二次分式函数值域的求法
把函数()
()()()(,f x y f x g x g x =为次数不超过2次的整式函数,且其中至少有一个为二次函数)称为二次分式函
数. 二次分式函数的值域求法是高中数学的一类重要问题,涉及换元、化归转化、函数与方程等数学思想方法,对
培养学生思维的灵活性、创造性大有裨益.
例1.求函数21(1,1).21
y x x =-++在上的值域 分析:分子为常数,分母为x 的二次三项式,只需先求二次()2211,1u x x =++-函数在上的值域.
()()min max 1171,1,;1444877171[,4).,].88484
x u u u u u y ⎛⎫=-∈-=-=<= ⎪⎝⎭∴∈∴<≤对称轴为直线故即所求值域为（ 例2.求函数3
4222+--+=x x x x y 的值域. 分析:该分式函数可约分,约分后转化为一次分式函数的值域问题.
解:()135********≠-+=-+=+--+=x x x x x x x x y 2
3,1-≠∈∴y R y 且 故所求值域为()33,,11,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭. 评注:能约分的应先约分,但需保证约分前后函数的定义域不变.
例3.()()()()[]21:1.,11,;2.0,11x x y x ++=-∞--+∞+求函数在如下区间上的值域
解:()()()22111,110,1
x x y x R x x x y x y x ++=∈≠-+-+-=+把（且）看作的方程可化为则该方程有实根. 0≥∆∴又()()y y ---=∆1412
31-≤≥∴y y 或
故所求值域为(,3][1,)-∞-+∞.
评注: 这种利用判别式来求函数的值域的方法叫做判别式法.
(2).分析:与(1)比较,自变量x 受到限制.由于判别式法只能保证方程()()0112=-+-+y x y x 有实根,但不能保证在区间[]1,0上有实根,故只使用判别式无法解出本题.
解法一: 可从实根分布的角度来研究.
问题等价于()()0112=-+-+y x y x 在区间[0,1]上有解.
()()()[]()()()[]()[]()()21100,101010010320101.20,10,10010
f x x y x y y f f f f y f f ⇔=+-+-=∆≥⎧⎪-⎪≤-≤⎧⎧==⎪⎪⎪⇔⋅<⇔≤≤⎨⎨⎨∉∉⎪⎪⎪⎩⎩≥⎪≥⎪⎩方程在上有且只有一根或有两个实根
或或或另一根另一根 或()()0112=-+-+y x y x 在区间[0,1]上有解
()()()()01012010.0010
y f f f f ∆≥⎧⎪-⎪≤-≤⎪⇔⋅≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩或
解得:312y ≤≤. 故所求值域为31,.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
解法二: 由于分子的次数高于分母的次数,故可采用部分分式法对其化简.
[][]()()[]1111,0,111
11,1,2,111(1,),11,231,.2y x x x x x t x t y t t g t t y t t t
=+
=++-∈++=+∈=+-=++∞=+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦令则可证函数在上单调递增证明略则函数在上递增可得所求值域为 显然,解法二优于解法一.
评注:1,满足以下两个条件的二次分式函数才考虑使用判别式法:（1）最简的二次分式,即分子、分母无公因式可约;（2）对自变量x 无附加的限制条件（除了使此解析式有意义的条件外,再无其它条件）;
2,对(2),应用部分分式法将问题化为“求函数t
t y 1
+=在区间[1,2]上的值域”后,需慎用基本不等式,原因在于: [1],必须考察是否具备基本不等式的使用前提:一正二定三相等;
[2],即使具备,还需评注意:应用基本不等式只能求得一端的最值,另一端还需考察.
3,需熟练掌握函数()()0>+=a x a x x f 与()()0<+=a x
a x x f 的单调性并能应用其求函数的值域与最值: ()上单调递减在区间上单调递增在区间函数时当],0(),0,[,),[],,(,0a a a a x
a x x f a -+∞-∞+=>; ()()()上都是增函数在区间函数时0,,,0,0∞-+∞+=a x x f a .证明略. 4,本题所用方法可推广至求“()02≠+++ad e
dx c bx ax ”型二次分式函数的值域,尤其是部分分式法.
例4.()()[]21:1.;2.2,11
x y R x x +=-++求函数在如下区间上的值域 解:(1),直接使用判别式法.
()()()22:110,:
101,0;200,3210.yx y x y R y x y y y
y +-+-===-≠∆≥--≤原式化为在上有解讨论当时故可以取当时解得 解之得:0,131≠≤≤-y y 又 ]1,0()0,3
1[ -∈∴y 由()()12可知,所求值域为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. (2)分析:该问题为“求有限制条件的二次分式函数的值域”,需慎用判别式法.
解法一:将问题转化为“若方程()[]上有解在区间1,20112-=-+-+y x y yx ,求的范围y ”
解法与例3（1）的解法一类似,过程略.
解法二:将问题转化为求“()02≠+++ad e
dx c bx ax ”型二次分式函数的值域. ()()21,1,0;
112,1,[2,1)
(1,1],1111111
1,[1,0)(0,2],1111[1,0)(0,2]
(,2][2,)1111(,3][1,)[,0)(0,1]131x y x x y x x x x x t x t y t t
t t y t t t t y t t t =-=≠-∈---==++++-++=+∈-=+-⎛⎫∈-∴+∈-∞-+∞=+ ⎪⎝⎭∴+-∈-∞-+∞∴=∈-+-当时当即时令则根据函数的单调性 由()()12可知, 所求值域为1,1.3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
评注:常将求不可约的()02≠+++ac e
dx cx b ax 型二次分式函数的值域问题转化为求“b
ax e dx cx +++21”型分式函数的值域,其中,b
ax e dx cx +++2型二次分式函数的值域求法已介绍过,见例3.
例5.求函数1
2122-+++=x x x x y 在如下区间上的值域:()()[]1.;2.1,3R - 分析:(1)无附加的限制条件,故可用判别式法;(2)应用部分分式法化原函数为12212-+--
=x x x y ,则问题转化为:求函数12212-+--=x x x y 在[]3,1-上的值域,只需先求[]上的值域在函数3,11
222--+-=x x x y ,思路同例4. 解答过程略.
评注:本题所用的化归思路适用于“求()021********≠++++=a a c x b x a c x b x a y 型函数在给定（即限定）区间上的值域”.
