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1Transport Phenomena, Xu Jian, 2009第五章边界层理论边界层概念 边界层方程 边界层分离2Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.1 边界层概念在上述层流动量传递的若干实例的分析中，(1)形状简单；(2)引入了假设：管道无限长、忽略进口段影响。
实际问题要复杂得多。
边界层理论，粘滞力对动量传递影响的一般理论，是粘性流体力学的基础，也与热量传递过程和质量传递过程有着密切的关系。
3Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.1 边界层概念Prandtl(1904)提出边界层概念，把统一的流场，划分成两个区域，边界层和外流区；其流体流动（沿流动方向和沿与流动方向垂直的方向）有不同的特点。
边界层：流体速度分布明显受到固体壁面影响的区域。
边界层的形成：¾壁面处流体的“不滑脱”no-slip ¾流体的“内摩擦”作用 边界层厚度δ¾U ＝0Æ0.99 U 04Transport Phenomena, Xu Jian, 20095Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.1 边界层概念流过一物体壁面的流体分成两部分¾边界层，粘性流体，不能忽略粘滞力¾外流区，理想流体，可以忽略粘滞力6Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层理论的要点边界层厚度δ的变化¾前缘处，δ＝0¾x ↑, δ↑；沿壁面的法向将有更多的流体被阻滞¾δ<<x边界层内，δ<<x （距离很小）；0Æ0.99 U 0（速度变化大）¾速度梯度很大，剪切力很大¾流体速度减慢Æ惯性力<<层外，惯性力与粘性力数量级相当7Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层流动的转变x<x c (临界距离)层流边界层 过渡区 湍流边界层转变判据：¾临界值：5×105；¾特征长度：距前缘的距离；¾特征速度：来流速度0Re xU ρμ=8Transport Phenomena, Xu Jian, 2009圆管进口段效应靠近管壁部分：边界层，速度减慢；厚度不断增大，进口段长度之后，汇交在管中心处；充分发展段的流动状态取决于交汇处边界层的流动状态；进口段的中心部分：无粘性流动区，速度均匀，区域不断缩小，在边界层汇交时消失；沿程速度不断增大Î压降增大（附加压降）；9Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2 边界层方程普兰德边界层方程：量级比较 边界层积分动量方程：动量衡算沿平壁层流边界层的计算：动量积分方程的应用10Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2.1 普兰德边界层方程2222222211x x x x xy y y y y x y u u u u P u u x y x x y u u u u P u u x y y x y μρρμρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠讨论不可压缩流体在平板壁面上的稳态二维层流2222221x x x x Du u u u PDt x x y z υρ⎛⎞∂∂∂∂=−+++⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠2222221y y y yDu u u uPDtyx y z υρ⎛⎞∂∂∂∂=−+++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠不可压缩流体的Navier-Stocks 方程不可压缩流体在边界层中作稳态二维流动，方程简化为：y0x u u x y∂∂+=∂∂连续性方程：11Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2.1 普兰德边界层方程普兰德首先发现可以通过比较数量级简化方程：¾Re 较大时，边界层的厚度δ<<x¾边界层内的惯性力和粘性力数量级相当 标准数量级：¾x 