正弦函数y=sin(wx+q)的图像与性质学案

第一章：正弦函数的定义与基本概念1.1 引入正弦函数讲解正弦函数的定义：在直角三角形中，正弦函数是角的对边与斜边的比值。

强调正弦函数的单位：弧度制。

1.2 分析正弦函数的性质周期性：正弦函数周期为2π。

奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)。

1.3 举例说明正弦函数的应用利用正弦函数计算角度对应的弧度值。

应用正弦函数解决实际问题，如测量角度等。

第二章：正弦函数的图象2.1 绘制正弦函数的基本图象利用计算器或绘图软件，绘制y = sin(x)的图象。

观察并描述正弦函数的波形特点，如波动、振幅、周期等。

2.2 分析正弦函数图象的性质周期性：正弦函数图象每隔2π重复一次。

奇偶性：正弦函数图象关于原点对称。

振幅：正弦函数图象的最大值为1，最小值为-1。

2.3 绘制正弦函数的相位图利用计算器或绘图软件，绘制不同相位角的正弦函数图象。

分析相位对正弦函数图象的影响。

3.1 分析正弦函数的单调性证明正弦函数在区间[0, π]上单调递增。

证明正弦函数在区间[π, 2π]上单调递减。

3.2 研究正弦函数的极值求解正弦函数的极大值和极小值。

分析极值出现的条件。

3.3 探讨正弦函数的奇偶性证明正弦函数是奇函数。

探讨正弦函数的偶函数性质。

第四章：正弦函数的应用4.1 正弦函数在物理中的应用介绍正弦函数在振动、波动等物理现象中的应用。

举例说明正弦函数在电磁学中的应用。

4.2 正弦函数在工程中的应用探讨正弦函数在信号处理、通信工程等领域的应用。

举例说明正弦函数在声学、光学等工程领域的应用。

4.3 正弦函数在其他领域的应用介绍正弦函数在音乐、艺术等领域的应用。

探讨正弦函数在其他科学领域的应用。

第五章：正弦函数的综合应用5.1 求解正弦函数的方程求解方程sin(x) = a，其中a为给定的数值。

介绍解正弦方程的方法和技巧。

5.2 利用正弦函数解决实际问题举例说明利用正弦函数解决测量、导航等实际问题。

介绍正弦函数在数据分析、图像处理等领域的应用。

§5正弦函数的图像与性质5．1正弦函数的图像2．在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：，，，，．描出这五个点后，函数y ＝sin x ，x∈[0,2π]的图像就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”．如图．思考2：描点法作函数的图像有哪几个步骤？[提示]列表、描点、连线．1．对于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是()A ．向左、右无限延展B ．与y ＝－sin x 的图像形状相同，只是位置不同C ．与x 轴有无数个交点D ．关于y 轴对称2．y ＝sin x 的图像的大致形状为()3．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．4．函数y ＝sin x 在[0,2π]上的单调减区间为________，最大值为________．“五点法”作图【例1】用五点法作函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的图像．1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x 取0，π2，π，3π2，2π，然后相应求出y 值，再作出图像．2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．1．(1)作出函数y ＝2sin x (0≤x ≤2π)的图像；(2)用五点法画出函数y ＝sin 2x (0≤x ≤π)的图像．利用正弦函数图像解不等式【例2】利用y＝sin x的图像，在[0,2π]内求满足sin x≥－12的x的取值范围．用三角函数图像解三角不等式的方法(1)作出相应正弦函数在[0,2π]上的图像；(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；(3)根据图像写出不等式的解集．2．利用正弦函数的图像，求满足sin x≥12的x的集合．正弦函数图像的应用[探究问题]1．若已知函数y＝f(x)的图像，如何作出函数y＝|f(x)|的图像？[提示]将函数y＝f(x)的x轴上方的图像保持不变，将x轴下方的图像关于x 轴翻折到x轴上方即可．2．如何利用函数的图像判断该函数对应方程的解的个数？[提示]可以利用函数的图像与x轴的交点的个数判断．也可以将该函数对应的方程拆分成两个简单函数，利用这两个函数图像交点的个数判断．【例3】函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．1．(变条件，变结论)将例3变为“求方程lg x ＝sin x 的实数解的个数”应如何求解．2．(变结论)将例3中的函数f (x )不变，求方程“f (x )＝|log 2x |”的解的个数，应如何求解．数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化成形象直观的图形.利用正弦函数图像可解决许多问题，例如特殊方程根的问题，通常可转化为函数图像交点个数问题.1．“五点法”是我们画y ＝sin x 图像的基本方法，在区间[0,2π]上，其横坐标分别为0，π2，π，3π2，2π的五个点分别是最高点、最低点以及与x 轴的交点，这五个点在确定函数的图像形状时起到关键作用，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，再将曲线向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)，就得到正弦函数的简图．2．作图像时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin x 在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同．()(2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝－1和y ＝1之间．()(3)函数y ＝sin x 的图像关于x 轴对称．()(4)用五点法画函数y ＝sin x 在区间[－π，π]－π2，－一个关键点．()2．函数y ＝－sin x ，x ∈－π2，3π2的简图是()3．在[0,2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值范围为________．4．在[0,2π]内，用五点法作出函数y ＝2sin x －1的图像．正弦函数的性质性质定义域R 值域[－1,1]最大值与当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；最小值当x ＝2k π＋3π2(k ∈Z )时，y min ＝－1周期性周期函数，T ＝2π性质单调性在2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是增加的；在2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )上是减少的奇偶性奇函数对称性图像关于原点对称，对称中心(k π，0)，k ∈Z ；对称轴x ＝k π＋π2，k ∈Z 思考：正弦函数的周期为2π，在研究正弦函数性质时，选取哪个区间研究，既好学，又有效？[提示]选取－π2，32π上的图像来研究，即可掌握整个定义域上的性质．1．下列函数中是奇函数的是()A ．y ＝－|sin x |B ．y ＝sin (－|x |)C ．y ＝sin |x |D ．y ＝x sin |x |2．已知M 和m 分别是函数y ＝13sin x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于A ．23B ．－23C ．－43D ．－23．若函数f (x )＝sin 2x ＋a －1是奇函数，则a ＝________.4．函数y ＝|sin x |的值域是________．正弦函数的周期性与奇偶性【例1】求下列函数的周期：(1)y ＝sin 12x ；(2)y ＝|sin x |.1．求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论．2．函数y ＝sin x 为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y ＝sin x ，x ∈[0,2π]是非奇非偶函数．1．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x sin x ；(2)f (x )＝|sin x |＋1.正弦函数的单调性及应用【例2】(1)比较下列各组数的大小：①sin π4与sin π8；②sin 4π7与sin19π7.(2)求函数y ＝log 12sin1．比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式，把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较．2．比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin 行比较．3．当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较．2．比较sin 215π与sin 42π5的大小．3．与正弦函数有关的值域问题[探究问题]1．对于形如y＝f[g(x)]的函数，如何求其值域？[提示]先求内函数u＝g(x)的值域，再求外函数y＝f(u)的值域．2．对于y＝A sin2x＋B sin x＋C型的函数，怎样求值域？[提示]利用换元法转化为二次函数求最值．【例3】求下列函数的值域．(1)y＝3－2sin x；(2)y＝－sin2x＋3sin x＋54.1．(变条件)将例3(1)的条件变为“函数y＝1＋2sin x，x∈－π6，π6”求函数的最值．2．(变条件)将例3(1)中的函数变为“y＝3＋a sin x(a≠0)”试求函数的值域．求正弦函数的值域一般有以下两种方法：(1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a(sin x＋b)2＋c型的值域问题.(2)利用sin x的有界性求值域，如y＝a sin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b.1．求正弦函数在给定区间[a，b]上的值域时，要注意结合图像判断在[a，b]上的单调性及有界性．2．利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内．3．观察正弦曲线不难发现：(1)正弦曲线是中心对称图形，对称中心的坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线和x轴的交点，原点是其中的一个．(2)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋π2(k∈Z)；正弦曲线的对称轴一定过正弦曲线的最高点或最低点.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数y＝sin x的定义域为R.()(2)正弦函数y＝sin x是单调增函数．()(3)正弦函数y＝sin x是周期函数．()(4)正弦函数y＝sin x的最大值为1，最小值为－1.()2．正弦函数y＝sin x，x∈R的图像上的一条对称轴是()A．y轴B．x轴C．直线x＝π2D．直线x＝π3．函数f(x)＝sin2x＋1的奇偶性是________．4．比较下列各组数的大小．(1)sin2016°和cos160°；(2)sin74和cos 5 3 .。

