高等数学B上

一、 选择题1、函数()tan f x x =能取最小最大值的区间是下列区间中的（ ）A 、[0,]πB 、(0,)πC 、[,]44ππ-D 、(,)44ππ- 2、在闭区间[a ,b]上连续是函数()f x 有界的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件 3、()()0f a f b <是在[a,b]上连续的函()f x 数在（a,b ）内取零值的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件4、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是（ ） A 、0/0型 B 、∞/∞型 C 、∞-∞ D 、∞型5、极限 210sin lim()x x x x→的未定式类型是（ ） A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞型 D 、∞0型6、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（ ）A 、()1f x x =+B 、()1f x x =-C 、2()1f x x =-D 、4()541f x x x =-+7、设,a b 为方程()0f x =的两根，()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，则()f x '0=在(,)a b 内 、A 、只有一个实根B 、至少有一个实根C 、没有实根D 、至少有两个实根8、设()f x 在0x 处连续，在0x 的某去心邻域内可导，且0x x ≠时，0()()0x x f x '->，则0()f x 是 、A 、极小值B 、极大值C 、0x 为()f x 的驻点D 、0x 不是()f x 的极值点9、设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0()lim 1||x f x x →''=，则 、 A 、(0)f 是()f x 的极大值 B 、(0)f 是()f x 的极小值C 、(0,(0))f 是曲线的拐点D 、(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 不是曲线的拐点10、设()f x 连续，且(0)0f '>，则0δ∃>，使 、A 、()f x 在(0,)δ内单调增加、B 、()f x 在(,0)δ-内单调减少、C 、(0,)x δ∀∈，有()(0)f x f >D 、(,0)x δ∀∈-，有()(0)f x f >、11、 曲线221e 1e xx y --+=-( )、A 、 没有渐近线B 、 仅有水平渐近线C 、 仅有铅直渐近线D 、 既有水平渐近线又有铅直渐近线二、 填空题1、 ()03lim sin tan ln 12x x x x →=-+（ ）、 2、若0,0a b >>均为常数，则30lim 2x x x x a b →⎛+⎫= ⎪⎝⎭（ ）、 3、2011lim tan x x x x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）、 4、30arctan lim ln(12)x x x x →-=+（ ）、 5、曲线2e x y -=的凹区间（ ），凸区间为（ ）、6、若()e x f x x =，则()()n f x 在点x =（ ）处取得极小值、7、函数32y x =极小值与极大值分别是（ ）8、函数221y x x =--的最小值为（ ） 9、函数225y x x =-的最大值为（ ）10、函数2()x f x x e -=在[-1,1]上的最小值为（ ）11、点(0,1)是曲线32y ax bx c =++的拐点，则有b =（ ），c =（ ）12、 曲线21()43x f x x x -=-+的水平渐近线是（ ），铅直渐近线是（ ）、13、 曲线()121e x y x =-的斜渐近线方程为（ ）、 三、 计算题1、求极限0sin limsin x ax bx →(0b ≠); 2、求极限21lim ln 1x x x x x →--+; 3、求极限lim e (0n ax x x a -→+∞>,n 为自然数）、 4、求极限)]1ln(11[lim 20x x x x +-→5、求极限0e e 2lim sin x x x x x x-→--- 6、求极限21sin 0lim(cos )x x x → 7、求极限10(1)elim xx x x →+- 8、求极限()20sin 1lim x x x x x e →-- 四、解答题1、求函数22y x x =+-的单调区间:;2、求函数33y x x =-的单调区间:3、求函数265y x x =+-的极值；4、求函数231y x =-的极值；5、设函数x bx x a x f ++=2ln )(在11=x ，22=x 处都取得极值，试定出b a ,的值，并问这时)(x f 在21,x x 处是取得极大值还是极小值？6、求函数()2,[1,5]x f x x =∈在给定区间上的最大值和最小值，7、求函数()f x =,[1,1]x ∈-在给定区间上的最大值和最小值、8、从面积为A 的一切矩形中，求其周长最小者、9、要造一个容积为V 的圆柱形闭合油罐，问底半径r 和高h 等于多少时，能使表面积最小？这时底半径与高的比是多少？10、从直径为d 的圆形树干切出横断面为矩形的梁（图4-01）此矩形的底等于b ，高等于h ，若梁的强度与2bh 成正比，问梁的尺寸为何时，其强度最大？11、要建一个上端为半球形，下端为圆柱形的粮仓，其容积为V ，问当圆柱的高h 和底半径r 为何值时，粮仓的表面积最小、12、求函数53y x x =+的凹凸区间和拐点；13、求函数y 、 14、讨论曲线43(1)x y x =+的渐近线: ； 15、讨论曲线411x y x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭的渐近线: 16、描绘函数33x y x =-的图像 17、求函数1233()(1)f x x x =-的极值18、求函数2,0()1,0x x x f x x x ⎧>=⎨+<⎩的极值19、求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值20、求2ln x y x=的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点、 21、如果水以常速注入（即单位时间内注入水的体积是常数）如图4-04所示的罐中，画出水面上升的高度h 关于时间t 的函数)(t f h =的图形，在图形上标出水上升至罐体拐角处的时刻、五、 证明题1、证明不等式:ln(1)1x x x <++(0)x >、(提示：证明函数()ln(1)1x f x x x =-++ 亦即ln(1)1xx x <++ (0)x > 成立、2、已知函数()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，证明在(0,1)内至少存在一点ξ使得()()tan f f ξξξ'=-.3、当0a b <<时，证明：ln b ab b ab a a --<<、4、当02x π<<时，证明：2sin x x x π<<、5、证明方程1ln 0e x x +=只有一个实根、。