为距离的标准数量级，记为x=O(1)¾u 0为速度的标准数量级，记为u 0=O(1)¾边界层厚度δ的数量级记为δ= O(δ)，远远小于O(1) 其他物理量的数量级：¾u x 与u 0是一个数量级，记为u x =O(1)¾y 与u 0是一个数量级，记为u x =O(1)12Transport Phenomena, Xu Jian, 2009其他物理量的数量级(1)(1)(1)x x u u O O x x O ∂Δ≈==∂Δ()222(1)(1)(1)(1)x x u u O O x O O x ∂Δ≈==∂Δyx u u x y ∂∂+=∂∂(1)x u O x∂=∂+(1)y u O y∂=∂()y u O δ=(1)1()()x x u u O O y y O δδ∂Δ≈==∂Δ()22222(1)1()()x x u u O O y O y δδ∂Δ≈==∂Δ22221x x x x xy u u u u P u u x y x x y μρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠数量级(1)(1)×1()()δδ×(1)21()δ13Transport Phenomena, Xu Jian, 2009其他物理量的数量级22221x x x x xy u u u u P u u x y x x y μρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠(1)(1)×1()()δδ×(1)21()δInertial Force=Viscous Force:2()O μδρ=1(1)PO xρ∂≤∂22221y yy yx y u u u u P u u x y y xy μρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠(1)()δ×()(1)δ×()δ1()δ2()δ()δ≤()δ(1)14Transport Phenomena, Xu Jian, 2009普兰德边界层方程2210x x xxy yx u u u dP u u x ydx y u u x yμρρ∂∂∂+=−+∂∂∂∂∂+=∂∂000x y x y u u y u u ====∞=时，时，普兰德边界层方程B.C.通过数量级比较得到的简化方程：应用条件：不可压缩流体在边界层中作稳态二维流动，而且Re 比较大15Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2.2 边界层积分动量方程卡门避开使用N-S 方程，直接对边界层进行衡算x 方向质量衡算：¾左侧进入：¾右侧流出：¾上部外流区进入yxz dxdy 1个单位距离δlyu 0, ρμlx u dy ρ∫()00ll x xu dy u dy dxxρρ∂+∂∫∫()lx u dy dxxρ∂∂∫()()2220000000u (-u )ll l l x x x xlx x u dy u dy dx u dy u dy dxx xdx u u dyx ρρρρρ∂∂+−−∂∂∂=∂∫∫∫∫∫x 向净动量变化率：不可压缩流体沿平板壁面的稳态二维流动16Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层积分动量方程作用于控制体的x 向外力¾壁面剪切力：¾作用在左右侧面的压力差：1s dx τ−⋅⋅1Pdx l x∂−⋅⋅∂00(u )l x x s Pu u dy l x xρτ∂∂−=+∂∂∫0[,]x y l u u δ∈=00(u )x x sP u u dy x xδρδτ∂∂−=+∂∂∫只考虑x 方向的流动00(u )x x s d dPu u dy dx dxδρδτ−=+∫边界层内外压力近似相等00(u )x x sd u u dy dx δρτ−=∫卡门边界层积分动量方程17Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层积分动量方程可以求出边界层厚度、流体阻力、曳力系数等；方程有u x ，τw ，δ三个变量，需要补充u x =f 1(y)，τw =f 2(δ)的关系；需要预先假定一个速度分布方程才能求解，故只能算是一种近似的方法。