正弦函数的图像与性质教案教学目标：1. 了解正弦函数的定义和图像特点。

2. 掌握正弦函数的周期性和对称性。

3. 理解正弦函数的增减性和奇偶性。

4. 能够应用正弦函数的性质解决实际问题。

教学内容：第一章：正弦函数的定义与图像1.1 正弦函数的定义1.2 正弦函数的图像第二章：正弦函数的周期性2.1 周期性的定义2.2 周期性的图像表现第三章：正弦函数的对称性3.1 对称性的定义3.2 对称性的图像表现第四章：正弦函数的增减性4.1 增减性的定义4.2 增减性的图像表现第五章：正弦函数的奇偶性5.1 奇偶性的定义5.2 奇偶性的图像表现教学步骤：第一章：正弦函数的定义与图像1.1 正弦函数的定义1. 引入正弦函数的概念，让学生回顾三角函数的定义。

2. 解释正弦函数的定义，即在直角坐标系中，正弦函数表示对边与斜边的比值。

1.2 正弦函数的图像1. 利用计算机软件或板书，绘制正弦函数的图像。

2. 解释正弦函数图像的波动特点，如周期性和振幅。

第二章：正弦函数的周期性2.1 周期性的定义1. 引入周期性的概念，让学生理解周期函数的定义。

2. 解释正弦函数的周期性，即每隔一个周期，函数值重复出现。

2.2 周期性的图像表现1. 利用计算机软件或板书，展示正弦函数周期性的图像。

2. 引导学生观察图像，理解周期性的特点。

第三章：正弦函数的对称性3.1 对称性的定义1. 引入对称性的概念，让学生理解对称函数的定义。

2. 解释正弦函数的对称性，即函数图像关于y轴对称。

3.2 对称性的图像表现1. 利用计算机软件或板书，展示正弦函数对称性的图像。

2. 引导学生观察图像，理解对称性的特点。

第四章：正弦函数的增减性4.1 增减性的定义1. 引入增减性的概念，让学生理解函数的增减性质。

2. 解释正弦函数的增减性，即在一定区间内，函数值的增减规律。

4.2 增减性的图像表现1. 利用计算机软件或板书，展示正弦函数增减性的图像。

2. 引导学生观察图像，理解增减性的特点。

《正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案）神木职教中心 数学组 刘伟教学目标：1、理解正弦函数的周期性；2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图；3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质；4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间；5、初步理解“数形结合”的思想；6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像；2、利用函数图像观察正弦函数的性质；3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想教学难点：正弦函数性质的理解和应用教学方法：多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学 教学过程： Ⅰ 知识回顾终边相同角的诱导公式：)(sin )2sin(Z ∈=+k k απα所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2Ⅱ 新知识1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象x y sin =，[]π2,0∈x（1）、列表x 06π3π2π32π65π π67π 34π 23π 35π 611π π2 y 021 23123 210 -21 -23 -1 -23-21 0（2）、描点（3）、连线因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…，[][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相同2、正弦函数的奇偶性由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=-所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得： 正弦函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1-Ⅲ知识巩固例1 作下列函数的简图（1）xy sin=，[]π2,0∈x（2）xy sin1+=，[]π2,0∈x解：（1）①列表②描点③连线（2）①列表②描点③连线例2 求下列函数的单调区间（1）)sin(x y -= （2）)4sin(π-=x y解：（1）因x x y sin )sin(-=-=所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22是减函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是增函数 （2）由题知：πππππk x k 22422+≤-≤+-ππππk x k 24324+≤≤+-⇒ πππππk x k 223422+≤-≤+ππππk x k 247243+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 243,24是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 247,243是减函数练习（师生互动，分层次提问）1． 课本第120页练习第1题 2． 求函数)4sin(π+=x y 的单调性解：由题知：πππππk x k 22422+≤+≤+-ππππk x k 24243+≤≤+-⇒ πππππk x k 223422+≤+≤+ππππk x k 24524+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 24,243是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 245,24是减函数Ⅳ 小结本节课我们学习了用“五点法”作正弦函数的图像，利用正弦函数的简图可以观察到正弦函数的一些基本性质，如奇偶性、单调性、周期性等。

