高等数学讲座

是无穷小.
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1

→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1

⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是

→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′

′

lim tan x , ( 0 )
x0 x
0
lim lnsin ax , ( ) x0 ln sin bx
2/28
定理 设 (1) 当 x a时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F ( x) 都存在 且 F ( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); xa F ( x) 那末 lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x)
exp
0 0
lim
x
ln(2
/
) ln 1/ x
arctan
x
exp
lim
x
1
/
(arctan x(1 1 / x2
x
2
))
exp
lim
x
1 arctan
x
x2 1 x2
2
e
.
19/28
例12：lim x0
1
cot x ln x
0
lim
x0
exp
ln cot ln x
例3 求 lim 2 x
1
.
(0) 0
x
解
原式
lim
x
1
1 x
2
1 x2
x2
lim x 1
x2
1.
例4 求 lim lnsin ax .
()
x0 ln sin bx
解
原式
lim a cosax sin bx x0 bcos bx sin ax
cos bx lim x0 cos ax
1.
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2024年9月27日星期五
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第五章
第一节 定积分的概念与性质
（Conceptions and Properties of Definite Integrals）
一、引 例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
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一、引 例
矩形面积 梯形面积
定理3 若函数 f (x) 在[a,b] 上单调
应当指出的是，由于初等函数在其定义区间内是连续的， 故初等函数在其定义域内的闭区间上可积.
定积分的定义很重要， 今后学习二重、三重积分、曲
线与曲面积分时，还会遇到结构上与表述上都类似的定义，
它们统称为黎曼积分.
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得
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3) 近似和.
4) 取极限 .
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
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二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
1. 曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
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y f (x)
A?
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解决步骤 :
1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点

Ak {ak1 , ak 2 , ak 3 ,},
An {a11 , a12 , a21 , a13 , a22 , a31 ,}.
n1
结论4: 有理数集是可数集.
定理1 (0,1)是不可数集，从而实数 集R是不可数集.
证 (反证法)
设 (0,1)是可数集,那么(0,1)可以与N有一一对应, 即(0,1)的元素可以排序，设为 x1, x2 ,, xn ,
闭区间：[a2 ,b2]=
a1
a1
, a1 b1 2
2
b1
,
b1
, ,
若 a1 b1 T , 2
若 a1 b1 T; 2
[a3 , b3 ]=
a2
a2
, a2 b2 2
2
b2
,
b2
, ,
若 a2 b2 T ,
若 a2
2 b2
T;
…….
2
由此得到两个柯西列｛ a n ｝,{ bn ｝，且满足
必有收敛子列,
设
lim
k
x nk
因为{ xn}是基本数列,故
.
0,N ,n, m
N
:|
xn
xm
|
2
.
取 xm xnk ,其中k 充分大，满足nk N ,于是得到
|
xn
||
xn
xm
|
|
xm
|
2
2
,.
由极限定义知数列｛ xn｝收敛.
5、柯西收敛准则
高等数学方法与应用 确界定理
定理1(确界存在定理) (1)非空有下界的数集必有下确界; (2)非空有上界的数集必有上确界.
4、致密性定理
高等数学方法与应用