高等数学基础班常微分方程

高中数学中的常微分方程知识点一、引言常微分方程是数学中的一个重要分支，它在自然科学、社会科学和工程技术等领域有着广泛的应用。

高中数学中的常微分方程知识点主要包括一阶微分方程、二阶微分方程和常微分方程的解法等内容。

二、一阶微分方程1. 概念一阶微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程，其中P(x)和Q(x)是关于自变量x的已知函数。

2. 解法（1）分离变量法：将方程中的y和x分离，化为y = f(x)的形式，然后对两边进行积分。

（2）积分因子法：找出一个函数μ(x)，使得原方程两边乘以μ(x)后，可以化为dy/dx + μP(x)y = μQ(x)的形式，然后利用积分因子公式求解。

（3）变量替换法：选择一个合适的变量替换，将原方程化为简单的一阶微分方程，然后求解。

3. 例子求解方程dy/dx + 2y = e^x。

（1）分离变量法：dy/y = e^x dx∫ dy = ∫ e^x dxy = e^x + C其中C是积分常数。

（2）积分因子法：μ(x) = e^(-∫ 2dx) = e^(-2x)μ(dy/dx + 2y) = μQ(x)e^(-2x)dy/dx + 2e^(-2x)y = e(-2x)e x(-dy/dx + 2y)e^(2x) = 1-dy/dx + 2y = e^(-2x)利用积分因子公式求解，得到：y * e^(2x) = -∫ e^(-2x) dx + Cy = (-1/2)e^(-2x) + C/e^(2x)三、二阶微分方程1. 概念二阶微分方程是指形如d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = R(x)的方程，其中P(x)、Q(x)和R(x)是关于自变量x的已知函数。

2. 解法（1）常数变易法：假设y = e^(αx)，代入原方程，得到关于α的二次方程，求解得到α的值，进而求出y的解。

（2）待定系数法：假设y = e^(αx)的系数为待定系数，代入原方程，得到关于待定系数的方程，求解得到待定系数的值，进而求出y的解。

高等数学基础--多元函数微积分与线性常微分方程
高等数学中的多元函数微积分和线性常微分方程是重要的数学基础，在生物、物理、化学、经济学、工程学等多个领域有着重要的应用。

对于多元函数微积分而言，主要涉及到定义积分、泰勒级数、变量替
换法和线性空间等。

它不仅能够有助于应用者更好地理解多元函数的
变化和结构特征，而且可以更有效地计算函数的微分、数值的变化随
参数的变化等，从而推导求解许多复杂的问题。

线性常微分方程是微积分的重要组成部分，它定义了元函数的变化趋
势是线性的，并且可以用来求解特定系统的行为特征和解决行为模型
所产生的问题。

它的解决思路也和多元函数微积分有很大的联系。

它
通常会用到特征值和特征根，偏微分方程等解决方法，常见的模型包
括波动方程、拉格朗日方程和随机方程等。

在数学和科学的应用中，多元函数微积分和线性常微分方程是重要的
基础，可以用来分析不同现象的起源和发展趋势，为优化利用事物规律，提高技术利用效率提供重要依据和指导。

多元函数微积分和线性
常微分方程对尤其是非线性系统的数理建模、分析和应用有着重要作用。

第六章 常微分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。

微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。

特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。

【大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。

【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。

理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。

了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。

会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。

【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。

求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。

2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。

利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。

若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。

3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。

【考点一】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。

可分离变量的微分方程的解题程序：当()0,()()()()dy g y y f x g y f x dx g y '≠=⇔=时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+⎰⎰上式即为变量可分离微分方程的通解。

授课11单元教案第一节微分方程的基本概念教学过程一、引入新课初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。

这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。

方程的定义：含有未知数的的等式。

它表达了未知量所必须满足的某种条件。

根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。

引例1二、新授课1、微分方程的定义：含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。

例如，22;d yx y x dx=+=dx 和是常微分方程dyzxy x∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。

一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '= 例如：2354()0y x y x '+-=，2()20dy dyx y x dx dx-+=都是一阶微分方程。

二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''= 例如：222sin 0d y dyyx dx dx-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。

类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。

其中F 是n +2个变量的函数。

这里必须指出，在方程()(,,,,)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '(1),n y y -''等变量可以不出现。

例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。

例1 ．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：122222222(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d yxdy y xdx y e dt yy y x dy dx x y xy y -==++=+=+==+-=2、微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程，称为解微分方程例如，函数3x 16是微分方程22d y x dx =的解。

高数大一知识点常微分方程高数大一知识点：常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equation，简称ODE）是数学中的一个重要分支，研究函数的导数与自变量之间的关系。

在高数大一的学习中，常微分方程是一个重要的知识点。

本文将简要介绍常微分方程的定义、分类和解法，并给出一些常见的示例。

一、常微分方程的定义常微分方程是用函数与其导数构成的等式来描述未知函数的性质的数学方程。

一般形式为：f(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0其中，x为自变量，y为未知函数，y⁽ⁿ⁾表示y的n阶导数。