大一高等数学B上册教材高等数学B上册教材高等数学B上册是大一学生学习高等数学的一本重要教材，它包含了大量涉及微积分的知识点和问题。

在本文中，我将简要介绍高等数学B上册教材的概况，并探讨几个重要的学习主题。

1. 概览高等数学B上册涵盖了微积分的基本概念、极限与连续、导数与微分应用、微分方程等内容。

这些知识点构成了大学数学的基础，对于培养学生的数学思维和解决实际问题的能力至关重要。

2. 极限与连续极限与连续是微积分的基石。

通过学习极限的概念和性质，我们可以理解函数的趋势和特性。

教材中会详细介绍极限的定义、无穷大与无穷小、函数极限、无穷极限等概念，并提供相关的例题和习题供学生练习。

3. 导数与微分应用导数是研究函数变化率的重要工具。

高等数学B上册教材将系统地介绍导数的定义、性质和计算方法，包括高阶导数、隐函数求导、参数方程导数等内容。

同时，教材还会给出导数在物理、经济等领域的应用实例，帮助学生将数学理论与实际问题相结合。

4. 微分方程微分方程是描述自然现象和工程问题的重要工具。

高等数学B上册教材会介绍微分方程的基本概念和解法，包括一阶微分方程、高阶线性微分方程、常系数齐次线性微分方程等。

通过学习微分方程，学生可以进一步理解数学在工程、物理等领域的应用。

5. 学习建议学习高等数学B上册教材需要一定的数学基础和逻辑思维能力。

以下是几条学习建议供大家参考：a. 多做习题：通过大量的练习可以巩固知识，培养解决问题的能力。

b. 深入理解概念：理解概念的本质和内涵，而不是死记硬背。

c. 善于联想：将高等数学与其他学科联系起来，拓宽思维。

d. 掌握解题方法：熟练掌握不同类型问题的解题方法，提高解题效率。

e. 寻求帮助：遇到困难时及时向老师、同学或其他学习资源寻求帮助。

总结：高等数学B上册教材作为大一学生学习微积分的主要教材，涵盖了极限与连续、导数与微分应用、微分方程等重要内容。

通过系统学习这些知识，可以培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。

《高等数学B-微积分(一)》本科教学大纲课程编号：上海立信会计金融学院《高等数学B—微积分(一)》课程教学大纲一、课程基本信息课程名称：高等数学B-微积分(一)英文名称：Advanced Mathematics (B)-Calculus Ⅰ课程编号：课程类别：长学段-专业必修课预修课程：初等数学开设部门：统计与数学学院适用专业：经管类专业（本科）学分：4总课时：60学时其中理论课时：60学时，实践课时：0学时二、课程性质、目的微积分是经济管理类本科专业的学科专业课。

本课程的教学目的是使学生掌握经济管理学科所需的微积分基础知识，学会应用变量数学的方法分析研究经济现象中的数量关系，同时通过本课程的教学，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，为后继课程的学习和将来进一步的专业发展打好扎实必要的数学基础。

思政元素融入课程，引导学生树立正确的科学观，培养学生科学理性思维能力、创新思维能力、独立思考能力，解决实际问题能力，培养探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感；引导学生树立正确的人生观和价值观，了解数学发展史和数学文化，提升数学素养、弘扬中华文明、培养民族文化自信，以精神文明为切入点，科学育人、文化育人。