边界层理论及边界层分离现象一．边界层理论1.问题的提出在流体力学中，雷诺数Re∝惯性力/粘性力，当Re<1时，惯性力<<粘性力，可以略去惯性力项，用N-S方程解决一些实际问题（如沉降、润滑、渗流等），并可以获得比较满意的结果。
但对于工程流动问题，绝大多数的Re很大。
这时就不可以完全略去粘性力，略去粘性力的结果与实际情况相差很大。
突出的一例即“达朗倍尔佯谬——在流体中作等速运动的物体不受阻力。
”究竟应当怎样才能正确地处理大Re数的流动呢？这个矛盾一直到1904年，德国流体力学家普朗特提出了著名的边界层理论，即大Re数的流动中，大部分区域的惯性力>>粘性力，但在紧靠固壁的极薄流层中，惯性力≈粘性力，这才令人满意地解决了大Re数的流动的阻力问题。
2.边界层的划分Ⅰ流动边界层（速度边界层）以平板流动为例，x方向一维稳态流动，在垂直壁面的y方向上，流动可划分为性质不同的两个区域：（1）y<δ（边界层）：受壁面影响，法向速度变化急剧，du/dy很大，粘性力大（与惯性同阶），不能忽略。
（2）y>δ(层外主流层)：壁面影响很弱，法向速度基本不变，du/dy≈0。
所以可忽略粘性力（即忽略法向动量传递）。
可按理想流体处理，Euler方程适用。
这两个区域在边界层的外缘衔接起来，由于层内的流动趋近于外流是渐进的，不是突变的，因此，通常约定：在流动边界层的外缘处（即y＝δ处），ux＝0.99u∞，δ为流动边界层厚度，且δ＝δ(x)。
Ⅱ传热边界层（温度边界层)当流体流经与其温度不相等的固体壁面时，在壁面上形成流动边界层，同时，还会由于传热而形成温度分布，可分成两个区域：（1）y<δt（传热边界层）：受壁面影响，法向温度梯度dt/dy很大，不可忽略，即不能忽略法向热传导。
（2) y>δt（层外区域）：法向温度梯度dt/dy≈0，可忽略法向热传导。
通常约定：在传热边界层的外缘处（即y＝δt处），ts－t＝0.99(ts－t0) ≈ ts－t0，δt 为温度边界层厚度，且δt＝f(x)；ts为壁面温度；t0为热边界层外（主流体）区域的温度。
第五章边界层理论及层流边界层中的传递现象5.1 边界层理论的要点5.1.1 问题的提出前述，Re∝惯性力/粘性力当Re<1时，惯性力<<粘性力，可用“爬流”模型，略去惯性力项，N-S方程==>爬流方程（stokes近似），解决一些实际问题（沉降、润滑、渗流等），获得比较满意的结果。
但工程流动问题，绝大多数的Re很大。
这时，是否可以完全略去粘性力，使Navier-Stokes方程==>Euler方程（理想流体）。
但是，这样的结果与实际情况相差很大。
突出的一例即“达朗倍尔佯谬（paradox）——在流体中作等速运动的物体不受阻力”。
究竟应当怎样才能正确地处理大Re数的流动呢？这个矛盾一直到1904年，德国流体学家普兰德（Prandtl）提出了著名的边界层理论（大Re数的流动中，大部分区域的惯性力>>粘性力，但在紧靠固——流边界的极薄流层中，惯性力≈粘性力），才令人满意地解决了大Re数的流动的阻力问题。
后人把Prandtl 提出的流动边界层概念，推广到流动系统的传热边界层和传质边界层，从而确定传热、传质的速率以及了解有关的影响因素。
还有人研究了边界层中的化学反应，解决了一些实际问题。
因此，边界层理论被认为是近代流体力学的奠基石。
5.1.2 流动边界层（速度边界层）以平板流动为例，x方向一维稳态流动，在垂直壁面的y方向上，流动可划分为性质不同的两个区域：（1）y<δ（边界层）：受壁面影响，法向速度变化急剧，du/dy很大，粘性力大（与惯性同阶），不能忽略。
（2）y>δ(层外主流层)：壁面影响很弱，法向速度基本不变，du/dy≈0。
所以可忽略粘性力（即忽略法向动量传递）。
按理想流体处理，Euler方程适用。
这两个区域在边界层的外缘衔接起来，由于层内的流动趋近于外流是渐进的，不是突变的，因此，通常约定：在流动边界层的外缘处（即y＝δ处），u x＝0.99u∞，δ——流动边界层厚度，δ＝δ(x)。
5.1.3 传热边界层（温度边界层)当流体流经与其温度不相等的固体壁面时（如图，x>x0段），在壁面上形成流动边界层，同时，还会由于传热而形成温度分布，可分成两个区域：（1）y<δt（传热边界层）：受壁面影响，法向温度梯度dt/dy很大，不可忽略，即不能忽略法向热传导。
（2) y>δt（层外区域）：法向温度梯度dt/dy≈0，可忽略法向热传导。
通常约定：在传热边界层的外缘处（即y＝δt处），t s－t＝0.99(t s－t0) ≈t s－t0δt——温度边界层厚度，δt＝f(x)；t s——壁面温度；t0——热边界层外（主流体）区域的温度。