二、常微分方程的分类常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。

1. 一阶常微分方程一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)其中，f(x, y)为已知函数。

一阶常微分方程的解可以表示为y = Φ(x, C)，其中Φ(x, C)是一族包含常数C的函数。

2. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指方程中包含未知函数的高阶导数的方程。

高阶常微分方程可以通过一系列变换化为一阶常微分方程。

三、常微分方程的解法常微分方程的解法有很多种方法，这里介绍两种常用的方法：分离变量法和常数变易法。

1. 分离变量法对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，可以通过分离变量将y的项移到一边，x的项移到另一边，然后两边同时积分得到通解。

2. 常数变易法对于一阶常微分方程dy/dx = f(x, y)，可以通过引入一个未知函数u(x)，将方程转化为关于u和x的一阶常微分方程，再通过求导和代换等操作，求得y关于x的通解。

四、常微分方程的示例1. 一阶常微分方程示例：dy/dx = x^2 - y先整理方程，得到dy + y = x^2通过分离变量法可得∫1/y dy = ∫x^2 dx解得ln|y| = x^3/3 + C1最终的通解为y = Ce^(x^3/3)，其中C为常数。

《常微分方程》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标常微分方程是信息与计算科学专业的基础课程之一。

通过该课程的学习，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的理解，培养学生计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及理论联系实际去分析问题、解决问题的能力，为学生学习后继课程打下基础。

1．学好基础知识。

理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。

2．掌握基本技能。

能够根据法则、公式正确地进行运算。

能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。

3．培养思维能力。

能够对研究的对象进行观察、比较、抽象和概括。

能运用课程中的概念、定理及性质进行合乎逻辑的推理。

能对计算结果进行合乎实际的分析、归纳和类比。

4．提高解决实际问题的能力。

对于简单应用问题会列出定解问题求解,能够将本课程与相关课程有机地联系起来，提出并解决相关学科中与本课程有关的问题。

能够自觉地用所学知识去观察生活，建立简单的数学模型，提出和解决生活中有关的数学问题。

三、教学学时分配《常微分方程》课程理论教学学时分配表＊理论学时包括讨论、习题课等学时。

四、教学内容和教学要求第一章绪论（4学时）（一）教学要求1．了解微分方程的背景即某些物理过程的数学模型；2. 掌握由简单的物理、几何等问题建立简单微分方程；3. 理解微分方程的基本概念；4. 掌握如何由通解求特解。

（二）教学重点与难点教学重点：微分方程的基本概念；教学难点：建立微分方程模型的思想、方法和例子。

（三）教学内容 第一节 常微分方程模型第二节 基本概念和常微分方程的发展历史1．常微分方程基本概念本章习题要点：微分方程基本概念题；建立微分方程的题。

第二章 一阶微分方程的初等解法（14学时）（一）教学要求1. 掌握变量可分离方程、一阶线性方程以及恰当微分方程的求解方法； 2．掌握齐次方程、Bernoulli 方程的求解； 3. 掌握用变量代换的方法求解微分方程；4. 掌握从积分因子满足的充分必要条件导出某些特殊形式积分因子存在的条件及计算公式,并用于解相应的微分方程；5. 掌握已解出y 或x 的微分方程)',(),',(y y f x y x f y ==的计算方法；6. 了解微分方程0)',(,0)',(==y y F y x F 的求解；7. 掌握一阶微分方程的应用方法,能建立一些简单的模型进行简单分析。

微分 方 程的相关 概 念 ：一阶微分方程： y f (x, y) 或 P( x, y)dx Q(x, y)dy 0 可分别变量的微分方程 ：一阶微分方程能够化 为 g ( y)dy 的形式，解法：f (x)dxg ( y) dy f ( x)dx 得： G( y) F (x) C 称为隐式通解。