在大纲中，概念、理论方面用“理解”表述，方法、运算方面用“掌握”表述的内容，应该使学生深入领会和掌握，并能熟练运用；概念理论方面用“了解”表述，方法、运算方面用“熟悉”表述的内容，也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。

三、教学内容、基本要求、课时分配四、课程考核考核方式：考试；期末考核形式：课程试卷闭卷（教考分离）；题型：填空、选择、计算、证明题和应用题等；课程类别：■必修（考试）课程□除体育类、短学段开设、实践教学类以外的必修（考查）课程□选修课程□体育类必修（考查）课程□短学段开设的必修（考查）课程□实践教学类必修（考查）课程平时成绩占50 %，期末成绩占50 %（见下表）。

平时成绩考核项目参照表平时成绩考核评定依据与标准:1. 课堂表现（含考勤）：随机抽查考勤、课堂提问、参与讨论等20次，每次5分，满分100分，按20%的比例记入平时成绩；2. 课外作业：作业共收15次，随机抽10次记分，每次满分10分，满分100分，按30%的比例记入平时成绩；3. 阶段测验：在学期1/4和3/4节点处各安排1次阶段测验，每次满分100分，取两次成绩平均分，按30%的比例记入平时成绩；4. 期中测验：在学期1/2节点处安排1次期中测验，满分100分，按20%的比例记入平时成绩。

武汉理工高等数学B教材高等数学是大学本科数学课程的重要组成部分，对于理工类专业的学生来说尤为重要。

武汉理工大学的《高等数学B》教材是该学校高等数学课程的教材之一，本文将对该教材的内容进行简要的介绍和评价。

《高等数学B》教材总共分为十二章，分别是：微分方程（上）：基本概念、一阶微分方程、二阶线性微分方程、高阶线性微分方程、微分方程的基本解、常系数线性微分方程、常系数齐次线性微分方程；微分方程（下）：非齐次线性微分方程、常系数非齐次线性微分方程、欧拉方程与低阶非线性微分方程、一阶线性方程组与二阶线性方程、n阶齐次线性微分方程、n阶非齐次线性微分方程。

每章的内容都经过精心编排，从基本概念开始，逐步深入，并覆盖了微分方程中的常见知识点。

在每个章节的开始，教材都会进行简要的引言，介绍该章节的学习目标和重要性，这有助于学生对本章内容的整体把握。

教材在内容布局上采用了清晰的层次结构，首先介绍各个知识点的定义和性质，接着详细说明解题方法和技巧，并提供了一些例题以帮助学生理解和巩固知识。

在教学内容的选择上，教材涵盖了传统的数学分析理论和方法，同时也融入了实际问题的应用与解决方法，使学生能够更好地理解数学知识在实际问题中的应用。

除了传统的教学内容，教材还注重培养学生的综合能力。

在每个章节的末尾，都提供了一些习题，既有计算题，也有理论题，以检验学生对该章节内容的掌握程度。

同时，教材还提供了一些综合性的应用题，帮助学生将所学知识应用到实际问题中，培养学生的问题解决能力和创新思维。

总的来说，《高等数学B》教材是一本很好的高等数学教材，它系统地介绍了微分方程的基本概念和解题方法，内容丰富、布局合理，既注重理论知识的讲解，又注重应用问题的训练，有助于学生全面理解和掌握微分方程的相关知识。

对于武汉理工大学的学生来说，这本教材将是他们学习高等数学的重要参考资料。

同时，这本教材的内容也是普适的，适用于其他高校的高等数学教学。

通过对《高等数学B》教材的介绍和评价，我们可以看出，在高校数学教材的编写过程中，不仅需要注重内容的科学性和逻辑性，还需要关注教学方法的合理性和教学过程的启发性。

《高等数学B（一）》教学大纲课程代码：课程名称：高等数学B（一）开课学期：1学分/学时：5/90课程类型：通识课适用专业/开课对象：软件工程/一年级本科生先修/后修课程：高中数学基础/高等数学B（二）开课单位：数理与信息工程学院执笔人：刘智斌、刘玲、陈泳责任教授：王建飞团队负责人：王建飞核准院长：张长江一、课程概述高等数学(一)是理科生必修的基础理论课。

它包括函数与极限，一元函数微积分和微分方程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继专业课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

本课程以课堂讲授为主，辅以课堂练习和小组讨论，在教学中注意培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