P r＝ν/α∝动量传递能力/热量传递能力一般情况下，P r>1(液体)，δ>δtP r≈1（气体），δ≈δtP r<0.1（液态金属），δ<δt5.1.4 传质边界层（浓度边界层）当流体流经某种固体壁面时，如果固体壁面会溶解（如苯甲酸）或升华（如萘），或者壁面为多孔板（会从孔内渗入或渗出某组分A），由于这些原因之一，使流体与固体壁面形成流动边界层δ的同时，还会由于传质而形成浓度分布。
其浓度场可划分为两个区域：（1）y<δc（传质边界层）：法向浓度梯度dC A/dy很大，在法向分子扩散很重要，不可忽略。
（2) y>δc（层外区域）：法向浓度梯度dC A/dy≈0，可忽略法向分子扩散。
通常约定：在浓度边界层的外缘处（即y＝δc处），C AS－C A＝0.99(C AS－C A0) ≈C A－C A0δc——浓度边界层厚度，δc＝f(x)；t s——固体壁面处（y＝0处）流体中组分A 的浓度；t0——浓度边界层外区域的浓度。
S C≡ν/D AB∝动量传递能力/质量传递能力一般情况下，S C总是大于1的（有时甚至几千），∴δc<δ5.2 边界层的形成与发展5.2.1 外部流动的边界层形成与发展——以平板绕流为例(见图5－5）5.2.1.1 形成流体一经与固体表面接触，就黏附在表面上，速度为零（no－slip）。
这层静止流体对临近的流体层施加粘性阻力，使第二层流体速度减慢，开始形成边界层。
由于第二层流体损失了动量，它开始对第三层施加粘性阻力，于是第三层流体也损失动量，随着x增大（流体向前运动），越来越多的流体层速度减慢，使边界层沿x方向（流体方向）不断增厚。
5.2.1.2发展在边界层的起始段（x≤xc ）,(xc为临界长度)，流动为完全层流，为层流边界层区，它既不受表面粗糙度的影响，也不管来流是层流还是湍流。
由于此时边界层很薄，其中du x/dy很大，形成湍流的可能性很小，这表明壁面对湍流的发展具有抑制作用。
但只要平板足够长，当x>x c后，边界层的流动变得不稳定起来，而且δ随x 增大迅速增大，这时进入过渡边界层区。
再经过一段距离以后，边界层内的流体流动完全转变为湍流流动，称为湍流边界层区。
5.2.1.3湍流边界层的多层结构（三层模型）（1）层流底层（laminar sublayer, 又称粘性底层）0≤y≤δb（2）缓冲层（buffer layer，又称过渡层）δb≤y≤δf（3）湍流核心(turbulence core) δf≤y≤δ5.2.1.4平板边界层临界雷诺数μρν∞∞===ux ux c cxcReRe xc——以临界长度x c为定性长度的临界雷诺数；u∞——主流速度；ρ，μ，ν——流体物性。
对光滑平板而言，Re xc＝2×105～3×106一般地，若无特殊说明，取Re xc＝5×105平板边界层厚度δ～x关系式：对平板层流边界层，Re x<5×105，δ/x=5.0/（Re x）0.5对平板湍流边界层，5×105<Re x<1×107δ/x=0.38/（Re x）0.2式中，μρν∞∞===xu xuxRex——从平板前缘算起的距离5.2.2 内部流动的边界层形成与发展——以等径管流为例(见图5－6）在管道进口处，流体速度均匀，法向du/dy＝0，δ＝0一进入管道，因为粘附条件（no－slip），在y＝0处，u＝0，开始形成边界层。
由于粘性作用，沿管长增加边界层厚度δ增大。
（∵流体的连续性，u b＝常数，∴δ↗==>层外中心u∞↗。
）直至边界层发展到轴心，δ＝R（图中C点）。
从C点之后的管内，速度分布不再变化，边界层充满了整个流动截面，建立了“充分发展了的流动”（fully developed flow）。
而在C点之前，速度分布正在发展（developing），速度分布未定型。
C点之后这段管长（即从管道进口到充分发展开始点这一段距离，称为“流动进口段长度Le”。
管内层流——在充分发展开始的这一点（C点），若边界层还是层流边界层，则C点之后全管层流；管内湍流——在充分发展开始的这一点（C点），若边界层已发展成为湍流边界层，则C点之后全管湍流。
（管内湍流仍可分为层流底层，缓冲区，湍流核心三层。
）管内流动的雷诺数，μρνb bDDu Du===Reub——截面平均速度对管内流动，层流转变为湍流的临界ReD≈2000。