齐次方程：一阶微分方 程能够写成 dyf ( x, y)，即写成 y的函数，解法：dx(x, y) x设 u y ，则 dy u x du ， udu (u) ， dxdu 分别变量，积分后将 y取代 ，x dx dx dx x (u) ux即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程：dyP( x) y Q ( x)dx当 Q( x) 0时, 为齐次方程， yCe P( x) dx当 Q( x) 0时，为非齐次方程，yP( x) dxdxP ( x) dx( Q (x)e C )e、贝努力方程： dyP( x) y Q (x) y n ， 0,1)2 dx (n全微分方程：假如 P(x, y)dx Q ( x, y)dy 0中左端是某函数的全微分方程，即：du (x, y)P(x, y) dx Q( x, y) dy 0，此中：uP( x, y)，uQ ( x, y)xyu( x, y) C 应当是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：2ydy， f ( x)时为齐次ddx 2P(x) dxQ( x) y f ( x)f ( x) 时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) y py qy 0，此中 p, q 为常数；求解步骤：、写出特点方程：)r 2pr q ，此中 2， 的系数及常数项恰巧是(*)式中的系数；1(rry , y , y2、求出 ( )式的两个根 r 1 ,r 23、依据 r 1 ,r 2的不一样状况，按下表写 出(*) 式的通解： r 1， r 2的形式(*) 式的通解两个不相等实根 ( p 24q 0)yc 1e r 1 x c 2 e r 2 x两个相等实根 ( p 24q0)y(c1 c2 x)e r1x一对共轭复根 ( p 24q0)y e x (c1 cos x c2 sin x) r1i ，r2ip ，4q p 222二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy f ( x)， p,q为常数f ( x) e x P m ( x)型，为常数；f ( x) e x [ P l ( x) cos x P n ( x)sin x]型。

第7章 微分方程一、本章提要1． 基本概念微分方程，常微分方程(未知函数为一元函数)，偏微分方程（未知函数为多元函数），微分方程的阶数（填空题）.齐次方程 ：()dy y dxx ϕ=或者()dxxdy yϕ=（计算） 一阶线性微分方程：()()y P x y Q x '+=或者()()x P y x Q y '+=通解公式()d ()d ()e d e P x x P x x y Q x x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 或者用常数变异法求解.（计算或者填空） 线性相关，线性无关（选择） 可降解（不显含x 或y ）的（计算）齐次常系数线性微分方程：特征根法（填空）非齐次常系数线性微分方程：特接用待定系数法. (计算) 微分方程解的结构定理（选择或填空）． 换元法也是求解微分方程的重要方法之一. 二、要点解析问题1 常微分方程有通用的解法吗？对本章的学习应特别注意些什么？解析 常微分方程没有通用的求解方法．每一种方法一般只适用于某类方程．在本章 我们只学习了常微分方程的几种常用方法．因此，学习本章时应特别注意每一种求解方法所适用的微分方程的类型．当然，有时一个方程可能有几种求解方法，在求解时，要选取最简单的那种方法以提高求解效率．要特别注意：并不是每一个微分方程都能求出其解析解，大多数方程只能求其数值解．例1 求微分方程 '+=y y 0 的通解．解一 因为 0y y '+= 所对应的特征方程为10r +=，特征根1r =-，所以e xy C -=（C 为任意常数）为所求通解．解二 因为0=+'y y ，所以)0(d d ≠-=y y xy ，分离变量x y y d d -=，两边积分⎰⎰-=x yy d d ，1ln ln y x C =-+， 所以exy C -= （C 为任意常数）三、例题精解例3 求''=y y 4满足初始条件01,2x x yy =='== 的特解．解一 令'=y p ，则d d d d d d d d p p y py pxy x y''==⋅=．将其代入原方程''=y y 4得 y yp p4d d =，分离变量 y y p p d 4d =， 两边积分⎰⎰=y y p p d 4d ，22111422p y C =⋅+， 2224p y C =+，因为001,2x x yp y =='===，所以222241C =⨯+，可得C 2=0．故224p y =，即 p y =±2．这里'=-y y 2 应舍去，因为此时'y 与y 异号，不能够满足初始条件．将2y y '=分离变量便得其解y =23exC +．再由y x ==01，得30C =，于是所求解为2e xy =．上面解法中，由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C 1的值，使得后续步骤变得简单，这种技巧经常用到．解二 因为''=y y 4，所以40y y ''-=，特征方程 240r -=， 特征根 122,2r r =-=， 于是其通解为2212e e x x y C C -=+， 由初始条件可得C 1=0 ，C 2=1 ，所求特解为 2e x y =．例4 求方程''+=y y x sin 的通解．解一 该方程为二阶常系数非齐次线性方程，其对应的齐次方程为 ''+=y y 0， 特征方程为 210r +=， 特征根12i,=i r r =-，齐次方程的通解为12cos sin Y C x C x =+，由于方程0sin e sin y y x x ''+==，i i αβ+=(其中0,1αβ==) 恰是特征单根，故设特解为(c o s s i n y x a xb x *=+，代入原方程，可得1,02a b =-= 所以1cos 2y x x *=-，于是所求通解为y C x C x x x =+-1212c o ss i n c o s ．上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程 ''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项[]()e()c o s ()s i nxnh f x P x x P xx αββ=+，那么该微分方程的特解可设为[]e()c o s ()s i n kxp mm y x P x x Q xx αββ=+，其中(), ()m m P x Q x 均为 m 次待定多项式 {}m h n =m ax ,．如果非齐次项中的αβ,使i αβ±不是特征方程的根，则设0k =；如果i αβ±是特征方程的单根，则取1k =． 例5 求解微分方程x xe y y y 42=+'-''。