二、课程目标与毕业要求1. 支撑的毕业要求2. 课程目标课程目标1：使学生掌握微积分的基本概念、基本理论和求解微积分的基本方法。

课程目标2：会运用所学微积分知识分析和解决软件编程及其相关领域的一些实际问题。

3. 课程目标对毕业要求强支撑指标点的权重关系注：（1）将一个毕业要求指标分解到一个或多个课程目标中完成；（2）每一行的权重Σ＝1课程目标对毕业要求指标强支撑关系分析：课程目标1是学习本课程的主要目标，旨在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及空间想象能力，对毕业要求指标1-1构成支撑。

课程目标2是课程目标1的延申和提高，旨在培养学生分析和解决实际问题的能力，对毕业要求指标1-1构成支撑。

课程目标1和2支撑毕业要求指标1-1所涉及的内容教学学时比例大概为8:2。

三、教学内容及学时分配四、教学方法以教师课堂讲授为主，适当进行课堂练习和分组讨论，穿插数学文化，引导学生积极思考，提高教学效果。

五、课程考核要求及方法本课程成绩由平时成绩(30%)，期中考试成绩(20%)，期末考试成绩(50%)组合而成，采用百分制。

表5-1 成绩组成、考核/评价环节、分值、细则和对应的课程目标本门课程平时成绩的评分标准见下表5-2所示。

高等数学上册试题B一、单项选择题（下面每道题目中有且仅有一个答案正确，将所选答案填入题后括号内。

共24分）1．（3分）设()x f 的定义域为[]1,0，()x f ln 的定义域为（ ） Ａ．[]1,0 Ｂ．()2,0 Ｃ．[]e ,1 Ｄ．()1,02．（3分）设()x x x f =，()22x x =ϕ，则()[]x f ϕ是（ ） Ａ．xx 2 Ｂ．22x Ｃ．x x 22 Ｄ．xx23．（3分）在区间()+∞∞-,内，函数()()1lg 2++=x x x f 是（ ）Ａ．周期函数 Ｂ．有界函数 Ｃ．奇函数 Ｄ．偶函数4．（3分）()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,2tan x a x xxx f ，当a 为何值时，()x f 在0=x 处连续（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．0 Ｄ．4-5．（3分）设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,11x x x x f x α，要使()x f 在0=x 处连续，则=α（ ） Ａ．0 Ｂ．0 Ｃ．e Ｄ．e 16．（3分）函数1+=x y 在0=x 处满足条件（ ） Ａ．连续但不可导 Ｂ．可导但不连续 Ｃ．不连续也不可导 Ｄ．既连续已可导7．（3分）已知()()()()()d x c x b x a x x f ----=且()()()()d c b c a c k f ---='，则=k （ ） Ａ．a Ｂ．b Ｃ．c Ｄ．d8．（3分）下列函数中，是同一函数的原函数的函数对是（ ）Ａ．x 2sin 21与x 2cos 41- Ｂ．x ln ln 与x 2lnＣ．2xe 与xe 2 Ｄ．2tanx 与x x 2sin 1cot +-二、填空题9．（3分）=→x x x x 2sin 1sinlim 22010．（3分）设()231ln e x y ++=，则='y11．（3分）设⎩⎨⎧==t y t x ln 2，则=dxdy12．（3分）曲线23bx ax y +=有拐点()3,1，则=a ，=b13．（3分）()x F 是()x f 的一个原函数，则()=⎰--dx e f e xx14．（3分）函数()⎰--x t tdte e2的驻点=x15．（3分）=-⎰π2sin 1dx x 16．（3分）=⎰-22cos 2xdx xe x1=-yxe 确定函数()x y y =，求()0y '18．（5分）求nx mx x sin ln sin ln lim0→19．（5分）求⎰dxe x120．（5分）()⎰-321ln e e x x dx21．（5分）⎰--223cos cos ππdxx x22．（5分）讨论⎰-1121dx x 的收敛性。

