学案13 山西大学附中正弦型函数图像一

1.5函数y =学习目标：A sin(x +) 的图象（1）1.熟练运用“五点法”做函数y=A sin(x +)的图像，理解图像特征，依据图像正确求出解析式.2.掌握振幅变换，相位变换，周期变换，能熟练地把y=A sin(x +)的图像.学习过程：一、情景引入y = sin x 的图像变换为正弦函数y = sin x 是最基本、最简单的三角函数，在物理中，简谐运动中的单摆对平衡位置的位移y 与时间x 的关系等都是形如y=A sin(x +)的函数，我们需要了解它与函数y=sin x的内在联系.、、A是影响函数图像形态的重要参数，对此，我们分别进行探究.二、自我探究1.函数y = sin（x +) ，x ∈R （其中≠ 0 ）的图象，可以看作是正弦曲线上所有的点（当>0 时）或（当<0 时）平行移动个单位长度而得到.2.函数y = sin x, x ∈R （其中>0 且≠ 1 ）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标（当>1 时）或（当 0<<1 时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到.3.函数y =A sin x, x ∈R( A >0 且A ≠1)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标（当A>1 时）或（当0<A<1）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的，函数y=Asinx 的值域为.最大值为，最小值为.三、展示点拨例1.画出函数(1) y = 2 s in x ，x ∈R(2) y =12sin x , x ∈R分析：“五点法”，先画[0，2]的简图。

小结 1：1．y=Asinx，x∈R(A>0 且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸sin x长或缩短到原来的 A 倍得到的 2. 它的值域最大值是 , 最小值是3. 若 A <0 可先作 y =-Asinx 的图象 ，再以 x 轴为对称轴翻折 A 称为振幅，这一变换称为振幅变换例 2. 画出函数 (1) y = sin 2x , 2) y = 12x ∈ R 的简图.小结 2：（周期变化，这是由的变化引起的）1、 函数 y =sin x , x ∈R (>0 且≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩或伸 1长到原来的 倍（纵坐标不变）2、函数 y =sin x , x ∈R (>0 且≠1)的周期是3、若<0 则可用诱导公式将符号“提出”再作图 决定了函数的周期，这一变换称为周期变换例 3 画出函数 y ＝sin (x ＋ )，x ∈Ry ＝sin (x － )，x ∈R 的简图34小结 3：1、函数 y ＝sin (x ＋ )，x ∈R 的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动3 3个单位长度而得到2、一般地，函数 y ＝sin (x ＋)，x ∈R (其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0 时)或向右(当＜0 时)平行移动|| 个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)y ＝sin (x ＋)与 y ＝sinx 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位))置不一样，这一变换称为相位变换.1例 4 指出如何由 y =sinx 经过变换得出 y = sin(2x + 2 ) + 2, x ∈ R 4函数的图象:四、反馈检测1 判断正误①y ＝A sin x 的最大值是 A ，最小值是－A ． ()2②y ＝A sin x 的周期是( )③y ＝－3sin4x 的振幅是 3，最大值为 3，最小值是－3 ()2 下列变换中，正确的是（ ）A 将 y ＝sin2x 图象上的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)即可得到 y ＝sin x 的图象 1B 将 y ＝sin2x 图象上的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)即可得到 y ＝sin x 的图象21C 将 y ＝－sin2x 图象上的横坐标变为原来的 倍,纵坐标变为原来的相反数,即得到 y ＝2sin x 的图象1D 将 y ＝－3sin2x 图象上的横坐标缩小一倍，纵坐标扩大到原来的 倍，且变为相反数，3即得到 y ＝sin x 的图象13. 最大值为 ，周期为22，初相是的函数表达式可能是（ ）3 6 A. y = 1 sin( x + B y = 2 sin( x- 2 3 6 2 6 C y = 1 sin(3x + D y = 1sin(3x - 2 6 2 64. 得到 y = sin(3x - ) 的图象，只要将y = sin 3x 的图象（ ）4A. 向左平移 个单位 B 向右平移 个单位4 4C ．向左平移个单位 D 向右平移个单位12125 函数 y ＝sin （－2x ）的单调减区间是()) )3 3A.[ + 2k , + 2k ], k ∈ Z C.[+ 2k ,3+ 2k ], k ∈ Z2B.[ + 2k , 2 23+ 2k ], k ∈ Z 4D.[- 4+ k , 4+ k], k ∈ Z6..作出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（要求用直尺和铅笔规范作图）3 1（1）y = sinx（2）y =sin 3x （3）y =2sin x232 2 7. 将 y = sin 2x 的图象向平移个单位，可得 y = sin 2x - 2 的图象，所得函数周期为33值域为 8. 将 y =sinx 图象上各点的纵坐标变为原来的 且将各点的横坐标变为原来的1可得 y =3sin x 的图象.319 用图象变换的方法在同一坐标系内由 y ＝sin x 的图象画出函数 y ＝ sin(3x-)的图象2 510. 已知 y = a sinx + b 的最大值为 ，最小值为-21，求 a ， b 的值2五、盘点归纳。

❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
正弦函数、余弦函数的图像
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿

正弦函数与余弦函数的图像PPT
• 那么，在精确度要求不太高时，应该抓住 哪些关键点做出y=sinx x ∈ [0,2π]的图像呢。
• 观察可以发现，我们可以找到在一个周期 里找出最高点，最低点，以及三个平衡点， 也就是 （0,0）, （ π /2, 1）, (π,0) , (3 π/2,-1) , (2 π,0)找出这五个关键点，再 用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函 数的简图，这就叫“五点作图法”，这在 以后我们的做题中是非常实用的。
正弦函数与余弦函数的图像PPT
我们通过平移正弦线来解决
正弦函数与余弦函数的图像PPT
• 这是y=sinx x ∈ [0,2π]的图像，那么， • 当x ∈ R时，如何画出y=sinx 其他范围的图
像呢？ • 可以根据学过的诱导公式吗? • 请同学们讨论一下
正弦函数与余弦函数的图像PPT
• 因为终边相同的三角函数值相等，所以把 y=sinx 在[0,2π]的图像向左、向右平行移动， 每次平移2π个单位长度，就能得到y=sinx x ∈ R的图像
• 在作图之前，我们先来复习一下正弦线， 弦线的画法，大家还记得吗
正弦函数与余弦函数的图像PPT
• 设任意角α的终边与单位圆 • 交于点P，过点P做x轴的 • 垂线，垂足为M • 则有向线段MP叫做角α的正弦线， • 有向线段OM叫做角α的余弦线
正弦函数与余弦函数的图像PPT
• 下面作图，可是做函数图像最基本的方法 是描点法，通常描点要知道图像上点的坐 标，由于三角函数的特殊性，当X任取值时， 函数值不容易求出，怎样解决这个问题呢， 刚复习过，正弦线可以看做是正弦值的几 何表示，可否转换呢。请小组讨论一下， 如何画出y=sinx x ∈ [0,2π]的图像

解决实际问题
通过掌握正弦函数的性质和图像， 可以解决许多实际问题，提高解决 实际问题的能力和素养。
未来研究方向和挑战
深入研究和探索
随着科学技术的发展，正弦函数的应用领域也在 不断扩大和深化，需要进一步研究和探索其性质 和应用。
数值分析和计算物理
随着计算机技术的发展，如何利用正弦函数进行 数值分析和计算物理的研究也是未来的一个重要 方向。
数学建模和算法设计
如何利用正弦函数建立数学模型和设计算法，是 未来研究的一个重要方向。
跨学科应用
正弦函数作为数学中的基础函数，可以与其他学 科进行交叉融合，例如与物理学、工程学、经济 学等学科的结合，需要进一步探索其跨学科应用 的价值和可能性。
THANKS
感谢观看
图像形状
正弦函数和对数函数的图像形状也不同。正弦函数的图像呈现波形，而对数函数的图像 呈现向上或向下凸出的趋势。
05
总结与展望
正弦函数的重要性和应用价值
数学基础
正弦函数是数学中的基本函数之 一，是学习三角函数、复数、微
积分等数学领域的基础。
应用广泛
正弦函数在物理学、工程学、经济 学等多个领域都有广泛的应用，例 如振动分析、交流电、信号处理等 。
振幅和相位
通过调整正弦函数中的振幅和相位参 数，可以改变图像的高度和位置。了 解这些参数对理解正弦函数图像的影 响非常重要。
03
正弦函数的应用
在物理中的应用
简谐振动
正弦函数描述了许多物理现象， 如简谐振动。在物理中，简谐振 动是一种基本的振动类型，其位 移与时间的关系通常可以用正弦
函数表示。
交流电
操作步骤
在软件中选择相应的函数图像绘制工具，输入正弦函数公式（例如y=sin(x)）， 然后选择x的取值范围（例如-π到π），最后点击“绘制”按钮即可生成正弦函数 的图像。