进口段长度Le的估算：对管内层流，Le/D＝0.0575ReD≈0.05Re≈100对管内湍流，Le/D＝1.4（ReD）0.25≈50～1005.3 进口段与边界层分离的概念 5.3.1 边界层内的传递机理：（1）层流：法向是依靠分子扩散传递。
（2）湍流：①层流内层：分子扩散传递；②缓冲区：旋涡混合传递≈分子扩散传递； ③湍流核心：旋涡混合传递>>分子扩散传递。
故在一般情况下，层流内层的传递阻力R 内层最大，是流体一侧传递速度的控制因数，设法使层流底层厚度δb 减厚是强化对流传递的主要条件之一。
5.3.2 用数学分析法求解对流传热系数h 和对流传质系数k c 0原则步骤。
（1）从连续性方程和边界层运动方程（即Prandtl 边界层方程）求出u 分布；（2）把u 代入边界层能量方程，求出t 分布；（或求解对流传质系数k c 0时，代入边界层传质方程，求出C A 分布）从而得到壁面梯度。
（3）∵对传热，壁面处传递的热量dq ＝h x ΔtdA ＝dA n t k n f 0=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂- ∴ h x = 0=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∆-n fn t t k，式中 Δt = t s —t f 如果对传质，壁面处传递的质量dW A ＝c k ΔC A dA ＝dA n CD n A AB=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂- ∴c k = 0=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∆-n A A AB n C C D ，式中 ΔC A = C As —C Af（4）传递膜系数（对流传热系数h 和对流传质系数k c 0）沿长度的平均值5.2.3 传热进口段与传质进口段从开始传热到传热膜系数h 达到稳定的这段距离称为传热进口段，其长度用L t 表示。
从开始传质到传质膜系数k 达到稳定的这段距离称为传质进口段，其长度用L D 表示。
层流：L t /D ＝0.05RePr ；L D /D ＝0.05ReSc 湍流：L t /D ＝50～100；L D /D ＝50～100 Pr ≡υ/α∝动量传递能力/热量传递能力； Sc ≡υ/D AB ∝动量传递能力/质量传递能力。
例题5－1(p.310)比较水银和轻油Le 和Lt 。
5.4 边界层方程5.4.1 普兰德的边界层微分动量方程及边界层微分能量方程和边界层微分质量方程Prandtl 边界层方程yu u xu u x yx x∂∂+∂∂ == 221yu νdxdPx ∂∂+-ρ平板层流动量传递（速度）边界层的数学模型yu x u x x ∂∂+∂∂ == 0yu u xu u x yx x∂∂+∂∂ == 22yu νx ∂∂B.C. 1 y = 0, u x = 0, u y = 0B.C.2 y = δ（或y =∞）, u x = u ∞平板层流传热（温度）边界层的数学模型yu x u x x ∂∂+∂∂ == 0yu u x u u x yx x∂∂+∂∂ == 22yu νx ∂∂yt u xt u yx ∂∂+∂∂ == 22yt ∂∂αB.C. 1 y = 0, u x = 0, u y = 0，t =t sB.C.2 y = δt （或y =∞）, u x = u ∞， t = t ∞平板层流传质（浓度）边界层的数学模型yu xu x x ∂∂+∂∂ == 0yu u x u u x yx x∂∂+∂∂ == 22yu νx ∂∂yC u xC u A yA x ∂∂+∂∂ == 22yC D A AB∂∂B.C. 1 y = 0, u x = 0, u y = 0，C A = C A sB.C.2 y = δc （或y =∞）, u x = u ∞， C A = C A ∞5.4.2 边界层微分方程的分析解(Blasius 精确解、普尔豪森解等 ;不详细讲如何求解的过程)5.4.3 卡门边界层积分动量方程(p78)、边界层能(热)量积分方程(p170)、边界层质量积分方程(p261)5.4.4 边界层积分方程在平板层流边界层“三传”问题中的近似解5.4.5 边界层积分方程在平板湍流边界层“三传”问题中的近似解(并初步介绍柯尔本类似律)5.5 圆管内层流传热(p176)、圆管内层流传质(p251)。