高等数学b上教材习题答案第一章：导数与微分1.1 导数的概念与计算1.2 导数的几何意义与应用第二章：微分中值定理与导数的应用2.1 微分中值定理2.2 泰勒展开式2.3 各种形式的不定型2.4 一元函数的单调性与极值2.5 导数的应用第三章：不定积分3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本积分公式3.3 第一类换元法3.4 第二类换元法3.5 分部积分法3.6 有理函数的积分3.7 函数的定积分与微积分基本定理3.8 第一类曲线积分与换元法第四章：定积分的应用4.1 轴线分割法与几何量的计算4.2 平面图形的面积4.3 等面积曲线第五章：定积分与微分方程5.1 不定积分与常微分方程5.2 可分离变量方程5.3 齐次方程5.4 一阶线性微分方程5.5 高阶线性非齐次微分方程5.6 简单常系数线性微分方程第六章：向量与多元函数的微分学6.1 向量的概念与运算6.2 曲线的切线与法线6.3 多元函数的极限与连续6.4 多元函数的偏导数6.5 隐函数与参数方程求导6.6 多元复合函数的导数6.7 多元函数的微分6.8 多元函数的极值与条件极值6.9 向量场与梯度第七章：多元函数的积分学7.1 重积分的概念与性质7.2 重积分的计算方法7.3 重积分的应用7.4 曲线与曲面积分第八章：无穷级数与幂级数8.1 数项级数8.2 无穷级数的收敛性8.3 正项级数的审敛法8.4 幂级数的收敛性8.5 幂级数的和函数与展开式8.6 幂级数的运算8.7 幂级数的收敛半径与收敛区间第九章：多元函数积分学的应用9.1 空间曲线与空间曲线积分9.2 向量场与曲面积分9.3 散度与环量9.4 斯托克斯公式9.5 高斯公式第十章：常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.2 含有分离变量的一阶方程10.3 齐次方程与可降阶的齐次方程10.4 一阶线性微分方程10.5 二阶常系数齐次线性微分方程10.6 二阶常系数非齐次线性微分方程10.7 可降阶的线性微分方程10.8 二阶线性微分方程的振动方程以上是《高等数学B上教材》的习题答案，包括了各章节的主要内容和格式。

武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算n →∞2、计算0ln(1)lim cos 1x x xx →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、 计算4x ⎰5、计算d x xe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。

7、已知2200d cos d y x te t t t =⎰⎰，求x y d d8、设11x y x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)x y x =-求： 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。

三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d x f x g t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续；四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x轴旋转一周所形成的立体体积； 2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。

五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,)f b f f bb ξξ'-=∈对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院 B 卷2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题一、（86'⨯）试解下列各题：1、计算30arctan lim ln(12)x x x x →-+2、计算120ln(1)d (2)x x x +-⎰ 3、计算积分：21arctanxd x x +∞⎰ 4、已知两曲线()y f x =与1x yxy e++=所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞5、设，2221cos cos t x t udu y t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，试求：d d y x，22d |d t y x 的值。