难点：正弦函数性质的理解和应用。

四、学情分析
前面学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，他们对图像和性质有了一定的认识。

但，观察不够仔细，理解不够透彻。

多数学生能积极主动参与学习，有了一定的观察和思考能力。

但，他们因为基础差，认知和接受能力低，所以缺乏心自信，同时渴望表现，渴望肯定。

学生初步具备一定逻辑思维能力，但思维不够深刻，且片面、不严谨，对问题解决的一般性思维过程认识模糊。

五、教法与学法
讲议结合教学、多媒体辅助教学、讨论式教学、分层教学
自主学习法、体验探究法、小组合作法
六、教具资料
教材、多媒体课件、多媒体投影系统。

教学环节教学过程设计意图
教学
调控
备
注
（一）创设情景激趣导入
（二）观察思考探索(1)函数的周期性比较难理解，让学生观看钟表
运动的动画。

学习新知：
对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数
T，当x取定义域D内的每一个值时，都有x+T
∈D，并且等式f(x+T)=f(x)成立，那么，函数
y=f(x)叫做周期函数,常数T叫做这个函数的一
个周期．
加强学生
的感性认
知，提高
学生学习
的兴趣，
体现数学
来源于生
活服务于
生活。

学习新知
铺垫后续
学习内容
教师打
开多媒
体动画,
视频演
示，学生
观看感
知。

引导学
生理解
周期函
数的概
念。

教案：正弦型函数的图像和性质第一章：正弦函数的定义与图像1.1 教学目标了解正弦函数的定义能够绘制正弦函数的图像1.2 教学内容正弦函数的定义：y = sin(x)正弦函数的图像特点：周期性、振幅、相位、对称性1.3 教学步骤1. 引入正弦函数的概念，解释正弦函数的定义2. 利用数学软件或图形计算器，绘制正弦函数的图像3. 分析正弦函数的图像特点，引导学生理解周期性、振幅、相位、对称性1.4 练习与作业练习绘制不同振幅和相位的正弦函数图像完成课后练习题，巩固对正弦函数图像的理解第二章：正弦函数的性质2.1 教学目标了解正弦函数的性质能够应用正弦函数的性质解决问题2.2 教学内容正弦函数的单调性：增减区间正弦函数的奇偶性：奇函数与偶函数正弦函数的周期性：周期为2π正弦函数的值域：[-1, 1]2.3 教学步骤1. 介绍正弦函数的单调性，利用图像进行解释2. 解释正弦函数的奇偶性，利用数学公式进行证明3. 强调正弦函数的周期性，引导学生理解周期为2π4. 分析正弦函数的值域，解释正弦函数的取值范围2.4 练习与作业练习判断正弦函数的单调性、奇偶性和周期性完成课后练习题，应用正弦函数的性质解决问题第三章：余弦函数的定义与图像3.1 教学目标了解余弦函数的定义能够绘制余弦函数的图像3.2 教学内容余弦函数的定义：y = cos(x)余弦函数的图像特点：周期性、振幅、相位、对称性3.3 教学步骤1. 引入余弦函数的概念，解释余弦函数的定义2. 利用数学软件或图形计算器，绘制余弦函数的图像3. 分析余弦函数的图像特点，引导学生理解周期性、振幅、相位、对称性3.4 练习与作业练习绘制不同振幅和相位的余弦函数图像完成课后练习题，巩固对余弦函数图像的理解第四章：正切函数的定义与图像4.1 教学目标了解正切函数的定义能够绘制正切函数的图像4.2 教学内容正切函数的定义：y = tan(x)正切函数的图像特点：周期性、振幅、相位、对称性4.3 教学步骤1. 引入正切函数的概念，解释正切函数的定义2. 利用数学软件或图形计算器，绘制正切函数的图像3. 分析正切函数的图像特点，引导学生理解周期性、振幅、相位、对称性4.4 练习与作业练习绘制不同振幅和相位的正切函数图像完成课后练习题，巩固对正切函数图像的理解第五章：正弦型函数的应用5.1 教学目标了解正弦型函数的应用能够解决与正弦型函数相关的问题5.2 教学内容正弦型函数在物理、工程等领域的应用解决与正弦型函数相关的问题：如振动、波动、音乐等5.3 教学步骤1. 介绍正弦型函数在物理、工程等领域的应用实例2. 解释正弦型函数在振动、波动、音乐等方面的作用3. 示例解决与正弦型函数相关的问题，引导学生应用正弦型函数的性质和图像5.4 练习与作业练习解决与正弦型函数相关的问题完成课后练习题，应用正弦型函数解决实际问题第六章：正弦型函数的积分与微分6.1 教学目标理解正弦型函数的不定积分和定积分学会计算正弦型函数的导数6.2 教学内容正弦型函数的不定积分：基本积分公式正弦型函数的定积分：利用积分公式计算面积正弦型函数的导数：求导法则6.3 教学步骤1. 介绍正弦型函数的不定积分，讲解基本积分公式2. 通过例题演示如何计算正弦型函数的定积分3. 讲解正弦型函数的导数，引导学生理解求导法则6.4 练习与作业练习计算正弦型函数的不定积分和定积分完成课后练习题，巩固对正弦型函数积分和导数的理解第七章：正弦型函数在坐标系中的应用7.1 教学目标学会在直角坐标系中绘制正弦型函数的图像能够利用正弦型函数解决实际问题7.2 教学内容利用直角坐标系绘制正弦型函数的图像解决实际问题：如测量角度、计算物理振动等7.3 教学步骤1. 讲解如何在直角坐标系中绘制正弦型函数的图像2. 通过实例演示如何利用正弦型函数解决实际问题7.4 练习与作业练习绘制不同类型的正弦型函数图像完成课后练习题，应用正弦型函数解决实际问题第八章：正弦型函数在三角变换中的应用8.1 教学目标理解三角恒等式及其应用学会利用正弦型函数进行三角变换8.2 教学内容三角恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1 等正弦型函数的三角变换：和差化积、积化和差等8.3 教学步骤1. 讲解三角恒等式的含义和应用2. 讲解如何利用正弦型函数进行三角变换8.4 练习与作业练习运用三角恒等式进行计算完成课后练习题，巩固对正弦型函数在三角变换中应用的理解第九章：正弦型函数在工程和技术中的应用9.1 教学目标了解正弦型函数在工程和技术领域的应用学会解决与正弦型函数相关的工程问题9.2 教学内容正弦型函数在信号处理、电子工程等领域的应用解决与正弦型函数相关的工程问题：如信号分析、电路设计等9.3 教学步骤1. 讲解正弦型函数在信号处理、电子工程等领域的应用实例2. 示例解决与正弦型函数相关的工程问题，引导学生应用正弦型函数的性质和图像9.4 练习与作业练习解决与正弦型函数相关的工程问题完成课后练习题，应用正弦型函数解决实际工程问题第十章：总结与拓展10.1 教学目标总结正弦型函数的图像和性质的主要内容了解正弦型函数在其他领域的拓展应用10.2 教学内容总结正弦型函数的图像和性质的关键点介绍正弦型函数在其他领域的拓展应用：如地球物理学、天文学等10.3 教学步骤1. 回顾正弦型函数的图像和性质的主要内容，强调重点和难点2. 介绍正弦型函数在其他领域的拓展应用，提供相关实例10.4 练习与作业复习正弦型函数的图像和性质的主要内容，巩固所学知识完成课后练习题，探索正弦型函数在其他领域的拓展应用重点和难点解析重点环节一：正弦函数的定义与图像理解正弦函数的定义：y = sin(x)掌握正弦函数图像的特点：周期性、振幅、相位、对称性重点环节二：正弦函数的性质掌握正弦函数的单调性：增减区间理解正弦函数的奇偶性：奇函数与偶函数认识正弦函数的周期性：周期为2π了解正弦函数的值域：[-1, 1]重点环节三：余弦函数的定义与图像理解余弦函数的定义：y = cos(x)掌握余弦函数图像的特点：周期性、振幅、相位、对称性重点环节四：正切函数的定义与图像理解正切函数的定义：y = tan(x)掌握正切函数图像的特点：周期性、振幅、相位、对称性重点环节五：正弦型函数的应用了解正弦型函数在物理、工程等领域的应用实例学会解决与正弦型函数相关的问题：如振动、波动、音乐等重点环节六：正弦型函数的积分与微分理解正弦型函数的不定积分和定积分学会计算正弦型函数的导数重点环节七：正弦型函数在坐标系中的应用学会在直角坐标系中绘制正弦型函数的图像学会利用正弦型函数解决实际问题重点环节八：正弦型函数在三角变换中的应用理解三角恒等式及其应用学会利用正弦型函数进行三角变换重点环节九：正弦型函数在工程和技术中的应用了解正弦型函数在信号处理、电子工程等领域的应用实例学会解决与正弦型函数相关的工程问题重点环节十：总结与拓展总结正弦型函数的图像和性质的关键点了解正弦型函数在其他领域的拓展应用全文总结和概括：本教案涵盖了正弦型函数的图像和性质的各个方面，从基本定义到图像特点，再到性质和应用，每个环节都进行了深入的讲解和演示。