2
(π,0)、(3π,-1)、(2π,0)
2
D.y=sin x 与 y=cos x 的图象与 x 轴有无数个公共点
【解析】A、B、D 正确,y=cos x 的五个关键点应是(0,1)、
(π,0)、(π,-1)、(3π,0)、(2π,1).
2
2
导.学. .固 思
2 为得到余弦曲线,正弦函数的图象需向右平移的单位数是
导.学. .固 思
解关于 x 的不等式 cos x≥-1,x∈[-5,5].
2
【解析】画出函数 y=cos x 在 x∈[-5,5]上的图象和直线 y=-1的图象,可
2
以发现它们的交点分别是(-4π,-1),(-2π,-1),(2π,-1),(4π,-1),所以不
3
2
3
23
23
2
等式 cos x≥-1的解集为[-5,-4π]∪[-2π,2π]∪[4π,5].
图象,如图所示.
导.学. .固 思
(2)由于 y=|sin(x+3π)|=|cos x|,因此只需作出函数 y=|cos
2
x|,x∈[-2π,2π]的图象即可.而函数 y=|cos x|,x∈[-2π,2π]的图 象可采用将函数 y=cos x,x∈[-2π,2π]的图象在 x 轴下方的部分翻 折到 x 轴上方的方法得到,所得图象如图所示(实线).
导.学. .固 思
问题2 根据正弦线作正弦函数y=sin x的图象
(1)作 y=sin x 在[0,2π]上的函数图象:在直角坐标系的 x 轴上
任取一点 O1,以 O1 为圆心作单位圆,从这个圆与 x 轴的交点 A 起,
把圆分成 12 等份(等份越多,画出的图象越精确).相应地,把 x 轴

解 (1)y＝sin|x|＝－ sinsxi，nx， 0<－x≤2π2≤π.x≤0， (2)y＝|sinx|＝s－insxi，nx，－2－π≤ π<xx≤<0－，π或，π或<x0≤≤2xπ≤. π，
所以y＝sin|x|及y＝|sinx|的图像如下图所示．
规律技巧 1.首先将函数解析式化简，化去绝对值，然 后根据图像的性质画图.要注意特殊点，如最高点及坐标轴 的交点关系.,2.也可以根据图像变换作图，如y＝sin|x|的图像 关于y轴对称.只要作出y＝sinx，x∈[0，2π]的图像，利用对 称性，可以作出y＝sin|x|， x∈[－2π，2π]的图像.)
正弦函数、余弦函数的图像
1.正弦曲线的画法 (1)几何法 利用单位圆中的正弦线画y＝sinx图像的方法称为几何 法．其核心首先是等分圆周及等分区间[0,2π]和正弦线的平 移；其次是利用终边相同的角的正弦值相等，推知y＝sinx在 区间[2kπ，(2k＋2)π](k∈Z，k≠0)上的图像与y＝sinx在区间 [0,2π]上的图像形状完全一样，从而通过左右平移(每次2π个 单位长度)得函数y＝sinx(x∈R)的图像． 正弦函数的图像叫做正弦曲线．
描点作图，如下图所示．
(2)列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
cosx
1
0
－1
0
1
1＋cosx 21012描点作图，如下图所示．
规律技巧 “五点”即为正弦、余弦曲线的最高点、最 低点，与x轴的三个交点，“五点法”是作图的基本方法， 应掌握．
类型二 与正弦函数、余弦函数相关函数的图像 例2 画出下列函数的图像． (1)y＝sin|x|，x∈[－2π，2π]； (2)y＝|sinx|，x∈[－2π，2π]． 分析 将函数式中的绝对值符号去掉，进行等价变形， 然后作图．