第一章 函数、极限与连续作 业 题一、计算下列函数极限1.220()lim h x h x h →+-2. 231lim (2sin )x x x x x→∞-++3. 322232lim 6x x x x x x →-++-- 4. 21lim1x x →-5 30tan sin lim x x xx→- 6 0x →7 21lim 1x x →+∞⎛- ⎪⎝⎭8. 0x →9．()2sinlim 13xx x →+ 10.22x →11．()120lim ex xx x -→+ 12.()1lim 123nn nn →∞++13．21sinlimx x 14.e 1lim e 1nn n →∞-+二、确定下列极限中含有的参数1.2212lim 22x ax x bx x →-+=-+-2．(lim 1x x →-∞=三、解答题1.讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x =处的连续性;若不连续;指出该间断点的类型.2. 设()f x 在[,]a b 上连续;且(),()f a a f b b <>.证明至少存在一点(,)a b ξ∈;使()f ξξ=.练 习 题一、单项选择题1.以下结论正确的是 .A. lim 0n n y A ε→∞=⇔∀>;在(,)A A εε-+之外只有{}n y 的有限项B. 设n a y b <<;且lim n n y A →∞=;则有a A b <<C. 收敛数列必有界D. 发散数列必无界 2.若函数()f x 在某点0x 极限存在; 则 . A. ()f x 在点0x 的函数值必存在且等于该点极限值 B. ()f x 在点0x 的函数值必存在;但不一定等于该点极限值 C. ()f x 在点0x 的函数值可以不存在D. 若()f x 在点0x 的函数值存在;必等于该点极限值 3.极限0limx xx→= . A. 1 B. 1- C. 0 D. 不存在 4.下列命题正确的是 .A. 无穷小量的倒数是无穷大量B. 无穷小量是绝对值很小很小的数C. 无穷小量是以零为极限的变量D. 无界变量一定是无穷大量 5.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是 .A. 1sin(0)x x→ B. 1e(0)xx →C. 2ln(1)(0)x x +→ D.21(1)1x x x -→-6.变量11sin x x. A. 是0x →时的无穷小 B. 是0x →时的无穷大 C. 有界但不是0x →时的无穷小 D. 无界但不是0x →时的无穷大7.0x =是1()sinf x x x=的 . A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 振荡间断点8.函数21,0(),012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩.A. 在0,1x x ==处都间断B. 在0,1x x ==处都连续C. 在0x =处连续;1x =处间断D. 在0x =处间断;1x =处连续9.设函数2,0(),0x f x xk x ≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续;则k = . A. 4 B.14 C. 2 D. 1210.方程sin 2x x +=有实根的区间为 . A. ,32π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭二 、填空题 1.0sin lim x x x →= ；sin lim x x x →∞= . 2.0sin lim sin x x x x x →-=+ ；sin lim sin x x x x x→∞-=+ . 3.21lim 1xx x x →∞-⎛⎫=⎪+⎝⎭； 10lim 12xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭ . 4.当0x →时;sin3x 是2x 的 无穷小；2sin x x +是x 的 无穷小；1cos sin x x -+是2x 的 无穷小；23e 1xx --是2arcsin x 的 无穷小；1(1)1nx +-是x n的 无穷小；32x x -是22x x -的 无穷小. 5.已知0x →时;()12311ax+-与cos 1x -为等价无穷小;则常数a = .6.设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ 在0x =处连续;则常数,a b 应满足的关系为 .7.()sin xf x x=的可去间断点为 ；221()32x f x x x -=-+的无穷间断点为 .8．函数21()23f x x x =--的连续区间是 ．三、计算题1.220e 1lim x x x →-2.0ln(12)lim sin x x x→-3.0x +→4.x →.5.lim x →+∞6. n7.201lim x x x →- 8.220tan lim e 1x x x x x -→+-9.20sin cos 1lim sin 3x x x x x→+-- 10.()21ln(1)0lim cos x x x +→11．讨论函数11e ,0()ln(1),10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩ 在0x =处的连续性.12.证明方程e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.第二章 导数与微分作 业 题1.利用导数定义计算()ln()f x a x =+的导数(1)f '.2.讨论函数1arctan ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性和可导性.求下列函数的导数3-7小题 3.21arctan 2ln ln 2y x x x =-+-;求'y4.2sin(21)e x y x -=⋅ ;求'y5.sin 3cos xy x=-;求'y6.1,0xy x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭;求'y7设()f x 可导;计算函数(e )xy f x =+的导数d d y x.求下列函数的二阶导数8-10小题8. (ln y x =;求''y9 2e cos xy x =⋅;求''y10.设2(sin )y f x =;其中()f x 二阶可导;求22d d yx.11.已知arctan y x =求d d yx12.求曲线35230y y x x ++-=在0x =处的切线方程.13 求由参数方程2ln(1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩;所确定的隐函数的二阶导数利用对数求导法求下列函数的导数d d yx.14-15小题14.sin xy x=;求'y 15.y =;求'y求下列函数的微分16-19小题16.2ln sin y x x x =+;求dy 17.21cot e xy =;求dy18.42ln x y y =+;求dy 19.yxx y =;求dy练 习 题一、单项选择题1.