7.3.1 正弦函数的性质及图象《正弦函数的性质及图象》是人教B 版必修3第7章第三节的第一课时，其主要内容是正弦函数的图象及性质。

过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学习过三角函数线，在此基础上来学习正弦函数的图象及性质，为今后余弦函数、正切函数的图象与性质，函数sin()y A wx ϕ=+的图象的研究打好基础，因此，本节的学习有着及其重要的地位。

本节课的主要内容是利用描点法画出sin y x =的图象，介绍“五点作图法“，再利用图象研究正弦函数的主要性质（定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性），通过正弦函数的图象，性质的应用，培养学生的观察力、数形结合的数学思想，提高学生分析问题，解决问题的能力。

【教学重点】五点法作图、正弦函数的性质 【教学难点】函数周期性的理解，正弦函数性质的理解和应用问题1：正弦函数的定义 知识点1 正弦函数的定义正弦函数：对于任意一个角x ，都有唯一确定的正弦sin x 与之对应，因此y ＝sin x 是一个函数，一般称为正弦函数．用正弦线可以直观地表示正弦函数地函数值，如图，MP 就是角x 的正弦线。

问题2：正弦函数的性质 知识点2：定义域与值域因为任意角都有正弦，所以sin y x =的定义域为R ，由图中的正弦线可以看出，MP 长度的最大是1，最小是0，因此可知sin y x =的值域为[1,1]-，而且当且仅当2,2x k k Z ππ=+∈时，函数sin y x =的最大值为max 1y =；当且仅当32,2x k k Z ππ=+∈时，函数sin y x =的最小值为min 1y =-. 例1.已知sin 3,x t x R =-∈，求t 的取值范围。

解：因为1sin 1x -≤≤，所以 由此解得24t ≤≤知识点3：奇偶性由诱导公式sin()sin x x -=，可知正弦函数sin y x =为奇函数，其图象关于原点中心对称。

正弦函数的图像与性质教案一、教学目标知识与技能目标：1. 理解正弦函数的定义和基本概念；2. 学会绘制正弦函数的图像；3. 掌握正弦函数的性质，并能应用于实际问题。