波形
正弦函数的图像呈现出典 型的波形，即一个连续的 、重复的曲线。
图像的周期性与振幅
周期性
正弦函数的周期性意味着我们可以使用一个常数（通常称为相位偏移量）来移动 函数的图像，而不改变其形状或特性。这个常数被称为相位偏移量，通常用希腊 字母表示。
振幅
正弦函数的振幅是指函数值可以变化的范围。振幅的大小可以用数学公式表示， 也可以在图像上直观地看到。
要点二
控制系统
正弦函数经常用于分析和设计控制系统，如反馈控制系 统和自动控制系统。在控制工程中，正弦函数被用于描 述和建模系统的动态行为。
在数学与其他领域中的应用
微积分
正弦函数是微积分中重要的函数之一。它在求解微分方 程、最优控制和最优化问题等数学问题中具有广泛的应 用。
统计学
正弦函数在统计学中也有应用，如在描述正态分布的尾 部概率密度函数时。此外，正弦函数还被用于信号处理 和图像处理等领域。
图像的极值与零点
极值
正弦函数在某些点上达到最大或最小值。这些点称为极值点 。在图像上，极值点通常表现为曲线向上或向下突然转折的 点。
零点
正弦函数在某些点上为零。这些点称为零点。在图像上，零 点通常表现为水平线段，即函数值为零的点。
03
正弦函数的性质
函数的单调性
递增区间
正弦函数在$\lbrack - \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\frac{\pi}{2} + 2k\pi\rbrack(k \in \mathbf{Z})$上单调 递增。
正弦函数与反正弦函数的关系
反正弦函数（asin）是正弦函数的反函数。 它的定义域和值域与正弦函数相反。
反正弦函数和正弦函数在图像上呈现对称性 ，且具有相同的频率但相位不同。

6
4 1
2
y=sin2x
x
四、函数y=sinωx与 y=sin(ωx+φ)图象的关系
y
1
8
2
y sin(2x )
3
x
O
ysin2(x)
6
4 1
y=sin2x
函数y=sin ( x + )( >0且≠1)的图象可以看
作 (当是把﹤ y0=时sin)平移x 的图| 象个|向单左位(而当得到> 0的时。)或向右
新课讲解:
例1 作函数 y2sinx 及 y 1 sin x 的图象。
2
解：1.列表
x
0
2
sin x
0
1
0
3 2
2
1
0
2sinx 0 2
0
2
0
1 2
sin
x
0
1 2
0
1 2
0
2. 描点、作图：
y
y=2sinx
2
1
y=sinx
2
O
x
1 y= 1 sinx
2
2
周期相同
一、函数y=Asinx(A>0)的图象
A就表示这个量振动时离开平衡位置的最 大距离，通常称为这个振动的振幅；
往复一次所需的时间 T 2 ，称为这个
振动的周期；
单位时间内往复振动的次数 f 1 ，
T 2
称为振动的频率；
x 称为相位；x=0时的相位φ称为初相。
知识y回顾:
1-
ysinx x [0,2]
-
-1
o 6
3
2
2 3
x
0

知识应用
例 2 求使函数 y sin 2 x 取得最大值的 x 的集合，
并指出最大值是多少．
解：要使函数 y sin 2x 取得最大值，则
2x 2k , k Z
2
x k , k Z
4
使函数 y sin 2x 取得最大值的 x 的集合为
{x | x k , k Z}, 该函数的最大值为 1.
2.奇偶性：非奇非偶函数.
3.单调性：当a 1时，在（0， ）上是增函数；
当0 a 1时，在（0， ）上是减函数 .
描点法作正弦函数的图像
1.列表
2.描点 3.连线
我被叫做 正弦曲线
正弦函数的性质
1.值域：_[__1,_1_] _. ( 即| sin x | 1 )
当x
2k
2
,
k
Z时，y取最大值1，即ymax
正弦函数的图像和性质
习惯上自变量用x表示，函数用y表示， 所以正弦函数可表示为
y sin x
或 f (x) sin x
指数函数的图像和性质
图像
y
4
y 2x
3
2
1
y
4
3
2
1 y 0.5x
–2 –1 O 1 2 x
–1
–2 –1 O 1 2 x
–1
性质
1.定义域：(,) ；值域：(0,).
2.奇偶性：非奇非偶函数.
3.单调性：当a 1时，在（0， ）上是增函数；
当0 a 1时，在（0， ）上是减函数 .
对数函数的图像和性质
图像
3y
y
3
2
2
1
y log 2 x
1
–1 O 1 2 3 4 x