已知(3)2f '=;则0(3)(3)lim2h f h f h→--= .A ．2 B.2- C.1- D.12.()|2|f x x =-在点2x =处的导数是 .A.1B.0C.1-D.不存在 3.设()(1)(2)...()f x x x x x n =+++;则(0)f '= . A.(1)!n - B.n C.!n D.04.()f x 在0x x =处左导数0()f x -'和右导数0()f x +'存在且相等是()f x 在0x x =处可导的 条件.A ．必要非充分 B.充分非必要 C ．充分必要 D. 既非充分又非必要 5.设函数()y y x =由方程3330x y axy +-=所确定;则d d yx= . A.22ay x y - B.22x y ay ax+- C.22ay x y ax -- D.22x ax y -6.设22()f x y y +=;其中22()f x y +是可导函数;则d d yx= . A.22()f x y '+ B.22222()12()xf x y yf x y '+'-+C.222()()x y f x y '++ D.2222()12()f x y yf x y '+'-+ 7.由参数方程所确定的函数cos sin x a t y b t=⎧⎨=⎩的函数()y y x =的二阶导数22d d yx = .A.2csc b t a -B.32csc b t a -C.2csc b t aD.32csc bt a8.设()y y x =由参数方程2e 321sin 02x t t t y y π⎧=++⎪⎨-+=⎪⎩所确定;则0d d t y x == .A.0B.12C.1e sin 2x yD.23二、填空题1.设sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩;则(0)f '= . 2.设(0)0f =;(0)f '存在;则0()limx f x x→= . 3.设2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩;则(0)f +'= ;(0)f -'= ;(0)f ' .4.设2111f x x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭;则()f x '= . 5.设2()y f x =;且()f x 可导;则d d yx= . 6.设()sincos 22xf x x =+;则(100)()f π= . 7.设(ln )y f x =;其中()f x ''存在;则22d d yx= .8.设g 是f 的反函数;且2(4)5,(4)3f f '==;则(5)g '= . 9.d ＝x;d ＝1d x x .10.由方程e 0x yxy ++=所确定的函数()y y x =的微分d y = .三、计算题1.求曲线sin y x =在3x π=处的切线方程和法线方程.2.(ln e x y =;求'y3.)11y⎫=-⎪⎭;求'y4.aa xa x a y x a a =++;求'y5.cos (sin )xy x =;求'y6.设2()1n f x x x x =++++;计算()(0)n f .7. y=求dyarctaneyx=;求dy9. .求参数方程esin costx ty t t⎧=⎨=+⎩所确定的函数()y y x=的微分d y.10. .证明：当||x很小时1xn≈+.第三章 微分中值定理与导数的应用作 业 题一、证明题1. 证明：若()f x 在区间I 内可导;且()0f x '=;则()f x 在区间I 内是一个常数．2.证明方程510x x +-=只有一个正实根.3．证明恒等式arctan arccot 2x x π+=.4.证明：当02x π<<时;sin tan 2x x x +>.二、求下列函数的极限.1.30sin lim ;x x x x →-2.1lim 1ln x x x x x x →--+3.21lim(cos )xx x → 4.1lim (1);xx x →+∞+5.arctan 2lim ;1x x xπ→+∞- 6.2cos lim;2x xx ππ→-三、解答题1. 判定函数)2x (0 cos )(π≤≤+=x x x f 的单调性．2. 证明：当1>x 时;xx 132->．3. 求32 )52(x x y -=的极值点与极值．4. 求函数593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值与最小值．5. 求曲线31x y =的拐点和凹凸区间．6. 求下列曲线的渐近线1 12+-=x x y ；2 xx y )1ln(+=7. 作函数23)1(22--=x x y 的图形．练 习 题一、证明题1. 已知函数()f x 在[0,1]上连续;(0,1)内可导;且(1)0f =;证明在(0,1)内至少存在一点ξ使得()()tan f f ξξξ'=-.2．证明：当0a b <<时;ln b a b b ab a a--<<.3. 证明：若)(x f 在],[b a 上连续;在),(b a 内可导;且0)(>'x f ;则)(x f 在],[b a 上严格单增．4. 设01 (21)0=++++n a a a n ;证明多项式n n x a x a a x f +++=...)(10在)1,0(内至少有一个零点．二、求下列函数的极限.1.0e 1lim sin x x x x →-- 2.30sin cos lim sin x x x x x→-3.2ln 2lim tan x x x ππ+→⎛⎫- ⎪⎝⎭ 4.2201lim cot x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭5.sin 0lim(cot )x x x → 6.21arcsin lim x x x x →⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题1.确定下列函数的单调区间.182y x x=+ 223(1)y x x =-2.列表求曲线2ln(1)y x =+的拐点和凹凸区间.3.证明方程sin x x =只有一个实根.4.求函数()(1)e xf x x -=+的极值.5.求函数32()21f x x x x =-+-在[0,2]上的极值;最大值及最小值.6. 设324x y x+=;求： ⑴ 函数的增减区间及其极值； ⑵ 函数图象的凹凸区间及其拐点； ⑶ 渐近线； ⑷ 做出其图形.