过程与方法目标：1. 通过观察和分析正弦函数的图像，探索其性质；2. 利用数形结合的方法，理解正弦函数的周期性、奇偶性、单调性等性质；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

情感态度与价值观目标：1. 激发学生对数学学习的兴趣；2. 培养学生的团队合作意识和交流能力；3. 使学生认识到数学在生活中的重要性。

二、教学重点与难点重点：1. 正弦函数的定义和图像；2. 正弦函数的性质。

难点：1. 正弦函数图像的绘制；2. 正弦函数性质的理解和应用。

三、教学准备教师准备：1. 正弦函数的图像和性质的相关资料；2. 教学多媒体设备。

学生准备：1. 预习正弦函数的相关知识；2. 准备笔记本和笔。

四、教学过程1. 导入：a. 引导学生回顾之前学过的函数图像和性质；b. 提问：你们认为正弦函数的图像和性质会是什么样的呢？2. 讲解：a. 讲解正弦函数的定义和基本概念；b. 利用多媒体展示正弦函数的图像；c. 引导学生观察和分析正弦函数的图像，探索其性质；d. 讲解正弦函数的周期性、奇偶性、单调性等性质；e. 举例说明正弦函数性质的应用。

3. 实践：a. 让学生独立绘制正弦函数的图像；b. 让学生分组讨论正弦函数的性质，并完成相关练习题；c. 让学生应用正弦函数的性质解决实际问题。

4. 总结：a. 回顾本节课所学的正弦函数的图像和性质；b. 强调正弦函数在实际中的应用价值。

五、作业布置1. 绘制正弦函数的图像，并标注出其周期性、奇偶性、单调性等性质；2. 运用正弦函数的性质解决实际问题，如测量角度、计算波浪高度等；3. 预习下一节课的内容。

六、教学反馈与评估1. 在课后，教师应收集学生的作业，评估学生对正弦函数图像和性质的理解程度；2. 教师可以通过课后交流或提问的方式，了解学生对课堂内容的掌握情况；3. 根据学生的反馈，教师应及时调整教学方法和策略，以便更好地帮助学生理解和掌握正弦函数的知识。

§5.6 正弦函数的图象和性质【教学目的】会用描点作图法以及“五点法”作正弦函数sin y x =的图象，掌握正弦函数的主要性质，能利用单调性判断两个正弦值的大小.【教学重点】“五点法”作正弦函数sin y x =的图象；正弦函数sin y x =的主要性质.【教学难点】正弦函数的周期性、奇偶性、单调性以及有界性.【教学过程】新课： 一、图象首先，我们用描点作图法作出正弦函数sin y x =在区间[0,2]π上的图象． 取自变量x 从0到2π的一些值，求出函数y 的对应值，并列表如下：然后用光滑曲线把这些点连结起来，就得到sin y x =，[0,2]x π∈的图象(图1)．因为终边相同的角的三角函数值相等，即sin(2)sin k x x π+=，k Z ∈，所以把sin y x =在区间[0,2]π上的图象分别向左、向右平移2π、4π、6π、…图1就得到sin y x =，x R ∈的图象(图2)．正弦函数sin y x =，x R ∈的图象称为正弦曲线．由图3-17可以看出，函数sin y x =在[0,2]π上的图象有下面五个关键点，它们是(0,0)、,12π⎛⎫⎪⎝⎭、(,0)π、3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭、(2,0)π． 在精度要求不高时，可以采用“五点法”作图，即先作出五个关键点，然后依次连结成光滑的曲线，就是sin y x =在[0,2]π上的图象．例1 用“五点法”作出函数1sin y x =+在[0,2]π上的图象． 描点作图(图3)．图3二、主要性质(1) 周期性：由诱导公式sin(2)sin k x x π+=可知，正弦函数的值是按照一定的规律不断重复出现的，这是正弦函数的一个重要性质，称为周期性．一般地，对于函数()y f x =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，成立，那么就把函数()y f x =称为周期函数，不为零的常数T 称为这个函数的周期．因此，对于正弦函数sin y x =，x R ∈来说，2π、4π、6π、…、2π-、4π-、6π-、…都是它的周期，而2π是这个函数的最小正周期．注 今后我们讲到三角函数的周期时，一般指的就是三角函数的最小正周期．因此，正弦函数sin y x =的周期是2π．(2) 奇偶性：正弦曲线是关于原点对称的，所以sin y x =是奇函数． (3) 单调性：由正弦曲线(图2)可以看出，函数在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的一个周期内的变化情况如下表所示：根据正弦函数的周期性可知，sin y x =在区间2,222k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭内单调递增，在区间32,222k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭内单调递减，其中k Z ∈．(4) 有界性：一般地，对于函数()y f x =，如果存在一个正数M ，使得对于函数定义域中所有x 的值都有()f x M ≤，那么称()y f x =是有界的．反之，称为无界的．因为sin 1x ≤，所以函数sin y x =是有界的． 当22x k ππ=+()k Z ∈时，max 1y =；当22x k ππ=-+()k Z ∈时，min 1y =-．例2 x 取何值时，函数5sin 2y x =+取得最大值和最小值？最大值和最小值各是多少？解 当22x k ππ=+()k Z ∈时，s i n x 取得最大值1，从而m a x 51y =⨯27+=；当22x k ππ=-+()k Z ∈时，sin x 取得最小值 -1，从而m i n 5y =-23+=-．例3 已知2sin 4x a =-，求a 的取值范围． 解 因为sin 1x ≤，所以412a-≤． 解不等式，得26a ≤≤．即a 的取值范围是{}|26a a ≤≤．例4 不通过求值，比较sin 18π⎛⎫-⎪⎝⎭与sin 10π⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小．解 因为210182ππππ-<-<-<，且函数sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增的，所以sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例5 求函数sin 2y x =的周期．解 问题是要找到一个最小正数T ，对于x 的一切值能使sin 2()sin 2x T x +=成立．因为正弦函数的周期是2π，于是有sin 2sin(22)sin[2()]x x x ππ=+=+．所以，当自变量由x 增加到x π+时，函数值重复出现，因此sin 2y x =的周期是π．可以证明，函数sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+(其中A 、ω、ϕ为常数，且0A ≠、0ω≠、x R ∈)的周期是：2T πω=．这说明，影响三角函数周期的要素是自变量x 的系数．如例5的周期是22T ππ==． 课堂练习 练习1：见书P154．【小结与作业】课堂小结：本次课主要学习了正弦函数sin y x =的图象和性质．要会用描点作图法以及“五点法”作正弦函数sin y x =的图象，掌握正弦函数的主要性质，能利用单调性判断两个正弦值的大小.本课作业：习题5.6．。