函数 y=sinx （1）向左平移 3
y=sin(x+ ) 的图象 3
（2）横坐标缩短到原来的
1 2
倍
纵坐标不变
y=sin(2x+ ) 的图象 3
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
y=3sin(2x+ 3 )的图象
方法1:先平移后伸缩一般规律
（1）向左( >0)或向右( <0)
y=Sin( x+ ) 的图象
（3）横坐标不变，纵坐标伸长(A>1) y=ASin(x+ )的图象 或缩短(0<A<1)到原来的A倍
做一做
y=sinx经过怎样的变换可以得到
y 3sin(2x) 图象？
3
注意
我们的每一步变换对于函数上任意 一点（x,y）而言的，它的每一步 变换只能有一个变量。要么横变纵 不变，要么纵变横不变。伸缩变换 是定型的，平移变换是定位的。
函数y=Asin( x+ )的图象
例 用五点法作函数 y 3sin(2x) ，
3
x R 的图象 y
3

y=3sin(2x+ 3 )
o



6 12
3
7
5
x
12
6
-3
如何得到
yAsin(x)
演示启发
的图像呢?
二、
?
⒈ y sin x
y=Asinx
⒉ y sin x ? y sinx
⒊ y sin x
?
ysin(x)
通过变换是否可以得到
yAsinx 的图象呢？
方法1: 先平移后伸缩
y

信号处理
在信号处理领域，正弦函数常被用 于信号的滤波、调制和解调等操作。
机械工程
在机械振动和噪音控制中，正弦函 数被用于描述和分析振动模式和频 率。
在日常生活中的应用
音乐
正弦函数在音乐领域的应 用非常广泛，如音高和音 长的计算等。
通信
无线电和电视信号的传输 过程中，正弦函数用于调 制和解调信号。
医学成像
正弦函数的周期性
总结词
正弦函数具有周期性，即函数图像每 隔一定周期重复出现。
详细描述
正弦函数的周期为360度或2π弧度，这 意味着每经过360度或2π弧度，函数值 会重复之前的值，形成周期性的波形。
正弦函数的奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，具有奇函数的性质。
详细描述
奇函数满足性质f(-x)=-f(x)，对于正弦函数，当取相反角度时，函数值也取相反 数。例如，sin(-π/2) = -1，与sin(π/2)的值相反。
03
正弦函数的应用
在物理中的应用
01
02
03
简谐振动
正弦函数是描述简谐振动 的基本函数，如弹簧振荡 器、单摆等。
交流电
正弦函数被广泛用于描述 交流电的电压、电流和频 率，是电力系统的基本模 型。
声学
声音的传播和波动可以用 正弦函数来描述，如声波 的振幅和频率。
在工程中的应用
控制系统
正弦函数在控制系统分析中有着 广泛应用，如PID控制器等。
03
奇偶性
正弦函数是奇函数，而正切函数是奇函数。这意味着它们在对称性上有
相同的表现。
与其他三角函数的比较
定义域
除了正弦函数、余弦函数和正切函数外，还有其他一些三角函数，如反正弦函数、反余弦 函数、反正切函数等。它们的定义域各不相同，但都与正弦函数、余弦函数和正切函数的 定义域有交集。

三角函数正弦函数的图像与性质 正弦函数的图像课件ppt
xx年xx月xx日
目录
• 正弦函数图像生成 • 正弦函数的性质 • 常见三角函数公式 • 正弦函数的应用 • 实战案例：使用正弦函数和余弦函数解决实际问
题
01
正弦函数图像生成
准备绘制正弦函数图像
选择坐标系
在直角坐标系中，选择一个周期内的图像，可选择 $y=sin(x)$或$y=sin(2x)$等。
03
常见三角函数公式
两角和与差的余弦函数和正弦函数公式
$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$
$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$
$\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$
$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$
倍角公式和半角公式
$\cos 2x=cos^2 x-sin^2 x$ $\cos\frac{x}{2}=\frac{\cos x+1}{2}$
$\sin 2x=2sin x cos x$ $\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{1-cos x}}{2}$
积化和差和反三角函数公式
使用正弦函数和余弦函数解决桥梁振动问题
总结词
利用正弦、余弦函数的性质，建立模型并解决实际问题。
详细描述
通过实例演示如何利用正弦、余弦函数的性质，建立模型并解决桥梁振动问题， 包括振幅、频率、相位等的求解。
使用正弦函数和余弦函数解决日常生活中的优化问题
总结词
将正弦、余弦函数应用于优化问题中，提高解决方案的效率 和精度。