第四章 不定积分作 业 题一、求下列不定积分： 1 ⎰-dx x x )1(2； 2 ⎰++dx x x 1124；3 dx xx e e x xx⎰--) 2(3； 4dx x x ⎰ sin cos 122；二、用第一换元法求下列不定积分1 ⎰xdx x 54cos sin ； 2)0( 22>-⎰a xa dx ；3dx x x x )1(arctan ⎰+； 4)0(22≠+⎰a x a dx；三、用第二换元法求下列不定积分 1dx x x xln ln 1⎰+； 2 dx x x x x ln 12⎰++；3⎰-24xxdx ． 4)0( 22>+⎰a xa dx ．四、用分部积分计算下列不定积分 1 ⎰xdx x ln ； 2 ⎰dx e x x2；3 ⎰≠=)0( sin ab bxdx e I ax 4⎰dx xe x ．五、求下列不定积分三角函数、有理式、无理式1 ⎰+--+dx x x x x x 223246)1(24； 2 ⎰+)1(24x x dx；3dx xx ⎰ cos sin 32． 4dx x x xx cos 3sin 2cos 2sin 3⎰++．5⎰-+342)1()1(x x dx； 6dx xx 14⎰+；练 习 题一、填空题1．设2()ln(1)d f x x x C =++⎰;则()f x = . 2.()d d f x ⎰= .3.设()F x 是()f x 的一个原函数;则()e e d x x f x --⎰＝ .二、单项选择题1．下列等式正确的是 .A ．()()d d f x x f x =⎰B ．()()d f x x f xC '=+⎰C ．()()d f x f x =⎰D ．()()dd d f x x f x C x=+⎰ 2. 曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线斜率为1x;且过点2(,3)e ;则该曲线方程为 .A ．ln y x =B ．ln 1y x =+C ．211y x=-+ D ．ln 3y x =+ 3. 设()f x 的一个原函数是2e x -;则()d xf x x '=⎰ .A ．222e x x C --+ B ．222e x x --C ．22(21)ex x C ---+ D ．()()d xf x f x x +⎰三、求下列不定积分1. x2. ⎰xdx x 35sec tan3. dx x x x ⎰++)1(212224. x ⎰5. 23sin cos d x x x ⎰ 6. 3tan d x x ⎰7.x 8. d x 9.2(1)d xx x -⎰ 10.d x11.x 12. 2sin e d x x x ⎰13.x ⎰ 14.21(1)d x x x +⎰第五章 定积分作业题一、求下列定积分1. 22sec (1tan )40d x x x π+⎰ 2.13-21(115)d x x +⎰3. 122(1)0d x x +⎰ 4.41x ⎰ 5.221x ⎰ 6.401cos 2d xx x π+⎰7.220sin d x x x π⎰ 8.1cos(ln )ed x x ⎰9.1ex ⎰ 10.2x ⎰二、解答题1. 把极限)221lim n n n →∞+表示成定积分．2. 03(sin )lim(1)d e xx x t t tx →--⎰3. 设21,1()1,12x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩;求20()d f x x ⎰及0()()d x x f x x ϕ=⎰.4.设()f x 在(,)-∞+∞上连续;且()(2)()0d xF x x t f t t =-⎰;证明：若()f x 单调不增;则()F x 单调不减．三、定积分的几何应用1.求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形的面积.2. 设有曲线y =过原点作其切线;求由此曲线、切线及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积.3. 计算底面是半径R 的圆;而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.练 习 题一、填空题1.根据定积分的几何意义;20d x x =⎰ ;1x -=⎰ ;sin d x x ππ-=⎰ ．2. 设0sin d tx u u =⎰;0cos d ty u u =⎰;则d d yx= . 3．31d d d xx ⎰= .4．设e xx -为()f x 的一个原函数;则10()d xf x x '=⎰ ．5. 设()f x 是连续函数;且2-1()0d x f t t x =⎰;则(7)f = .二、单项选择题1. 定积分()d ba f x x ⎰ ．A ．与()f x 无关B ．与区间[],a b 无关C ．与()d b a f t t ⎰相等D ．是变量x 的函数 2．设()f x 在[],a b 上连续;()()d xa x f t t φ=⎰;则 ．A ．()x φ是()f x 在[],a b 上的一个原函数B ．()f x 是()x φ在[],a b 上的一个原函数C ．()x φ是()f x 在[],a b 上唯一的一个原函数D ．()f x 是()x φ在[],a b 上唯一的一个原函数3.arctan bd d d ax x x =⎰______． A ．arctan x B ．211x + C ．arctan arctan b a - D ．04．下列反常积分收敛的是 ．A ．+0e d xx ∞⎰ B ．1ln e d x x x +∞⎰ C ．1sin 1-1d x x⎰ D ．32+1d x x -∞⎰ 5．211-1d x x=⎰ ． A ．0 B ．2 C ．－2 D ．发散三、计算题1．ln 0x ⎰ 2．)211d x x -⎰3．22x ππ-⎰ 4．20sin cos sin cos d x xx x xπ-++⎰5．已知sin ,01(),12x x f x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩;求0()()d xF x f t t =⎰．四、求下列定积分及反常积分1．求1ln e ed x x x ⎰ 2．220cos x x x π⎰d3．1sin(ln )x x ⎰ed 4．244cos e d x x x ππ-⎰5.1x ⎰ 6．0d e ex xx+∞-+⎰ 7．322arctan (1)+0d x x x ∞+⎰ 8．+1x ∞⎰五、证明题1．设()f x 是连续函数;证明()()d d bba a f x x f ab x x =+-⎰⎰六、计算题1．直线y x =将椭圆2236x y y +=分为两部分.设小块面积为A ;大块面积为B ;求A B的值.2．求由曲线1sin y x =+与直线0,0,y x x π===围成的曲边梯形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积．。