正弦函数的图象与性质（第一课时）
一、教学目标
（1）知道为什么选用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；
（2）会用“五点作图法”画出正弦函数的图象；
（3）能够结合正弦函数的图象概括性质；
二、教学重点和难点
教学重点：让学生在实践中通过尝试、观察、分析的方法得到正弦函数的图象。

教学难点：利用单位圆画正弦函数图象。

关键是借助多媒体技术通过课件展示作图过程化抽象为直观，通过教师引导、学生合作探究学习逐步认识正弦函数的图象与性质，从而不断地突破难点。

三、教学程序及设计意图。

正弦函数的图像和性质教学目标：1、 知识与技能目标通过研究正弦函数图像及其画法, 理解并掌握正弦函数的性质，运用其性质解决相关问题2、 过程与方法目标通过主动思考，主动发现，亲历知识的形成过程，使学生对正弦函数的性质有深刻的理解， 培养学生的观察、分析、归纳和表达能力以及数形结合和化归转化的数学思想方法3、 情感态度与价值观用联系的观点看待问题，善于类比联想，直观想象，对数形结合有进一步认识，激发学习数学的兴趣，养成良好的数学品质。

教学重点：正弦函数的性质教学难点：正弦函数性质的理解与应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1． 正弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP ry ==αsin ，向线段MP 叫做角α的正弦线，2．用单位圆中的正弦线作正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象（几何法）：把y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 叫做正弦曲线3．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)二、讲解新课：(1)定义域： 正弦函数的定义域是实数集R ［或(－∞，＋∞)］，(2)值域因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sin x ｜≤1， 即 －1≤sin x ≤1， 也就是说，正弦函数的值域是［－1，1其中正弦函数y = sin x ,x ∈R①当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1 (3)周期性由sin(x ＋2k π)＝sin x ，知：一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2k π(k ∈Z 且k ≠0)对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期注意：1.周期函数定义域x ∈M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2.“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数;3.T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π(4)奇偶性由sin(－x )＝－sin x 可知：y ＝sin x 为奇函数∴正弦曲线关于原点O 对称(5)单调性从y ＝sin x ，x ∈［－23,2ππ］的图象上可看出： 当x ∈［－2π，2π］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1当x ∈［2π，23π］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－三、讲解范例：例1 求使正弦函数y ＝sin2x ，x ∈R 取得最大值的自变量x 的集解：令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且使函数y ＝sin Z ，Z ∈R 取得最大值的Z 的集合是｛Z ｜Z ＝2π＋2k π，k ∈Z ｝ 由2x ＝Z ＝2π＋2k π， 得x ＝4π＋k π 即 使函数y ＝sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是｛x ｜x ＝4π＋k π，k ∈Z ｝ 函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是1例2求函数y =xsin 11+ 的定义域： 解：由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1即x ≠23π＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为｛x ｜x ≠23π＋2k π，k ∈Z ｝ 例3求下列三角函数的周期 1. y=sin(x+3π) 2. y=3sin(2x +5π) 解：1. 令z= x+3π 而 sin(2π+z)=sinz 即：f (2π+z)=f (z) f [(x+2π)+ 3π]=f (x+3π) ∴周期T=2π2. 令z=2x +5π 则 f (x ) =3sinz=3sin(z+2π)=3sin(2x +5π+2π)=3sin(524ππ++x ) =f (x +4π)∴周期T=4π四、课堂练习：1． 求函数y=|sinx|的周期：2． 直接写出函数y ＝1+xsin 1的定义域、值域： 3． 求下列函数的最值： (1) y=sin(3x+4π)-1 (2) y=sin 2x-4sinx+5 五、课堂小结1.六、课后作业：1.完成练习册P43、44、45有关正弦函数的题目。

