x dx =的解。
第六章 常微分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。
微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。
特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
【大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。
理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。
了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。
会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。
【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。
求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。
利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。
若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。
【考点一】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。
可分离变量的微分方程的解题程序：当()0,()()()()dy g y y f x g y f x dx g y '≠=⇔=时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+⎰⎰上式即为变量可分离微分方程的通解。
其中，C 为任意常数，1()()dy g y g y ⎰表示函数的一个原函数，()f x dx ⎰表示函数()f x 的一个原函数. 【例1】若连续函数()f x 满足关系式()20ln 22x t f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则()f x 等于（ ） （A ）ln 2.x e （B ）2ln 2.x e （C ）ln 2.x e +（D ）2ln 2.x e +【例2】已知曲线()()10,,,2y f x x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭过点且其上任一点处的切线斜率为()2ln 1,x x +则()_______f x =.【例3】求下列微分方程的解 1、231dy y dx xy x y+=+ 2、2(1)(1)0y dx y x dy ++-= 3、221dy x y xy dx =+++【考点二】形如⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y dx dy ϕ的微分方程称为齐次方程。
其解法是固定的：令x y u =，则dx du x u dx dy ux u +==,，代入得 ()u dxdu x u ϕ=+ .分离变量，得()x dx u u du =-ϕ 。
两端积分，得()⎰⎰=-x dx u u du ϕ，求出积分后，将u 换成xy ，即得齐次方程的通解 【例5】求下列微分方程的通解.1、222(32)(2)0x xy y dx x xy dy +-+-=2、(1ln ln )dy y y x dx x =+- 3、(ln ln )dy xy y x y dx +=+ 4、1dy dx x y =+【考点三】1. 形如()()0dy p x y Q x dx+=≠的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程，其通解公式为：[]⎰+⎰=⎰-c e x Q dx x p )(p(x)dx )(e y . 【评注】由于一阶微分方程的通解只包含一个任意常数c,因此通解公式中的积分⎰和dx x p )(dx e x Q dx x p ⎰⎰)()(，只表示其中一个任意的原函数，不含任意常数c 。
2. 求通解可以套用上述公式，如不套用公式，就用教材中推导公式的方法求解。
3. 通解公式的记忆方法：一阶线性非齐次微分方程()()y p x y Q x '+=等价于p(x)dx ()e [()]().p x dx y p x y e Q x ⎰⎰'+=⋅即).(][)()(x Q e y e dx x p dx x p ⋅⎰='⋅⎰两边积分得,)()()(⎰+⎰=⋅⎰c dx e x Q y e dx x p dx x p 即 .])([)()(⎰+⎰⎰=-c dx e x Q e y dx x p dx x p【例6】设)(x f 为连续函数，（1）求初值问题⎩⎨⎧==+'=0)(0x y x f ay y 的解)(x y ，其中a 是正常数；（2）若k x f ≤)(（k 为常数）。
证明：当0≥x 时，有()ax e a k x y --≤1)(【例7】求下列微分方程的通解. 1、32(21)0y dx xy dy +-=，2、522(1)1dy y x dx x -=++ 3、2sin 1x xy y x y ππ='+=⎧⎪⎨=⎪⎩【例8 】设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件：)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程；(2) 求出F(x)的表达式.【例9】设)(x y 连续，求解方程20)(21)(x x y dx s y x =+⎰ .【例10】过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭且满足关系式arcsin 1y x '=的曲线方程为______y =.【例11】求微分方程()20xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线1,2x x ==及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。
【例12】函数()()[0,),0 1.f x f +∞=在上可导且满足等式()()()010,1x f x f x f t dt x '+-=+⎰ （1）求导数()f x '；（2）证明：当()0,: 1.x x e f x -≥≤≤时成立不等式【考点四】二阶常系数齐次线性微分方程:1．标准形式：0=+'+''qy y p y ，q p ,均为常数。
2．通解公式：①特征方程为02=++q pr r ；②若特征方程有互异实根21r r ≠，则通解为2121r r e c e c y +=；③若特征方程有相等实根r r r ==21，则通解为()rx e x c c y 21+=；④若特征根为共轭复根βαi r ±=（βα,为常数，0>β），则通解为()x c x c e y x ββαsin cos 21+=【例13】求下列微分方程的解1、20y y y '''+-=2、8160y y y '''++=3、230y y y '''-+=【例14】设()x c x c e y x cos sin 21+=（21,c c 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_________。
【考点六】二阶常系数非齐次线性微分方程：1．大纲要求：会解自由项为多项式，指数、函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。
2．二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是：)(x f qy y p y =+'+''，其中q p ,为常数，若特解为*y ，对应的齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的通解为)()()(2211x y c x y c x y +=，则原方程的通解为)()(2211x y c x y c y y ++=*。
3．求二阶线性常系数非齐次微分方程的待定系数法：①设x n e x P qy y p y λ)(=+'+''，其中)(x P n 是n 次多项式，设特解x n k e x Q x y λ)(=*，其中)(x Q n 也是n 次多项式，当λ不是0=+'+''qy y p y 的单特征根时，0=k ；当λ是0=+'+''qy y p y 的重特征根时，2=k ，再设0111)(a x a x a x a x Q n n n n n ++++=-- ，将x n k e x Q x y λ)(=*代入微分方程x n e x P qy y p y λ)(=+'+''，两端比较x 同次幂系数，就可求出符定系数n a a a ,,,10 。
②设[]wx x P wx x p e qy y p y l n x sin )(cos )(+=+'+''λ其特解为[]wx x Q wx x R e x y m m x k sin )(cos )(+=*λ其中{}l n m ,max =，而k 按iw +λ （或iw -λ）不是特征方程的根据或是特征方程的单根依次取0或1。
4．求二阶线性常系数非齐次微分方程的常数变易法：设0)(≠=+'+''x f qy y p y ，且对应齐欠微分方程0=+'+''qy y p y 的通解为)()(2211x y c x y c +，其中21,c c 为任意常数。
将21,c c 换成函数，)(),(21x y x y 保持不变，即令)()()()()(2211x y x c x y x c x y +=是)(x f qy y p y =+'+''的通解，其中)(),(21x c x c 是待定系数。
函数)(),(21x c x c 的求法如下： 先求方程组''1122''''1122()()()()0()()()()()c x y x c x y x c x y x c x y x f x ⎧+=⎨+=⎩ 解出'1()c x 与'2()c x ，再积分就可得出)(1x c 与)(2x c 代入得 )()()()()(2211x y x c x y x c x y +=就是原方程的通解。