正弦型函数的图像和性质第一章：正弦型函数的定义与基本性质1.1 引入正弦型函数的概念解释正弦函数的定义：y = sin(x)说明正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)1.2 探究正弦函数的图像分析正弦函数在0≤x≤2π的图像特征总结正弦函数的振幅、周期、相位、对称性等基本性质1.3 引出正弦型函数的一般形式介绍正弦型函数的一般形式：y = A sin(Bx + C) + D解释各参数A、B、C、D对函数图像的影响第二章：正弦型函数的图像变换2.1 纵坐标变换：伸缩与平移分析纵坐标变换对正弦型函数图像的影响探究如何通过纵坐标变换实现图像的伸缩和平移2.2 横坐标变换：伸缩与平移分析横坐标变换对正弦型函数图像的影响探究如何通过横坐标变换实现图像的伸缩和平移2.3 综合图像变换结合纵坐标和横坐标变换，探究正弦型函数图像的综合变换方法第三章：正弦型函数的性质探究3.1 单调性分析正弦型函数的单调性：在单调增区间和单调减区间内举例说明单调性的应用3.2 奇偶性探究正弦型函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)分析奇偶性在函数图像上的表现3.3 极值与拐点求解正弦型函数的极值与拐点分析极值与拐点在函数图像上的特征第四章：正弦型函数的应用4.1 振动问题应用正弦型函数描述简谐振动：x = A sin(ωt + φ)分析振动过程中的位移、速度、加速度等物理量的变化规律4.2 波动问题应用正弦型函数描述波动：u = A sin(kx ωt + φ)分析波动过程中的波长、周期、波速等物理量的关系第五章：案例分析与拓展5.1 分析实际问题中的正弦型函数模型举例分析正弦型函数在实际问题中的应用：温度变化、电流强度等5.2 探究正弦型函数的周期性分析正弦型函数在不同周期下的图像特征探究周期性在实际问题中的应用5.3 总结与拓展总结正弦型函数的图像和性质及其应用提出拓展问题，引导学生深入研究正弦型函数的相关领域第六章：正弦型函数的积分与级数6.1 不定积分介绍正弦型函数的不定积分：∫sin(x)dx = -cos(x) + C讲解基本积分技巧，如分部积分法、换元积分法等6.2 定积分解释正弦型函数的定积分：∫[a, b] sin(x)dx = -cos(b) + cos(a)分析定积分的性质，如对称性、周期性等6.3 级数展开探究正弦型函数的级数展开：sin(x) = Σ(-1)^(n+1) (x^(2n+1))/(2n+1)! 讲解泰勒级数展开的概念及应用第七章：正弦型函数的三角恒等式7.1 和差化积介绍和差化积公式：sin(A ±B) = sin(A)cos(B) ±cos(A)sin(B)讲解如何利用和差化积公式简化正弦型函数的表达式7.2 积化和差讲解积化和差公式：sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) = sin(A + B)分析积化和差公式在函数求解中的应用7.3 二倍角公式与半角公式介绍二倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A), cos(2A) = cos^2(A) sin^2(A) 讲解半角公式：sin(A/2), cos(A/2)的求解方法及应用第八章：正弦型函数的解法与应用8.1 解正弦型方程讲解如何利用正弦函数的性质解正弦型方程：sin(x) = A, cos(x) = B等分析正弦型方程的解法技巧，如相位法、图像法等8.2 正弦型函数在物理中的应用介绍正弦型函数在电磁学、波动光学等物理领域的应用分析正弦型函数在物理问题中的作用及意义第九章：正弦型函数与现代数学方法9.1 傅里叶级数介绍傅里叶级数：将周期函数展开为正弦、余弦函数的和分析傅里叶级数在信号处理、热传导等领域的应用9.2 最小二乘法讲解最小二乘法在正弦型函数拟合中的应用举例说明最小二乘法在实际问题中的作用及意义第十章：总结与拓展10.1 总结正弦型函数的图像与性质回顾正弦型函数的图像变换、性质探究、应用等方面的重要知识点强调正弦型函数在数学及自然科学领域中的重要性10.2 提出拓展问题与研究建议针对正弦型函数的图像与性质提出拓展问题，引导学生深入研究鼓励学生探索正弦型函数在其他领域中的应用，如机器学习、生物信息学等第十一章：正弦型函数的数值方法11.1 数值解法概述介绍数值解法在求解正弦型函数相关问题中的应用讲解数值解法的基本概念和分类11.2 数值积分探究数值积分方法：梯形法则、辛普森法则等分析数值积分在正弦型函数应用中的实例11.3 数值微分介绍数值微分方法：中心差分法、向前差分法等讲解数值微分在正弦型函数应用中的实例第十二章：正弦型函数的编程实践12.1 编程基础介绍编程语言的选择（如Python、MATLAB等）讲解编程基本语法和数据结构12.2 正弦型函数的图像绘制展示如何使用编程语言绘制正弦型函数的图像分析图像绘制过程中的关键参数和技巧12.3 正弦型函数的数值计算讲解如何使用编程语言进行正弦型函数的数值计算分析数值计算过程中的误差和稳定性问题第十三章：正弦型函数在工程中的应用13.1 信号处理介绍正弦型函数在信号处理领域的应用：调制、解调等分析正弦型函数在信号处理中的优势和局限性13.2 机械振动探究正弦型函数在机械振动分析中的应用讲解振动系统的周期性、对称性等特性第十四章：正弦型函数在现代科学研究中的应用14.1 量子力学介绍正弦型函数在量子力学中的应用：波函数、能级等分析正弦型函数在量子力学中的基本作用14.2 天体物理探究正弦型函数在天体物理中的应用：星体运动、引力波等讲解正弦型函数在天体物理中的关键作用第十五章：总结与展望15.1 总结正弦型函数的图像与性质回顾本教程中正弦型函数的图像变换、性质探究、应用等方面的重要知识点强调正弦型函数在数学及自然科学领域中的重要性15.2 展望正弦型函数的发展趋势分析正弦型函数在科技、工程等领域的前景和挑战鼓励学生继续探究正弦型函数的奥秘，为相关领域的发展做出贡献重点和难点解析本文主要介绍了正弦型函数的图像和性质，涵盖了正弦型函数的定义、图像变换、性质探究、应用、积分与级数、三角恒等式、解法与现代数学方法、数值方法、编程实践、工程应用以及现代科学研究等领域。

《正弦函数的图像与性质》教案2一、教学目标知识与技能1.理解并掌握作正弦函数图象的方法。

2.理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法。

3.理解正弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义。

4.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间。

5.理解振幅、周期、频率、初相的定义。

6.理解振幅变换、相位变换和周期变换的规律。

7.会用“五点法”画出y=A sin(ωx+φ)的简图，明确A、ω和 对函数图象的影响作用。

过程与方法理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法。

情感态度与价值观1.培养学生数形结合的能力。

3.培养学生发现问题、研究问题的能力，以及探究、创新的能力。

二、教学重、难点教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．教学难点：理解弧度值到x轴上点的对应。

开始时，教学过程要慢一些，让学生有一个形成正60进制，弧度用弧长（十进制）度量，再转化为x轴确概念的过程。

在小学度量角度使用的0上的有向长度。

实践证明，这个抽象过程对初学者有一定的难度。

三、过程与方法引导学生结合作图过程理解振幅和相位变化的规律。

本节课采用作图、观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数，数形结合，通过设置问题，引导学生观察、分析、归纳，形成规律，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数图象变换全面的体验和理解四、课时3课时五、教学过程第1课时第3课时21，21图象可看作把＝sin x 有点的纵坐标缩短到原来的＝有点的横坐标缩短到原来的标不变＝sin21x ，x ∈R 的周期T ＝12π＝。

7.3.1 正弦函数的性质与图像(一)学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.利用正弦线理解正弦函数的性质.3.掌握正弦函数的性质及其应用． 知识梳理知识点一 正弦函数对于任意一个角x ，都有 确定的正弦sin x 与之对应，因此y ＝sin x 是一个函数，一般称为正弦函数． 知识点二 周期函数1．一般地，对于函数f (x )，如果存在一个 常数T ，使得对定义域内的 ，都满足 ．那么就称函数f (x )为周期函数， 称为这个函数的周期．2．如果函数f (x )的所有周期中存在一个 ，那么这个最小的正数称为f (x )的最小正周期． 知识点三 正弦函数y ＝sin x 的性质探究一 正弦函数的奇偶性、周期性 例1.求下列函数的周期，并判断其奇偶性． (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6；(2)f (x )＝|sin 2x |.反思感悟 (1)判断函数奇偶性应把握好两个关键点： 关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称． 关键点二：看f (x )与f (－x )的关系．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．(2)f (x )为周期函数，即对定义域内任意实数x ，都有f (x ＋T )＝f (x )成立．只要有一个x ，使f (x ＋T )＝f (x )不成立，则f (x )就不是周期函数． 跟踪训练1.求下列函数的周期，并判断其奇偶性． (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R )．探究二 正弦函数的最值例2.求使函数y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54取得最大值和最小值的自变量x 的集合，并求出函数的最大值和最小值．反思感悟 (1)对于形如y ＝a sin x ＋b 的函数求最值(值域)时，要注意对a 分类讨论． (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先令sin x ＝t ，将原函数转化成关于t 的二次函数，注意换元时t 的取值范围． 跟踪训练2.求下列函数的最大值和最小值． (1)y ＝1－12sin x ； (2)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (3)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6.探究三 正弦函数的单调性及应用例3.不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零． (1)sin 135°－sin 144°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－π18－sin ⎝⎛⎭⎫－π10； (3)sin ⎝⎛⎭⎫－23π5－sin ⎝⎛⎭⎫－17π4．反思感悟 (1)求形如y ＝a sin x ＋b 的三角函数的单调性，当a <0时，要求y ＝a sin x ＋b 的增区间，即求y ＝sin x 的减区间．(2)用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪训练3.利用正弦函数的单调性，比较下列各对正弦值的大小． (1)sin 190°与sin 200°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－π10与sin ⎝⎛⎭⎫－π11； (3)sin 15π8与sin 10π9．课堂小结 1．知识清单：(1)正弦函数的奇偶性、单调性、最值、零点． (2)函数的周期性，正弦函数的周期性． 2．方法归纳：分类讨论，数形结合．3．常见误区：求形如y ＝a sin x ＋b (a <0)的单调性时，忽略a <0的影响． 当堂检测1．函数f (x )＝1＋sin x 的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．3π2 D ．2π2．函数y ＝sin x3的定义域是( )A ．RB ．[－1,1]C ．⎣⎡⎦⎤－13，13 D ．[－3,3] 3．函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫π6≤x ≤2π3的值域是( ) A ．[－1,1] B ．⎣⎡⎦⎤12，1C ．⎣⎡⎦⎤12，32D ．⎣⎡⎦⎤32，14．函数f (x )＝sin x －x 3x是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数5．令a ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π18，b ＝sin 1110π，则a 与b 的大小关系是__________．参考答案知识点一 正弦函数 唯一知识点二 周期函数1．非零 每一个x f (x ＋T )＝f (x ) 非零常数T2．最小的正数知识点三 正弦函数y ＝sin x 的性质例1.解：(1)在f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6中， ∵ω＝12，∴T ＝2π12＝4π.又f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6是非奇非偶函数． (2)作出f (x )＝|sin 2x |的图像如图：由图知，y ＝|sin 2x |的周期为π2，又其图像关于y 轴对称，因而是偶函数．跟踪训练1.解：(1)法一：令z ＝2x ＋π3，∵x ∈R ，∴z ∈R ，函数y ＝sin z 的最小正周期是2π，就是说变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数y ＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得，而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，从而函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )的周期是π.法二：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3中，ω＝2，∴T ＝2π|2|＝π.又sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3≠sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 且sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3≠－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3是非奇非偶函数． (2)作出y ＝|sin x |的图像如图：由图像可知，y ＝|sin x |的周期为π.其图像关于y 轴对称，∴y ＝|sin x |是偶函数． 例2.解：令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1. y ＝－t 2＋3t ＋54＝－(t －32)2＋2.所以，当t ＝32时，y max ＝2. 此时sin x ＝32，即x ＝2k π＋π3或x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )． ∴当t ＝－1时，y min ＝14－ 3.此时sin x ＝－1即x ＝2k π＋3π2(k ∈Z )． 跟踪训练2.解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－12sin x ≥0，－1≤sin x ≤1，所以－1≤sin x ≤1.故当sin x ＝－1时，y max ＝62；当sin x ＝1时，y min ＝22. (2)因为－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，所以1≤3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤5. 故当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1. (3)因为－π6≤x ≤π6，所以0≤2x ＋π3≤2π3.所以0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. 所以0≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤2.故当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝2.当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝0时，y min ＝0. 例3.【答案】(1)＞0 (2)＞0 (3)＜0跟踪训练3.解：(1)sin 190°＝sin(180°＋10°)＝－sin 10°，sin 200°＝sin(180°＋20°)＝－sin 20°. ∵y ＝sin x 在(0°，90°)上单调递增， ∴sin 10°＜sin 20°， 从而－sin 10°＞－sin 20°， ∴sin 190°＞sin 200°.(2)∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， 且－π2＜－π10＜－π11＜π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫－π10＜sin ⎝⎛⎭⎫－π11. (3)sin 15π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π8＝－sin π8， sin 10π9＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π9＝－sin π9， ∵π2＞π8＞π9＞0， ∴sin π8＞sin π9.∴－sin π8＜－sin π9.∴sin15π8＜sin 10π9. 当堂检测 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】b ＜a。